 Donc, je rappelle que la dernière fois, donc j'ai introduit la définition générale de ce que j'appelle des transformations de fourriers non linéaires. D'ailleurs, au début du cours, j'avais fait allusion, enfin aux échos que j'avais eu de choses qui avaient été faites avant. Donc, en partie, le cours d'André Veil à l'IHS dans les années 60, en fait, j'ai vérifié que ce dont il était question dans ce cours de Veil, intitulé Formule de poisson et groupe classique, en fait, il s'agissait des transformations de fourriers et formule de poisson linéaires sur les adels, donc comme dans la thèse de Taites, mais cette fois appris sur des algebres semi-simples. Donc, voilà, ce n'est pas ce dont je parle. En revanche, comme je l'avais déjà dit la fois précédente et je le répète, la perspective que je prends a déjà été introduite il y a une douzaine d'années par Braverman et Kajdan dans un article et d'après plusieurs échos que j'ai eus, en fait, les gens évoquaient déjà la possibilité d'aborder la fonctionnalité de l'anglance par des transformations de fourriers et formule de poisson non standard, en quelque sorte, très tôt, c'est-à-dire Souley m'avait dit que Godman avait dit ça devant lui à l'époque où il était élève de Godman, donc c'est-à-dire dans les années 70 et de même Gromov dit devant moi que c'était des idées très répandues dans les universités de Russe il y a plusieurs décennies. Voilà, donc la dernière fois, ce que j'ai fait c'est que j'ai en quelque sorte formulé un ensemble de vœux, j'ai donc l'exposé à préciser les propriétés qu'on attend de transformation de fourriers locales et d'une formule de poisson globale. Donc il y avait trois séries de propriétés, j'avais numéroté ça, problème 1, problème 2, problème 3. Le problème 1 consistait à définir sur un groupe productif considéré en une place une transformation de fourriers associé à une certaine représentation du groupe duale et les deux premières propriétés qu'on attendait de cette transformation de fourriers, c'est d'abord d'être compatible à la formation des termes constants et ensuite d'être un opérateur unitaire. La deuxième série de propriétés qu'on attendait c'était la possibilité de définir en chaque place un espace de ce que j'appelle les re-functions, donc quelque chose qui doit être stable par translation à gauche et à droite et dont la connaissance est complètement équivalente à celle des facteurs L-Loco. Cette espace doit également être stable par l'action de la transformation de fourriers et la connaissance de la transformation de fourriers agissant sur lui doit être équivalente à celle des facteurs epsilon, des représentations. Donc ça c'est le problème numéro 2, donc les problèmes 1 et 2 sont des problèmes locaux. Le problème 3 est donc l'existence d'une formule de poissons, c'est-à-dire d'une certaine forme linéaire définie sur les espaces de re-functions globales qui se déduisent de la définition des espaces de re-functions locales et donc on veut que cette formule linéaire soit invariante par la transformation de fourriers globale et j'ai donné une forme conjecturale pour cette formule linéaire, c'est-à-dire j'ai donné une définition de la formule linéaire en question et en fait le fait que cette formule linéaire est bien définie et stable par la transformation de fourriers est équivalent à la functorialité des groupes préductifs vers les groupes linéaires, plus précisément si on connaît le transfert de l'anglante de G à G à l'air, alors ça implique la formule de poissons pour la transformation de fourriers sur G associé à cette représentation et en sens inverse, c'est vrai aussi mais là pour démontrer le transfert de G à G à l'air on a besoin d'une formule de poissons sur un groupe plus gros que G, qui est essentiellement G x G à l'air moins 1. Voilà donc j'ai dit tout ça alors ce dont je voudrais parler aujourd'hui c'est un sujet qui est en un sens complètement trivial et qui est un peu ennuyeux, c'est le cas des torres mais malgré tout il faut le faire et il faut d'autant plus le faire que de bon en quelque sorte ça va servir un peu de modèle même si bien sûr il y a beaucoup de choses du cas abélien qu'on ne peut pas qu'ils n'ont plus de sens dans le canon abélien et puis même en fait pour ce que je dirais la semaine prochaine donc la semaine prochaine je vais m'intéresser principalement et même presque exclusivement au groupe GL2, je vais faire des calculs sur GL2 donc GL2 muni des représentations du groupe