 Ok, donc je vais donner ma parole en français, si quelqu'un me dit que c'est une très mauvaise idée. Donc, Alain, je crois que tu es arrivé à Paris dans les années 80. Je ne sais plus exactement quand. J'ai... Autant de 80. Autant de 80. Alors comme t'étais notre petit frère, on t'a éduqué, on t'a appris. Je t'ai raconté tout mon répertoire de Black Belge qui était très important. Il paraît, tu te rappelles de... de souvenirs où j'ai été encore plus lourd parfois. Bon... Mais... Bon, finalement on a été vraiment très sympathiques puisque on a même donné le nom de ton nom à une rue qui menait du collège au collège. Alors tu as beaucoup travaillé avec Pierre Jules qui est... Vous avez fait de très jolies mathématiques autour de la théorie de Kasparov et de la conjecture de Baumkern et je fais un petit peu... Je vais parler de ça un peu plus tard. Vous avez aussi fait quelques petites facets-ci qui ont failli mal tourner. Voilà. Ça doit être dit, c'est censuré. Donc j'ai longtemps hésité et si mon exposé devait plutôt partager des facets-ci ou des mathématiques et finalement j'ai opté pour les mathématiques. Alors il y a juste un fait, je deviens un peu plus sérieux et en plus des très belles maths que tu as faites jusque-là et puis je suis sûr que tu vas continuer encore pendant quelques années, tu es un orateur exceptionnel et je crois qu'avec Stéphane Vas de ce matin je pense qu'on a une école belge assez incroyable et je suis un peu intimidé à faire un exposé devant des gens comme ça mais on va se lancer. Donc je vais parler de la conjecture de la cathorie à coefficient réelle et de la conjecture de Baumkern. Donc tout commence un petit peu avec localiser l'élément neutre et c'est un travail en commun avec Paolo Antonini et ce sera à Zali, tout ce qui n'est pas vraiment, voilà. Alors je vais commencer un petit peu par appeler la conjecture en deux mots la conjecture de Novikov qui dit que donc la conjecture de Novikov sur les hautes signatures, qui a plusieurs conjectures de Novikov qui dit que certains nombres de Pantry Aguines sont invariants par, je commence déjà trop vite, il y a d'abord une petite remarque c'est que si je me donne deux variétés M et N des variétés orientées et si je me donne une équivalence d'homotopie donc deux variétés orientées donc qui préserve l'orientation entre M et N alors la signature de M est la même que la signature de N donc par ce qu'on préserve l'orientation et ça se lit cette égalité, se lit via Adiax-Bourg et Adia Singer comme une égalité on a le cycle fondamental d'orientation de M et ça c'est une classe, un peu d'un nombre les classes de Pantry Aguines de M qui est égal, bon ça c'est la signature de M qui est égal à la même chose pour la variété N alors la question se pose qu'est ce qu'on peut mettre ici donc là c'est le cycle fondamental de N qu'est ce qu'on peut mettre ici au lieu de ce polinom L et en fait Novikov démontre que si M et N vont avoir le même groupe fondamental donc si M et N sont simplement connex il n'y a pas d'autre classe pas d'autre polinom, évidemment on peut multiplier le polinom par 3 ou même par 60 ou plutôt par 59 60 c'est dans 6 jours je crois donc t'es vraiment encore très jeune pas d'autre polinom en l'éplicage de Pantry Aguines qui soit invariant alors comment on peut bon on va voir comment on peut se servir du groupe fondamental et là Novikov a posé une conjecture qui était a priori en général je crois au début fait pour des groupes commutatifs plus que de groupes fondamentaux en général il a demandé si donc question de conjecture Novikov il a dit que pas seulement si c'est un que cycle de groupe donc on peut voir comme élément de comologie disons coefficient rationnelle disons réelle du groupe alors en fait F c'est l'équivalence de l'homotopie donc J va de M ah oui, gamma c'est bien de je crois que c'est l'après-midi des malades et fatigués parce que je ne suis pas non plus dans la meilleure forme rentrant juste de du Mexique donc 6i appartient donc gamma c'est le bien de M c'est le groupe fondamental de la variété si on prend l'application classifiant du fait qu'on a un revêtement de M par de groupe gamma on a une application classifiant correspondante et si alors ce que cycle de groupe va donner quelque chose aussi d'un variant on devrait avoir L de M je crois que c'est comme ça nous produit ça devrait être égal à la même chose L de N donc ici c'est