 C'est l'organisateur de l'organisateur, je suis très heureux de commencer. Nous parlons du spectrum de graphes fondamentaux, et en général, nous tenterons de comprendre les connections subtiles entre la géométrie du graph et le spectrum. Ce serait un spectrum de quoi ? C'est le spectrum de l'opérateur local qui est naturellement defini sur le graph. Aujourd'hui, je vais introduire des notions basiques et le set-up. Demain, nous allons étudier quelque chose qui s'appelle la percolation spectrale. Nous allons regarder à comment le spectrum est perturbé par les graffes fondamentales. Les graffes fondamentales peuvent être formées. En cours dernier, je vais parler des graffes spectrailles et des outlays et des valeurs extrêmement alignées des graffes. Aujourd'hui, ce sera le set-up. Vous avez un set de graffes, un set de vertices, un set de graffes fondamentales et un set de graffes fondamentales. Notre graffe sera localement finie, ce qui signifie que pour toutes les vertiges, le niveau est finie, c'est le numéro des graffes fondamentales, c'est l'indicateur des graffes sur toutes les vertices. Pour la simplicité de notation, mon graffe sera simple, ce qui signifie qu'il n'y aura pas de loops ou de multiples edges. C'est un multiple edge, x et y. C'est un loop. Vous pouvez les ajouter par changer ces notation. Mon graffe sera localement finie, ce qui signifie que le niveau est finie pour toutes les vertiges. Quand vous avez un graffes localement finie, vous pouvez définir l'adjacent sur l'opérateur, et beaucoup d'autres locales ont la société pour votre graffe, donc l'adjacent sur l'opérateur. Vous avez le graffes des vertiges de l'indicateur L2, et vous regardez le vector finiement supporté sur l'opérateur L2. Vous définissez cela comme ça, mais pour toute la fonction, ce qui est supporté compactement, c'est que l'adjacent sur l'opérateur L2 sera le summe des y, ou les y qui sont connectés à l'adjacent, ce sera la notation de l'adjacent sur l'opérateur L2. Et dans une notation matrique, si l'adjacent sur l'opérateur L2 est une base canonique de L2, vous avez écrit que l'adjacent sur l'opérateur Ex est une base canonique avec l'adjacent de l'adjacent de l'acier, il est une base canonique avec l'adjacent de l'acier, et l'adjacent sur l'opérateur X est connecté à Y, et ce c'est en effet de l'adjacent sur l'opérateur L2 parce que l'adjacent sur l'opérateur de L2 est finit, vous pouvez vérifier ça très facilement. Le autre simple propriété, Si vous regardez, donc on s'appelle A of xy, A k of xy est simplement le nombre de works de xy de lengths k. Donc, le pouvoir de l'opérateur de l'adjacent, encode la fonction d'account de works dans votre graph. Ok ? Je dois définir ce que c'est le travail, donc c'est une séquence de vertices et de succèses vertices qui sont connectées par une haine. Excusez-moi, je l'ai expliqué il y a quelques minutes, mais qu'est-ce qu'il y a entre l'A2 et l'A2 ? C'est finalement supporté par les vectors de l'A2 et de l'A2. Ok ? Et si mon graphiste est simple, donc il y a un sens qu'il n'y a pas d'orientation de l'A2, donc l'A est symétrique. Ok, donc pour regarder les propriétés spectrailles, pour exemple, si l'A2 est finie, ok, donc l'A est... Vous savez que l'A va admettre une normale base de vectors de l'agent, donc vous pourrez pouvoir évoquer l'A avec le psi k, psi k star. Ok ? Où le psi k est l'autonormale base de vectors de l'agent et le lambda k est l'agent de l'aventure de l'A. Ok ? Et vous pouvez le faire comme ça, où l'A est lambda, où l'A est une mesure de projection, qui s'appelle la résolution de l'identité, c'est le summe du psi k, psi k star, direct mass à lambda k. Ok ? C'est appelé la résolution de l'identité, donc c'est une projection spectralle. Alors, E, si vous réagissez le nom à un set IN, c'est simple, c'est l'autonormale projection aux vectors espagnoles sagaux avec l'agent et l'aventure de l'aventure de l'aventure de l'aventure du psi k les aimer dans l'A. Ok, donc c'est l'autonormale projection des aimer sur l'aventure de l'aventure de l'aventure. Ok, alors je l'ai traduit dans un mot compliquant, vous le verrez pourquoi. Parce que si, dans le cas général, cette résolution de l'identité fait encore le sens, que votre opérateur A soit self-intrainte. Je vais commenter cela en 1 seconde. Donc, être symétrique n'est pas suffisamment d'être self-intrainte. Par exemple, A peut être boundé. Peut-être que je pourrais rétablir ça. Si l'intrainte de X est boundé par D pour que l'intrainte de X soit V, l'opérateur norme A est boundé par D. OK ? Comme l'opérateur norme. Par exemple, si l'intrainte de X est boundé, l'opérateur est un opérateur symétrique boundé, il est