 Herzlich willkommen zu unserer nächsten Vorlesung, zur Vorlesung über Signaltheorie. Es freut mich sehr, dass Sie wieder mit dabei sind. Wir beginnen hier, uns nun in ein ganz neues Themengebiet zu bewegen, und zwar ein Themengebiet, was der angewandten Physik entnommen ist. Und wir werden hier einen ganz anderen Blick auf Finanzmarktzeit rein erhalten. Und ich hoffe, ich schaffe es mit dieser Veranstaltung auch, Ihre Wahrnehmung, was Zahlen und mathematische Konstrukte angeht, noch um einiges zu erweitern. Wo befinden wir uns hier in unserer Vorlesung? Wir befinden uns nunmehr in der 6. Vorlesungseinheit, und wir sind auch schon fast am Ende. Wir haben noch zwei, ich sag mal, zweieinhalb Veranstaltungen vor uns. Das heißt, wir sind jetzt schon sehr weit fortgeschritten, und ich freut mich, dass Sie hier so regelmäßig dabei sind. Was werden wir in dieser Vorlesung über die Signaltheorie lernen? Was werden wir für Themen behandeln? Ich möchte als erstes einmal eine Einleitung geben und eine Definition von Signaltheorie. Was ist das denn überhaupt? Wo kommt das her? Für was kann man das benutzen? Anschließend werde ich einen etwas exotischeren Weg in Eulers Formel und die Vorbereitung zur Foyer-Transformation aufzubereiten. Hier bediene ich mich der sogenannten Gruppentheorie, und ich werde diese Gruppentheorie auch nicht mathematisch einführen. Danach lernen wir Eulers Formel kennen. Was das ist, lernen wir dann noch. Wir werden uns mit Foyer rein und der sogenannten Foyer-Transformation beschäftigen. Wir werden lernen, was ist denn die heißenbergische Unschärfe-Relation, und werden uns letzten Endes dem Themenkomplex der Wavelets widmen. Ich möchte vorab noch einige Worte loswerden. Zum einen ist das Thema Signaltheorie wie alle anderen Themen, die wir hier in diesem Purs behandeln, sehr umfangreich, sehr komplex und sehr tiefgreifend, nenne ich es jetzt einmal, und wir werden hier es auch nur schaffen, an der Oberfläche zu kratzen. Und das ist auch mein einziges Ziel, Ihnen erst einmal dieses Themengebiet näher zu bringen und Ihnen ein rudimentares Verständnis davon aufzubereiten, was man damit denn alles tun kann. Ich habe Ihnen hier wie immer im Kurs tiefgreifende Quellen und weiterführende Literatur bereitgestellt, für diejenigen von Ihnen, die vielleicht direkt aus den Ingenieurswissenschaften kommen und mit den Konzepten bereits vertraut sind, als auch für diejenigen, die zum ersten Mal mit der Signaltheorie zu tun haben. Ich habe hier Anleitungen, die von Grund auf neu beginnen und ich habe auch weiterführende Bücher bereitgestellt, die Ihnen einen tiefen Einblick in diese Thematik geben können. Kommen wir jedoch zunächst einmal zu der Frage, die die meisten interessiert. Warum das denn jetzt? Also warum Signaltheorie? Für was ist das relevant? Wir wollen hier ja Data Science und Finanzmarktanalyse betreiben. Für was brauchen wir Signaltheorie? Bisher sind wir an die Finanzmärkte mit nur sehr wenigen außerordentlichen Gebieten herangetreten, sondern haben uns hauptsächlich auf stochastische Prozesse gestützt und erfasse ich die Zeitreihenanalyse einfach mal mit rein. Das heißt, wir haben mit Ausnahme der fractalen Geometrie relativ wenige exotische Bereiche kennengelernt. Allerdings hört sich das jetzt auf, also ab sofort werden wir nur noch Themengebiete und Felder bearbeitet, die eigentlich zunächst einmal nichts mit Finanzmärkten zu tun gehabt haben. Und deswegen fangen wir in diesem Kapitel an, uns erst einmal Konzepte aus der angewandten Physik bzw. den Ingenieurswissenschaften zu entleihen und damit Finanzzeitreihen zu analysieren. Das heißt, wir werden im Verlaufe des Kurses bzw. auch für diesen Teil für die Signaltheorie eine Finanzzeitreihe wie ein Signal behandeln, deren Frequenz wir analysieren möchten. Und der Fokus liegt hier auf der Foyettransformation und auf Wavelets. Ich habe es ja bereits schon gesagt, der Kursumfang lässt einen tiefen Einstieg nicht zu, weswegen wir uns hier auf die grundlegenden Konzepte und die grundlegenden Ideen beschränken werden. Das macht in dem Sinne allerdings nichts, wie dann natürlich die nötigen Quellen haben, sich tiefergehend einzulesen. Ich kann zudem nicht davon ausgehen, dass jeder Kursteilnehmer einen physikalischen Hintergrund hat und das alles schon mal gehört hat in der Tiefe. Deswegen fangen wir hier faktisch bei null an und wir beginnen rudimentär und beschränken uns tatsächlich auf die wesentlichen Merkmale. Ich habe es ja bereits schon gesagt, es ist eine weitreichende Literatur bereitgestellt für diejenigen, die mehr wissen möchten und wie sie das Ganze dann programmatisch für sich selbst ausprobieren können. Das haben wir wie immer in der Finanzmarktzeitreinanalyse im beiden Video gezeigt und daher wünsche ich Ihnen jetzt hier viel Spaß, bitte. Lassen Sie sich da wie immer drauf ein, seien Sie neugierig und wir beginnen jetzt einfach mal mit der Frage, was ist eigentlich Signaltheorie? Signaltheorie im ganz Allgemeinen ist die Zusammenfassung von Verfahren und Methoden, welche zur Auswertung von sogenannten Signalen, die von beliebigen Prozessen oder Systemen erzeugt werden genutzt bzw. angewandt werden. Das heißt in Kurzform Signaltheorie, Auswertung, Signale. Macht es Sinn? Was ist denn jetzt ein Signal? Ein Signal kommt vom lateinischen Signal ist dazu bestimmt und von signum ein Zeichen. Das heißt ein Signal ist ein Zeichen mit einer bestimmten Bedeutung, die das Signal durch Verbreitung oder Vorschrift erhält. Und in diesem Kurs werden wir als Signale Zeitrein oder periodische oder nicht periodische Funktion verwenden. Das bedeutet für die Elektrotechniker oder Ingenieure unter ihnen, hier kann man auch Messrein verwenden, die aus irgendwelchen technischen Geräten kommen. Das ist ein Signal, das wir uns mit den Signale Zeichen nehmen oder für den Teil, den wir hier eben betrachten, die Finanzzeitreihe, verwenden wir einfach unsere altbekannte Tesla-Zeitreihe oder jede beliebige andere Finanz-Aktienzeitreihe und sagen, das ist ein Signal und das möchten wir bitte bearbeiten und verarbeiten und analysieren, als ob es hier ein technisches Signal wäre und dann fragen sie sich, Hintergrund ist, dass es in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der Statistik die Möglichkeit gibt, stochastische Prozesse und Variablen mittels der sogenannten Spektralanalyse zu untersuchen und diese Spektralanalyse bildet die Grundlage für die sogenannte Signalverarbeitung. Sie werden sich jetzt wahrscheinlich zudem denken, wir hatten jetzt doch schon einige Veranstaltungen zu stochastischen Prozessen und auch zur Wahrscheinlichkeitstheorie. Warum haben wir das bisher nicht gehört? Darauf gibt es eine ganz einfache Antwort. Diese Spektraldarstellungen sind mathematisch sehr umfassend und auch nicht unbedingt das trivialste, sage ich mal. Und dieser Kurs hat eben nur einen begrenzten Umfang, deswegen habe ich das bisher ausgeschlossen und wir werden hier nicht auf beispielsweise die Spektraldarstellung von Markov oder Levy-Prozessen eingehen. Sie sollten sich im Hinterkopf behalten, dass es das gibt. Das ist möglich, aber das machen wir hier aus umfang technischen Gründen einfach nicht. Wie fahren wir denn jetzt fort? Ich habe das vorher so ganzer Lob schon mal postuliert. Die Vermutung, welche wir in diesem Kapitel untersuchen möchten, ist, dass Finanzzentren als Signal interpretierbar sind und auch als solches auswertbar ist. Das ist unsere Arbeitshypothese. Die habe ich vor einfach so in den Raum gestellt, ohne etwas dazu zu sagen, gilt diese Annahme. Diese Annahme, die wir jetzt einfach mal treffen, Finanzzeitreihen, sind als Signal interpretierbar. So kann man Informationen über die Frequenz und die Beschaffenheit des Signals gewinnen, indem man eben die Signaltheorie darauf anwendet. Und gewinnen wir Informationen, so können wir natürlich als findige Finanzanalysten diese ausnutzen und versuchen damit monitäre Vorteile durch geschickte Modellierung zu erlangen. Das ist so unser Hauptantrieb. Wir möchten gucken oder wir möchten herausfinden, Finanzzeitreihen als Signal interpretierbar, ja oder nein. Und falls ja, bekommen wir da Informationen, die sonst nicht zugänglich sind und können wir die monitär nutzen. Oder können wir die nutzen, um bessere Modelle zu bauen. Und letzten Endes geht es darum, wenn ich bessere Informationen finde und die auch noch modellieren kann, kann ich damit Geld verdienen. Wir steigen hier jetzt ein, die Gruppentheorie und Euler's Formel befassen. Und in diesem Kurs versuchen wir uns didaktisch einmal an einer Nichtstandardisierten Erangehensweise. Das heißt, wir werden hier keine mathematische Einführung in die Gruppentheorie machen und wir werden auch keine direkte Einführung in Euler's Formel machen. Und ich werde auch einen anderen Ansatz wählen, Ihnen die Fourier rein und die Fourier-Transformation darzustellen, wie das, was Sie in einer Standardvorlesung gewohnt sind. Ich orientiere mich hier an einem YouTube-Video von 3Blue1Brown Channel, der das mathematisch, grafisch visuell dargestellt hat. Da können Sie gerne auf YouTube auch einmal schauen. Ich bin da ganz transparent, dass ich mich daran orientiere, nicht um hier irgendwie Werbung zu machen, sondern da habe ich die Idee schlicht her. Das heißt, Gruppentheorie auf nicht mathematischer, aber anschaulicher Art einzuführen, um Ihnen einen anderen Horizont und einen anderen Blick auf Zahlen zu ermöglichen. Und was wir hier demnach nicht leisten können, sind mathematische Beweise, mathematische exakte Präzision und eine umfängliche Einführung in die Gruppentheorie. Das ist auch nicht Thema des Kurses. Ich nutze die Gruppentheorie allerdings um Ihnen ein anderes Bild von Zahlen zu geben und das hat mir zumindest, wo ich mir damals diesen Themenkomplex angeeignet habe, sehr geholfen, um sie zu haben. Deswegen möchte ich das gerne an Sie weitergeben. Deswegen bitte ich Sie nochmal, lassen Sie sich mal darauf ein und wir können gerne in einem Webinar darüber diskutieren, ob dieser Ansatz zielführend ist oder nicht. Wir beginnen hier allerdings erst einmal. Was ist denn nun Gruppentheorie? Gruppentheorie ist ein weiteres, sehr großes mathematisches Feld und heruntergebrochen befasst sich die Gruppentheorie mit