 En 1882, Ferdinand von Lindemann règle définitivement un problème ouvert depuis plusieurs millénaires, en montrant l'impossibilité de la quadrature du cercle. L'expression étant passée dans le langage courant, tout le monde sait bien aujourd'hui que cette quadrature était impossible. Mais au fait, c'est quoi la quadrature du cercle ? Ça tombe bien, j'ai deux minutes pour en parler. Voici un cercle. Comment construire un carré qui possède la même ère que ce cercle ? Le problème de la quadrature du cercle, c'est ce problème-là en apparence tout simple. Assez étonnamment, ce problème est rigoureusement impossible à résoudre, mais encore plus étonnant, il a fallu plus de deux millénaires pour le prouver. Mais au fait, est-ce vraiment impossible de construire un carré ayant la même ère qu'un cercle ? Ce que je serais bien tendé de faire, c'est de commencer par mesurer le rayon du cercle. Soyons précis, il fait 5,316 cm. L'air d'un disque est donné par A égale pi x ère au carré. Donc ça donne pi x 5,316 au carré soit 88,781 cm². Pour qu'un carré ait cet ère, son côté doit donc valoir racine carré de 88,781, soit environ 9,422. Et voilà, j'ai résolu la quadrature du cercle, c'était super facile. Sauf que non, ça ne va pas du tout, ma construction n'est pas du tout précise. J'ai fait un arrondi en mesurant le rayon, j'en ai fait un quand j'ai calculé l'air du disque et j'en ai fait un dernier quand j'ai calculé la racine carré. Avec cette approche numérique, on est condamné à devoir faire des arrondis, surtout avec la multiplication par pi. Si on offre une quadrature d'un cercle, on le fait de façon exacte ou on ne le fait pas. Et une méthode exacte, c'est une méthode géométrique. Par exemple, on a cette méthode qui date du XVIe siècle. Avant Jésus-Christ, dans le papyrus rinde, une marche à suivre pour carré un cercle est présentée. Avec le vocabulaire d'aujourd'hui, elle consiste à prendre le diamètre du cercle, le diviser en 9 parties égales, puis construire le carré à partir des 8-9e de ce diamètre. On peut alors comparer les airs. Le carré a donc pas vraiment la même air en fait. Analysons la construction en prenant un cercle de rayons une unité pour y voir clair. Le diamètre vaut donc deux unités et le côté du carré mesure donc 8-9e de la longueur du diamètre, c'est-à-dire 16-9e unité. D'un côté, le disque a pour air pi x 1 au carré, c'est-à-dire pi, et de l'autre, le carré a pour air 16-9e au carré soit environ 3,16. Si cette construction était une véritable quadrature du cercle, elle impliquerait donc que pi soit égal à 3,16. A l'époque du faraon Apophis Ier, cette méthode était bien assez précise pour les utilisations qu'on en faisait, mais ça ne satisfait pas du tout nos besoins d'exactitude. Autre exemple, prenons notre cercle et faisons-le rouler depuis un point A sur un demi-tour jusqu'à un point B. On obtient donc le segment AB que l'on prolonge d'un rayon jusqu'en C. Maintenant, on construit un demi-cercle sur le segment AC, ainsi qu'une perpendiculaire en B. Leur point d'intersection, D, nous donne le segment BD, sur lequel on peut construire un carré qui assemble-t-il la mémaire que le disque de départ. Quadrature du cercle résolue. Pour en être sûr, vérifions-le par le calcul, en supposant que le cercle a pour rayon une unité. Dans ce cas, le cercle a pour cire conférence 2 pi, si bien que son demi-tour nous donne AB égal pi et BC égal 1. Pour calculer la longueur BD, on peut remarquer que ADC est un triangle rectangle en D, puisque cet triangle inscrit dans un cercle dont un côté est le diamètre. Les trois triangles sont donc non seulement rectangles, mais en plus ils sont similaires puisqu'ils partagent leurs angles. Les longueurs des côtés de ABD sont donc proportionnelles à celles de DBC, donc AB sur DB égal DB sur CB. On a donc pi sur DB égal DB sur 1, donc pi égal DB fois DB, donc DB égal racine carré de pi. Le carré a donc pour air racine carré de pi fois racine carré de pi, c'est-à-dire pi. Le disque de