 Donc, cet dernier cours, on va parler un petit peu du Model Deasing en Dimension 2. Donc, c'est peut-être la cinquième partie, peut-être que je suis comme ça. Donc, et mon but essentiellement, c'est de vous montrer ou de vous donner une bonne idée d'une preuve d'un résultat de la variance conforme. Donc, en Dimension 2, on sait dire beaucoup de choses sur le Model Deasing au point critique et en particulier, on sait montrer qu'il est invariant conforme. Il y a beaucoup de façons d'être invariant conforme. Je vous avais mentionné dans le premier cours, enfin, il y a beaucoup de façons d'énoncer ce théorème qui sont plus ou moins fortes. Tout simplement parce que, en gros, toutes les quantités d'intérêt du Model Deasing au point critique en Dimension 2 sont invariantes conformes. Donc, il faut juste en choisir une et dire quelque chose dessus. Donc, là, ce que je ferai aujourd'hui, c'est que je vais vous parler de la plus simple des quantités, enfin, ce n'est pas une quantité très simple, mais c'est pour laquelle c'est le plus simple de montrer qu'elle est invariante conforme. En fait, on peut montrer beaucoup plus. Je vous avais en particulier énoncé dans le premier cours de la variance conforme de corrélation entre les spins. Ça, c'est beaucoup plus dur à obtenir. Donc, on ne va pas vous montrer. On ne va pas montrer ça aujourd'hui. Alors, la première observation, peut-être, c'est... J'aimerais donner un peu de contexte au théorème avant de l'énoncer. La première chose, c'est quand je regarde le courant aléatoire. Donc, ici, on prenons n, un courant aléatoire. Et si je ne regarde que l'ensemble omega, omega, ça va être quoi ? Ça va être l'ensemble des arrêtes E. Donc, je vois ça comme un sous-ensemble des arrêtes du graph. L'ensemble des arrêtes de mon graph, tel que ne est un pair. Donc, courant aléatoire. Donc, ce que j'entends, c'est que n, je le prends avec la loi P, donc ensemble vignes Gbeta. Rappelez-vous, ça veut dire que je prends sur le graph G, les courants sur le graph G, sans source, et que la probabilité d'un courant est proportionnelle au poids Wbeta de n qu'on avait introduit dans les cours précédents. Si je prends n qui est comme ça, quelle va être la distribution de omega ? En fait, c'est assez facile de voir que si je ne m'intéresse qu'eux à la parité de mon ensemble, ici, pour obtenir n, pour obtenir les courants avec vraiment chaque valeur des arrêtes, je devais écrire exponentiel de... J'ai écrivé exponentiel de beta sigma x sigma y, comme la somme sur n xy égale 0 à l'infini de beta sigma x sigma y, sur la puissance n de xy sur n de xy factorial. J'utilise cette expansion pour la fonction de partition. Si je ne m'intéresse qu'eux à avoir paire ou impère, ici, ça revient à écrire exponentiel de beta sigma x sigma y, comme en fait le coche de beta plus le singe de beta fois sigma x sigma y. J'aurais aussi pu choisir cette expansion. Ça, c'est bien égal à ça puisque sigma x sigma y vaut soit 1 soit moins 1. Et si je fais exactement la même expansion avec ça, je vais obtenir cette fois une décomposition, une somme sur cette fois les... Si vous voulez, ce serait comme des courants qui pourraient avoir que valeur 0 ou 1. Donc je peux voir ça comme des sous-graphes ou comme une percolation. Donc les arrêtes qui sont impères, elles vont contribuer sinus hyperbolic de beta et les arrêtes qui sont pères cosinus hyperbolic de beta. Du coup, quand je fais cette expansion-là, je vais obtenir que la fonction de partition sur le grave G à température beta, la fonction de partition et puis je vais même ajouter un ensemble A qui est un sous-ensemble des sommets de mon grave. Je vous rappelle ça. C'est la somme sur toutes les configurations sigma du produit de sigma x pour x appartenant à A fois exponentiel de moins beta fallu à militonien. Ça, c'était la définition. Si j'utilise cette décomposition au lieu de celle-là et que je fais exactement les mêmes étapes qu'avant, je vais obtenir que ça, en fait, c'est le cosinus hyperbolic à la puissance, le nombre d'arrêtes dans mon graphe. Je vais factoriser par ça. Et je vais obtenir une somme sur des certains sous-graphes de tangents hyperboliques de beta à la puissance, le nombre d'arrêtes dans mon sous-graphe. Omega étant un sous-ensemble de G. Maintenant, exactement comme pour le courant aléatoire, il va y avoir une condition sur les degrés pour Omega. Exactement parce qu'on va sommer sur les sigma et on va obtenir 0 ou 1 dépendant de... Donc, on va avoir un 2 puissance le nombre d'arrêtes dans mon graphe qui va apparaître. C'était le même 2 puissance de nombre d'arrêtes que pour les courants aléatoires. Et ici, on va avoir, je vais le noter comme ça, les sources de Omega CA. Et là, les sources, c'est exactement la même définition qu'avant. Je somme les Omega sur les arrêtes adjacent. Donc, en gros, c'est juste dire le degré de mon graphe Omega quand je vois Omega comme un graphe, dont les sommets sont G et dont les arrêtes sont l'ensemble Omega. Quand je regarde comme un graphe comme ça, ça veut juste dire que les sommets qui sont dans A ont un degré impère et les sommets qui sont pas dans A ont un degré père. Est-ce que ça vous étonne ça ou si c'est vraiment, si vous voulez, la même chose, c'est la même transformation que pour le courant aléatoire. Et c'est une représentation qu'on appelle ça la représentation haute température. Donc, cette représentation, elle a un nom. On appelle cette représentation haute température. Alors, pourquoi je vous mentionne ça ? Parce que c'est cette représentation qu'on va regarder, quelque chose qui est exprimé en fonction de cette représentation haute température dans la suite. C'est une représentation qui est connue depuis très, très longtemps. En fait, plus longtemps que la représentation en courant aléatoire qui, en quelque sorte, on peut vraiment voir la représentation haute température comme une dégénérescence de la représentation haute température, de la représentation en courant aléatoire. Ce qu'on avait gagné pour la représentation en courant aléatoire c'est ce switching léma, qui n'existe pas du tout pour la représentation haute température. Donc, c'était vraiment le gain dans l'histoire. Très bien. L'avantage, par contre, de la représentation haute température, et il est tout autre, c'est qu'il est relié en dimension d'eux à une autre représentation. Si je prends, imaginez que je prenne un modèle d'easing, considérons, easing sur le graphe G étoile. Alors, G étoile, ça va être quoi ? Enfin, V G étoile. Chaque arrête de mon graphe en dimension d'eux, je vais me concentrer, concentrons-nous sur des sous-graves de Z2, mais on pourrait faire ça pour n'importe quel graphe planaire. Chaque arrête de mon graphe est reliée à une arrête du grave duale, du réseau duale. Donc, prenons le duale du grave Z2, qui va être juste un translaté du grave Z2 par un demi à demi. Ça revient à mettre un sommet au milieu de chaque face du grave Z2 et des arrêtes entre plus proches voisins. Et là, on voit que, pour toute arrête E de Z2, il existe une unique arrête que je vais appeler E étoile, de Z2 étoile, l'intersectant en son milieu. Donc ça, c'est évident. Il y a une unique arrête associée. Et le grave duale, G étoile est défini par la chose suivante. E G étoile, c'est l'ensemble des E étoiles pour E une arrête du grave G. Donc je prends les arrêtes duales de chaque arrête du grave G et V G étoile, c'est le sommet incident à une arrête d'E étoile. Donc c'est le sommet incident à une arrête d'E G étoile. Donc ça, c'est la définition du grave duale. Maintenant, imaginons que je considère un modèle d'using sur ce grave duale. Et dessinons un sous-grave omega. Donc pour toute configuration, sigma dans plus ou moins un puissance E G étoile, V G étoile, excusez-moi, je peux associer une configuration de G de la façon suivante. Je vais définir omega de E égale 1, si sigma x est différent de sigma y ou je l'arrête E, je l'appelle xy. Donc je vais dessiner toutes les arrêtes, toutes les arrêtes du grave primal qui séparent deux spins de valeurs différentes. Ce qu'on appelle dessiner les domaines wall. Très bien. Donc la probabilité d'une configuration sigma est proportionnelle à l'exponential de beta sigma x sigma y. Du coup, quand je regarde la probabilité d'une arrête omega, quelle va être le poids de ça ? Ça va être la probabilité de sigma, puisque c'est une bisection. Et la probabilité de sigma, par définition, elle est proportionnelle à l'exponential de beta, de la somme, de beta sigma x, je vais l'écrire comme ça, c'est le produit sur les arrêtes xy, de l'exponential de beta sigma x sigma y. Du coup, ça, c'est exponentiel de beta fois le nombre d'arrêtes, fois cette chose-là, beta factor de 1 moins 2 sigma x sigma y, moins 1, c'est la même chose. Là, la chose qui devient intéressante, c'est que, non, c'est peut-être 1 moins, excusez-moi, j'avais sigma y, gardons-le comme ça. Maintenant, la chose qui est intéressante, c'est que vous voyez, en termes de omega, le nombre d'arrêtes telles que sigma y, c'est différent de sigma y, c'est exactement le nombre d'arrêtes de omega. Donc, en fait, cette chose-là va être égale, l'exponential de beta fois e de g étoile exponentiel de moins 2 beta fois le nombre d'arrêtes dans omega. C'est exactement la même chose. Donc, la probabilité de omega, je peux l'exprimer exclusivement en fonction du nombre d'arrêtes de omega. Et j'obtiens une loi du coup sur les configurations omega, qui est très simple. La probabilité d'une configuration, elle est en fait proportionnelle, donc ça, c'est une constante qui est tout le temps vraie, donc je peux l'enlever. Donc, la probabilité de omega va être proportionnelle à l'exponential de moins 2 beta fois le nombre d'arrêtes. Donc, on a quelque chose qui ressemble énormément au terme qu'on a ici, sauf que ça a l'exponential de moins 2 beta à la place de tangents hyperboliques de beta. Alors, peut-être pour ne pas faire de confusion, je vais considérer le modèle de dising sur g étoile à température inverse beta