 wunderbar, mussten nur noch den richtigen Knopf treffen. Also erst mal freue ich mich, dass sie bei dem schönen Wetter oder trotz des schönen Wetter so zahlreich erschienen sind, sind sogar so viele hier, dass wir in den Seminarraum C ausweichen mussten mit ein paar Teilnehmer an die binke ich jetzt einfach mal, ich freue mich auch, dass sie da sind. Bevor wir loslegen, wollte ich ein ganz paar Worte an sich richten. Zum ersten, mein Name ist Peter Albers, ich bin hier Professor für Geometrie und Direktor der Forschungsstelle Geometrie und Dynamik und wir freuen uns heute ganz besonders, Frau Professor Doktor Dr. Kathrin Tendt begrüßen zu können und ich möchte, bevor der eigentliche Vortrag losgeht, sie ganz kurz vorstellen, denn sie hat einen sehr beeindruckenden Lebenslauf, wie ich finde. Deswegen muss ich auch ein bisschen ablesen, das zwar zu viel um mir das merken zu können. Sie hat mit dem Studium von Mathematik, Informatik und Linguistik in Kiel begonnen und da kommt dann auch der erste Doktortitel, nämlich einen Doktortitel in Linguistik in Kiel. Dann war sie zu einem Forschungsaufenthalt in Kanada, University of Western Ontario, ist zurückgekehrt, hat einen Diplom in Mathematik gemacht für diejenigen, die nicht wissen, was das ist, so ähnlich wie der Master und ist dann zum Promovieren in der Mathematik in die USA gegangen an die University of Notre Dame, hat dort promoviert. Dann hatte sie Forschungsaufenthalte in Jerusalem und Würzburg, war Heisenberg, Stipendiatin und ist seit 2008 schon, hatte Professorin in Birmingham und Bielefeld und ist seit 2008 Professorin in Münster für Modelltheorie, Gruppenteorie und Geometrie. Das war jetzt sehr verkürzt, aber ich sehe, ich glaube, Sie sehen, das ist ein sehr, sehr beeindruckender Lebenslauf. Wir sind sehr froh, dass Sie heute hier ist. Sie arbeitet auf dem Grenzgebiet zwischen Mathematik und Logik und ich freue mich sehr auf Ihren Vortrag über unentscheidbare Probleme in der Mathematik. Bitte. Vielen Dank für die freundliche Einführung. Ja, ich freue mich sehr, Ihnen hier so was erzählen zu dürfen und erst mal dieses Thema unentscheidbare Probleme in der Mathematik. Da stellen sich die Mathematiker, die nicht viel mit mathematischer Logik zu tun hatten, wahrscheinlich die Frage, ob sie das überhaupt betrifft und die nicht Mathematiker, die denken, kann so was überhaupt geben. Ich möchte beides erklären, nämlich warum es einen durchaus betrifft und warum es auch das tatsächlich gibt und ich möchte mit einem ganz einfachen Beispiel anfangen. Mir war gesagt worden, ich sollte das für auch für Schüler zugänglich machen, aber ich habe, ah ja, okay, doch gut, gut, gut, dann ist es ja nicht verschwendet, aber weil es Polynome sind, wissen Sie als Schüler und auch, was die natürlichen Zahlen sind und was die ganzen Zahlen sind. Vielleicht erinnere ich ganz kurz daran, die natürlichen Zahlen sind einfach die Zahlen, für mich beginnen die mit null und die ganzen Zahlen sind eben das symmetrische, machen wir in die Richtung weiter. Was Polynome sind, wissen Sie auch. Und jetzt stellen Sie sich vor, Sie kriegen für die Schüler vielleicht als Hausaufgabe übers Wochenende ein Programm zu schreiben, was bei einem Polynome mit Koeffizienten aus den ganzen Zahlen feststellt, ob es eine ganz zahlige Nullstelle hat, also ob es eine Nullstelle hat, die in den ganzen Zahlen liegt. Also man nimmt Polynome f von x, also in einer Variable in x, schreiben wir so aus dem Polynome Ring über x und die Hausaufgabe ist, schreiben Sie mal ein Programm, was feststellt, hat f eine ganz zahlige Nullstelle, Entschuldigung, hier habe ich falsch, f von x eine Nullstelle in den ganzen Zahlen. Ja, solche Polynome können zum Beispiel sowas wie 2x plus 5 könnte das Polynome sein. Das sieht jeder sofort, hat natürlich keine Nullstelle in den ganzen Zahlen. Sie können auch kompliziertere Dinge haben, nur um Beispiele für Polynome zu haben hier. Wie bitte? Ja, die Frage ist, hat es eine Nullstelle in den ganzen Zahlen und hier können Sie es auch noch schnell sehen und feststellen, ob das eine ganz zahlige Nullstelle hat. Bei höheren Polynomen wird es vielleicht nicht mehr ganz so leicht zu sehen, aber wenn Sie sich ein bisschen mit Abschätzungen beschäftigt haben, dann können Sie übers Wochenende sicher ein Programm schreiben, was diese Frage beantwortet, ob dieses Polynome eine Nullstelle in den ganzen Zahlen hat. Sie können abschätzen, wenn es eine Nullstelle hat, dieses Polynomen, dann liegt es irgendwo zwischen hier und da und dazwischen liegen nur endlich viele ganze Zahlen und diese endlichen vielen ganzen Zahlen können Sie einfach einsetzen und entweder ist die Antwort ja oder die Antwort ist nein. Ja, also wir können diese Frage entscheiden, das ist sicher kein unentscheidbares Problem. Jetzt sagt der Lehrer, ja