gérant F étoile d'oxy donc la variance par homotopie donc on va appeler ça Novikov appelle c'est ton titre là une haute signature et il dit que ces hautes signatures sont invariantes aussi par homotopie c'est F rangé merci F va de N non F moins 1 c'est l'invariant de motopie peu importe c'est pas F moins 1 mais c'est l'inverse de motopie bon j'ai loupé mon truc j'enlève mon pull ok là ça cache mes notes ok donc c'est la conjecture de Novikov et pour le moment une autre façon de l'écrire c'est ce que je voulais dire aussi quel degré et L de M L de M c'est un degré pair c'est un polinome de tous les degrés 4k M donc je multiplie par ça donc une autre façon de dire ça on peut dire aussi que j'ai étoile là-bas de de la classe d'homologie c'est bon M est un avariant de motopie donc non seulement cette classe et non seulement un avariant de motopie dans Z mais aussi quand je la pousse dans un espace classifiant donc c'est une autre façon de le dire alors là je vais pour d'abord cette conjecture est connue maintenant pour énormément de groupes mais pas tous et il n'y a pas de contre-exemple alors je vais vous parler d'une autre conjecture qui est la conjecture de Baumkorn alors je ne vais pas penser que vous savez tous exactement tous les termes que je vais utiliser mais je vais essayer de vous donner une idée conjecture de Baumkorn c'est une qui construise un groupe qui devrait être un groupe de catégories topologiques disons de de gammas donc d'un groupe quelconque dénombrable disons dénombrable et une application qu'on appelle MU qui va de la catégorie de sa vers la catégorie de laissé et toi l'algebra réduite du groupe gamma donc ça c'est un objet purement topologique associé au groupe gamma et ça alors Stéphane vous a parlé de l'algebra de Phonoman d'un groupe qui revenait à prendre la représentation régulière de ce groupe donc le fait agir d'un petit L2 de gamma par translation à gauche ou à droite ça revient en même à gauche disons et il prenait la fermeture faible et ben là on ne prend pas la fermeture faible on prend juste la fermeture normique et c'est ça c'est toi l'algebra après il y a le phonctor de catégorie bon ça veut dire on regarde un petit peu les idées importants les idées importants de l'algebra de Matrice ou les inversibles quand il y a un cas ici et donc et la conjecture c'est que cette application je vais y revenir un peu plus tard avec un peu plus de détails dans la suite de mon exposé là c'est une introduction que je suis en train de vous faire donc la conjecture mieux éteindre les amorphices de gauche non, aucune des deux n'est la catégorie de culaine les deux c'est des catégories topologiques pour une c'est toi l'algebra les catégories aussi fines que la catégorie algébrique marchent en général pas très bien c'est vraiment il faut la catégorie bien rigide, bien topologique bon alors je vais un petit peu vous expliquer en fait pourquoi la conjecture donc la conjecture de Baumkorn elle non plus n'est pas connue il y a des contre-exemples un certain nombre de généralisations de cette conjecture qui ont été faites après et par contre on la connait pour beaucoup moins de groupes dans cette forme en fait vous verrez tout de suite qu'on n'a pas besoin de l'isomorphisme pour savoir que ça marche il suffit de l'injectivité de cette conjecture pour comprendre pourquoi ça marche pourquoi Baumkorn implique Ndikov bon je n'ai plus rien à enlever de de descendre donc à la fin et je dois dire que dans sa sens c'était un peu une démotivation au départ je crois d'Alain et de formuler un petit peu cette chose-là je ne sais pas et de Baum c'était de chercher cette catégorie c'était aussi pour l'effectage d'imaginer quelles pouvaient être cette cétoile algebre donc pourquoi Baumkorn implique Ndikov alors on était arrivés donc on disait que quelque chose était un avariant dans un chétoile de Begama Q cet achétoile de Begama Q est en fait une certaine partie dans on va l'écrire tout de suite on va changer donc cette homologie je vais changer juste de coiffition et me placer avec des coiffitions de catégorie si vous ne connaissez pas ça bon l'homologie est une homologie ordinaire elle est à support compact et ici on a une catégorie de ce même espace avec les mêmes ça c'est un isomorphisme de termes tout à fait classique qui va donner ça que l'homologie de ça est égal à une case homologie de cet espace vu comme limite indicative de