 Ok, donc j'ai rencontré Masaki Kashiwara en 1975 et c'est Masaki Teresa Montero Fernandez et Pierre Shapira et sur la droite c'est Masaki sans ses glaces. C'est pour ça que la photographie est fausse. Maintenant, je vais me dire quelques mots. J'ai rencontré ilme en 1975, merci à Pierre Shapira. Pour moi, Masaki n'était pas seulement une mathématicienne extraordinaire, mais aussi une grande amie, avec des insights très délicates et sensibles sur la vie. Il m'a aidé beaucoup dans une période difficile de ma vie. J'ai travaillé avec ilme entre 1975 et 1978. On a travaillé sur du flow isomorphisme. On a travaillé aussi sur quelques autres topics que Pierre n'a pas mentionné tout. Mais probablement c'est impossible de donner une liste complète sur les problèmes que Masaki a travaillé sur. On a travaillé sur le produit tensor de la représentation métaplectique. Nous avons discuté la composition du produit tensor. Ce que je vais parler de c'est quelque part concernant cette liste de problèmes, comme vous l'avez dit, du flow isomorphisme, c'est très concernant à la classe de taux. Pour moi, j'ai envie de dire quelque chose de nouveau sur la classe de taux. J'espère que je vais vous convaincre que la classe de taux appuie dans beaucoup de différents sujets. Il y a des références. J'ai envie de parler de multiplicité, de représentation d'un groupe compact, de représentation qui obtient une solution des coopératoires de génie variantélyptique. Et de voir que ces multiplicités ont une sorte de structure rigide qui sont créées par la fonction polinomiale et du duale. Je constructerai une fonction polinomiale et de la classe de taux de taux de génie variantélyptique. Je vais aussi parler de la relation de cette fonction multipliée avec la formulae Nuller-Maclaurent pour l'index de la coopératoire Twisted-Dirac. La première partie de mon talk est quelque chose qui n'est pas à tout le monde, mais j'espère que vous verrez l'intérêt de ça. C'est le Riemann-Roch's Rm4 splines. Dans la deuxième partie, je vais parler de la fonction multipliée associée à un coopérateur transversal. Et dans la troisième partie, je vais parler de la formulae Nuller-Maclaurent pour l'index de la coopérature de génie variantélyptique. Vous avez déjà vu cette fonction, beaucoup de fois. Nous prenons cette fonction sur la ligne réelle, c'est la variable réelle, complexe. Nous prenons la série formale de la série Stellar à x equals 0. C'est une série formale, sigma of gamma equals 0 to infinity of gamma kxk. Nous pouvons acte sur les polynomials, parce que ce coopérateur est nul, delta kxk nul potentiel. La action de la série de l'opérateur différentiel, l'inverse, est bien définie sur la fonction polinomial sur la ligne. Et donc, pour aucun intérieur, vous pouvez prendre le pouvoir du coopérateur et le taxer sur les polynomials. Et donc, ce sont les spécifiques sur la ligne, je prends les définitions, qui sont le SM. Ce sont les fonctions sur la ligne, qui sont données par un polinomial de degrés M-1 sur chaque intervalle à l'opérateur. Donc, les termes de l'intervalle sont à un point intérieur, si le SM est haut, ou à un point intérieur. Donc, c'est un point intérieur, quand le SM est même. Donc, vous supposerez que c'est un polinomial de degrés M-1. Donc, chaque intervalle est donnée par un polinomial. Et vous assumez que c'est un polinomial de degrés M-2. Et donc, bien sûr, l'espèce de polinomial est invariée par une translation d'integres. Et il y a quelques particuliers de polins qui sont obtenus par la pièce de polin, parce que c'est un volume d'un slice de cube, d'un hyper cube. Donc, ce sont les polins de boxe, et vous pouvez... Vous regardez ces fonctions, sinx2x2x2, et vous regardez cette Fourier transform. Et donc, vous obtenez un polin de boxe. Donc, il y a B1, B2, B3. Donc, B1 est... B1 est de minus de 1,5 à 1,5. Donc, c'est continu à un point intérieur, B1. Et les autres sont pleinement continu. Donc, ce qu'est l'analyse numérique, c'est de fonctionner par des pièces plus simples. Et donc, des polins qui sont particulièrement construits par Béziers. En fait, ils ont utilisé beaucoup. Et donc, l'idée est de vous donner un enjeu, et vous voulez