 Buongiorno a tutti, io sono Chiara Mocenni, insegno all'Università di Siena teoria dei giochi, sistemi dinamici e modelli, mi occupo di modelli matematici. Questa breve lezione vuole essere un'introduzione ai più semplici tipi di modelli matematici dell'epidemia e cercherò di spiegare come si può descrivere il fenomeno epidemico e quali sono gli indicatori per valutare la gravità del fenomeno epidemico. Quindi, diciamo, la base dei modelli epidemiologici è considerare una popolazione di individui. La popolazione possibilmente deve essere molto grande, al limite anche infinita. Il modello epidemiologico considera l'interazione di due gruppi di individui, individui suscettivi e individui infetti. Gli individui suscettivi sono coloro che possono contrarre la malattia, mentre gli individui infetti sono coloro che hanno già contrato la malattia o che in qualche modo sono in grado di infettare altri individui e nel contesto di questo modello saranno coloro capaci di infettare gli individui suscettivi. Il meccanismo dell'infezione è quello del contatto, quindi si dice che un individuo suscettibile diventa infetto nel momento in cui in qualche modo entra in contatto con un individuo infetto. Il meccanismo è quello di considerare i due insieme, come abbiamo detto, e quindi osserveremo un passaggio di individui da un gruppo all'altro, in particolare nel caso più semplice che stiamo descrivendo in questa breve presentazione si assume che vi possa essere un passaggio dall'insieme degli individui suscettibili all'insieme degli individui infetti e non viceversa, se non introducendo un terzo elemento che vedremo in seguito. Quindi immaginiamo appunto di avere una popolazione distribuita in una certa regione e immaginiamo che vi siano due tipologie di individui, i suscettibili e gli infetti, nel momento in cui un individuo suscettibile e un individuo infetto vengono a contatto, l'individuo suscettibile diventa infetto a sua volta. Ovviamente tutto questo avverrà con una certa probabilità, quindi innanzitutto dovremmo analizzare con che probabilità due individui si incontrano all'interno del sistema. Nella versione, diciamo, più semplice del modello, questa probabilità è la stessa per tutti gli individui, quindi la probabilità che due individui si incontrino nella popolazione è omogenea all'interno della popolazione stessa, ovvero sia non vi sono dei canali preferenziali per gli incontri fra individui. Non c'è ad esempio una relazione di familiarità, una relazione di amicizia o una relazione di vicinanza per cui alcuni individui avranno una probabilità più elevata di incontrarsi rispetto ad altri. In questi modelli più semplici diciamo si assume che la probabilità è la stessa per tutti gli individui. La probabilità inoltre che un individuo appunto passi dall'insieme dei suscettibili all'insieme degli infetti dipenderà dalla numerosità dei due gruppi di individui, quindi più saranno gli individui suscettibili e più saranno gli individui infetti, maggiore sarà la probabilità che un individuo suscettibile incontri effettivamente un individuo infetto e che quindi passi nella classe degli infetti. La probabilità che due individui, un suscettibile o un infetto si incontrino, diciamo non è sufficiente per descrivere effettivamente il passaggio dalla classe dei suscettibili alla classe degli infetti, dovremo anche tener conto di un fattore specifico della malattia, ovvero sia il grado di trasmissione per esempio del patogeno, come ad esempio nel caso del virus, diciamo ci saranno virus che hanno una maggiore facilità di trasmissione altri invece che ne avranno una minore e inoltre questo diciamo il passaggio, la trasformazione di un individuo suscettibile ad infetto dipenderà anche da altri fattori come per esempio fattori ambientali, il clima e altri fattori, quindi dovremo anche introdurre un parametro che te racconto appunto di questi fattori specifici della malattia. Quindi per cominciare appunto a introdurre un pochino il modello matematico, indichiamo con N il numero totale di individui della popolazione, S con S il numero di suscettibili e con I il numero di infetti, se assumiamo che per semplicità