self-intrainte. Quand l'intrainte n'est pas uniformement boundé, il y a des exemples de crânes qui n'ont pas de self-intrainte unique. C'est-à-dire qu'il y a une extension unique. Si A est self-intrainte, vous pouvez toujours... vous pouvez aussi... A sera aussi uniformement... uniformement équivalent à l'opérateur diagonale. Il a un domaine. Je ne vais pas poser ces notions. Si vous ne l'avez pas connu, vous ne l'aurez pas. Vous ne les avez pas connu. Vous pouvez toujours... vous pouvez toujours écrire A comme une idée de lambda, où est la résolution de l'identité dont je ne dirai pas. C'est la même idée. C'est une projection spectrale sur les spécifiques. Si vous n'avez pas déjà vu ça... C'est bien. Nous ne allons pas utiliser ça. Ce que nous allons utiliser est ce qu'on appelle la mesure spectrale à la vector. Donc, si vous avez une vector... Oups! Si votre opérateur est essentiellement safe, il existe une mesure unique. Le moment de cette mesure... Je vais le démonter comme ça. Mu G of Psi est équal à la production scolaire de Psi avec respect aux pouvoirs de A.K. pour A.K. Ok? Cette mesure... On va voir en exemple. Qu'est-ce que c'est? Cette mesure... Si vous croyez à cette formule, vous pouvez mettre un K ici et un K ici. Et... Si vous trouvez que Mu G cette mesure spectrale, si vous êtes familiar avec la résolution de l'identité, ce sera simplement la projection de la vector Psi sur la... sur la... sur la vector spécifique EI. Ok, donc... dans le cas final, on a vu que ce sera simplement le summe de Psi K de Psi squared. Ok, donc dans le cas final, Mu G Psi est simplement le summe de Psi K. Quoi? Quoi? Non, nous avons besoin de ça. Si on appelle le domaine d'A, d'OA, ce sera vrai pour une Psi et d'OA. Par exemple, si l'opérateur est bondé, c'est vrai pour... quand l'opérateur est bondé, d'OA, c'est juste L2OV. Donc ce sera pour une E. Mais je veux mettre sous le carpet ce... issue avec les domaines. Donc... Par exemple, le... le... le transformant de Cauchy peut-être, j'ai dit ça aussi. Si... si Psi est normalisé, Mu G de Psi est une mesure de probabilité. Donc on va être intéressé par l'entraînement de cette mesure de probabilité. Un autre point est que de cette définition, si on applique de Psi, ce qui est EOX, les moments... Si vous regardez... si vous regardez Psi, ce qui est EOX, les moments de Mu G sont simplement le nombre de walks de lengths K de X à X. C'est close. Ok, donc cette mesure encode walks de walks dans la graffe en commençant à X. Comme je l'ai dit, donc les moments sont les pouvoirs de A, donc ce que Cauchy transforme, donc si vous regardez, par exemple, l'intégral de lambda minus Z, de z, l'imaginaire part de z, le Cauchy transforme de cette mesure de Psi, c'est simplement que vous regardez le résultat de A, estimé de Z, et vous regardez le résultat de Psi. Ok, une autre commande, si quand V est finie, ok, et si vous regardez la summe, donc, si vous regardez la summe de... si vous regardez l'avantage spatial de la mesure spectrale et de la vectorité, ok, donc l'avantage spatial de la mesure spectrale et de la vectorité contre, et l'avantage spatial de respect à la base canonique, vous appliquez cette formule, donc c'est la summe. Ok, donc vous switchez les deux sums, et depuis l'Ex de la base de la base neutre, et l'Ex de la base neutre, ce que vous arriverez, c'est simplement la summe de la whole K de la delta de la K. Ok, ce qui est la distribution empirique de valeurs africaines. D'accord? Ce qui est aussi appelé l'avantage de la mesure spectrale. Donc, parce qu'on obtient l'avantage spatial de cet avantage de la mesure spectrale, et dans la communauté physique, parfois, c'est généralement appelé à la limite de la graisse de la graisse de l'infinité à la densité des étates. Ok, donc cette mu G de l'Ex, si vous regardez la graisse finale, ça dépend de l'avantage spatial et de l'avantage spatial de la mesure spectrale. Mais, quand vous obtenez l'avantage spatial de la mesure spectrale, ça ne dépend de l'avantage spatial de la mesure spectrale. Donc, l'avantage spatial de la mesure spectrale est beaucoup plus facile de comprendre que la mesure spectrale de la mesure spectrale. Donc, nous verrons cela beaucoup de fois dans cette course. Donc, en particulier, si vous avez une graisse finale, nous défendons la mu G comme un objectif. Ok? L'avantage spatial de la mesure spectrale de la graisse. Donc, nous serons intéressés par cette mesure Vous pouvez faire des computations si vous regardez la mu de la mesure de la mesure de la mesure. Ok? Cela sera vous pouvez le faire. Cela sera le summe de 2 cos de 2 de 5K ou de 1K. Ok? Parce que sur l'adjacente matrix, vous pourrez le faire