der allgebralschen Eigenschaft der Symmetrie. Wie kann ich Symmetrie auf Zahlen zahlen Körper und andere mathematische Gegebenheiten anwenden? Wie untersuche ich den Symmetrie? Und wir machen das an einem ganz einfachen Beispiel. Wir betrachten uns dazu folgendes rotes Quadrat. Nachdem die Symmetrie an einem Quadrat etwas schwierig darstellbar ist und man sich das auch etwas schwer vorstellen kann, habe ich Ihnen hier einfach noch ein asymetrisches Muster mit eingefügt, dass Sie sich auch vorstellen können, wo hier denn was ist. Wir betrachten uns aber wie gesagt dieses rote Quadrat. Und was kann man hier im Rahmen der Symmetrie an sogenannten Aktionen denn vornehmen? Ich kann das Quadrat spiegeln an den Seiten halbieren und an den Diagonalen und ich kann das Quadrat rotieren, das heißt, ich kann das hin und her drehen und wenn wir uns das Quadrat jetzt näher im Kopf durchgehen, gibt es genau 8 Möglichkeiten oder 8 mögliche Aktionen, die dazu führen, dass dieses Quadrat auch als Diedergruppe vom Grad 8 bezeichnet werden kann. Das heißt, ich kann das Quadrat in der Aktion im Rahmen der Symmetrie vornehmen können. Ich kann das Quadrat spiegeln an den Seiten halbieren und die Gruppe vom Grad 8 bezeichnet werden kann und damit zu den endlichen Gruppen gehört. Das bedeutet, die Anzahl an Aktionen die ich im Rahmen der Symmetrie in der Gruppentheorie bei einem Quadrat ausführen kann ist auf 8 beschränkt. Das heißt, wir haben ein Grad 8 und die Gruppe ist endlich und das ist aber nicht für alle Gruppen so. Wir betrachten uns hier gleich einmal ein unendliches Beispiel. Ein paar schwarze Markierungen drauf und bei einem Kreis ohne Spiegelungen gibt es unendlich viele Möglichkeiten zur Rotation. Das heißt, ich kann jeden Punkt auf diesem Kreis erreichen, indem ich ihn rotiere und das habe ich ja gerade schon gesagt, durch Rotation kann man hier jeden Punkt auf dem Kreis erreichen. Das heißt, ich dreh den Kreis nach links oder nach rechts um die Rotation zu erreichen. Das ist bei dem Quadrat nicht so und das ist auch nicht bei jeder Gruppe so. Jetzt stellen wir uns doch erstmal die Frage, was passiert denn jetzt? Wenn wir unseren Kreis um 270° drehen und dann nochmal um 135° drehen, Sie merken, Ihr visuelles Vorstellungsvermögen ist jetzt gefordert und ich habe das Ihnen hier mal grafisch dargestellt. Bei dem Punkt rechts, Mitte an und wir drehen den um 270° und dann drehen wir den nochmal um 135° und was stellen wir hier fest? Wir stellen allgemein fest, dass zwischen 0 und 2p Rad jeder Punkt zu erreichen möglich ist und wir demnach ein Continuum vorliegen haben. Das ist mal die erste Erkenntnis und die zweite Erkenntnis ist was passiert denn jetzt, wenn ich erst um 270° drehe und dann um weitere 135° drehe. Naja, wir kommen irgendwann überschreiten wir die 360° und dann stellen wir fest, dass dies gleich eine Drehung um 45° ist. Das heißt, wenn ich erst um 270° drehe und dann um weitere 135° drehe entspricht das genau den selben Ergebnis wie wenn ich meinen Punkt nur um 45° drehe und was heißt das denn jetzt? Das bedeutet, dass man Aktionen im Rahmen der Gruppentheorie einer gewissen Arithmetik unterwerfen kann und hier zum Beispiel die Artitivität. Das heißt, wir rechnen die 270° plus die 135° und kommen dann bei 45° raus. Was können wir jetzt daraus denn Schluss folgeln? Was hat das denn mit einer Euler Formel zu tun, dass wir drehen und spiegeln können, wie wir lustig sind und das irgendwie zusammenzählen können? Das ist eine gute Frage. Gehen wir mal eine Folie weiter und wir haben ja gerade festgestellt, wir können einer Gruppe nicht nur Symmetrie unterstellen, wir können nicht nur deren Eigenschaften untersuchen, sondern wir können dieser Gruppe auch eine gewisse Arithmetik in den Aktion unterstellen. Für diejenigen von Ihnen, die ein gutes visuelles Vorstellungsvermögen haben ist das bereits aufgefallen. Was passiert denn jetzt? Kommen wir wieder zu unserem roten Lieblingsquadrat. Wenn wir dieses Quadrat um 90° rotieren und vertikal spiegeln. Wenn Sie sich das im Kopf mal vorstellen, dann ist das exakt dasselbe, wie wenn ich eine diagonale Spiegelung vornehme. Das bedeutet, nicht nur, dass wir Aktionen ausführen können und dass hier eine gewisse Arithmetik unterliegt, sondern wir sehen dass Symmetrie bei Gruppen als Zusammenfassung und Kombinationen von Aktionen verstanden werden können, welche wie gesagt eine Art Arithmetik unterliegen und hier kann man als Beispiel nicht nur die Addition nennen, sondern auch die Multiplikation und was macht denn jetzt eine Gruppe zu Gruppe und zwar genau das, dass wir die Symmetrie untersuchen können, dass wir eine Art Arithmetik unterstellen können und dass wir die zusammenfassen und kombinieren können, wie am Beispiel Addition und Multiplikation zu sehen ist und wir nähern uns jetzt doch langsam aber sicher mal dem eigentlichen Thema und dazu betrachten wir uns ein weiteres Beispiel, nämlich die rellen Zahlen gerade und wir sind es eigentlich gewöhn, Zahlen als etwas anzusehen was man zusammenzählen muss und nicht als Objekte mit denen man Aktionen ausüben kann also betrachten wir die reelle Zahlen gerade und definieren diese reelle Zahlen gerade als eine Gruppe und was passiert denn nun wenn ich sage ich rechne 1 minus 2 was bedeutet das denn das bedeutet, dass ich diese Gruppe verschiebe und zwar so verschiebe dass sich hier meine 1 1 auf die minus 1 verschiebt das heißt, ich habe das hier mal mit 2 Zahlen gerade abgebildet aber effektiv verschieben wir und rotieren und drehen und dehnen wir diese Gruppe so, dass aus der 1 eine minus 1 wird nachdem wir hier eben die Arithmetik der Addition ausführen dürfen auf dieser reellen Grade die ich Ihnen gerade gezeigt habe kann man einen Punkt folgen indem man ihn hin und her schiebt eine Verschiebung um 3 Einheiten vom Punkt 0 an und eine weitere Verschiebung um 5 Einheiten kann dann als Addition aufgefasst werden, also 0 plus 3 plus 5 ist 8 und dies liefert uns ein neues Verständnis wie man den Zahlen betrachten kann und wie Gruppen miteinander interagieren also es klingt sehr trivial 3 plus 5 ist 8 und Sie werden sich jetzt fragen ja, what of it warum so kompliziert 3 plus 5 ist 8 rechnen konnte ich vorher auch schon aber wenn wir nun diese Zahlen gerade als Gruppe betrachten und wir die Interaktion zwischen diesen Gruppen ansehen sind die Zahlen keine Zahlen mehr sondern mathematische Objekte denen wir im Verständnis eine Aktion zuordnen können und Sie werden später noch erkennen warum ich diesen Zugang so intuitiv finde bleiben wir aber erstmal bei der reellen Zahlen gerade und betrachten uns doch mal Potenzen 2 zum Quadrat ist 2 mal 2 und 2 hoch 3 ist 2 mal 2 mal 2 und wenn wir jetzt sagen 2 zum Quadrat plus 2 hoch 3 ist dann eben 2 mal 2 mal 2 mal 2 mal 2 und aus dem Potenzrechen regeln wissen wir, dass wir hier die Exponenten einfach zusammenzählen können also 2 hoch 2 plus 3 ist 2 hoch 5 und wir haben eben hier dieses bekannte Gesetz was ich unten hier noch dargestellt habe ich denke das ist eben klar und das klingt intuitiv Potenzen sind ja multiplizieren das ist das was wir in der Analyse gelernt haben was wir in der Schule gelernt haben dass wir uns der ein oder andere Dozent und Professor an einer Hochschule ebenfalls schon zu genüge ich sag's mal reingetrichtert hat Potenzen sind Multiplikation aber diese intuitive Auffassung stößt in unserer Vorstellung her an seine Grenzen wenn wir z.B. Therme betrachten wie 2 hoch ein Drittel 2 hoch minus 1 oder wenn wir in die komplexen Zahlen wandern und das werden wir gleich auch noch 2 hoch i da ist diese Intuition Potenzen sind ja multiplizieren ein bisschen schwierig also ich persönlich tu mir da schwer mir das als Multiplikation vorstellen zu können und wenn wir dies nun auf die Gruppentheorie übertragen assoziieren wir den additive input mit einem multiplikativen Output und das heißt die Gruppe hält hierbei ihre Struktur konstant und die Struktur und diese Erhaltung hier nennt sich auch Homomorphismus falls Sie das schon mal gesehen haben das heißt wenn ich jetzt diese Kreuzfunktion XY habe dann kann ich das auch als f von x mal f von y schreiben und worauf möchte ich denn jetzt eigentlich raus warum stelle ich Ihnen das so in dieser Detailtiefe denn vor fangen wir mal an Addition ist somit eine Verschiebung um X-Einheit nach links oder nach rechts um die Multiplikation als Dehnung oder Stauchung ansehen können ich habe Ihnen hier nochmal unsere reellen Zahlen geraden mitgebracht und ich möchte jetzt 1 halbieren das heißt ich nehme den Punkt 1 und stauche ihn so lange bis er auf der Höhe von 1 halb sitzt das heißt ich kann die Addition und Multiplikation in intuitiven Vorstellungen auch als Verschiebung Dehnung oder Stauchung eines mathematischen Objektes verstehen und zwar so dass die Elemente anderweitig aufeinander zeigen im Rahmen der komplexen Zahlen betrachten wir das sogar noch als Rotation auf dem Einheitskreis das sehen wir gleich aber noch das heißt bei der reellen Zahlen gerade können wir Dehnen, Stauchen und Verschieben und wenn wir uns in dem Bereich der komplexen Zahlen bewegen können wir die Rotation als Aktion ansehen und bevor wir aber hier auf irgendwelchen komplexen Einheitskreisen rotieren das machen wir nachher noch zu genüge rotieren wir erstmal noch ein bisschen langsamer und fangen erstmal an und beachten uns die komplexe Zahlen Ebene bevor wir erklären bevor wir überhaupt darauf eingehen können für das braucht man dann komplexe Zahlen das mag für die Ingenieure unter ihnen nicht mäßig interessant sein aber wie ich es eingangs schon gesagt habe kann ich nicht davon ausgehen dass meine komplette Audienz hier aus Ingenieuren besteht deswegen kommen wir doch mal langsam aber sicher zum interessanteren Teil komplexe Zahlen und Euler was hat denn jetzt diese Gruppentheorie die ich jetzt doch etwas länger eingeführt habe mit Euler Formel zu tun und was bringt mir das für die Signaltheorie beachten wir uns hier doch als erstes mal die komplexe Zahlen Ebene was komplexe Zahlen denn nun genau sind für diejenigen die das nicht kennen da kommen wir noch drauf wir werden da allerdings nicht in die Tiefe einsteigen für diejenigen von ihnen die denken negative Wurzeln kann man nicht berechnen man kann es, das