non vi sono altre tipologie di individui all'interno della popolazione avremo scusate che la somma degli individui suscettibili più l'individui infetti sarà uguale al totale degli individui della popolazione. Ora la probabilità di incontro di un individuo suscettibile ad un individuo infetto, abbiamo detto, sarà proporzionale alle densità dei due gruppi e potrà essere modellizzata da un punto di vista matematico con il prodotto proprio della densità dei due gruppi, cioè il prodotto del numero di individui suscettibili per il numero di individui infetti, appunto per rappresentare il fatto che maggiore è il numero di suscettibili e maggiore è il numero di infetti e maggiore sarà la probabilità del loro incontro. Inoltre, appunto, vi ha introdotto un parametro che rappresenta il tasso di contagio, questo parametro tipicamente vi hanno indicato con la lettera greca data e che appunto ti hanno in conto delle caratteristiche specifiche della patologia e dalle situazioni ambientali in cui si trova la popolazione e ovviamente anche altri fattori, però, diciamo, questi sono i principali. Dunque, da un punto di vista, diciamo, matematico, il passaggio di un individuo dalla classe dei suscettibili alla classe degli infetti avverrà con una probabilità pari a beta per S per I. Dunque siamo in grado adesso di scrivere la legge matematica che descrive questo meccanismo, quindi avremo un'equazione che descrive il meccanismo di uscita dal gruppo dei suscettibili e un'equazione che descrive invece il meccanismo di entrata nella classe degli infetti. Ovviamente tutto questo avviene durante il tempo, quindi avremo che, per esempio, il numero di individui della classe dei suscettibili a un certo istante di tempo T sarà uguale al numero di suscettibili al tempo precedente, team 1, meno tutti quelli che sono usciti dalla classe degli infetti dei suscettibili perché hanno subito il contagio e abbiamo detto che questo numero è dato da beta per S, cioè i suscettibili al tempo team 1 per gli infetti al tempo team 1 e questo termine tiene conto appunto della probabilità che un individuo suscettibile diventi infetto e quindi venga sottratto dalla classe dei suscettibili. Questo è il motivo per cui abbiamo messo questo segno meno qui, cioè c'è una sottrazione di individui suscettibili dalla classe appunto dei suscettibili. Lo stesso termine compare esattamente uguale invece con il segno positivo nell'equazione che descrive la classe degli infetti perché stavolta la classe degli infetti al tempo T dipenderà dal numero di infetti al tempo precedente più eventualmente quelli che sono entrati uscendo dalla classe dei suscettibili. Dovremmo inoltre sempre mantenere il vincolo che ci siamo dati e cioè che la somma di S più i sia uguale a N ad ogni istante di tempo. Da questa ultima equazione possiamo diciamo fare una semplificazione del modello perché siccome noi assumiamo che S più i è uguale a N ovviamente possiamo ricavare i o anche S ma nella fattispecie abbiamo deciso di ricavare i come funzione di S. Cioè il numero N è costante è il numero totale di individui della popolazione mentre sappiamo che S è una variabile perché varia nel tempo ma ad ogni istante di tempo dovrà valere questo guaglianza per cui possiamo anche dire che in realtà il numero di suscettibili è descritto dall'equazione sopravvista ma al posto del termine i al tempo T-1 possiamo riscrivere N grande meno S al tempo T-1 e dunque l'equazione dei suscettibili dipenderà solo dalla variabile S e può quindi descrivere il fenomeno. Ovviamente da questa equazione dobbiamo anche aggiungere l'equazione che ci spiega come si muove nel tempo la classe degli infetti e questa si muoverà secondo questa guaglianza. Ora per se vogliamo osservare diciamo nel tempo l'evoluzione dell'epidemia dovremo assegnare dei valori iniziali alle variabili S e I ad esempio possiamo ipotizzare nel caso più semplice possibile che ci sia un solo infetto e che tutti gli altri individui siano suscettibili quindi diremo che la classe degli infetti al tempo 0 è uguale a 1 e la classe dei suscettibili al tempo 0 è uguale al totale degli individui della popolazione meno 1. Detto