étoile. On a des beta étoiles. On a un beta étoile ici. Voilà, donc ça, c'est la représentation basse température. Donc, en résumé, si on regarde, si on fait une expansion comme pour le courant aléatoire, mais en regardant juste pair à un pair, on obtient ce qu'on appelle la représentation haute température, donc on a exprimé les fonctions de partitions et les corrélations en particulier en termes de graphes de pair, si on ne prend pas de source et la poids est proportionnelle à la tangents hyperboliques de beta fois le nombre d'arrêtes. Si on prend un modèle de dising sur le dual et qu'on dessine les bords des clusters entre plus et moins en quelque sorte, on obtient une représentation de nouveau en sous-graphe pair de mon graphe originelle. Cette fois, le poids s'exclonçait de moins 2 beta étoiles tangents hyperboliques de beta étoiles fois le nombre d'arrêtes. Du coup, ici, juste une parenthèse, remarque, qui a été observée en premier par Kramer et Vanier, c'est que si je prends tangents hyperboliques de beta égale exponentielle de moins 2 beta étoiles, je obtiens le même modèle. C'est-à-dire que la représentation haute température d'un modèle dising à température beta sera la même chose que la représentation de la température d'un modèle dising sur le dual, la température beta étoile si j'ai cette relation. Et en particulier, ça avait mené Kramer et Vanier à prédire que la température critique du modèle dising en 2D devait satisfaire que en fait beta est égal à beta étoile. Ce doit être le point pour lequel quand je fais cette forme de dualité, j'obtiens le même beta dans le dual. Donc si on égalise si on prend beta égale beta étoile, on obtient que beta est égal à 1 demi de logarithm de 1 plus racine de 2 et on en tant que physicien, enfin en physique, on s'attend à ce que ce soit beta c. Donc la raison pour laquelle on s'attend à ce soit beta c juste en une phrase sans trop expliquer, c'est que là, donc du coup, si on prend A égale l'ensemble vide, j'ai exprimé la fonction de partition en fonction de quelque chose de très régulier ou de quelque chose de très simple à calculer ou une somme sur les graves pairs. Du coup, si je regarde là-bas et que j'exprime la fonction de partition de cette loi sur les omégas, je vais aussi avoir exprimé exactement la fonction de partition en termes des graves pairs. Donc dans les deux cas, en fait si j'ai tangente hyperbole de beta égale, c'est de moins de beta étoile, ici la fonction de partition je vais pouvoir la relier à la fonction de partition là-bas. De façon très simple, il va y avoir quelque chose comme ce type de termes qui va se balader devant. Mais du coup, si je prends 1 sur le volume fois le log de cette quantité et je laisse j'ai tangente vers l'infini ici je vais obtenir ce qu'on appelle la free energy, donc l'énergie libre du modèle d'easing à température beta. Et je vais l'avoir exprimé exactement en termes, ici je vais faire la même chose, en termes de l'énergie libre du modèle d'easing à température beta étoile. Mais physiquement on s'attend à ce qui est une unique singularité pour le... On s'attend à ce que cette énergie libre soit analytique à part au point critique. Et du coup, si le point critique n'est pas égal au... Enfin si beta c n'est pas égal à beta c étoile et qu'il y a une singularité à beta c, il y en aura une forcément aussi à beta c étoile. Donc il y aura deux valeurs pour lesquelles on a une singularité ce qui est absurde. Donc c'est solidé de base de la dualité de Kramer-Vanier pour déduire beta c. Le petit problème étant qu'il faut arriver à montrer rigoureusement qu'effectivement il y a une seule singularité possible au point en dimension 2 et ça, ça demande un petit peu de travail. Je ne vais pas le faire parce que c'est mon but, c'est plutôt d'essayer de vous expliquer un peu l'invariance qu'on fait. Voilà. J'ai raté quelque chose que tu disais paire ici. Je crois que tu disais un paire au débat. Alors, le... Quand on... Si vous voulez... Les courants... L'ensemble des arrêtes pour lesquelles le courant est un paire forme un graphe paire. Dans le sens formant un graphe dont le degré est toujours paire. Voilà. C'est ça la chose. C'est vrai que la paire un paire c'est pas un peu... Alors, maintenant essayons d'énoncer le Theorem. Donc, ça c'était peut-être petite A. C'était la représentation haute température basse température. Maintenant énonçons le Theorem d'invariance conforme que je vais montrer. Donc énoncer du Theorem d'invariance conforme. Et là, c'est important que je vous donne un tout petit peu de contexte. Donc ce qu'on va faire on va se fixer dans tout le reste du cour. On va se fixer un domaine omega avec 2 points A et B sur le bord. Donc quand j'appelle un domaine je veux dire vraiment je prends un ouvert penser jordan, vraiment quelque chose de très régulier avec 2 points A et B sur le bord et mon ouvert il est simplement connex. Il n'y a pas de trou dedans. Et ce que je vais regarder, je vais regarder omega delta A delta B delta ça va être en quelque sorte une version discrète de ce domaine simplement connex. Donc je vais dessiner ça comme ça. Je vais imaginer que j'ai un graphe je vais me fixer delta positif mais imaginez positif mais vraiment très petit. Je regarde delta Z2 et en gros je vais définir omega delta comme étant delta Z2 intersecté avec omega d'accord? Donc c'est le sous-grafe si vous voulez un peu induit par le domaine omega. Alors le seul petit problème c'est que si vous avez un domaine omega qui est très irrégulier, imaginez que vous ayez des choses qui font comme ça par exemple il se pourrait que le domaine omega delta ne soit pas connecté par exemple, que le graphe omega delta ne soit pas connecté il se pourrait aussi qu'il se retrouve à avoir des petites roues ou des choses comme ça, ça on veut éviter donc là les je veux juste dire que c'est en gros ça, en fait on veut juste prendre un omega delta, on veut prendre un sous-grafe de delta Z2 qui est connecté de complémentaire connecté on veut même quelques petites choses en plus mais ignorons ça et si je prends l'union des faces j'obtiens un ouvert de Z2 un ouvert de R2 qui va converger qu'en delta t'envers 0 vers l'ouvert omega en fait on veut une convergence dans le sens de carat et odorie peu importe, mais pensez vraiment juste quelque chose un omega delta c'est un gentil graphe de Z2 qui ressemble de delta Z2 qui ressemble de plus en plus à omega d'accord ? donc posons nous pas trop de questions sur exactement, et A delta et B delta ça va être quoi ? A delta ça va être un point du bord ici on va prendre A delta qui est sur le bord de omega delta et qui est proche de A on va faire la même chose pour B B delta sur le bord de omega delta proche de B bon et maintenant ce que je vais faire c'est que je vais regarder la représentation aux températures du modèle et je vais regarder un sous-graphe père de ce graphe on considère la représentation aux températures et on va la regarder on veut montrer la valance conforme du modelizing au point critique on va regarder A beta c et juste pour éviter d'écrire tangent hyperbolique de beta c à chaque fois on va écrire X c d'accord ? donc je regarde des sous-graphe paires de omega delta et c'est des sous-graphe aléatoires dont le poids c'est X c à la puissance de nombre d'arrettes enfin il est proportionnel à X c'est puissance de nombre d'arrettes voilà donc ça c'est intéressant si je comprends la distribution de cette représentation aux températures puisque je suis au point critique beta c cette représentation aux températures ainsi la représentation basse température d'un modelizing sur le graphe dual à température expansionnelle de moins de beta c étoile puisque beta c est égal à beta c étoile c'est exactement comme la distribution des bords entre les composants de connex de plus et de moins dans un modelizing au point critique sur le dual de omega delta donc si j'arrive à décrire intelligemment ces interfaces enfin c'est courbe en fait je suis en train de décrire les interfaces entre plus et moins dans le modelizing d'accord donc là ici crameurs vanier plus beta égal beta c ça nous dit que en fait ça c'est la même chose que la représentation basse température à beta c pour un modelizing sur sur omega delta étoile d'accord donc finalement comprendre ça c'est comprendre la chose peut-être la plus naturelle au moins d'un point de vue probabiliste ce qu'on aimerait comprendre c'est je prends directement un modelizing sur mon graphe je dessine les interfaces je prends mon graphe sur un réseau de plus en plus fin exactement comme pour la percolation par exemple je prends donc son appel à limite d'échelle et j'essaye de décrire la géométrie de ces interfaces c'est exactement ce qu'on est en train d'essayer de faire mais on le fait à partir de là on va plutôt voir ça comme une représentation haute température voilà donc ça c'est le contexte maintenant quelle est la quantité qu'on va regarder pour comprendre ça en fait une bonne quantité une bonne chose à essayer de comprendre c'est de comprendre quand je prends un point sur le bord en gros à delta et un point à l'intérieur je vais peut-être zoomer donc là on a notre réseau qui est comme ça je vais prendre un point au milieu d'une arrête je vais l'appeler z delta je vais prendre ici le a delta en fait je vais le prendre aussi au milieu d'une arrête donc on est sur le bord donc le réseau est comme ça il y a des milieux d'arrête comme ça je vais prendre a delta en fait qui est ce que je vais demander c'est que je vais regarder des configurations comme ça je vais regarder comme ça avec en plus une interface qui part de a delta elle peut intersecter comme ça d'autres choses et qui va arriver en z delta donc je vais regarder quelque chose un peu plus général on va prendre donc définition on va définir e de a delta comme étant l'ensemble des sous-graphs qui sont en gros un sous-graph pair plus une interface et une façon de l'écrire proprement c'est-à-dire la chose suivante définissez un graph un peu plus gros que omega