reconstruire... Vous voulez reconstruire ces enjeux par les polins de boxe. Et donc, vous avez le suivant CRM. Vous n'avez pas besoin d'un élément de spline de degrés... Spline en SM, donc spline de degrés M-1. Vous définissez pour un... Pour un nouveau intérieur en Z, vous définissez ces quantités, ces numéros. Donc, encore une fois, S est un polynomial au-delà des intègres. Et donc, vous pouvez différencier ça. Parce que c'est un polynomial, donc vous pouvez différencier ça avec respect au JM-1 de delta. Et puis, vous avez le valeur, c equals nu. C'est facile de voir que ça ne dépend pas de la limite à gauche ou à droite. Vous obtenez, comme ça, une quantité bien définie, P of nu. Et le CRM, c'est que, si vous utilisez S, c'est exactement... C'est réobtenu par... Donc, S est réobtenu par la boxe spline par cette formule. Donc, pour exemple, si S est compactement supporté, que toute la fonction spline sur cette classe, c'est une combinaison de translation de la boxe spline. BM. Donc, dans un sens, vous avez cette formule, qui peut-être ressemble à un petit peu de formulae Riemannog. Donc, P of nu est définit par S avec cet opérateur différentiel. Donc, vous avez une formule en S, qui est cette formule. OK. Donc, nous allons switch directement à l'index de l'élyptique transversale opérateur. Donc, nous considérons l'élyptique opérateur en un manifold compact M. Et nous considérons le symbole principal. Donc, l'élyptique transversal... Ah non, pardon, c'est juste une action érogne. Donc, nous avons l'élyptique opérateur, nous avons le symbole principal. Et puis, l'index est, en définition, une dimension avec une dimension de codimension. Et nous savons que ça dépend seulement du symbole principal de D. Donc, c'est la classe du symbole de K group, topologique K group K0 de T star of M. Et nous avons la formulae Atilla Singer. Donc, l'index de D est l'intégrale de T star of M de l'élyptique transversale opérateur de K0 de T star of M. Et c'est la classe de Duram Comology avec support compact, et le manifold non compact N est l'élyptique transversale de T star of M. Et puis, ici, dans la formule, le C.I est l'élyptique transversale de l'élyptique transversale de T star of M. Ok, maintenant, nous considérons la même situation où, maintenant, les groupes compacts compagnotent toutes les données. Et puis, dans ces situations, l'index est la finissime de représentation, de représentation irréducible de groupe GAT. Donc, nous pouvons décomposer l'index dans des pièces. Et dans un sens, à un moment, je vais également décomposer l'index de D of G, qui est la trace sur le kernel, la trace sur le co-cernel. Et puis, vous décomposez les caractères, les caractères irréducibles de G. Et donc, je fais une assumption simplifiée ici. J'assume que l'action de D of G est connectée à tout le stabilisme de l'action. D'ailleurs, je vais avoir de la discussion sur la fonction polinomielle, mais sur la fonction polinomielle exponentielle, et je n'ai pas envie de parler de ces détails. Donc, avec cette assumption, je peux restricter sur la fonction polinomielle. Je n'ai pas besoin de fonction polinomielle dans la formule. Donc, dans cette assumption simplifiée, je vais définir la fonction canonielle, la fonction polinomielle en IT star. Donc, le G-art est paramétré par le translat de l'ATIS dans le duel du carton subalgebra. Et je vais décrire une fonction particulière sur l'ATIS afin de réobtenir les multiplicités en regardant la fonction sur le point de l'ATIS. En fait, ce que j'ai fait c'est valide pour le G-art connecté aux groupes compacts, mais les prouves se réduisent à un cas torus d'une faible réduction. Donc, sur ce point, vous pouvez penser que le G-art est un torus, ou le G-art est un lattice, un lattice de caractère. Vous pouvez même penser que le G est un S1, et puis le lattice de caractère est un Z. Donc, dans un sens, il n'y a pas. Donc, la construction de la fonction eniffrable de la fonction en utilisant un transform de l'intégral d'équivalent, comme des classes G. Donc, oui, donc je vais aussi dire que les elliptiques opérateurs transversent dans les actions transverses, et plus ou moins ce que je vais dire, transversalier les petits