 En 1852, Francis Goffley s'amuse à colorier une carte des canton d'Angleterre et remarque que 4 couleurs suffisent. En bon mathématicien qu'il est, il se demande si c'est généralisable à n'importe quelle carte. Le problème s'avèrera plus compliqué que prévu puisque la réponse arrivera qu'un siècle plus tard. Ça tombe bien, j'ai 2 minutes pour en parler. Voici la carte des 12 régions françaises métropolitaines continentales. Est-il possible de les colorier de façon à ce que 2 régions partageant une frontière soient toujours de couleurs différentes ? Il est évident que oui, il suffit de prendre 12 couleurs différentes et tout réjouer. Mais peut-on colorier proprement la carte avec seulement 5 couleurs, 4 couleurs, 3 couleurs ou 2 couleurs ? Mettez cette vidéo en pause quelques minutes pour et réfléchir puisque je vais spoiler la réponse tout de suite. Si vous ne vous y prenez pas n'importe comment, vous pourrez sans difficulté obtenir un coloriage avec 5 couleurs. Si vous y consacrez quelques minutes supplémentaires, un coloriage en 4 couleurs devrait se montrer. Par contre, colorier la carte avec seulement 3 couleurs risque de vous poser quelques problèmes. On sent que ça bloque sans trop savoir pourquoi. Il est cependant clair qu'une coloration à 2 couleurs est impossible. La Bretagne, la Normandie et les pays de la Loire sont par exemple clairement de couleurs différentes. Sur cette carte de la France, il n'existe aucun groupe de 4 régions qui sont toutes voisines 2 à 2, comme on pourrait en trouver sur la carte d'Europe autour du Luxembourg, sur la carte d'Afrique du côté du Malawi ou sur la carte d'Amérique autour du Paraguay. Pour trouver que la carte de France demande au minimum 4 couleurs, il faut donc réfléchir un tout petit peu plus et observer ce groupe de 6 régions. Si je ne dispose que de 3 couleurs, disons rouge, vert et bleu, je peux colorier l'île de France en rouge, l'eau de France en vert et le grand est en bleu. Cela oblige la Bourgogne-Franche-Conté à être verte et le Centre-Valle de Loire à être bleu. La Normandie est donc bordée par 3 régions de couleurs nécessairement différentes, il faut une quatrième couleur. Bref, 3 couleurs ne suffisent pas pour colorier la carte de France alors que 4, si. Et c'est justement ça l'objet du théorème des 4 couleurs. 4 couleurs suffisent toujours pour colorier n'importe quelle carte de façon à ce que 2 régions adjacentes soient toujours de couleurs différents. Il n'existe aucun contre-exemple. Quand Francis Guffrey observe en 1852 ce phénomène sur sa carte d'Angleterre, il s'empresse d'en parler à son ancien professeur Auguste de Morgan. Intrigué par le problème mais sans réponse, il en parle à William Hamilton, qui lui répond gentiment qu'il a d'autres projets plus intéressants pour le moment que de colorier des cartes. Malgré tout, de Morgan persiste et parle de ce problème à tout son entourage dont Arthur Kelly, qui écrira le premier article décrivant les difficultés de la question. Revenons en problème, les cartes dont on parle sont composées de plusieurs pays ou régions séparées les unes des autres par des frontières. Si des régions se touchent seulement en un point, on ne les considérera pas comme voisines. Ainsi, deux régions opposées par un sommet autour d'un quadri-point peuvent être colorées de la même façon, comme c'est le cas aux États-Unis, au point frontière entre l'Arizona, le Colorado, le Nouveau-Mexique et l'Utah. On supposera aussi qu'une région n'a pas de frontières avec elle-même, ce qui serait de toute façon complètement absurde. On supposera enfin que la région que l'on considère son connexe, c'est-à-dire toujours en un seul morceau. Si on commence à autoriser les enclaves et esclaves, on pourra facilement construire des cartes où 8 régions seront toutes adjacentes 2 à 2, ce qui fournirait un contre-exemple. Cette hypothèse rend donc ce théorème complètement sans intérêt pour les cartes au graphe, puisque les régions sont rarement d'un seul tenant, ne serait-ce qu'à cause des îles. La Russie, à cause de l'oblast de Kaliningrad non rattaché au reste du pays, fournit un autre exemple de situation problématique. Bref, le théorème des 4 couleurs énonce que n'importe quelle carte peut être colorée proprement avec 4 couleurs, ou, comme