 Je voudrais tout d'abord adresser mes remerciements chaleureux à l'association des amis de l'IHCS et à son président, Valentin Prévin-Maru, pour cette invitation. Cette invitation me permettant de venir avec vous découvrir des œuvres curieuses, voilà. Donc, venir avec vous découvrir des œuvres curieuses et lumineuses qui seraient, par édite, exposées dans un bâtiment original, un musée original consacré aux mathématiques. La visite sera précédée d'une petite introduction, des considérations très générales sur l'origine des mathématiques. Ensuite, seront présentées un certain nombre d'œuvres, œuvres choisies parmi les 130 que possède le fond de l'ESMA, qui sont les fruits du labeur d'une quarantaine de mathématiciens, formaticiens et artistes. Leurs auteurs furent réunis au sein d'une association l'ESMA et donc voici le site. Alors, là je peux vous montrer, bon, alors ça marche ici, mais ça marche pas là-bas. Bon, donc un site très riche qui contient de nombreux catalogues, par exemple celui-ci, et en rendant sur ce site et en consultant les catalogues, évidemment vous découvrirez beaucoup d'œuvres que je n'ai pas la possibilité de montrer aujourd'hui et vous ferez connaissance avec leurs auteurs. Je les salue ici, leur fait part de mon amitié, de mon regret de ne pas pouvoir présenter leurs œuvres et je leur fais part aussi de mon adhération pour le travail remarquable tant mathématique qu'informatique artistique qu'ils sont accomplis. On a exposé les divisions aux quatre parties, la première partie donc est consacrée des considérations d'ordre général. Et ce sont peut-être pour moi les plus importantes, mais enfin. L'exposé qu'on ait fait s'articule autour de deux notions centrales. La première est celle de représentation qui se rapporte à la fabrication locale des mathématiques. Et la seconde, celle d'évolution dont j'indiquerai enfin d'exposer deux caractéristiques qui me paraissent importantes. Donc première, grand sujet, premier mot-clé, second mot-clé. Et disons, je m'intéresse donc à la première sujet, celui de la représentation. Parce que véritablement une de première activité de l'être vivant, c'est bien de fabriquer des représentations de son environnement pour assurer, pour préserver sa stabilité spatio-temporelle. Et c'est de là que tout découle. Alors naturellement, pour un mathématicien, est important non seulement la donnée d'un objet mathématique, mais l'ensemble des représentations qu'il peut en effectuer. Ces représentations, ce sont donc des images symboliques ou matérielles faites à partir d'une panoplie d'appareil photographique et d'outils d'hiver. Ce couple, l'objet et sa représentation, le mathématicien l'appelle une catégorie. Et alors nous allons nous intéresser ici à une catégorie particulière que je dénote ainsi, grand thème désigne l'ensemble des objets mathématiques qui sont des objets abstraits et R désigne l'ensemble de leurs représentations incarnées dans le domaine des arts visuels. Alors grand thème, je l'appellerai aussi à l'occasion et par commodité un immeuble. C'est un immeuble dans lequel on trouve beaucoup d'objets. Le terme immeuble ici n'a pas du tout le sens mathématique que lui donnerait par exemple le tits. Et donc R indice à V, c'est l'ensemble de ces représentations incarnées, ce qui est le point important dans le domaine des arts visuels. Alors exemple, voici cette belle image que nous a prêté à l'IHES et que je remercie. Une autre image rapide, et celle-ci, le système ne fonctionne pas. Non, non, non, non, non, je continue. Je continue, c'est bien ça. Mais bon, des fois ça revient en arrière beaucoup trop rapidement. Alors donc cette image humoristique des mathématiques. Un mot sur justement cet ensemble grand thème, c'est un objet, c'est un grand objet qui est en évolution de sorte qu'il convient d'écrire non point M et M indice T, et M indice T désigne la section de l'immeuble à la date T. Nous en verrons un exemple tout à l'heure. Alors cette évolution est très complexe et elle est sous la coupe de quatre facteurs principaux. Voici le premier. Simplement l'observation, la reconnaissance des propriétés d'effect dans notre environnement. Donc une activité qui, à travers nos capacités naturelles de association, relève de la physique expérimentale en général. Alors je vais passer assez rapidement leurs premières représentations qu'on appelle parfois des modèles qui sont faites à partir d'un jeu de symbole. Ce sont ces représentations qui constituent véritablement la base effective des mathématiques. Alors point 4, ce serait un point qui est ignoré pratiquement par les historiens. Les progrès accomplis dans la représentation des objets mathématiques, à travers la création de nouveaux outils de représentation intellectuelle mais aussi physique, ces