coopérateurs, donc nous allons retourner à cette lettre. Donc, nous avons une équivariante forme, qui est une forme, une forme différenciale sur la née, qui dépend de la variable x, qui est une variable dans la g. Donc, nous avons une alpha de x, qui est une fonction de g à la née, et nous avons une équivariante différenciale. Et donc, si vous intégriez une différenciale, donc ces formes sont souvent pas homogénieuses. Donc, quand j'ai écrit un intégral, cela signifie que j'intégrerai un terme de top degré. Donc, et si vous intégrer ce terme de top degré, vous avez une variable g en fonction de g. Et quand vous vous pouvez, c'est complexe, et si l'alpha dépend de la polynomial de x, puis la complexe, la care de delta, sur l'image de delta, vous obtenez un carton modèle pour le plus grand de l'équivariante homogénie de n. Et puis, en ce cas, si l'alpha dépend de la polynomial de x, alors c'est un plus grand de l'équivariante avec un degré. Donc, nous pouvons construire une équivariante extension de la classe que nous avons avant. En particulier, la classe de top degré, donc nous avons cette classe de top degré dont nous pouvons définir la classe de top degré. La classe de top degré, c'est comme avant, mais la classe de top degré est l'équivariante de la classe de degré. Donc, c'est une équivariante extension de la classe de top degré, c'est la classe de top degré. Mais la formulae précédente, ici, x est un élément de l'algebra de l'ili, mais la formulae précédente est seulement définie quand x est petit. Et donc, on définit la série correspondant à la décomposition de la classe en homogénie de classes. Donc, vous avez une décomposition de cette classe comme une série infinie de classes de homogénie qui maintenant dépend de x sur une polynomial waste. Donc, elles sont des classes de caractéristiques en équivariante homogénie. Et je me rappelle l'index formulae que j'ai prouvé avec Nicolas Berlín, que vous avez cette formulae pour la trace. Donc, c'est la trace et c'est comme ça. Et vous avez l'équivariante extension de les caractères de la chaine. Alors, ce n'est pas en tout dépendant de la polynomial de x. C'est l'épavance et la curvature. Donc, il y a un termo exponentiel dans le c h de sigma. Mais sur l'autre côté, et la classe de top degré est aussi une série infinie. Mais ceci est bien definit. Le c h de sigma de x est bien definit pour nx. Et c'est compactement supporté dans le cas de l'équivariante elliptique. Et vous avez cette formulae pour x-mol. Nous avons la même formulae pour... Qu'est-ce qui est l'intérêt de cette formulae ? Cette formulae est réduite tout de suite à l'ATIA, mais la formulae de l'équivariante est compactement manipulée. Mais pour l'équivariante elliptique, mais l'intérêt de notre formulae est qu'il fonctionne exactement de la même manière quand l'équivariante elliptique est transversale. L'équivariante elliptique signifie que l'équivariante elliptique est l'équivariante. Vous assumez l'équivariante elliptique sur la direction qui est transversée à l'orbitage. Donc, si vous manipulez, c'est g x n, rien sur g et l'équivariante elliptique en n. Donc, pour exemple, si vous avez d'équivariante 0 et l'équivariante l'équivariante 2 de fs1, mais c'est transversal elliptique, et l'index est de l'équivariante 2 de fs1 parce que vous en utilisez d'équivariante 0. Donc, c'est la summe de tous les personnages. Et notre formulae dit quelque chose comme ça. La summe, pour tout ça, est equée à cette intégrale. Et vous voyez que c'est pas vrai. Cette formulae n'est pas vrai. tout le monde, mais c'est vrai qu'il est x equals 0. Qu'est-ce que c'est ? C'est l'intégral de S1. C'est une formule de T star de S1. C'est une formule de S1 cross R. Et notre formule est de Dixie d'Ephi, le majeur de Lubec, le majeur de Lubec de T star de S1. Et je normalise d'Ephi pour être equal à 1. C'est une intégrale de S1 de T star de S1. Donc, cette formule est évidemment fausse pour x, mais c'est vrai pour x small, parce que les deux sont la fonction delta à 0. Donc, je veux quand même encore obtenir une formule pour les multiplicités de ce que je veux décomposer le caractère dans une représentation réduite. La méthode sera pour