questo possiamo diciamo simulare utilizzando un semplice software di calcolo ma anche facendo semplicemente delle valutazioni con una calcolatrice cioè a partire da S T-1 dove T-1 è uguale a 0 quindi al tempo T uguale 1 possiamo sostituire diciamo i valori che abbiamo ipotizzato all'inizio dentro a queste equazioni e quindi potremmo calcolare S al tempo 1, S al tempo 2 e così via. Adesso in questa figura io sinteticamente riporto l'andamento nel tempo quindi vedete in questo asse riporto l'asse dei tempi in questo asse invece vengono riportate le due variabili S e D allora S è la rappresentata dalla curva blu e al tempo 0 è composta da 99 individui mentre la classe degli infetti al tempo 0 è composta da un solo individuo. Si vede benissimo che assumendo anche un tasso di contagio molto basso dell'ordine di 5 alla meno 3 e per 10 alla meno 3 quindi 1 millesimo la dinamica diciamo di questi individui infetti è molto rapida e dopo pochi istanti di tempo poche unità temporali che possono essere giorni raggiunge o settimane raggiunge il valore totale il che significa il valore massimo il che significa che tutti gli individui suscettibili sono pian pianino passati e sono diventate nella classe degli individui infetti e dunque hanno contratto la malattia quindi come vedete in questo caso c'è uno svuotamento dell'inzieme dei suscettibili e un riempimento invece degli insieme degli infetti. Possiamo guardare anche velocemente i numeri che otteniamo appunto effettuando questo semplice calcolo qui nella prima colonna riporto i tempi nella seconda colonna riporto l'insieme dei suscettibili ad ogni istante di tempo e nella terza l'insieme degli infetti negli stessi istanti di tempo. Ora come vedete per esempio la classe degli infetti che parte da valori molto bassi uno un solo infetto molto rapidamente raddoppia triplica e cresce in maniera molto importante fino per esempio a raggiungere il valore di 66 dopo solo 13 iterazioni quindi il meccanismo diciamo dell'infezione è un meccanismo che quando parte è molto è molto veloce ok cioè risponde ad una legge matematica l'area la biologia risponde ad una legge che matematicamente può essere rappresentata appunto in questo modo cioè una legge di evoluzione molto veloce sebbene i parametri che abbiamo scelto possono essere anche bassi ora come vedete in questo grafico appunto i numeri sono crescono rapidamente e noi abbiamo diciamo ipotizzato di avere in realtà una popolazione anche abbastanza piccola composta soltanto da 100 individui quindi immaginiamo che in una situazione reale questo numero possa essere anche molto più grande quindi per evitare diciamo di dover riportare nei nostri grafici o nei nostri calcoli dei numeri eccessivamente elevati possiamo effettuare un processo di normalizzazione cioè possiamo decidere che potosso che osservare il numero assoluto di individui suscettibili e infetti possiamo osservare invece la loro percentuale in rapporto all'intera popolazione e questo lo possiamo fare semplicemente dividendo le due variabili di cui prima per il numero totale di individui della popolazione e cioè n in questo modo otterremo delle nuove variabili normalizzate s piccolo e i piccolo che stavolta assumeranno dei valori che si trovano ad essere maggiori di 0 e minori di 1 cioè s piccolo al massimo sarà 1 quando sarà 1 quando tutti gli individui sono suscettibili e lo stesso vale per la variabile i assumerà il valore 1 quando tutti cioè il 100% degli individui della popolazione assume appartiene alla classe degli infetti dovremo diciamo e in questo modo ci riconduciamo ad avere ad osservare delle variabili che si trovano ad essere sempre inserite all'interno di un intervallo 0 1 ovviamente dovrà valere anche per queste classi di popolazione normalizzate il vincolo per cui la loro somma deve essere uguale a un valore massimo e stavolta questo valore massimo sarà proprio 1 cioè n diviso n il modello semplificato in questo modo funziona esattamente come l'altro soltanto vedete in questo caso l'asse delle ordinate dove riportiamo i valori di s e i nel tempo è l'intervallo appunto 0 1 in questo caso abbiamo detto che soltanto l'1% degli