 Et dans la continuité ça sera aussi en oralement en français et à l'écrit en anglais avec une petite différence c'est que si c'est vrai que tu m'embêtes je sais où appuyer pour que ça s'arrête ça. Ok donc on m'avait demandé, enfin on m'a suggéré au moment de l'invitation à parler ici donc je suis très honoré parce que Poincaré est certainement mon héros mathématique de parler de l'arithmétique dans l'œuvre de Poincaré alors c'est pas forcément le endroit où sa gloire rayonne le plus d'ailleurs c'est à moi qu'on a demandé de parler de l'arithmétique chez Poincaré et d'ailleurs pour illustrer ça je vais reprendre parce que donc ça a vraiment baissé la dernière fois au centenaire de la dernière fois qu'on s'est réunis pour célébrer Poincaré c'était le centenaire de sa naissance et on demandait à quelqu'un d'autre beaucoup plus prestigieux de donner son avis sur l'œuvre arithmétique de Poincaré et cette personne est connue pour avoir des jugements assez durs et ça commence effectivement par un jugement assez dur donc il y a quand même tout un volume des œuvres de Poincaré qui sont consacrés à l'arithmétique et ce que commence par dire André Veil donc puisque c'est lui dont on parle c'est qu'on se régnait qui sont de valeur inégale et je pense que c'est un peu le sentiment que la plupart des théoriciens dénombre quand on évoque Poincaré alors je voudrais essayer peut-être de changer un peu ça de dire que quand même il y a une notion dont on n'a pas parlé du tout qu'on a peu parlé en tout cas pendant cette conférence parce que tout le monde sait que c'est tellement associé à Poincaré que maintenant on en parle moins c'est la théorie des fonctions fluxiennes qui est quand même la naissance des fonctions automorphes et on sait quand même que les fonctions automorphes ont un quelques liens avec l'arithmétique donc ce n'est pas de ça dont par la suite André Veil analyse de plus près l'œuvre arithmétique de Poincaré et il met en avant de contributions majeures selon lui la première c'est la relation entre la géométrie non-nuclidienne et les formes quadratiques ternaires indéfinies donc Poincaré c'est beaucoup intéressé aux formes quadratiques certainement sous l'influence d'Hermites et il a donc vu le lien qu'il y avait entre les groupes de transformation des formes quadratiques ternaires indéfinistes c'est-à-dire de signature 2-1 et les transformations de la géométrie euclidienne et donc dans une série de papiers il est conduit à introduire certains groupes fluxiens associés qui proviennent de l'arithmétique et qui sont maintenant ce qu'on appelle des groupes arithmétiques et Jéré Migraie a mentionné ça dans ses mêmes travaux il a une vision théorie des groupes et de l'équation modulaire il parle de ce qu'on appellerait maintenant les correspondances de Hecke donc c'est le premier point dont Val discute et en 1954 il dit qu'on n'a certainement pas tiré tout le sel de ce que dit Poincaré c'est vrai puisque essentiellement la théorie de Hecke à cette époque-là marche pour les revêtements de la courbe modulaire et donc utilise la décomposition de série de fourriers et parle le point de vue géométrique que développe Poincaré c'est depuis les choses ont évolué et donc il y a un deuxième travail évidemment dont Veil parle c'est celui qui est relié à la thèse de Veil et donc qui l'a lu attentivement et c'est le travail de 1901 qui s'appelle sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques ou Poincaré et pour pas me faire disputer par Cédric je vais passer à l'anglais ou Poincaré introduit le rang d'une courbe elliptique rationnelle mais bien que Veil en parle il est assez dur par exemple il laisse entendre que c'est pas bien clair que Poincaré conjecture que ce rang est finie il reproche à Poincaré la difficulté de lecture de ses articles donc bon moi avec mes petits pieds je vais pas marquer dans les grands pas de Veil et je vais plutôt chercher à lire des articles dont Veil ne parle pas mais avant oui je vais quand même veil conclut quand même par une note plus positive sur l'œuvre de Poincaré malgré tout puisque à travers les deux travaux dont il discute longuement il dit qu'il espère quand même avoir montré que l'œuvre de Poincaré a parti encore à la plus vivante actualité donc on est en 1954 moi les papiers dont je veux parler c'est essentiellement un papier qui est de 1905 qui est publié au journal de Crélo et qui est publié Poincaré écrit à l'occasion du centième anniversaire donc c'est un long papier qui fait 70 pages et enfin je vais en afficher qu'un tout petit extrait à la fin parce qu'en fait c'est un papier extrêmement confus et on comprend en le lisant pourquoi les arithméticiens ont peut-être pas été très sensibles à ce papier et puis je discuterais brièvement d'un autre papier qui est fonction modulaire et fonction fluxielle qui n'est d'ailleurs pas publié c'est le tome d'arithmétique mais qui est dans le tome sur les fonctions fluxielles dans les oeuvres de Poincaré et qui est le tout dernier papier de Poincaré puisque il l'envoie pour publication la veille de son départ pour la clinique où il mourra et alors ma motivation pour lire ces deux papiers c'est une station que je trouve très belle qui qu'on trouve dans l'avenir des mathématiques déjà été cité plusieurs fois dans les conférences précédentes et que je vais donc lire en français puisque maintenant il est en anglais donc un domaine arithmétique où l'unité semble faire absolument défaut c'est la théorie des nombres premiers on a trouvé que des lois asymptotiques et l'on en doit pas espérer d'autres mais ces lois sont isolées et l'on y peut parvenir que par des chemins différents qui ne semblent pas