considérer le transform de Fourier. Bien sûr, vous voulez prendre le transform de Fourier. Vous voulez obtenir ce transform de Fourier. Donc, bien sûr, vous voulez obtenir un pignot. Bien sûr, vous voulez faire le transform de Fourier à la droite. Donc, on le fait. Donc, je dois définir ce que nous appelons avec la compétition conciliative. Nous introduisons ce genre d'intégrales. Donc, si vous avez l'intégrale du caractère de x et contre la fonction polynomial de x, vous obtenez une fonction sur l'algebra. Et vous pouvez prendre le transform de Fourier de cette fonction. Et ensuite, vous obtenez une distribution. Donc, parfois je suis végue. Parfois, j'écoute une distribution avec un x, et parfois avec un x. Donc, ici, j'écoute ma distribution comme s of sigma of alpha oxy dixie, où ma major dixie est normalisée, parce qu'il y a un lattice partout. Et en fait, ce n'est pas difficile à prouver que cette distribution, enfin, cette fonction, cette distribution. Plus, il y a un système de hyperplanes sur g star, g isotorus. Donc, ce n'est pas difficile à prouver que c'est un système de hyperplanes. Je vais vous donner un exemple en plus. Il y a un système de hyperplanes comme cette fonction est localement polynomial au-delà du système de hyperplanes. Donc, c'est donné localement par polynomials sur l'open set, qui sont au-delà du système de hyperplanes. Et la distribution intervient aussi des dérivations de fonctions polynomiaires supportées par un système donné par un système de hyperplanes. Mais c'est, encore une fois, ça donne des fonctions polynomiaires locales. Et cette fonction localement polynomial, quand vous restez strict à l'open set de cette g star, je pense que vous verrez un déjeunement plus tard. Ils se vanillent quand le degré de l'alpha est très grand. C'est plus grand que la dimension de l'alpha. Donc, on va faire la transformation de cette formule. Donc, nous avons écrit que que l'alpha n'est pas equal à 0 à l'infinité de tn de x. On va faire la transformation de l'alpha de chaque termes. Et donc, vous obtenez une formule, qui est la vérité pour x. Donc, nous avons cette formule pour x. Et je... Donc, c'est le... C'est le... C'est l'intérieur qui est convergé seulement pour x. Mais on va faire quelque chose de très... C'est très drastique. Vous avez juste tronqué cette série à un point. Vous tronquiez-le suffisamment haut. Donc, vous tronquiez-le à la dimension de l'alpha. Et puis, vous obtenez sur le côté droite, vous obtenez... Et tronquiez-le et restez strictement jusqu'à la dimension de l'alpha. Donc, sur le côté droite, c'est la fonction localie polinomiale. Donc, c'est plutôt drastique comme méthode. Mais le miracle est que vous faites ce... Drastique. Drastique cutting. Et vous regardez cette fonction p'tilda, qui reste. Et elle s'extende continuement à l'intégralité. Et la valeur de l'intégralité est p of nu. Donc, c'est un peu... C'est comme... C'est un bon étudiant. Vous regardez cette formule, vous regardez la transformée fournier. Et vous dites, OK, ma transformée fournier se coopère avec ce que je veux, parce que vous voyez, vous avez la formule sur le côté droite. OK. Donc, pour exemple, on va revenir à l'E2S1. Donc, c'était cette formule. Nous avons cette formule pour z. Et c'était cette formule pour z. Et ce que j'ai dit ici, ce qui n'est pas très... Ce qui n'est pas très... Ce qui ne vous impressionnera pas. Il dit, si tu prends la formule 1111111, vous l'expandes par 1. OK. Et puis, vous avez la formule. Mais, on va faire un plus amusant exemple. On va faire le flag manifold. Donc, encore une fois, j'ai créé la formule Pithilda. Donc, je fais ce exercice, vérifier la serelle, ce qui est un exercice dangereux. Et donc, vous avez le flag manifold pour l'U3. Vous avez la formule correspondant à 0. Donc, c'est une formule comme le diracopérateur. Si vous le diracopérateur, vous pouvez compter toutes les choses. Le index de l'EL est une représentation triviale. Vous obtenez une représentation triviale comme un index. C'est juste une fonction constante. Et donc, let's look at this subgroup. C'est un torus subdimension 2. Et je compute la fonction Pithilda pour cette situation. Donc, c'est une fonction