ganz toll, eine Variable haben Sie geschafft, jetzt über das nächste Wochenende machen Sie zwei Variablen. Das heißt, Sie haben Polynome mit Koeffizienten aus den ganzen Zahlen, ja, also die Koeffizienten sind diese Zahlen, da könnten ja auch rationale Zahlen stehen, drei Fünftel oder sowas oder reelle Zahlen, aber wir betrachten nur Koeffizienten in den ganzen Zahlen und jetzt betrachten wir Polynome in zwei Variablen, auch mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen und die Frage ist wieder, hat so ein Polynome eine Nullstelle in den ganzen Zahlen und natürlich bei manchen Polynomen sieht man es, also zum Beispiel 6x3y, ich habe hier mal welche Vorbereite, wo ich es dann sehen kann, x hoch 3 minus 10 gleich Null, können Sie sehen, das hat eine Nullstelle für x und y gleich 1, das heißt hier ist die Antwort ja und wie würden Sie anfangen, das zu programmieren, ja Sie können sagen, okay ich setze mal für x Null ein und betrachte das als Polynome in einer Variable, dann kann ich es lösen und dann mache ich weiter und setze 1 ein und so weiter, ein bisschen schlecht, da kommt man nicht so gut von der Stelle oder man betrachtet die Zahlen im Quadrat, also hier das die Gitterpunkte im Z Quadrat und läuft hier in immer größere Quadrate ab und sucht da und klar ist, dass wenn es eine Nullstelle in den ganzen Zahlen gibt, dann finde ich natürlich eine mit diesem Verfahren, wenn ich alle absuche, wenn es eine gibt, werde ich sie finden. Bei dem Polynome mit einer Variable wussten wir halt vorher, dass wir eingrenzen können, wo wir suchen müssen, das heißt ich musste nur endlich viele absuchen, ich wusste dann irgendwo dazwischen da und da muss es sein, hier weiß ich das nicht, das heißt wenn ich dieses Verfahren wähle, finde ich sie zwar, wenn sie existiert, aber ich weiß nie, ob ich aufhören kann, bei dem anderen wusste ich, ich kann aufhören, wenn ich von da bis da gelaufen bin, dann bin ich fertig, hier weiß ich nicht, dass es aufhört. Und dieses Problem, das klingt ja wie ein einfaches Problem, hat dieses Polynome, gibt es einen Verfahren wie ich, wenn sie mir einen Polynome über den ganzen Zahlen geben, kann ich dann sagen, hat eine Nullstelle oder nicht in den ganzen Zahlen. Und das ist Hilbert zehntes Problem. David Hilbert hat den, den sie auf dem Plakat so schön dargestellt finden mit dem Hut, der hat 1900 auf dem Mathematikerkongress in Paris gesprochen und hat die wichtigsten Probleme für das neue Jahrhundert vorgestellt, die unbedingt zu lösen sind, damit die Mathematik vorankommt. Und das zehnte Problem auf der Liste war eben das. Und er hat es formuliert, finde einen Algorithmus, der diese Frage beantwortet. Wenn ich einen Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten habe, entscheide, ob das eine ganzzahlige Nullstelle hat. Also finde einen Algorithmus, der entscheidet ein ganzzahliges Polynome, eine ganzzahlige Nullstelle hat. Das heißt, an der Formulierung sehen Sie, dass Hilbert davon ausgegangen ist, dass sich das irgendwie über das Wochenende vielleicht lösen lässt. Er hat es als zehntes Problem formuliert, also er ist offensichtlich nicht davon ausgegangen, dass man es über das Wochenende lösen kann. 1970 hat Jury Matjasiewicz aufbauend auf Arbeiten von Martin Davis, Hillary Putnam und Julia Robinson dann gezeigt, dass es so einen Algorithmus nicht gibt. Also das ist der Satz von Matjasiewicz und das beruht wirklich sehr stark auf den Vorarbeiten, deshalb will ich die alle nennen. Davis, Putnam, Julia Robinson, das war 1970, also durchaus eine Weile später. Die haben gezeigt, einen solchen Algorithmus gibt es nicht und kann es auch nicht geben. Wenn ich Ihnen hier bei einer Variablen habe, habe ich Ihnen einen Algorithmus gezeigt. Man schätzt ab, wo die Nullstellen liegen müssen und sucht dazwischen das Gebiet ab, das ist ein Algorithmus. Aber wie zeigt man, dass es einen solchen Algorithmus nicht geben kann? Man muss ja zeigen, jeder mögliche Algorithmus tut es nicht. Das ist also ein viel schwierigeres Problem und natürlich gibt es einzelne Polynome, für die man entscheiden kann, ob das Polynome eine ganzzahlige Nullstelle hat. Aber die Frage ist, gibt es einen Algorithmus, der bei einem Eingabe von einem Polynome sagt ja oder nein, hat eine ganz zahlige Nullstelle. Jetzt ist natürlich die Frage, was ist ein Algorithmus und da benutzen wir einfach die churchche These. Die sagt, alles was wir, was sich durch ein Computer entscheiden lässt, ist genau das, was wir auch intuitiv entscheidbar finden und das hängt auch nicht vom Computer ab oder von der Computersprache, die sie benutzen. Das ist alles equivalent. Alle Definitionen von Algorithmus oder Berechen oder Entscheidbarkeit sind equivalent. Das ist natürlich nicht ein Satz, den man beweisen kann. Das ist nur eine These, mit der wir