pouvoir communiquer entre eux je crois entrevoir d'où sortira l'unité souhaitée mais je ne l'entrevois que vaguement tout se ramènera sans doute à l'étude d'une famille de fonctions transcendantes qui permettront par l'étude de leurs points singuliers et l'application de la méthode de Darbou de calculer asymptotiquement certaines fonctions de très grands nombres donc évidemment c'est suffisamment vague pour qu'on l'interprète comme on veut et comme on est entre fans de point carré moi je n'ai pas hésité à l'interpréter de la façon la plus grandiose possible mais ce qui me paraît quand même assez réaliste c'est que les fonctions transcendantes auxquelles se réfère point carré sont certainement les formes automorphes lui il pensait en termes de fonctions fucsiennes ou plutôt fonctions tétafucsiennes ici j'ai envie de penser au point singulier comme au cusp des surfaces associées à ces formes automorphes et je pense que l'unité qu'entrevois point carré c'est que beaucoup d'identités arithmétiques de propriété arithmétique devraient surgir de l'étude de la symptotique des formes automorphes au voisinage de ces cosses donc évidemment ça rejoint quelque chose qu'on appelle maintenant le programme de l'anglante et on peut espérer que peut-être l'unité envisagée par point carré est quelque peu reliée à ce qui est arrivé depuis les années 70 dans cette partie de l'arithmétique une remarque c'est que c'est comme ça que j'ai essayé de lire l'article de 1905 qui est sinon assez difficile à lire pas seulement pour les mathématiques en raison des mathématiques qui contient mais parce que comme souvent je sais point carré il saute d'un truc à un autre sans jamais nous dire pourquoi ni où il va ni quelles sont ses motivations pour le faire et du coup je vais parler de cet article et je vais garder ça comme file directeur une remarque c'est qu'on verra pour de cette lecture qu'il connaît beaucoup de façons de construire des formes automorphes et en fait si on regarde un livre classique de 1973 sur le début de la théorie de l'anglance de la théorie automorphe qui est écrit par Gelbart il commence par un chapitre sur les constructions classiques de formes automorphes et on s'aperçoit que les constructions classiques elles sont toutes chez point carré dans cet article de 1905 donc ma thèse je dirais pas que point carré est un arithméticien parce que je ne pense pas qu'il se pose les questions en arithméticien il ne s'est pas comme Hermits il ne va pas regarder des petits problèmes qui va résoudre un arithméticien mais par contre il voit quels sont les outils qui devraient permettre aux arithméticiens qui se posent ces questions-là comment les résoudre il faut passer par les fonctions fucsiennes et comme il le dit il est clair que les propriétés générales des fonctions fucsiennes s'appliquent aux fonctions modulaires donc première étape pour vendre commercialement son travail c'est peut-être de reprendre les travaux d'anciens comme dirait Claire et d'essayer de montrer que sous l'angle des fonctions fucsiennes ça les éclaire alors je ne sais pas où le mettre ce dessin mais je ne crois pas qu'il ait encore été mis donc il faut le mettre donc voilà les fonctions fucsiennes dont je vais parler aujourd'hui sont particulières c'est celle dont ils traitent donc dans les deux articles que j'ai donné sont les fonctions fucsiennes qui sont modulaires et donc là une fonction fucsienne pour point carré c'est avant tout un groupe et un pavage du disque et le pavage enfin ou du demi-plan et le pavage qu'on considère c'est celui-ci que vous avez déjà tous vu donc maintenant un mot quand même sur le titre parce que point carré parle donc d'un variant arithmétique ce n'est pas un terme que j'ai vu souvent donc qu'est-ce qui veut dire par un variant donc on va voir qui met sous ce terme deux types d'un variant il y avait à voir les invariants arithmétiques des formes linéaires et les invariants arithmétiques des formes quadratiques donc il commence par ce qu'il appelle les invariants des invariants arithmétiques des formes linéaires alors qu'est-ce que c'est qu'une forme linéaire alors pour lui c'est une forme linéaire à deux variables mettons sur c2 à coefficient dans c et du coup une forme linéaire c'est jamais que la donnée de 2 nombres complexes omega1, omega2 et dessus on a le groupe gl2c qui peut agir sur les formes linéaires en agissant sur les variables et on sait bien que de ce point de vue là il n'y a qu'une seule forme linéaire non nulle donc il n'y a pas d'un variant intéressant mais si à la place de ça on regarde juste l'action de SL2Z donc une action arithmétique là il peut y avoir des invariants plus intéressants et c'est ça qu'il appelle invariants des formes linéaires donc assez rapidement on se raccroche à ce que tout le monde appelle une forme modulaire donc on va le faire ensemble c'est comme ça qu'il le fait mais il commence par appeler ça invariants arithmétiques des formes linéaires donc ce sont des fonctions de ces deux paramètres complexes omega 1 omega 2 et on veut que ça soit invariant par l'action de SL2Z donc l'action naturelle qui est là-haut et rapidement il suppose aussi que cet invariant est en fait homogène pour un certain poids ici k donc ce que j'ai écrit ici lambda omega 1 lambda omega 2 c'est égal à lambda à l'absence moins k de f de omega 1 omega 2 et dans ce cas là si on regarde plutôt la fonction grande f de z1 qu'on appelle petit f on obtient juste la notion classique de formes modulaires de poids k et rapidement comme point carré même tout de suite nous on se restreint à prendre la variable z dans le demi-plan de point carré des variables de parties imaginaires