départ ayant lui aussi pour air pi, cette construction est donc une quadrature du cercle parfaitement valide. Sauf que non, elle est tout à fait correcte mais elle ne respecte pas les critères d'une construction géométrique parfaite au sens des mathématiciens de l'Antiquité. Pour être valide, une construction ne peut utiliser que deux outils de tracé. Le compas, pour tracer des cercles ou des arcs de cercles, et la règle, pour tracer des droits ou des segments. Mais petite subtilité supplémentaire, la règle doit être non graduée. Ça peut sembler limité mais ainsi sont fait les règles de la construction géométrique exacte. Faire rouler le cercle est donc tout à fait proscrit. Le problème de la quadrature du cercle est donc finalement le suivant. Étant donné un cercle, comment construire géométriquement, à la règle non graduée et au compas, un carré de même air. On peut généraliser la question, comment distinguer ce qui est possible de construire à la règle non graduée et au compas, de ce qui est impossible. Examinons un peu cette deuxième question. Avec une règle, on peut faire une seule construction. Tracer une droite passant par deux points donnés. Avec un compas, deux constructions sont possibles. Tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné. Ou bien tracer un cercle de centre donné et dont le rayon est un segment donné. Ce sont les trois constructions élémentaires. A partir de ces constructions élémentaires, on peut réaliser tout un tas de constructions plus complexes. Tracer un triangle écoulatéral, un milieu, une perpe en ridiculaire, une parallèle, une médiatrice, une bisectrice, etc. Bref, on peut faire plein de choses avec seulement une règle et un compas. Pour tester ça, je vous conseille le jeu Euclidea, disponible en ligne et sur tous les bons stores, qui vous demande de réaliser des constructions géométriques en utilisant uniquement les deux outils. C'est bien dister ce qui est faisable, mais ce qui serait encore mieux, ça serait d'avoir un critère qui permettrait de faire le tri entre le possible et l'impossible. Pour ça, on a besoin de la notion de constructibilité. Reprenons à zéro. Enfin non, on peut pas faire de la géométrie à partir de rien. Partons d'un segment unité OI. Avec la règle et le compas, on peut transformer ce segment en un axe gradué. Toujours avec la règle et le compas, on peut tracer un deuxième axe gradué, perpendiculaire au premier. Et on a donc un repère. On dira qu'un point est constructible, s'il est possible de le placer dans ce repère avec la règle et le compas et de façon exacte. Par exemple, les points AB de coordonnées 4, 2 et 9, 5 sont tout à fait constructibles. On dira qu'un segment est constructible si ces deux extrémités sont constructibles, comme par exemple le segment AB. Et on dira qu'un nombre est constructible si c'est la longueur d'un segment constructible. Ainsi, le nombre racine carré de 34 est constructible puisque c'est la longueur du segment AB. Pour résoudre le problème de la quadrature du cercle, si l'on suppose que notre cercle initial a un rayon unité, il faudra donc construire un carré d'air égal à pi, c'est-à-dire de côté racine carré de pi. Autrement dit, il faut montrer que le nombre racine carré de pi est un nombre constructible. Mais ces nombres constructibles, quels sont-ils exactement ? Déjà, puisqu'on a construit un repère gradué de 1 en 1, on peut affirmer que tous les nombres entiers sont constructibles. Mais on peut aller plus loin. Si deux longueurs sont constructibles, alors en les mettant bout à bout, on peut montrer que leur somme est constructible. De même, on peut montrer que leur différence est constructible. Mais on peut faire mieux. Grâce aux théorèmes de Thales, on peut montrer que leurs produits et leurs quotients sont eux aussi constructibles. Enfin, si une longueur est constructible, on a vu tout à l'heure que sa racine carré est-elle aussi constructible. Bref, tout nombre pouvant s'écrire à partir de nombres entiers, de