arbeiten, weil sie plausibel ist und weil wir noch kein Gegenbeispiel haben. Also was ist jetzt ein Algorithmus? Ein Algorithmus ist einfach das, was wir als ein Computerprogramm hinschreiben können, dass irgendwas entscheidet. Wenn man zum Beispiel eine Teilmenge der natürlichen Zahlen oder der ganzen Zahlen angibt, dann soll das Programm entscheiden, ist ein Element in der Menge drin oder nicht drin. Das ist, was der Algorithmus tun soll und welches Programm sie dafür benutzen oder welche Computersprache, das ist egal. Man kann eben für die verschiedenen Computersprachen zeigen, dass das eine vielleicht komfortabler ist als das andere, aber alles lässt sich übersetzen und emulieren und ist insofern equivalent hängt, also auch nicht vom Computer ab. Das heißt, die Touringmaschinen, die Sie vielleicht irgendwann mal gesehen haben, die nur aus einem Band bestehen, die auch auf dem Bild also wunderbar abgedrückt sind auf dem Plakat. Sie haben nur so ein Leseband und da dürfen sie nullen und einzend drauf schreiben und dann haben sie ein Lesekopf, der da was drauf ändern kann. Das ist für unseren Zweck ganz genauso gut wie der neueste Supercomputer. Gut, jetzt haben wir uns ungefähr vorgestellt, was ein Algorithmus ist. Wie soll man denn jetzt zeigen können, dass es so einen Algorithmus nicht geben kann und um Ihnen das zu erklären, will ich, die meisten von Ihnen haben es wahrscheinlich schon mal gesehen, das an das Diagonale Argument von Kantor erinnern. Damit kann man allerhand schöne Dinge zeigen, Diagonalargument. Zum Beispiel hat Kantor gezeigt, dass es mehr Reellezahlen als natürliche Zahlen oder als ganze Zahlen gibt. Die Mächtigkeit der Reellenzahlen, also schreiben wir so, ist größer als die Mächtigkeit der, sagen wir als der natürlichen Zahlen. Und das heißt einfach, es gibt mehr Reellezahlen als natürliche Zahlen. Natürlich würden Sie jetzt sagen, es gibt auch mehr rationale Zahlen oder mehr ganze Zahlen als natürliche Zahlen, aber das mehr ist gemeint hier in dem Sinne, es kann keine Bejektion geben. Bei den ganzen Zahlen sehen Sie natürlich, dass wir die ganzen Zahlen 1 zu 1 mit den natürlichen Zahlen oder auf die natürlichen Zahlen abbilden können. Wir können 0, dann 1 dahin, 2 dahin und so weiter, immer zick zack, das heißt es sind genau gleich viele Elemente und das können wir genauso gut mit den rationalen Zahlen machen, das sind auch nicht mehr als die natürlichen Zahlen. Aber bei den Reellenzahlen passiert was anderes, das sind nämlich tatsächlich mehr als die natürlichen Zahlen und die Frage ist jetzt, wie zeige ich denn, dass ich nicht so eine 1 zu 1 Zuordnung machen kann zwischen den Reellenzahlen und den natürlichen Zahlen und da kommt dieses Diagonalargument ins Spiel. Wir nehmen an, dass die Reellenzahlen nur genauso viele sind wie den natürlichen Zahlen, sodass ich die 1 zu 1 zu den natürlichen Zahlen zuordnen kann und wenn das so ist, dann ist es natürlich insbesondere für das, sagen wir mal, für das offene Intervall zwischen 0 und 1, also die Reellenzahlen zwischen 0 und 1, die muss sich dann auch 1 zu 1 mit den natürlichen Zahlen identifizieren können. Also nehme ich einfach mal an, dass das geht und schreibe die hier als unendliche Dezimalbrüche hin, diese ganzen Reellenzahlen zwischen 0 und 1. Also ich fange an, hier diese Zahlen, also das Komma ist hier, 0 Komma irgendwas, ich schreibe die einfach der Reihe nach auf, wenn ich annehme, dass es genauso viele sind wie die natürlichen Zahlen, kann ich den einfach so eine Nummer zuordnen und die dann in der entsprechenden Reihenfolge aufschreiben und dann müssten alle Zahlen hier vorkommen. Wenn ich davon ausgehe, dass das geht, stelle ich mir vor, ich habe hier diese Liste und jetzt, hier ist die erste Stelle, also das ist die Zuordnung zu den natürlichen Zahlen, jetzt baue ich mir eine andere Zahl, die auch im Intervall zwischen 0 und 1 liegt und zwar einfach hier ändere ich diese Stelle, da steht eine 0, also schreibe ich mir eine 1 hin, hier steht eine 5, schreibe ich mir eine 6 hin, hier steht eine 6, schreibe ich eine 7 hin und so weiter. Ja, ich baue einfach einen unendlichen Dezimalbruch, den ich aus diesen Zahlen finde, indem ich immer an der in der dritten Reihe die dritte Stelle verändere, in der fünften, die fünfte, in jedem das entsprechende. Dann kommt hier irgendein unendlicher Dezimalbruch raus, der auch zwischen 0 und 1 liegt, aber der steht natürlich nicht in dieser Liste, denn ich habe ja dafür gesorgt, dass er sich von allen Zahlen in der Liste unterscheidet. Also diese Zahl kommt hier in der Liste nicht vor, das heißt unsere Annahme, dass wir die alle aufzählen könnten, war falsch. Also es gibt mehr reelle Zahlen als es natürliche Zahlen gibt. Ich kann immer und das ist dieses Diagonalargument, auf der Diagonalen ändere ich die Einträge, so