la décomposition cellulaire de ce groupe gamma donc on a un isomorphisme qui est un isomorphisme de termes et donc la question se rapporte tout de suite de savoir si ici, cette classe de l'opérateur de signature de la variété M qui va vivre là-dedans est un invariant d'homotopie alors les éléments de ce truc-là c'est des opérateurs différentiels ou pseudo-différenciels elliptiques c'est ça les générateurs de cette catégorie ici pardon donc pour gamma pour gamma pour un groupe donné si on sait la conjecture de Baumkorn on sait la conjecture de Novikov alors après cette case homologie et en fait une partie de la case homologie de gamma et on sait c'est pas très difficile de voir que si je fais mu image de cet élément de l'opérateur de signature peu importe ce que c'est qui appartient cette phrase c'est star-algebra même maximal de gamma ça c'est un invariant d'homotopie et c'est dû au fait que ici la catégorie c'est la même chose que la L-théorie et bon c'est des gros mots c'est juste qu'un opérateur positif dans une sete à l'algebra admet une racine carrée c'est ça le le monclé qui est derrière donc là on a une avariance si la flèche mu est injective on lit et on voit qu'on a une avariance d'homotopie dans la sete à l'algebra étude alors dans un sens on voudrait affaiblir la conjecture de Baumkorn en ne gardant que cette partie si je veux uniquement utiliser cette conjecture de Baumkorn uniquement pour démontrer Novikov c'est assez logique d'essayer d'isoler cette partie dans la crème homologie de B.Gamma donc tu dis c'est pour ça que tu vas prendre coefficient à l'arrière et l'occurrence alors d'abord je regarde la caromologie de j'ai oublié le top non je n'ai pas oublié de Gamma ça c'est une somme sur les classes de conjugaison de Gamma de choses disons que ça se lit encore plus simplement si je regarde la même chose que ça je vais écrire c'est pas vrai tel quel c'est une somme sur la classe de conjugaison de contribution de cette classe de conjugaison je vais l'appeler H.Gamma ou Gamma est d'une classe de conjugaison c'est le plus simple pour moi c'est de le voir à l'aide de la comologie cyclique et je vois que la comologie cyclique se localise sur les classes de conjugaison de façon évidente je vais dire là qu'il n'y a pas de se localise sur les classes de conjugaison et si je regarde l'élément neutre que je vais l'appeler E ici ça c'est égal exactement à ce que je cherche caromologie de Gamma coefficient de Q donc c'est cette chose là que je voudrais un petit peu isoler il y a il y a une deuxième motivation pour ce que je vais raconter et c'est une discussion avec l'invalide que je me rappelle c'est que si on regarde la conjecture de Pamkin tel quel si j'ai un morphisme d'un groupe Gamma 1 dans un groupe Gamma 2 le membre de gauche s'envoie est functoriel en Gamma ici c'est functoriel uniquement pour des morphismes qui sont injectifs ou du moins de noyaux moyennables ce n'est pas défini toujours donc functorialité du membre de gauche donc on peut se dire que ça ne peut pas marcher parce que justement ça va si je change le groupe de droite pour le membre c'est à réduire donc si j'ai un morphisme d'un groupe si quelque chose marche bien il doit y avoir une flèche qui va de l'algebra réduite de Gamma 1 vers l'algebra réduite de Gamma 2 relâchez les coefficients ne gardez que cette partie-là et si possible avoir quelque chose de functoriel et c'est ce qu'on va essayer de faire donc maintenant je vais vous parler de c'est bon c'est bon je vais pardon oui c'est factoriste à travers cestar max par contre pour la cestar max on sait que ce n'est pas un isomorphisme parce que il y a pardon par contre c'est functoriel et déjà une réponse il y a plusieurs essais mais le manque de functorialité peut être source d'exemple mais pour la cestar max pour la réduite pardon pour la max ce qui cause le fait que ça ne marche pas c'est la propriété t donc maintenant ce qu'on va faire c'est d'abord parler d'abord de la théorie à coiffition entier et prendre la coiffition carrément réelle donc la première chose que je vais faire c'est parler de la théorie à coiffition réelle alors un outil très important il y a en fait deux outils très importants essentiellement beaucoup de résultats sur la conjecture au moins sur la conjecture de novikov probablement il y a la théorie bivariante de kasparov donc je vais dire quelques mots je ne peux pas définir ça