dual qui sont les puissances symétriques de courrières arbitraires et donc pour ce que je veux faire la semaine prochaine en fait j'ai besoin de regarder d'abord le cas des torres. Voilà alors je rappelle que la situation c'est faudrait peut-être allumer la lumière ici sur le tableau. Voilà donc on a ce que j'appelle une représentation de transferts c'est-à-dire un homomorphisme qui va du groupe dual de G, G est un groupe productif, G est un groupe productif que je prends quasi déployé sur un corps global F donc on prend le produit semi direct avec le groupe de Galois de F, voilà, vers GLR2C, c'est la situation générale qu'on considère et bien sûr qu'il t'a conjugué on peut supposer que roue induit un homomorphisme qui va du torre maximale de G chapeau c'est-à-dire le dual du torre maximale de G vers le torre maximale de GLR qui est ces fois la puissance R et donc cet homomorphisme on peut le voir comme une collection de R caractère. Voilà alors dans ce cours, dans le cours d'aujourd'hui il est possible qu'il y ait un moment pour gagner du temps je suppose qu'on n'ait pas d'action de Galois même si dans les notes écrites on prendra compte aussi de l'action de Galois mais je veux dire quand même à l'instant présent sous quelle hypothèse ce que je vais faire garder un sens avec action de Galois donc ici on fait une hypothèse disons l'hypothèse qui utilise le fait que ici on n'a pas un groupe arbitraire mais un groupe qui est le groupe de Galois de F donc l'hypothèse comprend c'est que gamma F agit sur c épicensère donc c épicensère c'est l'espace de la représentation roue par permutation des vecteurs de base donc c'est un type particulier d'action et donc tout ce que je vais expliquer garde un sens dans cette situation alors dans cette situation ça veut dire qu'on a une action induite du groupe de Galois sur l'ensemble des indices des vecteurs de base c'est à dire sur l'ensemble un de R et évidemment quand on a un ensemble fini muni d'une action continue du groupe de Galois c'est la même chose que se donner une algèbre séparable sur F de dimension R alors bien sûr si l'action est trivial c'est simplement F à l'épicensère sinon c'est n'importe quel agèbre séparable et dans cette situation voilà donc je garderai toujours cette notation e c'est cette extension là et dans ce cas là on peut former bien sûr ce que je vais noter te le tort te c'est le tort d'éduit du groupe multiplicatif par restriction des scalaires à la veille de F donc c'est un tort algébrique de dimension R définie sur F mais qui n'est pas gm à l'épicensère en général alors qu'est ce qu'on peut en dire on peut en dire que son duale le duale de ce tort c'est ces fois à la puissance R muni de l'action naturelle de gamma F par permutation des facteurs donc ça c'est la première chose importante bon ici on peut énoncer un petit l'M donc c'est la chose suivante c'est que l'homomorphisme que j'ai noté roté qui va de tes chapeaux dans dans ces fois la puissance R vous voyez roté je peux le voir comme un homomorphisme de tes chapeaux dans te chapeau et cet homomorphisme et gamma F et cuivariant par conséquent il est duale d'un homomorphisme que je note roté cheche qui va du tort te vers le tort t voilà alors le dans les les hypothèses qu'on avait mises sur la représentation de transfert il y avait en particulier le fait que roté est injectif donc ça veut dire que on a une suite exacte comme ceci ici il y a quelque chose que je note de cette manière là donc ici on a un certain tort quotient muni d'une action de gamma F bien sûr ce tort quotient au muni de l'action gamma F et duale d'un certain tort que je note térot et on a une une suite exacte tort défilé sur F qui est duale de la de la précédente alors maintenant je rappelle aussi que parmi les hypothèses que j'avais mises sur ro il y avait le fait que ro était muni d'un certain co-charactère que j'avais noté d'être j'ai flèche donc c'était quelque chose qui donc c'était un co-charactère central et bien sûr ça a un sens de le faire de le composer avec la représentation ro et donc on avait fait l'hypothèse que cette flèche là était consistée à associer à un élément lambda et bien la collection de scalaire tous égaux à lambda donc on avait ce par hypothèse on avait supposé qu'il y avait un certain co-charactère central qui vérifiaient cette propriété et on peut regarder le duale de ce co-charactère central donc c'est quelque chose que je note d'être un dix g donc c'est un caractère