comme S plus S star où S est le permutation matrix de la graisse. Ok? S et S star commutent. Donc, c'est une maitresse unitaire. Ok? Vous pouvez vérifier. Ok? Vous pouvez faire une simple computation comme ça sur les graisse finales. Et, comme N va à l'infinité, cela convertit en weekly pour la distribution arc-sine. Ce qui est 1 over pi 1 over square root de 4 minus square indicator que la graisse est plus petite. Vous pouvez faire la ligne finite. La ligne finite. L'exercice. Et, cela convertit aussi comme N va à l'infinité. Pour voir si N est une distribution arc-sine pour N. Ok? Donc, ce qu'on veut faire c'est qu'on veut construire cet aspect. Donc, sur la graisse finite, on a construit un objet. C'est un major aspect qui a une bonne propriété pour dépendre seulement de la valeur eigenes et non de la vector eigenes. Nous voulons faire le même sur l'infinité. Donc, le premier set dans lequel c'est simple à faire c'est des graisse transitive. Donc, je vais le faire pour K. Qu'est-ce qu'il y a? Je n'ai pas utilisé la graisse. Donc, la graisse qu'est-ce que c'est? Tu prends la graisse finite générée. Ok? Et tu prends un set simétrique de générateurs. C'est simétrique, c'est-à-dire que s-1 c'est s. Je vais utiliser la notation multiplicative pour la coopération. Et maintenant, tu peux définir la graisse de x associé à un set de générateurs s. Donc, c'est une graisse. Ok? Donc, le set vertex est l'élément de la coopération et tu mets un h. C'est un set de h. Tu prends un set comme ça, j'ai besoin de voir quelle convention j'utilise. x-1 est en s. Tu prends un set de pairs x, y comme ça, y-1 est en s. Ok? Donc c'est tu prends un set de pairs de la forme x g ok, gx g c'est un set simétrique et x est en s. Ok? Donc, pour exemple, cn le cycle de lengths n c'est une graisse z over nz avec la générateur plus n-1. Ensuite, tu peux mettre l'opérateur d'adjacent. L'opérateur d'adjacent tu peux le faire comme un opérateur de convolution. Tu peux le faire comme le summe de la lambda g où la lambda g est dans le set de génération. La lambda est la représentation légère. Donc, c'est simplement la présentation. Je l'ai écrit. Donc, c'est simplement l'opérateur de multiplication lambda g de on dirait ex c'est simplement e gx Ok? Donc, a est un opérateur de convolution et l'opérateur d'adjacent est un élément de l'algebra qui est un opérateur d'algebra qui est appelé le groupe de l'algebra qui est l'algebra générée par cette lambda g pour l'algebra qui est l'algebra de l'algebra du groupe. Donc, c'est aussi l'algebra de opérateurs de l'algebra d'ex qui sont invariés par la multiplication sur la droite ok? qui commute parce que par la multiplication sur la droite la multiplication sur la gauche et sur la droite ils commutent et pourquoi je vous mentionne ça? Ok et donc c'est et puis vous pouvez définir ce que c'est le planche-rel-measure donc pour nous, vous êtes seulement intéressés par cet opérateur et le planche-rel-measure c'est simplement que vous regardez ceinflation par exemple si si non oui des x parce que ceci x ça sera ça va être hyzomorphique j'ai pas changé par anything vous n'avez pas mais VG transitive Et en particulier, le nombre de pièces ne dépend pas du point que tu prends. Et c'est appelé le Planche-Helle-Méjeure, le nom de l'autre. Et si votre graphisme est finit, ces deux définitions coïncident. Ok. Donc, bien sûr, maintenant, vous pouvez... C'est un 3. Vous pouvez faire des computations. Donc, mu of z, c'est simple. C'est un arc-sign. Ok. Vous pouvez aussi... Par exemple, si vous regardez le mu of z, d, ce qui est un produit tensor, ce qui est un produit cartesian de z, ce sera la convolution des copies d'un majeur spectraal de z. Si nous ne sommes pas familiar avec le spectraal de l'impini-graph, nous pouvons prendre la définition du majeur spectraal de l'homme avec le nombre de pièces et dire qu'il existe un majeur avec ces moments. Oui, donc si vous n'êtes pas familiar... Vous pourriez prendre la définition ou... Oui, oui, oui. Vous pouvez définir, comme je l'ai dit, c'est un peu de parenthèse. Si le graphe de votre graphe, si le bol n'est pas trop rapide, il y aura un majeur unique, comme ça, les moments, les encodes, le nombre de pièces, il y aura un majeur unique qui sera satisfait et qui peut être votre définition. Et pour exemple, pour vérifier ces formules, vous pouvez juste regarder la fonction généritée de clôtures en z, en z, d. Et c'est un moyen de prouvoir. Un autre moyen, c'est d'occuper des transformations stigiaires. Parce que la transformation stigiaire est juste la fonction généritée de... Mais si vous assumez que le majeur est abondé, le fait qu'il existe un majeur avec ces moments, vous