dass die Zahl, die ich daraus baste, garantiert in der Liste nicht vorkommt. Es kann nicht die siebte Zahl in der Liste sein, denn an der siebten Stelle unterscheidet sie sich und es kann auch nicht die 29. sein. Also das ist dieses Diagonalargument und das können wir jetzt gleich nochmal verfeinern und uns ein unentscheidbares Problem daraus mit diesem Diagonalargument basteln. Wenn Sie schon mal Computer programmiert haben, dann wissen Sie, dass es immer ein Problem ist zu wissen, ob der Computer dann auch irgendwann anhält, wenn man ihm was zu tun gibt. Manche haben mehr Erfahrung als andere. Genau, das ist ein Problem und das ist auch richtig so, denn der Satz ist, dass das Halteproblem eben nicht entscheidbar ist. Jetzt muss ich Ihnen sagen, was ist das Halteproblem? Das Halteproblem fragt, wenn ich ein Algorithmus habe, stoppt der bei dieser Eingabe. Dazu, damit das ein entscheidbares Problem ist, müssen wir uns erst mal überlegen, es gibt nur abzählbar viele Algorithmen. Das heißt, wir können die Algorithmen mit den natürlichen Zahlen identifizieren. Ein Algorithmus ist immer ein endliches Stück und also es sind nur abzählbar viele. Das heißt, das hat überhaupt Sinn danach zu fragen. Das heißt, wir können die Algorithmen aufzählen und wir können die Eingaben, wir behandeln natürlich immer nur abzählbare Mengen als Eingabemengen. Das heißt, wir können fragen, der Algorithmus mit der Nummer K, was macht der bei Eingabe M? Hält er oder hält er nicht? Und die Behauptung ist, dass wir keinen Algorithmus finden können, der sagt, der Algorithmus Nummer K stoppt bei Eingabe M oder nicht, der das entscheidet. Das ist die Behauptung. Dieses Halteproblem ist unentscheidbar. Und wie zeigen wir das? Genau mit so einem Diagonalargument. Wir nehmen an, es gibt einen Algorithmus, der das entscheidet, angenommen, ein solcher Algorithmus existiert. Okay, dann bastle ich mir ein neues Computerprogramm und sie werden dann hoffentlich gleich mein Diagonal Argument erkennen. Ich bastle mir ein Computerprogramm, das das folgende tut. Bei Eingabe P, also neuer Algorithmus, was tut der? Bei Eingabe P, also so natürlich ein Zahl, fragt er, ob der Algorithmus Nummer P bei Eingabe P stoppt. Wenn wir annehmen, das ist entscheidbar, dann ist das entscheidbar, können wir fragen, stoppt er. Wenn er stoppt, das Computerprogramm mit der Nummer P bei Eingabe P stoppt, dann soll dieser Algorithmus einfach unendlich weiterlaufen, irgendeine Schleife laufen, lauter Nullen aufs Band schreiben oder irgendwas, dann soll dieses neue, dieses Programm hier weiterlaufen, endlich weiterlaufen. Und wenn das nicht stoppt, dann soll es stoppen. Ja, Sie sehen, wenn wir annehmen, dass es entscheidbar ist, dass es ein Algorithmus gibt, der uns das entscheidet, dann ist das hier natürlich ein anständiger Algorithmus. Er sagt, sagt mir, ob das stoppt oder nicht. Wenn das stoppt, dann soll mein neuer Algorithmus weiterlaufen, wenn es nicht stoppt, soll er aufhören. Vernünftige Algorithmus. Nun haben wir aber gesagt, alle Algorithmen können wir mit irgendwelchen, können wir mit den zugehörigen Zahlen identifizieren. Das heißt, dieser Algorithmus, den ich hier hingeschrieben habe, der braucht auch eine Nummer. Dieser Algorithmus hat auch eine von den Nummern. Denn alle Algorithmen haben irgendeine Nummer und sei Q die Nummer von diesem Algorithmus, die Nummer dieses Algorithmus, für diesen Algorithmus. Und jetzt schauen wir uns an, was macht denn der Algorithmus mit der Nummer Q bei Eingabe Q? Ja, wenn er bei Eingabe Q stoppt, muss er weiterlaufen. Wenn er bei Eingabe Q anhält, muss er stoppen. Das kann nicht sein. Also, da ist ein Fehler und der Fehler lag eben an der Annahme, dass es diesen Algorithmus gibt. Also, genau das gleiche Diagonalargument wie eben. Vielleicht schreibe ich es hier noch an. Sei Q die Nummer für diesen Algorithmus. Frage, was passiert Eingabe Q? Und da haben wir dann einen Widerspruch. Das heißt, die Annahme, dass das Halteproblem entscheidbar ist, hat zu einem Widerspruch geführt. Das heißt, das Halteproblem ist unentscheidbar. Aber natürlich genau wie bei der Suche nach Nullstellen, wenn wir eine Nullstelle finden, habe ich gesagt, haben wir eine gefunden. Das ist gut, dann wissen wir Bescheid. Wir wissen halt nie, wann wir aufhören können. Genauso ist es mit dem Halteproblem. Wenn die Maschine stoppt, hält sie. Aber wir wissen halt nie, ob wir aufhören können zu warten. Das ist das Problem. Das heißt, solche Probleme nennt man semi-entscheidbar. Halteproblem ist semi-entscheidbar, genau wie das Nullstellenproblem. Semi, das heißt halb semi-entscheidbar. Wir kriegen eine Ja-Antwort, wenn die Antwort Ja ist. Aber wir kriegen keine Nein-Antwort, typischerweise. Gut, also wissen wir jetzt immerhin, dass es unentscheidbare Probleme gibt. Und nun wollen wir