Pithilda. Et donc, le Z2... Vous pouvez voir les hyperplanes que nous parlons de. Donc, vous pouvez voir ces lignes. Les lattices ont beaucoup de points, c'est le Z2. Mais toutes les vertexes de ces triangles sont les éléments des lattices. Donc, sur le Z2, cette fonction doit être equée à 0. Et d'accord, à 0. Donc, si vous computez cette fonction Pithilda, mais effectivement, c'est une fonction qui s'étend à la multiplicité. Donc, vous pouvez penser que pour obtenir la fonction juste du diracopérateur, à 0 et à 1, ce n'est pas très économique. Mais je pense que c'est un très quantomechanique CORM qui, dans un sens, a l'air de venir avec des lignes. Et donc, je ne sais pas. Donc, ici, c'est un peu, je me sens, c'est très similaire à un système quantomechanique dont vous avez un particule C. Et il vient avec cette petite bouche. Et qu'est-ce que sur les prouves de ce CORM ? En fait, les prouves, c'est plus facile de les faire avec l'élypticoopérateur transversal, parce que c'est plus facile de les déformer. Et donc, vous déformez-les, et puis, vous pouvez utiliser le CORM pour la description, il y a une description du générateur de l'équivalent k-groupe de TGFM, qui est normal pour les orbites. Si vous pouvez trouver des générateurs qui sont plus ou moins des produits d'opérateurs supportés sur les lignes ailes, et puis, plus ou moins, vous pouvez appliquer le CORM de Schoenberg. Et donc, en tout cas, topologiquement, ce n'est pas si difficile de prouver ce CORM. Qu'est-ce que le CORM de Schoenberg est ? C'est celui que j'ai dit avant, que vous pouvez reconstruire la plaine. Ah, OK, OK, OK. C'est un CORM qui vous dit quelque chose, il vous dit que... C'est exactement le même CORM que celui-ci que j'ai dit avant. C'est que ce CORM est une plaine en deux dimensions, et il vous dit que c'est une différenciation d'une plaine, et il vous dit que c'est un restriction de Z2, comme une fonction delta. Donc, vous devez prouver que ce genre de plaine est restricté à la fonction delta sur le lattice. Alors, bien sûr, je veux... J'ai defini la plaine tot. C'était une série infinie. Et maintenant, je veux discuter un petit peu de pourquoi vous avez besoin de cette plaine tot. Pourquoi c'est intéressant d'avoir cette plaine tot et, je veux dire, le transform de l'étranger de l'étranger de la plaine tot. Et je ne sais pas le sens de ce genre de cas. Donc, je vais faire... Je vais résister à des cas particuliers, des cas particuliers qui sont importants. Donc, je vais parler de la casque des operators d'Iraq. Donc, nous avons le set qui est compact, orienté, même dimensionnel, spin manifold. Donc, G est le torus actant sur M, et L est l'écuvariant de la plaine tot sur M, avec la connexion. Et si vous choisissez l'écuvariant de la connexion sur l'écuvariant de la plaine tot, vous pouvez définir ce que je n'appelle pas de mode moment. associé à cette connexion. La curvature, l'oméga, d'exemple du facteur I, c'est la curvature de la connexion, et c'est la classe de la connexion. Et ensuite, vous définissez le mode moment par la différence entre l'écuvariant de la connexion et les actions sur les secteurs. Nous avons une ligne, mais oh, oui, sorry, il y a l'écuvariant et l'écuvariant. Donc, ce sont pas les mêmes lettres. Donc... C'est ce que c'est pour l'écuvariant de la connexion. Oui, c'est l'écuvariant de la connexion. Donc, je suis surpris que Gabbard n'a pas trouvé, à moins, que j'ai deux l'écuvariants avec différents sens. Mais, de toute façon, ici, il y a quelque chose de mauvais. C'est une action de l'écuvariant sur la section de l'écuvariant de la connexion. Et c'est... ... l'écuvariant de la connexion. Et l'un est l'écuvariant de la connexion. Vous devez différencier avec l'aspect de l'écuvariant horizontal. L'écuvariant horizontal. Donc, vous avez une petite partie, qui est verticale. Et c'est... C'est... Et ça correspond à... Ça correspond à... Avec une map de moment quand Omega est... Quand Omega, lui-même, n'est pas dégénérée, donc il y a deux formes. Il peut définir une structure simplectique ou il peut être dégénéré, à un moment, mais si l'écuvariant de la connexion n'est pas dégénérée, c'est une map de moment dans le sens