geht wir betrachten uns hier mal diese Zahlen Ebene wir haben hier unsere reelle Zahlen gerade die wir gerade gesehen haben gerade und in y Richtung haben wir eben die positiven und negativen imaginären Zahlen und was machen wir denn jetzt wir haben hier den Punkt 2i plus 2 zudem wollen wir hin und wie komme ich denn da hin das kennen Sie wir gehen erstmal auf der reellen Richtung auf plus 2 und da gehen wir 2i nach oben und wenn ich jetzt hier mir vorstelle ich befinde mich in einem Vektoraum dann kennen Sie das als kräfte parallelogramm um das mal amateurhaft darzustellen das heißt wir verschieben eben die reelle nach oben und kommen auf unsere Richtung nach x und x ist dann vom Ursprung aus der Vektor der uns zu 2i plus 2 führt das ist den Ingenieur garantiert bekannt allerdings was können wir denn noch machen diese 2 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach oben gehereien nenne ich jetzt mal ist gleich eine Rotation um alpha Grad und einer Dehnung um x Einheiten das bedeutet wir rotieren unsere plus 2 reell um einen Winkel alpha nach oben und wir dehnen das solang bis wir zu diesem Punkt gelangen das klingt jetzt sehr kryptisch ich habe das hier mal noch mal etwas langsamer dargestellt wir fixieren unseren Punkt 0 wir verschieben den auf 1 das ist eine Verschiebung und rotieren diesen um einen gewissen Winkel alpha solang bis wir bei i plus 1 rauskommen und wenn wir jetzt natürlich auf 2i plus 2 gehen wollen dann dehnen wir das ganze nochmal um die Einheiten x solange bis wir bei 2i plus 2 rauskommen das ist das was wir mit der Gruppentheorie hier tun kann wir brauchen hier kein Kräfteparallelogramm nicht sondern wir nehmen unseren Nullpunkt, wir verschieben ihn und wir rotieren ihn solang bis wir bei i plus 1 rauskommen und dann ist es nämlich so wie wenn wir eine Rotation plus eine Dehnung um x Einheiten bei Winkel von alpha vorliegen haben und warum machen wir das denn das klingt ultra kompliziert das ist jetzt vielleicht auch nicht die eleganteste Möglichkeit das einzuführen aber warum habe ich mich für diesen Weg entschieden ihnen das näher zu bringen gehen wir wieder von unserem Nullpunkt aus und verschieben diesen auf plus 1 dann stehen wir wenn sie sich vorstellen dass wir jetzt einen Spaziergang auf der realen Zahlen gerade machen dann stehen wir gerade bei plus 1 und jetzt rotieren wir um ein Winkel alpha gleich 90° und wir sehen dass wir dann bei plus i rauskommen was passiert denn jetzt wenn wir nochmal um 90° rotieren das heißt insgesamt eine Rotation um 180° vornehmen dann stehen wir auf einmal bei der minus 1 jetzt wenn ich von Null an eine Verschiebung auf plus 1 vornehme und mich 2x um 90° in der komplexen Zahlenebene rotiere stehe ich auf einmal bei minus 1 also haben wir den Weg von der plus 1 zu minus 1 absolviert indem wir eine Rotation um 180° vorgenommen haben und das ist jetzt nicht nur so dass sich der Punkt bewegt sondern wir rotieren diese komplette Zahlenebene als Gruppe in Würfel oder beziehungsweise wie das Quadrat welches wir ganz am Anfang gezeigt haben wird das rotiert um 90° und dann rotieren wir das ganze nochmal um 90° das heißt wir schieben hier nicht nur Punkte hin und her sondern wir rotieren diese komplette komplexe Zahlen eben und wenn wir hier herangehen dann wissen wir auf einmal auch was i ist also diese imaginäre Zahl i wenn wir sagen okay Rotation 90°i nochmal Rotation 90°-1 dann können wir daraus ablesen dass wir um von der plus 1 auf die minus 1 zu kommen i² benötigen also i² gleich minus 1 welches wir quasi schon als Grunddefinition komplexer Zahlen lernen würden wenn wir jetzt einen normalen Kurs darüber hätten was bringt uns die i² gleich minus 1 denn nehmen wir mal das Beispiel wir haben y ist gleich Wurzel minus dann sagen wir diese minus 16 ist gleich 16 mal i² also haben wir y gleich 4i das bedeutet dass wir die reellen Zahlen durchaus nochmal erweitern können also diejenigen bei denen r das maß der Dinge war wir sind jetzt in c komplexe Zahlen und was heißt das für uns denn jetzt wir können komplexe Zahlen als Kombination aus Rotation auf dem Einheitskreis sowie einer Dehnung oder Stauchung darstellen nachdem wir um den Einheitskreis herum die komplexe Zahlenebene komplett rotieren können und wenn wir Punkte außerhalb dieses Einheitskreises benötigen sagen wir mal wir möchten hier wieder auf unsere 2i plus 2 wandern dann können wir die komplexe Zahlenebene um einen Winkel alpha rotieren und anschließend um eine beliebige Weglänge x dehnen so dass wir bei dem 2i plus 2 gewünschten Punkte herauskommen und das ist eine ganz andere Wahrnehmung komplexer Zahlen oder allgemein von Zahlen dass wir die rotieren, verschieben dehnen und stauchen können wie einfach nur zu sagen ja das kann man halt irgendwie zusammenzählen und intuitiv bedeutet dass wir jeden Punkt in dieser komplexen Zahlenebene durch eine Rotation oder eine Dehnung und Stauchung erreichen können und wo bringt uns das jetzt in irgendeiner Art und Weise in Richtung Euler's Formel betrachten wir uns den Einheitskreis doch mal ein bisschen genauer geht man den Schritt weiter dann kann man jede Zahl erreichen indem man auf dem Einheitskreis spazieren geht und man misst wie lange man gelaufen ist nehmen jetzt zum Beispiel 2 hoch i oder fangen wir hier mal an wir stehen hier bei unserem plus 1 Punkt und wir wollen noch einen imaginären Anteil dazu haben dann verschieben wir unsere 0 auf die plus 1 dann stehen wir erstmal auf dem Schnittpunkt zwischen Einheitskreis und realer Zahlen und dann müssen wir auf diesen Kreis spazieren gehen das heißt wir rotieren diese komplexe Zahlenebene und sind dann auf diesem Einheitskreis x Rad gelaufen also wir können entweder sagen wir verschieben die 0 auf die plus 1 und rotieren diese komplexe Zahlenebene im Ganzen wir können das aber auch vereinfacht so darstellen dass wir bei plus 1 stehen und wir spazieren jetzt auf diesem Einheitskreis so lange bis wir bei unserem gewünschten Punkt rauskommen nehmen wir nun als Basis der Potenzfunktion die eulerische Zahl e wie sich diese eulerische Zahl e zusammensetzt habe ich ihnen unten nochmal dargestellt und wir müssen jetzt hier mal wie immer von der plus 1 zu minus 1 gelangen wir haben ja gerade schon gelernt ok, das funktioniert in dem wir unsere komplexe Zahlenebene im 180 Grad rotieren wir können aber allerdings auch sagen um von der plus 1 zu minus 1 zu gelangen muss sich genau Pi Rad entlang des Einheitskreises laufen und wir können das darstellen in dem wir folgende Potenzfunktion uns betrachten wir haben die Basis e die eulerische Zahl und wir haben Pi mal i das bedeutet wenn wir zur Basis e Pi mal i Schritte auf dem Einheitskreis laufen dann kommen wir bei minus 1 raus das heißt die Rotation von plus 1 zu minus 1 und wie gesagt haben wir rotieren die komplexe Zahlenebene um 180 Grad kann formal als e hoch Pi gleich minus 1 dargestellt werden und das ist genau die eulerische Formel das bedeutet wie weit muss ich denn auf meinem Einheitskreis laufen um von der plus 1 zu minus 1 zu gelangen und das ist genau e hoch Pi und zudem haben wir die imaginäre Zahl i kennengelernt und die über die Gruppentheorie ebenfalls eingeführt und zwar mit i Quadrat gleich minus 1 das bedeutet wir haben hier die 2 fundamentalen Formeln der komplexen Zahlenteorie erreicht ohne die klassischen Ansätze zu verwenden wir haben i Quadrat gleich minus 1 eingeführt und e hoch Pi gleich minus 1 indem wir Zahlen nicht mehr so wirklich als Zahlen betrachtet haben sondern im Rahmen der Gruppentheorie als mathematische Objekte den wir Aktion zuordnen können und den eine gewisse Arithmetic unterlegt die Gruppentheorie ist dahingehend besonders interessant weil wir auch Potenzen oder Termen den wir in unserer normalen Zahlenvorstellung nicht wirklich eine Bedeutung zuordnen können eben diese Bedeutung zu generieren können und wir haben diese Ableitung erreicht ohne über den trigonometrischen Pythagoras Satz und Sinus und Cosidus Funktion zu gehen wie es in normalen Vorlesungen üblich ist und diese übliche und klassische Rangehensweise zeige ich Ihnen hier dennoch nochmals damit Sie beide Wege kennen damit Sie auch das mal gegeneinander stellen können wir können da gerne auch in einem Webinar darüber diskutieren ist diese Ansatz den ich hier gefahren habe sinnvoll, ist das nicht bevorzugen Sie lieber die Klassiker oder haben Sie eine ganz andere Idee und diese Notation ist zudem auch die Grundlage für Fourierrein und Fourier-Transformation also ohne die eulerische Formel und komplexe Zahlen werden wir hier auch nicht mehr auskommen wir machen doch jetzt erstmal eine Rekapitulation bevor wir uns dieser klassischen Rangehensweise widmen für diejenigen unter Ihnen die das in Ihrem Studium entweder gar nicht hatten oder wieder verdrängt haben Sinus und Cosidus Funktion was ist das denn wir betrachten uns hier einmal ein rechtwinkeliges Dreieck, A, B und C und wir haben unsere Hypotenuse C, unsere Ankathete B und unsere Gegenkathete A wir haben die Winkel alpha beta und gamma und das erinnert Sie wahrscheinlich an Ihre Schule zurück oder an ein Mathevorkurs wie auch immer wir haben hier unseren Sinus der ist definiert als das Verhältnis der Gegenkathete von alpha zur Hypotenuse also der Seite A zu C und wir haben unseren Cosinus der ist definiert als die Ankathete von alpha zur Hypotenuse also B durch C und wir können das Ganze natürlich auch auf einem Einheitskreis darstellen wie Sie hier sehen können wir können hier mittels eines Winkels und unseren Cosinus und Sinus mit der Hypotenuse 1 auf dem Einheitskreis uns bewegen das heißt, wir können hier Abstände auf dem Einheitskreis mit Sinus und Cosinus Argumenten darstellen und für diejenigen die das verdrängt haben oder noch nicht wissen können wir einfach mal diese Sinus und Cosinus Funktion abgetragen das können Sie sich mal eine Sekunde ansehen das heißt, hier sehen Sie abgetragen die Grafen von Sinus und Cosinus was man simultan betrachten kann mit dieser Bewegung auf dem komplexen Einheitskreis wie sich eben diese Verhältnisse verschieben das ist hier abgetragen und als trigonometrischen Pythagoras wird die Entität Sinus Quadrat von alpha plus Cosinus Quadrat von alpha gleich 1 bezeichnet das habe ich Ihnen hier nochmal aufgetragen