 sono Giulia Simi, docente di Algebra e Logica, presso il Dipartimento di Generia delle Informazioni e Scienze Mathematiche all'Università di Siena. Vorrei parlare di... sono tanti argomenti, mi sarebbe piaciuto parlare e ho scelto di parlare di matematiche e giochi, che tra le altre cose la matematica e giochi esiste una vasta letteratura, così come esiste una vastissima letteratura su matematica e scacchi, così come sarebbe stato interessante parlare dei geometri e oclidie e non oclidie. Comunque, ho deciso di in questa mia breve relazione di parlarvi di questo argomento, la relazione tra matematica e giochi. È chiaro che ho fatto un'ascente in particolar modo, ma voglio parlarvi di una succesione affascinante, che sono i numeri di Fibonacci. Non addo da Pisa, noto come Fibonacci, un grande matematico del Medio Evo, noto, ossia figlio di Bonaccio, la sua opera escrisse, diciamo, fu il primo a occuparsi di questa succesione di Fibonacci. Egli però non studiò le proprietà di questa situazione e furono riprese nel XIX secolo da Edward Lucas, studioso francese di teoria dei numeri e autore di una opera classe in quattro volume sul passatempo in matematica. Nel suo libro si occupò della succesione di Fibonacci, che partiva appunto dal seguente problema. Supponiamo che una coppia di conigli adulti sia elevata in una conigliere e che i conigli cominciano a proliferare all'età di due mesi, generando una coppia maschio-femina alla fine di ogni mesi. Se nessuno dei conigli muore, quanti conigli si troveranno nella conigliere in capo un anno? Ecco, questo è il grafo ad albero, mostra che cosa succede per i conigli di Fibonacci. Questa è la prima coppia, poi il secondo mese nasce la seconda coppia maschio-femina e così via dicendo. Cosa notò Fibonacci? Notò che il numero delle coppia alla fine di ogni mese era seguente. Uno, due, tre, cinque, otto, tre, cinque. E' questa la famosa succesione di Fibonacci. Che proprietà questa succesione di Fibonacci? A parte i primi due numeri ogni altro numero è la somma ovviamente dei primi due che lo precedono e alla fine dei 12 mesi la coppia dei conigli saranno 377. Questo è i primi cinque numeri di Fibonacci, i primi 50 numeri. Come Fibonacci pose questo problema, ma non in da gole proprietà di questa succesione, si dovete attendere il XIX secolo perché come disse un matematico, gli ascritti sull'argomento cominciarono a moltiplicarsi quasi alla stessa velocità dei conigli di Fibonacci. Eddwell Lucas, matematico del XIX, studiò quelle succezioni che Lucas ha mostrato su succezioni generalizzati di Fibonacci. Cosa sono queste? Sono succezioni che iniziano con una qualsiasi coppia di numeri intere e ogni numero successivo è la somma dei due numeri che lo precedono. La succezione più semplice è la succezione di Fibonacci dove la prima coppia sono 1 e 1. Notiamo quindi che il primo numero F1 è 1, il secondo numero è 1, F3 è 2 e così via Fn, che sarebbe il numero di Fibonacci all'esimo posto, il successore di Fn è Fn più 1 e il predecessore di Fn è Fn meno 1. Queste succezioni di Fibonacci hanno un numerose proprietà, una delle più importanti proprietà della succezione di Fibonacci, che vale non solo per la succezione, ma anche per le succezioni generalizzate, è che il rapporto tra due numeri consecutivi è alternativamente maggiore o minore del rapporto euro e che al procedere della succezione questa differenza va diminuendo sempre più. Quindi che cosa significa che, al tendere di N, al crescere di N, questo rapporto tende a questo numero detto rapporto aureo e questa scrittura significa che si esprime in matematica con questa scrittura limite per N che tende a più finito, cioè al crescere di N questo rapporto tende a questo numero che è un numero irrazionale perché le cifre sono infinite e non periodi algebrico perché è radice di un polinomio a coefficienti interi. Ora, perché la succezione di Fubonacci sono così affascinante? Perché queste succezioni compaiono in circostanze svariate e inaspettate e che ci lasciano sorpresi e un senso di meraviglia, ma questa è una caratteristica della matematica. Se voi pensate che nel secolo scorso la matematica importante, quella che era considerata seria l'analisi, la geometria, mentre c'erano dei matematici in chieta che studiamono la logica ed era considerata un ramo inferiore con le algebi di bull e pure è grazie a rea logica e grazie alle algebi di bull