progrès-là, disons, ne sont pas bien mis en évidence par les historiens et il y a un travail à faire. Bien. Alors je passe ensuite au point essentiel. Point 1, c'était donc l'importance de la représentation de ce qu'on voit. Et donc le contenu fondateur provient de l'observation du monde physique. Et donc on va avoir, paraître, les trois éléments essentiels, à savoir la forme, la diversité et le mouvement. Il est probable que la diversité vient en premier, parce qu'elle demande beaucoup moins d'intention et de travail cérébral que l'élaboration de la forme. Mais c'est non moins sur la forme que je commencerai, disons, véritablement, à entrer dans le vif du sujet. Mais apparemment je vais signaler, souligner l'importance de la lumière du fait lumineux dans toutes nos constructions. Sans lumière, il n'y aurait pas les mathématiques. Alors voici la première image qui symbolise la forme. Cette image, disons, n'est pas du tout une photographie. C'est un fractal non déterministe au sens de Colonna ici présent. Colonna, voici le site. Et j'aurais voulu très rapidement montrer ce site. Mais bon, on ne voit rien du tout. Si, on voit sur mon ordinateur, mais c'est tout. Donc le site de Jean-François Colonna est très, très imposant. Il couvre une grande étendue d'objets mathématiques et d'objets physiques. Et je vous suggère d'aller le visiter. On y apprend énormément de choses. Bien, alors l'image que nous verrons ensuite, voilà. Bon, elle est de Patrice Génère. Patrice Génère est un graveur ancien élève de Flocom à l'École des Beaux-Arts. Et il a été séduit par la beauté des objets mathématiques il rencontrait en visitant le Palais de la Découverte et il a décidé de devenir un graveur spécialisé dans les mathématiques. D'ailleurs, probablement, il est le seul de son art à faire ce genre de travaux tout à fait remarquable. Alors, l'œuvre que nous voyons ici est une œuvre assez poétique, assez inspirée par la topologie, parce que nous voyons quelque forme. Ah, voilà, ici. Mais alors là, c'est la géométrie, avec un certain nombre de surfaces dignes mal que nous rencontrons tout à l'heure. Patrice Génère a produit à peu près plusieurs centaines d'œuvres spécialement en topologie et en géométrie. La géométrie, celle des formes rigides. Et on pourra tout à l'heure découvrir quelques surfaces et quelques images florales fabriquées par Patrice Génère. J'en viens maintenant au mouvement. Voici cet œuvre de Joss Leis. Cet œuvre est inspiré par une étude de mouvements physiques, des mouvements de convection d'une masse d'air dans notre atmosphère. Cela vient de là. Ce mouvement de convection a été formalisé, a été modélisé par Edward Lorenz en 1963. Cela a donné lieu à quelques équations. Et ces équations ont été en somme visualisées par des trajectoires que l'on voit ici, trajectoires qui paraissent au départ, qui ont paru au départ assez chaotiques. Et l'analyse fine de cet ensemble de trajectoires, à travers tout un ensemble, une cascade de nouvelles représentations, a conduit à l'image que nous voyons ici. Ce que nous voyons, c'est en rouge ce qu'on appelle un nœud de trèfle. Un nœud pour un mathématicien, c'est tout simplement une ficelle sans épaisseur dont on a joint les extrémités. Et cette ficelle sans épaisseur ici possède 3 lobes. Ce nœud possède 3 lobes et on l'appelle pour ça un nœud de trèfle. Ce que l'on voit ici, c'est tout un ensemble de trajectoires qui viennent s'immobiliser, rejoindre le nœud de trèfle qu'on appelle un attracteur. Les trajectoires vertes semblent converger vers l'attracteur alors qu'à partir de cet attracteur, les trajectoires en or ont tendance à s'en évader. Alors parmi les nœuds, justement, il est intéressant de montrer quelques objets que l'on peut fabriquer avec les nœuds. Je prends par exemple cette apparence de sphère. Je la modifie. Là j'ai une apparence de tort comme cela et si je continue, j'ai une apparence de ce qu'on appelle un hyperboleï de révolution. D'une manière générale, toute surface fermée peut être correctement représentée par un tel nœud dont les croisements dessus-dessous alternent. Autre exemple, mais on le verra tout à l'heure. Je vais prolonger un petit peu ces considérations sur pourquoi cela vient ici. Tout à l'heure, j'ai évoqué l'immeuble des mathématiques. Je montre ici le contenu géométrique de cet immeuble, ce que l'on connaissait jusqu'au XVIIe siècle environ. Ce sont essentiellement des polièdres et également l'éconique et l'équatrique. Le corpus principal géométrique était connu jusqu'à la fin du XVIIe siècle. Quelle est l'origine de ce corpus ? Bien en premier lieu, il faut revenir à la formation des mathématiques, qui provient essentiellement de la forme et de la diversité. Pour ce qui est de la forme, il faut distinguer d'une part ce