somme de différence de produits de quotients et de racines carré, est un nombre constructible. Ainsi, le nombre 2 plus racine carré de 4 racines de 5 moins 3 racines de 7 sur 11 est un nombre constructible. Mais y a-t-il d'autres opérations mathématiques qui seraient constructibles comme les racines cubiques, les cossinus ou les exponentielles par exemple ? La question est loin d'être triviale, mais la réponse penche plutôt du côté non, ce qui a été prouvé en 1837 par le mathématicien français Pierre Laurent van Zell. L'idée, c'est que la seule façon d'obtenir un point est de le construire comme intersection de droit ou de cercle. Or, pour trouver algebraiquement le point d'intersection entre deux droites, on est amené à résoudre des équations de degré 1. Et pour une intersection qui implique un ou deux cercles, on doit résoudre des équations de degré 2. Vous connaissez probablement la méthode du discriminant delta. Quand on résout ce type d'équation, la pire chose qui puisse arriver, c'est une racine carré et pas d'opération plus complexe. Bref, un nombre est constructible à la règle et au compas. Si et seulement si, il peut être écrit à partir de nombres entiers et des cinq opérations élémentaires. Grâce à cette propriété, on peut donc dire tout de suite si un nombre est constructible rien qu'en leur gardant, mais comment faire pour conclure qu'un nombre n'est pas constructible ? On va avoir besoin pour cela de polynômes. En effet, si un nombre peut s'écrire avec les cinq opérations de base, alors on pourra toujours construire un polynôme à coefficient rationnelle qui annule ce nombre. Pour comprendre, prenons un exemple, le nombre Cossinus de Pi sur 10. Écrit comme ça, il ne semble pas constructible, mais il vaut en réalité racine carré de 5 plus racine carré de 5 sur 8. Les seules opérations utilisées sont des racines carré, une addition et une division. Il s'agit finalement bien d'un nombre constructible. Alors, en posant x égal à racine carré de 5 plus racine de 5 sur 8, on en déduit que 8x au carré est égal à 5 plus racine de 5, donc 8x au carré moins 5 égal à racine de 5, donc 8x au carré moins 5 au carré est égal à 5 et après simplification, 64x puissance 4 moins 80x au carré plus 20 est égal à 0. Notre nombre x égal à racine carré de 5 plus racine de 5 sur 8 est donc annulé par le polynôme 64x puissance 4 moins 80x au carré plus 20. On dit qu'il s'agit d'une racine de ce polynôme qui est ici de degré 4. On dit qu'il s'agit du polynôme minimal de notre nombre au sens où il n'y a pas de polynôme de degré plus petit qu'il annule. On peut donc se convaincre que si un nombre est constructible, c'est-à-dire qu'il s'écrit avec les cinq opérations élémentaires, alors on pourra toujours lui trouver un polynôme qui l'annule mais qu'en plus ce polynôme aura toujours pour degré minimal une puissance de 2. Je vous passe la démonstration un peu technique. Quand il existe un polynôme qui annule un nombre, on dit que ce nombre est algébrique. La conséquence de tout ça, c'est donc que si un nombre est constructible, alors c'est un nombre algébrique et le degré de son polynôme minimal est une puissance de 2. Par contre à poser, si le degré du polynôme minimal d'un nombre algébrique n'est pas à une puissance de 2, alors ce nombre ne sera pas constructible. On a donc un critère qui permet d'affirmer que quelque chose ne peut pas être construit à la règlée au compas et on ne va pas se priver pour l'appliquer à tous les problèmes qui résistaient aux anciens géomètres grecs. En effet, le problème de la quadrature du cercle ne vient jamais seul. Il fait partie du trio des problèmes de l'antiquité. Le chef de la bande, la quadrature du cercle, est toujours accompagné de son fidèle bras droit le problème de la duplication du cube et de son sidekick rigolo, la trisection de l'angle. On y ajoute parfois un quatrième mousquetaire, la construction des polygons réguliers que j'avais détaillé dans une vieille vidéo. Le problème de la duplication