prendrait trop de temps et puis ça vous agacerait tous et donc la première chose c'est ça le double cas c'est la théorie bivariante de kasparov et une deuxième chose c'est la comologie cyclique qui a donné aussi d'autres d'un incon qui a donné beaucoup d'invariance et donc là je vais parler de la théorie de kasparov à coiffition réelle donc d'abord kasparov définit un groupe donc on se donne deux c'estois l'algebra a et b comme la c'estois l'algebra du groupe ce sera essentiellement celle qui m'intéressera le plus on se donne deux c'estois l'algebra a et b et kasparov définit un groupe de caca de a b qui essentiellement classe les extensions du type bon je ne m'expris pas les couleurs toutes les trucs qu'il faudrait mettre donc une extension de a par b de ce style donc pour bien faire ça c'est plutôt un élément de caca 1 pas de caca 0 quand j'écris comme ça il faudrait mettre aussi les compacts parce que b peut avoir une unité quand il y a une unité dans ce cas-là c'est vraiment d'extension de nos triviales et voilà mais en gros c'est un groupe qui classe ces extensions-là alors comment définir une catéorie un coefficient réel qu'est-ce qu'il y a quel est l'objet qui a une catéorie dont une catéorie égale a a b c'est un facteur de type de 1 dont a parlé Stéphane donc on a dans notre boîte à outils les facteurs de type de 1 donc c'est les algebes de phonomane qui sont des facteurs c'est-à-dire le centre est trivial donc algebes de phonomane ça veut dire égale a son bicomutant donc c'est une sous-algebes de LH égale a son bicomutant le centre est trivial et de type de 1 c'est-à-dire qu'il y a une trace d'extension de ce type je classe des extensions l'idéal c'est b quelque chose qui est relié à b et le quotient c'est quelque chose qui est relié à a la caca théorie le groupe de Kestparov kk2ab classifie à quelque chose près ce type d'extension et c'est pas exactement la vraie vérité que je vous donne eux c'est une cetroie à l'algebre donc c'est des extensions de cetroie à l'algebre bêthonska au moins pour que ça ait un sens raisonnable. Et puis, ça, c'est KK1. Il faut tant s'oriser par exemple par ces 0 de R, un des deux membres, pour que ce soit le bon. Voilà, c'est des extensions. Mais j'ai pas envie de rentrer dans ces détails-là. Donc, un facteur de type 2-1, donc c'est un facteur. Donc, c'est une algèbre de phonomane qui est un facteur, c'est-à-dire centre trivial. Il a une trace qui est nécessairement unique. Sinon, on aurait des choses dans le centre. Alors, quel facteur choisir ? Donc, Stéphane nous a parlé du facteur le plus petit, le facteur hyper fini de type 2-1. On pourrait prendre ce facteur, mais comme il y a beaucoup de choses qui sont non-moyenables dans l'histoire, on voudrait pas, je veux dire, la conjecture de Bamconne, elle est connue tel quel pour les groupes moyennables. Bon, alors, on va prendre quelque chose de non-moyenable, quelque chose qui représente... Alors, qu'est-ce que choisir ? Et bien, en fait, on ne choisit pas et on prend une limite inductive. Donc, une limite inductive, donc on définit KKR, voilà, de A et de B, égale limite inductive. Donc, M, je le prends une chose algèbre dans L2H avec H séparable. Donc, ça, je fixe mon L2H. Alors, les inclusions, c'est l'émorphisme, mais il faut voir une chose, c'est que parce qu'il y a des constructions de type produit libre, produit libre à mal gammé de ces algèbres de phonomane, ça fait que si j'ai deux morphismes, ils définissent la même flèche en KKR théorie, parce que je peux les rendre unitaires, en poussant un peu plus loin. Donc, ça ne dépend pas vraiment des flèches que je vais choisir entre les algèbres de phonomane et même. Parce que si je prends, donc, si je prends M, un élément qui vit dans M1 et un autre qui vit dans M2, je peux faire le produit libre, par exemple, ou le produit de nosoriel, et main produit libre avec M2 dans lequel les deux s'envoient. Donc, même M1 pourrait ne pas être un facteur et M2 ne pourrait ne pas être un facteur, et je vais obtenir un groupe libre. Donc, une autre façon de le dire, c'est au lieu de prendre un facteur de type 2.1, je prends une c'est-ce que l'algèbre s'est parable avec une trace. Ça va être la même chose, parce que il y a cette construction de produit libre, donc l'algèbre avec la trace, je la plonge dans une algèbre de type 2.1, je prends un produit libre, hop, ça devient facteur, je n'ai même pas