 Merci beaucoup pour cette invitation. Je suis très heureux d'avoir donné ce talk pour cette conférence au nom du travail de Victor Katz. Non, c'est pas working. Vous pouvez me entendre ? Est-ce que c'est OK ? OK, donc le sujet de ce talk sera l'une de la diverses directions qui sont maintenant développées dans les fonds de casse-modia jébras, donc qui sera relativement précisément à la quantité de casse-modia jébras et quelques exemples de catégorifications. Donc, premièrement, je voudrais remercier des objectifs classiques que nous avons déjà discutés aujourd'hui. Donc, premièrement, les fonds de casse-modia jébras. Donc, nous allons commencer avec des fonds de casse-modia jébras donc G, qui est un fonds de casse-modia jébras. Donc, pour exemple, nous allons utiliser plusieurs parts de le talk SL2 of C. Donc, nous avons ensuite le fonds de casse-modia jébras, qui est un fonds de casse-modia jébras, qui peut être modifié par l'extérieur des casse-modia jébras jusqu'à l'un des fonds de casse-modia jébras, dans une variable formale. Et ensuite, nous avons une extension centrale, une extension centrale non triviale de G que nous ne ferons pas G-hat dans ce talk. Et donc, c'est un fonds de casse-modia jébras. Donc, sans les dérivations que nous allons utiliser dans ce talk. Ok, donc, bien sûr, c'est un fonds de casse-modia jébras. Et donc, c'est, comme nous l'avons vu ce matin, un fonds de casse-modia jébras très important. Et l'une des raisons, c'est la suivante de ce CORM, qui dit que ce jébras a une autre présentation, donc il peut être défini, comme je l'ai dit, comme une extension centrale de loup à jébras, mais il a aussi une présentation qui est analogue à la présentation de la présentation de l'algebra G avec une carte en matrixe, donc qui est l'essence combinatoriale de l'algebra, qui est répliquée par une carte en matrixe. Donc, exemple, je l'ai déjà discuté dans le talk. Donc, ce résultat fait que ce l'algebra infinidimensional est important parce qu'ils sont maintenant vus comme naturels d'analogues infinidimensionnelles de l'algebra G. Et ils ont en particulier la même structure, et nous avons des résultats analogues comme la composition de l'espace, la composition de la route triangulaire, etc. Donc, c'est ce qu'il y a de la plupart de vous, je pense. Donc, par exemple, pour l'algebra SL2, nous avons la carte en matrixe de l'algebra SL2, qui est juste une carte en matrixe, qui est juste répliquée par une nouvelle matrixe où nous ajoutons une colonne sur une ligne, qui est cette matrixe, et c'est la carte en matrixe, qui est utilisée pour construire les algebras de la carte en matrixe associé à l'algebra SL2. Ok, donc, les algebras ont des appareils numéros, les mathématiques et les physiques mathématiques, comme nous l'avons vu, et comme nous l'avons vu aujourd'hui. Donc, je ne vais pas donner une liste complète de ces algebras, parce que, en fait, j'aimerais aujourd'hui focussé sur la deformation de la carte en matrixe de l'algebra G. Et il a été découvert, dans les années 80, par Trine Feld et Jimbo, que ces grandes familles de l'algebra l'agéboise peuvent être déformées. Elles ont des informations naturelles, qui sont appelées quantum groupes. Donc, et parfois aussi appelées quantum cosmodiajébras, plus précisément, ce sont pas groupes, ce sont des algebras de l'algebra hop, et ce sont des informations de l'algebra universal de l'algebra G, de l'algebra cosmodiajébra. Donc, ce n'est généralement pas de l'algebra UQ, donc il dépend, bien sûr, de l'algebra G, qui est l'algebra cosmodiajébra. Et sur Q, ce qui est un numéro complexe, qui peut être ici comme paramètres quantisés, donc c'est un numéro complexe non-zero. Et, donc la situation classique est quand h est equal à 0 et Q est equal à 1. En ce cas, nous récupérons UG, qui est l'algebra universal de l'algebra G. Donc, juste pour prendre un point, dans tout ce talk, nous allons assumer que Q, ce numéro complexe, n'est pas la route de l'algebra. C'est généralement Q. Donc, nous avons une grande famille de algebras et il y a, par exemple, un cas fondamental, et je vais vous donner quelques exemples de l'importance de ce cas. Quand l'algebra cosmodiajébra est un type fin, c'est le cas que je disais au début de le talk. Donc, en ce cas, ce qu'il y a contre l'algebra fin. Donc, par exemple, l'algebra UQ est un fin. Donc, la définition est juste pour donner une présentation de l'algebra par générateurs et relations. Donc, cela peut être défendu par une famille de six générateurs. Et deux de eux sont inversés. Ils correspondent au carton de l'algebra. Et il y a des relations, qui sont analogues, des analogues des relations qui apparaissent dans la définition de l'algebra cosmodiajébra. Donc, il y a des formes de l'algebra cosmodiajébra. Donc, par exemple, ce sont des exemples de l'algebra quantum et de l'algebra quantum de type SL2. Et c'est un exemple de l'algebra quantum de type SL2 de l'algebra quantum cosmodiajébra. Donc, quand l'algebra Q est equal à 1, nous récupérons l'algebra quantum de l'algebra quantum associé d'un type SL2. Mais, ce que j'aimerais d'amphiser ici c'est que ces algebras ont une particularité qui est analogue à l'algebra cosmodiajébra qui est analogue à l'algebra cosmodiajébra. C'est-à-dire qu'il y a un analogue quantum de l'algebra quantum que j'ai mentionné à la fin de la discussion. Donc, ce qui est le suivi. Donc, c'est un CRM d'Adrien Feld et Beck, qui, je pense, était un étudiant de Victor. Donc, il y a, en fait, une autre présentation de l'algebra quantum de l'algebra cosmodiajébra. Il peut aussi être défini comme une extension centrale de l'algebra quantum. Donc, c'est complètement analogue à l'algebra classique. Et donc, une façon d'expliquer cette propre est avec la prochaine picture, ou commutative diagramme. Donc, G