le disent les mathématiciens, 4 colorables. Mais pourquoi elles auraient ? N'existe-t-il vraiment aucune carte demandant nécessairement 5 couleurs ? A vrai dire, c'est loin d'être évident. Quand on cherche à la main la carte qui demanderait au moins 5 couleurs, on passe ton temps à presque la trouver avant de se rendre compte que non, 4 couleurs suffisent. Un premier argument simple, qu'il est se pensé qu'un contre-exemple est difficile à trouver, c'est qu'il est absolument impossible de trouver une carte où 5 régions sont toutes voisines 2 à 2. On peut prouver ça à l'aide de la formule d'Oiler, que l'on avait déjà utilisé pour prouver cette histoire de maison et d'usine. Sans rentrer dans les détails non plus, cette même formule d'Oiler implique pour toutes les cartes un fait important. Il existe toujours quelque part une région qui possède 5 frontières au moins. Ce l'aim est essentiel pour prouver que toute carte est colorable avec, non pas au plus 4 couleurs, mais au plus 6 couleurs. C'est mieux que rien. Prenons une carte composée de 7 régions. D'après ce que l'on vient de voir, il existe au moins une région qui possède moins de 5 frontières. On en choisit une et on la supprime. Notre carte possède donc maintenant 6 régions et je peux naturellement la colorier avec 6 couleurs. Replaçons alors la région retirée. Puisque celle-ci n'avait pas plus de 5 frontières, il reste donc au moins une couleur de disponible. Ceci prouve donc que toute carte à 7 régions est 6 coloriables. L'argument fonctionne aussi pour les cartes à 8 régions. Il existe une région à 5 frontières que l'on retire. On a alors une carte à 7 régions que l'on vient de prouver comme étant 6 coloriables. On replace la région retirée et le tout réjoui. De proche en proche, on peut donc prouver qu'une carte à 9 régions, à 10 régions et finalement à n'importe quelle nombre de régions, est 6 coloriables. C'est ce que l'on appelle une démonstration par récurrence. Pour prouver qu'une propriété sur les cartes est vraie, il suffit de prouver dans un premier temps qu'elle est vraie pour les petites cartes, puis, dans un deuxième temps, de montrer que la propriété reste vraie lorsque l'on incrémente le nombre de régions. Enfin bon, ce théorème des 6 couleurs, c'est sympa, mais on peut faire mieux. Prouvons que toute carte est 5 coloriables. Pour cela, il n'y a pas vraiment le choix, il faut à nouveau procéder par récurrence. Déjà, il est assez clair que toute carte possédant 5 régions au moins peut être colorée avec 5 couleurs. Ça, c'est la première étape de la récurrence, l'initialisation. Pour la deuxième étape, on va prouver que si toutes les cartes à n régions sont 5 colorables, alors toutes les cartes à n plus une région le sont aussi. Ce n, pouvant désigner n'importe quel nombre, cette deuxième étape implique que puisque la propriété est vraie au rang n égale 5, elle est aussi au rang n égale 6 et donc au rang n égale 7 et ainsi de suite. Bref, allons-y. Voici une carte possédant n plus une région. On aimait l'hypothèse de récurrence que toute carte à n région est 5 coloriables. Ainsi, si je retire n'importe quelle région de cette carte, il existera une coloration à 5 couleurs. Comme précédemment, on va supprimer temporairement une région possédant 5 frontières ou moins. Appelons X, cette région retirée. On obtient donc une carte à n région, qui est selon l'hypothèse de récurrence, 5 colorables. Remettons alors la région X retirée. Si celle-ci conteste strictement moins de 5 frontières, on n'aura aucun mal à lui attribuer une couleur. De même si, parmi les 5 régions frontalières, on retrouve deux fois la même couleur, on peut sans souci colorier la région. Il reste alors un seul cas qui pose problème. Comment peut-on s'en sortir si les 5 régions frontalières AX sont toutes de couleurs différentes ? Eh bien, il va falloir toucher à la coloration du reste de la carte. Disons qu'autour de X se trouve, dans l'ordre, une région blanche, bleu, jaune, rouge et verte. On va considérer, en partant de la région voisine verte, l'ensemble des régions de la carte que l'on peut atteindre en ne passant que par les régions verte et jaune. On appelle cet ensemble une composante de camp, du nom de Alfred Camp, qui a pour la première fois démontré