positives et donc ce que va en fait chercher à faire point carré c'est à étudier ces formes modulaires de point k et premier exemple qui donne un exemple classique qui ne s'appelle pas encore série d'Eisenstein mais qui sont les série d'Eisenstein ce sont les invariants qui sont construits en summand sur tous les m omega 1 plus scène omega 2 à la puissance de k donc ça c'est un invariant classique considéré par Eisenstein et d'autres avant point carré donc il rappelle que cette série est absolument convergente si k est strictement plus grand que 1 et il remarque au passage que si on regarde ce qui se passe quand on va à l'infini dans le cusp alors la valeur est non nul et là il est embêté il est assez rapidement embêté parce qu'il va nous expliquer comment intégrer les formes modulaires dans les fonctions fluxiennes et son problème c'est que justement la plus arithmétique des fonctions modulaires qui connaissent c'est-à-dire la série d'Eisenstein elle ne rentre pas vraiment dans sa théorie des séries tétaphuxiènes donc juste pour avoir une vision plus à la point carré plus géométrique de ce que sont les formes modulaires de point k géométriquement une symétrie par rapport au pavage que je vous ai montré de tout à l'heure et alors évidemment la fonction elle-même n'est pas symétrique, n'est pas SL2Z mais par contre la differential la k differentielle F2Z dZ à la puissance k elle est bien SL2Z en variante autrement dit elle descend sur la surface modulaire d'accord donc maintenant je vais donner une série de définitions parce que point carré sépare évidemment les séries qui regardent les fonctions tétaphuxiènes que modulaires en différents types il n'est pas très fort pour nommer il y a partout des types 1, type 2, type 3, type 4 donc maintenant de manière plus commode on distingue d'abord les fonctions modulaires donc je ne regarderais que des poids à pair des poids à deux k encore une fois ça correspond à ce que la k differentielle F2Z dZk soit SL2Z en variante donc elle va être de poids de 2k et on va demander donc qu'elle soit modulaire de poids de k mais remorfe sur tout le demi-plan donc on peut avoir des pôles dans cette première catégorie sur le demi-plan et on demande qu'elle soit mais remorfe à l'infini c'est à dire que la fonction elle est invariante par ZNZ plus 1 à la maison qu'un développement série de fourriers et dans la variable Q la variante de cartes autour de la pointe à l'infini on demande qu'il y ait une série de Laurent dans les puissances négatives où on finit par stationner en zéro donc ça c'est être mais remorfe et je vais appeler cet ensemble AK maintenant il y en a d'eau parmi celles-ci on peut considérer celles qui sont partout au le morf sur H et au le morf à l'infini je vais les appeler MK il y a une dernière catégorie qu'on va appeler SK et qui sont plutôt les formes hospitales de nos jours et ce sont celles qui sont au le morf partout et qui à l'infini s'annulent alors pourquoi je distingue particulièrement celle-là alors la première remarque que fait essentiellement ça c'est que la série d'Eisenstein qu'on a vu tout à l'heure elle appartient aux formes modulaires mais par contre elle ne s'annule pas à l'infini donc elle n'est pas dans SK alors que la théorie des fonctions fucsiennes de point carré si on l'incarne vraiment dans ce cas particulier voilà ce que dans le début de la théorie des fonctions fucsiennes comment est-ce que point carré construit des fonctions fucsiennes il les voit comme caution de série theta fucsienne et les séries theta fucsiennes c'est exactement ce que j'ai écrit ici donc on se fixe un entier K strictement plus grand que 1 on part d'une fonction rationnelle sur CP1 et on demande qu'elle n'est pas de pôle sur le cercle à l'infini alors en fait dans sa première version il travaille dans le modèle du disque et il suffit de demander qu'elle n'est pas de pôle sur le disque maintenant si on regarde ce que ça signifie dans le demi-plan il faut aussi demander qu'elle ait un zéro d'ordre au moins 2K à l'infini ça conduit à des erreurs il n'est pas très précis dans l'article de 1905 qui revient là dessus dans l'article de 1912 et ça conduit même à un éminent collègue Henri-Paul de Saint-Gervais dans un livre récente à faire l'erreur d'oublier de demander qu'il y ait un zéro d'ordre 2K à l'infini mais peut-être que Tienne tu pourras lui transmettre cette chose-là donc voilà une fois qu'on a ça on a envie de forcer le fait d'être moyenné de moyenné sous l'action de SL2Z donc ça revient à écrire la série qui est ici et il démontre que cette série si on est dans le modèle du disque c'est juste un jeu entre la maitrique Euclidean sur le disque et le fait que la maitrique hyperbolique est conservée par SL2Z et le fait que par contre pour la maitrique Euclidean le disque soit d'air fin c'est en jouant comme ça qui démontre l'absolue convergence de la série et c'est vraiment à ce moment-là c'est pour ça qu'il estime que la géométriopilienne est vraiment à très sèquement liée à cette théorie et donc il appelle la somme serrité tafuxienne et il montre qu'elle est modulaire de poids de quart mais il montre aussi qu'elle s'annule nécessairement à l'infini et enfin il montre ce qui est peut-être moins dit mais néanmoins fait dans la théorie des groupes fuxciens il montre toutes les formes hospitales ou paraboliques et en fait engendrées par cette construction donc on retrouve comme ça toutes les constructions de formes hospitales mais on ne retrouve pas la série d'Eisenstein qui est pourtant celle qui est traditionnelle qui voit comme étant associé à la rythmétique du coup il est un peu embêté par ça, il commence son article il