che poi abbiamo avuto lo sviluppo dei calcolatori del computer e dell'intricenza artificiale e quindi questa improvvisa applicazione, cioè la matematica ha qualcosa di astratto che improvvisamente si applica nella realtà del mondo. Infatti le succezioni di Fubonacci si sono rilivate utili in certi sviluppi della teoria della programmazione dei calcolatori e qui si fa vedere applicazione ricerca dell'informazione e così via dicendo. Sì è parlato molto, quindi si è scritto e parlato molto delle succezioni di Fubonacci del suo legame con il rapporto aroa e a volte anche in modo poco assegnato, si possono trovare applicazioni, è possibile la possibilità di applicare il rapporto aroa e la succezione all'arte, la tritettura e addirittura alla poesia. Cos'è un, per esempio, un'altra applicazione della succezione di Fubonacci e la spirale logaritmica? Cos'è una spirale? Una curva simmetrica aperta generata da un punto che si avvolge intorno all'origine fista, detto Pola, aumentando diminuendo secondo il verso in modo continuo la dictanza d'essa e abbiamo questa, diciamo, i tratti curvidini sono dette spire, ecco la spirale bidimensionale. Spirale legame tra la spirale logaritmica e la succezione di Fubonacci, Mario Livio, che era un fisico, un astrofisico della Romania, che a Ciguanis è trasferito in Israela, è un dibucatore scientifico, scrive, la natura ama le spirale logaritmiche, dai girazzoli alle conchigliette, i vortici ai uragani, agli menti e spirali galattici. Sembra che la natura abbia scelta questa armoniosa figura come proprio ornamento favorito. Così ne parla anche il matematico Bermulli. E Bermulli infatti, Mario Livio scrive, c'è qualcosa nel suo libro, nella sezione Aurea, c'è qualcosa che ha comuna le mirabili disposizioni dei petri di una rosa, la armoniosa spirale di alcune conchiglie, l'allavamento di coniglie e l'associazione di Fubonacci, la risposta ovviamente affermativa, dietro questa realtà così disperata si nasconde sempre lo stesso numero in irrazionale, comunalmente indicata con la lettera greca. Una proporzione scopetta da Pittagorici e calcolata da Euclide, chiamata non trattato di Luca Pascioli, divina proporzioni in seguito sezione Aurea. Le associazioni di Fubonacci, applicazioni, per esempio, si trovano in una distribuzione aspirale dei semi sulla superficie di certe varietà di girasoli, ci sono due insieme di spirali logalmi, quelle del luna, volte in senso orario e quelle dell'altra in senso orario, in senso orario e in senso orario. Si vede, si scopre che il numero delle spirali dei due tipi non sono uguali tra loro e tendono a essere due numeri Fubonacci consecutive, i direzionali di dimensione medie hanno di solito questi numeri, quelle di numero di spirali in senso orario e in senso orario, così ci sono esemplari giganti, ha trovato un esemplare di girasoli giganti con il numero delle spirali in senso orario e in senso orario due numeri di Fubonacci consecutive, F12 e F13. In relazione, abbiamo detto che esiste questo legame tra l'assegnazione di Fubonacci e il rapporto orario, infatti abbiamo la seguente formula che è strettamente vedete legata alla formula phi che ci permette di calcolare in modo esatto l'inizimo numero di Fubonacci, è chiaro che per N molto grande questa forma risulta poco pratica, allora possiamo usare questa altra formula che non ci dà il numero cercato, ma si ottiene approssumando il risultato all'intero più prossimo. Quindi possiamo calcolare l'inizimo numero di F mediante le formule precedente direttamente da N, oppure possiamo usare il procedimento a definizione per ricorrenza per induzione, nel nostro esempio con quale sarebbe la nostra definizione per induzione e ricorrenza della sugestione di Fubonacci, definisco il primo numero di Fubonacci, definisco il secondo numero di Fubonacci e a questo punto do la definizione, diciamo, il passo inductivo se si chiama in matematica, l'inizimo numero che è dato da Fn-1 più Fn-2, quindi F3 sarà dato da che cosa? Da F2, F1, F4 sarà data che avrò calcolato da F3 e F2 così via dicendo. La somma, se vogliamo deprimene i numeri, costitue nel determinare F di Fn-2 e sottravi 1, una proprietà che rende il nostro numero irrazionale, un numero magico, che questo numero si vedete se auto riproduce, c'è alcune proprietà del numero di Fubonacci, iniziamo a guardare, guardiamo la terza, dove si dice che con le eccezioni di 2, che