 اسلام علیکم تو اب لیکچر number 29 شروع کرتے ہیں باتے کرتے ہیں مزید انڈیگریشن کی from the point of view of finding areas under the graphs of given functions اور وہ functions کس طائب کے ہوتے ہیں پیچھلی دفعہ ہم دیکھ بھی چکیں یہاں پہاں کہنا چاہیے given graphs of continuous functions خیر یہ ساری باتے ہم مزید کرتے ہیں پیچھلی لیکچر میں بھی کی تھی اور اب اس کو مزید دفعہ کریں گے تو اس میں ابھی تک جو ہم نے دیکھی ہیں بات چیت جو کی ہے انڈیگریشن کی اس میں پھر وہ بات ہے کہ ایریہ کی problem جہاں وہ کافی crucial ہے کافی important ہے پچھلی دفعہ ہم نے بات کی تھی کہ جی ہم نے define کیا تھا ایک طرح سے کہ جی area of under the area of a region defined under a certain under the graph of a certain function اس کو ہم کس طرح سے معلوم کر سکتے ہیں اس کی پوری تھیوری تھی جس کی ہم نے بات کی تھی اس میں ہم نے دیکھا کہ بھئی کیسے آپ rectangles استعمال کرتے ہوئے approximate کر سکتے ہیں area of the region under the curve تو اس میں یہ تھا کہ جی آپ پہلے rectangles بناتے ہیں اس کے بعد انڈیگریشن کو آپ ان کا height معلوم کرتے ہیں اس کے لیکہ تھیوری تھی arbitrary points چوس کرتے ہیں ہم نے یہ بھی دیکھا کہ وہ it does not matter which what the arbitrary point is ہمیشہ result ایک ہی آتا ہے اور یہ بھی دیکھا کہ اس کو ہم استعمال کرتے ہوئے یہ نیجب ہم under rectangles کی number of rectangles کو بہت زادہ کر دیتے ہیں اور in reality we let them go to infinity تو ہمارے پاس result جو آتا ہے وہ ایک exact area بن جاتا ہے of the region under the graph of a given function تو یہ پچھلی ذفات جو ہم نے یہ سب باتے کی تھی ان کو define کیا تھا area وغیرہ کو اس میں تھوڑی سی چیزے special form کی تھی یعنی مثال کے طور پہ ہم نے یہ کہا تھا کہ بھئی یہ جو آپ کے rectangles بنائے تھے ہم نے وہ ہم نے ان کی width جو define کی تھی وہ ہم نے کہا تھا کہ جو original ڈیول دیا ہوتا ہے اس کو آپ سب ڈیول دیتے ہیں into sub intervals of equal widths تو اس میں یہ سپیشل بات ہے کہ جی equal width کیوں ہے ان rectangles کی کیا اگر different width کے rectangles ہوں تو کیا ہمارے پاس یہ area کی definition کیا کام کرے گی ہی نہیں کرے گی تو it's a good question mathematics میں ہی ہوتا ہے concept idea ہی ہوتا ہے پہلے بھی ہم دیکھ چکے کہ جتنی زیادہ کوئی بات general کر دی جائے اتنی ہی وہ زیادہ اس میں mathematical beauty ہوتی ہے اس کی خوبصورتی وہاں سے پتہ چلتی ہے تو وہی بات ہے کہ جی سوال natural sound ہے کہ آپ نے تو یہ special case لیا تھا کہ rectangles ساری ایک width کیوں گے اور اس میں ایک آسان رہتی ہیں calculations کہ آپ کہتے ہیں جی ان کی width پتلی کرتے جائیں تو doesn't matter کیوں کہ آپ کے intervals جتے تھے وہ برابر سائس کے تھے you could do it naturally لیکن یہ سوال ہے کہ اگر نہ ہو تو کیا ہوگا what if the rectangles are of different widths تو ابھی ہم دیکھیں گے کہ کیا cases بنتے ہیں کہ جب rectangles کی width یا چڑائی جو ہے وہ different ہو اور اس case میں کیس طرح سے اس problem کو tackle کرتے ہیں تو سب کچھ بات چیت کرنے سے پہلے agenda پنا لیتے ہیں کہ آج ہم کیا کرنا چاہیں گے کیا ہمارا agenda ہے آج کے لیکچر کا تو آئی اس کو دیکھ لیتے ہیں لیکھ لیتے ہیں اس کو آج ہم بات کریں گے topic جو ہے وہ ہے definite integral تو یہ of course topic بھی ہے پہلا جو idea ہم اس میں بات کریں گے یہ ہی ہوگا کہ definite integral کیا ہوتا ہے ہم نے indefinite integral ایک دفعہ دیکھا تھا جو کے antiderivative کے طور پر ہم تریٹ کرتے ہیں لیکن یہاں پر ہم definite integral کی بات کریں گے will see what it is اس کو ڈیفائن کریں گے اس کے بعد ہم اسی definite integral کیا پر بہت ساری بات کریں گے ان میں سے ہوگی ایک ڈیفائنٹ integrals of continuous functions with non-negative values اس کے بعد ہم دیکھیں گے definite integral of continuous functions with negative and positive values یعنی اس میں ہم allow کریں گے کہ negative values بھی آسکتی ہیں function کی values کی اس کے بعد ہم دیکھیں گے definite integral of functions with discontinuities یعنی ایسے functions جو کسی ایک point پر ڈیفائنٹ نہ ہو ایک interval میں اس میں کیا definite integral کی بات کرنے کا اس کے بعد ہم properties دیکھیں گے of the definite integral اور پھر وقت ہوا تو پھر ہم دیکھیں گے کچھ inequalities involving definite integral جناب یہ ہے جنڈہ آج کا اس کو پھر شروع کرتے ہیں بات چیز کے بارے میں سب سے پہلے topic وہی ہے definite integral کا اس کے بارے میں اگر ہم بات شروع کرتے ہیں تو اس کو ڈیفائنٹ کریں گے پہلے کہ وہ کیا ہوتا ہے تو آئیے شروع کرتے ہیں اس میں کس طرح سے اس کو شروع کریں اس میں یہ ہے کہ ڈی ڈی آریا کے حوالے سے بات کریں گے ہم یعنی تھوڑا سا before we define