individui della popolazione era infetto e il 99% era suscettibile e vediamo che appunto anche in questo caso in tempi molto rapidi sebbene abbiamo scelto un tasso di contagio basso e produce lo stesso meccanismo di trasferimento degli individui dalla classe desuscettibile alla classe degli infetti ora in realtà diciamo questo modello è affin troppo semplificato no perché in realtà noi sappiamo che in un qualunque fenomeno epidemico abbiamo anche gli individui che guariscono o sfortunatamente diciamo che muoiono quindi per tener conto anche di questo meccanismo introduciamo anche uno un nuovo una nuova classe di individui un nuovo insieme di individui che chiameremo rimossi gli individui rimossi sono quelli che per varie ragioni escono stavolta dal gruppo degli infetti e entrano appunto nel gruppo dei rimossi il meccanismo con cui viene modellizzato la il trasferimento stavolta dalla classe degli infetti alla classe dei rimossi è un meccanismo diciamo di uscita naturale cioè noi diciamo che ci sarà comunque una certa percentuale di individui che nell'unità di tempo guarisceakese o muore quindi avremo che il termine che modelliserà la fuori uscita degli individui rimossi dalla classe degli infetti sarà il prodotto di un certo tasso di rimozione gamma per la densità degli individui infetti ok quindi nella versione normale sarà gamma per i nella versione normalizzata sarà gamma per i piccolo dobbiamo però aggiungere al vincolo che abbiamo visto in precedenza cioè che la somma di tutte le classi che stiamo considerando sia uguale al numero totale di individui della popolazione anche in questo caso e quindi diremo che s più i più r è uguale a n nella versione normalizzata diremo che s piccolo più i piccolo più r piccolo deve essere uguale a 1 da ciò possiamo ricavare una delle tre variabili in questo caso possiamo ricavare la variabile dei rimossi r come differenza tra uno e la classe dei suscettibili e la classe degli infetti dunque adesso avendo aggiunto una nuova variabile avremo che il nostro modello cresce di un equazione perché dovremmo anche scrivere l'equazione perché che che descrivere che descrive l'evoluzione della variabile r ora poiché diciamo la prima equazione rimane uguale a prima cioè non c'è un passaggio diretto da suscettibili a rimossi perché questo non avrebbe neanche tanto senso dove il suscettibile per diventare il rimosso dovrà prima essere stato infettato quindi dovrà prima accedere alla classe degli infetti e solo in un secondo momento dopo un certo tempo potrà appunto essere rimosso dalla classe degli infetti ed entrare nella classe dei rimossi quindi l'equazione dei suscettibili è invariata l'equazione degli infetti invece che ha gli stessi primi due termini semplicemente dovrà essere integrata con un nuovo termine cioè dovrà essere aggiunto un termine che avrà un segno negativo perché rappresenta la rimozione di individui da quel gruppo e sarà esattamente uguale a gamma per i al tempo t in meno uno quindi al tempo t al tempo t la classe degli infetti avrà non solo dipenderà non solo dal valore che aveva al tempo precedente più tutti quelli che si sono infettati al tempo precedente ma vedrà anche una sottrazione di individui che dipenderà da quanti infetti ci sono presenti nel sistema al tempo precedente la variabile r diciamo sarebbe stata modellata con un termine che è esattamente uguale a questo che viene che viene sottratto dalla classe degli infetti ma con il segno positivo ma come abbiamo detto in realtà è più semplice per noi ottenere la variabile r come differenza tra il numero totale di individui e i suscettibili più gli infetti nella versione normalizzata il modello è esattamente lo stesso ma adesso le variabili vengono indicate con la lettera minuscola ai di indicare diciamo che sono piuttosto che essere dei numeri di individui sono delle percentuali di individui all'interno della popolazione bene adesso facciamo una simulazione del modello del nuovo modello che prende il nome di modello sirs ir suscettibili infetti rimossi allora noi rappresentiamo con il colore blu come prima la classe degli individui suscettibili con il colore rosso come prima