 Hemos repasado el conjunto de los naturales y el de los enteros, pero veremos que hay determinadas situaciones que no podemos representar si solo nos restringimos a este conjunto de números. Dedicaremos este vídeo a repasar los números racionales enfatizando su estructura y propiedades. Comencemos considerando una situación típica donde necesitamos del uso de los números racionales. Supongamos que tenemos 6 cupcakes y 4 niños a los que dar merienda. Si intentamos calcular la división entera para ver cuántos cupcakes le corresponden a cada niño, veremos que es 1 por niño, pero hay 2 que no sabemos que nos sobran. ¿Qué podemos hacer con ellos? Está claro que podríamos repartir medio a cada uno, pero ¿qué es este concepto de medio? No es un número ni entero ni un número natural. Veremos que es un número racional. Recordad que vimos que con los números enteros no existía elemento inverso para la multiplicación. Podemos decir que matemáticamente lo que hacemos con los números racionales es agrandar el conjunto de números enteros de manera que cada uno de sus elementos tenga inverso multiplicativo. Pensando en términos de ecuaciones, de la misma manera que hicimos cuando hablábamos de la construcción de los enteros, observamos que una ecuación del tipo ax igual a b, donde a y b son números naturales, no siempre tiene solución en el conjunto de los enteros. Por ejemplo, mientras que la ecuación 4x igual a 8, sí que tiene solución x igual a 2, la ecuación 3x igual a 2 no tendrá solución en los enteros, puesto que no hay ningún número entero que multiplicado por 3 del valor de 2. Construiremos así un nuevo conjunto en el cual esta ecuación puede se resuelta en todos los casos. A continuación, introduciremos este conjunto y definiremos las operaciones que se pueden definir en él, viendo además algunas de sus propiedades. Así construimos el siguiente conjunto, el de los números racionales, y que notaremos así de esta manera. El conjunto de los racionales es el conjunto de aquellos elementos formados por fracciones, que tienen un numerador y un denominador. Comenzaremos recordando ese concepto, el de concepto de fracciones. Las fracciones se componen de un numerador y un denominador, que son números enteros y cuyo denominador ha de ser diferente de cero. En una fracción común, el denominador representa la cantidad de partes iguales en las que se ha fraccionado la unidad, mientras que el numerador indica cuantas de esas partes se están considerando. Así, por ejemplo, si consideramos la fracción 5 cuartos, lo que tendremos es que dividimos la unidad en cuatro partes iguales y tomamos 5 de estas partes. Observemos las siguientes fracciones. Si tomamos una unidad y la dividimos en cuatro partes y tomamos dos de ellas, obtenemos lo siguiente, pero observar que es exactamente lo mismo que si cogemos una unidad, la dividimos en dos partes y nos quedamos con una de ellas. Así pues, estas dos fracciones son lo que se llaman equivalentes y representan al mismo número racional. De nuevo, la definición formal de este conjunto de números involucraría a definir formalmente una relación de equivalencia de manera que cada racional corresponda a una clase dicha relación, pero no serán esta nuestra aproximación. Y de nuevo, aquellos interesados pueden encontrar una respuesta a esta aproximación en la bibliografía recomendada. Hemos optado aquí, sin embargo, por una aproximación más intuitiva. Necesitaremos pues tener un representante para cada clase de equivalencia, lo cual es lo mismo una fracción que represente a todas sus fracciones equivalentes. Son las llamadas fracciones irreducibles y que son aquellas cuyo denominador es positivo y el máximo común divisor entre el numerador y el denominador es 1. Esto es, no tienen múltiples en común. Volvamos con el ejemplo anterior. Un medio es una fracción irreducible. Mientras que dos cuartos no lo es, puesto que el máximo común divisor entre dos cuatro es dos. ¿Cómo calcular la fracción irreducible de cualquier fracción? Pues dividiremos numerador y denominador por su máximo común divisor. En el caso de la fracción dos cuartos dividiríamos por dos y así obtendríamos un medio. De ahí que veríamos la relación de equivalencia entre las dos fracciones, puesto que tienen ambas la misma fracción irreducible. Un último comentario. ¿Qué pasa que ocurre cuando el denominador es negativo? En este caso también sabemos la solución. Lo que haremos era multiplicar numerador y denominador por menos uno. De esta manera el denominador pasa a ser un valor positivo y si el máximo común divisor entre el numerador y el denominador ya era uno, es decir, eran coprimos, teníamos que esta ahora será una