est l'algebra finidimensionale de l'algebra cosmodiajébra. SL2, par exemple. Donc, par affinisation, c'est-à-dire la station centrale de l'algebra cosmodiajébra de l'algebra cosmodiajébra. Les deux sont de l'algebra cosmodiajébra. Donc, ils ont un groupe de quantum qui est une deformation de l'algebra cosmodiajébra. Et ce que ils disent, c'est-à-dire, en fait, ce quantum de l'algebra cosmodiajébra peut aussi être défis par affinisation de l'algebra cosmodiajébra de l'algebra cosmodiajébra. Ok. En fait, nous avons deux processus dans un sens qu'il faut commuter. Donc, c'est une façon d'y voir. Et dans des termes précis, cet algebra a deux présentations qui sont isomorphiques. Ok. Donc, c'est une des résultats qui font possible d'étudier les propretés de la représentation de cet algebra. Donc, j'aimerais discuter aujourd'hui. Donc, quantum de l'algebra cosmodiajébra a beaucoup d'applications. Donc, je vais juste lister quelques d'elles. Et puis, après, je vais faire des exemples que j'aimerais détailler. Donc, le premier, c'est de la solution de quantum Young Baxter Equation, qui est dans cette relation, qui est connue par beaucoup de vous. Et donc, par exemple, je vous donne une solution, une solution explicite dans le cas d'un SL2, qui est présentée par la représentation de l'algebra de l'algebra de l'algebra de l'algebra. Donc, une solution et donc cela est relative aux modèles comme un modèle XZ ou un modèle 6 d'arctères, et c'est forcément possible aussi à utiliser la représentation de quantum Young Baxter de l'algebra d'une solution de la solution du quantum Young Baxter de l'algebra. Donc, je vous donne quelques exemples de des applications très riche. Il y a une application de classicales de la solution, via nakelgymasquever varieties. Also, another connection with physics, with discrete dynamical systems, is that it's possible to provide solution of t-systems by using also representation of quantum cascoudia gibras. Hence, I just write an example of a t-system. So it's a, this is what people called octahedron relation. So it's a relation which depends, so there is a value, it determines, we depends on A, B, and C, which are some variables. And this is relations which has been studied, in particular in people doing cluster algebra theory. And the representation theory of quantum cascoudia gibras give solutions of this, of this system. And it's a part, in fact, it is associated to type A, to SNN. And it is an example of a much more general class of such relations, which are called t-systems. But, OK, so we could discuss this much more, but I have just 25 minutes, so I will focus on another example of application to classical history via categorification. So this is what I would like to explain. So as I said, the representation theory of this algebra is very rich. And in fact, we will focus on a particular category of representation, that is to say, the final dimensional representation of this algebra. So the simple objects, this category, are classified. There is a classification, which is due to Drenfeld and Chari Presley. But in general, the structure of this simple representation is unknown. And it's, in fact, studied very much in representation theory. For example, the dimension is not known in general. There is no character theory, character formula, general of this simple representation. But, however, there are some more general understanding of this category, of the category, or some sub-categories of this category of representations. So this is what we will see. So to do it, we will consider the Groton-Decrink of the category. So let me remind what it means. So I mentioned that this UQFG fine is not only an algebra, but it is a Hopf algebra. So there is more structure. And in fact, the category C is a tensor category. So it means that it's possible to make not only direct some representation, but also tensor product of representation. So it's something that we get, because we have more structure on the algebra. And as a consequence, we can define the K0 of C, the Groton-Decrink of C. So what is this? So first, as a group, it is just a free group with the basis given by the isomorphism classes of simple objects, the category. So we have here v, the isomorphism classes. We look at the free group. So it is a Groton-Decroup. And then we can define a ring structure on this group by using the tensor product. So if we take v and v prime, two simple objects, we consider v tensor v prime, tensor product. And we look at multiplicity of another simple object in the tensor product to define the ring structure. So there is just a technical point. We have to be careful, because the category is not so my simple. So we have to use multiplicities in Jordan-Houder series. But the idea is to consider such multiplicity. So we get a nice ring, so it's associative. It has a natural basis, which is the basis of simple object. And in fact, it's known, and it's a result of Frankel-Rechitikin, that this Groton-Decroup, in fact, is commutative. And it's not trivial in this context, because the category is not braided. That means v tensor v prime is not isomorphic to v prime tensor v in general. But when we look at the Groton-Decroup, it becomes commutative. So the multiplicities in Jordan-Houder series are the same. Tout le temps, c'est un product. So this is what the context which comes from Katsumi Dissuie. So now we will look at another object that we will categorify, a more classical object in Dissuie. We just look at n, a maximal and important subgroup of g, which is a finite dimensionality group. So for example, we will consider its coordinate ring, c of n. So for example, if g is ss3 of c, finite dimensionality group, we consider n, the subgroup of upper triangular matrices, this one of the diagonal. And