delta donc on va prendre les sous-graphs du graph je vais l'appeler omega bar delta donc omega bar delta c'est le graph en fait chaque arrête de votre graph originelle vous le transformez en deux arrêtes avec un sommet au centre d'accord donc c'est le graph si j'avais omega delta qui était comme ça vous rajoutez des arrêtes et vous rajoutez des sommets au milieu de chaque arrête et maintenant les arrêtes vous les couper en deux d'accord donc c'est un graph plus gros comme ça du coup le graph e de a delta c'est quoi ? c'est juste c'est l'ensemble des sous-graphs de omega bar delta qui sont dont le degré des arrêtes est pair à part a delta et z delta ou c'est un pair donc ici on va prendre ensemble des sous-graphs du graph omega delta dont le degré est pair partout à part en a delta et z delta vous comprenez s'il est s'il n'est pas pair en a delta et z delta forcément il vaut un et s'il est bien pair ici ça revient même que dire qu'il était pair dans le graph originelle et s'il est pair dans les autres arrêtes central ça veut juste dire qu'en fait on traverse sans s'arrêter donc ça ça va être mon ensemble donc c'est juste les sous-graphs pair plus une interface en quelque sorte on aimerait comprendre un peu la géométrie de ça et ce qu'on va faire c'est qu'on va définir une observable une fonction de si vous avez des questions n'hésitez pas à poser on va définir une fonction de ces sous-graphs alors je vais peut-être juste rajouter une chose donc c'est la définition je vais faire une autre définition pour une configuration omega qui appartient à cet ensemble je vais définir définissons gamma gamma de omega comme étant l'interface allant de A delta à Z delta le problème c'est qu'elle est pas forcément unique cette interface donc on va apprendre la plus à droite c'est à dire qu'à chaque fois qu'on arrive en une arrête si on a le choix entre aller tout droit ou pas on tourne à droite donc comme étant l'interface entre A delta et Z delta tournant systématiquement à droite lorsqu'il y a plusieurs possibilités alors vous me direz c'est peut-être maintenant c'est symptomatique par rapport à A delta et Z delta oui c'est pas symétrique c'est complètement arbitraire comme choix ça pourrait sembler très bizarre en fait si vous prenez c'est la plus à gauche ça va vous donner quelque chose de différent au niveau discret mais en fait quand vous prenez une limite d'échelle les deux interfaces vont en fait se coller c'est à dire qu'elles sont pas très différentes c'est vrai qu'il y a au niveau discret il y a deux interfaces différentes plus à gauche ou la plus à droite mais dans la limite d'échelle en quelque sorte il n'est pas important par exemple vous pourriez me dire à chaque sommet vous pourriez choisir systématiquement donc à ce sommet-là s'il y a une possibilité je vais à gauche sinon je vais à droite ça marcherait aussi on décrirait juste une interface qui est un peu entre les deux extrêmes mais elles se deviennent de toute façon la même après donc il ne faut pas trop s'inquiéter de cette technicalité voilà donc ça c'est ce gamma est appelé pourquoi que je n'aurai pas besoin du nom je ne vais pas vous rajouter de terminologie très bien donc maintenant la grande définition donc c'est ce qu'on appelle l'observable ferme unique donc je vais définir f de z delta donc mon but c'est de le voir comme une fonction de z delta mais ça dépend beaucoup de choses ça va dépendre de omega delta de a delta de b delta de z delta et de x donc de x c a priori on pourrait définir pour une autre valeur et cette chose là ça va être quoi ? ça va être la somme sur les omega qui appartiennent à e de a delta z delta de x c puissance le nombre d'arrêtes sur la même somme mais pour les configurations alors de a delta a b delta cette fois donc de nouveau là c'est la même chose b delta en fait j'aurais dû être un peu plus précis j'aurais dû mettre ça là dessus c'est de nouveau à être le milieu d'une arrête sur le bord donc ça c'est quasiment c'est juste le rapport entre les deux mais je vais rajouter un terme bizarre je vais rajouter e puissance moins i sur 2 fois ce qu'on appelle le winding de la courbe entre a delta et z delta je vais vous dire dans 2 secondes ce que c'est moins i sur 2 pour le winding de a delta b delta donc qu'est ce que c'est que le winding le winding c'est tout simplement cette courbe elle va faire des virages à gauche et des virages à droite et parfois elle va aller tout droit aussi mais je vais juste faire ça va être p sur 2 fois le nombre de tours vers la gauche moins le nombre de tours vers la droite donc le winding le gamma entre a delta c'est p sur 2 fois le nombre de tours à gauche moins le nombre de tours à droite si vous voyez c'est la rotation totale en radiant de votre courbe donc si vous prenez une courbe qui va comme ça qui finit ici je vais avoir ici je vais avoir fait un tour à gauche ici un tour à droite donc le winding ça va être 0 je vais faire un inverse qui va faire quelque chose comme ça là je vais obtenir un winding de 2 pis d'accord donc vous voyez c'est quasiment comme ça on pourrait presque imaginer que c'est un rapport donc c'est un rapport de 2 de 2 sommes qui ont la même forme alors je viens d'effacer mais la même forme que les sommes que l'on obtient non j'ai pas effacé que ce type de sommes juste un petit changement à la fin on finit un milieu d'arrête au lieu de finir un sommet mais ça ressemble un peu à ce genre de sommes donc vous pourrez presque croire que sans le exponentiel de moins i sur 2 winding qu'on ait en fait un rapport de 2 fonctions de 2 corrélations entre spins mais je rajoute ce terme exponentiel moins i sur 2, ce terme de winding qui fait qu'on perd complètement cette interprétation en termes de fonctions de corrélation de spins en fait il y a une interprétation en termes de ce qu'on appelle des opérateurs d'ordre désordre mais on n'a pas énormément de temps donc je vais plutôt essayer de vous expliquer un petit peu la preuve que vous avez dans cette direction alors quel est le théorème ? théorème est le suivant c'est un théorème qui est dû à Dimitri Chalkak et à Smirnov il dit la chose suivante il dit si je me fixe et je considère f delta je vais peut-être mettre f delta f delta qui est la fonction associée à omega AB que j'ai définie là bas alors ce qu'on va faire c'est que cette fonction est définie là je vais avoir un théorème de convergence donc là je vais mettre mon théorème de convergence il va être comme fonction de R2 donc du coup ici je vais juste étendre f omega et on étend donc étendu à omega alors il y a plein de façons d'étendre f delta à omega par exemple en tout cas sur les faces de omega delta ce qu'on peut faire c'est tout simplement donc f delta il est définit sur les milieux d'arrête vous êtes d'accord ? c'était ma définition là bas donc ce que je peux faire c'est qu'on peut déjà l'étendre linéairement sur les arrêtes comme ça ces espèces d'arrêtes en diagonale ce qu'on appelle les arrêtes du graphe médial après je peux aussi l'étendre linéairement comme ça pourquoi pas puis là maintenant que j'ai un triangle si j'ai les valeurs partout je peux étendre de façon convexe n'importe où au milieu je fais ça de ce côté et de ce côté comme ça j'ai fait ça partout je peux aussi faire ça bien sûr je peux faire la même chose ici aussi c'est une façon d'étendre de continuement la fonction étant très régulière à peu près n'importe quelle façon d'étendre continuement la fonction ne sera pas gênante mais ce que je dis juste c'est qu'on étend la fonction à omega delta d'une façon à peu près crédible et maintenant les résultats ça va être la chose suivante ça va être que la limite quand delta tend vers 0 de f de delta c'est la racine de psi prime ou psi c'est quoi c'est l'unique application conforme de omega AB dans je vais prendre le demi-plan supérieur donc c'est R fois R plus étoile en voyant A sur l'infini et B sur zéro tel que psi prime de B égal à 1 alors que ça veut dire tout ça j'ai mon domaine omega AB je vais l'envoyer par l'application psi conforme donc ça veut dire holomorph et injective je vais l'envoyer exactement sur le demi-plan supérieur B va être envoyé sur zéro A va être envoyé sur plus l'infini si je fais ça vous remarquerez qu'il y a une infinité d'applications conformes qui vérifie ça tout simplement parce que si vous prenez une application conforme et vous la multipliez par un réel positif vous allez encore envoyer là-dessus sur la même chose B sera bien envoyé sur zéro A sera bien envoyé sur plus l'infini donc pour fixer ce dernier degré de liberté je vais forcer la dérivée alors c'est une dérivée sur le bord ça fait peut-être un petit peu peur du fait pourquoi il y aurait une dérivée sur le bord parce que c'est un bord qui est plat en fait donc on peut utiliser un argument de symétrie pour dire qu'il y a une dérivée ici et donc je vais fixer la dérivée comme étant un voilà donc le théorème dit ça et ici c'est convergence uniforme sur tout compact sur tout compact de omega voilà donc j'ai une fonction elle a été définie sur le sous-graph je l'ai étendue sur en gros omega et elle converge uniformément sur tout compact donc c'est une fonction racine de phi prime donc ça c'est ce qu'on appelle un théorème d'avarance conforme et la raison pour laquelle c'est un théorème d'avarance conforme c'est que si je suis pas sur omega mais que je suis sur un autre domaine par exemple la préimage d'omega par une application phi alors la convergence de f de delta ça va arriver ça sera vers racine de l'application qui enverra ce nouveau domaine sur ça ce sera psiron phi donc j'aurai racine de psiron phi prime donc j'aurais bien exprimé si j'ai donc ce domaine qui est phi moins 1 de omega si je prends un point z ici et que je regarde f delta de z il va bien être exprimé naturellement il va avoir une limite qui est exprimée en termes de en termes oui je devrais pas en faire ça mais elle va être exprimée je vais pouvoir l'exprimer en fonction f delta dans ce domaine en phi de z et l'expression ça veut dire il va