auch noch sehen, dass dieses Hilbert-Szene-Problem unentscheidbar ist und was Matthias Silvic aufbauend auf den Ergebnissen von Davis Putnam und Robinson gemacht hat, war zu zeigen, dass die semi-entscheidbaren Teilmengen der natürlichen Zahlen, also eine Teilmenge der, eine Menge N oder auch von Tupeln, also N hoch K, heißt semi-entscheidbar. Wenn es ein Algorithmus gibt, der bei, wenn ich ein Element aus A nehme, dann sagt der Algorithmus Ja ist in A. Aber der Algorithmus kann ich sagen, ne, ist nicht in A, kann nur die Hälfte entscheiden. Falls es Algorithmus gibt, der bestätigt, dass ein Element in A ist. Algorithmus gibt X in A bestätigt, aber nicht unbedingt für X nicht in A sagen kann, liegt nicht drin. Und natürlich ist eine Menge entscheidbar, wenn es ein Algorithmus gibt, der sagt Ja ist drin oder Nein ist nicht drin. Das heißt wir sehen, das ist einfach nur eine Bemerkung, Menge ist genau dann entscheidbar, wenn sowohl die, also klar muss sie semi-entscheidbar sein, ich muss sagen können das Element liegt drin, wenn das Komplement auch semi-entscheidbar ist. Wenn A und das Komplement, also N hoch K ohne A, beide semi-entscheidbar sind, denn wenn ich beide Algorithmen habe, einer der mir sagt, das Element liegt drin und einer der mir sagt, es liegt nicht drin, dann lasse ich einfach beide Programme laufen und eins der beiden Programme muss ich mir ja die richtige Antwort geben. Das andere läuft vielleicht ewig weiter. Wenn ich ein Element hier in A nehme, dann sagt mir das eine Programm Ja ist drin und wenn es nicht drin ist, sagt mir das andere Programm ist drin. Also wenn die Menge und das Komplement semi-entscheidbar sind, dann ist die Menge entscheidbar. Was die Matja Siewitsch Davils Robinson gezeigt haben, ist, dass die semi-entscheidbaren Mengen genau die diofantischen Mengen sind. Das ist sozusagen der wichtige Punkt daran, die gleichen wie oben Matja Siewitsch Davils Robinson, semi-entscheidbaren Mengen, Teilmengen von N hoch K, sind genau die diofantischen und ich sage Ihnen jetzt, was die diofantische Mengen sind, phantischen Mengen, nämlich die, die durch ganz zahlige Polinomgleichung beschrieben werden. Da brauche ich hier noch die Definition hin. Eine Teilmenge heißt diofantisch, wenn es ein Polinom gibt und zwar ein Polinom in K, ja in K plus J vielen Variablen mit Koeffizienten aus den ganzen Zahlen, X jetzt muss ich sehen, X1 bis XJ und Y1 bis YK, also dieses Polinom hat viele Variablen, und zwar von zwei Typen, X und Y und man kann, wenn man so mehr dimensionale Sachen hat, wie in unserem Beispiel hier X und Y, dann kann man immer auf eine Achse runterprojektieren, die Nullstellenmengen. Das heißt die Y hier sind die, auf die projiziert wird. Das heißt, diese Menge heißt diofantisch, wenn es so eine Funktion F gibt, so ein Polinom F, gibt A ist genau die Menge in 1 bis NJ, für die es A1 bis AK gibt in den ganzen Zahlen, so dass F von diesen Ns und den As gleich Null ist. Ja, das ist jetzt vielleicht erst mal ein bisschen kompliziert zu lesen, was heißt das? Ich sage, die Koeffizienten, diese Ns setz ich für die X ein, diese X sind dann aber Koeffizienten und die Nullstellen suche ich für die Y. Ich sage, eine Menge ist diofantisch, wenn ich hier solche Dinge finden kann, die mir sagen, es gibt eine ganz zahlige Nullstelle für das Polinom, wenn ich für die X diese ganzen Zahlen einsetze. Okay, das ist ja genau die Frage, mit der wir am Anfang gestartet haben, kann ich das entscheiden? Nun haben die gezeigt, diese diofantischen Mengen sind genau die Semientscheidbaren und wir haben eben gesehen, es gibt Semientscheidbare Mengen, die nicht entscheidbar sind. Das heißt, wenn ich so eine Semientscheidbare Menge finde, die nicht entscheidbar ist, dann habe ich hier jede Menge Polinome für die ich das eben nicht entscheiden kann. Gibt es eine ganz zahlige Nullstelle oder nicht? Das ist genau die Aussage. Wir können nicht entscheiden, diese Menge, wenn dies hier nicht entscheidbar ist, gibt es eben keinen Algorithmus, der mir sagt, für diese Koeffizienten, die ich da einsetze, gibt es eine ganz zahlige Nullstelle. Semientscheidbare ist natürlich schon, ich kann die nehmen und dann schauen, ob ich eine ganz zahlige Nullstelle finde, wenn irgendwann werde ich die finden, aber ich weiß halt nie, ob es tatsächlich eine gibt. Das heißt, Sie sehen daraus, dass, wenn Sie ihr Wochenende damit verbracht hätten, das hier zu programmieren, wäre schade ums Wochenende. Es ist auch ganz gut, wenn man das weiß, dann fängt man nämlich gar nicht erst an. Das hat aber für Mathematiker auch sehr schöne Auswirkungen, weil das zum Beispiel heißt, dass die Arithmetik nicht entscheidbar ist, die Theorie der natürlichen Zahlen. Ich wische mal, also insbesondere folgt daraus, dass wir über Aussagen der natürlichen Zahlen, es gibt keinen