de la geometry simplectique. Mais ici, je ne vais pas prendre aucune assumption. Donc, je n'ai pas prendre aucune assumption sur l'alpha de Delta, donc on peut toujours définir une map de moment associée à une ligne, mais pas avec l'écuvariant. C'est aussi naturel, dans ce cas, il faut prendre l'air de l'alpha et qu'on regarde la même formula quand vous allez laisser l'air de l'alpha de l'alpha aller à l'infinité. Donc, vous pouvez définir pas seulement l'index de l'opérateur pour l'alpha, mais pour tous les l'alpha de l'alpha, c'est le limit classique. Et puis, vous comptez cette situation et vous obtenez un index et vous obtenez des multiplicités qui maintenant dépendent de K. Alors, plus K est grand, plus cet index est grand. Et donc, il devient P de nouveau K. Vous pouvez toujours prouver que c'est soutenu sur l'alpha de l'alpha, l'image de l'alpha par la map de moment. Mais ce sera soutenu sur l'alpha de l'alpha de l'alpha de l'alpha. Donc, c'est plutôt naturel pour ré-scaler. Et si vous avez une fonction smooth sur GSTAR, vous pouvez considérer cette renormalisation de l'alpha. Donc, l'index, vous considérez la fonction test et la fonction test de l'atis divisé par K et vous le metterez en front de l'index formula au point K. Donc, par exemple, c'est un quantité naturel parce que si le test est equal à 1, c'est juste le nombre de la dimension de votre spécificité index de l'alpha K, qui est un polynomial K. Donc, je veux dire que vous pouvez évaluer cette quantité avec l'assimpto-ticali et avec exactement l'utilisation de toute la classe. Donc, bien sûr, un cas particulier de cette formulae est la formulae classicale de la formulae où tout le bernouin s'occupera. Donc, il correspond au cas de P1 avec l'alpha L, au haut de l'alpha A et ensuite, vous obtenez cette formulae de l'alpha L, que vous avez ici pour un polynomial, d'autre côté, c'est un série de l'assimpto-ticali si vous divisez le test K si vous divisez le TQI over K. Donc, c'est la formulae où tout le bernouin vous avez l'intégral et le valeur à l'endpoint de l'intervalle et ensuite la série qui est finie quand le test est un polynomial qui invoie le bernouin à l'endpoint. Donc, le sœur M est un peu le même ici c'est que pour l'infinitifonction de G-STAR, la série est admittue à une expansion asymptotique quand K va à l'infinitif, et cette expansion asymptotique peut être computée. Je donnerai une formule pour cette expansion asymptotique. Je vais décrire la distribution DHN. Je commence par DH0. Nous avons associé à l'alimentation de l'alimentation L, j'ai eu Omega, qui était en 2 formes, et FI of X qui était en map de moment. Et c'est très facile de voir que si vous faites ce sume de cette fonction, le gris est 0 plus la forme du gris 2. C'est une équilibre et une ferme de la forme de gris 2. Je rappelle que la x est gradée du gris 2. Donc, c'est le linéaire en x qui est le gris 2 dans l'équilibre. C'est une fonction, mais selon un x linéaire, c'est un élément du gris 2. Et l'homéga est la forme du gris 2. Et c'est fermé parce que c'est une identité de la identité de Bianchi. Et donc, vous pouvez considérer cette intégrale, qui est l'équivalent volume. Vous intégrer ça. Et donc, par définition, vous voyez que c'est... C'est l'intégrale de fiofe mfx, qui est la map de la map de l'homéga, qui est liée à x. Et d'homéga, qui est la forme. Et comme je l'ai dit, vous intégrer seulement le termen de la top. Le termen de la top est... Vous devez prendre une dimension de m over 2. Vous intégrer le termen de la top. Et si vous intégrer le termen de la top, puis vous obtenez, si fiofe va au G-star, donc c'est juste le push forward de cette majeure, de cette densité. Et donc, comme ça, vous obtenez une majeure de signes, qui est supportée sur une union de polytopes. Et en fait, elle dépend seulement de votre L. Elle ne dépend pas de la choice de fiofe et d'homéga. Donc c'est une majeure canonique, localie polinomiale. Et c'est localie polinomiale. C'est le même CRM que du Stermat-CM. Du Stermat-Hekman-CM. Vous obtenez quelque chose, mais qui est localie polinomiale. Je rappelle ce beau CRM du Stermat-Hekman, que dans le cas simple, si vous faites le push forward de