qu'on appelle les formes rigides, la géométrie. La géométrie est un terme ancien dont l'origine est une origine socio-économique. Elle décrit simplement cette activité de mesure de l'étendue d'une parcelle cultivée. C'est cette activité-là qui a donné le sens véritable au terme géométrique. Cette théorie est une théorie des formes que j'appelle rigide parce que les données métriques longueurs sont dénonnées tout à fait indispensables pour bien définir les objets de la géométrie, de cette théorie des formes. A l'opposé de la rigidité, se trouve au contraire une théorie des formes souples ou topologies dans lesquelles on ne tient absolument pas compte des données métriques. Ce sont d'autres considérations plus fondamentales, les conditions de connexité, les moyens de se déplacer à l'intérieur des formes qui sont les plus importantes. La représentation de la forme en définitive est physique et surtout locale au départ. D'abord, il s'agit du point noir, qui est la singularité, qui est aussi un tort de dimension zéro, qui représente en somme la personne qui se trouve tout d'un coup en face de nous et qui est peut-être inquiétante, dont les potentialités sont infinies, qui peut faire peur et qui est représentée par ce point qui se trouve en arrière, en avant-plan au contraire, sur un fond qui est éclatant et qui est blanc et qu'on voit ici sur cette pierre sculptée il y a quelques milliers d'années. Le deuxième élément fondamental de la géométrie c'est le trait, le trait qui est en fait une ombre simplement créée par la lumière. J'ai tout à l'heure évoqué le rôle de la lumière dans la construction des mathématiques. Vous voyez ici ce que représente, ce que l'on voit, c'est un trait et c'est l'ombre d'un objet qui se trouve dans un espace de dimension supérieure qui présente des propriétés inconnues mais l'ombre fait voir au moins une propriété importante de cet objet. L'ombre c'est le dessin fait par les rayons lumineux du bord des objets. Il y a une projection qui est faite sur le sol qui permet d'obtenir cet ombre. La forme et la diversité sont à l'origine essentiellement de cette théorie des formes rigides et donc on a cette ligne, cet ombre qui est la projection sur le sol du bord. Le théorème de Thales est en fait une observation physique sur les ombres et de là viennent ces affirmations de Einstein et du grand mathématicien Hibbert à savoir que la géométrie est une théorie physique et plus généralement la théorie expérimentale qui ressemble aux observations, elle se dépend en une physique théorique explicative et cette théorie se déploie elle-même en une théorie à la fois plus synthétique, plus analytique et donc aux potentialités prédictives que sont les mathématiques. La projection donc elle engendre le spectre des objets elle permet donc de voir sur un espace connu des propriétés importantes des objets situés dans d'autres espaces moins connues et évidemment elle est très utilisée par les physiciens qui utilisent beaucoup le terme de projection la projection en bref engendre la rencontre, la connaissance et la création. On peut considérer la projection comme la reine mère de la famille des représentations bien des applications au sens mathématique sont tout simplement des formations de projection. Alors sur le plan du mouvement du côté du mouvement on a d'abord les nombres entiers qu'un, deux, beaucoup, que sont-ils ? Prémitivement ce sont des représentations abstraites puis ensuite concrètes, bien sûr d'existences de présence par des dessins appelés chiffres dans notre civilisation, chiffres arabes Quand vous dites deux, vous ne savez pas a priori la forme la personnalité, les propriétés de l'objet qui se trouve en face de vous il y a deux personnes, c'est tout donc c'est avant tout une représentation de la présence d'existence d'objet. Alors ensuite aujourd'hui alors qu'est-ce qu'il se passe aujourd'hui ? Eh bien les nombres doivent être comprises comme des représentations en général non pas avec une ligne de nombre avec une ligne de chiffre, mais avec des tableaux de chiffre d'une part de dieu de position et d'autre part et du allemand surtout d'opérateurs qui induisent des mouvements Quand vous dites un deux, trois, quatre, cinq un, deux, trois, quatre, cinq je me déplace en translation et il y a aussi les rotations alors il y a différents types de nombres les nombres qui se contentent de décrire les translations et puis les nombres qui se qui décrivent à la fois des rotations et des translations et des rotations et encore des translations et ce qu'on appelle les nombres de complexes c'est le terme gausse de le rejeter ce sont en fait des nombres pour la première fois qui ont été créés par un mathématicien également médecin architecte qui s'appelait Nicolas Chouquet en 1484 et c'est pour ça