y avoir un racine de phi prime de z qui se balade dans l'air mais sinon ce sera la même expression du coup là c'est covariant ok donc j'aimerais vous donner quelques petits détails sur la preuve de ce théorien je vais pas pouvoir vous la donner complètement malheureusement mais je vais essayer quand même de vous dire un tout petit peu comment ça se passe donc l'idée ça va être d'essayer de comprendre pourquoi f de delta en quelque sorte on voit déjà au niveau discret que c'est une fonction un peu homomorphes c'est vraiment la discrétisation d'une fonction homomorphes par exemple comment j'interprète psi si en fait si on regarde la partie imaginaire de psi c'est tout simplement la solution comment dire comment je pourrais exprimer ça ok on va faire ça différent si j'ai une fonction h qui est harmonique sur un domaine omega alors sous des conditions très faibles je vais avoir que h de x je peux toujours l'exprimer l'intégral donc harmonique sur un domaine est peut-être continu sur le bord du domaine alors h de x je vais pouvoir l'écrire comme l'intégral de h de y non excusez-moi je vais pouvoir l'écrire comme l'intégral contre une certaine mesure que je vais appeler dénu de y l'intégral d'une quantité qu'on appelle le noyau de poisson donc toutes les fonctions harmoniques peuvent être exprimées en termes d'un noyau qui est défini donc ce noyau de poisson c'est une fonction p omega c'est une fonction qui va de omega croit le bord de notre domaine dans r et ce noyau de poisson il a une expression très très très simple dans le cas de omega égale h si omega égale h on a que p omega de x y ça va juste être x sur x² plus y² c'est oui x sur x² plus y² donc si vous voulez c'est la partie imaginaire je vais forcément me planter mais de j'aurais peut-être dû mettre yx et là excusez-moi ça va pas du tout c'est n'importe quoi c'est 0y et donc 0x et donc ça donne x ça donne x² sur x² plus x² donc l'important c'est que c'est la partie imaginaire de moins 1 sur x voilà du coup en fait dans le cas de omega égale h ça c'est exactement la partie imaginaire de psi parce que la fonction qui envoie le domaine h sur le domaine h et qui envoie 0 sur l'infini il a fini sur 0 et qui a une dérivée 1 en 0 c'est exactement moins 1 sur z donc c'est la partie imaginaire de de psi cette quantité elle est invariante conforme si je suis dans un autre domaine omega si je veux deviner quel est le noyau de poisson j'envoie le domaine omega sur h et je regarde quel est le noyau de poisson sur h du coup cette propriété qui est vraie pour omega en fait elle est vraie pour n'importe quel domaine quel que soit le domaine omega donc par invariance conforme ce résultat s'étend à tout domaine quel que soit le domaine psi enfin la partie imaginaire de psi à l'interprétation que c'est le noyau de poisson dans ce domaine donc mon but en fait ça va être d'écrire donc ça va être très dur de travailler directement avec f delta mais en quelque sorte la primitif du carré de f delta devrait converger vers psi donc la partie imaginaire de la primitif du carré de f delta devrait converger vers le noyau de poisson et ça le noyau de poisson c'est que je serai beaucoup plus classique à étudier et donc du coup ça y'a peut-être une chance d'arriver à montrer cette convergence donc mon but ça va pas être vraiment je ne vais pas essayer de montrer directement que f de delta converge je vais essayer de montrer qu'une certaine primitive mais bon en niveau discret c'est pas clair ce qu'on entend par là qu'une certaine primitive du carré enfin la partie imaginaire de la primitive du carré de f delta converge donc le résultat en fait la proposition principale le coeur de la preuve ça va être de montrer qu'il existe une primitive et que cette primitive va suffisamment de propriété pour pouvoir montrer qu'elle converge donc la primitive on va... comment on pourrait définir une primitive déjà au niveau discret imaginons que j'ai mon graph z delta j'ai mon graph omega delta je vous rappelle que la fonction elle est définie en fait sur les arrêtes si vous voulez de votre graph donc je vais définir ma primitive sur les sommets et les phases de mon graph alors ça c'est quelque chose qui est donc c'est quelque chose qui est assez classique si vous avez une fonction sur un grave g donc sur les sommets d'un grave g si vous voulez définir une primitive ou le gradient de cette fonction ça si vous voulez dériver ou si vous voulez l'intégrer au niveau discret quand on fait ça on va définir une fonction sur le grave dual en fait si f est comme ça alors le gradient de f et la primitive de f elles sont définies ce sont des fonctions qui vont partir du dual et qui vont arriver dans r c'est quelque chose comme ça en quelque sorte il y a une sorte de dualité les gris vont passent au dual et du coup forcément quand on intègre on a envie aussi de passer au dual donc ici notre graph si je prends les arrêtes comme étant les sommets de mon graph d'un certain graph ça veut dire que je suis sommet je suis en fait en train de travailler sur cette espèce de z2 qui a subi une rotation donc p sur 2 et un riscaling donc de facteur 1 sur racine de 2 et du coup effectivement le dual de ce graph c'est bien le graph donné par les sommets de mon graph initial et les faces de mon graph initial donc je vais définir la fonction sur l'intégral sur ce graph là et qu'est ce que j'aimerais avoir quelle est la propriété principale d'une primitive j'aimerais avoir que h2 donc disons x1,x2 h1 de x1 moins h2,x2 bah j'aimerais que ce soit quoi ? j'aimerais que ce soit la valeur ici fois x1 moins x2 alors moi j'essaie de définir le carré de l'intégral donc j'aimerais que cette chose là soit égale et la partie imaginaire donc j'aimerais que ce soit à peu près égale la partie imaginaire du carré en x1 plus x2 sur 2 fois x1 moins x2 si j'ai une fonction qui vérifie ça naturellement en fait c'est une primitive discrète de f4 enfin c'est la partie imaginaire d'une primitive discrète de f4 parce que si je prends maintenant x1 et x2 qui sont vraiment loin l'un de l'autre et que je prends effectivement un chemin qui va de l'un à l'autre je vais bien sommer les incréments le long de ce chemin d'accord donc théorème c'est un propriété il existe une fonction h delta qui définit sur omega delta union omega delta étoile donc qui définit sur les sommets de omega delta et sur ceux de omega étoile qui va dans R tel que tel qu'on a étoile pour tout x1 x2 appartenant à omega delta et idm y1 y2 appartenant à omega delta étoile parce que là cette relation que j'avais pour les sommets du graphe originel la et la je pourrais le demander aussi pour ces gens là donc ça en quelque sorte je vais considérer ça comme ma primitive et maintenant cette primitive j'aimerais qu'elle est là elle est définie qu'il y a une constante près pour marquer donc ce qu'on va faire c'est qu'on va prendre un sommet sur le bord et on va lui demander que la primitive va être 0 à cet endroit là donc on va aussi supposer qui vérifie en plus h delta de y delta égale 0 ou y delta c'est juste un sommet une phase sur le bord donc je vous rappelle que mon graphe il finit comme ça sur le bord j'ai mon graphe au méga delta et j'ai les phases qui sont sur le bord donc ici je vais aussi définir mon observable h delta ma fonction et je vais juste dire ça vaut 0 je vais fixer un gars sur le bord je vais dire là ici ça vaut 0 ça fixe la constante additive qui était en mon dernier degré de liberté là dedans donc ça ça va être ma primitive de plus je vais lui demander qu'elle vérifie certaines conditions de plus il va y avoir 3 conditions donc la condition p1 enfin j'ai alors 3 propriétés plutôt en fait h delta égale 0 pour toute h delta de y delta égale 0 pour toute y delta sur le bord en fait donc le choix en particulier de cette y delta n'avait aucune importance parce qu'à partir du moment où on fixe comme étant 0 sur le bord il va vouloir 0 partout sur le bord première condition deuxième condition si je prends donc si je regarde le Laplacien sur mon graphe donc ça veut dire quoi le Laplacien sur mon graphe c'est l'opérateur qui somme h de x prime moins h de x pour x prime voisin de x d'accord donc si je suis le h le delta on va mettre point ça va être le Laplacien sur omega delta et je vais aussi définir Laplacien h qui est le Laplacien sur omega delta sur le dual si je définis ces deux choses alors en fait le Laplacien noir de h va toujours être positif et le Laplacien cercle de h va toujours être négatif donc ça veut dire quoi ça veut dire que si je me mets un sommet de mon graphe et que je fais la différence plus ça moins ça je vais toujours obtenir quelque chose de positif et si je me mets sur une face et que je fais la même chose je vais toujours obtenir quelque chose de négatif c'est pas du tout évident ça là les propriétés elles sont pas évidentes ça va être dans la deuxième heure je vais vous expliquer pourquoi elles sont vraies mais c'est rien d'évident et la dernière propriété c'est une propriété un petit peu technique après mais c'est qu'en fait le gradient de h delta et le gradient de f delta elles sont bornées par c delta pour tout enfin pour tout epsilon il existe un c tel qu'on est ça pour toute x qui est dans omega delta de privé de la boule centrée en A et de rayons epsilon qu'est ce que dit cette dernière chose elle vous dit ok j'ai mon domaine comme ça j'ai A et j'ai B elle dit tant que je suis tant que je me mets loin de A en fait h delta et f delta c'est des fonctions qui sont très régulières ça ça va être typiquement envoyé par exemple automatiquement si j'ai ça que la dérivée de ma fonction h delta est bornée que la dérivée de ma fonction f est bornée enfin par exemple qu'elles sont lipscytiennes et ça ça va nous permettre juste après la pause d'utiliser un théorème de convergences de capacité juste pour montrer qu'en fait on peut extraire des sous-suites convergentes déjà gratuitement le truc c'est qu'en A en fait il y a une singularité la fonction n'est pas régulière du tout d'ailleurs vous remarquerez