grafisch damit Sie sehen können wie man da drauf kommt und als eulerische Formel für alle Y der realen Zahlen gilt eben die Gleichung E hoch IY ist gleich Cosinus Y plus I mal Sinus Y wie man da drauf kommt, sehen wir hier wir haben hier unseren Cosinus das ist die Richtung auf der realen Zahlenebene oder auf der realen Zahlengeraden eine Ebene ist es in diesem Fall ja nicht und wir sehen, dass der Sinus hier in die imaginäre Richtung zeigt deswegen ist der Wert den der Sinus hier ausgibt eine imaginäre Zahl oder die imaginäre Teil dieser Zahl deswegen steht hier I Sinus Y mit dabei und wie weit wir jetzt eben auf diesem Einheitskreis gelaufen sind um zu diesem Punkt da oben zu kommen ist eben Cosinus das Winkels plus I Sinus das Winkels damit wir sehen können Cosinus nach rechts Sinus nach oben und das ist eben die normale Formel hier dazu und wenn wir jetzt natürlich diese Formel E hoch I Y gleich Cosinus Y plus I Sinus Y nehmen und für Y einfach mal P einsetzen dann ist es so, dass wir E hoch I P plus 1 gleich 0 haben und das ist equivalent E hoch I P gleich minus 1 also auch unsere eulerische Formel was Sie hier als klassische Herangehensweise gerade aufgezeigt bekommen haben Sie können sich jetzt natürlich Gedanken machen was Ihnen in Ihrer Vorstellung einfacher fällt eine Rotation der gesamten komplexen Zahlenebene oder eben den Weg über Sinus und Cosinusfunktion auf jeden Fall sind die zwei Herangehensweise equivalent weil wir am Ende bei unserer eulerischen Formel E hoch I P gleich minus 1 herauskommen wir steigen hier jetzt auch direkt ein in das Themengebiet für je rein und für je Transformationen bedenken Sie, dass ich das Ganze ohne Vorwissen aufgesetzt habe das heißt, das wird hier keine Profi-Ingenieurs-Veranstaltung mit hochanspruchsvollen Formulierungen und tiefgehender Mathematik das machen wir jetzt hier einfach mal nicht sondern ich muss ja davon ausgehen dass Sie alle keinen physikalischen Hintergrund haben deswegen machen wir erstmal auch noch eine kurze Wiederholung was ist denn eigentlich eine Frequenz die Ingenieure unter Ihnen werden uns vielleicht leicht schmunzeln ich gehe aber wie gesagt davon aus dass Sie keinen physikalischen Hintergrund haben und dass Sie da kein Vorwissen haben die Frequenz kommt vom lateinischen Frequentia und bedeutet Häufigkeit und ist ein Maß dafür wie schnell bei einem periodischen Vorgang die Wiederholungen aufeinander folgen und die Frequenz ist der Kehrwert der Periodendauer und die Einheit der Frequenz ist die abgeleitete SI-Einheit mit dem Namen Herz und definiert ist die Frequenz eben als 1 durch T die Periodendauer T und ein Signal kann demnach mit einer oder mehreren gegebenen Frequenzen schwingen und was ist nun eine Foyer-Reihe und die Grundidee hier ist, dass periodische Signale eine Frequenz besitzen oder aufweisen und diese Signale können als Graf eine Funktion angesehen werden und daher unterstellen wir dass sie jede Funktion auch eine Frequenz haben kann welche wir eben herausfinden möchten und wir verzichten hier aufgrund des Kursumfanges auf eine Heerleitung über Taylor-Aproximation und über Taylor-Rein und daher möchte ich Sie auch bitten die eher saloppe Darstellungsweise die wir für die Theorien die Signaltheorie aufweisen oder aufwarten zu entschuldigen weil ich nicht schon wieder ein Skript haben möchte was explodiert vom Umfang her deswegen verzichte ich hier eher auf mathematisches Sauberkeit und lege mehr Wert auf das Grundverständnis der Ideen die hinter diesen Konzepten stehen und fahren wir doch mit der Grundidee mal fort im Rahmen der Reihenentwicklung abschnittsweise stetige Funktionen in eine Funktionsreihe bestehend aus Sinus und Cosinusfunktionen überführen d.h. wir nehmen eine Funktion und approximieren diese mittels linear Transformation durch Sinus und Cosinusfunktionen d.h. periodische Funktionen können in Sinus und Cosinus Kombinationen zerlegt werden und das ist als Fourierreihe bekannt und hier zunächst mal nicht mathematisch beschrieben eingeführt werden jetzt noch die nötigsten Formeln erläutern aber ich rekapituliere das gerne nochmal wir haben eine periodische abschnittsweise stetige Funktion und es ist uns möglich diese mittels einer Lineartransformation mit Sinus und Cosinusfunktionen darzustellen d.h. periodische Funktionen wie auch immer geartet können wir darstellen als irgendeine lineare Kombination aus Sinus und Cosinusfunktionen und das ist als sogenannte Fourierreihe bekannt und wir schauen uns das jetzt doch erst einmal grafisch an was können wir jetzt in diesen 4 Bildern sehen, wir haben hier 4 verschiedene Impulse eine Dreieckspannung in dem Fall eine Rechteckspannung eine leicht verschobene Dreieckspannung nochmal und eben eine normale Gerade und was sehen wir hier in Blau ist jeweils die Grundform zu sehen, selbst wenn die sehr stark ist deswegen konzentriere ich mich jetzt einfach mal rechts oben auf den Rechtsexpuls mal sehen wir hier wir versuchen dieses Rechteck mit einer Überlagerung aus Sinus und Cosinuswellen darzustellen und wenn wir da ganz, ganz, ganz, ganz habe ich schon mal ganz gesagt, ganz viele solcher Cosinus und Sinuswellen übereinanderlegen, dann schaffen wir das auch und am einfachsten ist das auch zu sehen links unten bei der Gerade solange Sinus und Cosinuswellen bis im Schnitt eben eine Gerade dabei rauskommt das ist grafisch das, was man auch rückwärts sehen kann, als wir zerlegen diese Gerade oder diesen Rechtexpuls so lange bis wir eben nur noch Sinus und Cosinuswellen übrig haben, das ist die Quintessenz der Foyerreihen und der Foyerzerlegung und wir fangen jetzt hier erstmal an was ist denn eine Foyerreihe ein Signal oder eine Funktion F kann durch periodische, harmonische Schwingungen also aus Sinus und Cosinusfunktionen verschiedener Phase und Amplitude sowie exakt definierter Frequenz zusammengesetzt werden als sogenannte Linearkombination da ein Sinus, ein Phasenverschobener Cosinus ist kann man hier diverse Additionstheore benutzen um mathematisch eine phasenfreie Darstellung zu finden, die wie folgt aussieht, wir haben unsere Funktionen die besteht aus einem A0 plus eben einer Summe n verschiedener Cosinus und Sinusfunktionen die sie hier sehen können das bedeutet, wir können eine periodische Funktion durch Sinus und Cosinuswellen darstellen und als Linearkombination natürlich das ist die Grundidee der Foyerreihe betrachten wir diese Periodische Funktion nun unter den komplexen Zahlen können wir mittels der Eulerformel die wir gerade kennengelernt haben jede komplexe Zahl als Rotation und Drehung oder Stauchung auf dem Einheitskreis darstellen wie wir das in der Gruppentheorie eben gesehen haben und wenn wir hier von jetzt auch eine Foyerreihe uns betrachten dann sieht das wie folgt aus wir haben eben von minusunendlich bis unendlich die Summe mal e hoch i omega n t wobei omega hier die Kreisfrequenz ist und die Amplituden werden hier durch cn omega gegeben welche wir grafisch gegen omega auftragen können und somit erhalten wir das Frequenz Spektrum kommen wir nochmal zu den Foyerkoeffizienten wir können die formal wie folgt darstellen diese Koeffizienten von integral 0 1 ich habe mir hier die Freiheit genommen um die 1 durch t Skalarprodukte reinzuziehen also haben wir integral von 0 bis 1 von unserer Funktion mal e hoch minus i n omega t dt das ist effektiv die eulerische Formel in integral Form geparkt auf die Funktion bezogen und auf die Koeffizienten umgestellt wenn wir eine Kreisfrequenz von 2p unterstellen können wir das wie folgt darstellen um die 1 unserer Funktion mal e hoch minus 2p i n t dt und das führt uns auch direkt in die Foyer Transformation die Foyer Transformation interessiert uns deshalb weil wir ja nicht unbedingt die Frequenz kennen wir haben ja vorher bei der Foyer Reiche gesehen dass es bitte eine exakt definierte Frequenz sein möge wenn wir jetzt irgendein Signal haben dann wissen wir ja prinzipiell erstmal noch nicht was für Frequenzen in diesem Signal denn enthalten sind um überhaupt eine Reihe bilden zu können und deswegen können wir die Foyer Transformation dahingehend nutzen Informationen darüber zu unterhalten welche Frequenzen wenn in einem Signal enthalten sind und aus welchen Frequenzen sich eine gewisse Funktion oder ein Signal zusammensetzt darüber sprechen wir als nächstes können wir hier jedoch einsteigen nachdem das jetzt etwas schnell ging hätte ich gesagt, wir springen nochmal einen Schritt zurück und wiederholen nochmal die Foyer Reiche damit das auch jeder hier nachvollziehen kann wir haben ein Signal oder eine Funktion F und diese kann eben durch periodische Schwingungen also Sinus und Cosinus Funktion verschiedener Phase, Amplitude und exakt definierter Frequenz als Linearkombination zusammengesetzt werden nachdem wir Sinus als passend verschobenen Cosinus darstellen können können wir hier mathematisch Umformungen vornehmen um die unten genannte Schreibweise darzustellen, das bedeutet wir können unsere Funktion unsere Eingangs definierten Signale durch Cosinus und Sinus Wellen approximieren und wenn wir das Ganze nun unter den komplexen Zahlen betrachten, haben wir ja gelernt das ist der eulerischen Formel oder mittels Eulers Formel jedweder komplexe Zahl als Rotation mit Dehnung oder Stauchung auf dem Einheitskreis darstellen können, das haben wir in der Gruppentheorie gezeigt dementsprechend ist es uns möglich unsere Funktion als Bewegung um den Einheitskreis darzustellen mit einer Dehnung und Stauchung das ist formal mathematisch unten dargestellt die Amplituden werden eben durch den Betrag der Funktion Cn von Omega also der Kreisfrequenz gegeben und wenn wir die Grafisch gegen die Kreisfrequenz selbst auftragen, erhalten wir eben das Frequenz Spektrum das ging jetzt gerade in die falsche Richtung, bitte entschuldigen Sie mich betrachten wir nun die Koeffizienten, also nicht mehr wie können wir die Funktion darstellen sondern die Koeffizienten selbst müssen wir das mathematisch umformen und wie Sie die Koeffizienten selbst berechnen können das sehen Sie hier und wir steigen jetzt direkt eine, die Foyetransformation so wie ich das vorher eben angekündigt hatte was ist eine Foyetransformation wir haben zwar eine Funktion und ein Signal aber wir kennen die Frequenzen