que je les appelle les nombres de Chouquet, ce sont des nombres qui représentent à la fois des translations et des rotations ici je vais donc on est ici dans le cadre de la théorie des nombres permettez-moi une petite incursion pédagogique voilà, on trouve j'ai lu dans le monde il y a quelques jours il y a quelques semaines une déclaration de physicien disant qu'il était un nombre imaginaire alors quelle est la signification de i, ici je l'appelle Iota alors en dimension 2 je considère l'opérateur de rotation de 90° un quart de tour, les enfants comprennent parfaitement ce qu'est un quart de tour donc je prends le point noir et je lui fais faire un quart de tour un point bleu, je lui fais faire à nouveau un quart de tour et je obtiens le point rouge voilà alors en raccourcie on écrit i2a i fois de i2a on note ça i2a et on écrit égale moins ça, c'est tout un jeu de notation qui a une signification précise derrière mais disons on mélange dans l'esprit très rapidement à la fois les connotations et les différentes connotations qu'on peut associer aux différents caractères donc en définitive la racine carré de i2a soit i est aussi la racine carré de moins 1 et i n'est nullement un nombre imaginaire mais c'est tout simplement il représente une rotation donc il y a tout un travail pédagogique à faire autour de ces notions bien alors maintenant j'en viens à des choses un peu plus plaisantes et accessibles presque ce sont les exemples de visualisation alors d'abord évidemment qu'il parle de diversité il s'agit en fait du nombre disons de la pluralité alors voici cet oeuvre de Hanany Fomenko alors Hanany Fomenko est un excellent mathématicien élève très brillant étudiant très brillant dans toutes les disciplines déjà il obtient une médaille de bronze à Moscou pour ses sculptures et ses dessins et puis plus tard il obtient trois prix de l'académie des sciences de l'URSS l'oeuvre de Fomenko est caractérisée par la présence constante l'obsession chez lui de l'infini et la présence de ce monde fractal également comme c'est un mathématicien qui connaît bien la topologie on retrouve souvent chez lui également la notion de déformation qui est associée au monde topologique alors Fomenko disons est un artiste extrêmement doué il travaillait disons sans rature sans gomme il fait des oeuvres donc de première main parfaite ce qui est dommage c'est que je ne peux pas vous montrer que je ne peux pas aller sur ces sites c'est terrible alors sur ces sites justement sur l'un de ces sites j'aurais montré très rapidement un chapitre d'où est extrait ce livre donc c'est un ensemble d'oeuvres faite par Fomenko avec certaines de ses explications auxquelles je ne crois pas toujours et également le livre dont je parle est post passé par un mathématicien bien connu qui s'appelle Yuri Banin et que nous retrouverons peut-être un peu tout à l'heure il y a l'exposition aussi oui alors disons je voudrais dire un mot sur chacune de ces oeuvres ce que nous voyons ici à gauche c'est une tour une tour la partie gauche représente l'écriture du nombre Pi à l'aide de dominos sur chacun des dominos sont inscrits en noir donc des points qui représentent des nombres donc on est dans le stade primitif qu'on a vu tout à l'heure et pourquoi des dominos peut-être un souvenir d'enfance cette à droite ce n'est pas le nombre Pi mais le nombre E qui est la base de l'exponentiel qui est représentée sur le point droit de la tour alors cette tour va disons s'amémisant vers le bas c'est un effet de perspective pas seulement tout simplement il s'agit disons de la vision fractale à nouveau on a une échelle interminable et entre les barreaux d'une échelle il y a une certaine hauteur et au fur et à mesure qu'on descend dans l'échelle la hauteur entre les barreaux diminue également on a un phénomène très régulier et c'est cela qui caractérise le monde fractale sur la gauche un certain nombre de dominos qui se sont échappés et qui tombent et qui représentent donc une sorte de vision destructrice à la fin de cette chute il y a une cassure qui est déjà présente et la fin peut-être probablement disons de cette chute est une destruction inexorable j'en viens à ce second tableau tout à l'heure on aurait pu s'attarder sur l'œuvre de Durair et comparer ces deux heures vous voyez à gauche le personnage est un personnage aérien c'est un ange et à droite au contraire la situation est beaucoup plus triste il a encore ah non ça marche pas là encore on retrouve l'infini avec la présentation du nombre E il faut le lire à partir du centre voilà le 2 et pour le lire mais il faut tourner en sens inverse des aiguilles du monde autrement dire remonte le temps et donc ces personnages voilés à quoi pensent-ils, quelles souvenirs ont-ils il y a plusieurs possibilités qu'on peut