fracción irreducible. Os proponemos que ya sea ahora o bien a finalizar el vídeo, toméis tres minutos para calcular la fracción irreducible de esta fracción. De nuevo, recordad que podéis utilizar los cálculos que hemos hecho hasta el momento en el curso. Y ahora que ya conocemos los elementos del conjunto de los racionales, esto es las fracciones, veamos a continuación cómo podemos operar con ellos. Comenzaremos con la suma. Para poder sumar fácilmente dos fracciones, necesitamos tener las fracciones en una misma escala. Esto es, han de tener el mismo denominador. De esta manera sumaremos directamente los numeradores. Por ejemplo, si sumamos un cuarto y cinco cuartos, pues lo que tienen el mismo denominador, sumamos numeradores o tendemos seis cuartos o lo que es lo mismo, la fracción irreducible, tres medios. Pero ¿qué ocurre si los denominadores no son iguales? Esto es, supongamos por ejemplo, estas dos fracciones, un medio y un tercio. Para sumarlas, comenzaremos considerando el mínimo común múltiplo de los denominadores. Esto es, el mínimo común múltiplo de dos y tres, seis. Así multiplicamos un numerador y denominador de un medio por tres, que es el mínimo común múltiplo dividido por el denominador. Si multiplicamos un numerador y denominador por tres, obtenemos tres sextos. Hacemos, aplicamos el mismo razonamiento, pero ahora con un tercio. Ahora multiplicaremos numerador y denominador por el mínimo común múltiplo dividido por el denominador. Esto es seis dividido entre tres, lo que es lo mismo por dos, teniendo así dos sextos. Ahora las fracciones están expresadas, tienen el mismo denominador, con lo cual podemos sumar directamente los numeradores y obtenemos cinco sextos. Así, en general, dadas dos fracciones a partido por b y c partido por d, como son de las que partíamos, lo que haremos en primer lugar será calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores b y d. De a continuación, calcularemos en el primer sumando multiplicando numerador y denominador por b partido por d partido por b, que es el denominador. Es decir, por este término de aquí hemos dicho que multiplicamos numerador y denominador, o sea que el denominador hacemos lo mismo. El objetivo es que el denominador ahora será b, el mínimo común múltiplo de b y d. El mismo razonamiento con el segundo sumando hace que multipliquemos por el mínimo común múltiplo de los denominadores dividido por d. De nuevo también se nos simplificará el denominador y obtendremos que ahora las dos expresiones, los dos sumandos, tienen el mismo denominador, por lo que directamente podemos sumar los numeradores para hallar la suma que estábamos buscando. Con esta suma, además, se conservan las propiedades asociativa y commutativa de los números naturales y enteros que habíamos definido ya en vídeos anteriores, pero ahora definiéndose sobre el conjunto de los números racionales. En la asociativa asociamos el orden de los sumandos y en la commutativa, como ya sabéis, podemos commutar el orden de los sumandos. El elemento neutro de la suma es el cero y para cualquier racional a partido por b, su elemento opuesto será menos a partido por b. Tienen el mismo denominador, con lo cual la suma será sumar los numeradores y a más menos a será cero, con lo cual tendremos el elemento neutro de la suma y, por tanto, su elemento opuesto. El producto de dos números naturales se basa en la idea de tomar varias veces la misma cantidad, así multiplicar dos por tres representa tomar dos veces el número tres. Pensando que las fracciones representan tomar una cierta cantidad de una fracción del elemento unidad, multiplicar un medio con un medio representa tomar la mitad del elemento unidad y a esto tenemos que tomarle la mitad nuevamente. Entonces lo que queda será la cuarta parte de la unidad, con lo que es natural definir el producto de un medio por un medio como un cuarto. Más en general el producto de dos fracciones a partido por b y c partido por d lo definimos como a por c dividido por b por d. Definimos así las propiedades asociativas, comutativas, además existe el elemento unidad del producto que será 1 y aquí sí, diremos que el conjunto de los racionales con la operación producto tiene elemento inverso y ha quedado cualquier racional no nulo, existe un racional de manera que multiplicado por él obtenemos el elemento unidad del producto. En efecto espero que todos veáis claro que tal racional existe y que es b partido por a, es decir invertimos el orden del numerador y el denominador. Observar que está bien definido siempre y cuando a el elemento del cual partimos a partido por b la fracción de la cual partimos sea no nula. En ocasiones notaremos el elemento