avez besoin d'un spectraal, ou vous pouvez le faire par la main ? Non, non, vous pouvez le faire par la main, si vous juste vérifiez. Donc, le fait que ce n'est pas trop rapide, est-ce que c'est trivial ? Donc, il y a des positifs que vous avez besoin de prouvoir, mais ce n'est pas ça. Il va s'y relâcher sur la symétrie de l'opérateur A. Ok, donc, une grande coopération, comme un produit cartagéen ou un produit tensor, vous pourrez pouvoir, si vous avez un produit cartagéen entre deux graphes, le majeur spectraal sera l'opérateur de l'opérateur de l'opérateur. Vous pouvez aussi faire d'autres types de produits. Les copies d'opérateurs A, ça serait l'opérateur libre. Et quand vous avez trois produits de groupes, la majeure spectraale n'est pas la convulsion normale, mais il sera l'opérateur libre de la majeure spectraale de Z2. Si vous savez ce que l'opérateur est libre, une mu ou une z2 est simplement la… Donc, c'est une vraie convolution de copies d'une variable Bernoulli. Mais si vous ne savez pas ce que c'est une vraie convolution, c'est bien. Ah, j'ai oublié quelque chose important. J'ai quelques notes de lecture, exactement sur ça, sur ma page web, où tout est crystal clear. J'espère. Vous allez le trouver sur les notes de lecture, et puis c'est appelé spectraalme fondamentale, ou quelque chose comme ça. C'est-à-dire que la 2D régulâtrie est en train de… Donc, la 2D régulâtrie serait la… serait la 3D producte de copies d'une z. Mais si tu prends une z ou deux z, c'est… Ok, donc tu peux dire si c'est d'une z. Si c'est d'une z, c'est aussi la 3D producte de copies d'une z. Et pour l'exemple, l'arxie en bas est la 3D convolution de deux copies, de deux variables de Bernoulli. Ok. Ok, donc je ne vais pas beaucoup plus dans l'explicit computation. Peut-être qu'à la fin, si j'ai le temps, je vais faire une compétition fantastique. Parce qu'il y a… Comme je l'ai dit, il y a des exemples où un important point est que la mesure spectrale dépend très fortement du set des générateurs. Ce n'est pas quelque chose qui seulement dépend du groupe. Donc il dépend du set des générateurs et du groupe, et du set des générateurs. Il y a des exemples de… Donc si j'ai le temps, à la fin je vais faire cette compétition. J'aimerais aussi. Je vais définir le groupe Lampleiter avec un set de générateurs exotiques. Grigor Chouc et Zouk, 2001. Ils prouvent la mesure spectrale, la mesure planche, la mesure spectrale de cet groupe avec un set exotique avec un set exotique de générateurs. C'est purement atomique. Grigor Chouc et Zouk ont trouvé un exemple d'une mesure purement atomique avec une mesure spectrale. Ok ? On a l'infinite graphe, évidemment. Et si le temps… Et si il y a un léneur, le noyau et le verse, ils ont donné un très bon prouve de ce Grigor Chouc et Zouk. Ils ont dit que les groupes Lampleiter avec un set exotique de générateurs sont liés à les grapheurs de percolation. J'espère que je vais avoir le temps de faire la compétition d'explicit, sinon je vais le faire dans l'exercice. Ok. Maintenant, je veux continuer et définir que je suis plus intéressé par les grapheurs d'un instant. Donc, je veux externer cette notion de mesure spectrale, une mesure spectrale pour des grapheurs qui ont une stationnalité, donc, les grapheurs qui seront unimodulaires. Alors, let's start. Donc, c'était la grapheur de Lampleiter. Qu'est-ce que je peux faire pour retenir ça? Ok, je vais utiliser… Ok, donc, oui, et avec un autre set de générateurs, c'est le grapheur de Lampleiter. Avec un autre set de générateurs, avec le set naturel de générateurs, vous obtenez une mesure qui continue. Donc, les grapheurs unimodulaires, ce sera un autre set. Je veux dire, ce sera un genre de set de générateurs qui incluiront ces grapheurs calés et ces grapheurs finises dans lesquelles nous pouvons faire sens d'un objet, une mesure spectrale navière, qui a un sens. Ce n'est pas important pour les grapheurs de Lampleiter. Ok? Donc, comment est-il? Donc, premièrement, je dois définir rapidement. Donc, un grapheur routier. Qu'est-ce que c'est? C'est une collection fabriquée par un grapheur connecté et un vertex distingué. Ce qui s'appelle la route. Ok? Donc, j'insiste sur le grapheur connecté. Et ensuite, vous pouvez définir un équivalent, comme pour les grapheurs habituelles, vous pouvez définir un classe d'équivalent si il y a une bijection entre ces deux grapheurs, qui sentent le vertex de l'un à l'autre et qui préserve les grapheurs de l'un à l'autre. Vous pouvez définir une classe d'équivalent entre les grapheurs routiers par exemple, les grapheurs routiers sont équivalents si il existe une bijection entre le vertex de l'un à l'autre et le vertex