so we have natural coordinate here, x, y, and z. And the ring is just c of x, y, z, the polynomial ring. And then this ring has various bases. And there is an important basis, which was defined by Lustig, which is the canonical basis of the ring, which is defined by using some geometric realization of c on n. So this object has been very much studied. And it's not a naive basis. So for example, this example of ss3, this canonical basis b. So in this case, it can be written explicitly, not in general, but in this case, it's possible. So we have this family of elements, which depend of x, y, and z. So it's an example. And so it's an important question to understand, to try to see proportive of constant structures of this ring with these bases. So many people have tried to understand this structure. And so the point I would like to develop is that it's possible to have some information by using the category I explained. So this is what we mean by categorification of c on n by representation of the quantum cosmology algebra. So what does it mean? So it's the following theorem. So that there is a subcategory c prime of c, which categorifies a ring, which is basis. More precisely, it means that it's possible to write an isomorphism between this ring and the complexified growth and decrease of this category c prime, which preserves a natural basis. Because here we have the basis of simple objects, as I explained. And here we have the Leustic canonical basis. So it's not only ring isomorphism, which is not very strong property. It's ring isomorphism, which preserves the basis. And of course, we have to use a complexified growth and decrease, because this is just z algebra. But here, this is c algebra. So that's just why we extend the scalar. Yeah, yes, yes. Maybe not over the integers. Not over the integers, but over the rational. Yeah, I think it works. OK. So first point I would like to mention is that c of n is associated to the finite dimensionally group. But c prime here is related to the infinite dimensionality can smooth the algebra g of final. So this isomorphism relates, and I will be more precise about this point later. But first we can notice that this property. And so one way to say it is that n is a geometric realization of this ring with its natural basis. So OK, why not? But now we can ask, why are we doing this? Is it interesting to do such a categorification? So there is an application of this that I would like to explain. And in fact, it's related to the general motivation of categorification, which so I gave an example. There are many, much more examples. But the idea is to use a category and some algebraic or geometric structures and try to exchange information between the two. And so is it possible in this case to do something? So we can use general properties of the category c. So there is a following general property, which is not true for arbitrary simple object in c. So if we consider a transfer product of n objects in this category, OK, so we can do this. S1, transfer S2, transfer S3, up to Sn, then this is simple if and only if, 2 by 2, the transfer product are simple. So this kind of property are not true in all transfer categories associated to representation theory. But in this category, it's true. And also this situation happens, because there are many cases where such transfer product are simple. So this happens. But now what we can do is to translate it in terms of the categorified object. This implies that in the canonical basis of c of n, if we take a family of elements, then the product is in the basis if 2 by 2, the product are in the basis. And so this is a statement, which was conjectured by Bernstein-Zelevinsky, and it's related to cluster algebra theory, which I've already mentioned is the talk of Maxime. And it's some people call this web property of the canonical basis. And in fact, the corollary, there is no catmoudi algebra in the corollary. In fact, there is just a finite dimensional group n. But as far as I know, the only proof has to use infinite dimensional algebra and catmoudi algebra. So I think it's another indication of the importance of going to the infinite dimensional algebra setting. Also, two proof statements, which involve purely classical theory. This is, for a general, a semi-syphilicombe d'une unipotent part of it. Yeah. Simplurisme. It is simplis. Yeah, it is simplis. We use, at some point, some statements, which are truly simplis case. OK, thank you. I will stop. Thank you. Merci de la fonctionnalité extrême. Are there questions? Can you say a few words about this subcategory C prime? Where is it exactly? So it's a category, which is defined by using some fundamental representation. So we pick up some fundamental representation in the category. And we look at the subring of the grottendic ring they generate. And we look at the monoidal category. It's not tensor. It's not stable by dual. So I wrote C prime. I think I wrote it. Maybe I did not explain. It's a monoidal subcategory. OK, so it's not stable by dual. In fact, this C prime is very small compared to the full category C. We just pick up a finite number of fundamental representation. But in this category C, there are infinitely many. So there is much more information in the category C or in the grottendic ring of C than C of n. So it means that you have simple object in C which have the same application rule as a phase C in the C of n. Yeah, yeah, yeah, yeah, yeah. This is what is isomorphism. There is control of C. You characterize C prime as a subcategory of C. Yeah, yeah, yeah, yeah. We define it as a category of object with a condition of simple constituent of Jordan Holder series. Then we prove that it's stable by tensor product. And I'm the same. The other questions? Thank you very much.