è un numero primo ovviamente, ma con le eccezioni di 2 l'indice di ogni numero è primo e pure primo, per esempio, 233 è un numero primo e il suo indice è 13 e anche questo primo, si può dire per contro l'ominale, perché se Fn è primo, allora N è primo, contro l'ominale, se l'indice N non è primo, allora il numero Fn non è primo. Altra applicazione della direzione di Fubonacci, per corso di un'appe in un'arnea a celli igregonali, anche qui, cosa abbiamo? Le celli, diciamo, si estendono, sono una forma isagonale, si estendono indifinitivamente verso destra e supponiamo che la nostra app si muove sempre verso destra, sempre verso la cella di accente, sempre verso destra. Allora, per raggiungere la cella N si possono eseguire Fn più 2 percorsi diversi, ad esempio, se l'ape vuole raggiungere la cella 0, allora può seguire un percorso che corrisponde a F1. Se l'ape vuole raggiungere la cella quanti percorsi deve seguire, o questo, o quest'altro, due percorsi. Se vuole raggiungere la cella 3, sono 5. Se N indica la cella inesima, allora Fn più 2 è il numero di percorsi per raggiungere. Infine, un'altra, cioè vedete come sono variate le applicazioni della sucezione di fibonacci. Abbiamo anche il gioco di fibonacci, detto anche fibonacci in NIM, ideato da Robert Gascale negli anni 80. Come funziona questo gioco? Bisogna avere una discreta quantità di oggetti e di piccola dibunzione, tutto il stesso tipo. Primo passo a, all'inizio si pone su tavolo una certa quantità di oggetti. Si gioca in due, alternandosi nella mosse, giocatore che effetto la prima mosse, poi toglie quanti oggetti vuole, purche non siano tutti. Successivamente, al proprio turno, ciascun giocatore, questa è una proprietà importante, può togliere un numero di oggetti a piacere, purche non superi doppio di quelli prisi dall'avversario alla mosse precedente. In nessun caso è possibile saltare alla mosse, ovvero togliere 0 oggetti, quando sul tavolo non ci sono gli oggetti da prendere la partita termina e vince il giocatore che è riuscito a coprire l'ultima mosse, cioè a togliere tutti gli ultimi oggetti dal tavolo. Resulta che Senn è il numero di oggetti sul tavolo, è un numero di sibonacci, il secondo giocatore ha sempre la possibilità di vincere, altrimenti è il primo giocatore a poter vincere, quindi ogni volta che spetta a noi si deve contare quanti sono gli oggetti sul tavolo, se il loro numero coincide con uno di sibonacci che indicheremo con F, quindi in altre parole vuol dire che abbiamo perso, non possiamo fare altro che compiere una mosse al caso e sperare che il nostro offazzario non conosca la strategia, se invece il numero di oggetti M che si trova sul tavolo non corrisponde a un numero F, cioè non è un numero di sibonacci, si hanno le seguenti possibilità, togliere tanti oggetti quanto ne servono per lasciarne a tavolo, a tavola un numero F, quindi siamo sicuri che se abbiamo quello che abbiamo detto se abbiamo il numero F noi con questa strategia vinciamo, però questa mosse è ragionevole solo se i valori di tale S è superiore al numero doppio, al doppio del numero di oggetti tolte altrimenti il nostro offazzario potrebbe vincere subito togliendo una sola mosse a tutti gli oggetti dei valori, quindi se non possiamo fare questa mosse, M, abbiamo detto non è un numero di fibonacci, si scompone mettamente il nostro numero di oggetti presenti tuttavo di una somma di S, non uguali tra loro, nei consecutivi e prelevare un numero di oggetti uguali a più piccolo F così determinato, se M è diverso da F allora è possibile scomponere sempre questa è una proprietà che si dimostra in una somma di numeri di fibonacci tutti diversi tra loro e non conseguenti, al contrario un numero F non può mai essere scomposto nella somma di numeri di fibonacci tutti diversi tra loro e non conseguenti, almeno due dei valori più bassi tranno sempre consecutivi, quindi se M, abbiamo detto è possibile scomporlo incredibilmente questo particolare tipo di mosse impedisce spezzario di compiere un analogue e ripetuta in modo, cioè questa mosse impediscejoy di farne un analogue e impiede corretto porta alla vittoria finale, partiamo dall'esempio, situazione iniziale abbiamo 18 oggetti, 18 non è un numero di fibonacci, tocca a noi, dobbiamo effettuare la prima mosse quindi non essendo un numero di fibonacci lo possiamo scompure in una somma di numeri di fibonacci non conseguenti, possiamo