que j'ai bien fait attention ici de dire que c'était convergence uniforme sur tout compact de omega je vous ai pas du tout dit ce qui se passait en A et en fait en A il y a une singularité votre fonction elle explose, fi elle explose puisqu'elle converge vers plus infinie voilà donc ça c'est la fin on va faire une pause et donc après ce que je vais faire c'est essayer de vous expliquer pourquoi cette fonction pourquoi une fois qu'on a ce théorème en fait de déduire la convergence de F et ensuite pourquoi on a ça parce que là il y a deux choses qui sont non triviales cette fonction là vous voyez bien il y a un petit problème quand je défini comme ça il y a un problème de compatibilité c'est pas du tout évident qu'il y ait une fonction qui vérifie ça pour toutes les arrêtes vous pouvez pour chaque deux points choisir un chemin si vous prenez un uniforme spanning tree si vous prenez un arbre couvrant vous pouvez définir la fonction de telle sorte que le long des arrêtes de cet arbre couvrant vous aurez cette propriété là mais après n'importe quel autre arrête vous avez aucune garantie que vous aurez encore cette propriété là à votre forme elle est pas fermée a priori c'est une façon de voir l'âge donc du coup on va essayer de justifier pourquoi effectivement on a ça et puis qui plus est quand on est fini cette fonction pourquoi elle vérifie ces trois propriétés on finira le cours sur un point entre guillemets on va dire positif voilà donc on fait une pause de 10 minutes et puis on reprend à 40 peut-être commençons par essayer de voir pourquoi ce théorème implique une proposition implique le théorème d'accord donc preuve du théorème à partir de la de la composition donc quelle est l'idée donc la propriété p3 elle implique en fait par Ascola que le h et f donc h delta et d'ailleurs aussi f delta ce sont des familles précompactes du coup ce que je vais faire c'est pour montrer la convergence pour essayer de montrer la convergence je vais prendre des sous suites convergentes donc je vais prendre des valeurs d'adhérence et je vais montrer que la seule valeur d'adhérence possible pour f c'est racine de fiprim d'accord donc on va prendre prenons h et petit f des valeurs d'adhérence de h delta et f delta très bien donc maintenant mon but c'est d'essayer de montrer que déjà h forcément c'est la partie imaginaire de fi donc pour faire ça ce que je vais noter c'est que la propriété p2 donc p2 ça implique quoi si h converge effectivement avec un tout petit peu de c'est pas complètement évident mais vous allez me croire là-dessus si h converge cette propriété là va nous dire que petit h est sous harmonique enfin la placien positive et dans ce cas là ça va me donner que le laplacien est négatif donc je vais avoir laplacien égal 0 effectivement ce qui était faux au niveau discret mais ce qui est vrai au niveau continu donc laplacien de h est égal 0 ma fonction elle est harmonique de plus ma fonction elle est elle est continue sur le bord apparen à p3 elle se dit que p3 dit que h est continue sur omega bar privé de a et qu'en fait h est égal à 0 sur le bord privé de a ça c'est dû à la propriété ça c'est p1 p1 nous dit du coup que h vaut 0 sur le bord d'accord ? donc si on en revient à mon expression en termes du noyau de poisson h est une fonction harmonique qui vaut ces conditions là donc si j'écris h de x égal l'intégrale de p omega de yx des nu de y quelle est la seule loi enfin quelles sont les seules mesures nu qui sont compatibles avec le fait que c'est le bord les seules qui sont compatibles c'est les mesures de Dirac en 0 en a excusez-moi donc cette représentation plus des conditions au bord ça implique que nu c'est en fait lambda fois le Dirac en a c'est la seule mesure possible mais du coup ça nous dit quoi ? ça nous dit que h c'est un certain lambda fois la partie imaginaire de phi j'aurais peut-être dû rajouter excusez-moi je vais rajouter ici que f delta donc j'ai rajouté un p4 que f delta est préolomorfe rajoutons ça parce que je me rends compte que j'ai mis une petite chose donc h est comme ça non en gros j'ai identifié la limite de h et sinon d'identifier la limite de f donc maintenant h c'est aussi la partie imaginaire de la primitive je vais noter ça comme ça de f carré ça c'est simplement parce qu'au niveau discret j'ai étoile et si j'ai étoile au niveau discret quand je passe au continu ça va me donner cette propriété donc ça me dit que partie imaginaire de psi est égale à partie imaginaire de l'intégrale sur z de f carré alors c'est là où justement p4 va être important vous savez pas vraiment ce qui est préolomorfe, je vais vous dire ce que c'est dans deux secondes, vous inquiétez pas mais ça veut dire à peu près olomorfe et donc en particulier les fonctions préolomorfe quand elles convergent, elles convergent vers des fonctions olomorfe donc ça p4 nous dit que petit f est olomorfe donc la primitive de f carré est olomorfe donc le fait que la partie imaginaire de psi est égale à partie imaginaire de cette fonction j'ai deux fonctions olomorfe qu'ont même partie imaginaire elles sont égales à constante près donc si est égale à la primitive de f carré plus une certaine constante et là je peux maintenant c'est des fonctions olomorfe, je peux différencier j'obtiens bien que f et j'avais dit excusez moi j'avais aimé h c'était lambda faut la partie imaginaire donc là j'ai lambda donc f ici quand je différencie j'obtiens que c'est égale à la racine de lambda si prime qu'est ce qui me reste à faire me reste à identifier le psi, le lambda donc le poisson carnel il vérifie exactement là ici si je prends le poisson carnel défini comme je l'avais défini j'ai pas vraiment défini donc du coup c'est simplifié la tâche est ce qu'il y aurait une baguette un peu décevant là je vous ai pas vraiment défini ce que c'était cette chose là en fait il y a une unique cette fonction elle est unique à constante multiplicative près, c'est une unique fonction qui permet de faire cette représentation que n'importe quelle fonction harmonique s'écrit comme cette intégrale contre une certaine mesure c'est juste une histoire de dualité de Ritz donc cette chose là est définie à constante près en particulier le psi là si je veux que ce soit exactement égal à ça le psi ici c'est celui qui a dérivé 0 qui a dérivé 1 en B donc quand je suis ici la chose qu'il faut que je vérifie en fait le lambda il va forcément valoir 1 parce que quand f tend vers B ma normalisation si on retourne ici ma normalisation a été faite de telle sorte que f delta de B delta c'est juste 1 d'accord donc la normalisation f delta de B delta égal 1 ça implique que f de B doit valoir 1 donc là même si B est sur le bord c'est pas du tout gênant parce que j'ai vraiment supposé que ma fonction était vraiment continue à part en A donc en particulier en B il n'y a aucun problème donc f de B égal 1 et f de B égal 1 puisque si prime de B est égal à 1 ça nous force lambda à être égal à 1 puisque si prime de B égal 1 cela force lambda égal 1 et on a bien f égal rassine de fibrin donc je pense que c'était vrai pour n'importe quelle valeur d'adhérence de f delta ça nous donne que f delta converge vers rassine de fibrin voilà donc cette partie là là il y a des petits détails techniques mais au fond je n'ai rien caché vraiment sous le tapis à part des problèmes techniques au niveau conceptuel c'est vraiment l'idée est là donc maintenant la grosse difficulté est arrivé à vous montrer que la propriété de vous montrer la propriété et pour faire ça on va introduire une nouvelle notion donc on va introduire une propriété de la fonction f delta qui permet de dire que automatiquement si une fonction vérifie cette propriété alors la fonction H existe donc définition donc la fonction définie sur les milieux d'arrête d'un graphe sur les milieux d'arrête de omega delta on va dire qu'elle est S au l'omorphe ça va être une notion de l'omorphicité discrète ça va pas être clair à première vue mais vous allez voir si deux choses quel que soit X et Y voisin donc X et Y comme ça j'ai une phase de mon graphe et j'ai X et Y qui sont comme ça d'accord ça je vais appeler ça l'arrête E quel que soit X et Y comme ça la projection de F de X sur la rassine de E bar R donc je vois l'arrête E comme un nombre complexe vous pouvez l'orienter ça va rien changer comme un nombre complexe vous prenez rassine de E bar R si la projection est égale à la projection de F de Y sur rassine de E bar R donc les projections dans une direction particulière sont les mêmes alors là si ça vous semble pas naturel c'est normal c'est pas du tout quelque chose d'intuitif cette définition pour SPIN pour SPIN parce que dans le cas présent en fait c'est F delta voyait le 1,5 dans la définition là haut c'est l'interprétation d'un SPIN et le modèle d'easing a un SPIN en demi du coup puisque ça a été introduit pour le modèle d'easing c'est à ça l'appeler SPIN mais je crois pas qu'il y ait d'analogies plus fortes que ça en tout cas j'ai jamais entendu deuxième chose moi je préfère Strong Olimorph parce que c'est une provité qui est plus forte même si elle est vérifiée par beaucoup moins de fonctions deuxième chose il faut je vais dire ce qui se passe sur le bord donc quand je suis sur le bord donc imaginons que j'ai X et que j'ai Y là qui est vraiment un point du bord je vais juste demander que F carré soit de Y soit orthogonal A donc là ici j'ai U et V soit orthogonal à V moins U donc ça ça l'interprétation le carré de ma fonction est orthogonal au vecteur tangent au bord de mon domaine c'est ça l'interprétation bref c'est là vraiment cette définition elle est pas très naturelle mais juste elle permet de faire ce qu'on veut alors pourquoi elle permet de faire ce qu'on veut première chose si on est S Olimorph alors on est pré Olimorph ce qu'on appelle pré Olimorph qu'est ce que c'est que pré Olimorph c'est une notion de l'omorphicité sur un graph alors il y a des milliards de définitions pour la notion de l'omorphicité elles sont juste tout équivalentes les unes aux autres et en particulier