la classe degli individui infetti e con il colore verde che è nuovo la classe invece degli individui rimossi ora diciamo anche in questo caso dovremo decidere per osservare la soluzione quanti sono il numero qual è il numero totale di individui della popolazione qual è il numero iniziale di individui suscettibili il numero iniziale di individui infetti e il numero iniziale di individui rimossi ora il numero iniziale di individui rimossi sarà sempre zero perché non non ci saranno individui rimossi fin tanto che non c'è stato almeno un infetto un infetto quindi la classe dei rimossi al tempo zero assumerà sempre valore zero mentre dovremo avere almeno un individuo infetto il restante il restante gruppo di individui potrà essere appunto appartenere alla classe dei suscettibili i parametri sono diventati due e ovviamente per effettuare una simulazione cioè per effettuare un run del modello ovvero sia calcolare a partire da da certe condizioni iniziali l'evoluzione nel tempo del nostro sistema avremo bisogno anche di assegnare dei valori numerici ai parametri presenti nell'equazione e cioè nella fattispecie il parametro beta che rappresenta il tasso di passaggio verso la classe degli infetti e il parametro gamma che rappresenta invece il tasso di passaggio nella classe dei rimossi ora come potete osservare in questo grafico la classe dei suscettibili il gruppo dei suscettibili tende comunque a zero la classe degli infetti invece inizialmente cresce molto rapidamente come osservavamo anche nel caso del modello precedente in assenza dei rimossi raggiunge un valore massimo a un certo istante di tempo e successivamente comincia a decadere a diminuire fino ad arrivare nuovamente ad assumere un valore zero la classe invece dei rimossi che inizialmente appunto è zero crescerà e tenderà poi a coprire l'intero insieme di individui della popolazione cioè coloro che inizialmente erano suscettibili sono stati infettati sono guariti o morti e adesso diciamo vanno a con a costituire il gruppo degli individui rimossi ma se noi cambiamo i parametri del modello vedete per esempio nel primo caso io assunto che beta era uguale a 0,8 e gamma era uguale a 0,2 nel secondo caso ho ridotto di una unità di grandezza se ho diviso per 10 il valore di beta mentre gamma l'ho lasciato invariato quindi che cosa osserviamo adesso che se riduciamo in maniera significativa il tasso di contagio beta vediamo che il sistema ha un'evoluzione leggermente diversa da prima per esempio in questo caso la classe degli infetti che necessariamente dovremmo diciamo assumere essere un pochino più ingente rispetto a quanto assumevamo prima per esempio il 20 per cento di individui in stavolta invece che crescere e diminuire diminuirà semplicemente e tenderà a zero il motivo per cui non lo posso far partire da un valore troppo basso che poi graficamente non riusciamo ad osservare le variazioni ma se io avessi assunto un valore iniziale di infetti pari a 1 come avevamo fatto in precedenza avremmo semplicemente osservato che questo 1 dopo un certo tempo tende a zero quindi diciamo guarisce specia in qualche modo o purtroppo o purtroppo muore invece la classe dei suscettibili di nuovo rappresentata in blu che inizialmente è pari all'80 per cento ricordiamoci sempre che la somma delle tre classi cioè rimosso più infetti più suscettibili deve essere uguale a uno nel caso del modello normalizzato quindi se assumiamo di avere il 20 per cento di infetti dovremmo avere l'80 per cento di suscettibili questi suscettibili diminuiscono perché diminuiscono perché è man mano che passano nella classe degli infetti guaris questi guariscono e diventano e entrano nella classe dei rimossi per cui c'è una parte comunque di individui suscettibili che contrae l'infezione sebbene questa parte non non determini un incremento visibile un incremento significativo nella classe degli infetti ma comunque c'è sempre un passaggio dalla classe dei suscettibili alla classe degli infetti che poi successivamente guarisce prende e quindi entra nella classe dei rimossi osserviamo vi faccio notare anche che in questo caso diciamo che la classe di suscettibili non arriva