F7, F5 e possiamo togliere 5 oggetti per chi 13 è maggiore di 10 e quindi togliamo i 5 oggetti, rimangono 13 oggetti che è un numero di fibonacci, il nostro avversario non può fare la mosse analoga per chi non può fare la mosse analoga, per chi se togliere 5 oggetti ne lascia 8 e ci regala la vittoria, perché noi a questo punto possiamo togliere tutti i 8 oggetti in colpo solo, quindi nella speranza di minimizzare i danni ne togliere 1 lasciando le 12 dato che 12 non è un numero di fibonacci a questo punto stessa trattacemma a questa somma e ne togliamo 1 lasciando le 11, 11 in questo caso non è un numero di fibonacci ma non può applicare la nostra stessa strategia, perché non la può applicare la stessa strategia perché non può togliere 3 oggetti, perché 3 è maggiore di 2 per 1 quindi nella speranza di minimizzare i danni prende un solo oggetto lasciando le 10, 10 non è un numero di fibonacci a questo punto come sempre questa è la somma di 2, togliamo 2 oggetti lasciando le 8 essendo 8 a questo punto non è un numero di fibonacci ma non può togliere 3 oggetti perché in questo caso ne rimangono 5 e in questo caso ne rimangono 5 e noi possiamo ovviamente dopo togliere 5 oggetti quindi togliere un unico oggetto 7, dato che 7 non è un numero di fibonacci a questo punto noi togliamo 2 oggetti ne rimangono 5 e così via descendo a questo punto di nuovo 5 non è un numero di fibonacci però non può coprire una mossa annale infatti se togliese 2 oggetti lascerebbe 3 oggetti quindi deve togliere 1 ne rimangono 4, 4 non è un numero di fibonacci ne togliamo 1 di rimangono 3 a questo punto il nostro avversario ha perso concettete i fatti non può togliere con una sola mossa i 3 oggetti perché 3 è maggiore di 2 per 1 e tattaparte se togliere 1 o 2 noi a questo punto possiamo togliere tutti gli oggetti se si inizia il gioco con 20 oggetti 20 non è un numero di fibonacci quanti oggetti deve togliere il primo giocatore per essere sicuro di vincere e non essendo un numero di fibonacci lo possiamo scrivere come un'associazione diciamo di numeri di fibonacci non costricotivi basta togliere 2 oggetti un gioco di competizione a 2 mette sempre una strategia vincente per 1 e 1 solo dei quei giocatori se con come il nim soddisfare seguenti condizioni non prevede nessuna mossa nascosta fidata al caso termina sempre con preciso risultato non contempla il risultato di pareccio per individuare una strategia vincente bisogna essere in grado di riconosce quali configurazioni ottenibile nel corso di una partita debbono considerarsi vicenti e quali perdenti in base alle seguenti condizioni una configurazione perdente se determina la sconfitta immediata del giocatore di turno o se gli consente di affecquare solo mosse che generano configurazioni favorevole favorevole all'avversario una configurazione vincente se determina la vittoria immediata del giocatore di turno o se gli consente di affettuare almeno una mossa che generi una configurazione favorevole all'avversario quindi la ricerca della strategia vincente del fibonacci nim è notevolmente complicata l'affatto che per giudicare se una configurazione vincente o perdente non basta osservare il numero di oggetti presenti su tavolo come avviene in altri giochi di anali e ma bisogna anche sapere quanti sono stati torti alla mossa precedente in ogni caso per valutare la natura delle varie possibili configurazioni conviene partire da quella finale con zero oggetti in tavola e analizzare a ritroso quelle che l'anno preceduta osserviamo allora abbiamo alcune osservazioni da fare in antitutto è sempre possibile prelevare almeno due oggetti in precedenza infatti l'avversario deve avere tolto come minimo un oggetto quindi almeno due le possiamo sempre prelevare se in un tavolo ci sono m oggetti bisogna togliere una quantità inferiore a m testi per vittare che l'avversario possa vincere la mossa successiva per chi questo numero? per scongiurare una tale eventualità la quantità di oggetti rimasti m meno x deve essere maggiore del doppio degli oggetti torti cioè 2x quindi devo avere questa disuguaglianza se io risolvo questa disuguaglianza trovo che gli oggetti che posso togliere devo togliere una quantità x minore di m testi qualsiasi configurazione sarebbe vincente se i giocatori turno per effetto della precedente mossa dell'avversario avreste la posizione di togliere tutti gli oggetti rimasti sul tavolo ma è