inverso de esta manera como a partido por b con un exponente menos 1. Al igual que pasaba con los números naturales y los enteros podemos definir la propiedad distributiva del producto sobre la suma la cual se deduce de las propiedades que verifican los números racionales junto con las propiedades distributivas de los números naturales y enteros que vimos en vídeos anteriores así podemos expresar la suma de dos sumandos multiplicada por un número racional como la suma de los productos de cada sumando por ese número. Nos encontramos ante el conjunto de los racionales con las operaciones suma y producto y cumpliendo todas las propiedades anteriores. Diremos que el conjunto de los racionales con las propiedades que acabamos de numerar tienen estructura de grupo de cuerpo. Notad que la diferencia respecto a los anillos es que aquí cualquier elemento del cuerpo tiene un elemento inverso mientras que en el caso de los anillos no es así. Como ya comentamos en el caso de los grupos y de los anillos el principal interés de la abstracción de estas propiedades es que cualquier conjunto que tenga estas propiedades tendrá un comportamiento similar al tener una misma estructura algebraica. Cuando queramos referirnos al conjunto a un conjunto cualquiera que con estructura de cuerpo sin necesidad de representar al conjunto en sí ya sea los racionales o otros que veremos más adelante lo notaremos con la letra K notando la primera operación y la segunda operación a considerar. Hemos visto cómo relacionar números naturales estableciendo intuitivamente un orden y de su extensión podemos deducir el caso de los enteros. La relación de orden en los racionales es ligeramente más compleja. Diremos que a partido por b es menor que c partido por d y lo notaremos de esta manera si a por d es menor que b por c. Se podría ver formalmente que es posible así definir un orden y al igual que vimos en el caso de los naturales y en los enteros podríamos definir los operaciones relacionados como el menor mayor igual o el menor o igual que un ejemplo sería ver si dos tercios es mayor menor o cuál es la relación de orden con cinco séptimas partes. Observemos que catorce es menor que quince con lo cual dos tercios será menor que cinco séptimos. Hemos introducido los números racionales con el objetivo de resolver ecuaciones como esta donde r y s son números enteros pero qué pasaría si queremos resolver esta ecuación cuando r y s son números racionales por ejemplo consideremos esta donde queremos encontrar para qué valores de x se verifica la igualdad un medio de x igual a un sexto podríamos resolverlo de diferentes maneras pero una de ellas sería multiplicar ambos lados de la igualdad por el inverso de un medio esto es por dos así obtendríamos dos sextos o lo que es lo mismo un tercio que es su fracción irreducible lo que haremos en general será multiplicar ambos lados de la igualdad si volvemos a la ecuación de la que partíamos por el inverso del coeficiente que acompaña la x multiplicamos pues por el inverso de r y lo que obtendremos será que la solución de la ecuación será el inverso de r por s o dicho de otra manera dividimos s entre r pero recordar que tanto r como s son fracciones veamos un ejemplo lo que tendremos será una expresión de este tipo y que generalmente se conoce como castillo de fracciones detallamos aquí como hemos calculado el numerador resultante y observar el denominador por lo tanto la riqueza de la estructura gebraica de los números racionales nos permite no sólo sumar restar y multiplicar fracciones sino también dividirlas aprovecho aquí para hablar de las potencias de los números racionales supongamos que tenemos un número racional y un número natural n podemos hablar de la exponente de la potencia a a la n como el producto de a multiplicado n veces por sí mismo de la misma manera hablamos de la potencia a a la menos n como la potencia del inverso de a n veces por sí mismo las propiedades básicas de las potencias con los números naturales se extienden aquí sobre los números racionales esto es el producto de potencias de igual base diferente exponente el producto de potencias de diferente base igual exponente y la potencia de potencias teniendo en cuenta que los negativos hace referencia a los inversos así sus pregunto qué fracción creéis que es equivalente a la siguiente expresión espero que vuestra lección sea la tercera como se deduce fácilmente de la división de las dos fracciones para finalizar este vídeo os proponemos que simplifiquéis esta expresión recordaros que tanto este ejercicio como el otro que presentábamos en este vídeo un poco hace hace breves minutos los podéis encontrar resueltos en un vídeo anexo