besoin de réfléchir. Et la deuxième chose, c'est que si j'ai deux morphismes de M1 dans M2, je peux faire le produit libre malgré M2 avec M2 au-dessus de M1, et j'aurai la même, ça devient intérieur quand je vais plus loin. Ce qui fait que, à cause de ça, c'est plutôt un HNN, une construction HNN, et ça ne dépend pas de morphisme. Donc, tout ce que je dis, c'est qu'il y a toujours moyen d'en faire un objet inductif. Alors, on n'a pas écrit tout ça, parce qu'il y a beaucoup de choses embêtantes et longues à écrire, mais c'est des idées qui sont très simples à mettre en avant. Donc... Excuse-moi, parce que, pour au niveau de l'injectivité, en général, il te suffirait d'avoir l'injectivité pour un facteur d'équipeur. Il me suffirait l'injectivité pour... Je sais que ça va persister si tu continues... Je ne sais pas. Donc, a priori, tu as faiblis, en tout moment, la colonie? Oui, voilà, je fais faibli, si j'ai... Bon. Tu as faibli, mais je suis enjectif. Pas tout à fait, parce que, si je sais, la conjecteur de Baumkorn a coefficient pour tout le monde, en particulier, je le sais, pour les facteurs. Il se pourrait que ça soit vrai pour un certain facteur bien choisi au Gamma, par exemple, la cestale... Oui, si je veux l'injectivité juste, oui. C'est ça que je veux dire. Pour un certain, bon, je ne sais pas si... Oui? Oui? Non, mais bien sûr. Mais c'est peut-être pas un facteur, donc il faut réfléchir un peu plus. Bon, je pourrais prendre... Non, si c'est pas un facteur, c'est pas vrai. C'est pas vrai, je prends Gamma X, Gamma X et Z, c'est plus un facteur. Bon, je peux effectivement rendre un facteur, probablement sans perdre trop de... Sans avoir à faire un vrai produit libre. Non, non. Ce qui a été dit, c'est qu'il y a un facteur unique, le plus petit, un facteur 2-1, qui est contenu à tout le monde, qui est un facteur hyperfanté. Ah, ok. C'est un facteur unique. Et donc, le limiter est sur tout... 2-1 facteurs. Tout 2-1 facteurs? Contained in the given Hilbert space, a separate Hilbert space, LH. Oui, je suis d'accord. Bon, maintenant, deuxième chose. Alors, par contre, on définit comme ça un élément donc, on définit comme ça, R2AB. Alors, on a, dans cet algèbre, on a encore le produit de Kasparov, qui est défini, c'est-à-dire que si je me donne un élément, donc, je vais l'écrire dans la grande généralité. Oui, donc si j'ai un élément un peu plus général avec un CD un élément X2 qui appartient à 2D dans B2. On peut faire le produit en simplifiant par l'être D du milieu. On va obtenir ce que Kasparov appelle X1DX2 qui appartient à 4A1 dans A2 bien dans B2. C'est pas une composition comme dans les X? C'est un tout petit peu plus... c'est un X0 donc il y aurait une sorte de produit de composition directement mais je ne peux pas rentrer là-dedans. Effectivement, il y a une périodicité de bot qui fait que ça pourrait monter mais ça ne montre jamais. Donc, on définit il y a un produit de Kasparov. Il y a une deuxième chose qui est que si je fais le produit de Kasparov si D est égal à C c'est commutatif. Donc, on prend... un par X2 ou 2X2 par X1 je trouve la même chose et ça, c'est important. Et puis et puis et puis... Pour quartier, B1 et A2 brossées c'est vraiment un produit de composition. Voilà. La première chose qu'on fait c'est qu'on commence par tensoriser ça par A2 et ça par B1 et là, ça devient le produit sur la même algène. Donc, c'est important de le donner dans cette généralité. Si D est égal à C, le produit X1 composé avec X2 est égal. Modulo, le change des 2 ça c'est... Alors, il y a une troisième chose j'espère que je regarde mes notes pour éviter d'oublier des choses. La deuxième chose que... la dernière chose que je voudrais dire c'est qu'il y a encore dans une bien plus grande généralité on peut encore définir Resparov définit aussi la cacaterie Q variant par rapport à A et B en disant que cette extension est plus ou moins Q variant c'est pas exactement le cas ici, c'est un peu plus compliqué mais l'idée c'est ça par rapport à l'action de groupe gamma A et B c'est désagible dans lequel gamma opère et on définit caca gamma à coefficient réelle de AB c'est comme une limite comment M est un facteur de type 2A de caca gamma de A B dans M et il y a des opérateurs ici gamma agit soit trivialement soit intérieurement et donc il peut agir de façon quelconque puisque je sais le rendre intérieur gamma est discret ici gamma est