fino a zero è ma si ferma diciamo a un valore quindi del 70 per cento quindi in qualche modo quello che osserviamo in questo caso è che il 10 per cento della popolazione se in qualche modo infettata ma rapidamente è guarita e da semplicemente ridotto il numero di individui della classe dei suscettibili perché questi sono entrate a far parte della classe dei rimossi quindi abbiamo osservato in realtà due situazioni molto diverse cioè nel primo caso avevamo una crescita rapida degli infetti fino a raggiungere un picco massimo e poi una loro diminuzione nel secondo caso invece gli infetti semplicemente diminuiscono inoltre nel primo caso avevamo che la curva dei suscettibili tendeva a zero tendeva a raggiungere valori molto piccoli mentre nel secondo caso la classe dei suscettibili tenda un valore diverso da zero o comunque anche grande e questo perché e questo perché in realtà appunto il sistema presenta degli stati stazionari gli stati stazionari sono degli stati in cui non c'è più variazione delle variabili cioè le variabili diventano costanti come se non ci fosse più un movimento come se la dinamica si fosse arrestata e questo accade quando appunto le variabili in gioco del nostro sistema sono uguali a istanti di tempo diversi cioè se all'istante di tempo t per esempio la variabile s assume valore uguale alla variabile s al tempo t meno 1 e così vale deve valere per tutte le variabili in gioco ora se noi riguardiamo come sono le equazioni del nostro modello e abbiamo che assumere questo e vi rimetto un attimo le equazioni vedete se io assumo che s di t sia uguale a s di t meno 1 posso semplificarle a sinistra e a destra di questo guaglianza e mi rimane semplicemente questo termine uguale a zero lo stesso vale per l'equazione successiva e così via dunque assumere che il sistema abbia raggiunto lo staso stazionario cioè abbia raggiunto un valore dal quale poi non si discosta più è equivale a dire che questo termine cioè meno beta per s per i è uguale a zero e che è il termine che ricaviamo dall'equazione dei suscettibili e invece il termine beta per s per i meno gamma per i uguale a zero che ricaviamo dall'equazione degli infetti dalla seconda possiamo raccogliere i di t e quindi possiamo scrivere che questa equazione è uguale a i di t che moltiplica beta per s di t meno gamma e tutto questo deve essere uguale a zero ora poi che notiamo che la variabile i compare in entrambi queste equazioni sicuramente uguale a zero è una componente dello stato stazionario perché uguale a zero a nulla entrambi questi questi ugualianze ma questo avviene indipendentemente dal valore che assume s cioè se i uguale a zero allora qualunque valore assuma l'insieme dei suscettibili l'ugualianza è verificata quindi gli stati stazionari di questo sistema saranno i star uguale a zero quindi questo significa che la classe degli infetti o prima o dopo raggiungerà il valore a zero mentre lo stato stazionario la componente dello stato stazionario per quanto riguarda la classe dei suscettibili sarà uguale a un qualunque valore s che la classe stessa dei suscettibili può assumere il suo complemento a 1 sarà invece la componente dello stato stazionario che corrisponde al valore della classe dei rimossi quindi questo ci dice questa cosa ci dice che mentre i necessariamente allo stato stazionario sarà uguale a zero le due variabili s ed r possono assumere valori diversi da zero ora nel caso in cui appunto la classe degli infetti raggiunga a zero abbiamo visto che si possono osservare due casi il primo caso è che gli infetti tendono a zero decrescendo sempre che era il secondo esempio che abbiamo visto un altro caso invece è che gli infetti tendono a zero dopo aver raggiunto un picco di contagio cioè dopo aver raggiunto un valore massimo degli infetti questo picco di contagio avverrà per un certo valore s tilde dei suscettibili che pare a gamma sub beta questo lo si vede facilmente perché il valore s uguale gamma sub beta a nulla questo termine questo termine in realtà è diciamo quando quando si annulla questo termine la variazione della classe degli infetti non c'è più quindi è in qualche modo è un valore stazionario