la majeure de Ljouville par la majeure de Mommet, dans le cas de Torus action en simplectique manifold, vous obtenez une majeure localie polinomiale, supportée non fiofe, et c'est le convex polytop. Mais au moins, le même prouve vous donne que en général, dans ces situations, vous obtenez une majeure de sine supportée en union, qui n'est pas supportée en convex polytop, et il y a un plus et un minus. Et vous obtenez une majeure de sine supportée en union de polytop et localie polinomiale. Donc vous pouvez faire... Maintenant, je dois définir ce DHN. Donc, pour le coup, dans l'équivalent de la majeure de Ljouville, je prends la majeure de la majeure de Torus. Vous pouvez le faire, formalement. Donc vous obtenez une majeure. Et, encore une fois, avant, je faisais pour généralement l'élyptique opérateur, donc je travaillais sur la majeure de TSTAR, et ici, je fais du dirac opérateur, et je travaille sur le nom. Donc, la majeure de la majeure de Torus appartient. Donc nous avons... Nous pouvons définir cette série, et, encore une fois, vous pouvez l'exprimer dans la majeure de Ljouville. Et vous pouvez définir la transformation de l'équivalent de l'équivalent de Torus. C'est ce que nous appelons avec l'index de l'infinité de la majeure de Ljouville. Quand, avec la construction de la majeure de Torus, vous faites la transformation de l'équivalent de Torus. Donc vous obtenez, encore une distribution. Mais ici, vous avez une distribution qui est supportée en dépendance de la majeure. Quand la majeure est plus petite, pour la majeure de la majeure, vous obtenez une majeure. Ensuite, une différenciation de majeures, qui peut être, encore, localement polénomiale, mais plus et plus vous allez, plus et plus vous obtenez des dérivations, et finalement, vous obtenez quelque chose de solide et supporté sur les planes hyper. Mais encore une fois, c'est une formule. Quand la majeure va à l'infinité et teste la fonction de la majeure de Ljouville, ensuite, cette série est asymptotique pour cette série de distribution. Donc je pense que c'est une formule qui ressemble très beaucoup à la formule qui est bien connue dans le cas de polytopes. Mais que vous ayez un nombre de points en polytopes ou un nombre de points en polytopes comme l'erreur polénomiale ou quelque chose comme ça. Ensuite, vous obtenez ce nombre de points ou un nombre de points. Vous obtenez cela comme un intégral plus un certain nombre de dérivations de cette fonction et de différentes faisses. Donc c'est une série qui est faite pour un coopérateur d'Iraq. Et donc, c'est la formule. Et ce que je n'ai pas discuté, mais ce que nous pouvons faire, c'est quand nous avons un nombre de points non compacts mais une ligne de bouddeaux avec une majeure propre. Et donc, vous voyez que la définition de ces choses en fait, ne requise que que la fonction faite est propre. Donc vous pouvez définir, plus généralement, cette expérience pour un nombre de points avec une majeure propre. Et vous pouvez prouver que ce que vous obtenez est fonctionnel avec respect aux restrictions. Donc, c'est quelque chose. Ok, bonsoir. Et j'espère que peut-être que nous allons avoir de plus en plus de collaborations sur un autre sujet. Question ou remarque ? Possible de parler de plus en plus. C'est plus finir que la série asymptotique. Comme en physique, il y a parfois des termes expansionnels et parfois des termes sérieux. Est-ce que ça va s'occuper ici ? Donc, qu'est-ce que vous voulez faire ? Vous voulez faire d'autres asymptotiques avec respect à quoi ? Non, non, non, oui. Est-ce que ça va s'occuper, en tout cas ? Certaines expériences expansionnelles, des sympathothèques, des termes sérieuses, des termes expansionnelles, des termes de power sérieuses. Au moins, ce que je ressens est que, certainement, vous devriez aussi introduire les paramètres, les paramètres de la ligne. Ici, je dois introduire seulement une power sérieuse. Certainement, les asymptotiques seront sur tout le pica-goupe. Mais, oui, probablement. Mais c'est un peu compliqué, parce que vous ne savez pas dans quelle direction, de toute façon, je n'ai pas fait ça. Non, non. D'autres questions ? Non. OK. Alors, on va s'occuper d'un pica-goupe.