discret ici on peut faire la même chose avec un groupe qui n'est pas discret on sait le faire avec des groupes quantiques on sait faire beaucoup plus général des groupes OID mais je vais rester dans le cas de discret donc on définit cette chose-là et il y a pardonnez-moi pour juste une seconde il y a aussi ce qu'on appelle la descente de Kasparov qui va aller de caca gamma R de AB dans caca R des produits croisés donc ça je le dis pour pour vous pour ceux qui savent pour les autres pardonnez-moi c'est juste que vous dire qu'il y a des opérations qui sont dedans alors une première remarque c'est que remarque caca gamma R de CC donc et un anneau de base commutatif au-dessus duquel tous les produits se font donc c'est les produits sont donc un anneau commutatif et qui c'est-à-dire R-algebra commutatif au-dessus de laquelle tous les produits sont linéaires c'est un invariant de gamma et si en particulier dans ce truc-là c'est pour ça que c'est une R-algebra si je prends la représentation triviale de gamma ça s'envoie donc caca ça s'envoie caca R de CC qui est égal à R donc c'est la rhétorie des facteurs et on a vu que c'était R opère aussi c'est pour ça que c'est des R-espace vectoriels donc c'est des morphismes de R-espace vectoriel tout ça c'est une R-algebra la multiplication scalaire c'est ça ça c'est R et la multiplication de scalaire c'est un bimodule qui va être de dimension R de dimension lambda d'importe quel groupe de discret d'importe quel groupe dénombrable on peut aller plus loin mais pour que ce soit commutatif c'est un vrai groupe c'est pas un groupe quantique ou quelque chose comme ça bon je vais alors il y a un élément fondamental donc la première chose c'était de relâcher le fait qu'on était sur Z et aller sur quelque chose où on tue la torsion dans la catéorie bon ça c'est peut-être un peu lourd effectivement parce que pourquoi tu t'arrêtes pas alors il y a une algebra qui est à la catéorie de Q qui est ce qu'on appelle un algebra F et par contre elle va pas être bien reliée à mon groupe gamma alors que les facteurs de type 1 c'est bien relié à mon groupe gamma donc alors voilà donc une c'est un petit peu ce que voulait Alain avant c'était que si donc si gamma puisque gamma est un groupe sur le groupe gamma donc je veux me localiser à l'élément neutre du groupe d'une façon ou d'une autre donc sur le groupe gamma j'ai ce qu'on appelle la trace du groupe donc les éléments bâchires à parler de traces un peu plus sympathiques qui est la trace du groupe donc si je prends formellement un élément de l'algebra et d'une c'est pas si formel que ça c'est un élément de la forme de l'alpha G donc je lui associe ce qui se passe à l'élément neutre donc ça c'est vrai que c'est à l'air de localiser à l'élément neutre et donc on se dit ça bon ça devrait peut-être nous aider alors ça je veux le voir comme une application de cesta réduite de gamma dans l'algebra de phonemande de gamma qui est en gros un facteur de type de 1 quitte à faire un produit libre avec ce qu'il faut ou quitte à le plonger dans un facteur de type de 1 attention ici il n'y a pas une nécessité de la trace peut-être donc il faut préserver cette trace dans un facteur de type de 1 peu importe la façon mais à condition que la trace qui est unique ici correspond à la trace que j'ai sur cet élément sur ce groupe donc pour beaucoup de groupes il y a une nécessité de la trace mais ça c'est ce qu'on appelle la propriété de powers mais c'est pas alors bon maintenant j'ai construit mon élément fondamental cet élément taux je vais un tout petit peu le regarder un peu plus et je vais dire que si je me donne de traces alpha et beta qui appartiennent donc taux me définit pardon taux me définit un élément donc ici il y a le facteur de type de 1 qui est là et taux me définit bien un élément cette inclusion là de cette étroite réduite de r dont m qui est un élément de cette catégorie donc en fait je vais essentiellement localiser relativement à cet élément mais d'abord remarquons que si je prends alpha et beta de cette star réduite de gamma ou de cette star de gamma dans ces deux traces je peux définir ça va me donner des éléments de quelques gammas de cc coefficient orale donc je peux calculer le produit alpha dans ce beta c'est l'élément ça correspond à la trace qui est donnée par alpha dans ce beta disons de l'élément g du goût c'est alpha de g, beta de g de ce point de vue