 Muchas gracias. Todo esto justo es analiz, analiz y metodología en grupo. Hoy hablamos de amenazidad. Amenazidad es una propiedad muy importante para grupos, para grupos que tienen definición de amenazidad. Un grupo gama que dice amenazad, existe una amenazad de propiedad que se dibunda para todos. Esto es muy importante para todos sus conjuntos. Un grupo gama, con tres propiedades, es una mezcla fundamenta actual, entonces mezcla de unión de dos subcocuntos de gama A y B. Es la soma, es la medad. Esto es para cualquier parte de sus conjuntos. Los conjuntos hacen que son sus conjuntos diferentes. Segunda propiedad es la normalización. La medad para todo grupo es uno. La propiedad que es más importante es que esta medad es un variante para la pasión a la izquierda. Entonces, un grupo gama A es igual también de su conjunto A para todo el conjunto A. Gama A es para todo elemento en nuestro grupo. Si gama un grupo bonito, esta medidad es el cardinal de su conjunto A sobre el cardinal del grupo Gama. Entonces, esto es interesante para grupos gama A. Después vemos que una medidad, un grupo es amenable. Si, solo si. Un grupo generado por un conjunto bonito es amenable. Entonces, esta definición es interesante para grupos numerados. Existen grupos amenables de grupos que no son amenables. El primer ejemplo que vemos es un ejemplo de un grupo que no es amenable. Un grupo libre es F2. La definición de cual es la definición de un grupo libre es F2. El segundo grupo sobre todo, le teras A y F. La definición en dos le teras S y D. ¿Possible? Si. Si no existen en esta palabra, palabras A, inversa A, inversa A, inversa B, inversa T. Un grupo libre es F2. Un conjunto es un conjunto de palabras que nos sigles en le teras A, B, inversa A, inversa B. La definición de dos palabras, por ejemplo A, inversa B, B. Podemos escribir dos palabras conjuntas. Después hacemos la definición. Entonces, es A, inversa T, T, A, es A, A. Bien. Una palabra gracia es un elemento neutral en este grupo. La composición es un elemento neutral, porque este grupo F2 no es amenable. Porque este grupo no es amenable. Demostración. F2 existe una composición paradójica, que es la composición paradójica. Podemos definir sus conjuntos de F2, A menos, B más, B menos. A más son palabras, palabras que empiezan con A menos son palabras que empiezan con inversa A. A más palabras que empiezan con B menos palabras que empiezan con inversa B. Entonces, F2, elementos en F2 son elementos en A más, elementos A menos, elementos A más y elementos B menos. Y elemento neutral, E. Estos son sus conjuntos disjuntos. Bien. Hablamos de palabras en esto. Junto junto a más, con la transición a izquierda por inversa de A. ¿Qué son elementos en esto conjunto? Elementos en A más empiezan con A. Entonces, es una reducción con inversa de A. Después, A, que letras son, es posible que es la letra A, es letra B, inversa de B. No es posible que es inversa de A. Palabras son visibles. Entonces, son todos palabras sin palabras que son en A menos. Entonces, la reunión con A menos es todo F2. Y también, F2 podemos escribir como A B más, la transición a izquierda con inversa de B. La reunión con B menos. Bien. Eso es la decomposición paradójica. Esto grupo es la reunión de subconjuntos, con traslados de estos subconjuntos. Tenemos dos copias. Si una decomposición paradójica existe, un grupo no es amenable. Supongamos que medida mu existe. Entonces, de F2 es 1. Medidad es pintamente aditiva. Entonces, eso es, con esta propiedad es la medida de A más. Medidad A menos, medida de B más y medida de A menos. Es fácil ver que la medida para cualquier elemento de grupo infinito es 0. La propiedad 3 dice que esta medida es invariante para transacciones. Entonces, eso es igual a inversa A más. Eso es igual a inversa de B más. Con esta propiedad, eso es la medida F2. Eso es la medida F2. Entonces, todo es igual. Eso es absoluto. F2 es un ejemplo grupo que no es amenable. Es un ejemplo muy importante. La motivación para esta disminución de Von Neumann es una decomposición paradójica de la esfera S2. Eso es una termina de van Tarski. Es un análogo de esta decomposición paradójica para F2. Entonces, existan 8 subconjuntos de S2 a 1, a 2, a 4, de 1, de 4. Subconjuntos disjuntos. S2 es la unión de estos subconjuntos. Y existen también rotaciones, elementos de 8 rotaciones. 