le théorème des 4 couleurs. L'intérêt, c'est que dans cette composante verte et jaune de camp, il est possible d'inverser les couleurs verte et jaune sans que cela ne pose de problème. Deux éventualités alors. Si la région jaune voisine de X ne se trouve pas dans notre composante de camp, alors on peut inverser la composante, ce qui libère la couleur verte et s'est gagné. Dans le cas contraire, c'est qu'il existe un trajet jaune et verte liant les régions voisines jaune et verte. L'existence de ce trajet empêche alors l'existence d'un autre trajet rouge et bleu liant les voisines rouge et bleu de X puisque deux trajets de couleurs différentes ne peuvent pas se croiser. On peut donc inverser la composante bleu-rouge de camp partant du voisin bleu de X, ce qui libère à la couleur bleue. Bref, quitte à modifier la coloration du reste de la carte, il est possible d'attribuer une couleur à cette région supplémentaire X. Ainsi, si toute carte à N région est 5 colorables, alors toute carte à N plus une région est aussi 5 colorables. On vient donc de démontrer par écurance que toute carte est 5 colorables. Mais comment faire mieux ? Comment s'y prendre pour prouver que toute carte peut être colorée avec 4 couleurs ? On est bien sûr tenté d'utiliser un raisonnement par écurance similaire à celui de la démonstration du théorème des 5 couleurs. C'est justement ce que Alfred Camp a tenté de faire en 1879, fondissant la première démonstration du théorème des 4 couleurs. Le succès fut malheureusement de courte durée puisque 11 ans plus tard, Percy Johnny Wood débusque une erreur dans la démonstration. Il ne s'arrête pas là puisqu'il prouve au passage que l'argument principal de Camp, l'inversion des couleurs au sein d'une même composante, est inutilisable dans certains cas. Il donne même un exemple qui ressemble à peu près à ceci. Quand on retire la région X au nord, on peut colorier la carte comme ceci. Cette région nord compte 5 régions voisines, dont 2 vertes. Dans ce cas, il sera impossible de libérer l'une des 4 couleurs en procédant simplement à des inversions de couleurs au sein d'une même composante. Vous pouvez par exemple vérifier qu'en transposant les couleurs rouge et jaune, aucune couleur ne devient disponible. Bref, cette carte détruit complètement le principe de la démonstration de Camp au retour à la case départ. Je vous rassure tout de même, cette carte n'est pas un contre-exemple du TRM des 4 couleurs seulement de la démonstration de Camp. Un coloriage y est possible, mais il faut faire plus que simplement échanger des couleurs entre plusieurs régions. Bref, si une carte est coloriable avec 4 couleurs, il n'y a pas d'argument simple qui permet de conclure que l'ajout d'une région la laissera forcément coloriable avec 4 couleurs. Tout est donc foutu ? Bien sûr que non. Camp touchait du doigt l'argument qui permettait de conclure, mais n'est pas allé assez loin. En fait, quand on cherche à colorer une carte à partir de la coloration d'une carte plus petite, il faudra retirer, mais plutôt un morceau de la carte appelée configuration et qui peut compter plusieurs régions. La démonstration n'en est pas plus simple pour autant. Plutôt que de chercher à prouver que toutes les cartes peuvent être colorées avec 4 couleurs, on va plutôt chercher à affirmer le contraire. Il n'existe aucune carte qui demande au minimum 5 couleurs. Cela revient au même, mais c'est plus facile à comprendre. Ce que les mathématiciens qui se sont intéressés aux problèmes sont finalement parvenus à prouver, non sans difficulté, c'est que si une telle carte contre-exemple existe, alors il en existe toujours une, strictement plus petite en termes de nombre de régions et de frontières. Comme on ne peut pas diminuer à l'infini la taille d'une carte, un contre-exemple ne peut pas exister. Pour prouver cela, l'idée est donc de chercher à quoi pourrait ressembler la plus petite carte qui demanderait nécessairement strictement plus de 4 couleurs, c'est-à-dire chercher un contre-exemple minimal. Il faut donc passer en revue les propriétés que se doivent de vérifier le plus petit des contre-exemples. Par exemple, on peut dire que dans une telle carte, aucune région ne possède 3 frontières ou moins. Sinon, retirer cette région à 3 