what a definite integral is ہم جو ڈیفائنٹ میں ہم نے بات کی تھی اپنی اس کی ڈیفائنٹ کے ڈیفائنٹ کی تو اس کو تھوڑا سا اور ڈیفائنٹ کرتے ہیں ابھی تھوڑی در پہلے ہم نے دیکھا تھا کہ جی اگر آپ پر پر لیکچر میں کہ آپ کے پاس ڈی�اپ معلوم کرنا چاہہے ہیں and for region ڈیفائنٹ ڈیفائنٹ ڈیفائنٹ کس خاصیت以 تھی کہ وہ ڈیفائنٹ اپنی ڈیفائنٹ ڈیفائنٹ ڈیفائنٹ ڈیفائنٹ ڈیفائنٹ ڈیفائنٹ اپنی ڈیفائنٹ اس سے ڈیفائنٹ ڈیفائنٹ اور x جو بی آن بی being the end points of the ڈروال اور x ڈروال یا x ڈروال یا x y ڈروال that was the boundary of the region at the bottom. تو ایسے ڈروال کا ہم نے ڈیریاں معلوم کیا تھا اور ہم نے کہا تھا کہ جی اس میں وہی بات تھی کہ سب ڈیویژن کی given ڈروال کی ab کی اس کے بعد ہم نے وہ جو سب ڈیویژن کی تھی اس میں equal ڈیویژن کی تھی یعنی جو بھی سب ڈروال بنے تھے وہ سارے equal ڈیویژن کی تھے پھر ہم نے ان ڈروال کو استمال کرتے وہ ریکٹانگلز بنائے تھے ان ڈروال کو دیفائن ہوئے تھے ان سب ڈروال میں ان میں سب ڈروال میں ہم نے آربیٹری پوینٹ کیا تھا اور پھر آربیٹری پوینٹ پر ہم نے دیکھا تھا کہ اس کی corresponding value کیا ہے function کی یا in other words کے ڈراف پر اس کی value کیا ہوگی کہاں پر یہ انٹرسیکٹ کرے گا تو وہ ہم نے معلوم کی تھی پھر ہم نے ان سب اس سے بیسکل یہ ہوا تھا کہ ہمارے پاس ہائٹ آگئی تھی اس ریکٹانگل کی بیسکر ریکٹانگل اس کی ہم بات کر رہے ہیں کوئی بین میں سے ایک ہوگا سب میں یہ ہونہ تھا کہ آپ ہر ریکٹانگل کو دیکھ کے عربیٹری پویس اس کی وٹ تو ہمیں سب کی پتا تھی برابہ رہے لیکن ہائٹ معلوم کرنے کے لیے چونکہ دفرنٹ ہائٹs ہوتی نہیں تو اس کے لیے ہم نے کہا تھا کہ جی ایک عربیٹری پوین چوز کر لیں کورسپورننگ وائی ویلیو معلوم کریں تو آپ کے پاس ہائٹ آجائے گی ہر ریکٹانگل کی پھر ہم نے ان سب کا ایریہ معلوم کر لیا تھا ہائٹ پتاو وٹ پتاو تو آپ ایریہ معلوم کر سکتے ہیں ریکٹانگل کا اور ان سب ایریہ اس کو پھر ایٹ کیا اور پھر ہم نے کہا کے لیمٹ لے لیں اور اس کا مطلب تھا کہ ریکٹانگل اس بہت پتلے ہو رہے تھے اور اس کا یعنی ہم نے دیکھا تھا کہ یہ جب ہوتا ہے جب آپ نے جو ان چوز کیا تھا جس کے ذریعہ آپ نے اپنے سب انٹرولز بنائے تھے وہ آپ بہت بڑا لے لیں تو آپ کے پاس بہت چھوٹے چھوٹے سب انٹرولز آتے ہیں اس کا مطلب ہے آپ کے ریکٹانگلز بہت پتلے پتلے ہوں گے اور اس طرح سے ہم نے دیفائن کیا تھے یہ دیکھا تھا کہ جب یہ ہوتا ہے تو ایریہ جو آتا ہے under the region can be approximated گیا بلکہ ہم نے گاتا ہے کہ it's exactly going to equal the limit of the some of the areas of the rectangles ٹھیک ہے جی تو اس میں ایک short coming تھی short coming یہ تھی کہ ہم نے وٹ کی جو دیفائن کی تھی ریکٹانگلز کی یہ equal تھی اب سوال یہ تھا میں نے پہلے بھی کہا تھا دیر پہلے کہ اگر یہ وٹs برابر کی نہ ہو یا سل میں سوال یہ کہ ایسا کیوں ہے کہ آپ برابر ہی کی لیں کہ آپ ایسا نہیں لیسکتے کہ ہر جو ریکٹانگل ہے ان کی وٹ different ہے یعنی کہہنے کا مقصد یہ ہے کہ جو آپ نے subintervals بنائے different چڑائی کے ہوں گے تو تب کیا ہوتا ہے تو ٹھیک ہے good question اور آنسر یہ ہے کہ اگر ایسا ہو تو ہم پھر بھی ایریہ کو ایسا ہی دیفائن کریں گے جس ہم نے پشتہ لیکچر میں دیفائن کیا تھا لیکن تھوڑی سی اس میں چینجز کریں گے تو یہ problem کہہنے کا مقصد کیا ہے اس problem میں مقصد یہ ہے کہ اگر آپ کی ریکٹانگل کی چڑائی different ہے تو ان میں سے کوئی ایسا لے لیں جو کافی چڑا ہے سب سے چڑا یعنی جو which has the largest width تو اگر ہم کہیں کہ ہم largest جو width ہے ریکٹانگل کی اس کو اگر ہم کہہ دیں کہ جی یہ اپروچ کر رہی zero تو اس کا کیا مطلب ہوتا ہے اس کا مطلب ہوتا ہے کہ اگر largest ریکٹانگل zero کو اپروچ کر رہی اس کی width تو باقی جو چھوٹے ریکٹانگل سے وہ بھی automatically zero کو اپروچ کریں گے تو اس کو ہم اس طرح سے یہ نہیں اس کا مطلب یہ ہی ہوگا کہ جو zero کو اپروچ کر رہے ہیں تو آپ کے ریکٹانگل باریگ باری ہوتے جا رہے ہیں and you're getting many many many rectangles and you're getting a better and better approximation to the region that you're trying to find the area of اچھا اس idea کو کنوے کرنے کے لئے ایک فگر بنا لیتے ہیں this figure will tell you exactly what kind of situation I'm talking about تو let's look at this figure this figure میں آپ دیکھ لیں کہ simple سی بات ہے کہ if you have اس میں بہت سارے different width کے rectangles ہیں اور ایک جو ہے right most rectangle this is the thickest one یعنی جس کی widest اس کی وہ ہے largest width ہے اور باقی different varying widths کے ہیں تو اب یہ ہی بات ہے کہ اس میں یہ پوچھنا ہے کہ اب اس میں ہم کیسے نمبر انکریز کریں تو اس میں یہ ہوتا ہے کہ we basically want to let the largest width rectangle اس کی جو width اس کو zero کو اپروچ کرنے دیں گے تو the whole thing