de g donc en particulier je peux le voir sur t et voilà donc cette chose là donc je la vois aussi comme un caractère de t vers gm et bien sûr ça a un sens quand j'ai ce caractère d'être g je peux le composer avec l'homomorphisme sur t et donc ici on a simplement que ce composé là que je note d'être indiceux d'être indiceux c'est simplement le déterminant voilà c'est la norme le déterminant de l'action de te sur l'espace linéaire que je note t e bar qui est simplement la restriction d'escalaire à la veille de l'espace linéaire à un donc c'est la norme c'est simplement la norme voilà alors donc ça c'est la définition générale mais pour ce que je voudrais faire la fois prochaine j'ai dit que je m'intéressais particulièrement au cas où on avait g chapeau qui était égal à gl2 de c divisé par les racines km de l'unité donc rose c'était sim k la représentation sim k qui va de g de g chapeau dans gl k plus 1 de c alors dans ce cas là qu'est-ce que c'est que qu'est ce que c'est que roté bah ça va de ces fois que multiplie ces fois divisé par mu k vers ces fois la puissance r et ici donc ce qu'on fait c'est que quand on a l'amda 1 l'amda 2 on associe la collection des l'amda 1 puissance y l'amda 2 puissance k moins y pour tous les y compris entre 0 et k et donc le le l'homomorphisme duale dans ce cas là donc il va de te alors te c'est quoi dans ce cas là c'est simplement gm à la puissance k plus 1 vers le torte alors t c'est quoi c'est gm fois gm produit fibré sur gm avec gm donc ici c'est simplement le l'homomorphisme ici c'est le produit des deux facteurs et le l'homomorphisme ici c'est l'élévation à la puissance k donc qu'est ce que c'est que ce morphisme quand j'ai des une famille de scalaire que je note l'amda 0 l'amda 1 l'amda k une famille de k plus un scalaire je dois leur associer trois composantes donc la première composante c'est l'amda 1 que multiplie l'amda 2 au carré etc. jusqu'à l'amda k puissance k la deuxième composante et bien vous prenez les puissances complémentaires donc c'est l'amda 0 puissance k l'amda 1 puissance k moins 1 etc. et vous allez jusqu'à l'amda k moins 1 puissance 1 l'amda k n'apparaît pas et la troisième composante qui est une racine carré qui est une racine k m du produit de ces deux choses et ben c'est le produit de tous les lampes d'ail vous vérifiez que ceci à la puissance k et bien le produit de ça pour ça voilà donc ça on s'en voilà on se souviendra de ça alors bon alors maintenant donc ici on a fait apparaître cet espace là t bar e qui est égal à la restriction et scalaire voilà et maintenant si je prends une place oui donc une chose importante à dire c'est que bien sûr on a un morphe qui va de ça vers à un qui est l'homomorphise de trace donc sur un corps agériquement en clône enfin c'est simplement donné par c'est à dire quand on passe à un corps agériquement clône à la somme de r coordonnée et donc on fait la somme de ses coordonnées c'est la trace habituelle alors en particulier si je prends pour x une place de f j'ai donc je noterai simplement e x donc c'est cette chose là donc c'est simplement ça c'est quoi c'est eux produit temps sorriel sur f avec fx donc unit de la trace ça va vers fx et alors je rappelle que la dernière fois on avait choisi un caractère additif non trivial qui va de l'anneau des adels de f que j'avais noté comme ça divisé par f dans donc dans ces fois en fait comme ceci est compact ce caractère est nécessairement unitaire et ici on peut composer ceci avec si x donc ça va dans dans ces fois et bien sûr c'est ça qui définit la transformation de fourrier sur le tort te plongé dans l'espace te bar donc la transformation de fourrier dans ce cas là transformation de fourrier sur e x qui est égal à t bar de fx c'est donné par la formule suivante si j'ai une fonction fx sur cet espace je lui associe ça transformé de fourrier qui par définition c'est l'intégral sur te de fx pour une certaine mesure additive d tx de fx de d tx que multiplie donc je vais le noter simplement kxe de tx fois la variable donc ici voilà et cette chose là le kxe de la variable c'est simplement si x de la trace de la variable donc voilà la définition générale de la transformation de fourrier dont on connaît les propriétés habituelles donc la première propriété c'est que si on a bien choisi la mesure additive ici la mesure en variant de par translation et bien le le composé de la transformation de fourrier avec enfin la transformation de fourrier est un opérateur