imaginer j'en reviens, je regarde ici ce fragment du tableau Fomenko dans son enfance avec ses parents à Magadan c'était la capitale de la Colima ou disons Staline a envoyé un nombre d'ouvriers qui ont probablement laissé leur vie de sorte que la première strate là-haut est une strate de symbole Fomenko dit que ce sont des représentations des noms peut-être des matricules et donc j'imagine que ce fractal là, puisque on a ici des strates de plus en plus fines et on a une infinité de strates représentent en somme des générations de travailleurs qui auraient laissé leur vie dans les mines de la Colima et ce tort ici peut représenter le cadavre figé qu'on aurait placé en défis face au mur et aussi peut-être la bouche d'une de ces personnes qui sont cries étouffées dans la nuit cyberienne il y a énormément de choses qu'on peut raconter et voir en regardant de manière très intense ce tableau mais il faut avancer là encore on retrouve donc ici le monde fractal avec cette infinité de joueurs de trompettes ces trompettes en fait on peut les voir comme des des objets mathématiques des demi-sphères de dimension moins 1 et là aussi on voit cette infinité à nouveau d'objets de plus en plus petits alors quand il était assez jeune étudiant Fomenko qui se représente ici a fait partie d'un club musical et on voit ici tout cet ensemble musical qui se trouve là on notera la présence, à quoi rêve-t-il ici se trouve une équation une équation qui symbolise tout simplement la conjecture de Fermat à l'époque elle n'était pas démontrée une autre ici formule si on voit bien on voit bien la conjecture égale 0 la conjecture de Poincaré et puis alors ici encore moins lisible l'expression de la conjecture de Riemann voilà à quoi rêver mathématiquement peut-être Fomenko mais aussi à tout cet ensemble assez terrible on remarquera ici les noms je sais pas si vous arrivez les voir il y a les noms de Brügel les noms de Bosch et les noms de Dali autrement dit ce sont 3 personnages 3 personnes avec lesquelles il se sent en harmonie et je reviendrai là dessus tout à l'heure ce qu'on voit ici par contre et de ce côté là et allemand c'est cette espèce disons de tyran qui a une sorte de casquette stalinienne sur la tête et cette image là ou celle-ci fait pendant à ce qu'on voit ici Don Quichotte son cheval sa lance et ici en fait il s'agit de 4 disques luneux qui représentent la tête de Don Quichotte autrement dit l'innocence joyeuse la beauté de l'innocence face à la malinité du monde je poursuis voici à nouveau Don Quichotte Don Quichotte ici est représentée sous forme d'un fractal les dominos que nous avons vus tout à l'heure chez Fomenko sont remplacés par des plaquettes luneuses et donc on a une correspondance d'esprit entre d'Ali qui a donné un très grand nombre de représentations de Don Quichotte je vous suggère d'aller voir le musée d'Ali Rupulbo à Montmartre donc on a une connivence entre ces 3 auteurs on a une possibilité partagée et alors je reviens à Luc Benard Luc Benard a travaillé beaucoup avec le mathématicien Richard Palais si on a le temps j'en parlerai tout à l'heure et il a donc travaillé beaucoup sur les fractales entre autres c'est lui qui a fabriqué cette oeuvre cette oeuvre est intitulée à Mathématicien Murano on ne se rend pas compte à quel point elle est lumineuse c'est vraiment du verre qui a été travaillé ce que l'on voit ici c'est une représentation de la bouteille de Klein ici une représentation de la bouteille de la bouteille de la surface de boy qu'on a déjà vu et en haut et ici à en bas ce sont 2 surfaces minimales et là ce qu'on appelle un presseur ce sont des choses que si on a le temps on retrouvera tout à l'heure je suis obligé de je montre ce tableau qui est admirable c'est un fractal qui visualise un problème posé par le mathématicien Wada fabriqué un ensemble de 3 fractales dont les bassins s'interpénètrent de manière petite mais de manière infinie et alors on a là une illustration parfaite disons de ce phénomène d'implication de 3 bassins de fractales alors je suis encore dans la théorie un petit peu des nombres de la diversité et je montre cette oeuvre de Jean-François Colonna tout à l'heure on a vu des représentations des nombres assez standard ici on a des représentations des nombres qu'on appelle des octonions alors les octonions s'obtiennent à partir des quaternions de même façon que les nombres dix complexes les nombres de chiquets s'obtiennent formellement à partir des nombres standards disons des six mots réels ce qu'on présente cette image c'est un domaine de l'espace à huit dimensions puisque les octonions se trouvent dans des espaces à huit dimensions les points ces nombres donc sont représentés par des points on joint les différents points par des droites et on transforme en continuant