se dit il faut que j'arrive à voir la série d'Eisenstein comme reliée à mes séries d'état fuxciennes et pour ça il va considérer il va essayer de calculer des séries d'état fuxciennes associées à certaines fonctions rationnelles mais il veut les voir comme dégénérescences alors ici il y a deux variables dans H il y a le Z qui est vraiment la fraction rationnelle qu'on va sommer pour faire une fonction d'état fuxcienne et puis il y a un taux où il faut penser qu'il est là pour donner un pôle à la fonction rationnelle mais un pôle en 1 sur taux donc si taux est dans H le pôle est donc le 1 sur taux il est dans le conjugué de H et il n'est pas sur la droite réelle donc cette fraction rationnelle a un pôle d'ordre de K mais de l'autre côté dans le H conjugué et son idée c'est d'après de rapprocher taux de l'axe réel en espérant voir comme les récences en espérant obtenir les séries d'Eisenstein et l'autre qui produit cette série qu'on a envie d'appeler séries d'état maintenant c'est à dire qu'il forme la séries d'état fuxcienne mais elle dépend maintenant du paramètre taux et c'est pas dur de vérifier que cette série et en fait selon qu'on préfère la regarder comme fonction de Z ou de taux est en fait modulaire des deux côtés la première incarnation dans un cas simple de ce qu'on peut appeler le relèvement theta dans la théorie des formes automorphes et son idée maintenant c'est taux je peux très bien me le donner dans un domaine fondamental de l'action de SL2Z et je vais faire tendre taux vers l'infini et voir comment dégénère ma série theta fuxcienne donc il fait ça et par un très beau calcul assez similaire à ce qu'on peut trouver dans le petit livre de Serre sur les formes modulaires il y a des jolies enfin comme souvent des jolies expressions en série pour cotangentes pi, etc il obtient ce développement de la fonction theta en termes du paramètre taux donc encore une fois on va faire tendre taux vers l'infini dans H l'exponentiel qui est ici exponentiel moins depuis i sur taux c'est une fonction qui est rapidement décroissante vers zéro en taux dans vers vers non, qu'est-ce que je dis je dis une bêtise c'est le taux k qui est devant qui tend vers zéro maintenant qu'est-ce qu'on a en coefficient on a ces séries qui sont plus exactement ce que maintenant en arithmétique on appelle série de point carré et qui sont beaucoup plus proches des séries d'Eisenstein si vous mettez m égale 0 ici vous retombez à une petite constante près parce qu'on regarde que ceux qui sont premières entre eux vous retombez sur la série d'Eisenstein que j'ai décrit au dessus donc c'est comme ça qu'arrive que surgissent pour la première fois les séries de 1905 ce qu'on appelle maintenant les séries de point carré donc en raffinant un peu il arrive vraiment à obtenir les séries d'Eisenstein comme dégénérescence mais je ne vais pas vous le faire parce que ça n'apporte pas beaucoup à la discussion mais par contre ce qui est très intéressant c'est que ces séries de point carré surgissent là et que du coup en utilisant maintenant la décomposition en élément simple des fractions rationnelles il arrive à démontrer pour la première fois que l'espace des formes paraboliques est engendré par ces séries de point carré alors qu'est-ce qu'on a gagné par rapport à avant c'est qu'avant on avait une fonction rationnelle quelconque on faisait une série teta fusion ça nous engendrait ces bêtes là nous engendrait l'espace des formes paraboliques mais on est assez loin de pouvoir calculer avec ça de faire de l'arithmétique là maintenant on a des belles séries et donc l'arithméticien est content parce qu'il est en train de sommer sur des entiers c'est bien explicite et du coup c'est exactement là-dessus qui revient dans son article de 1912 si on garde en tête que selon lui les belles identités remarquables vont arriver les belles applications vont arriver quand on va regarder le développement dans les pointes il se dit j'ai mes séries des séries de point carré qui engendrent les formes paraboliques essayons de comprendre comment elle dégénère quand on monte dans la pointe et il calcule donc le développement de ces séries de point carré et c'est là que surgissent pour la première fois ce qu'on appelle les sommes de Clousterman avant Clousterman et puis il s'arrête là il a une bonne excuse il part et il meurt mais donc c'est un vrai mystère on se demande pourquoi il fait ça parce qu'il n'y a aucune motivation dans son article pour nous dire pourquoi je calcule les coefficient de fourrier et pourquoi je calcule les sommes de Clousterman mais ce qui est remarquable c'est que évidemment c'est là pour étudier les coefficient de fourrier des formes paraboliques et ce qui sera fait évidemment par Clousterman et que Selberg en direction de la conjecture de Selberg mais voilà c'est là où point carré s'arrête donc dans le mémoire de 1905 et là il se dit bon j'en ai assez dit je passe à autre chose et à autre chose qui est plus surprenant alors il est évidemment on savait que les séries de point carré qui est plus et moins connu enfin moi j'ai découvert ça dans cet article c'est qu'il propose juste après sans aucune relation et sans aucune motivation de généraliser pour essayer d'avoir un traitement plus géométrique de ces séries d'état fusion de généraliser la théorie des périodes abéliennes à des intégrales d'ordre supérieur et avoir une vision genre envie de dire maintenant vous allez voir pourquoi c'est parce que c'est une fonction modulaire et d'introduire donc ce qu'on appelle les polynômes de périodes alors il appelle ça explicitement une généralisation du théorème d'Abel et donc appelons ça avec lui posons qu'une