frontières donne une carte plus petite. Cette nouvelle carte est forcément 4 coloriables, sinon cela contredit l'hypothèse de minimalité. Cette coloration s'étend donc à la carte initiale, ce qui contredit le fait que c'était un contre-exemple. Avec le même genre d'argument, il est possible de prouver qu'une carte contre-exemple minimal n'a jamais de région comptant exactement 4 frontières. Ça, c'est ce que les cartes contre-exemple minimal n'ont pas. Mais que peut-on dire qu'elles ont ? Les premiers à cette pencher sur la question sont Kenneth Apple et Wolfgang Aken en 1976. Ils sont parvenus à montrer que SinCart est un contre-exemple minimal, alors elle possède forcément l'une des configurations initiales parmi une liste qu'ils ont mis au point. Le hic, c'est que cette liste compte 1478 configurations et qu'il faut toutes les analyser une par une. Prenons par exemple la configuration suivante appelée Losanges de Birkhoff. En remplaçant cette configuration par celle-ci, on obtient une carte plus petite, donc coloriable avec 4 couleurs. On peut alors montrer, moyennant des échanges de couleurs au sein d'une composante de camp que je ne vais pas détailler, que ce coloriage peut toujours s'étendre à la configuration initiale. Bref, cette configuration inévitable qu'elle est le Losange de Birkhoff est ce que l'on appelle réductible. Le travail à faire pour démontrer le terme des 4 couleurs est donc colossable. Il faut prouver que chacune des 1478 configurations est non seulement inévitable mais aussi réductible. Faire ce travail à la main et le travail d'une vie, si bien que les deux mathématiciens ont fait un sacrilège aux yeux de la communauté mathématique, ils ont automatisé leur démonstration et laissé leur ordinateur du bureau travailler pour la nuit. Après 1200 heures de calcul, l'ordinateur a affiché sa conclusion. Toute carte peut être coloriée avec 4 couleurs. Pour la première fois de l'histoire des mathématiques, l'informatique a donc été indispensable pour mener au bout une démonstration. Il y a alors plusieurs raisons d'être circonspets. Déjà, il est particulièrement ardu de checker la validité du raisonnement, puisqu'elle compte tout de même 600 pages. Une erreur a d'ailleurs été découverte au milieu de la démonstration quelques années plus tard, heureusement sans conséquences. En 1995, une équipe de quatre mathématiciens se replonge dans la démonstration de Apple et Aken et la meilleure considérablement, en réduisant à 633 la liste des configurations inévitables. Il simplifie également la procédure, mais le coeur du raisonnement reste malgré tout confiant à l'informatique. Afin de dissiper tous les doutes quant à la validité de cette preuve, George Gontier la confira en 2005 au logiciel COC, un programme qui permet de vérifier mécaniquement que la démonstration ne comporte aucune faille de logique. Malgré la relative inaccessibilité de la démonstration, nous sommes aujourd'hui sûrs et certains que tout de carpe peut être colorié avec quatre couleurs. Le théorème des quatre couleurs est bien intéuré. Mais ce n'est pas l'appel à l'informatique qui est le plus décevant dans cette histoire. Quand un problème reste ouvert pendant plus d'un siècle, on s'attend à ce que la démonstration soit mathématiquement passionnante. Un bon problème de maths, c'est un problème dont la résolution en ouvre des dizaines d'autres. Quand Andrew Wals a démontré la conjecture de Fermat ouverte depuis plus de 300 ans, il a surtout fait progresser le problème de l'anglande, c'est-à-dire la compréhension profonde de lien entre arithmétique et géométrie. Quand Gregory Perelman a démontré la conjecture de Poincaré, ouverte depuis presque un siècle, il a développé des outils particulièrement puissants et novateurs en topologie algébrique. Quand Apple, Hacken et leurs successeurs ont démontré le théorème des quatre couleurs, eh bien, ils l'ont démontré et c'est à peu près tout. Les démonstrations sont brutales et n'apportent pas d'éclairage nouveau à la théorie des graphes. C'est pour cette raison que les recherches autour de la question sont toujours ouvertes. On adorerait débusquer une preuve élégante du théorème des quatre couleurs et qui puisse élargir notre compréhension des mathématiques. C'est vraiment trop demandé ?