la trace taux absorbe toutes les traces puisque c'est on regarde que voilà donc on regarde ce qui se passe à l'élément autre et bien on multiplie et tout part tout ailleurs on trouve 0 je promis là c'est celui qui est dans l'algebra gamma c'est ça oui là c'est le produit qui correspond à ça et ça correspond à une trace alpha et beta finissent des éléments de ce gamma et c'est donc le produit dans cet algeable commutatif et ça correspond vraiment au produit ponctuel des éléments de valeur des fonctions sur les éléments du groupe c'est très facile à voir voilà et en particulier taux est un idée potent taux taux taux donc maintenant on va localiser les éléments de la conjecture de BAMKON sur cet élément taux et c'est ça qui va donner la conjecture localisée sur cet élément alors taux c'est la fonction qui vaut la trace qui vaut 1 à l'unité et 0 par tout ailleurs voilà ça correspond exactement à la représentation régulière on l'a vu là c'est le flangement là et les autres correspondent les représentations et on sait que la représentation régulière absorbe toutes les autres représentations et c'est ça bon on n'en a pas besoin parce que je vais pas donner d'autres traces dans l'histoire voilà donc donc je vais dire un tout petit peu montrer un tout petit peu plus dans les détails dans ce peut-être pas beaucoup il me reste 10 minutes c'est ça oui donc je vais pas dire beaucoup plus de détails on a un élément on fait Crestatop de Gamma ça c'est une limite inductive de choses qui sont des éléments de cacatéorie donc ça a un sens de faire taux au pair ça c'est un c'est un module je vais le dire un peu plus propre c'est un module sur R est un module poussé dans R est un module sur Gamma donc taux au pair donc c'est le membre de gauche je peux agir à gauche pas je suppose que tu peux écrire en roman mais je je suppose que ça revient à regarder des actions qui sont pas libres donc on va y arriver donc il y a la partie taux de ça et puis le membre de droite il y a une action donc gigama de taux défini un élément de cestar réduit de Gamma disons allez même de cestar réduit de Gamma cestar de Gamma je mets la réduit et c'est grâce au fait que je peux ne pas mettre la réduit ici que ça va être fonctionnel et je dis plus un mot là dessus et donc ça définit grâce à ça ça au pair ça me distingue pas en fait la régulière de la max c'est pour ça que voilà qui te plaît donc à cause du fait que taux est la régulière et que la régulière absorbe tous les autres en fait c'est un élément de cestar réduit de Gamma cestar de Gamma mais on oublie tout de suite voilà qu'est ce que je voulais dire donc on peut localiser le morphisme équivalent équivalent par rapport à l'action de cestar de Gamma donc on peut localiser et donc ça nous donne une conjecture de membre de cestar qui va de cestar top de Gamma localisé par taux que multiplie taux à gauche ou à droite dans la catéorie de cestar réduit de Gamma là il faut agir de mon côté à droite pour taux donc la conjecture localisée c'est que ça c'est un mesomorphisme alors moi je me risque en moins de risque je dis que la conjecture se localise donc si la conjecture est vraie elle se localise bien et ça donne un isomar c'est localisé à la place archimédiaire parce qu'on va localiser moi aussi la localiser et à l'élément à l'élément de... non l'élément neutre c'est parce que je pense non vicreux alors maintenant effectivement comme disait Alain on va calculer ce membre là ça qu'est-ce que c'est que cestar top de Gamma comme on a vu on avait une chaomologie de B Gamma qui s'envoie dans cestar top de Gamma qui correspondait à la flèche qui était injective rationnellement excusez-moi, je ne dis pas où arrive ta flèche parce que j'en veux pas lire la conjecture localisée oui donc c'est la catéorie de cestar réduite de Gamma localisé donc je dois prendre la coefficient réelle donc il faut prendre réelle et prendre le produit partout c'est G Gamma de top en fait G Gamma de top est un projecteur donc ça projette sur cette partie-là qui ne regarde que l'élément neutre alors ce que je dis effectivement c'est que d'abord il est très facile de voir que si je prends un étoile de B Gamma disons coefficient réelle de B Gamma top c'est agi comme l'identité là dessus parce qu'il y a plus de là on regarde que des actions libres et il n'y a pas de oui c'est ça donc top agi comme l'identité et maintenant je voudrais comprendre que alors