de l'un à l'autre ainsi que le sigma de l'un à l'autre est le sigma de l'un à l'autre Ok? Donc, les grapheurs de l'un à l'autre sont entre les grapheurs de l'un à l'autre et qui sentent la route de la grapheure de l'un à l'autre de la grapheure de l'un à l'autre Je veux dire que le sigma de l'un à l'autre est simplement un sigma de l'un à l'autre sigma de l'un à l'autre Ok? Donc, quand vous avez cette notion d'équivalent vous pouvez définir Donc, c'est une classe d'équivalent c'est ce qui s'appelle une grapheur de l'un à l'autre Ce que vous avez perdu c'est juste le nom de l'index de l'un à l'autre Ok? Et vous pouvez, depuis que vous avez des grapheurs de l'un à l'autre vous avez une origine qui est la route donc vous pouvez définir une topologie locale Ok? Donc, vous pouvez définir la distance entre deux grapheurs deux grapheurs de l'un à l'autre ou une classe d'équivalent des grapheurs de l'un à l'autre Donc, je vais être loussé et faire la confusion systematique entre une grapheur de l'un à l'autre et une version de l'un à l'autre Donc, c'est la distance entre... donc, on s'appelle la classe d'équivalent des grapheurs de l'un à l'autre Donc, si G, O G prime O prime G prime G prime vous définissez une distance par exemple, je vais dire qu'il y a des clés si autour de la large pole autour de la route il y a des isomorphiques donc, le indicateur le summe par exemple, vous pouvez prendre une distance de 2-K indicateur donc, cette notation pour dire que c'est un grapheur spané par la distance de la distance au moins K non au moins K de la route Ok? C'est ce que je veux dire non uniquement Donc, on définit la distance sur G star donc, on définit le local de la topologie local, parce que c'est définit c'est un peu c'est définit sur les boules les boules finnées autour de la route de la route et G star avec cette distance c'est un espace de police qui est un espace complet donc, vous êtes dans un bon état pour étudier les mesures de probabilité sur G star et avec la distance qui sera la distance la leve donc, la distance de une distance de la topologie associée à la distance D Ok? Donc, ce sera un espace de police et donc, un élément de rôme dans cet état dans la route de G star c'est une ronde route Ok? Donc, jusqu'à maintenant ce n'est rien qui s'est passé puis Benjamin and Schram en 2001 ils donc, cet état était proposé par eux mais les idées importantes c'est que quand j'ai un graphe un graphe finiel je peux associer un élément dans la ronde de G star donc, tu prends G un graphe finiel et tu as besoin d'une ronde de G comme étant donc, je vais l'élever dans deux manières c'est la ronde de tu prends Oh uniforme tu prends une vertex distribuée on tu le routes à un point uniforme sur le set de vertices de G et tu regardes le component connecté G de X c'est le component connecté de X dans G et donc, tu regardes ça dans le monde c'est 1 sur V somme sur All-X en fait de la masse directe Ok? donc, tu prends ce que tu fais tu as un graphe finiel et tu as associé avec une mesure de probabilité qui est obtenue par la ronde de G uniforme pour exemple donc, tu as perdu des informations sur le graphe tu as perdu des informations sur le graphe par exemple, si G c'est imagine que c'est votre graphe Ok? ce que tu as de G sera il sera 4 par 7 par la masse directe plus 3 par 7 non, plus 2 par 7 une masse directe ce que tu as fait plus 1 par 7 une masse directe donc, tu as perdu des informations tu as perdu les labels mais tu as aussi perdu des informations sur les components connectés Ok? donc cette mesure de G de UFG a eu une très belle propriété ici, c'est unimodular donc, tu prends une mesure de probabilité sur le graphe c'est unimodular F Ok? donc, tu as défini G-star donc, tu as défini G-star-star ce qui sera un label un label double iroutique pour toute une mesure donc, ce sera double iroutique un label double iroutique donc, c'est une fonction qui prend un graphe et deux vertices et qui est invariant par qui est invariant par par un label de la haine c'est un autre moyen de le mettre donc, si pour une fonction comme ça donc, pour ça on va le prendre positif tu as cette qualité donc je vais prendre l'expectation de la haine pour dire que je prends l'expectation de quelque chose où l'expectation est en train de respecter cette mesure de haine la haine sur toutes les vertices dans mon graphe de F de G O X donc sous la haine G O par la haine ok? c'est equal à l'expectation de la même chose de F de G X donc, cette notion de la haine c'est un principal transport de la haine si tu penses de F G U V de la haine de U V il dit que l'amount de la haine que la haine que la haine que le reste du graphe de la haine est equal à