respectant en conservant les angles entre les droites on déforme ce domaine et on fait une section de ce domaine par un plan à trois dimensions et on projette tout cela sur une feuille de papier sur un écran d'ordinateur alors visualization de la forme donc je vais passer assez rapidement sur ce thème oui ce que je voulais dire c'est que dans l'étude de la représentation de la forme elle provient essentiellement au départ de l'observation de la nature c'est à dire de l'observation des cristaux des cristaux de neige des courhards de tous les cristaux de roche la cristallographie a joué un rôle essentiel dans le développement des mathématiques notamment dans l'introduction de la notion de symétrie il n'y aurait pas eu curie le cristallographe sans doute la notion de symétrice aurait été instauré en mathématiques le terme aurait été utilisé beaucoup plus tard alors comme problème se trouve le suivant vous avez une plage très vaste remplie de sable très fin ou bien un champ de neige rempli de flocons miroitants voilà ce que vous observez et vous vous demandez de manière tout à fait inconsciente mais si je prends un domaine de l'espace dans lequel me mesure puis je le remplir avec des motifs identiques sans laisser de vide et sans que ces motifs empiètent les uns sur les autres c'est ce qu'on appelle le problème des pavages dans l'espace ordinaire il y a une multitude de pavages mais nous n'avons qu'une seule toile de millaine poénarrue qui représente donc qui est censé représenter un pavage de l'espace ordinaire par des octarèdres qui doivent être tronqués parce que sinon le pavage serait impossible et le bleu éor ici m'a fait penser au bleu éor de Giotto que l'on trouve sur la voûte de la chapelle scrovegne à Padou une oeuvre absolument magnifique dans le plan on a plé tort de pavages voici donc un problème posé par Félix Klein il y a plus d'un siècle on se donne un disque plat une grande pièce de monnaie infiniment plate et on veut la remplir sans laisser de vide par des autres pièces de monnaie par d'autres disques plat plus petites ce problème a été résolu au début de ce siècle par trois mathématiciens américains et qui ont fabriqué qui ont posé un algorithme et qui ont proposé l'algorithme et voici le résultat de cet algorithme alors cet algorithme disons est basé sur une transformation particulièrement fondamentale je dirais en géométrie au moins plane cette transformation fait appel à trois à trois autres types de mouvements la translation, la rotation et ce qu'on appelle l'inversion l'inversion était autrefois enseignée dans les lycées et j'avoue que disons elle m'a causé de grande joie mais elle n'existe plus et alors cette transformation est appelée en vieux français l'homographie par les américains la transformation de Mobius et en fait elle a été introduite bien avant Mobius par Euler en 1777 et donc là il y a un petit point d'histoire que les mathématiciens qui utilisent le terme transformation de Mobius ignorent alors dommage que je ne peux pas montrer donc tout ce qu'on peut obtenir tout ce que Joss a pu faire comme illustration à partir de l'usage de l'algorithme trouvé par les trois mathématiciens américains voici un autre problème c'est le pavage qui a été résolu assez récemment il est tout à fait possible c'est très facile de fabriquer un pavage du plan avec des pentagones mais des pentagones non convexes réguliers en ce sens que les longueurs des côtés sont tous égaux mais il faut que pour que le pavage soit possible il faut que le pentagone ne soit pas convex il est impossible de faire un pavage du plan avec des pentagones habituels convexes la raison c'est que tout simplement l'angle au sommet d'un pentagone n'est pas égal à 360 degrés divisé par un entier alors on s'est préoccupé quand même on peut arriver à faire apparaître des pavages ou apparaître des pentagones convexes et c'est le cas c'est ce qu'on a réussi à faire le mathématicien Penrose qui s'intéresse beaucoup à la physique il a proposé trois solutions la solution la plus élégante consiste à découper un pentagone à faire apparaître des triangles particuliers dans ces pentagones et de les assembler soit en fléchettes soit en cerveau-là ce sont des triangles très particuliers parce que leur longueur soit égal à un soit égal au nombre d'un bon donc je le poursuis très rapidement alors des exemples de visualisation de la forme je crois que je vais passer très rapidement voilà ça c'est ce qu'on appelle une surface minimale alors les surfaces minimales bon j'aurais voulu parler d'une surface et alors vous avez des surfaces fermées comme les bulles de savon mais entre l'intérieur et l'extérieur vous avez une différence de pression et justement en épaisissant cette surface vous arrivez à vaincre cette différence de pression