basically happens also اس idea کو تھوڑا سا formalize کر لیتے ہیں تو let's start writing these points down کہ ہم اب یہ جو میں نے کہا کہ ہم کہتے ہیں largest rectangle وہ zero اپروچ کرے تو باقی بھی zero جائیں گے اس کو formally state کرتے ہیں mathematically تو let's write these ideas down اس کو ایسا کرتے ہیں کہ ہم interval جو ab ہے اس کو subdivide کر لیتے ہیں into n sub intervals whose widths are delta x1 delta x2 and all the way to delta xn کہنے کا مصد یہ آپ نے sub intervals تو بناے ہیں اور ان کی مقدار ہے ان کی جو ٹوٹل جتنے ہیں وہ ان میں نہیں ان کا بھی بھی ایک role ہے لیکن ضروری نہیں ہے کہ سب کی width برابر ہو اس لیے ہم نے differently ان کو denote کیا ہے کہ پہلے کی جو ہوگا پہلے جو انٹرولوجہ اس کی width ہوگی delta x1 دوسرے کی delta x2 and so forth all the way to delta xn لیکن ضروری نہیں ہے کہ سب برابر ہو یا ان میں کوئی ایک برابر ہو ہو سکتا ہے ہو ہو سکتا ہے نا ہو پہلے بھی ہم نے کہا تھا کہ جب ہم سب انٹرولز بناتے ہیں تو ہم کہتے ہیں کہ جو originل انٹرول ہے a,b اس کو partition کر دیا گیا and into smaller سب انٹرولز اور جو process تھا ہم کہتے ہیں کہ it's called a partition this whole new bunch of sub intervals that you get those are called a partition of the interval a,b close interval اور جو سب سے بڑی width کا جو ہے آپ کا rectangle اس میں کوئی بھی ہو سکتا ہے اس کو ہم کہتے ہیں جناب we call it the mash size of the partition in a largest width کا جو rectangle ہے we call it the mash size اس کو ہم کیسے denote کرتے ہیں mash size اس کی ایک special وہ ہے notation لکھ لیتے ہیں اس کو we denote the mash size or the interval with the sub interval with the largest width we write this as max delta x sub k اس کو ہم کیسے پڑیں گے اس کو پڑیں گے as maximum of the delta x sub k delta x sub k سے مراد یہ ہے کہ یہ جو بہت سر ہے میں نے widths رکھی تھی delta x1 delta x2 all the way to delta xn ان میں کوئی بھی آپ یعنی آر بیٹری کی بات ہو رہے جتنے بھی ان میں سے ان میں سے جو سب سے بڑا ہے کوئی اس کو مثال کے طور پہ اب ایک اس کی اگزمپل دیکھتے ہیں کہ ہم نے جو نوٹیشن لکھی اس کا کیا مطلب ہے اس کو دیکھیں کہ ایک پکچر بنالتے ہیں اس پکچر میں یہ ہے کہ آپ کے پاس ایک انٹرول دیا ہے 0 سے لیکے 6 تک اور اس میں ہمیں سب انٹرولز بھی دیے ویں of different type of different widths بیسکل delta x1 دیا where delta x2 دیا delta x3 بھی دیا or delta x4 بیسکل چار سب انٹرولز اور اس میں ہمیں ماش سائز معلوم کرنا ہے یعنی in other words we want to find maximum delta x up k تو نوٹ کیجئے کہ this is equal to delta x3 پکچر سے آئے رہا ہے and that's equal to 9 over 2 minus 5 over 2 any outer جو وہ ہے end point or the inner end point ان کو subtract کر دیں maximum width کا انٹرول ہے in this case اچھا جی تو یہ آپ کا ہو گیا اس کو کہلیں کہ آپ نے دیکھ لیے کہ کیسے ماش سائز کیا چیز ہوتی ہے اور delta x up k اور maximum جو اس کا کیا ہوتے اب یہ کہ وہی تیوری وہی ہے کہ بیسکل انٹرولز کے اوپر ہم رکٹانگلز بناتے ہیں تو different widths کے اب ایریہ معلوم کرنا ہے بیسکلی جیسے پہلے ہم نے ایریہ معلوم کیا تھا equal width کے رکٹانگلز تھے اب یہ جو different widths ان کا بھی ایریہ معلوم کرنا ہے تو ایک کوئی ایک بھی آپ ایک خاص خاص تو نہیں کوئی بھی ایک انٹر اگر آپ رکٹانگل لیں گے تو اس کا ایریہ کیسے دفعین ہوگا اسی طریقے سے جیسے پہلے کیا تھا کہ آپ اس کی width لیں گے multiply it by the height of the rectangle جس طرح پہلے ہم نے کیتی اسی طرح یہاں بھی height معلوم کر لیں گے کہ آپ ایک given interval میں آپ کہیں گے ایک arbitrary point چوز کیجئے x k star کہلیں اسے ٹیک جی arbitrary kth interval کی بات ہوری اس میں آپ x k star چوز کر لیں اور اس پہ آپ function کو evaluate کر لیں تو بیسکلی you are looking at f of x k star and that will define the height of the rectangle تو height معلوم ہے width معلوم ہے we can write down the area of that rectangle it will be just the product of f of x k star which is the height with the width which is delta x sub k that will be your area چیک ہے area بھی معلوم ہو گیا اب ہمیں ان سب یہ جو rectangle ان سب کا area معلوم کرنے تو معلوم کر لیں اسی formلے سے اب یہ ہے کہ یہ پورا جو region defined in terms of these rectangles معلوم کرنے اس کا جو region defined اس کا area معلوم کرنے تو وہ ہم بڑے اسانی سے معلوم کر سکتے ہیں جس پچھر لیکچر میں کیا تھا کہ آپ اپنے سارے rectangle کے area معلوم کر لیجے ان سب کو add کر لیں and when you add all of them you get the area of the region defined by the union of all these rectangles and that will give you the area of that region