unitaire voilà alors parmi les les propriétés importantes de la transformation de fourrier donc il y a le fait que c'est unitaire opérateur unitaire c'est à dire qu'il préserve le produit hermitien le produit hermitien c'est si j'ai de fonctions f1 et f2 leur produit hermitien par définition c'est l'intégral donc sur te de fx pour cette mesure cette même mesure d tx de f1 de tx f2 de tx bar voilà bon alors parmi les les propriétés importantes de la transformation de fourrier il y en a une qui pour nous est essentielle et pour toute la théorie automatique bien sûr c'est la compatibilité avec les translations à gauche ou à droite donc ici on est avec un tord abélien donc il suffit de regarder les translations en fait il n'y a pas de distinction entre la gauche et la droite donc dans ce cas là si on a une fonction fx et qu'on la translate donc par un élémenté qu'on prend la transformation de fourrier et bien ceci c'est la transformation de fx translaté par l'inverse de t et avec un certain facteur donc c'est le dette indice e de t la norme indice x à la puissance moins 1 vous avez un facteur multiplicatif qui apparaît ici donc ça c'est pour tout élément de te de fx qui donc est le groupe des éléments inversibles de l'algebra ux donc on a ça et évidemment on se souvient que le dette indice e c'est le composé donc c'est la norme en particulier c'est quelque chose qui se factorise à travers le dette indice g donc il y a en particulier le fait qu'on a la chose suivante c'est que ceci est trivial sur les éléments du noyau t indice rô de l'homomorphisme rôté tchèche quelque soit t appartenant à t indice rô de fx voilà donc on a cette propriété donc bon ici il y a un petit lème c'est que je regarde justement cette suite exacte de tort ici j'ai l'homomorphisme que j'ai noté rôté tchèche le doile de rôté et alors évidemment en chaque place j'ai un homomorphisme induit qui va de te de fx dans t de fx et donc c'est un homomorphisme de rô mais il faut faire attention en général il n'est pas surjectif ce qu'on peut dire simplement c'est que donc le noyau de cet homomorphisme c'est là c'est rô de fx et l'image c'est un sous-groupe ouvert de t de fx alors une chose qu'on peut faire comme conséquence de ça c'est on munit t de fx de la mesure que je vais noter oui donc je vais faire d'abord la chose suivante c'est que je munis donc t rô de fx on le munit d'une mesure invariante que je vais noter d'hetero et donc on munit t de fx de la mesure suivante donc d'abord je veux qu'elle se transforme suivant le caractère que j'ai noté d'être un digé enfin composé bien sûr avec la norme en x c'est la première propriété que je demande et deuxièmement sa restriction à l'image de ce morphisme est égale au quotient de la mesure que j'ai noté d'tx sur t rô de sur te de fx divisé par la mesure que j'ai choisi sur le noyau donc je fais ça alors maintenant une fois qu'on dispose de ces deux mesures on peut définir un opérateur d'intégration le long des fibres si on a une fonction fx qui va de te de fx dans c on peut lui associer enfin alors on peut prendre on peut l'intégrer le long des fibres c'est à dire qu'on lui associe nouvelle fonction qui est définie sur t de fx à valeur dans c et simplement par intégration le long des fibres pour la mesure invariante alors bien sûr ça signifie en particulier que si la fibre de sur te est vide la valeur vaut 0 et puis sinon c'est l'intégration sur la fibre voilà donc cet opérateur existe comme corollaire des propriétés habituelles de la transformation de fourriers sur te on a la chose suivante donc on considère le sous espace des fonctions de carré intégrable donc fx de te de fx dans c tel que son image par cet opérateur donc c'est une fonction sur te de fx à valeur dans c je demande que cette image soit bien définie et de carré intégrable et donc on a que ce sous espace est stable par la psyx transformation de fourriers donc ça c'est la première propriété la deuxième propriété c'est que il existe un unique opérateur unitaire donc affix j'associe ça donc cet opérateur je vais l'appeler la transformée de fourriers sur te de fx vérifiant les propriétés suivantes premièrement pour les fonctions de 1 bien sûr je veux la compatibilité entre les deux transformations de fourriers sur l'espace du haut et sur l'espace du bas donc c'est la première propriété que je demande et la seconde propriété c'est la chose suivante c'est que pour tout élément du tord en bas et bien la transformation