la une c'est qu'on a les équations de Cochiriman donc au niveau discret sur disons Z2 par exemple il y a une définition naturelle de de fonctions qui vont être Olimorph pour les fonctions qui sont définies sur les milieux d'arrêtes enfin sur les arrêtes ça va être de dire que f de nord moins f de sud est égal à i fois f de est moins f de west donc pré Olimorphicité f de nord moins f de sud je pourrais l'écrire sur nord moins sud égal f de est moins f de west sur est moins west donc ça c'est vraiment dire la dérivé dans cette direction et puisque nord moins sud c'est i fois est moins west ça revient exactement à dire je veux que f de nord moins f de sud soit égal à i fois f de est moins f de west donc ça c'est la notion de pré Olimorphicité c'est la notion la plus classique de l'omorphicité discrète et en particulier vous voyez donc ici je prétends que f delta est pré Olimorph si vous avez une fonction qui est pré Olimorph et qui converge vous pouvez vous douter que du coup à partir du moment par exemple où cette chose là converge bien vers la dérivé partielle dans une direction vous allez exactement obtenir que la limite est Olimorph donc fallait pas s'étonner d'avoir que la fonction f est Olimorph très bien alors première observation donc là ce que je vais faire c'est que je vais vous montrer que si j'ai une fonction qui est Olimorph la fonction h existe et il y a toutes les propriétés et la dernière chose que j'aurais pas le temps de faire c'est de montrer que f delta est Olimorph donc première observation une fonction Olimorph donc S Olimorphicité implique pré Olimorphicité donc en particulier ça nous donne p4 si on a que la fonction est bien Olimorph on aurait p4 alors comment montrer ça c'est un calcul tout là je vais pas les faire mais c'est un calcul c'est juste observer que la projection par rapport à racine de e bar de r de f de x c'est quoi si je l'écris si je chiffre par racine de e bar c'est quoi c'est équivalent à dire f de enfin si vous voulez plutôt 1 1 c'est équivalent à dire c'est qu'il veut dire que f de x plus e bar donc c'est e f de x bar est égal à f de y plus e f de y bar ça revient à dire ça que les projections sont égales c'est une autre façon d'écrire la chose d'accord mais du coup ici vous voyez si vous écrivez cette relation pour ces quatre arrêtes celle-là celle-là celle-là et celle-là alors là ici peut-être ici c'est plutôt e divisé par module 2 si vous écrivez cette relation pour ces quatre arrêtes vous allez avoir quatre équations qui impliquent f de nord f de s f de sud f de west et f de nord bar conjugué f de sud conjugué les quatre relations vous autorise à faire disparaître f de west conjugué f de nord conjugué et en faisant disparaître ça en fait vous obtenez exactement cette relation une autre façon de faire c'est que vous faites ça moins ça ok et vous utilisez ces équations de moins ça vaut zéro d'une autre façon de faire c'est vraiment un calcul bête et méchant il n'y a pas de subtilité derrière donc ça c'est la première observation en ap4 deuxième observation essayons de essayons de prouver l'existence de H donc comme je vous ai dit l'existence de H on peut définir une fonction H ce qui va vérifier l'équation pour toutes les arrêtes d'un arbre couvrant ça c'est automatique on peut le faire pour n'importe quelle fonction ce qu'on aimerait c'est le faire de telle sorte que la relation étoile qui est h2x moins h2y moins h2x prime c'est la partie imaginaire de blabla cette relation on aimerait l'avoir pour toutes les arrêtes or on va l'avoir pour toutes les arrêtes si on arrive en fait à définir la fonction comme ça imaginez que je vous définisse une fonction de telle sorte que quel que soit H black donc ça je vais l'appeler B ça je vais l'appeler W noir et blanc quel que soit un sommet noir adjacent à un sommet blanc à une phase blanche imaginez que je puisse définir H de telle sorte que H de noir moins H de blanc ça vaut alors je suis un tout petit peu gaffe avec ta constante mais racine de de delta fois la projection sur racine de heubard de F de X au carré donc je prends X ici et je regarde la projection là dessus et je définis F de noir moins F de blanc alors je prétends que cette définition est cohérente dans le sens que si je définis la chose comme ça première propriété donc imaginons qu'on ait ça pour toute noir adjacent, noir et blanc adjacent alors je prétends déjà que je peux définir une fonction comme ça ce qui n'est pas évident a priori pour la même raison qu'on ne peut pas définir a priori la primitive une fonction comme ça et c'est pas complètement clair qu'elle soit bien définie mais c'est une fonction comme ça elle va être bien définie dans le sens qu'elle va vérifier ça pour tout noir et blanc adjacent si si j'ai une cohérence locale dans le sens, vous voyez, si je veux définir H ici, j'ai deux façons de le définir si j'ai définit H ici j'ai deux façons de définir H ici je peux soit commencer par définir le noir ici puis le blanc ou soit définir le noir ici puis le blanc mais à partir du moment où j'ai une cohérence à ce niveau là, si je sais que en fait définir comme ça c'est la même chose que définir comme ça je peux définir ma fonction partout et ce sera bien cohérent ce qu'elle que soit le chemin que je ferais si je prends deux chemins différents pour définir ma fonction je définirai la même valeur de ma fonction à cet endroit donc à partir du moment que j'ai une cohérence entre ce chemin là et ce chemin là je vais avoir une cohérence entre n'importe quel chemin et n'importe quel chemin tout simplement parce que je peux déformer le chemin ici je peux le ramener à celui là juste en faisant des différences symétriques avec des petites faces donc j'ai besoin de vérifier quoi en fait j'ai besoin de vérifier j'ai un x ici remarquez que j'aurais pu j'aurais pu ici prendre y c'était la même chose puisque x et y ont la même projection donc j'ai besoin de vérifier que la projection de f2x ça c'est e1, e2, e3, e4 j'ai besoin de vérifier que la projection de x sur e1 de f2x sur e1 sur racine de e1 bar au carré moins la projection donc là je suis allé de blanc à noir donc j'avais un plus puis après je vais aller de noir à blanc donc je vais avoir un moins moins la projection de f sur racine de e4 bar de f2x au carré ça c'est exactement la différence entre cette valeur et cette valeur si je suis allé comme ça j'ai besoin de montrer que c'est la même et que j'obtiendrai si j'allais comme ça donc j'ai besoin de montrer que c'est la même que cette chose-là d'accord ? si j'arrive à montrer cette égalité pour tout x j'aurais que aller comme ça ou comme ça ça nous donne la même chose et du coup j'ai bien une définition cohérente avec une expression comme ça alors on n'aime pas les moins faisons disparaitre les moins mettons un plus et un e3 et ici mettons e4 avec un plus et observons que e1 et e3 quel est l'angle entre les deux entre les deux donc e1 c'est la projection sur cette chose-là disons et e3 c'est sur celle-là donc l'angle entre les deux et, ah oui ici excusez-moi j'aurai peut-être dû vous dire ici puisque on a une inconnue on doit orienter la l'arrête pour avoir vraiment un vecteur on le fait de façon cohérente en allant toujours comme ça par exemple on pourrait choisir une autre direction excusez-moi j'aurais dû être un peu plus précis donc ici j'ai 2 j'ai 2 vecteurs e1 et e3 qui forment un angle Pi entre les deux d'accord ? qui ont une différence d'argument de Pi du coup la racine de e1 bar et la racine de e3 bar ont une différence de Pi sur 2 en termes d'argument c'est 2 vecteurs orthogonaux donc quand je regarde la projection par rapport à ça plus la projection par rapport à ça je suis en train de regarder la projection d'un vecteur enfin d'un nombre complexe sur deux directions orthogonales quand je prends le carré de ça enfin la somme des carré en fait je suis juste en train de prendre le module de f2x donc cette chose-là c'est égal au module de f2x et en fait ici vous pouvez faire le même raisonnement d'un angle qui cette fois pas celui-là et celui-là donc c'est aussi le module donc ces deux quantités valent en fait le module de f2x au carré donc il y a bien une définition cette définition elle est bien cohérente je peux avoir une fonction h qui vérifie cette chose-là pour tous les n et b adjacent et en fait cette fonction h c'est exactement la fonction qu'on veut donc effectivement je vais poser f2h égal à 0 de y égal à 0 sur le bord sur un point du bord et c'est exactement la fonction f qu'on veut dans le sens que en particulier cette chose-là on peut vérifier qu'en plus quand je fais h que le calcul que j'ai fait là-bas il va aussi me donner que h de x moins h enfin h de b1 moins h de b2 c'est effectivement la partie imaginaire de f carré de b1 plus b2 sur 2 fois b2 moins b1 c'est à dire on peut aussi calculer cette chose-là et ça on peut le voir du sens disant si j'ai noir ici et noir ici quand je fais ça moins ça c'est de nouveau en fait c'est une autre façon de faire si j'avais pas mis le moins donc avec le plus ça me donne ça au moins quand je regarde cette quantité là ça me donne exactement la partie imaginaire de f carré de x fois b2 moins b1 c'est quelque chose qu'il faut calculer qu'il faut vérifier par le calcul mais ça marche aussi donc si j'avais si j'ai été resté avec le moins ici j'obtenais exactement partie imaginaire de f carré de x fois dans le cas présent puisque je suis allé en haut une chose à vérifier il faut donc quelque chose comme racine de 2delta qui est i fois racine de 2delta c'est bien la taille de cette chose-là donc c'est un petit calcul comme ça mais vous pouvez vérifier qu'effectivement h c'est bien l'intégrale de f carré donc ça nous donne l'observation d'eux qui est l'existence de h ensuite il nous reste à vérifier les propriétés p1, p2 et p3 on va presque être dans les temps c'est pas une preuve complète mais c'est pas un théorème trivial donc on peut pas tout faire en 2h mais là ce que je saute c'est juste les calculs regardons sur le bord je vais pas effacer