Algorithmus, der entscheidet, ob irgendein Satz in den natürlichen Zahlen richtig ist oder nicht richtig ist. Die Arithmetik ist unentscheidbar. Das heißt, die Theorie von den natürlichen Zahlen mit plus und mal und null und eins. Alles, was man da an Aussagen hinschreiben kann, wäre ja schön, wenn es ein Computerprogramm gibt, das einfach sagt, ich schreibe diesen Satz hin, zum Beispiel Fermat und das sagt mir jetzt ist richtig oder ist nicht richtig. Oder wäre ihm nicht schön, wäre für die Mathematiker eine traurige Sache. Also für uns heißt es, die Arithmetik ist nicht entscheidbar und insbesondere möchte ich auch noch zeigen, warum Güdels erster Unvollständigkeitssatz, was der damit zu tun hat. Ich weiß nicht, ob Sie davon gehört haben, aber ich wähne das kurz noch. Güdels Unvollständigkeitssatz für die Arithmetik, das heißt für diese Struktur, die natürlichen Zahlen mit plus mal null und eins, können wir natürlich Sachen hinschreiben, die gelten und wir können uns auch überlegen, was sollen die Aktionen sein, mit denen wir da drin rechnen. Also wenn wir nach anderen Modellen suchen. Und natürlich, wenn man mit Aktionen rechnen will, dann ist es immer gut, wenn man sagen kann, was ein Aktion ist und was kein Aktion ist, sonst ist es irgendwie witzlos. Das heißt, man möchte, dass das Aktionensystem entscheidbar ist, in dem Sinne, wie wir gerade gesagt haben, dass man entscheiden kann, ist ein Aktion oder ist kein Aktion. Was man auch gerne hat, wenn man Aktionensysteme angibt, ist, dass das vollständig ist. Nämlich, was soll das heißen, dass es vollständig ist. Wenn man Aktionen hat, dann betrachtet man immer das, was daraus folgt. Dazu baut man sich Aktionensysteme und vollständig heißt das Aktionensystem, wenn für jeden Satz, entweder der Satz oder die Negation des Satzes daraus folgt. Das Aktionensystem entscheidet dann vollständig über alle Konsequenzen. Und nun ist klar, wenn Sie eine Theorie haben, die ein vollständig, die ein entscheidbares Aktionensystem hat und das vollständig ist, dann ist die Theorie entscheidbar. Denn wenn Sie wissen wollen, ob ein Satz gilt oder nicht gilt, dann warten Sie einfach, das können alles, was sich aus den Aktionen folgern lässt, können Sie natürlich der Reihe nach aufzählen. Irgendwann kommt der Satz vor oder die Negation des Satzes und dann wissen Sie Bescheid. Was wir hier gesehen haben, ist, die natürlichen Zahlen sind nicht entscheidbar. Das heißt, wir sehen sofort, also was ich Ihnen eben erklärt habe, gilt immer, also nicht speziell für die natürlichen Zahlen, sondern wenn Sie ein vollständiges Aktionensystem haben mit entscheidbaren Aktionen, dann können Sie alles aufzählen, was daraus folgt. Wenn es vollständig ist, ist die Theorie entscheidbar, einfach ganz allgemein. Diese Theorie ist nicht entscheidbar. Also sehen wir daraus, dass egal, wie man sich anstrengt, man kann kein Aktionensystem für die natürlichen Zahlen finden, was beides ist entscheidbar, also so, dass ich sagen kann, was die Aktionen sind und vollständig, so dass alles daraus folgt oder die Negation. Das heißt, das war ein Schock, als der Satz von Gödel bewiesen wurde. Diese Unvollständigkeitssätze, das hat wirklich die Mathematik erschüttert, weil man gedacht hat, ich meine auch an den Formulierungen von Hilbert's Problem hat man gesehen, dass sie, die haben wir damals gedacht, okay, jetzt wissen wir, wie man mit Aktionen arbeitet, wie man das machen muss. Jetzt stellen wir das alles auf ganz solide Füße. Wir müssen nur die Aktionen richtig wählen, zum Beispiel Wacanto auch erschüttert, weil er die Definition einer Menge schon, ja, wir denken alle Mengen, klar weiß jeder, was eine Menge ist, aber es war eine ganz große Errungenschaft, als man die Definition einer Menge sozusagen auf die richtigen Füße gestellt hat. Und dann hat man gedacht, okay, jetzt sind wir dabei und dann machen wir das auch. Und als Gödel's Satz dann kam, der hat gesagt, es geht nicht, man kann nicht beides haben. Das war wirklich ein großer Schock für die mathematische Community. Und mit dem Schock hier, endlich. Jetzt, jetzt, also ganz herzlichen Dank für den inspirierenden und schockierenden Vortrag. Wir haben bestimmt noch Momentchenzeit für Fragen. Wenn Sie Fragen an Frau Tent haben, bitte melden Sie sich einfach. Ich würde ganz kurz mit dem Mikro zu Ihnen kommen und dann können Sie Fragen fragen. Die Denkenmikros sind an, Sie dürfen also einfach losreden, habe ich gerade gehört. Also da oben, die Mikros sind auch an. Der traut sich eine Frage zu stellen. Ja, sehr gute Frage. Polynome sind so Funktionen der Form x² plus 8. Und dann kann man die eben auch x5 plus 3x. Das sind Polynome und dann kann man auch verschiedene Variablen nehmen, x und y oder x1 bis x7. Das sind Polynome. Und in der Schule beschäftigen Sie sich damit, Nullstellen