chiaro, nella ricerca della strategia vincente quindi dobbiamo supponere che il giocatore di turno non possa mai togliere tutti gli m ai giocatori tutti i primati, tutti i tavoli il sem è maggiore di 2 in quanto il suo avversario ha sempre giocato con razziocinio sotto tali ipotici alcune configurazioni restricente altre invece diventano pendenti abbiamo costruito una tabella che parte dalla configurazione con 0 oggetti con m che indica il numero di oggetti della configurazione iniziale con k il numero di oggetti prelevati n meno k il numero di oggetti rimasti questa è questa nostra tabella per esempio se io tos 4 che tante cose non è un numero di fibrolacci quindi è vincente togo un oggetto me ne rimangono 30 5 è un numero di fibrolacci e questo è per me perdente mentre 6 non è un numero di fibrolacci quindi è vincente e così vi ha dicendo quindi si hanno vario proprietà però a questo punto vorrei, mi interessa a questo punto trucco di fibrolacci calcolo lampo non numerole sono le proprietà era solo per darvi un'idea vorrei passare al prossimo problema il problema su cui ha scritto sulla rivista Sapere Roberto Magliorari che fondò diciamo un appartimento di matematica siena che amava moltissimo gli scatti che amava molto i giochi e il problema è un tizio a 12 palline apparentemente uguali e una bilancia a due piatti in realtà una delle palline ha peso leggermente diverso dalle altre cioè può pesare di più o può pesare di meno può diventare con 3 pesate per decidere se pesa più o meno delle altre primo suggerimento una pesata divide le palline in 3 gruppi e non in 2 vedremo subito con l'esempio cosa intendo con questo suggerimento secondo suggerimento risopre prima e seguente il più facile problema abbiamo una condizione analoga ma 9 palline di cui una più pesante delle altre trovarla in 2 pesate allora cosa facciamo? mettiamo 3 pallini in un piatto 3 nell'altro e 3 e ne lasciamo perciò 3 fori ecco per chi come abbiamo detto una pesata divide le palline in 3 gruppi e non in 2 se uno dei 2 piatti cade la pallina incriminata tra quelle 3 altrimenti nella terna estena siamo ridotti in ogni caso a 3 pallini ora abbastamente una per piatto e procede dalla seconda pesata è chiaro che se stanno in equilibrio e si determina la pallina più pesante le 2 pesate sono state struttate al massimo ogni pesata si distingua al massimo tra 3 gruppi e con 2 pesate siamo riusciti a isolare un caso fra 3 alla seconda un caso a 3 alla seconda vuole a 9 ora ritorniamo al nostro problema noi che cosa abbiamo? abbiamo 12 palline di queste 12 palline sappiamo che è una difettosa che può essere più pesante più leggera cosa si divide? si dividono le palline in gruppi di 4 mettendole una su un piatto una sull'altro e lasciando fuori il terzo gruppo distinguiamo 2 ori a 2 casi primo caso un piatto cade allora ovviamente la pallina incriminata non è nella quaternestena ma è da dividuare fra le 8 se un piatto cade questo non ci lascia senza informazioni sulle 8 palline cioè il fatto che il piatto cade che cosa significa? significa che cosa? che delle 8 palline 4 per così dire sono candidate leggeri e 4 sono candidate pesante che chiameremo semplicemente leggere pesante come si procede? si mettono su un piatto 2 palline pesanti e una leggera e nell'altro sempre 2 pesanti e una leggera così che delle 8 candidate restano fuori le due leggere se un piatto cade restano in lì le due pesanti e la leggera dell'altro e la leggera dell'altro in tutto 3 palline già classificate ci abbiamo due pesanti la leggera così si confronta una terza pesata le due con la stessa classificazione arrivando a risultato se invece due piatti restano in equilibrio basta confrontare le due regioni arrivando a risultato i due piatti restano in equilibrio la pallina incriminata è fra le 4 esterne e possiamo servirci 3 palline di 8 che erano i piatti come palline a campione si mettono allora un piatto due delle palline che erano fuori e nell'altro una di esse con la pallina a campione il resto è facile altra soluzione può essere risultato anche mettendo un piatto 3 delle palline ancora dubbi e nell'altro 3 palline a campione ecco a questo punto ci saranno vari problemi quindi mi è molto piaciuto ottenere di più perchè una delle caratteristiche fondamentali della matematica e non è solo l'astrazione ma è anche la capacità di generalizzare grazie dell'attenzione e vi auguro una buona serata