l'amount de la haine que la haine recue c'est un principal transport de la haine et la haine de G est unimodulée pour prendre un graphe finitif la haine de G satisfaite la haine Comment peux-tu réaliser la haine de G O X comme un graphique différent de la haine de G? Comment peux-je réaliser? La haine de G O X est un élément de G C'est un élément de G Donc, dans cette notation donc la haine de G est une grande haine dont la haine de manches est une grosse velle maintenant je summa mauvaise velle д palais לך V est un esprit vertex g וה Junqu demais liens par l'ex de la haine G Donc F est défini à une getto de star, star mais quand je düşże firstly C'est un graphe d'ondomotie. Il a des vertices, donc je peux prendre f de g de uv. C'est juste que la perte est formée par la vertex et la route en roule de distribution. La perte est formée par le graphe et la route en roule de distribution. La notation est un peu confusée. Je le jete un peu. Je vais voir ce que... Si vous avez... J'ai dit que l'UFG est un modular. On va dire ça. Il y a cette expression sur le côté gauche. On va dire qu'il y a un cardinal de V. Il y a un cardinal de V. Ce sera le summe. Je prends une sample de route uniforme en rondom. Donc le summe de... Donc c'est ma expectation en respect à la route. F de g de y, yx. Parce que quand je sample la route, je prends la route y. J'ai ma perte g. Je vous le racontez. C'est la perte de g. O est uniforme en rondom. C'est g de y, yx. C'est ce qu'il y a sur le côté gauche. G de y est un component connecté de g. Ce qui contient y. Ok? Mais g de y est equal à g de x. Si x et g sont connectés. Si x est connecté. Si x est connecté au component de g de y. Ce qui est sur le côté gauche. Parce que... ok? Donc c'est... Donc vous pouvez le réécrire comme le summe de ça. Le summe de y correspond à g de x. F. C'est une exposition sur le côté gauche. Sur le côté gauche? Ah, ro, ro. Sorry. Et donc cette expression est exactement la exposition de 4 sur le summe de y de x. F. G. Donc en fait c'est le seul exemple de la mesure que l'on sait. Pourquoi il dit ça? Pourquoi il dit ça? Vous définissez un set de u de g. G de finite. Et vous le fermez. Pour cette localité. Et c'est un set de mesures saufiques. C'est la définition. Ro est saufique. Si ro est saufique, c'est saufique. Si c'est une limite locale de finite, c'est saufique. Ok? Donc le set de graphes unimodulaires est fermé. Donc il se contient dans le set de mesures unimodulaires. Mais nous n'avons pas un exemple d'une mesure unimodulaires qui n'est pas saufique. C'est ce que je disais. C'est le seul exemple de graphes unimodulaires que l'on sait. Pour exemple vous pouvez... Et si u g une autre définition si g est finite, gn est finite. C'est la seconde de graphes finites. Si u gn converge dans cette topologie, dans cette topologie locale de ro. Ok? Donc bs est pour Benjamin Ischram. Et ro sera par définition saufique. Ok? Certaines exemples rapidement de Benjamin Ischram limites. Donc si u gn si u g Ok? Cn est Benjamin Ischram limites. A dirac mass à z centrale à 0 h. Ok? Et en rond, en grosses larges, on ne verra pas le cycle. On verra juste z. Donc si u gz zd et vous intersez la boîte, c'est Benjamin Ischram limites. A dirac mass à zd centrale à 0 h. Si vous faites le site percolation donc vous gardez chaque site ou le site percolation, vous gardez l'aide avec probablement l'EP. Et c'est Benjamin Ischram limites. Donc c'est random, c'est presque certain. C'est random graph. On va avoir Benjamin Ischram limites. Le low de de vous regardez le graph de percolation dans zd avec paramètres p. Vous regardez le component connectant qui contient l'origine. Si vous faites d'exemple le binary tree de teps n mu de tn, sorry, on va avoir Benjamin Ischram limites qui on va prendre un tricot régulier de teps n. Le Benjamin Ischram de tn ne sera pas l'infinité régulière. Parce que quand vous samplez une vertex uniforme à random, vous êtes probablement plus proche que le Benjamin Ischram limites qui est quelque chose qui s'appelle le canon p. Graph je pense que le monde vient de Isenman et Varsal. C'est 12? C'est 12? 