zu finden, aber eben nicht damit, ob es eine ganz zahlige Nullstelle ist. Aber das freut mich ja, dass in den Schulen die das angekommen sind. Kannst du mal zeitlich einordnen, wann das mit Güdel war? Weil du gesagt hast, Hilbert's Problem 10 war im 19. Jahrhundert. In den 40er Jahren. In den 1940er Jahren. Und dann hast du gesagt, es gab, das ist der erste Unvollständigkeitssatz. Ja, es gibt Varianten dazu. Es geht ja auch immer um die Aktion der Mengenlehre. Und da sagen die meisten Mathematiker, brauche ich nicht. Kommt in meinem Leben nicht vor, sozusagen. Aber da ist das gleiche Phänomen. Man kann nicht die Aktion der Mengenlehre so machen, dass sie gleichzeitig vollständig und entscheidbar sind. Einer der Fragen, das habe ich jetzt weggewischt, das Diagonalargument. Ich hatte gezeigt, es gibt mehr Reellezahlen als natürliche Zahlen. Und eine der berühmten Fragen, die aus unseren normalen Aktionen, mit denen wir arbeiten, nicht folgt, ist, ob es eine Menge gibt, die mehr Elemente als die natürlichen Zahlen hat, aber weniger als die Reellenzahlen. Das ist die Continuumsypothese. Gödel hat gezeigt, man kann, es ist konsistent anzunehmen, dass es das nicht gibt. Man nimmt das Aktionensystem für die Mengen, in denen wir arbeiten im täglichen Leben. Und wenn ich dieses System habe und wenn das konsistent ist, was man eben auch nicht beweisen kann in sich selbst, dann ist es auch konsistent anzunehmen, dass da zwischen keiner Mächtigkeit liegt. Und Kohn hat dann gezeigt, es ist auch konsistent das Gegenteil anzunehmen und anzunehmen, dass es doch was dazwischen gibt. Das heißt, das ist einfach unabhängig von den anderen Aktionen, die man hat. Vielen Dank für den Vortrag erst mal. Und Sie meinten eben, die natürlichen Zahlen wären nicht entscheidbar. Ich kann mir vorstellen, wie eine Frage oder ein Problem nicht entscheidbar sein kann, aber wie kann ich mir nicht vorstellen, wie eine Menge an Zahlen... Nein, die Theorie der natürlichen Zahlen ist nicht entscheidbar. Also es ist nicht entscheidbar, welche Sätze, die Menge der Sätze, die man ausdrücken kann, ist keine entscheidbaren Hänge. Also zum Beispiel, es gibt keinen Algorithmus, der allgemein entscheidet, denn sonst hätte man dem auch dieses hier vorlegen können. Vielen Dank. Wie konnte Goede sein, Ursprachs, Theorien oder Satz überformulieren, weil er musste ja auch dafür ein eigenes Aktionssystem annehmen, oder indem er quasi diesen Satz formuliert. Wie kann er dann in der Aussage über quasi alle Aktionen systemetraten? Ja, gute Frage. Es muss alles also über abzählbare... Es geht darum, diese Aktionensysteme so zu formalisieren, dass man... Das ist eben die Kunst darin, dass man dieses Diagonalargument einfach durchführen kann. Was er gezeigt hat ist, wenn das Aktionensystem vollständig genug ist, um zum Beispiel die natürlichen Zahlen plus und mal zu formulieren, dann kann man immer auch das Diagonalargument darin formalisieren. Wenn er dieses Diagonalverfahren allein schon durchführen, dann hat er ja trotzdem zugrunde liebende Sechs. Genau, da muss man sehen, man hängt irgendwo in der Luft. Ja, heute war auch so ein Diagonalargument. Sie haben ja gesagt, dass man nach gutes Ursprünglichkeitsraten kann man nur allzu beiden haben. Also, er wird auf Vorständigkeit oder Entscheidbarkeit. Wenn man sich jetzt ein System aufbaut aus Aktionen weiß man dann, was von beiden es ist oder weiß man nicht. Also, es gibt andere Theorien, die axiomatisierbar sind und vollständig. Wenn man zum Beispiel die Theorie der komplexen Zahlen hinschreibt, dann schreibt man hin, das ist ein Körper in der Charakteristik Null für diejenigen, die das wissen. Charakteristik Null kann man auch hinschreiben und man sagt, es ist Algebraisch abgeschlossen. Das heißt, man schreibt alle die Aktionen hin, jedes Polinum von Grad N hat eine Nullstelle, schreibt man für alle N hin und das ist ein vollständiges und entscheidbares Aktionensystem. Also, es gibt entscheidbare Theorien, aber die natürlichen Zahlen, die Arithmetik gehört nicht dazu. Aber das zu beweisen, dass das vollständig und entscheidbar ist, ist nicht trivial. Also, je nachdem, um welches Gebiet es geht, ist da was zu tun. Ich habe noch eine ruckabel Frage. Was ist dein Aktion? Ein Aktion ist einfach eine Annahme, mit der man weitermacht. Irgendwas, was nicht sagen wir, wenn es zum Beispiel um die Aktion mit der Mengenlehre geht, das ist vielleicht das Einfachste als Beispiel zu nehmen, dann überlegt man, ja, was wollen wir denn als Aktionen nehmen? Ja, das war nämlich, es war auch ein Schock für Kantor. Kantor hatte gesagt, ja, eine Menge ist alles, was man irgendwie zusammenfassen kann. So stellen wir uns das vor. Menge ist alles, was man irgendwie so zusammenfassen kann. Und dann hat Russell gesagt, das ist keine gute Definition, denn dann gibt