de fourriers d'une fonction translatée est égale au translaté par té moins 1 de la de la transformée de fourriers que multiplie le déte indice g de t x à la puissance moins 1 donc il existe un unique opérateur unitaire qui vérifie cette propriété et cette opérateur unitaire cette opérateur unitaire et définie par un noyau donc cet opérateur fixe flèche fixe chapeau donc définie par un noyau donc on prend donc c'est la la formule habituelle t de fx dt alors ici donc dt c'est la mesure que j'ai introduit ici en parce que c'est une mesure qui se transforme par le caractère d'être indice g c'est pas une mesure invariante attention donc ici ce noyau je vais noter comme ça c'est un noyau relatif à la représentation roté de t fois la variable fixe de t alors qu'est ce que c'est que ce truc là kx roté donc c'est une fonction de t de fx dans c quand j'ai un élément ici et bien ce que j'ai envie de lui associer bien sûr c'est l'intégrale sur la fibre d'hetero du noyau en haut le noyau en haut je rappelle que c'est simplement psy x le caractère psy x composé avec la trace donc ceci voilà on intègre sur la fibre alors donc ça je le mets entre guillemets parce que cette intégrale ne converge pas absolument donc pour définir cette chose là en termes de fonction on peut faire la chose suivante donc on peut l'écrire comme une limite donc de la chose suivante donc ici c'est le kx de tereau et ici on prend un x de a tereau alors qu'est ce que c'est que un x ici c'est n'importe quelle fonction localement constante ou c'est infini si x est une place archimédienne à support compact qui va de te bar de fx donc je rappelle ça c'est eu x c'est l'espace vectoriel eu x dans c équivaut au voisinage de 0 voilà bon ici j'ai mis à support compact dans le cas c'est infini on pourrait aussi prendre des croissances rapides ce serait peut-être plus symétrique par rapport à la transformation de fourrier voilà voilà donc en fait ces choses là convergent définissent une fonction et donc la transformation de fourrier est définie par cette fonction alors donc voilà pour quelque sorte dans ce cas évidemment très trivial la la solution du problème 1 de la dernière fois dont je rappelle le problème 1 c'était définir une transformation de fourrier qui premièrement est compatible au terme constant mais là la compatibilité au terme constant c'est ici comme on est sur les torres c'est une condition vide et la deuxième propriété c'est que ça soit un opérateur unitaire donc ça c'est vérifié alors la deuxième propriété c'est la définition d'espace de refonctions de refonctions locale donc c'était le problème 2 de la fois précédente alors d'abord évidemment on rappelle que de tels espaces existent dans le cas de te donc quand c'est on part du cas de te alors attention ici je vais prendre x une place ultramétrique et puis un peu après je j'expliquerai ce qu'il faut faire dans le cas d'une place archimédienne donc dans ce cas là bon donc on considère te muni de la représentation standard que je note rhe donc qu'est ce que c'est que les rhe fonctions dans ce cas là c'est les fonctions donc de te de fx c'est à dire de ex fois dans c qui se prolonge évidemment de manière unique qui se prolonge en des fonctions continue à support compact pardon parce qu'à la continue c'est des fonctions localement constante à support compact de te bar de fx c'est à dire ex à valeur dans c donc là c'est le bon espace de de refonctions et donc ceci cet espace là vérifie toutes les conditions problème 2 de la fois précédente c'est à dire que cet espace est stable par translation il est stable il est respecté par la transformation de fourrier et les ces éléments sont caractérisés par leur décomposition spectrale en termes de la fonction des fonctions l c'est à dire la connaissance de cet espace la connaissance de ces choses est équivalente à la connaissance des facteurs lx que je veux donc associer à la représentation standard rhe qui z donc c'est simplement les fonctions l classique prise sur la jeppe séparable ex et puis la connaissance de la transformation de fourrier sur cet espace est équivalente à celle de polynômes qui sont les facteurs epsilon classique donc tout ça c'est la théorie classique des facteurs elle est epsilon la théorie abelienne qui a été faite bien sûr pour la première fois dans la thèse de tête c'est la thèse de tête voilà donc dans ce cas là on a tout ça et alors alors je me la dernière fois j'avais dit qu'il devait exister enfin j'avais