per la classe degli infetti ma non essendo valore stazionario anche per la classe dei suscettibili in realtà non è un vero e proprio stato stazionario rappresenta semplicemente il valore per cui la classe degli infetti raggiunge il suo picco massimo quindi esisterà un istante di tempo in cui s tilde raggiunge questo valore e questo istante di tempo è esattamente quello in cui la classe degli infetti ha raggiunto il suo picco massimo quindi per valutare in quale delle due situazioni ci troviamo cioè possiamo introdurre un parametro un indicatore che ci consenta immediatamente di dire se siamo nel caso uno cioè infetti che tendono a zero decrescendo sempre o nel caso due infetti che tendono a zero ma dopo aver avuto un picco di contagio ebbene sì questo parametro si chiama soglia epidemica e viene indicato con la lettera r0 ed è esattamente il rapporto fra il tasso di contagio beta e il tasso di rimozione gamma quindi qualora questo valore r0 sia minore di 1 allora vuol dire che il tasso di rimozione gamma è maggiore del tasso di contagio beta e quindi non ci sarà pandemia cioè guariranno più persone di quante non si infetti non è l'unità di tempo viceversa se r0 è maggiore di 1 allora il tasso di rimozione è inferiore al tasso di contagio e quindi ci sarà un numero ingente di individui della popolazione che contrarrà la catologia in questo caso si parla di pandemia quindi il parametro r0 è come uno spartiacque fra situazioni in cui non c'è pandemia e invece situazioni in cui c'è pandemia e questa soglia critica per cui c'è o non c'è la pandemia è proprio r0 uguale a 1 dunque questo modello matematico in realtà se uno approfondisceaky un pochino il significato dei parametri e della struttura matematica delle equazioni ci da alcune indicazioni che possono essere importanti per contenere l'epidemia una cosa per esempio è cercare di tenere basso il valore di r0 quindi di tenerlo sotto a 1 per tenere questo r0 sotto a 1 possiamo fare due cose o cercare di ridurre il tasso di contagio beta quindi insegnare la popolazione alcune pratiche igienico sanitarie che riducono la probabilità di contatto utilizza appunto di strumenti che proteggono e che impediscono il passaggio del virus per esempio del patogeno agli altri ma anche appunto distanziamento sociale cioè ridurre la probabilità degli incontri oppure possiamo aumentare il tasso di rimozione gamma cioè per esempio migliorare le terafie rafforzare le strutture sanitarie cioè tutto quello che può essere favorire che può favorire la guarigione o comunque il passaggio dalla classe degli infetti alla classe alla classe dei rimossi o guardando invece la struttura delle equazioni matematiche del modello la probabilità che un individuo infetto venga a contatto con un individuo con un individuo suscettibile può essere fatto applicando delle politiche di distanziamento sociale come abbiamo visto inoltre possiamo cercare semplicemente di ridurre il numero di suscettibili per ridurre il numero dei suscettibili un modo è quello di vaccinare la popolazione perché un individuo vaccinato che ha fatto un vaccino non è più suscettibile e non è neanche infetto quindi non può entrare né nella classe dei suscettibili né nella classe degli infetti va direttamente nella classe dei rimossi quindi la vaccinazione della popolazione serve a ridurre appunto il numero di individui suscettibili e concorre alla formazione diciamo di quel meccanismo immunitario che nel modello è alla base perché come avete visto dalla classe degli infetti si esce per rimozione e si va nella classe dei rimossi ma dalla classe dei rimossi non si può tornare più nella classe dei suscettibili questo significa che una volta che il virus è stato contratto e una volta che l'individuo è guarito non puoi nuovamente ammalarsi il che significa che si è immunizzato quindi vaccinare la popolazione corrisponde in qualche modo a immunizzarla io con questo ho concluso vi ringrazio dell'ascolto ovviamente se avete voglia di approfondire questo tipo di argomenti potete contattarmi io ripeto sono chiara moceni e lavoro l'università di siena e mi occupo di modelli matematici vi ringrazio buonasera