et ce qui caractérise ces bulles de savon c'est que leur courbure moyenne est constante elles sont au contraire des surfaces ouvertes elles s'appuient sur une courbe et puis on obtient donc des surfaces comme celles-ci et la propriété essentielle de ces surfaces minimales c'est que la courbure moyenne patrie génère a tracé beaucoup de surfaces minimales mais également il s'est intéressé beaucoup à la représentation des fleurs et des coquillages et il a utilisé donc des représentations beaucoup plus algébriques dont voici la certaine des traductions alors je voulais dire que ces surfaces minimales également sont très présentes dans toutes les morphologies biologiques et physiques voici un exemple de coquillage un triton qui est tout simplement une courbe logarithmique tracée sur un courbe alors autre problème posé par les mathématiciens au siècle dernier c'est un problème alors cette fois-ci vraiment d'autopologie vous prenez une sphère une sphère élastique et vous vous demandez dans quelle mesure est-ce que je peux retourner la sphère de sorte que la partie intérieure ce qu'on voit à l'intérieur de la sphère qui est bleue paraissent maintenant à l'extérieur plusieurs algorithmes ont été fabriqués qui permettent qu'il y a cinq techniques pour retourner la sphère et ce que je montre ici c'est un retournement les étapes du retournement de la sphère fait par Fominco à partir de ce qu'on appelle la surface de Morin qui est une surface que l'on voit à gauche qui a une symétrie d'ordre 4 donc on part de la sphère qui est ici donc les étapes du retournement petit à petit qui sont marquées ici jusqu'à arriver à ce point-là et on repart en sens inverse pour terminer le retournement de la sphère alors il y a un autre procédé pour retourner la sphère qui part cette fois-ci d'une surface de Boy alors j'ai évoqué tout à l'heure au début de l'exposé une surface de Boy, j'ai montré tout simplement, c'est la représentation des rayons lumineux qui sont issus d'un seul point alors pour la fabriquer on prend une demi sphère on prend un petit ruban de Mobius et de manière à ce que le voie apparaître finalement le bord de cette surface de ce ruban de Mobius c'est un nœud de trèfle on accole par les bords la demi sphère et le ruban et on obtient la fameuse surface de Boy et c'est important d'une surface de Boy que d'autres mathématiciens d'une équipe américaine avec John Sullivan qui a fabriqué cette représentation on peut suivre en partant j'étais trop hospital on peut suivre à nouveau la manière dont on transforme, donc la sphère est transformée pour retourner pour qu'elle apparaît en infinie retourner, alors ce retournement se fait évidemment sans déchirure de la sphère mais la sphère peut se traverser elle-même alors j'en viens finalement encore à une dernière partie qui est la représentation du mouvement, on a vu déjà au début de l'exposer les mouvements de convection d'une basse d'air qui donne finalement mes sens à cette représentation mais il est divertissant et finalement très instructif de montrer cette image là faite par Colonna Colonna introduit dans notre système solaire quelque part une nouvelle planète et il place un observateur et alors ce que montre ce collier, ces colliers de Colonna ce sont en fait les trajectoires de nos planètes habituelles que verraient l'observateur et ces trajectoires très chaotiques et alors donc Colonna se pose la question mais est-ce que cet observateur aurait été capable de fonder une théorie de la gravitation à la Newton de telles trajectoires peuvent localement et éventuellement présenter des périodicités et au quelqu'un on pourrait décomposer ces trajectoires partiellement en eux alors la présence de périodicité est une manifestation constante dans les phénomènes physiques qui ont très souvent des apparences ondulatoires c'est un universel de l'inture que cette périodicité, ses présences de périodicité et cette présente phénomènes ondulatoires alors il existe des situations très particulières il y a des cas où on prend une certaine on considère une certaine vague qui part de A qui va vers B d'autres vagues vont de B vers A et il se trouve que ces vagues ne changent absolument pas dans une forme au cours d'un déplacement et quand elles se rencontrent pratiquement leurs rencontres ne les affectent en rien alors de telles ondes sont appelées des ondes solitaires ou des solitants alors bon je passe très rapidement pour les décrire il y a différentes familles d'équation en particulier celles qui utilisent cette expression qu'on appelle un d'un embercien qui relient de manière linéaire une accélération par rapport à l'espace à une accélération par rapport au temps et alors ça a donné naissance une équation particulière qu'on appelle l'équation de Signe Gordon et qui décrit