تو مقصد وہ یہ کہ اس area کا region اس region کا آپ اپرکسیمیٹ کرنا چاہتے ہیں given original region r کو جو جیسے ابھی ہم نے اگر کوئی کرف بنایا اس کے نیچے جو region ہے اس کو ہم معلوم کرنا چاہ رہے ہیں اپرکسیمیٹ کر رہے ہیں اس سے جیسے پچھر لیکچر میں کیا تھا ہم نے کہ اب ہم نے جب یہ سم معلوم کر لیے اب ہم چاہتے ہیں کہ یہ rectangle بہت سارے چھوٹے چھوٹے rectangle میں convert ہو جائیں اور ہمارے پاس ایک بہتی ایک مطل یہاں اس ساو tears بہتی میں جو ہے جو کیا ریجن ڈار اب اس میں اس ریجن کے ہم نے پچھلے لیکچر میں دیکھتا کہ اگر یہ جو سامub ہم نے لکھا جن کو ہم لکھاتے ہیں ہمیں ہم نے سم معلوم جیسے جو all the اگر اس کنہ سیگما خود سکتے ہیں 1 to n f of x k star times delta x k تو یہ آپ کو سارا بتاتا کہ جی یہ ریجن ایریہ کیا ہے ہے اس ریجن کا اب یہ سوال ہے کہ جی اب ہم اس کا اگر لیمٹ لے سکتے ہیں کسی طرح سے کوئی ایسا لیمٹ لیں such that ڈیکٹنگلز کا نمبر اتنا بڑھ جائے کہ ڈیکٹ آپ کی آنسر آجائے for the other original ڈیکٹنگلز تو اس کا جواب یہ ہے کہ بالکل کر سکتے ہیں پشتہ لیکچر میں ہم نے کیا چونکہ ہمارے ڈیکٹنگلز جو تھے وہ برابر کی ڈیکٹے تھے تو they all went to zero the widths went to zero as the number of you know number of ڈیکٹنگلز was increased by increasing the number of sub divisions of the original interval یہاں پہ کیسے کریں گے یہاں پہ different widths ہیں how do we do it میں پہلے کیا چکوں اس کو لکھ لیتے ہم یہ کہیں گے کی جی if we let maximum of the ڈلٹہ ڈیکٹ کی which is the سائس جیساں نے کہاتا اس کو اگر ہم zero کی طرف لیجائیں then the width of every rectangle tends to zero because none of them exceeds the maximum width so basically we have the area under the curve now defined more generally as area equals limit as x goes to maximum delta xk goes to 0 of the summation k equals 1 to n f of xk star times delta xk اس طرح سے اب ہم اس کو جنرلائس کر چکے ہیں ایک اور سٹپ پیلے جات چکے ہیں اپنی اس ایریہ کی دیفنیشن کو اس میں اب ہم نے سپیشل کے سٹا دیا ہے کہ سارے ریکٹانگلز کی وٹ برابر ہو اب ہم نے اس کو کہا ہے کہ جی ڈیفنڈ ویٹس بھی ہو سکتی ہیں ایسی طرح باکی ساری ہیں وہ بھی ڈیرو کی طرف جائیں گے کیونکہ وہ اس سے بڑی تو نہیں ہے ظاہر ہے تو جب بڑا سب سے جا رہا ہے ڈیرو پر all of the rest of them have to go to ڈیرو that's how we do it اس کو فرمالی اب ایک ڈیفنیشن کے طور پر لکھلتے ہیں پشتر لیکچر میں ہم نے اس کو ایک ڈیفنیشن کے نام سے نہیں لکھتا کیوںکہ ایک طرح سین کمپلیٹ تھی اب یہ کمپلیٹ ہو چکیے تو let's write it down یہ ڈیفنیشن ہے جی کہ ڈیرو under the curve if the function f is continuous on the interval ab and if f of x is greater than equal to zero for all x in ab then the area under the curve y equals f of x over the interval ab is defined by a equals the limit as maximum delta xk goes to zero of the summation k equals one to n f of x k star times delta x اچھا جی تو یہ ہم نے اپنی ڈیفنیشن لکھلی اب سوال یہ کہ اب ہم نے وہی بات کیے بیسی کلی جو پچھلے لیکچر میں کی تھی یعنی ڈیرو کی بات کی تھی in terms of limits تو topic تو اس لکھچر کیا ڈیفنیٹ ڈیگرال تو وہ کہا پے یہاں پے اب ہم ان کو ڈیفائن کرتے تو let's define the ڈیفنیٹ ڈیگرال let's write it down ڈیفنیٹ ڈیگرال اب ہم ڈیفائن کر رہے of continuous functions with not non-negative values the limit in the definition جو ابھی ہم نے دیکھی تھی تھوڑی در پہلے اس میں بیسکل اس کی ذریہ ہم ڈیفائن کریں گے سے and the way we define the ڈیفنیٹ ڈیگرال is that we write ڈیگرال اب یعنی اوپر نیچے ای اور بی لکھا وی ہے of the function f of x dx equals limit that we just saw the limit equation جو آپ کے سامنے بھی بھی ہے any basically definite ڈیگرال f of x dx is really just the area under the curve of the function y equals f of x تو اس کو ہم اب ڈیگریشن کے ترمز میں لیا ہے ہم اس کو یعنی ابھی تک ہم نے یہ نہیں کہا کہ ایک طرح سے ڈیگرال کا سائن ہم نے استعمال کی ہے لیکن ابھی تک اس کی ڈیفائن بھی کر دیئے ڈیفائن ڈیگرال as the area under the curve اور اس میں یہ کہ اس کو ڈیفائن کریں گے وہ بات کی بات ہے تو اس کے بارے میں اب مزید بات کرتے ہیں یہ جو ڈیفائنٹ اور ڈیفائنٹ ڈیگرال ہے یعنی ابھی ہم نے ڈیفائنٹ ڈیگرال کی بات کی کوشر سے پہلے ہم نے ڈیفائنٹ کی بات کی تھی جس کو ہم نے کہا تھا کہ یہ it's the same thing as the ڈیڈریویٹف ان کے درمیان کو relationship اگر ہے تو وہ کیا ہے اس کے بارے میں بعد میں بات کریں گے فلحال یہ ہے کہنا کا مقصد کے جو ڈیگرال کی نوٹیشن ہم نے کسی نوٹیشن ہم نے بھی دیکھی انتگرال کی اس کا مطلب یہ ہے کہ یعنی انٹگرالab ffx dx کو ہم پر سکتے ہیں as area under the curve of y equals ffx over the ڈیڈرال ab اب وہی