différentielle abélienne généralisée c'est une application méromorphe aide d'une mi-plan danser tel que quand on la dérive de cas moins une fois on obtient une forme modulaire de poids de cas donc évidemment il faut le penser dans l'autre sens quand on a une forme modulaire de poids alors bah commençons par un cas qui n'existe pas sur la surface modulaire mais c'est pas grave une forme modulaire de poids 2 ça signifie que f2z des z définit une forme différentielle sur le quotient et du coup on peut regarder une différence abélienne ou prendre la primitive de f2z des z et regarder d'un point à un autre et puis calculer des périodes comme vous avez expliqué clair ce matin de cette différentielle bon bah là ce qui propose maintenant je prends non plus de poids de mais de poids de cas et ben j'intègre de cas moins une fois ma ma une forme différentielle je fais dans l'autre sens je dis qu'une différentielle abélienne généralisée c'est une fonction quand on la dérive de cas moins une fois on obtient une forme modulaire de poids de cas et on dira qu'elle est du premier type pour reprendre la terminologie d'abel si là le petit f est vraiment cuspida par abonné ce qui serait exactement à la terminologie d'abel pour quand on prend k égale 1 ok donc voilà ce qu'a introduit point carré et essentiellement exactement en utilisant l'identité de bol sauf que bol était pané ou en tout cas très jeune je ne sais plus l'identité de bol est la suivante si on applique la dérivée de cas moins une fois à grand f mais transformé par 2 moins de cas c'est pareil que d'appliquer la dérivée de cas moins une fois à f et lui appliquer la transformée modulaire donc écrivons le c'est ce que j'ai écrit juste en dessous donc quand on applique un cg c ab cd quand on applique f pour la transformation de degré 2 moins de cas ça nous donne ça c'est la même chose que cz plus d à la puissance de k-2 grand f de az plus b sur cz plus d d'accord et si on différencie de cas moins une fois cette expression c'est la même chose que si on appliquait la transformation mais pour le poids ce coup-ci non pas de moins de cas mais de cas à la différentielle mais maintenant on sait on sait que d de cas moins un de grand f c'est une forme modulaire de poids de cas donc elle vérifie f d de cas moins un de grand f vérifie que f de cas g égale f autrement dit si je différencie l'identité qui est au-dessus j'obtiens 0 donc c'est la différence entre l'expression ici et l'expression qui est là c'est forcément un polinôme de degré au plus de cas moins 2 c'est ce qu'il appelle la période associée à l'élément petit g autrement dit si je fais si je transforme A, B, C, D la variable z j'applique ma différentielle abélienne généralisée c'est égal à la différentielle abélienne généralisée fois ce polinôme plus ce polinôme fois un polinôme qui dépend de g et qui l'appelle le polinôme de période associée à l'élément g si vous refaites la même chose en prenant vous réobtenez le fait que les différenciels abéliennes quand on des intègres on change par une constante et qui sont justement ces périodes donc voilà ce qui définit comme étant le polinôme de période et il dit explicitement les fonctions F grand F que j'ai écrit ici joue le rôle des intégrales abéliennes et les polinômes P jouent le rôle des périodes et arrive le théorème qui est que le nombre des coefficients arbitraires des périodes est double de celui des intégrales de première espèce c'est-à-dire correspondant au petit F dans les formes paraboliques donc c'est égal à deux fois la dimension on retrouve l'analogue du théorème d'Abel mais étendu à ces périodes polinomiales alors peut-être un mot pour les dire de façon plus moderne à quoi ça correspond ces choses-là donc à chaque fois qu'on se donne une forme une fonction modulaire de poids de K petit F on l'intègre cet intégral est bien défini évidemment à un terme constant prêt et si le terme constant c'est un polinôme de degré de K-2 et maintenant qu'est-ce qu'a fait Poincaré quand il a défini le polinôme P un petit G eh ben il a pris la transformation F de G moins grand F ce que j'ai écrit au dessus on regarde ici c'est l'action et ce qu'il a essentiellement vérifié c'est que cette application vérifie une relation de co-cycle donc voilà ce qu'il appelle la période mais la période elle est pas naturellement associée à petit F elle est associée à grand F si on veut quelque chose qui est naturellement associé à petit F il faut supprimer le terme constant et le terme constant c'est un polinôme et donc il faut conscienter la classe de C il faut regarder la C ce qu'on appelle donc les co-bords c'est à dire l'action seulement sur les polinômes donc le fait que ce soit un co-cycle c'est très facile à vérifier c'est juste parce que formellement c'est un co-cycle et là c'est ce qu'on appelle les co-bords et donc modulo les co-bords on obtient véritablement ce que Poincaré appelle l'espace l'espace des périodes cette classe de C ne dépend que de la forme modulaire qu'est ici et donc je vais pas détailler la démonstration et ce nom serait un terme moderne de la façon suivante c'est qu'il existe un isomorphisme explicite entre deux copies des formes modulaires paraboliques et le premier groupe de comologistes c'est à dire la caution des co-cycles par les co-bords du groupe SL2Z et à coefficient dans ces polinômes de degrés de K-2 alors j'ai mis un petit zéro ici c'est juste parce que SL2Z a le mauvais goût de pas être co-compact mais j'en dis pas plus alors c'est un théorème qui est maintenant connu que Veil ne connaissait pas il y aura peut-être vu dire ça à cette époque là enfin qui n'était pas connu en tout cas en 1954 qui a été démontré