du cube consiste à construire, à la règle non graduée et au compas, un cube dont le volume est le double d'un cube donné. La légende raconte que les habitants de l'île de Delos, après avoir essuyé une épidémie de peste, sont allés demander conseils auprès de l'apiti, l'oracle de Delph. Celle-ci leur répond qu'il fallait doubler la taille de leur hôtel à Apollon de forme cubique, requête qu'ils n'ont jamais réussi à exécuter et pour cause. Et c'est donc de résoudre le problème. Prenons par exemple ce cube d'une unité de côté. Son volume vaut donc 1, il nous faut donc construire un cube de volume 2. Ce cube doit donc avoir toutes ses arrêtes de longueur racine cubique de 2. S'agit-il d'un nombre constructible ? Pour le savoir, on peut appliquer notre critère. Le nombre racine cubique de 2 est annulé par le polinom x au cube moins 2. Et on peut montrer que c'est son polinom minimal. Donc racine cubique de 2 est un nombre algébrique et de degré de son polinom minimal est 3, ce qui n'est pas d'une puissance de 2. C'est donc un nombre non constructible. Conclusion, le problème de la duplication du cube est tout simplement impossible à résoudre à la règle non graduée et au compas. L'autre problème, c'est celui de la trisection de l'angle. Pour s'en donner un angle quelconque, comment procéder pour, à la règle et au compas, le découper en trois angles égaux, c'est-à-dire réaliser sa trisection. Pour certains angles, on celles faire. Par exemple, pour un angle droit de 90 degrés, il y a une méthode très simple pour le découper en trois angles de 30 degrés. Mais cette trisection ne fonctionne pour aucun autre angle que l'angle droit. Existe-t-il plutôt une méthode générale qui fonctionnerait pour n'importe quel angle ? Pour se faire une idée, j'ai bien peur qu'il faille utiliser la trigonométrie. On a un angle de mesure alpha et on cherche à construire trois angles de mesure alpha sur trois. Pour y parvenir, on peut s'intéresser alors Cossinus. En effet, si on sait construire géométriquement un angle, on pourra construire son Cossinus. Et justement, il existe une identité trigonométrique qui relie le Cossinus d'un angle alpha à celui de son tiers alpha sur trois. Cossinus de alpha égale quatre Cossinus de alpha sur trois au cube moins trois Cossinus de alpha sur trois. Autrement dit, il s'agit d'une équation de degrés trois, ce que l'on sait a priori pas résoudre à la règle et aux compas. On peut le voir plus précisément sur un exemple. Pour obtenir trois angles de 20 degrés à partir de 60 degrés, il faudra résoudre l'équation Cossinus de 60 degrés égal quatre Cossinus de 20 degrés au cube moins trois Cossinus de 20 degrés. Ce qui signifie que Cossinus de 20 degrés vérifie l'équation un demi égal 4x au cube moins 3x. Le nombre Cossinus de 20 degrés est donc annulé par le polinom 8x au cube moins 6x moins 1 et on peut montrer qu'il s'agit de son polinom minimal. Son degré n'est pas une puissance de deux, ce qui permet de conclure qu'il est rigoureusement impossible de tricecter un angle de 60 degrés. La conséquence, c'est donc qu'il n'existera jamais une méthode générale pour tricecter un angle à la règle non graduée et aux compas. Bref, on est en 1837 et déjà deux problèmes de géométrie millénaire viennent d'être résolus avec le théorème de van Zell. Et pour la quadrature du cercle alors. Pour prouver que c'est impossible, il faut donc montrer que racine carré de Pi n'est pas constructible. On peut en fait simplement montrer que le nombre Pi n'est pas constructible puisque s'il l'était, racine carré de Pi le serait aussi. Bref, il faut étudier le nombre Pi. On va donc en profiter pour faire un carte de visite de Pi qui semble parfois un peu mystérieux. On le définit généralement géométriquement par le rapport de proportionnalité entre le diamètre d'un cercle et son périmètre. Certains mathématiciens préfèrent le définir avec une intégrale et les plus extrémistes définissent Pi comme étant la demi-partie imaginaire de la dérivée en