1, 4, h1, h4, rotaciones, elementos. 3, con la propiedad que S2 es la unión de rotaciones de 4 subconjuntos a 1, a 4, con f1, a 4. Y también rotaciones de subconjuntos b con h1, h1, h4. Eso es una problema para miércoles. Demostrar existencia de esta decomposición paradójica. Se puede utilizar la decomposición paradójica de F2. Y también F2 es un subgrupo. Eso es 3. Bien, la decomposición paradójica es muy importante en esta teoría. Se puede demostrar que un grupo no es amenable si y solo si existe una decomposición paradójica, un número finito de subconjuntos. Para F2 existe una decomposición paradójica con 4 subconjuntos. En general no se puede hacer solo con 4 subconjuntos. Hablamos de un ejemplo de grupo amenable, infinito. Z es un grupo amenable. Z es amenable. Bien, pienso que la primera idea es definir esta medad como el línite, el cardinal de subconjuntos, el cardinal de elementos de subconjuntos en este intervalo sobre el cardinal de estos subconjuntos, 2n más 1. Este línite existe, es fácil ver 3 propiedades. El problema es que este línite no existe en general. Podemos para definir este línite, podemos utilizar ultraciptos, pero es lo mismo demostrar que Z es amenable. Entonces, como se puede demostrar que Z es amenable, vamos a definir un funcional que se llama también MU, esto es funcional, es fácil el infinito Z. Bien, después la definición de la medida es que podemos aplicar este funcional a la función característica de este subconjunto, este subconjunto A. Si MU es funcional, la medida MU es finalmente aditiva para la propiedad 2, que la medida de todo grupo gama es 1, debemos definir funciones constantes como esta función. Bien, la propiedad 3, invariancia de esta medida, hablamos de una función en el espacio, una transición de esta función que es FM, es una transición de la función, entonces Z es un espacio generado por estas funciones, entonces H es, hablamos de todos finitos FM traslado, entonces la propiedad 3 en H, 0 para todo elemento en esto es espacio H, entonces 1 implica la propiedad 2, 2 estrellas implica la propiedad 3, entonces para existencia de una medida al grupo Z, la definición de este funcional MU es para funciones constantes que es el valor de esta función, para funciones en este espacio H es Z. Bien, gracias, gracias al teorema de Han. Podemos extender MU para todo el infinito de Z, para aplicar este teorema se debe demostrar que sobre este espacio, sobre esta función constantes y funciones H, la norma de este funcional es menos o igual a 1, es igual a 1, sobre este espacio es igual a 1. Bien, y eso es esta condición equivalente a la condición que para todo H en H, para una función en este espacio H, el infinito de esta función es menos o igual a 0, esto es un ejercicio. Entonces el grupo Z es amenable, pienso que es interesante, es una aplicación muy espectacular de esta teorema de Han, que existe una medida definida para todos sus conjuntos Z, que es un variante para transacciones. Bien, si pensamos a esta demostración, se puede pensar que funcione para todo grupo, que Z es un grupo, Gama, todo, son transacciones, bien, donde es la problema, el problema es solo al final de esta demostración, demostrar que para todo H en H, el infinito de H es menos o igual a Z. Se puede pensar que eso es verdad en general, que hacemos la diferencia de una función de su transacción y también la suma, no es una función, esta diferencia debe ser positiva y negativa. Nosotros sabemos que grupos infinitos en general puede ser paradójicos, una problema dos para miércoles es la construcción de una función H para grupo F2, que eso no es verdad, entonces para problema para miércoles, para grupo F2 existe H en H con la propiedad que H es igual a 1 para todo el programa en K. Bien, entonces para F2 existe, si funciona, existe H en H con la propiedad que esta función es igual a 1 para todo el elemento. Bien, eso es un ejercicio, gracias. Eso es verdad para Z y también para todo grupo abeliano. Entonces nota grupos abelianos abelianos son amenables. Sabemos