nicht die in diesem Signal enthalten sind und mit der Foyetransformation ist es uns eben möglich diese Frequenzen zu extrahieren um quasi herauszufinden aus welchen Signal Frequenzen besteht denn unser Signal das bedeutet es ist wie Kuchenbacken wir haben einen Kuchen und wir zerlegen den Kuchen so lange in Einzelteile bis wir herausgefunden haben aus was der Kuchen genau besteht ich weiß der Vergleich hinkt jetzt ein wenig aber wir haben eine Ausgangsfunktion F die wir als Signal interpretieren können und wir zerlegen die Funktion so lange bis wir wissen welche Frequenzen da inherent gegeben sind die sitzt eine Funktion F die Periodität so sind die Kreisfrequenzen omega K ein Vielfach heißt der Grundfrequenz 2P durch T das heißt wir können unser omega K als K mal 2P durch T darstellen wenn wir jetzt weitermachen haben wir aber das Problem dass wir nicht immer nur periodische Funktion haben sondern betrachten wir nun aber auch nicht periodische Funktion wollen wir dennoch ein Frequenzspektrum erhalten das heißt uns auf periodische Funktion zu beschränken macht irgendwie keinen Spaß nachdem die meisten Funktionen und die meisten Signale die wir aus dem echten Leben extrahieren können eben nicht unbedingt ganz periodisch sind und hier tun wir so als ob diese nicht periodische Funktion ich habe das jetzt halt mal als F mit dem Index nicht periodisch deklariert also wir tun also so die periodische Funktion F NP eine unendliche Periodendauer also T läuft gegen unendlich aufweist und was passiert denn nun jetzt wenn wir das tun was passiert hier mit dem Frequenzspektrum im Grenzübergang jetzt können wir sehen dass unser delta omega das heißt der Unterschied zwischen den Kreisfrequenzen gegen 0 läuft das heißt wir erhalten hier ein Continuum das heißt für das diskrete Frequenzspektrum konvergiert das Frequenzspektrum nicht periodische Funktion an einen Continuum und aus der Fourier Reihe wird das sogenannte Fourier Integral ich habe Ihnen das hier grafisch und formal nochmal dargestellt und dieses F Dach von Omega nennt sich hier Fourier Transformierte und stellt hier die Fourier Transformation da man kann das dann wie folgt darstellen die Fourier Transformierte ist gleich das Integral vom Minus unendlich bis unendlich unserer Funktion mal e hoch Minus i Omega t dt und hiermit können wir dann quasi einen Spektrum berechnen wir führen jetzt hier allerdings noch einen neuen Begriff ein bevor wir da komplett einsteigen und das ist die sogenannte Fast Fourier Transformation FFT oder auch die Schnelle Fourier Transformation hier möchte ich noch darauf eingehen tatsächlich Daten und weiteren Konzepten widmen was ist denn jetzt nun die Fast Fourier Transformation die FFT ist eine Abwärmlung der diskreten Fourier Transformation DFT welche einen Algorithmus angibt mit dem die DFT deutlich schneller berechnet werden kann und sich an Einheitswurzeln bedient wenn sie sich hier die Koeffizienten Matrix betrachten und das ganze mit Einheitswurzeln durchmultiplizieren und kommen zum selben Ergebnis das ist so grob informal die Darstellung wie dieser Algorithmus funktioniert die genaue mathematische Definition der FFT schließt sich hier aus Zeitgründen einfach aus und die Diskrete Fourier Transformation deshalb weil ein gemessenes Signal Diskret unendlich angenommen wird das ist denke ich auch eingänglich selbst wenn wir jetzt Finanzmarktzeit rein auf einer Tick to Tick Basis immer noch ein Diskret zeitlich gemessenes Signal so wie jeder andere Messaufbau in den Ingenieurswissenschaften auch und daher nutzen wir die DFT und um das ein bisschen schneller machen zu können die FFT und sie werden feststellen, dass selbst wenn sie mit kontinuierlichen Fourier Transformation rechnen das in etwa auch auf FFT Algorithmen basiert und hier rechnet man mit einer entsprechenden Fortsetzung mittels Riemannsummen um das Frequenzspektrum zu bestimmen und mathematisch werden wir uns hiermit nicht befassen ich habe das nur erwähnt, weil eben wenn wir unsere späteren Python-Videos uns gemeinsam ansehen werden wir feststellen werden, dass wir mit der FFT arbeiten werden und ich der Meinung bin, dass es für sie durchaus interessantes zu wissen, dass es das gibt wir fackeln jetzt nicht lange und schauen uns doch mal ein periodisches Signal an das habe ich Ihnen hier in Python erzeugt wir werden dann in den Videos noch sehen wie sie sich so was selbst erzeugen können was können wir hier denn jetzt nun sehen wir sehen, es ist ein periodisches Signal dass sich die Werte immer und immer wiederholen wir sehen aber auch, dass das jetzt nicht unbedingt ein einfacher Sinus ist oder auch ein einfacher Cosinus ist und hier kommen wir zu pudelskern der Fourier rein und der Fourier Transformation hier ist es möglich dieses Signal in eine Lineartransformation aus Sinus und Cosinuswellen zu zerlegen und es ist möglich die Frequenzen die diesem Signal zu extrahieren ich habe das hier mal grafisch für sie gemacht das heißt, wir wandern jetzt ich springe noch mal eins zurück das heißt, wir wandern hier tatsächlich von der Zeitebene weil dies ist ein Signal was über die Zeit abgetragen ist in die Frequenzebene was für uns bedeutet dass wir hier keine Zeitinformation des Signales mehr haben sondern die Frequenzinformation das heißt, wir sind hier in der Frequenztomene in der Frequenzebene wo wir sehen können, okay welche Frequenz mit welcher Amplitude ist diesem Signal denn inherent aus welchen Bestandteilen besteht unser Kuchen und wir sehen hier, wir haben hier eine ganz niedrige Frequenz mit, ich glaube es war 13er Amplitude wir haben hier dann eine 5er Frequenz Szenen, Amplitude und so weiter das können Sie hier an den Pics sehen und natürlich sind Sie dann wenn wir den Python Code haben in der Lage sich selbst solche Signale zu erzeugen und die dann entsprechend zu zerlegen und dann sehen Sie hier die einzelnen Frequenzen und die einzelnen Amplituden das ist der Sinn der Übung weil ich springe noch mal eins zurück wenn wir uns dieses Signal so ansehen werden bis auf diejenigen von Ihnen die sich sowas im Kopf mal schnell überlegen können wahrscheinlich wenige sagen können aus welchen Frequenzen sich dieses Signal nun zusammensetzt und mittels der Fourier Transformation können wir diese Frequenzinformation eben extrahieren und uns betrachten das heißt wir wissen aus welchen Frequenzen zu welcher Amplitude besteht unser Signal ich fahre jetzt direkt mal fort und zwar mit einem nicht ganz so periodischen Signal und zwar mit dem Grillen Signal mit dem Chirps Signal wo wir sehen dass sich hier doch einiges verändert über den Zeitablauf das heißt die Frequenz verändert sich beständig das Signal wird immer heller so wie ein Grillenton eben auch beschaffen ist und was passiert denn nun mit unserer Fourier Transformation wenn wir dieses Grillen Signal dieses nicht periodische Grillen Signal unserer Fourier Transformation füttern wir sehen wieder dass wir Frequenzinformation enthalten und wir sehen auch Amplitudeninformation was wir allerdings auch sehen können ist, dass wir hier an unsere Grenzen stoßen da sich die Frequenz aus der hier dieses Grillen Signal besteht permanent kontinuierlich veränder daher verändert sich auch kontinuierlich unsere Fourier Transformation das bedeutet, dass wir hier prinzipielle Probleme bekommen in der Natur der Sinus und Cosinus Wellen verankert, weil diese sind eben periodisch und hören einfach auch nicht auf das heißt, die verändern sich nicht über die Zeit, nachdem wir hier auch vom Minus unendlich bis Plus unendlich integrieren ist es auch so, dass ein Sinus und Cosinus sich unendlich fortsetzt und das ist bei unserem Grillen Signal hier einfach nicht so, ich springe noch mal eins zurück oder gerade zwei noch mal zurück wenn wir uns unser periodisches und kontinuierlich fortsetzendes Signal betrachten dieses Muster ist recurrent, das verändert sich nicht mehr, das wiederholt sich einfach nur immer und immer wieder daher sind wir auch in der Lage mit einer Fourier Transformation die aus Sinus und Cosinus Wellen in einer Lineartransformation bestehen hier diese Frequenzen zu extrahieren wenn wir jetzt unser Grillen Signal betrachten ändert sich die Frequenz ja bei jedem Zeitschritt die Frequenz vorliegen daher ändert sich natürlich auch unsere Lineartransformation permanent weswegen wir eigentlich nicht mehr in der Lage sind diese Frequenzinformation ordentlich zu extrahieren und Sie sehen ja schon dass das jetzt ein generisches Signal ist ein künstliches Signal ist dass ich deterministisch mathematisch vorher definiert habe und wenn wir uns jetzt zum Beispiel eine Dow Jones Industrial Average Index Preiszeitreihe ansehen dann sehe ich ja vorher nicht was hier die Daten generierenden Prozesse sind die da dahinter liegen, das wenn ich wüsste würde ich Ihnen wahrscheinlich auch ein Podcast von der Insel schicken das wissen wir nicht was passiert denn nun wenn wir sagen wir nehmen unsere Preise und wir versuchen die Preise eines Aktienindex oder eine Aktie als Signal zu interpretieren und hier die Frequenzinformation und zu extrahieren wie wir es eben mit den anderen beiden Signalen gemacht haben wir stellen fest dass Preiszeitreihen keine Frequenzinformation haben ok warum haben Sie mir jetzt dann eine knappe Stunde lang zugehört nur um festzustellen dass Preise keine Frequenzinformation haben also ist die ganze Übung doch umsonst unsere Arbeitshypothese ist falsch und wir können das ganze für Finanzmärkte vergessen ganz so ist es noch nicht wir haben noch eine letzte Rettung und zwar unsere Renditen wir schauen uns mal die ersten Differenzen an wir gucken uns mal unsere Aktien Renditen an unsere Dow Jones 30 Index Renditen über die Zeit und tun jetzt einfach mal so wie wenn das hier ein besseres Grillensignal ist oder wie wenn das ein besseres periodisches Signal ist und wir tun so wie wenn wir hier Frequenzen extrahieren können wie wir das tun machen wir 2 fundamentale Feststellungen Feststellung 1 ist Juho Aktien Renditen haben Frequenzinformation und die zweite Feststellung ist nicht mehr ganz so Juho und zwar die Frequenzen ändern sich permanent genau über unserem Grillensignal womit die Foyer Transformation als Analyselmöglichkeit für Finanzmarkdaten effektiv ausfällt weil mit diesen