بات ہے میں نے چھوڑ در پہلے کہا تھا کہ ہم نے ڈیفائنٹ کیا ہے ابھی تو ڈیفائنٹ ڈیگرال اب اس کو evaluation کی بات ہوگی کہ اس کو ہم کیسے ڈیفائنٹ ڈیلیویٹ کر سکتے ہیں ڈیفائنٹ ڈیگرال فلحال تو یہ ہے حال تو یہ ہے کہ it's a long calculation اس میں یہ limits کی terms میں دیا ہوا ہے اگر آپ سے کہیں کہ جی ہمیں پتہا ہے deffinant integral جو ہے وہ area under the curve ہے تو آپ سے کوئی کہیں کہ جی deffinant integral معلوم کریں تو آپ کو پوری limit کی calculation کرنی پڑے گی rectangles بنا کے all that you know hard work تو خیرہ ہم اس کو avoid کرنا چاہیں گے آگے چلکہ ہم techniques develop کریں گے جس میں ہمیں ساری calculations نہ کرنی پڑیں تو ایک example کرتے ہیں جس میں ہم deffinant integral evaluate کرتے ہیں using basic geometry اس میں یہ ہوگا کہ ایک اس example سے یہ ظاہر ہو جائے گا کہ آپ کو ہمیشہ calculation کرنے کی ضرورت نہیں ہے وہ calculation جو definite integral کی definition میں ہم نے دیکھیے limits جو انبالف کرتی ہے we don't have to always do it so let's look at this example example ہے جی to evaluate the definite integral from 2 to 4 of the function x-1 dx تو یہ function x-1 ہے اس کا مخصد اس انتگرال کا کہنے کہ یہ کہ area معلوم کریں اس function کے نیچے on the interval 2 to 4 کیسے معلوم کریں گے اس میں دیکھیے کہ یہ اس کی picture اگر آپ بنایں تو تھوڑا سائیڈیہ کلیر ہو جاتا ہے کہ ہو کیا رہے like یہ جو function ہے on this interval let's make a picture of this picture کی ساب سے آپ دیکھیں کہ you're basically finding the area under the curve y equals x-1 over 2 to 4 and the picture shows you that the region described is just a trapezoid with height 2 and the first base equals 1 and the other one equals 3 so we can just evaluate this integral from basic geometry یا اس میں ہمیں کوئی ہی ویڈیٹی کالکلیشن کرنے سے پہلے دیکھ لے نا چاہئے کہ جو figure define ہو رہا ہے in the example وہ کوئی basic geometric figure تو نہیں ہے تاکہ ہم basic geometry کی form لے exploit کر سکیں in this case that is the case کہ یہ trapezoid ہے اس کی dimension ہمیں پتہیں تو ہم اس integral کو بجائے وہ ساری کالکلیشن کرنے کے limits کے ساتھ ہم basic geometry سے evaluate کر سکتے ہیں تو اگر ہم یہ کریں تو results آتا ہے ہمارے پاس کے integral 2 to 4 x-1 dx is equal to 1 half times 2 times 1 plus 3 equals 4 تو یہ ہم نے ایک evaluation کی geometry سمال کرتے ہیں اب آگے چلکے ہم more techniques بھی develop کریں گے لیکن وہ بات کی بات ہے ابھی اور باتیں کر لیتے ہیں یہ جو سام ہم نے ابھی تک دیکھا ہے جس میں ہم limit جس کا ہم لیتے ہیں اور جو define کرتا ہے جس کا limit define کرتا ہے area under the curve وہ کنسا limit وہ کنسا سام ہے اس کو دیکھ لی جے پھر سے so we know what we are talking about یہ سام ہے جناب sum k equals 1 to n f of x k star delta x k this is called the riemann sum and what does this riemann sum mean تیک ہے ریمان سم تو اس کا نام ہے لیکن ریمان کا کیا مطلب ہے well ریمان actually was a german mathematician یہ ہم نے گاؤس کی بات کی تھی کچھ پشلے لیکچر میں غالبن اس میں تو گاؤس کا یہ ایک student تھا ریمان and a very brilliant mathematician you know germany میں late 1800's کی بات ہے and he was he actually developed this theory of integration a lot and so we owe a lot to him orنی کے اونر میں we call this sum as the riemann sum اچھا اب یہ ایک بات ہے کہ جی جو فرملہ ہم نے بھی دیکھا تھوڑی در پہلے جس کو ہم نے کہا کہ آپ ہم اس کو دیفائن کرتے ہیں finally definition کو طور پر لکھا جو دیفائن کرتا ہے area under the curve اس میں جو فنکشن تھا اس میں ایک restriction تھی restriction یہ تھی کہ f of x was continuous and actually that restriction we will keep for now f of x is continuous لیکن f of x non-negative بھی تھا یعنی f of x کی جو ویلیوز ہیں وہ نگیٹف نہیں تھی جس کا مطلب ہے کہ اس کا فنکشن جو ہے وہ x axis سے نیچے نہیں جاتا تھا اوپر اوپر رہاتا تھا تو اس میں ہمارے لیے calculations میں تھوڑی اسانی تھی اور geometry تصویر بنانے میں بھی اسانی تھی تاکہ concept اس سے کافی کلیر ہو جاتا تھا ایمیڈیٹلی لیکن وہی بات ہے کہ جنرل بات تو نہیں ہوئی یہ کہ یہ تو آپ نے خاص special function لیا جو ہمیشہ non-negative ہے 0 ہو سکتا ہے یا positive تو that's not a situation we like ہم یہ چاہیں گے کہ ایسے functions کو بھی include کریں اِس دیفیتشن میں جن کی negative values بھی ہو یعنی ان کا گراف ایسے بھیحیویر بھی کریں کہ positive ہو اوپر اگر یہ x axis ہے تو it should go down and cross it and go below the x axis اور y کی negative values میں included ہو تو ان کو کیسے incorporate