en 1957 par Heichler et c'est ce qu'on appelle maintenant le isomorphisme de Heichler-Chimura alors Poincaré le montre vraiment pour le groupe SL2Z et dit comme souvent que évidemment ça marcherait exactement pareil pour n'importe quel groupe fuchsien sauf que je ne sais pas comment faire de marcher cette démonstration pour n'importe quel groupe fuchsien mais c'est une autre histoire là encore Poincaré s'arrête et change de complètement de sujet on sait pas pourquoi il a fait ça il y a un théorème qui est fondamental maintenant en arithmétique mais évidemment vu comme ça on ne voit pas beaucoup d'arithmétiques parce que ce isomorphisme il est explicite et il permet de calculer la trace des opérateurs de Hecke sur les formes paraboliques c'est vraiment c'est à ça que Heichler l'applique et c'est ce qui le fait vraiment rentrer dans l'histoire c'est le début de l'histoire arithmétique derrière ce sujet donc voilà ça c'est pour la première partie de l'article et ça n'a rien à voir avec Dirichlet et voilà ce que Poincaré fait dans une deuxième partie c'est qu'il change maintenant d'un variant arithmétique il passe à des invariants arithmétiques de formes quadratiques et il commence par les formes quadratiques définies positives donc quelques notations donc une forme quadratique vous savez ce que c'est on va prendre non pas la notation de Poincaré AX2 plus BXY plus CY2 donc on souvient de ABC évidemment très rapidement on va supposer que ce sont des entiers mais pour l'instant c'est pas nécessaire le discriminant on le prend donc négatif puisqu'on veut des formes quadratiques définies positives et A est donc positif et là encore si on s'intéresse vraiment au valeur de ces formes quadratiques ce qui est important c'est de les regarder modulo l'action du groupe SL2Z l'action naturelle sur les variables et donc ce que définit Poincaré appelle maintenant un invariant arithmétique là encore c'est juste une application qu'il y a une forme quadratique associée à un nombre et cette application on demande qu'elle soit SL2Z invariant et il commence par maintenant raccrocher tout ça avec Dirichlet en rappelant que Dirichlet a considéré des invariants arithmétiques en considérant la série qui est apparu tout à l'heure dans l'exposé essentiellement même série que c'est apparu dans l'exposé de Sylvia Serfati la série zeta associée à la forme quadratique c'est à dire la somme sur les 1 de Q de mn à la puissance S où on somme évidemment comme tout à l'heure sur tous les entiers sauf m égale n égale 0 oui pour les entiers positifs et négatifs donc la cette série Dirichlet a montré déjà qu'elle est absolument convergente pour partir réel de S et plus grand que 1 et ce que dit donc Poincaré c'est que l'application qui a une forme quadratique associée zeta Q de S définit un invariant arithmétique il insiste pour bien dire que jusqu'à présent on ne s'est pas servi que Q était à coefficient entier c'est quelque chose qui est complètement valable par exemple alors que ça devrait rentrer dans ces préoccupations il ne fait pas remarquer que cette fonction a une jolie invariance par rapport à l'action naturelle de SL2Z sur Q et qu'en un sens c'est donc une fonction fucsienne mais pas olymorph mais il n'a peut-être pas passé la barrière de considérer des fonctions non olymorph vu comme fonction de Q on pourrait y penser comme une fonction fucsienne et c'est d'ailleurs une série d'Eisenstein non olymorph mais il ne s'est pas du tout comme ça qui va vouloir en parler donc c'est un invariant arithmétique mais lui il va plutôt que de considérer cet invariant arithmétique en considérer un autre qui est assez proche on va appeler teta Q ou au lieu de sommer la fonction 1 sur X puissance on somme la fonction Q puissance ou Q c'est encore une fois la exponentielle de pi Z où Z est dans le demi-plan de point carré il fait immédiatement remarquer que c'est essentiellement la même chose de considérer cette fonction puisque elles sont reliées par une transformation de Mellin qui est ici donc si je comprends cette fonction je comprends celle-ci mais le point carré préfère largement la deuxième fonction et la raison est la suivante c'est que cette deuxième fonction comme fonction de Z est maintenant une fonction modulaire ou teta fucsienne c'est ce qui montre c'est le théorème c'est donc le théorème suivant dans son papier il montre qu'au moins si on prend le carré de la fonction teta alors on obtient une fonction modulaire de poids 2 pour le groupe non pas le groupe SL2Z mais gamma 0 de 4D c'est-à-dire un sous-groupe d'indices finies relatifs à certaines relations de congruences donc la coefficient C est égal à 0 modulo 4D ou D pourquoi est-ce que tu n'as pas l'humilité transparent avant effectivement D est le discriminant et là D n'est pas le discriminant il y a une solution je peux utiliser une solution pour échapper mais j'assume donc voilà et donc il nous dit l'étude de ce groupe fucsien j'ai très sans doute quelques lumières sur les propriétés arithmétiques des formes quadratiques mais il en dit pas plus il ne poursuit pas ça il se fera attendre si gueule pour vraiment pour que quelqu'un tire le sel de cette remarque il ne va utiliser qu'une version faible en fait de l'automorphy il va utiliser que en utilisant comment est-ce qu'il montre que la fonction de l'automorphy essentiellement il utilise une formule de poisson il utilise un joli argument physique il redémonte la formule de poisson à l'aide d'un joli argument physique et en fait ce qu'il montre plus exactement c'est que la fonction theta thetaq2z c'est égal sur 2 racines de dZ x thetaq2-1 sur 4 dZ donc maintenant si on regarde ça, il obtient