que existe una composición paradójica para F2, pero no existe para S1, para C. ¿Por qué? S, S2, rotaciones círculo, eso es un grupo abeliano. Esta demostración sabemos que todos grupos abelianos son amenables, entonces S2 es amenable, la composición paradójica por S2 no existe. No es posible describir esta medida para S, S1, para el círculo, pero sabemos que existe. Bien, grupos abelianos son primeros ejemplos, grupos amenables con la demostración. Sabemos que F2 no es amenable con la demostración, con la existencia de la composición paradójica. Sabemos que para todo grupo gama si F2 es un subgrupo, este grupo F, entonces existe la decomposición paradójica gama. Entonces gama no es amenable, no es amenable. Una pregunta natural interesante, un grupo gama que no es amenable contiene F2. Eso es no un verdad, entonces no existe esta indicación. Es un teorema de años ochenta. Por ejemplo, un grupo de Versailles de F2. ¿Qué es este grupo? Es un grupo generado con dos generadores, A y B, definido por relaciones que toda parabla en A y B a la potencia, a esta potencia es un elemento privado, es identidad en este grupo. Este grupo no contiene F2, es una teorema difícil, este grupo no es amenable. La demostración de este grupo es infinito, tiene más 300 páginas. Esos grupos, se puede definir este grupo para todo número, es un grupo que todos elementos a la potencia N definicen identidad en este grupo. Son grupos muy interesantes. Este grupo es finito por N igual a 2, esto es así, para 3, es un ejercicio, también es finito para 4 y 6, pero son teoremas. Para otros N no se sabe, por ejemplo, no se sabe para N igual a 5, 7 y también finito. Bien, entonces no se sabe cuáles son grupos amenables, cuáles son grupos no son amenables. Para esta teoría una teorema de años 50, una teorema Feller es muy importante, hablamos de grupos numerables, sea gama un grupo un grupo numerable sabemos que un grupo amenable si, solo si, todo su grupo numerable es amenable. La teorema Feller es gama amenable, es amenable, si, solo si, existe una subcesión, existe una subcesión AN subconjuntos finitos de gama con la propiedad que subconjuntos AN son diferentes que subconjuntos AN la diferencia simétrica con AN traslado por cualquier elemento gama eso es para todo gama en gama la diferencia simétrica son elementos reunión sin intervención en la reunión bien sobre el cardinal de subconjuntos AN que es límite bien, por ejemplo se gama Z esta subcesión de subconjuntos AN puede ser 1, 2 en AN es esta diferencia simétrica es una constante el cardinal de AN es SN entonces con la teorema de Feller la demostración que Z es amenable es trivial y también amenables se conocen en años 50 la demostración que son amenables es muy es muy fácil se puede pensar con esta teorema de Feller la teoría de grupos amenables es fiel pero esto no es verdad vemos en este curso vemos ejemplos grupos que no se puede demostrar la amenabilidad con no sabemos como demostrar la amenabilidad con esta teorema bien eso ejemplos de grupos amenables que es más fácil ver con esta definición definición un grupo generado ese subconjunto finito es un grupo es un grupo de crecimiento exponencial si la función de AN que es la escartinal de SN en potencia N crece más lentamente bien la posición se agama un grupo generado por un subconjunto ese un grupo un grupo de crecimiento para este grupo existe una sucesión NM tal que ese a la potencia NM es una sucesión de ferné que como como sucesión AM podemos prender ese a la potencia NM la demostración es fácil supongamos que esta sucesión no existe entonces existe una constancia tal que ese a la potencia N y 1 la cardinalidad de la diferencia con SN en la potencia N es más es constante el card cardinal de SN en la potencia N entonces la cardinalidad de SN en la potencia N eso es la cardinalidad de esto y la cardinal es en la potencia N es más y esta contra la potencia N N o N y 1 entonces esta función es una función de crecimiento exponencial la demostración que existe una sucesión entonces grupos estos grupos son amenables es una problema interesante abierta se es a la potencia N esta esta sucesión para todo N es una sucesión sucesión muchas gracias