کریں گا تو incorporate اس کو کرنے سے کرنے کا جب سوال اٹھا ہے کہ how do we incorporate these functions with the negative values into our definition of area under the curve تو question عصل میں یہ ہونا چاہے یہ کہ چونکہ area under the curve is defined in terms of limits question is for functions with negative values does the limit actually exist that is the question that is of importance کیونکہ اگر limit exist نہیں کرے گا ظاہر ہے پھر area بھی exist نہیں کرتا اس فنکشن کا اور یہ اس فنکشن کے جو نیچے defined ہے تو that is the question we should ask تو اب یہ ایک چیز ایک proof ایک تھیورم ہے جو ہم proof نہیں کریں گے لیکن advanced courses میں proof کیا جاتا ہے کیا اگر function ایسا ہو جس کی negative values بھی ہو تب بھی یہ جو function جو limit ہے اس equation میں area under the curve کی وہ تب بھی exist کرتا ہے and we don't have to worry about کہ یہ کرے گا نہیں کرے گا تو اس کا مطلب یہ ہے کہ for functions which have negative values also you can always find the area under the curve تو question اب یہ ہے جو اٹتا ہے وہ یہ ہے کہ جی what does it mean for a function that has negative values to have an area under the curve یعنی اگر آپ ایک طرح سوچیں کہ اگر یہ x axis ہے آپ اوپر تھے پھر نیچے آئے تو یہاں سے تو sense بناتا ہے کہ اوپر سے ایک اس کی جو graph ہے اس کے درمیان میں جو جگہ ہے x axis اور graph کے وہ area under the curve ہو گیا لیکن اگر آپ نیچے جا رہے تو area above the curve کی بات ہو رہی doesn't matter above the curve یا area confined by the curve کہلیں اگر general terms بات کرنی ہے تو اس کو اب ہم ان کوپریٹ کرتے ہیں into our idea of area confined by graphs of functions تو اس کو اب ہم کہیں گے جی اس کو لکھ لیتیں کہ ہم کہنا کیا چاہ رہے let's write it down we want to define definite integral of continuous functions with negative and positive values یعنی definite integral is the same as area confined by a curve اس کو اب ہم ایسے functionally define کرنا چاہیں گے جو positive values بھی take adopt کرتا ہے or negative be on a given interval so how do we do this ایک figure بناتے ہیں اور اس figure کی طرف دیکھتے ہیں اس کے ذریعے کہ ہم اس definition کو جو ابی تک ہم نے دیکھئے اس کو extend کر سکتے ہیں یا نہیں کر سکتے to incorporate this kind of a function let's look at this picture اس picture میں دیکھیں کہ آپ کے پاس ایک function ہے جو continuous ہے obviously اور ایک interval a سے b تک اس کے اندر اس کی values جیہاں وہ positive بھی ہیں negative بھی ہیں دو بار positive ہیں اور ایک دفعہ negative یعنی the graph crosses the x axis and goes below the x axis تو اس میں یہ ہے کہ ہم اگر دیکھیں وہ والا حصہ جہاں پہ اس function کا graph x axis سے اوپر ہے تو ہم area under the curve کی بات کر سکتے ہیں اور ایسا کرتے ہیں کہ اس میں جس the picture میں آپ نے دیکھا کہ ہم نے approximate کرنے کیلئے اس ایریہ کو 2 rectangles بنالیے تھے ان کا area ہم نے rectangles کا دیدیا a1 a2 similarly جو دوسری 2 جگہیں میں نے کہا تھا جہاں پہ یہ above the x axis ہے جو باقی حصہ تھا وہاں پہ ہم نے rectangles بنائے اور ان کو area سائن کیا a5 a6 اور جہاں پہ یہ graph جو تھا اس کا function کا نیچے تھا x axis سے وہاں پہ بھی ہم نے rectangles بنائے اور ان کو ہم نے values دی a3 and a4 تو اب rectangles بن چکیں which is what which is the first step اب ہی دیکھنا ہے کہ یہ ان کو کیسے tackle کرنے like what does what do the rectangles below the x axis mean اچھا اس میں جو rectangles بنے ہیں which lie below the x axis اس میں سب سے پہلی بات ہے کہ rectangles ہیں so obviously ان کا کوئی area ہے تو area معلوم کیا ہے سکتا ہے اور مزے کی بات ہے کہ جس طرح پیکچر سے بھی ظاہر ہوا تھا کہ یہاں پہ بھی وہاں پروسیجر لگایا جا سکتا ہے جو ہم نے positive functions کیلئے non-negative functions کی جو area معلوم کیا تھا under the curve وہ ہی ہم یہاں پہ بھی استعمال کر سکتے ہیں تو اس کا interpretation کچھ یہ ہونی چاہی ہے کہ جو rectangles x axis سے نیچے فرم ہوئے ان کی کچھ area ہے اور وہ area تو as such positive رہے گا ظاہر ہے area cannot be negative لیکن ہم ایک negative value جو ظاہر ہے چونکہ y value is negative ہیں the result بھی negative آئے گا تو number جو ہے اس کو ہم کہیں گے that number represents the area of the rectangle but the minus sign is telling us that the function is below the x axis تو اس طرح سے ہم اس کو ایک طرح سے define کر سکتے ہیں کہ we won't worry about the negative values because we'll take the number alongside with the negative value as the area and the negative