zéro d'un certain morphisme de groupe. Le nombre Pi n'est pas un nombre décimal, c'est-à-dire que son développement décimal, la suite de ses chiffres, est infinie. De plus, ce n'est pas un nombre rationnel, c'est-à-dire qu'il n'existe aucune façon de l'écrire comme une fraction de deux entiers. On sait ça depuis 1761, ce qui implique que les décimales de Pi ne possèdent aucun motif qui se répète à l'infini. En fait, on soupçonne Pi d'être un nombre univers, c'est-à-dire que chaque séquence finie de chiffres se trouverait quelque part dans l'infinité de ses décimales. Par exemple, mon code postal se trouve en position 270.483. La date de naissance de Patrick Fiori se trouve en position 199.911.389. Et si la conjecture est correcte, on peut retrouver dans les décimales de Pi ton numéro de sécurité sociale, la transcription en décimal du script de cette vidéo, ou même l'histoire de ta vie racontée minute par minute dans chacune des langues du monde. Mais la propriété de Pi qui nous intéresse ici, c'est qu'il s'agit d'un nombre transcendant, rien à voir avec Dieu ici un nombre transcendant lorsqu'il n'est pas algébrique. C'est-à-dire qu'aucun poulinôme à coefficient rationnel n'a nulle Pi, ce qu'a proué Ferdinand von Lindemann en 1882. La démonstration s'appuie sur la transcendance du nombre E et je préfère ne pas la détailler ici. On a vu qu'un nombre constructible est nécessairement algébrique et puisque Pi n'est pas algébrique, c'est que Pi n'est pas constructible et donc racine carré de Pi ne l'est pas non plus. La quadrature du cercle est donc impossible. Résumons donc, avec comme seul instrument la règle non graduée et le compas, certaines constructions géométriques sont réalisables mais on est malgré tout limité. Ces limitations peuvent être traduites algebraiquement donnant un critère de non-constructibilité. On en déduit alors qu'il est impossible d'obtenir certaines longueurs comme racine cubique de 2, cocinus de alpha sur 3 ou racine carré de Pi, entraînant l'impossibilité de résoudre la duplication du cube, la tristection de l'angle ou la quadrature du cercle. Cela n'a pas empêché certains mathématiciens de chercher une quadrature du cercle la plus précise possible. Et la palme revient au mathématicien indien Ramanujan qui a proposé en 1918 une construction permettant de construire un carré dont l'air approche celle d'un disque avec une précision de l'ordre du 10 milliardième. Cette construction donne l'approximation Pi égal racine 4e de 9 au carré plus 19 au carré sur 22. Et si on changeait les règles du jeu ? Par exemple, si on retire la règle des instruments autorisés, que se passe-t-il ? La réponse est étonnante et c'est l'objet du théorème de mort et mascaronie, cela ne change rien. Bien sûr, les droites ne peuvent plus être tracées mais si un point est constructible à la règle et au compas, alors il peut l'être sans la règle. Un exercice difficile pour le prouver, c'est de construire sans utiliser de règles le point d'intersection entre deux droites A B et C D, où A B C D sont 4 points quelconques. Encore mieux, que se passe-t-il si on remplace règle et compas par une collection infinie d'allumettes ? Les constructions élémentaires sont alors bien différentes. Si deux points sont assez proches, on peut les relier par une allumette. Si un point est suffisamment proche d'une ligne, on peut poser l'allumette de manière à ce que une extrémité soit sur le point et l'autre sur la extrémité de la ligne, et enfin si deux points sont assez proches, on peut construire un triangle isocèle. Avec ces trois opérations élémentaires, les points constructibles sont à nouveau exactement les mêmes qu'avec la règle et le compas. Par contre, rien que pour tracer un carré, il vous faudra pas mal de courage. De l'autre côté, on peut ajouter des instruments. Qu'est-il possible de tracer avec un compas et une règle mégraduée avec, disons, deux gradifications séparées d'une unité ? La différence semble minimum, mais la trissection de