essentiellement en appliquant la formule de poisson et c'est de ça que découle la modularité de theta mais ce qui c'est juste sur un point c'est qu'est-ce qu'il se passe maintenant si on fait tendre Z vers le cusp ou de manière équivalente si on fait tendre vers 0 parce que le cusp il aussi bien à l'infini quand 0 dans le pavage de h par gamma et donc il se sert de la modularité juste pour dire que quand y tend vers 0 la fonction theta le long de cette ligne imaginaire devient équivalente à 1 sur 2 racines de d fois y et parce que ça, ça va lui permettre de redémontrer un théorème de Dirichlet et qu'il est en train d'écrire un volume en l'honneur de Dirichlet et qu'il veut montrer que cette fonction fucielle, elles ont quelque chose à dire sur des théorèmes arithmétiques donc le théorème de Dirichlet qu'il démontre c'est le célèbre, la célèbre formule sur le nombre de classes que je rappelle ici dans un cas simple et qui est en fait le cas que Pancaré considère il considère le cas où le discriminant est égal à moins un nombre 1er et même un nombre 1er qui est congrué à 3 modules au 4 et puis il oublie de dire que ça marche pas sur la formule pour P différent de 3 donc on va quand même le marquer donc donc voilà il considère ce cas là et ce qu'il est en train de compter c'est le nombre de classes modules OSL2Z puisque c'est ça qui nous intéresse de formes qualratiques définies positives mais maintenant j'y prends à coefficient entier et puis deux formes qui sont multiples une de l'autre je n'ai pas envie de les distinguer donc je vais supposer que la forme est primitive c'est à dire que les A, B, C sont premiers entre et donc la formule du nombre de classes qu'on écrivait à l'époque de cette manière là parce qu'on n'avait pas peur de parler de ce genre de série c'est juste c'est juste cette formule ou N sur P le symbole de le genre donc évidemment maintenant on dirait plutôt que ça c'est la valeur en 1 de la fonction L de Dirichlet correspondant alors peut-être pour qu'il y ait un peu d'arithmétique et que je conclue là-dessus dans mon exposé et puis pour qu'il y ait une preuve parce que j'ai déjà fait une blague je crois j'ai déjà montré un dessin donc il faut maintenant qu'il y ait une démonstration je vais faire la démonstration de la formule de Dirichlet 1 oh j'en ai fait au moins 2 donc allons-y donc introduisons les choses suivantes on va compter le nombre de façon qu'on a de représenter N par la forme quadratique Q donc Q de XY égale N et puis en fait on veut compter pas juste pour une forme quadratique mais on va regarder toutes les façons de représenter par des représentants de Q dans les différentes classes là qui sont au nombre de H les classes de formes quadratiques définies positives primitives et un lèmme classique qui correspond essentiellement au calcul par exemple de nombre de façons d'écrire un lentier comme somme de 2 carrets qui correspond à regarder les normes dans le corps quadratique imaginaire associé donc ça c'est un lèmme classique qu'il rappelle mais qu'il admets dit que ce nombre R de N c'est exactement égal à cette expression donc ça c'est un peu de théorie algébrique des nombres qui est essentiellement due à le genre ou bosse et il admets ça et maintenant comment est-ce qu'il démonte son théorème eh ben il somme toutes les fonctions theta associées aux différentes formes quadratiques Q dans l'ensemble de représentants S il décompose cette série donc ça revient à sommer sur Q puis après sommer sur les X Y dans Z2 des Q à la puissance Q de X Y mais ça on les baie par paquet ensemble alors évidemment il y a les points correspondants à X égal Y égal 0 ça ça intervient une fois dans la deuxième somme à chaque fois donc on sort le petit tach puis après Q à la puissance N intervient autant de fois qu'on sait représenter N comme somme de comme Q de X Y pour un Q dans l'ensemble S donc on obtient cette série R de N Q puissance N mais R de N on sait ce que c'est donc on remplace et puis après on réécrit la série autrement puisque M divise N et bien N on va l'écrire KM on réécrit que ça comme ça on sort le M sur N et on se retrouve avec une série géométrique et du coup on se retrouve avec cette belle expression qui est ici donc en vous rappelant que Q c'est exponentiel de Z puis Z donc maintenant qu'est ce qu'il fait ? il fait tendre il prend Z égal Y et il fait tendre Y vers 0 le membre de gauche pour chaque Q en fait on avait vu que ça dépendait que du discriminant de la forme la symptotique donc on a H F1 sur 2 racines de P Y quand Y tend vers 0 et de l'autre côté on a une série on a juste Q puissance M sur 1 Q puissance M Q on sait que c'est exponentiel de moins de PI on fait un petit développement limité et on se retrouve avec l'expression qui est ici et donc maintenant ce qu'il y a devant la puissance de Y de ce côté là on a H sur 2 sur racines de P et de l'autre côté on a la valeur en 1 de la fonction Zeta de Directly et ça conclut donc la partie de Poincaré sur les formes correctes définies positives et si vous me laissez une minute non bah non ça ça va pas le coup alors ah j'ai mal utilisé mon raccourci ah je me suis fait piéger par mon raccourci évidemment Poincaré ne s'arrête pas là il passe ensuite aux formes chromatiques indéfinies alors là il aimerait bien aussi faire le même jeu alors ça avait déjà été remarqué par Directly la forme chromatique Q dans ce cas là a un groupe cyclique infini d'un variant d'un variant qu'on appelle d'automorph donc on peut pas sommer comme ça sur toutes les valeurs c'est forcément une série divergente donc une façon c'est de sommer sur moins de termes et donc ça Poincaré décrit ça très attentivement et ce qui