Bildchen wir absolut nichts anfangen das hilft uns in keinster Art und Weise hier ein Continuum zu bekommen wo sich die Frequenzen permanent ändert ich spring jetzt hier nochmal ein paar Bilder zurück wir möchten sowas hier haben ich möchte für meine Finanzzeitreihe wissen aus was für Frequenzen besteht denn meine Finanzzeitreihe weil dann kann ich genau dieses Signal replizieren und wenn es periodisch ist vorhersehagen das ist die Quintessenz hinter dieser Idee die auf Finanzmärkte anzuwenden das können wir hier aber nicht weil unsere Finanzmarktzeitreihe wenn wir die Preise betrachten gar keine Frequenzinformation aufweist oder wenn wir uns die Renditen angucken wir hier ein Grillensignal bekommen und es uns die Foyer Transformation wortwörtlich um die Ohren haut das heißt hier kommen wir erstmal nicht weiter wir haben zwar die Erkenntnis gewonnen die Arbeitshypothese stimmt doch und die Informationen aus unseren Finanz Renditezeitreihen extrahieren allerdings stehen wir hier erstmal vor einer Wand und kommen so nicht weiter daher fahren wir jetzt erstmal fort und führen eine Erweiterung der Foyer Transformation ein und zwar die sogenannte Kurzzeitfoyer Transformation oder auch Short Time Foyer Transformation die auch als Gabor Transformation bekannt ist die Kurzzeitfoyer Transformation ist eine Methode um die zeitlichen Änderungen des Frequenzspektrums einen Signales darzustellen während die Foyer Transformation keine Informationen über die zeitlichen Änderungen des Spektrums bereitstellt kann die Kurzzeitfoyer Transformation solche abbilden indem eine sogenannte Fensterfunktion genutzt wird was heißt das jetzt wir haben ja gesehen die Foyer Transformation zeigt mir nur dass sich die Frequenz permanent ändert und die Informationen dass die Frequenzen sich verändern über einen Zeitraum kann die Foyer Transformation so nicht abbilden und die Kurzzeitfoyer Transformation nimmt eine sogenannte Fensterfunktion und diese Fensterfunktion teilt das Signal in gleiche Zeiteinheiten auf und wir tun dann quasi so wie wenn die Zeit innerhalb dieses Fensters wieder periodisch ist und die können wir dann mit einer normalen Foyer Transformation das zeigt uns das erste mal eine Auflösung in der Frequenzzeitebene sogenannte Resolution und das ist ein Punkt bei dem verbleibe ich jetzt erstmal kurz wir haben ja vorher gesagt ich möchte für meine Finanzzeitreihe bitte eine saubere Foyer Transformation bekommen weil ich dann das Signal aus meinen Frequenzen und Amplituten zusammensetzen und vorhersagen kann das funktioniert leider nicht sonst wären wir alle sehr, sehr reich und wir haben festgestellt okay wir haben das Problem Preise haben gar keine Frequenzinformation und Rentiten sich veränderliche Frequenzinformation wenn wir jetzt die Kurzzeitfoyer Transformation nutzen haben wir selbst wenn wir die Frequenzinformation bekommen würden ja das Problem dass wir nicht wissen an welchem Punkt im Signal diese Frequenzinformation den Auftritt vorher hätten wir das gar nicht gebraucht oder an sich vorsetzendes Signal gehabt hätten nachdem wir das aber nicht haben müssen wir nicht nur wissen wie ändert sich denn die Frequenz über die Zeit sondern an welchem Punkt in der Zeit haben wir denn welche Frequenzvorliegen und mit der gefensterten Foyer Transformation also mit dieser Kurzzeitfoyer Transformation bekommen wir das allererste Mal eine Auflösung die mir zumindest auf Fensterbreite zeigt in dieser Fensterbreite eine Frequenz das ist das was das Modell der Kurzzeitfoyer Transformation mir sagt ich bekomme eine Auflösung in der Frequenzzeitebene das heißt ich weiß ab in einem gewissen Zeitabschnitt welche Frequenz vorhanden ist und das nennt sich zu Englisch Resolution und das ist eine Erkenntnis auf der davon ruhig mal ein bisschen rum reiten weil die ist schon gut wie stellt sich denn die Kurzzeitfoyer Definition Definitorisch stellen jetzt nun da auf die mathematischen Details und die Herleitung verzichten wir hier wie ist denn hier die Formulierung und wir sehen nun, dass wir hier unser Signal haben unser X als Signal und das hängt nicht nur mehr von der Kreisfrequenz ab sondern von einem Parameter tau der hier auch als T minus tau in unserem Foyer Integral auftaucht und was ist das tau der Breite und ich hab ihnen mal so solche Fenster so eine Zeitfrequenzebene unten abgebildet das heißt wir haben auf der einen Achse die Zeit und auf der anderen Achse die Frequenz und wir können quasi das Signal in Scheibchen schneiden und sagen hier in diesem Fenster ist die Frequenz folgende und wir tun jetzt einfach mal so wie wenn das Signal innerhalb dieses Fensters bitte periodisch ist eine normale Foyer-Transformierte berechnen können und wir testen das jetzt gerade mal ich habe ihnen hier mal ein Träger-Signal geplottet und ganz viel Rauschen dazu gepackt also wir haben hier irgendwo eine Frequenz drin die uns interessiert und der Rest ist neues, der Rest interessiert uns nicht und wenn wir nun diese gefängsterte Foyer-Transformation berechnen und wir sehen das Träger-Signal und wir sehen auch die Rauschfrequenzen außen rum aber wir sehen hier über die Zeit welche Frequenz hier im Signal inherent ist das heißt wir sehen nicht nur die Frequenz selbst sondern wir sehen das Signal über die Zeit abgetragen und das ist schon gar nicht so schlecht so was wenn wir für unsere Finanzzeit rein ebenfalls bekommen würden wäre das schon mal nicht so schlecht da könnten wir damit anfangen wir arbeiten deswegen habe ich jetzt hier mal den Index gewechselt wir haben jetzt mal den Nikkei 225 Index und ich habe mir hier die Returns genommen weil wir haben ja gelernt die Preise und Frequenzen, das funktioniert nicht so und das ist bei der gefängsterten Foyer-Transformation nicht besser und wir sehen hier die normale Foyer-Transformation sagt mir zwar wir haben Frequenzinformation aber wirklich keine Erkenntnisse daraus ziehen können wir nicht und jetzt sehen wir uns doch mal die STFT an und was stellen wir denn fest wir stellen fest dass dieses Bildchen wenn man länger draufstauert hallozynogene Wirkung erzeugt aber was sehen wir hier wir sehen das innerhalb von kleinen Zeitabschnitten durchaus Frequenzinformation vorhanden ist aber das hilft uns für unsere Analyse erstmal noch nicht wir sehen hier es gibt hoffrequente Teile und Zeitpunkte und es gibt niedervrequente Zeiten und Zeitpunkte das hat damit was zu tun dass natürlich in Krisenzeiten die Trading Aktivitäten erhöht sind und das können wir uns in den Frequenzen natürlich wieder gespiegelt ansehen hier sehen wir aber gleichzeitig auch die Nachteile dieser Short-Time-Foyer-Transformation und zwar dass die Fensterbreiten konstant sind und dass wir weiterhin das Problem haben wenn wir die Fensterweiten nicht korrekt spezifizieren wie diese Annahme innerhalb dieses Fensters ist das Signal periodisch verletzend und demnach auch keine richtige Aussage bekommen würden und deswegen ist das zwar der Schritt in die richtige Richtung aber es ist jetzt nicht unbedingt das was wir uns wünschen würden und on top sagen wir mal haben wir noch ein weiteres Problem und zwar die sogenannte heißenbergische Unschärfe-Relation die uns unser Wunschdenken hier zeitliche Lokalität mit Frequenzdeterminismus ziemlich gut zahageln wird warum treffe ich jetzt die Aussage dass uns die heißenbergische Unschärfe-Relation unser Wunschdenken zahagelt ich rekapituliere nochmal wir hatten ja die naive Idee wir nutzen eine Foetransformation und nehmen diese zu Hilfe um Frequenzinformation aus unseren Finanzzeiten zu extrahieren weil wir ja dann die einfach nur zusammenbauen können determinieren können und wir verdienen Geld und dann sind wir hier fertig haben wir festgestellt, nein das funktioniert nicht da sich die Frequenzen einer Finanzreihe genau wie die des Grillensignales permanent verändern die haben eine Dynamik und wir sind dann hergegangen und haben uns die Kurzzeit Foetransformation zu Hilfe genommen und haben gesagt, gut dann schneiden wir eben unsere Zeitreihe in verschiedene Breiten also in verschiedene Gleiche Breiten und tun so wie wenn das Stück was wir daraus schneiden wie der periodisch ist und zerlegen das mit einer normalen Foetransformation nur um dann festzustellen dass wenn wir diese Fenster nicht ordnungsgemäß werden, wie wir diese Annahme verletzen können und wir eben wenn wir diese Scheibchen kleiner machen Probleme bekommen, das sehen wir gleich noch und wenn wir die Scheibchen zu groß machen die Annahmen verletzen das heißt da sehen wir zwar es gibt unterschiedliche Frequenzen in unseren Finanzzeitreihen aber um unseren Ruhestand vor 30 noch zu gewährleisten reicht das halt irgendwie auch nicht deswegen reden wir jetzt erst einmal über die heißenbergische Unschärfe Relation um auch diese Aussage abzudecken wenn wir die Fensterchen zu klein machen bekommen wir auch Probleme daher die Frage was ist denn die Unschärfe Relation die heißenbergische Unschärfe Relation oder Unbestimmtheits Relation ist eine Aussage aus der Quantenphysik dass 2 komplementäre Eigenschaften eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmbar sind wir reden hier wenn wir bei Teilchen sind von Ort und Impuls des Teilchens und die Unschärfe Relation ist prinzipieller Natur und keine technische Herausforderung diesen letzten Satz sollten Sie sich hier mal auf der Zunge zergehen lassen das heißt unsere Probleme sind nicht gelöst indem wir einen besseren Algorithmus schreiben indem wir einen stärkeren Computer hinsetzen oder statt einem Physiker, 3 Physiker in einen Raum ein sperren und sagen so funktioniert das nicht die heißenbergische Unschärfe Relation ist prinzipieller Natur, das heißt wir können sie nicht umgehen weder in der Quantenphysik noch auf den Finanzmärken dieses Ding steht fest im Raum und an diese Unschärfe Relation kommen wir auch nicht vorbei betrachten wir Teilchen bei einfallenden Lichtquanten in ein Messinstrument das ist das was wir jetzt gerade tun also wir haben kein Interesse mehr in den Messinstrumenten und dann sehen wir, dass die Ungenauigkeit Delta X des Ortes abhängig ist von der Wellenlänge des verwendeten Lichtes das heißt je nachdem welche Wellenlänge und welches Licht ich eben in mein Messinstrument einfallen lasse verändert sich die