1 an. Ce qui est un tricot régulier que j'invite vous à décrire. En fait, beaucoup de graphes ont un tricot régulier de tricot régulier. Par exemple, on dirait qu'il y a une famille d'infinites graphes de random. Un autre tricot régulier un autre tricot régulier avec n vertices et c over n vous avez n vertices et vous avez un tricot régulier d'indépendance, c over n. Il y aura presque un limit Benjamin Ischram limites qui sera un tricot de Galton Watson avec poisson de distribution. un tricot de Galton Watson avec poisson de distribution. Ce qui, par contre, implique que ce tricot de random est unimodulaire. C'est un bon exercice pour vérifier directement que ce tricot est unimodulaire. En fait, toutes les secondes d'indépendance de la finie graphes ont un limit de Benjamin Ischram. Par exemple on peut juste dire que la seconde de Gn est précompact si pour quelque fonction f comme ça f over x over x va à plus infinity pour la somme, si vous regardez les degrés de x la sequence de degrés est uniforme et intégrable votre sequence est précompact pour ce limit de Benjamin Ischram donc toutes les familles de graphes que vous venez avec qui n'ont pas trop d'indépendance ont un limit de Benjamin Ischram ou des limites sub-séquentiales Ok donc peut-être que maintenant je reviens au spectrum non c'est un c'est un limites donc précompact, c'est-à-dire c'est compact ok et un criterion suffisant pour être précompact pour une seconde de finie graphes pour être précompact dans le sens de Benjamin Ischram c'est d'avoir ces degrés uniformement bondés précompact c'est-à-dire c'est-à-dire c'est compact j'ai perdu vous c'est-à-dire c'est-à-dire c'est-à-dire c'est-à-dire c'est-à-dire c'est-à-dire si vous avez votre faible fonction qui satisfait ça si votre graphe sera précompact si il y a une fonction f qui va à l'infinité plus vite que la x comme ça donc d'une autre façon votre séquence sera précompact si la sequence de dégrés est uniforme et intégrable c'est la vallée pousse un critérien uniforme et intégrabilité ok donc de retour de retour de retour ah j'ai oublié de dire quelque chose ok trop bas de retour il y a j'ai parlé de la mesure spectrale donc vous définissez si Ro est un module un module c'est-à-dire p g star vous définissez mu Ro comme l'expectation de mu g ok donc c'est si Ro et Ro c'est-à-dire si l'opérateur de g est un joint et si cet objectif est existé j'ai pu prendre un avantage il y a une mesure spectrale ok donc il y a 2 claims il y a un théorème de Nelson de 74 qui dit que le conséquence de la théorème de Nelson est de 74 un conséquence que si Ro est un module Ro est quasiment sûre A est essentiellement la saison donc quand vous avez une mesure unimodular quand vous avez une mesure unimodular vous vous vous l'opérateur d'adjacent est toujours toujours un joint self-adjoint donc ça, en particulier, toujours existe et la raison derrière ça la théorème de Nelson est de parce que quand vous avez une mesure unimodular vous pouvez associer j'ai mentionné ce groupe d'Algebras il y a un analogue de ce groupe d'Algebras mais vous pouvez associer avec une mesure unimodular mais je ne vais pas dire plus que je n'ai pas assez de temps donc ça signifie que c'est un bon framework et cette définition contène toutes les définitions prévues de mu de g c'est simplement mon formulae c'est mu de g et si g est un kelly un direct mass à g roté d'adjacent unimodular et mu de g, et encore un mu de direct mass c'est mu ok, donc il y a une autre théorème c'est si gn a été jaminé donc c'est une seconde de fin de graph c'est jaminé et rhum puis mu c'est la dimension de distance entre mu de gn et mu de rhum va à 0 c'est la dimension de distance entre les deux mesures c'est l'infinité de la fonction partition c'est colmogorov-spirnov donc la distance de colmogorov-spirnov c'est la convergence des atomes donc cette théorème c'est probablement on peut le créditer probablement pour Abert au moins pour l'atomique on le verra la corollerie de ça est que si rhum est un système si rhum est unimodular c'est sophique et mu de rhum de lambda est positif puis lambda est un réglage algébrique parce que en termes de fin de graphes il y a des zéroes de la polynomial caractéristique l'intagère l'intagère monique l'intagère polynomial donc les atomes de fin de graphes ont l'intagère algébrique l'intagère algébrique c'est même un réel l'intagère algébrique l'intagère algébrique signifie que tous les conjugates de lambda sont aussi l'intagère algébrique donc si vous trouvez l'intagère unimodular qui n'est pas un intagère algébrique vous avez prouvé que ce n'est pas un intagère unimodular un autre corollerie c'est que si pour n large enough g n a à moins delta n distingue des valeurs puis n g n a mu c'est continu si vous regardez la masse totale de la partie continue c'est à moins delta et encore, c'est un exercice, mais c'est basé sur le fait que quand vous convergez dans le sens de l'intagère graphique vous convergez, les atomes convergent donc nous allons prouver ce theorem si l'intagère serait mu of g n converges de mu of rho, il serait très facile donc, on assume pour la simplicité que les degrés sont uniformes puis le moment est simplement le nombre de chaussures par la définition le nombre de chaussures