est intéressant déjà dans ce papier c'est qu'il le décrit attentivement mais en passant aux corps quadratiques réels correspondants et donc c'est le début d'une vision plus à la éque de ce genre de sommes et ce que je trouve particulièrement surprenant c'est que pour la première fois on va surgir des choses qui en fait il avait déjà considéré en 1881 donc assez jeune et qui sont à ma connaissance c'est une des premières occurrence de ce qu'on appelle les grossomes caractères de Hecke je vais quand même vous montrer ce bout de l'article alors il faut les reconnaître les grossomes caractères mais ça si on garde bien attentivement avec ces lunettes on s'aperçoit que c'est une somme, une série, une fonction L associée à un caractère de Hecke donc là il est temps à l'angle omega 0 la raison est toujours la même c'est qu'on ne peut pas sommer sur tous les entiers sinon la série est divergente et je vais conclure là dessus pour dire que l'actualité point carré alors maintenant en arithmétique c'est plus discutable mais en tout cas en 1977 il y a un article de Zagier qui s'appelle valeur des fonctions de zeta des corps quadratiques réels aux entiers négatifs il ne mentionne pas point carré mais on peut comprendre pourquoi il faut lire cet article il n'est quand même pas si simple mais qui fait exactement le même travail en le poussant un petit peu plus loin et il considère exactement les mêmes séries point carré et il le pousse un peu plus loin puisqu'au lieu de calculer ce qui correspondrait au premier ordre qui correspond au théorème de Dirichlet il calcule des valeurs des fonctions de zeta aux entiers négatifs alors je voudrais finir par cette citation de Godement et comme c'est la dernière je n'ai pas traduit en anglais parce que de toute façon je me disais que c'est vrai que je ne m'en mettrai déjà plus et donc Godement a été interviewé par Martin Engler et Laurent Closel en 2003 sur la réception du programme de l'anglance en France et je trouve intéressant cette remarque donc de Godement qui dit que j'ai rencontré Serre l'autre jour et il m'a dit tiens je me rappelle c'est dans tes exposés au séminaire Bourbaki donc on est en 1951-1954 on les exposait de Godement au séminaire Bourbaki sur les formes modulaires que j'ai appris ce qu'étaient les formes modulaires et donc Godement dit non j'ai été le premier à en parler c'était totalement inconnu les gens avaient complètement oublié qu'il y avait Poincaré qui et que et j'ai l'impression qu'effectivement c'est à peu près ce qui s'est passé c'est que Poincaré et que enfin surtout Poincaré en un sens on a assez rapidement récupéré et que parce que c'est écrit quand même dans un style peut-être plus proche c'est un des nombres acceptes mais il y avait donc déjà beaucoup chez Poincaré voilà ok merci Nicolas est-ce qu'il y a des questions ? sure there is a question because if there is not it's the chairman's role to ask a question and this we do not want to noooon ok but since you have made so many bad jokes so oh yes non c'est une chose que tu ne veux pas poser de questions mais de là à insulter les blagues ok so many good jokes yes here is a question which could pass as a joke that Poincaré is also anticipates Monty Python because it's all the time saying oh now for something completely different yes you're right do you think that Monty Python plagiarise Poincaré here yes ok but not a serious question should André Vait have said more and better things about Poincaré and if the answer to that is yes why did he not where was he coming from that gave him a different perspective I doubt André Vait a really read that kind of paper I really think that Godmore is right when he said that modular form in some sense were renewed in the 50s the of course a new acre that's maybe one of the few people really new acre at that time but I don't think he knew exactly what Poincaré had done in that subject for example the usual proof that Poincaré series generate the cusp form is by Peterson inner product this is really not in the way Poincaré think there is no structure no at that moment it's quite hard to read what exactly Poincaré is doing and there is absolutely no motivation the only so I think most people coming from arithmetic reading this paper of 1905 they just wonder ok he's giving a new proof of this formula and in fact the proof is not really new it's a slightly different viewpoint but I think the important thing is that this slightly different viewpoint is the modern viewpoint is the way your automorphic form until the subject but there is no good question to end up it's very naive about arithmetic in some sense Poincaré because it proves that Poincaré series generate a gift cusp form he knows that there are no cusp form ok this gives a very nice arithmetic identity but who cares about such kind of arithmetic identity I think he doesn't know what are the good question in arithmetic he just know how you should solve the problem in arithmetic other questions, comments or jokes I have one I'd like to come back to this part in which you suggest that maybe Poincaré is precursor or something like this how speculative is your interpretation I'm sure that's what he tries to do in that paper he tries to say that automorphic form for him function and series should be used in arithmetic it's the same point as Jeremy said in his talk usually modular equation you just look at it for SL2Z and in particular cases but there is group structure behind and all this should shed light on arithmetic but again I don't think he knows where the light should be pointed that's the point ok thank you very much let's make a break and we meet again at about