l'angle et la duplication du cube ne sont plus des problèmes infaisables. Prouvons-le en trissectant à la règle bi-graduée et au compas cet angle alpha. Pour cela, on commence par tracer un cercle de rayons une unité centrée en haut sur l'angle, ce qui nous donne deux points A et B. On positionne alors notre règle sur le point B, de façon à ce que les graduations tombent d'un côté sur le cercle et de l'autre côté sur l'axe OA. L'angle formé entre la règle et l'axe OA voit alors précisément le tiers de l'angle de départ. Il ne suffisait donc que de deux graduations sur la règle pour que la construction devienne réalisable. La duplication du cube est-elle aussi possible avec cette règle améliorée, avec une construction similaire ? D'autres problèmes impossibles, comme la construction d'un polygon régulier à neuf côtés, deviennent aussi résolubles. La quadrature du cercle reste cependant toujours inaccessible. Les longueurs constructibles avec ce nouvel outil Avec sa résolution au XIXe siècle, la quadrature du cercle était l'un des problèmes les plus étudiés par les mathématiciens amateurs. On peut citer le philosophe anglais Thomas Hobbes, qui affirme en 1655 avoir résolu la quadrature. La démonstration est bien entendu fausse, ce que lui fit remarquer sèchement le mathématicien John Wallace. Hobbes ne reconnaîtra jamais son erreur et s'en suivront des années d'échange de nom d'oiseau entre le philosophe et le mathématicien. Après la démonstration de les rationalités de Pi en 1761, les amateurs étaient si afférés dans la recherche d'une quadrature qu'en 1775, l'Académie des sciences de Paris a jeté l'éponge en arrêtant d'étudier les démonstrations qu'on lui soumettait de l'un des trois problèmes de l'antiquité. La Royal Society de Londres a fait de même quelques années plus tard. Cela n'a pourtant pas empêché certains amateurs de poursuivre leurs investigations et pour cause, une récompense pécunière aurait été promise à la première quadrature valide. Cette récompense n'en fait jamais existait mais la rumeur était persistante. Après 1882 et la démonstration définitive de l'impossibilité de la quadrature du cercle, les recherches amateurs ne se sont pas pour autant arrêtées. Le cas le plus célèbre restera celui du docteur américain Edwin Goodwin. En 1894, soit 12 ans après la démonstration de la transcendance de Pi, il publie un article intitulé « La quadrature du cercle » où il ne procède pas vraiment à la quadrature du cercle mais propose des résultats mathématiques non démontrées et complètement à côté de la plaque. Selon lui, le rapport entre le diamètre et la circonférence d'un cercle vaut 5,4 sur 4. Autrement dit, que Pi est égal à 16,5 c'est-à-dire 3,2. Ceci implique, selon lui, que pour calculer l'ère d'un disque, il suffit de calculer le carré du quart de sa circonférence. Une méthode qui ne serait valide que si les cercles étaient décarés ou que si Pi valait 4. L'histoire pourrait s'arrêter là mais Goodwin, certain d'avoir découvert d'incroyables vérités mathématiques mais décide de les offrir à titre gracieux aux écoliers de l'état de l'Indiana. Pour ce faire, il passe par la voie parlementaire et vient son député qui ne s'y connaît pas du tout en maths dépose en janvier 1897 le projet de loi numéro 256 qui fixera entre autres par la loi la valeur de Pi à 3,2 et celle de racine carré de 2 à 17e. Le 5 février 1897 par 67 voix contre 0 la chambre des représentants de l'Indiana valide le projet de loi qui sera alors examiné par le Sénat. En première lecture, celui-ci n'y trouve rien à redire mais par un heureux hasard Clarence Waldo, professeur à la tête du département mathématique de l'université voisine, était présent ce jour-là pour réclamer des crédits budgétaires. Après avoir assisté horrifié au débat parlementaire sur la valeur de Pi, il a pu expliquer les erreurs de Goodwin au Sénateur marquant la fin de cette unique tentative dans l'histoire de fixer par la loi des vérités mathématiques. Il restera impossible.