observation 3 sur le bord j'ai toujours cette relation-là donc si je prends n1 et n2 sur le bord c'est ça qui lui est juste c'est un demi-h quand je fais h2n2 moins h2n1 j'obtiens que c'est la partie imaginaire de f carré de x fois b2 moins b1 mais j'ai dit f carré sur le bord la définition de Somorphicité me dit que f carré sur le bord c'est orthogonal au vecteur donc f carré sur le bord est orthogonal à n2 moins n1 et donc du coup quand je fais la partie imaginaire de f carré fois b2 moins n1 j'obtiens quelque chose qui ne va pas je veux dire proportionnel excusez-moi c'est proportionnel à ça donc j'obtiens quelque chose de réel excusez-moi c'est quelque chose de réel et du coup la partie imaginaire va 0 et donc j'ai bien que h de n2 est égal à h de n je n'ai pas habitude de présenter cette preuve là en fait je vais présenter la preuve sur une modèle de random cluster et donc du coup c'est un tout petit peu différent dans ce cas voilà la demande le requirement sur les conditions au bord nous donne exactement que h de n2 égal à h de n observation 4 maintenant vous voyez tout génie était dans la définition de la Somorphicité maintenant la calcul qui permet de vérifier qu'on a bien la bonne fonction donc prenons un sommet prenons un sommet noir avec nord-est hop et rappelons nous que la fonction est définie ici donc il y a f de est f de nord f de ouest et f de sud donc la placien de h en sommet nord au centre c'est quoi c'est par définition h de nord enfin moins h n plus h de nord-ouest moins h de nord plus etc c'est la définition du laplacien je fais la somme des différences mais maintenant cette chose-là j'ai dit que je savais l'exprimer en fonction de la partie imaginaire donc ça c'est la partie imaginaire par exemple de f carré de nord fois b2 moins b1 b2 moins b1 étant donc b2 moins b1 étant donc delta fois i dans ce cas-là et je peux faire la même chose pour les autres ici je peux dire que c'est plus f de est au carré fois delta cette fois plus f de ouest au carré moins delta et moins i fois f de sud au carré donc je peux mettre le delta devant donc c'est imaginaire c'est delta et j'obtiens juste la partie imaginaire d'une certaine combinaison linéaire des carré de f sur le bord je peux vérifier c'est un tout petit calcul de nouveau que cette chose-là c'est égal en fait exactement à delta fois f de nord moins f de sud au carré plus f de ouest moins f de est au carré c'est juste un calcul de nouveau et j'ai l'égalité entre les deux donc vous voyez l'interprétation c'est que là j'obtiens le gradient de f au carré donc pour revenir à votre question à la pause en disant on s'attend à ce que le laplacien de h devienne de plus en plus petit effectivement là on se rend compte qu'il y a un delta le gradient de f devrait naturellement être d'or delta aussi et puisqu'il y a le carré ça nous donnera un delta q mais c'est sous-harmonique ou surharmonique mais seulement d'un tout petit peu ça tend effectivement à faire quelque chose donc là de nouveau c'est un tout petit calcul faut juste vérifier que les deux quantités sont égales il n'y a pas de problème on a suffisamment d'information la estolomorphicité est suffisamment contraignante pour avoir cette égalité là si vous faites pour des faces en fait vous allez obtenir ici un point delta donc là on a bien quelque chose de positif et dans le cas des faces il reste l'observation 5 que je ne vais pas faire parce qu'elle est horrible qui est d'essayer d'obtenir la précompacité elle est plus compliquée mais en quelque sorte elle est basée essentiellement sur le fait qu'automatiquement une fonction éolomorphe par exemple pour la fonction f delta ça va être facile parce qu'une fonction qui est préolomorphe elle est précompact une famille de fonctions préolomorphes dès que c'est borné c'est précompact donc faut juste montrer que c'est borné et ça c'est pas très dur et en fait pour h c'est un peu plus dur parce que c'est sousharmonique, surharmonique mais on peut aussi jouer sur le fait que les fonctions surharmoniques par exemple c'est des fonctions qui sont relativement régulières donc du coup on arrive quand même à faire quelque chose avec ça donc là c'est une partie plus technique conceptuellement il n'y a pas grand chose de cacher dedans mais c'était un truc voilà donc cette notion de l'olomorphicité c'est Stas Mirnov qui l'a introduite pour en fait montrer d'abord le cas du random cluster donc du Q égale 2 pour le random cluster qui après l'a utilisé avec Dima pour faire le théorème pour easing et vraiment si vous voulez c'est une notion de l'olomorphicité donc qui est plus forte que la notion de préolomorphicité habituelle c'est une notion qui a été faite parce qu'on pourrait juste se dire pourquoi on n'a pas juste regardé une notion de préolomorphicité juste pour qu'on vérifie pas que la fonction f delta là ce que je vais faire dans les 10 dernières minutes c'est juste vous expliquer rapidement comment on démontre que f delta est s olomorphe et dans ce cas là on a fini la preuve on pourrait dire mais pourquoi vous n'avez pas juste de montrer qu'elle est préolomorphe le problème c'est que si elle est préolomorphe les conditions au bord vont pas être faciles si j'ai juste une fonction préolomorphe je peux pas définir à priori la fonction h et donc du coup c'est pas du tout évident comment je vais essayer de démontrer qu'une limite une sous-suite convergente vaut effectivement racine de fi prime la façon de faire ça serait quoi c'est de dire je prends une limite de f de delta, imagine je vous donne que f delta est préolomorphe et borné donc vous allez me répondre j'arrive à montrer quelle est précompact donc je prends une sous-suite convergente je prends une valeur d'adhérence et j'ai envie de montrer directement que la valeur d'adhérence c'est racine de fi prime bon la valeur d'adhérence si vous réfléchissez si je suis préolomorphe c'est vraiment pas très dur en fait vraiment faites-moi confiance de montrer que cette propriété là quand on passe au continu elle implique vraiment que la fonction est olomorphe donc ma limite d'échelle ma valeur d'adhérence elle est olomorphe très bien elle est olomorphe de plus en fait là sur ce qu'on aimerait dire c'est pour l'identifier si je sais quelle est olomorphe si j'ai ces conditions au bord je sais que ça va être l'unique solution à un certain problème avec conditions au bord par exemple imaginez si je connaissais exactement ces valeurs au bord je pourrais dire c'est la solution du problème de Dirichlet associé à ces valeurs au bord le problème c'est que je connais pas je vais pas connaître les valeurs au bord de f la information que je vais avoir je vais vous expliquer juste après c'est effectivement que f² est proportionnelle à l'équation au vecteur tangent ça me donne pas la valeur ça me donne juste une information sur l'argument ça c'est ce qu'on appelle des problèmes dans le continu des problèmes de Riemann Hilbert quand je dis je veux une certaine fonction olomorphes satisfaisant que par exemple c'est proportionnel là dans le cas présent à la racine du vecteur tangent ou elle est orthogonal à la racine c'est des problèmes de Riemann Hilbert c'est des problèmes qui sont beaucoup plus durs à étudier et en particulier il se trouve que même si on a l'information au niveau discret que c'est proportionnel ça va être très très dur de montrer que n'importe quelle suite convergente valeur d'adhérence vérifie que c'est une solution du problème de Riemann Hilbert discretisé en quelque sorte on n'a pas automatiquement la convergence donc tout le génie de l'introduction de cette estholomorphicité c'est que Stas voulait avoir une définition un peu plus forte de la estholomorphicité qui nous permette de contourner le problème en définissant directement une fonction qui est en fait L et plutôt une solution d'un problème de Dirichlet parce que la fonction H moralement on a une fonction L qui est solution d'un problème de Dirichlet c'est beaucoup plus facile à identifier c'est effectivement ce qu'on fait on arrive à montrer que ça converge vers le noyau de poisson d'accord donc cette définition elle est un petit peu comme comme un cheveu sur la soupe mais c'est vraiment pour essayer de comprendre ces conditions au bord en quelque sorte alors juste je finis là en vous expliquant un petit peu parce que là il y a un gros manque dans tout ce que je vous ai expliqué c'est que je ne vous ai pas dit que F delta était estholomorphe si il n'est pas estholomorphe on ne peut pas du tout appliquer toutes ces observations pour montrer qu'effectivement la proposition est vraie donc il faudrait vérifier que la fonction est estholomorphe donc dernière proposition F delta est estholomorphe alors il y a deux choses à faire dans la notion de estholomorphicité si je l'ai vraiment définie comme ça le problème c'est que quand je disais sur le bord je ne sais plus ce que j'ai marqué la définition sur le bord je voulais dire moins à delta faut enlever à delta si vous revenez à la elle vérifie pas la propriété d'être proportionnelle au vecteur tangent sur le bord ok prenons z delta sur le bord de notre graphe mais z delta différent de à delta et l'observation ça va être la chose suivante quand je suis sur le bord si j'ai une arrête sur le bord comme ça donc je suis en train de regarder la somme sur tous les les configurations tous les sous-graphes tous les sous-graphes de e à delta z delta et je dévisse par la même somme pour tous ceux qui finissent en b delta la question c'est que dans ce cas là le terme de winding puissance moinsie sur deux fois le winding entre a delta et z delta il est déterministe vous pouvez vérifier que quelle que soit la courbe allant de a delta et z à z delta restant dans le domaine omega delta quelle que soit la courbe le winding sera toujours le même ce sera en fait le même que si vous alliez le long du long ici parce que le domaine est simplement connexe ce sera toujours le même cette courbe là elle est rétractable donc en particulier son winding c'est deux pis mais du coup