Ungenauigkeit Delta X des Ortes des Teilchens und das Lichtquant lenkt hier das Teilchen ab wodurch der Impuls eine Unbestimmtheit Delta P erfährt das nennt sich auch sogenannte Kompenstreuung auf die wir hier mathematisch nicht eingehen werden und die Untergrenze leitet sich hier aus dem de Brocli Beziehungen ab die stellen wir hier auch nicht vor und kann nicht kleiner sein als die Naturkonstante also das Planche Wirkungsquantum H das heißt wir können sagen dass das Delta X mal das Delta P in etwa dieses Wirkungsquantum ist das heißt dass die Ungenauigkeit des Ortes und die Ungenauigkeit oder die Unbestimmtheit des Impulses eben in etwa das Wirkungsquantum darstellt und wir können das ganze in eine Streuungsrelation umschreiben das heißt dass die Standarderweichung von X also die Standarderweichung die Streuung des Ortes und die Streuung des Pulses größer oder gleich ist H gestrichen durch 2 und H gestrichen durch 2 ist hier dieses wirkungsquantum geteilt durch 2P und das bedeutet für uns um jetzt nicht zu stark hier in die Teilchenphysik und die Quantenphysik einzusteigen das bedeutet für uns dass wir Ort und Frequenz nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmen können und naturellen Grenzen unterliegen das ist hier die Quintessenz der heißen Bergschul-Unschärfe Relation und diese Quintessenz sagt uns lieber Banker lieber Quant lieber Finanzanalyst diese Idee, diese Fensterbreiten so klein wie möglich zu machen um doch irgendwie noch rauszufinden am welchem Zeitpunkt sich genau welche Frequenz befindet kannst du dir hacken das funktioniert nicht du unterliegst hier dieser naturellen Grenzer das heißt selbst wenn wir technisch und algorithmisch so gut werden wie es nur irgendwie geht können wir die Ort-Frequenz-Schlüsselung und diese Auflösung nicht über die heißen Bergschul-Unschärfe Relation hinaus erweitern wir können da nicht genauer werden das funktioniert nicht so jetzt haben wir grundsätzlich mehrere Probleme die Foyeretransformation funktioniert nicht die Gefenster der Foyeretransformation hat zu viele Krankheiten das heißt wenn das Fenster zu groß ist ist es blöd weil dann verlieren wir diese Periodizitätsannahme das sagt die heißen Bergschul-Unschärfe Relation ja nö und uns gehen langsam die Möglichkeiten aus weswegen wir unsere Spielzeugkiste immer ein bisschen erweitern und jetzt mal über Wavelets sprechen um irgendwie doch noch eine Lösung für diese genannten Probleme zu finden kommen wir mal direkt zur Einführungsfrage wer oder was ist denn ein Wavelet ein Wavelet kommt aus dem französischen und bedeutet Andolette das heißt kleine Welle oder Welchen und ist die Basisfunktion einer kontinuierlichen oder diskreten Wavelet-Transformation und die Wavelet-Transformation ist die Verallgemeinerung der Kurzzeit-Foyeretransformation die wir gerade eben kennengelernt haben die Wavelet-Transformation behält jedoch die Lokalisierungseigenschaft unter Berücksichtigung eben der heißen Bergschul-Unschärfe Relation auch in der Zeitebene bei während das bei der Foyeretransformation vollständig verloren geht wo sich die Wavelet-Transformation von der Kurzzeit-Foyeretransformation die ja eben auch Zeit und Frequenzinformation bereitstellt unterscheidet das lernen wir jetzt im folgenden bevor wir jedoch anfangen nachdem ich ja für den gesamten Kurs Signaltheorie weniger Mathe und mehr visuelle Wahrnehmung auf die Agenda geschrieben habe schauen wir uns doch als allererstes mal Wavelets an was ist denn ein Wavelet wir können hier unterscheiden zwischen Stetigen und Diskreten Wavelets wobei man die auch ineinander überführen kann schauen wir uns das doch mal an und wir sehen hier das sind tatsächlich Welchen die sind lokal begrenzt und was die für Eigenschaften haben sehen wir gleich noch ich gebe Ihnen mal 10 Sekunden sich das anzusehen Wavelets plotten werden zeige ich Ihnen dann in den breiten Videos so was ist denn jetzt ein Wavelet Teil 2 ein Wavelet-Psy ist im Diskretenfall die erzeugende Funktion eines Affinensystems von Funktionen welche eine Hilbert-Basis das heißt ein vollständiges Ortho-Normal-System im Funktionenraum bilden die Koeffizienten werden für die mathematische Faltungen berechnet und die mathematische Darstellung oben genannte Aspekte ist sehr anspruchsvoll sehr umfassend und ich habe mich entschieden sie für diesen Kurs auszuschließen sollten sie sich für die mathematischen Hintergründe eines Ortho-Normal-Systems eines Affinensystems oder Hilbert-Basen und Hilbert-Räumen und Prähilbert-Räumen und Funktionsräumen generell interessieren sie gerne auf mich zu ich stelle ihnen das bereit sollten sie das für irgendwelche Arbeiten oder sonstiges benötigen für diesen Kurs habe ich das jetzt ausgeschlossen da wir ja im Hinblick auf den Umfang eher den graphisch visuellen Ansatz verwendet haben und kommen wir mal zu Wavelet-Transformation Wavelets werden in der Signalverarbeitung verwendet in der Bild- und Audiodaten-Kompression und jeder von ihnen hat schonmal verzeugt oder gesehen da benutzt man Wavelets die kommen dort zum Einsatz und grundlegend kann man hier zwischen Discrete-Wavelet-Transformation DVD und Stetige-Wavelet-Transformation DVD unterscheiden ja und wo ist jetzt der Unterschied zu einer Kurzzeit Fourier-Transformation und was ist ein Wavelet das haben wir gesehen Wavelets sind diese kleinen Welchen gleich noch und bei einer Wavelet-Transformation im großen Unterschied zu einer Kurzzeit Fourier-Transformation ändern wir die Fenstergrößen das heißt wir sind bei einer Kurzzeit Fourier-Transformation hergegangen und haben gesagt ok wir schneiden unser Signal in gleichgroße Scheiben und tun quasi so wie wenn unser Signal innerhalb dieses Fensters was wir ausgeschnitten haben periodisch ist die Fenster die wir ausgewählt haben immer konstant groß gelassen war einer Wavelet-Transformation als für allgemeinerung der Kurzzeit Fourier-Transformation ändern wir diese Fenstergrößen entsprechend was heißt das jetzt ich habe ihnen nochmal 4 Grafiken mitgebracht die ihnen den Weg den wir hier durch den Kurs gehen auch aufzeigen sollen wir beginnen einfach mal links oben und wir sehen hier eine Zeitserie in der wir keinerlei Frequenzinformation erhalten aber wir wissen exakt zu welchem Zeitpunkt welcher Wert sich einstellt nehmen wir wieder unsere Aktie wir wissen die Tagesschlusskurse wir wissen genau zu welchem Zeitpunkt welcher Preis gestellt ist allerdings können wir nichts über die Frequenz sagen und das ist bei einem nicht Finanzsignal ähnlich wir wissen genau zu welchem Zeitpunkt ein Signal vorhanden ist wir können aber nichts sagen welche Frequenz wir haben daher sind wir auf die Idee gekommen Chaka die Waldfee wir nehmen Fourier-Transformation dann bekommen wir unsere Frequenzinformation das sehen sie jetzt rechts oben es ist auch so dass wir für periodische Signale und für nicht periodische Signale in einer ähnlichen Art und Weise hier ein Frequenzspektrum erhalten wir bekommen Informationen welche Frequenz ist in unserem Signal inherent aus welchen Frequenzen setzt sich denn unser Input-Signal zusammen allerdings können wir zwar sagen es gibt diese Frequenz in diesem Signal sagen wir mal die 15 15 Amplitude bei 20 Hertz die haben wir in diesem Signal ich kann ihn aber leider nicht sagen wo wir wissen zwar dass diese Frequenz dann im Signal enthalten ist aber über den Zeitpunkt 1 diese Frequenz im Signal auftritt kann ich ihn absolut gar nichts mehr sagen wir verlieren quasi die Zeitinformation um Frequenzinformation zu erhalten das ist der große Nachteil einer Fourier-Transformation deswegen sind wir hergegangen und haben diese Fourier-Transformation erweitert auf die Kurzzeit Fourier-Transformation auf unsere Fenster Fourier-Transformation wie wir das links unten sehen können diese Short-Time Fourier-Transformation sagt mir nämlich ok ich schneide mein Signal in Fenster ich unterteile mein Signal in konstant große Fenster und tue quasi so wie wenn diese Fensterbreite innerhalb dieser Fensterbreite mein Signal periodisch ist und ich eine normale Fourier-Transformation darauf anwenden kann das heißt ich bekomme Frequenzinformationen innerhalb dieses Zeitfensters das ist der erste mal dass wir eine sogenannte Resolution eine Zeitfrequenzauflösung wahrnehmen können wir haben hier allerdings mehrere Probleme festgestellt und zum einen wenn wir die Fenster zu groß wählen verlieren wir eben diese Periodizitätsannahme und wenn wir die Fenster zu klein machen sagt uns die heißenbergische unschärfe Relation ja nö ist nicht deswegen gibt es hier diese Erweiterung die sogenannte Wavelet-Transformation in der wir diese Fenstergrößen oder Fensterbreiten variieren und wenn sie sich dieses Bild rechts unten nun genauer ansehen haben wir beides in einem Bild wir haben die Frequenzinformationen und wir haben die Zeitinformation und wir haben noch einen Übergang das ist der große Vorteil einer Wavelet-Transformation dass wir Frequenz- und Zeitinformationer halten können auf die heißenbergische unschärfe Relation das heißt hier kriegen wir das beste aus beiden Welten wir kriegen zum einen Frequenzinformation und wir kriegen Zeitinformation und wie genau das funktioniert das sehen wir im folgenden wir beginnen hier mit der kontinuierlichen Wavelet-Transformation Sie können hier eben die Transformationsformel sehen wie dargestellt hierbei ist XT die zu transformierende Funktion hier also das Signal an dem wir interessiert sind Psy von T ist eine Wavelet-Funktion ein sogenanntes Mutter-Wavelet Wavelets haben sie ja vorher grafisch schon gesehen diese Wavelets haben auch eine funktionale mathematische Entsprechung und genau die ist eben durch das Psy von T gegeben B ist der sogenannte Translationsparameter für die zeitliche Dimension und A ist ein Skalierungsparameter für verschiedene Frequenzparameter und was können wir jetzt hier sehen was machen wir damit aus diesem sogenannten Mutter-Wavelet kann man eine ganze Wavelet-Familie ableiten, ein Vater-Wavelet was für die Skalierung quasi zuständig ist also eine Skalierungsfunktion ein Baby-Wavelet was quasi die translatierte also die verschobene und skalierte Variante des Mutter-Wavelets darstellt wir haben hier mal so ein Wavelet als Psy AB ist gleich eins doch A als Skalierungsfaktor von Psy von T-B