donné des des des énoncés c'est à dire des conditions requises seulement les places ultramétriques mais j'avais dit qu'il devait exister des choses analogues en les places archimédiennes donc je ne l'ai pas fait la dernière fois donc là je voudrais le faire alors c'est à dire introduire des espaces de roue fonctions en les places archimédiennes et je veux d'autant plus le faire que en fait je veux modifier légèrement la définition classique donc vous allez voir comment alors donc maintenant on considère une place archimédienne donc on est amené à considérer l'algebra ex c'est e produit temps sorriel sur fx donc fx c r ou c dans ce cas là et donc ceci s'écrit comme un produit de facteur exprime dont chacun est isomorph à r ou ac alors dans ce cas là bon faut faire quelque chose d'un peu analog à ce qui se passe sur les les en les places ultramétriques et pour ça on a besoin d'introduire deux fonctions de deux familles de fonctions alors la première famille va être formée à partir de donc c'est la fonction gamma en un demi de s que multiplie pi à la puissance moins un demi de s et la deuxième fonction que je considère donc ça ça va correspondre à la place réelle et l'autre place complexe donc ici c'est on prend du 2 pi à la puissance 1 moins s que multiplie du gamma de s voilà donc c'est comme ça et maintenant une fois que j'ai fait qu'on a posé ces notations on a une définition de ce qu'on appelle un facteur olérien alors il ya deux types de facteur olérien il ya les facteurs olérien réels et les facteurs olérien complexe alors les facteurs olérien réels c'est les choses qui ont la forme suivante p de s que multiplie g1 de s plus s0 donc ici on s'autorise une translation par un nombre complexe et ici on s'autorise une multiplication par un polinom donc c'est ça qu'on appelle un facteur olérien réel et alors les facteurs olérien complexe on remplace la fonction g1 par la fonction g2 et là aussi on s'autorise à translater la fonction g2 par quelque chose et à multiplier par un polinom alors dans ce cas là donc l'équivalent du théorème précédent les places ultra métriques c'est à dire le fait que les espaces de refonction définissent de cette manière là vérifie toutes les conditions du problème 2 c'est le théorème suivant alors dans ce donc donc ce théorème je vais l'écrire en la place exprime donc isomorph à r ou c alors donc il faut distinguer suivant les cas donc on considère le caractère psix composé avec la trace qui va de exprime dans c alors dans le premier cas c'est à dire le cas réel ce caractère à la forme suivante il est nécessairement de la forme l'exponentiel de 2pi que multiplie a et puis ici il y a une constante multiplicatif que je note cx prime donc cx prime c'est un élément de r qui est différent de zéro parce que le caractère que je considère est nécessairement en nombre non trivial et puis dans le cas complexe c'est l'exponentiel de 2pi que multiplie cx prime a plus cx prime a bar le conjugé voilà et ici le cx prime c'est un élément un nombre complexe non nul arbitraire voilà donc on suppose que notre notre caractère a été enfin notre caractère est nécessaire cette forme là donc ça introduit des constants cx prime qui donc vérifie ses propriétés et maintenant on a une notion de roue fonction sur exprime alors qu'est-ce que c'est dans le cas réel c'est les fonctions de la forme suivante à on associe p2a que multiplie l'exponentiel de moins pi valeur absolue de cx prime que multiplie a au carré et dans le cas complexe c'est un polinome en a et son conjugé que multiplie l'exponentiel de moins 2pi fois le module de cx prime donc là dans ce que j'ai écrit j'ai d'oublier un carré que multiplie le module de a non en fait je pense pas qu'il est carré c'est simplement ici c'est voilà c'est comme ça voilà donc on prend les fonctions de cette forme là où ces choses là sont des polinomes arbitraires polinome voilà donc les fonctions qui sont de cette forme donc voyez c'est essentiellement l'exponent et une exponentielle de moins donc ici la norme quadratique que multiplie un polinome soit en a soit en a et son conjugé donc c'est ça qu'on appelle les roue fonctions voilà alors mais donc si vous regardez dans le livre de en fait soit de chez taït soit chez jaquets godement jaquets donc c'est les fonctions qui permettent de définir les facteurs olériens en les places archimédiaires les facteurs elle en les places archimédiaires alors quels sont les propriétés de l'espace des roue