tout ça ça me dit que le terme ici quand je retourne ici le terme de winding en fait il est déterministe je peux le sortir il dépend pas de la configuration omega même chose ici et du coup je vais avoir quoi je vais avoir ce winding entre a delta et z delta divisé par le puissance moinsie sur deux fois le winding entre a delta et b delta et ce winding je peux le voir sur n'importe quelle courbe qui va de a delta à z delta et de a delta à b delta donc pourquoi pas prendre le bord tout simplement et si vous prenez le bord ce que vous allez observer c'est que en fait ce e puissance y sur deux fois le winding a delta z delta moins e enfin plus moins winding de a delta b delta ça c'est exactement ce qui va me donner l'argument de f sur le bord parce que après le reste de la somme est juste réel positif ça ça va vous dire que cette chose là elle est effectivement parallèle à racine un vecteur ici quel que soit le bord c'est quelque chose qu'il faut vérifier mais c'est toujours le cas donc si vous élevez au carré ça ça va être l'argument de carré de f et vous pouvez vérifier c'est toujours parallèle au vecteur tangent vous le vérifiez juste par en partant par exemple de b delta et en allant le long du bord étape par étape à chaque fois la propriété est préservée puisque le vecteur tangent va bouger d'un certain winding mais ici vous êtes en train de prendre le winding du bord donc le winding du bord bouge exactement de la même façon donc ça va toujours être parallèle au vecteur tangent alors c'est pas tout à fait vrai parce que c'est lambda e winding qui va être toujours parallèle au vecteur tangent pour un certain lambda qu'il faut fixer donc en fait ça je voulais le mettre sous le tapis avant mais là je vous dis juste entre parenthèses ici il y a un petit nombre complexe de modulins qu'il faut mettre qu'il faut choisir en fonction de l'orientation de b delta en fait si b delta est une arrête qui va comme ça qui va comme ça peu importe oublier ce problème en gros la chose importante c'est le fait que le winding soit déterminé sur le bord vous permet de définir de comprendre quel est l'argument de la fonction sur le bord point d'accord donc ça ça nous dit que les conditions au bord sont bonnes et maintenant reste la chose compliquée qui est à l'intérieur comment on montre que la fonction était solomore vous pouvez montrer qu'elle est solomore ce qu'il faut faire il faut calculer la projection donc je vais prendre un x et un y qui sont au milieu de deux arrêtes e, elle est orientée comme ça il faut projection sur racine de e bar de f de x égal projection sur racine de e bar de f de y d'accord alors vous remarquerez que f de x c'est une somme donc f de x je peux l'écrire comme somme de x de omega ou x de omega c'est la contribution de omega à f donc c'est quoi c'est ce terme-là ce terme-là je l'appelle x de omega pour f de x donc ici et je vais même me simplifier encore plus la tâche donc ce que je ce qui serait parfait c'est d'arriver à montrer que la projection c'est une grosse somme sur tous les ce qui serait parfait c'est d'arriver à montrer que la projection de x de omega sur racine de e bar c'est égal à la projection de y de omega sur racine de e bar pour tout omega si j'avais ça en saumant sur omega j'obtiendrai l'égalité entre les deux sommes d'accord seul petit ic dans tout ça c'est que pour que omega contribue à x il faut que ce soit un élément qui est dans e de a delta x et si je veux qu'il contribue à y de omega il faut que ce soit un élément de e a delta y or ces deux ensembles qui sont dix joints donc soit cette chose là vaut zéro soit cette chose là vaut zéro les deux peuvent pas être non zéro en même temps d'accord donc ça c'est absolument aucune chance de marcher par contre peut-être que je peux trouver une fonction s qui va de e a delta x dans e a delta y bijective et tel que j'ai cette chose si j'arrive à faire ça là j'ai gagné alors c'est possible de le faire c'est très c'est un peu technique mais c'est possible de le faire donc par exemple pour vous donner un ou deux exemples donc si j'ai ça comme ça peut-être je vous donne l'exemple le plus simple si j'ai la courbe qui arrive comme ça et qui descend ici donc ça c'est omega donc elle contribue bien à x de omega x est là vous allez associer à s de omega qui est là exactement donc il y a aussi des boucles partout mais disons qu'on est comme ça vous allez exactement associer à la même chose sauf que vous bougez cette demi arrête ici vous la faites venir là et vous ne bougez rien d'autre pour toute configuration comme ça vous l'associer à s de omega qui est cette configuration là en fait c'est assez simple de calculer la contribution de x de omega en fonction de celle de y de omega pourquoi il y a le même nombre d'arrêtes donc le x c puissance omega c'est le même ici c'est exactement la même chose bien entendu et ici le winding de la courbe entre a delta et x ou le winding de la courbe entre a delta et y bah ils sont très faciles à relier tout simplement pour celle là il y a un tour vers la droite en moins donc le winding ici va être p sur 2 plus le winding ici du coup puisqu'on arrive bien exprimé y de omega en fonction de x de omega avec un tout petit peu plus de travail c'est pas très dur d'imaginer qu'on peut montrer que les deux projections contre c'est en fait la racine carré du conjugué de cet angle est le même de ce nombre complexe est le même on peut faire ça ça règle le cas de ce type de configuration il y en a plein d'autres par exemple on pourrait il y a des configurations qui arrivent comme ça juste deuxième exemple on peut tous les faire par réarrangement local il y a les courbes qui font comme ça celle qui arrive et qui finissent ici celle là on va les associer aux courbes on va les associer à ces courbes et puis tous les gars comme ça on les associer à ces gens là et là de nouveau le winding il est relativement simple à calculer il y a le même nombre d'arrêtes ouvertes et pour calculer le winding on peut voir que le winding ici par rapport ici qu'est ce qui se passe là il faut rajouter le winding de ça et en fait dans un dans un un domaine simplement connex vous pouvez vérifier que le winding de ça il est déterminé c'est toujours le même quel que soit même si vous avez fait en fait super on s'amuse on fait ça comme ça et on arrive ici ce sera le même chose que d'avoir fait ça ça ça du coup on a une expression on peut exprimer exactement y de omega y de s de omega en termes de x de omega et on peut vérifier que les projections sont les mêmes comme ça il y a 6k il y a 6k ici ils sont mappés à 6k ici et dans chaque cas il y a une contribution comme ça donc un réarrangement local permet de montrer que la fonction était solomorfe du coup la théorie des fonctions est solomorfe si vous voulez qu'il n'a rien à voir avec le model desing c'est le seul endroit où on utilise le model desing ici ça et ça c'est les deux seuls endroits où on utilise le model desing avant ça on n'a pas utilisé le model desing justement c'est bien un peu ma question si on prend du recul on demande où est-ce qu'on utilise ici où est-ce qu'on utilise y sur 2 et encore une question donc y sur 2 c'était ici évidemment voilà exactement c'est surtout là en fait mais par contre le fait qu'on a pris x c alors en fait ici quand on va faire les réarrangements il y a certains réarrangements où on ajoute des arrêtes du coup là dans ce cas-là est-ce que j'en vois un là oui par exemple celui-là donc si on arrive si on arrive comme ça donc si on a une boucle qui passe là et qu'on arrive comme ça là ce qu'on va faire c'est qu'on va faire comme ça toc toc et on va avoir la boucle qui reste là donc là on a changé on a rajouté un 2 demi arrêtes donc on a rajouté un x c et ça l'égalité ici ne va fonctionner que pour ce x c là c'est une très bonne question parce que c'est vrai que ça met en valeur ça donc c'est l'endroit la map la bijection entre 7 ensemble et 7 ensemble ne préserve pas le nombre d'arrêtes et donc du coup il y a un poids plus intégrable que les autres pour lesquels on a cette propriété c'est une très très bonne question et le y sur 2 en fait n'intervient pas on n'aurait pas y sur 2 ça changerait, ce serait pas le carré qui serait proportionnel au vecteur tangent ce serait une autre puissance imaginer qu'on aurait y sur 3, ce serait le cube d'ailleurs c'est ce qui permet de prédire pour les autres modèles en fait ce qui va se passer c'est que la propriété de y sur 2 elle nous a permis à cet endroit là que j'avais effacé mais quand j'ai dit e1 et e2 e1 et e3 ils ont un argument de pi entre eux du coup la racine, un argument de pi sur 2 les deux gaz sont orthogonaux ça c'était hyper important si on prend un autre an que ce sera plus vrai cette propriété dans ce cas là c'est peut-être la façon la plus simple de voir que y sur 2 un demi joue un reparticule voilà donc easing nous permet de dire que c'est solomorph, la théorie des fonctions est solomorph qu'on peut développer par elle-même permet de dire qu'on a le droit de définir h qui est la primitive la partie imaginaire de la primitive du carré et après, juste en fait on arrive à en déduire que cette personne là c'est la partie imaginaire de phi, de psi, donc du coup f converge vers racine de psi prime à partir du moment où on a cette convergence on arrive quand on arrive à décrire cette fonction f on arrive aussi à décrire en fait les interfaces donc ces interfaces on va pouvoir montrer quelques converges vers ce qu'on appelle l'évolution de Schramm-Löwner on arrive à identifier là qu'elle sait, on arrive même à décrire l'ensemble des boucles en fait l'ensemble des boucles ça va converger vers ce qu'on appelle un conformal loop and symbol etc donc on a beaucoup plus d'informations que ça voilà donc je finis là dessus c'était un peu rapide mais c'est un théorème qui n'est pas complètement évident à montrer de façon claire donc j'espère au moins que je vous ai donné un petit peu l'idée comment c'était fait et je vous remercie d'avoir suivi jusqu'à la fin et bonne journée