et qui permet de représenter et de créer très bien un certain nombre d'ondes solitaires qui sont très présentes dans tout le monde physique et alors là je ne peux pas vous montrer ça le mathématicien Richard Palais qui est un très grand mathématicien et un très grand humaniste a créé un site virtuel de référence un musée virtuel de référence dans lequel on peut voir énormément d'objets mathématiques et alors il y a une page de ce site qui est consacrée aux surfaces et aux ondes solitaires et dans cette page eh bien on trouve cette image qui représente une solution d'équation de Signe Gordon, solution un peu particulière et évidemment on voit ici tout le travail je ne sais pas ce que vous voyez tout le travail de Luc Bernard qui a illuminé vraiment cette solution et c'est une oeuvre en vert en quelque sorte de toute beauté alors dans le même genre mais je pense que Luc Bernard aurait été heureux de fabriquer cette image cette image illustre la théorie des singularités d'applications différenciables avec ces applications à l'optique mais bon alors j'en viens maintenant au mouvement donc à une vidéo car tu penses évidemment au mouvement pense vidéo je vous propose de terminer assez rapidement maintenant d'exposer sur la présentation d'une vidéo qui décrit ensemble qui suit un processus d'évolution il est tard je ne pouvais pas vous la décrire ils ont essentiellement donc l'évolution telle que je puis la la décrire elle est caractérisée par cette manifestation constante d'un processus de déformation et la notion de bifurcation par moment cette déformation est transformée en une bifurcation dont une des caractéristiques les plus essentielles c'est que dans le cas où se trouve une singularité qui va éclater elle éclate en deux singularités jumelles mais qui s'évade dans des directions opposées et probablement c'est ça le phénomène de bifurcation parmi les plus archaïques qui doit être présent et certainement en physique les physiciens pourraient peut-être bien en parler donc la vidéo tient également du fait qu'elle a été choisie parce que dans l'espace à trois dimensions il y a caractérisé par ce qu'on appelle leur courbure totale donc qui est peut-être positive, négative ou nulle il n'y a donc que trois types de surface et donc trois types de géométrie correspondants et donc cette vidéo permet de montrer comment on peut passer de manière continue d'une géométrie à une autre bon alors bon je je vais arriver tout de suite je vous montre tout de suite la vidéo que vous allez pouvoir alors ah non c'est pas vrai j'ai besoin absolument qu'on visualise la vidéo si on peut le faire depuis mon ordinateur bon d'accord ok cliquez plutôt sur tort là ici voilà ah j'ai besoin du son bon on va refaire avec le son et vous verrez pourquoi il faut le son bon je vais vous dire pourquoi disons du point de vue artistique et technique cette vidéo a été faite par a été réalisée par Josley la conception c'est une autre personne et l'accompagnement musical et l'accompagnement musical c'est une violiniste faite par une violiniste que vous allez écouter tout à l'heure il faut tout refaire je montre ici en somme comment une manière de construire un tort on a un grand cercle on appelle le cercle de base un petit cercle on appelle le fibre un cercle de fibre et puis on déforme ce point singulier ce point singulier va éclater en deux points singuliers symétriques on n'entend pas la musique vous pouvez pas fermer vous l'entendez alors ça c'est ce qu'on appelle une pseudo-sphère une sphère de courbure moins 1 on revient à la situation de départ alors on revient donc je ne dirais rien voilà ce bijou est offert à toutes les dames présentes dans la salle il est tard si il y a des questions il y a le musique aussi qui doit une question pourquoi Don Quixote ? parce que ce sont des artistes ce sont des artistes Don Quixote est un personnage qui a été représenté par de très très nombreux artistes et donc leur sensibilité fait qu'ils ont envie de montrer ce personnage ils expriment quelque chose à l'intérieur de même et ils utilisent évidemment les moyens techniques mathématiques dont ils peuvent disposer c'est le cas de Benard disons son Don Quixote est très original c'est uniquement avec des plaques lumineuses dont on voit la taille décroissante au fur et à mesure que l'on descend vers les pattes disons de l'animal il me semble naturel qu'un artiste souvent veut faire partager son émotion dire quelque chose par son œuvre voilà alors ce que je peux faire c'est présenter tout de suite les musiciens à moins qu'il y ait d'autres questions s'il n'y a plus d'autres questions on va présenter les musiciens je pense moi je voulais peut-être conclure cette première partie avec un petit mot, je pense qu'on peut remercier chaleureusement notre invité