ist die Skalierung noch mal durch A, B ist hier quasi zuständig für die zeitliche Ebene und das Mutter-Wavelet an sich ist für die Skalierung zuständig wir nehmen das Mutter-Wavelet und was machen wir damit wir ziehen das, wir staunen das und wir manipulieren das und wir können diese kontinuierliche Wavelet-Transformation auch als Skalarprodukt schreiben so wie es hier unten dargestellt ist ein Wavelet unterliegt einer Zulässigkeits-Bedingung damit dieses überhaupt als Valide anzusehen ist, das heißt nicht jede Wellenfunktion ist gleichzeitig auch ein Wavelet das muss bestimmte Eigenschaften erfüllen daher ist es gar nicht so einfach ein Valides Wavelet überhaupt zu finden die Bedingungen können Sie hier sehen das bedeutet effektiv, dass diese integral kleine unendlich sein muss also quasi das Verhältnis der quadrierten Wavelet-Foyer-Transformierten zu eben der Kreisfrequenz darf integriert nicht größer wie unendlich werden oder darf nicht unendlich werden sondern muss endlich sein und zudem gilt, dass die Wavelet-Transformierte von der Kreisfrequenz gleich 0 auch 0 sein muss und zudem hat ein Wavelet einen Mittelwert von 0 und somit finite Energie damit haben wir denke ich die Haupteigenschaften erstmal abgedeckt zudem kann die ursprüngliche Funktion mittels der Rekonstruktionsformel aus der Wavelet-Synthese zurückgewonnen werden diesen Vorgang zeigen wir im Kurs hier leider auch nicht also es ist durchaus möglich mit der Zerlegung, die wir mit einer Wavelet-Transformation erhalten rekurrent das Signal wieder Rückwirken zusammenzusetzen und was genau machen wir denn jetzt mit einem Wavelet was ist hier der genaue Vorgang wir nehmen hier ein Wavelet und wir schieben dieses Wavelet durch unser Signal das nennt sich Translation Verschiebung des Mutter Wavelets durch das Signal das dient zur Zeitlokalisierung und wir haben die sogenannte Skalierung das bedeutet wir stauchen wir dänen dieses Mutter Wavelet um Frequenzinformationen zu erhalten achten Sie bitte dass diese Bestimmung der Koeffizienten auf mathematischen Faltungen basiert was können wir hier noch dazu sagen diese Fenstergrößen, die wir wählen haben eine Fläche ungleich 0 das bedeutet, dass wir die Fenstergrößen nicht gegen 0 laufen lassen können wie ich es bei der Kurzzeit vor je Transformation aber das liegt an der heißen Bergchen und Schärfe Relation das heißt, wir können hier nicht beliebig genau werden, das funktioniert nicht und obwohl wir hier die Höhe und die Breite des Fensters verändern bleibt die Fläche jedoch konstant das ist noch eine Eigenschaft die wir hier mitgeben sollten und ich fasse das nochmal zusammen wir haben ein Signal und wir nehmen ein Wavelet und wir schieben das durch unser Signal durch danach nehmen wir das Wavelet ziehen das ein bisschen länger oder stauchen das zusammen und wiederholen diesen Vorgang immer und immer wieder und demnach bekommen wir ein entsprechendes Spektrum raus was eben diesen differierenden Fenster Breiten und Höhen entspricht was gibt es zudem noch zu sagen, das haben wir hier noch gar nicht so dargestellt wir führen auch einen neuen Begriff ein der der sogenannten Skalen wenn wir sehr niedrige Skalen haben haben wir hohe Frequenzen das heisst Frequenzinformation und wenn wir sehr hohe Skalen haben haben wir niedrige Frequenzen das heisst das sind die Frequenzen länger so wir gehen mal her und schauen uns das in der Praxis an ich habe ihnen hier nochmal die Tesla Rendite-Serie mitgebracht und ich habe ihnen auch eine geometrische branche Molekularbewegung mitgebracht weil was ich ihnen ja noch schuldig bin ist die Erklärung wo kann ich denn jetzt unterscheiden eine geometrische branche Molekularbewegung und eine Aktie wie kann ich das Ganze denn unterscheiden und wir beginnen hier als erstes einmal nochmal festzustellen dass die Rendite-Ausschläge der echten Finanzzeitreihe wesentlich größer sind wie die der simulierten geometrischen branche Molekularbewegung wir werden jetzt aber auch nacheinander eben diese Rendite-Serie zerlegen mittels einer Wavelet-Transformation und uns hier entsprechen die Ergebnisse ansehen werden uns zuerst die Ergebnisse die Zerlegung der kontinuierlichen Wavelet-Transformation für die echten Daten ansehen und anschließen diejenigen der gebrochenen branche Molekularbewegung die das nächste Bild einfach mal auf sich wirken ich gebe Ihnen dazu einige Momente ich hoffe Sie hatten genügend Zeit einen ersten Eindruck dieses Power-Spektrums für die Wavelet-Transformation zu erhalten was sehen wir denn hier jetzt wir haben auf unserer X-Achse die Zeit abgetragen und auf unserer Y-Achse die sogenannten Skalen das bedeutet kleine Skale, hohe Frequenz hohe Skala-Niedrige-Frequenz und wir sehen hier quasi über die Zeit hinweg in Hinblick auf die Heisenbergsche-Unschärfe-Relation abgetragen die Frequenzzeitinformation einer Wavelet-Transformation und wir können hier sehr viele Informationen rausziehen wir können hier natürlich verschiedene Zeitebenen betrachten und wir können hier auch sehen wie sich die Frequenz über die Zeit verändert und wir können auch sehen, wie hier eine jahreskalierte Zeitachse drüberlegen erkennen, dass die Frequenzen und die Koeffizienten in Krisenzeiten deutlich höher sind und einschneidender sind wie normal dazu kommen wir allerdings erst im Teil Ausblick in die Forschung seien Sie hier mal gespannt auf jeden Fall können wir hier die Probleme zumindest im Ansatz lösen wir bekommen eine variable Zeitfrequenzauflösung die wir tatsächlich arbeiten können und das ist jetzt natürlich das Power-Spektrum für die Tesla Renditen ich werde Ihnen das Ganze jetzt mal für die Renditen der brownischen Molekular-Bewegung zeigen, damit Sie auch direkt erkennen können wenn Sie sich nicht nur die Renditen ansehen, da sehen Sie auch das der Unterschied zwischen einer Zeitreihe und einem stochastischen Prozess auffällt, aber besonders wenn Sie sich die Frequenzinformation und die Power-Spektren von wavelets ansehen, da sehen Sie ganz genau wo der Unterschied zwischen einer realen Finanzzeitreihe wie Sie es hier sehen und einer brownischen Molekular-Bewegung liegen, ich schalte jetzt einfach mal um und behalten Sie im Hinterkopf selbst wavelet, selber Algorithmus, alles gleich nur, dass ich statt den echten Finanzrenditen eben die realisierten Renditen einer brownischen Molekular-Bewegung dem der Transformation übergeben habe und was sehen wir, wir sehen eigentlich nichts mehr, das ist wie wenn wir hier den Ofen ein- und aus- schalten Ofen an, Ofen aus Ofen an, Ofen aus mal noch ein Witz am Ende zu machen wir sehen hier ums auf den Punkt zu bringen, dass die Realisierung einer gebrochenen Molekular-Bewegung keinerlei Frequenzinformationer enthält warum das so ist da gibt es eine Erklärung dazu diese Erklärung bekommen Sie von mir im Ausblick in die Forschung da kann ich noch näher darauf eingehen warum denn nun hier unsere Finanzzeitreihen Renditen massive, hoch signifikante Koeffizienten aufweist und unsere Realisierung eines nicht, dazu kommen wir noch dazu gibt es eine Erklärung, merken Sie sich an dieser Stelle aber einfach mal stochastische Zufallsprozesse haben keine Frequenzinformation was gibt es denn noch, wir haben jetzt gesehen es gibt eine kontinuierliche Weveletransformation und es gibt auch noch eine diskrete Weveletransformation, die sogenannte DWT, die diskrete Weveletransformation ist eine aneinanderreihung diverser Hoch- und Tieffassfilter welche Rekorrent eingesetzt werden, sogenannte Kaskade von Filtern und die kontinuierliche Wevelettransformation wird praktisch auf diese Weise gerechnet, da sind wir wieder dabei, dass ein Computer eigentlich keine richtige Zufallsziehung machen kann dass wir kontinuierlich mit einem Computer eigentlich gar nicht abbilden können allerdings ist das jetzt auch wieder nur so eine Randbemerkung analog zu stochastischen Prozessen ist es hier möglich, diskrete kontinuierliche Wevelets, respektive Wevelettransformation umzuwandeln darauf gehen wir hier nicht ein und ich habe mir auch überlegt ob wir hier diese Rauschreduktionen mittels Wevelet in den Kurs aufnehmen ich habe mich dann letzten Endes dagegen entschieden da das doch etwas zu aufwendig und zu viel wird und wir doch in der Zeit schon sehr fortgeschritten sind daher habe ich Ihnen hier nochmal die vorletzte Folie für diese Veranstaltung aufgelegt und zwar das ist mal ein Übersichtsdiagramm wie denn eine DWT aussehen kann wir haben ein Signal und wir splitten dieses Signal mittels Hochpass und Tiefpassfilter der Hochpassfilter gibt uns hier die sogenannten Approximationskoeffizienten währenddessen uns der Tiefpassfilter die Detailkoeffizienten liefert und dieser Tiefpassfilter was daraus kommt als Ergebnis wird wieder in ein Hochpass und Tiefpassfilter gesplittet und so weiter deswegen haben wir ja auch den Begriff der Kaskade in den Raum gestellt und wenn wir das immer und immer weiter betreiben können wir auf verschiedenen Leveln eben dieses Signal zerlegen und da kommen wir auch zur letzten Folie der Veranstaltung ich bin hier nochmal auf das Chirps Signal zurückgesprungen das ist das was wir ja ganz am Anfang der Veranstaltung gesehen haben und habe dieses Grillensignal einmal mit einer diskreten Wevelet auseinander genommen um es Meister Lob auszudrücken und zwar auf 5 verschiedene Leveln und dann sehen wir hier auch in Rot die Approximationskoeffizienten des Hochpassfilters und wir sehen rechts die Detailkoeffizienten in grün des Tiefpassfilters und so können wir sehen wie dieses Signal denn auf unterschiedlichen Ebenen beschaffen ist und da können Sie auch sehr interessante Analysen damit machen damit sind wir eigentlich mit der Vorlesung am Ende ich hoffe Sie haben einiges mitnehmen können, ich hoffe Sie haben was gelernt, ich hoffe ich habe Sie zu Ideen angeregt und ich hoffe dass ich auch Interesse geweckt habe sich tiefer mit diesen Konzepten auseinander zu setzen das Feld der Wevelets ist sehr ansprechend, ist sehr groß und ist sehr komplex zu teilen wir werden die Wevelets in dem Ausblick in die Forschung nochmal aufpassen und da werde ich nochmal detaillierter auf einige Anlagestrategien, Konzepte und Möglichkeiten der Wevelets eingehen bis dahin wünsche ich Ihnen alles Gute und bedanke mich für Ihr Beisein