de la route de la ligne k c'est une fonction de g ça seulement dépend de la graffe à fin de la graffe spanée par vertices à la distance de la ligne k donc c'est une fonction de ce local et c'est boundé parce que la graffe est boundée par theta ou par k parce que je l'assume que mes degrés sont boundés donc vous avez une fonction continue donc ça implique que ça implique que ça intervient que l'expectation de ça qui est le moment de case d mu rho converge d mu of g n va converger à mu rho une semaine va converger au moment de cas donc ça implique que l'expectation de ça c'est une convergence pour une distance plus forte qui est la graffe de colmogorov si vous voulez vérifier que mu n vous avez une vraie image et si vous voulez vérifier que mu n converge à la graffe de colmogorov c'est l'équivalent de vérifier que pour une lambda les atomes convergent c'est à dire que la graffe de colmogorov converge donc la graffe de colmogorov on l'a déjà fait parce que la convergence de moments implique une convergence au moins pour les graffes de boundés et nous devons vérifier la convergence des atomes et il y a donc de l'expectation de l'expectation de l'expectation de l'expectation de la graffe de colmogorov de l'expectation de lambda donc quand je dis mu g de lambda je dois faire le soupe de lim de l'expectation de lambda est boundé par mu rho de lambda et le soupe de lim de mu g n de lambda minus epsilon lambda plus epsilon c'est au moins mu rho de lambda minus epsilon lambda plus epsilon plus epsilon qui est plus grand que mu rho de lambda donc les statements que les atomes convergent sont impliquées dans la lemma qui est à cause du loup qui dit le suivant mais pour lambda et theta il existe la fonction continue delta donc qui dépend de lambda et theta c'est que delta de 0 est 0 et pour chaque graffe finie pour chaque graffe finie g avec degrés en g boundé par theta mu vous pouvez bounder la masse de l'intervalle de l'épsilon entre lambda par la masse de l'atom à lambda plus delta de epsilon donc si vous buvez cette lemma vous allez obtenir la convergence de l'atom parce que vous saurez que mu g de lambda minus epsilon c'est boundé par mu g de lambda plus delta epsilon donc vous avez l'inéquité dans le sens donc c'est un beau lemma donc pour général lambda Abert a trouvé la preuve je vais faire la preuve pour lambda equal à 0 et a trouvé le delta c'est une ligne les dégrés sont uniformes pour toutes les graffes au début oui c'est juste pour éviter si vos dégrés ne sont pas uniformes et vous voulez prouver ce terrain vous devez en faire une troncation du graffe et dire que la mesure spectrale ne change pas trop si vous boundez les dégrés donc vous devez utiliser les valeurs de l'agent je n'oublie pas dans les notes c'est écrit donc quand lambda est equal à 0 qu'est-ce que vous faites vous avez observé donc le g est mon graffe fin vous avez taken lambda 1 up to lambda n c'est l'agent les valeurs de l'agent et puis l'observation c'est que le produit de lambda i lambda i non 0 pourquoi est-ce que c'est vrai pour des raisons de valeurs l'une d'elles est que c'est l'une de cette expression up to the sign est equal à un dérivé de la caractéristique polynomial à 0 ok donc le cas de dérivé à 0 sera le summe sur tous les sub-sets i de cardinal k du produit de lambda i de l'agent et il sera probablement un minus 1 power k ou n minus k minus 1 power k ok donc vous avez k comme la dimension de la image of a et vous avez ça donc en particulier c'est absolument valu car ce n'est pas 0 c'est au moins 1 c'est au moins 1 donc ça veut dire que les valeurs de l'agent s'appliquent donc si elles ne sont pas 0 elles ne peuvent pas être arbitrales à 0 mais vous pouvez aussi le faire si, on dirait que k est le nombre de valeurs de l'agent lambda en minus epsilon donc k est equal à n times mu g minus epsilon c'est bondé par soit vous êtes en plus epsilon et puis vous êtes bondé par epsilon ou vous êtes ou vous n'êtes pas dans cet intervalle mais puis vous utilisez le fact que les degrés sont bondés et la norme opérateur est bondée par le maximum de degrés donc c'est bondé par theta power n minus k ok donc vous avez besoin de ça et puis vous utilisez le log et donc 0 k log epsilon donc vous pouvez prendre delta de epsilon qui serait log theta divisé par log de 1 over epsilon donc c'est pour lambda equal à 0 en plus de lambda vous pouvez le voir dans les notes mais le fact que vous n'êtes pas exactement equal à la valeur vous donne des réponses mais le fact que vous avez l'opérateur de l'adjacent est de l'intervalle ah ok je suis déjà tard donc ok donc je ne vais pas faire la computation sur l'ampli et oui donc j'y vais, je ne vais pas