sign represents the fact that the rectangles are lying below the x axis تو اب ریمان سم اس کا کیا بنے گا اس سیٹویشن کا ایک جو ایک سامپل ہم کر رہے ہیں جو پکچھر بھی دیکھیں اس کا ریمان سم بن سکتے بنالتے ہیں let's write it down ریمان سم جناب اس کا بنے گا summation k equals 1 سے لیکر 6 تک of f of x k star delta x k equals f of x 1 star delta x 1 plus all the way to f of x 6 star delta x 6 یہ values ہمیں پتہیں پکچھر سے بھی ظاہر تھا کہ a1 is the area of the first rectangle یعنی جو f of x 1 star delta x 1 ہے یہ a1 ہے باقی جہاں وہ پلس a2 ہو گیا جو ثرد ہے اس کے لیے ہم minus a3 لکھ لیتے ہیں fourth کے لیے minus a4 because they are below the x axis باقی plus a5 plus a6 ہو گیا اب یہ کرتے ہیں کہ positive areas جو ان کے positive signs دے ان کو ایک طرف لکھ لیتے ہیں اور negative والے ایک طرف اور negative کو factor out کر لیں گے اس میں سے تو آپ کے پاس results آتا ہے a1 سے لیکے a2, a5 اور a6 جہاں ایک طرف آ گئے add کر دیجے minus the area a3 plus a4 بیسکل یہ کہتا ہے کہ if you have a function that takes on positive and negative values اس کا ریمان سمجھا ہے وہ بتا رہا ہے آپ کو کہ the area under the curve here confined by the curve is the difference of the two areas the area which is above the x axis from that subtract the area below the x axis that will give you the total area confined by the curve یہ سب example دیکھنے کے بعد ہم اپنی دیفنیشن تھوڑی بڑا کر لیتے ہیں area of the curve کی under the curve کی تو اس کو لکھ لیتے ہیں دیفنیشن کی طور پہ definition جناب ہے کہ if a function is continuous on ab and can assume both positive and negative values then the net signed area a between y equals f of x and the interval ab is defined by the definite integral a to b f of x dx equals the same equation we saw earlier and that's exactly what we would like it to be تو یہ ایک طناکہ technical تیسی جو ہم نے incorporate کر لیے a to b definition of the area under the curve کی definition میں تو ایک سامبل کر لیتے ہیں اس کی example ہے جناب integrate evaluate the integral 2 to 4 of 1 minus x dx اس کا اگر آپ پکچر بنائے تو آپ دیکھ لیں کہ یہ سارا جو ایریہ ہے یہ lie کرتا ہے below the x axis confined by the interval 2 and 4 اور اگین وہی بات ہے کہ this is actually a geometric figure of a trapezoid اس کی بیسیز اور ہیٹ سم آلوم کر سکتے ہیں تو اس کو دیکھ لی جیا آپ ایریویٹ کریں گے تو اس کا ایریہ تو 4 آئے گا as area لیکن چھونکہ یہ x axis سے below ہے figure ہم اس کا minus sign لگا دیں گے ساتھ میں so the result of the integral would be minus 4 and that will represent the fact that the area is confined by the curve below the x axis اچھا اب ہم definite integral کی بات کر رہے ہیں تو اس کو broad کرنا چاہیں گے مزید to incorporate functions which have discontinuities what can we say about the definite integral which in terms you know in terms of functions which have discontinuities اس کی بھی بات کر لیتے ہیں اچھا اگر function میں discontinuities ہوں تو وہی بات ہے کہ area ہم آلوم کرنا چاہ رہے ہیں تو وہ دیفائن ہے in terms of limits تو ہو سکتا ہے limit جو ہے وہ exist کرے یا نہ کرے of the remandsome تو یہ سوال ہوتا ہے جس کو ہمیں آنسل کرنا ہے تو اس کو ہم ایک definition کی طور پر ہم درکی لکھ لیتے ہیں کہ ایسی سی چیویشن میں definition کیا ہونی چاہی ہے of area under the curve where the function has discontinuities so let's write down a definition definition میں جناہ آپ دیکلی جیے کہ اگر function f جہا ہے وہ closed ہے is defined my f is defined on a closed interval a b then f is defined to be remand integrable on a b or more simply integrable on a b if the limit which یہ سامنے equation وہ یہ remand سم کیا آپ نے limit لیے لیے if that limit exist if f is integrable on a b then we define the definite integral from a to b by the following equation یہ آپ کے سامنے دیکلی جیے اچھا جی تو یہ definition تو آگئی اس میں ہم نے کیا کہا ہے اس میں بسیلی کہانے کا مقصد یہ کہ جو functions کی جو ان میں discontinities ہوتی ہیں ان میں چونکہ limit exist کر سکتا ہے ایہا نہیں کر سکتا تو اس idea کو incorporate کرنے کے لیے ہم نے اپنی area under the curve کی definition مزید بڑھا لیے اور وہ ہم نے ابھی دیکھی کیا ہے تو وہی بات ہے کہ depending on each function جس کی discontinities different types کیوں گی تو یہ function integrable ہو سکھا شاید ہو شاید نہو اگر ہو تو پھر ہم area معلوم کر سکتے ہیں under the curve اگر نہیں ہے تو آبیسلی ہم نہیں کرنے کیونکہ the limit will not exist