fonctions d'abord il est alors stable par translation les éléments du sous-groupe compact maximum de exprimer fois donc attention mais ici donc mais mais pas par les éléments de exprimer fois généraux c'est pour ça que je un peu plus loin je vais je vais modifier cette notion de roue fonctions parce que moi je veux quelque chose de de multiplicatif donc c'est également stable par la transformation de fourrier et par son inverse et c'est dense c'est ces fonctions sont danses dans l'espace l2 donc ça a pour conséquence en particulier que si on connaît la transformation de fourrier sur ces fonctions on la connaît partout la deuxième propriété ça consiste à former le même type d'intégrale d't exprimer fx prime de tx prime donc c'est des intégrales comme ça qui de tx prime fois la norme en valeur absolue un dix x enfin norme un dix x à la puissance s moins un donc ceci est une fonction du nombre complexe s alors donc on regarde les intégrales de cette forme où ceci est une roue fonctions sur exprimer d'accord et ça c'est un caractère continu de exprimer fois un caractère multiplicatif et donc vous multipliez ce caractère vous le tordez par la norme du enfin la par la norme à une puissance s moins un vous regardez ce que ça vous donne et donc le théorème c'est que ça converge si la partie réelle de s est assez grande ça définit des fonctions analytiques en s qui sont définies sur tout le plan complexe éventuellement avec des pôles et lorsque je fais varier lorsque je fais varier fx prime dans l'espace de toutes les roues et fonctions ces choses là forme un module sur c de l'anneau de polynôme c de s qui possède un unique générateur donc c'est un module libre de rang 1 de la forme alors la forme c lx prime de qui s plus un demi que multiplie module de cx prime à la puissance moins un demi de s plus un ça c'est dans le cas réel et dans le cas complexe c lx prime de qui s plus un demi que multiplie le module de cx prime à la puissance moins s plus un donc ça c'est dans le cas complexe et alors qu'est ce que c'est que les lx prime ici doit mettre des facteurs les rien au sens que j'ai précisé au début c'est à dire ce qui est formé à partir des fonctions g1 et g2 en autorisant des translations et la multiplication par un polinom donc l'espace formé par toutes ces fonctions forme un module sur cette anneau de polynôme et ce module à un unique générateur qui a cette forme là donc ça définit de manière unique ces choses là qui donc sont des facteurs et les rien au sens qu'on a précisé alors donc on a ça mais je vous rappelle que le pardon pardon oui exprimer tu veux dire c'est pareil donc oui oui je veux bien oui oui si tu veux oui oui c'est exprimer fois parce que toute façon le déterminant les définis oui tu as raison hein mais simplement dans l'aide n'allèves zéro c'est tout donc pour la mesure ça change rien alors je vous rappelle que dans les non c'est que j'avais donné la dernière fois du problème d'eux il y avait une chose qui était extrêmement importante qui était la caractérisation spectrale des roues des roues fonctions donc ici c'est la propriété 3 qui est comment donc c'est la chose suivante donc c'est le fait que les roues fonctions admettent une décomposition spectrale donc la décomposition spectrale a la forme suivante bon d'abord il ya ce terme qu'on met comme une norme comme facteur de normalisation puis une intégrale sur l'espace de tous les caractères unitaire pour la une mesure des quies qui ici comme on est dans le cas abélien est une mesure invariante la dernière fois dans le cas non abélien j'avais parlé de mesure de plancherale donc qui de la variable que multiplie lx prime de qui moins un à la puissance un demi donc le lx prime ce qui apparaît ici c'est celui qu'on a là mais on le spécialise voyez en la valeur spéciale un demi que multiplie px prime de qui donc qu'est ce qu'on peut dire de cette fonction là ou donc px prime c'est une fonction du caractère qui alors on peut se demander ce qui se passe quand on tord cette fonction du caractère qui part la norme du déterminant à la puissance s et donc ce qu'on a c'est que c'est que c'est le produit d'un polinome en s et de la fonction suivante à s on associe cx prime donc la norme de cx prime à la puissance moins un demi de s ça c'est dans le cas réel et puis si on est dans le cas complexe c'est la norme à la puissance moins s donc c'est pas c'est pas polinomial comme dans le cas des places ultramétriques il ya ces termes exponentiels