qu'est ce que c'est que qu'un étoile top de Gamma donc je vais dire maintenant dans les 3 dernières minutes que me reste un peu plus sur ça les générateurs de ça c'est une variété disons M Tild sur laquelle Gamma opère librement une variété n'est-ce pas M Tild peu importe lequel Gamma opère de façon propre mais pas libre proprely disconnected donc tout va bien l'action est propre mais c'est pas libre et on se donne un élément de chaomologie, un opérateur de signature Gamma invariant sur cette variété donc Gamma opère de façon propre et je voudrais aller de castartop quand je t'ensorise partout par quelque chose je voudrais aller dans la homologie qui est de Be Gamma et en fait pour ça il suffit d'avoir un espace X il suffit d'avoir un espace X compact sur lequel Gamma agit librement agit librement avec mesure finie invariante alors qu'est ce qui va se passer je prends cet espace je prends M Tild 3 Gamma 3 X l'action la dessus devient libre elle est propre et elle est libre et je tue l'espace X à l'aide de la mesure invariante et la flèche donc j'en déduis en fait que ça c'est aussi égal donc le manque de gauche c'est essentiellement la chaomologie de Be Gamma et donc c'est raisonnable si on veut démontrer uniquement la conjecture de Novikov c'est raisonnable de se dire que ça suffit pour démontrer que la conjecture de Novikov juste 2 remarques donc cette façon de faire permet de gommer la différence entre l'algebra réduite et l'algebra max c'est fonctionnel et puis on se dit que si on prend le groupe le monstre terrorisé tout à l'heure Goulnara de Grumov si on prend ce monstre on se dit que c'est une limite inductive de groupe hyperbolique pour lesquels on connaît la conjecture de Baumkorn pour la cesta réduite pour chacun des trucs mais par ailleurs c'est fonctoriel manque de bol il y a encore un contre-exemple pour la catéorie et la raison c'est que notre groupe ne commute pas bien avec les limites inductives et justement parce qu'on a pris trop de bah si donc les limites inductives non injectives donc si c'est des limites inductives injectives il n'y a aucun problème il n'y a pas voulu pour le moment parce que par ailleurs on sait que c'est un contre-exemple c'est-à-dire que le projecteur qu'on construit avec Vincent et Vincent Laforgue continue à exister dans cette catéorie et donc c'est un contre-exemple à la conjecture archo-efficient pas cette conjecture telle quelle bon qu'est-ce qu'il y a les questions c'est le 3Z ou est-ce qu'il c'est le 3Z on sait la conjecture de Novikov c'est pas encore la conjecture de Bangkorn sans coefficient on sait que c'est faux pour le Cesta Max la conjecture de Novikov on la connaît essentiellement pour tous les groupes de l'univers ou plus ou moins dans n'importe quel corps plein d'autres exemples de groupes on la connaît pour beaucoup de cas mais on la connaît pour le monstre de Grumhoff parce que je voulais dire c'est-à-dire que quand tu prends Gamal égaliser le 3Z dans l'adorn je ne sais pas démontrer que c'est un fils mais la conjecture localisée je ne sais pas l'injectivité pas sans problème pour la localiser aussi quelle est la vraie relation entre la conjecture classique et celle localisée alors la conjecture classique a coefficient dans tout facteur de type 1 implique la localisée et inversement j'espère que non Pierre c'est la question de Pierre dans la vraie théorique à Sparrow il y a déjà un ligue important qu'est-ce qu'il devient dans cette théorie la question est-ce que ce Gamal devient égal à 1 une fois qu'on le multiplie par la trace bonne question c'est-à-dire est-ce que tu peux utiliser le co-produit le co-produit de le co-produit de dommager du groupe oui mais on l'utilise à fond quand tu prends KK Gamma tu peux l'écrire sans Gamma l'aide du co-produit il est partout le co-produit c'est une autre façon d'écrire le KK Gamma de AB est-ce que tu peux utiliser le facteur je l'ai utilisé pour définir l'élément trace c'est la façon de l'utiliser il apparaît d'autant comme coefficient spécial effectivement c'est celui-là maintenant si Gamma il y a un élément Gamma et que Gamma est égal à 1 quelque part il va être égal à 1 sur un autre facteur aussi donc de ce point de vue au moins s'il y a un élément Gamma le fait que Gamma soit égal à 1 comme élément de KK Théorie c'est très peu probable c'est vraiment comme morphisme de KK Théorie et là ça ne va pas passer après merci encore