the limit that is part of the definition of the definite integral or area under the curve اچھا اب ایک definition اور ہے جس کو دیکھ لیتے ہیں let's look at it let's write it down اس definition میں دیکھیں کہ اگر if a is in the domain of f if a is a number that's in the domain of f then we define the integral from a to a یعنی limits آپ کے برابر کے اپرہ lower limits of the function f of x dx as being equal to 0 and if f is integrable on ab then we define integral from b to a یعنی basically آپ نے اپنے limits reverse کر لیے instead of going from a to b you're going from b to a of f of x dx as being equal to the negative of the integral a to b f of x dx تو یہ جناب ایک definition ہو گئی it's a very technical useful definition ہم آگے چلکے استعمال کریں گے آپ کچھ پروپٹیز دیکھلتے ہیں definite integral کی تو اس کو لکھلتے ہیں we'll write it down and we'll see what these properties are پروپٹیز آپ کے سامنے ہے in the form of a theorem دیکھلی جیے کہ اس میں وہی اسی طرح کی پروپٹیز ہیں جیسی ہم different derivatives کے بارے میں بھی دیکھ چکیں تو پروپٹیز میں کہ if f and g are integrable on an interval ab and if c is a constant then c times f f plus g and f minus g are integrable on ab and we can say this as integral from a to b of c f of x dx is equal to c times the integral of f of x dx any constant factor out ہو جاتا ہے integral sign سے جس طرحant derivative کے through factor ہو جاتا ہے constant or the subtracted any difference of two functions or the sum ہے اس میں دیکھلی جیے کہ basically کہنے کا مقصد ہے کہ the integral sign distributes over the sum and differences of functions اچھا یہ بھی a definition ہو گئی اب ایک اور تھیرم دیکھ لیتے ہیں جو ہمیں help کرے گا آگے چلکے in doing calculations in terms of definite integral تو اس میں یہ ہے کہ بات کچھ ہوتی ہے کبھی کبھی کہ areas جو ہوتے ہیں وہ آپ split کر سکتے ہیں in a given interval یعنی مثال کے طور پر اگر آپ اس پکچر کو دیکیں تو اس میں ظاہر ہے کہ جو ایریہ ہے under the curve over the interval a b that can be split into a sum of two areas one from a to c area from a to c and the other is from a the other area is from c to b تو اس کو formerly ہم لی سکتے ہیں as a theorem and the theorem will say state that if f is integrable on a closed interval containing the three points a b and c then the integral a to b of f of x dx equals integral from a to c f of x dx plus integral c to b f of x dx تو اس کا مطلب یہ ہے کہ آپ ایریہ under the curve کے طور پر اگر دیکھیں تو you can split it into two parts evaluate differently separately and then add the area together to get the final result اس کی example کرلتے ہیں اس last theorem کی چونکہ یہ بعد میں آگے چل کے help کرے گا آپ کو دیوے ایک فنکشن f of x dx جس کو آپ انتگریٹ کر رہے ہیں 1 سے 5 تک اس کی value آتی ہے minus 1 اسی فنکشن کا انتگرل اگر آپ لیں 3 سے 5 تک تو result آتا ہے 3 اور ایک اور فنکشن g of x ہے جس کو آپ انتگریٹ کریں 3 to 5 تو result آتا ہے 4 تو question ہے find integral from 1 to 3 f of x dx تو یہ ہم کیسے معلوم کریں گے اس میں ہم تھیرم جو ابھی ہم نے دیکھا تھا تھوڑی در پہلے اس کو استعمال کر سکتے ہیں ایریہ سپلٹ کرنے والے جو بات کی تھی ہم نے تو آئیں کالکلیشن کرتے ہیں اس کی اس میں دیکھیں کہ اس تھیرم کو کیا اندر اگر آپ a کی value 1 ڈال دیں b کی 5 اور c کی 3 value ڈال دیں تو result آتا ہے integral from 1 to 5 of f of x equals integral from 1 to 3 of f of x dx plus integral of f of x from 3 to 5 تو مجھے معلوم کرنا ہے integral 1 سے 3 تک تو میں لکھ سکتا ہوں integral 1 سے 3 تک f of x کا جو ہے وہ برابر ہوگا integral of f of x from 1 to 5 minus integral from 3 to 5 of f of x and the values are known they will be minus 3 minus 1 minus 3 and the result is minus 4 تو یہ آپ کا ایک ایک اپلکیشن ہوگا اس تھیرم کی تو یہاں پہ اب ہم اس لیکچر کو ریپ اپ کرتے ہیں unfortunately time نہیں ہے میں نے کہا تھا شروع میں انکوالتیز کی بات کی تھی involving definite integral کچھ دو تھیرم اس کے آپ خود دیکھ لیجے گا تکس بک میں ہے آپ کے پاس تو ان کو آپ دیکھ لیجے گا ہم اس کی بات نہیں کریں گے لیکن یہ ہے کہ ہم نے جو باتے کی وہ definite integral کی تھی اور آپ ہم نے دیکھا کہ integral ہما کہ ہمی جائے تو اس کو پھر آئے چلکے next lecture میں مزید دیوعلب کریں گے انتغریشن کی concept کو اور اوہ بڑے مزیدار چیزیں دیکھیں گے تو homework practice ہوگا اور کچھ سوالات ہوں تو email کر دیجے گا اگر لیکچر میں آپ سمعال ہوا قات ہوگی جب تک لیئے جاتت thank you Allah Hafiz