es die rasselsche Antinomie, also die sogenannte Russell-Klasse, das ist die Menge aller X, die nicht in sich selbst enthalten ist. Das sind alle X, X nicht in X. Und Sie inzwischen kennen Sie dieses Spiel, jetzt fragt man sich, also nach Kantors Definition ist das eine Menge, ist das jetzt drin oder nicht drin? Und Sie kommen auf die gleiche Weise in Widerspruch. Das heißt, das war keine gute Definition, die Kantor da hatte. Das war auch nicht schön für ihn. Und dann gibt es von Zermelo und Frenkel haben die, die axiomatische Mengenlehre eigentlich begründet und dann ist die Frage, was wollen wir denn als unbestreitbares Aktion zum Anfang mal nehmen? Und dann gibt es eben das Aktion, die Lehremenge existiert. Das ist doch schon mal ein gutes Aktion, da können wir uns vielleicht darauf einigen. Also die Lehremenge existiert, dann gibt es die Aussage, wenn man eine Menge hat, dann ist die Menge aller Teilmengen auch eine Menge, das heißt die Potenzmenge existiert, die Nachfolgermenge existiert, nämlich wenn X eine Menge ist, dann ist auch X vereinigt mit X eine Menge und so weiter. Und solche Aktionen schratzt man hin und dann überlegt man, will ich noch mehr Aktionen haben, zum Beispiel will ich annehmen, dass es noch eine Menge, also eine Größe dazwischen gibt oder will ich lieber annehmen, dass es nicht gilt. Und dann muss man natürlich schauen, was passiert, wenn ich das annehme. Sie hatten ins Rheum gesagt, dass man tatsächlich trotzdem Aktionen Systeme findet, die vollständig sind und entscheidbar sind, aber dann habe ich, glaube ich, Grödes Satz natürlich verstanden, weil war nicht die Aussage, gerade dass ich das nicht finde? Für die natürlichen Zahlen, weil wir da, was ich gesagt habe ist Folgendes, wenn wir ein vollständiges und entscheidbares Aktionensystem haben für irgendeine Theorie, dann ist die Theorie entscheidbar. Die Theorie der natürlichen Zahlen ist nicht entscheidbar. Also hat die Theorie der natürlichen Zahlen kein vollständiges und entscheidbares Aktionensystem. Die Theorie der komplexen Zahlen ist entscheidbar. Ich hätte noch eine Frage zur churchen These und zwar ist bei mir im Kopf irgendwie so ein bisschen noch drin, ja für einen regulären Computer, wie wir ihn bei uns irgendwie in der Hosentasche haben als Handy oder was, da scheint mir das durchaus sinnvoll, aber die Frage, wie ich feststelle, ist, wie ist das bei Quantencomputing, da wissen wir ja, dass das auch natürlich... Ehrlich gesagt, das weiß ich nicht. Also das regelt ja dann in Bereichen, wo es dann so abstraktiert wird? Nein, nicht nur geht nicht um die Abstraktion, sondern um das Zufallsprinzip, was da rein geht. Weiß ich nicht, wie sich das mit Quantencomputern verhält. Also weiß ich gar nicht. Okay, vielen Dank. Das ist nicht mein... Diese Art von Mathematik ist nicht mein Arbeitsgebiet. Ich nehme an, dass die Rekursionstheoretiker hier vielleicht wissen, wie die Quantencomputer zu dem... zur churchen These stellen. Ich hätte noch eine Frage, wenn es mich das schon länger interessiert hat, bei dem Argument im Halteproblem. Da nehme ich an, ich habe dieses Programm, das es immer entscheiden kann, und dann konstruiere ich sozusagen diesen Zusatz, dass es dann eben immer das Gegenteil davon macht. Meine Frage ist, sozusagen ist irgendwie, wenn ich das Programm auf sich selbst anwende, ist das überhaupt irgendwie eine zulässige Eingabe? Weil kriege ich da keinen unendlichen Regress? Weil ich ja muss ja sozusagen nicht nur angeben, muss ja nicht nur das Programm angeben, sondern auch sozusagen das Programm von wieder die Eingabe und so weiter. Die Annahme ist ja gerade, dass wir alle Programme durchnummeriert haben. Der Computer kriegt die Nummer, dann kann er das Programm daraus ausrechnen. Und er kriegt als Eingabe auch noch eine Nummer. Und wir haben angenommen, das ist ein Algorithmus. Wir haben angenommen, das ist entscheidbar. Deshalb kriegen wir dann keinen unendlichen Regress. Weil die Annahme genau ist, dass wir das nicht bekommen. Und das führt zum Widerspruch. Also war es eine schlechte Annahme, ne? Man wendet ja nicht den selben Algorithmus auf sich selbst an, sondern man wendet den Algorithmus mit der Nummer p auf die Eingabe p an. Das kann ich natürlich machen. Aber da muss ich doch noch dazusagen, welche Eingabe das p verläuft, oder? Ist auch nicht so wichtig. Wenn ich den in diesen Dings sage, ich weiß nicht wo es steht. Der Computer sagt, nimm Programm Nummer p und wende es auf die Zahl p an. Und das soll er mal machen. Gut, ich glaube, das ist auch ein gutes Schlusswort. Es soll er mal machen. Vielen, vielen herzlichen Dank für großes Interesse, für die vielen interessanten Fragen. Einen ganz, ganz herzlichen Dank an Kathrin Tent. Ich wünsche Ihnen allen noch einen sehr schönen Abend. Und vielen Dank fürs Vorbeikommen. Tschüss.