qui apparaissent en plus mais donc voilà ce qu'on peut dire la décomposition spectrale des re fonctions et la dernière propriété bien sûr c'est la l'expression de la transformée de fourrier des re fonctions bon ben ce qu'on a c'est que la transformée de fourrier s'écrit comme d'une fonction décomposé spectralement comme ça s'écrit sous la même forme sauf qu'on remplace le caractère qui par son inverse ici on remplace le produit olériens de qui moins un par le produit par le facteur olériens de qui ici on garde le même px prime de qui et puis il y a un facteur supplémentaire qui apparaît qui est le epsilon x prime de qui s et de psy x il dépend du choix du caractère psy x et donc cgc chose là ici la seule chose enfin le qu'on peut en dire c'est que enfin disons la chose essentielle à dire c'est que ce sont des exponentiels en la variable s exponentielle de une constante fois s donc voilà l'expression spectrale à la fois des re fonctions et de la de la transformation de fourrier des re fonctions alors voyez que par rapport à la définition des re fonctions en les places ultramétriques il y a plusieurs différences d'abord il y a le fait que les re fonctions ne sont pas stables par translation générale ça c'est la première chose et puis la deuxième chose c'est que dans la décomposition spectrale donc j'ai cette condition là donc la la la la dépendance par rapport au cas à la partie continue de la c'est à dire enfin la dépendance par rapport au paramètre continue dans l'espace des caractères mais si on évidemment quand on regarde l'espace des caractères il y a une partie continue enfin il a une composante connex en quelque sorte à savoir les caractères de cette forme mais si on divise par ce sous groupe connex on obtient quelque chose de discret et là en fait toutes les composantes apparaissent dans la décomposition donc c'est une série qui converge très très vite mais n'empêche que les termes sont non nul donc je voudrais modifier un peu la notion de roue fonction donc ici c'est une modification donc c'est chose que j'ai introduit je les appelle les roue fonctions sur exprime c'est à dire le voyez c'est quelque chose que je comprends comme étant voilà les roues fonctions sur exprime donc quelque chose qui malgré tout reste additif et donc je voudrais juste modifier un peu la définition par une notion que j'appelle les roues fonctions sur exprime foie donc ce que j'entends simplement par ce très léger chargement de notation c'est que c'est on veut aller dans un sens plus multiplicatif alors la définition des roues fonctions sur exprime froid et ben c'est simplement toutes les fonctions qui admettent une décomposition spectrale de cette forme ou je demande que les pays exprime vérifie cette propriété d'accord et j'ajoute comme condition que les pays exprime la fois la fonction exprime est supportée dans l'espace de tous les caractères unitaires par un nombre fini de composants de connex voilà donc c'est juste une modification une petite modification dans la définition et je ne voilà j'autorise toutes les fonctions qui admettent une décomposition spectrale de cette forme où le facteur pays exprime ici est simplement sujet à ces deux conditions d'une part d'être supporté par un nombre fini de composantes et d'autre part sur chaque composante d'être une exponentielle en x non c'est même pas ça d'ailleurs parce que j'ai besoin donc je mette je demande donc maintenant vous voyez c'est plus le théorème c'est une définition en quelque sorte définition des roues et fonctions sur exprime fois donc je demande que le pays exprime soit supporté par un nombre fini de composantes et je demande que ça soit oui donc je demande que ça soit le produit d'un polinôme produit d'un polinôme en s la forme générale produit d'un polinôme en s et d'une exponentielle et j'autorise le polinôme et l'exponential donc ce que j'entends par exponentielle c'est quelque chose de la forme suivante exponentielle de c fois s voilà ou c est un élément de r attention donc produit d'un polinôme en s d'une exponentielle de cette forme plus bien sûr leur combinaison linéaire c'est à dire j'autorise la constante c ici à varier donc je regarde l'espace engendré par les produits d'un polinôme et d'une exponentielle comme ça et je ne mets aucune autre condition donc je défini comme ça et les fonctions qui sont définies par des décompositions spectralles de cette forme là c'est ça que j'appelle les roues et fonctions alors évidemment on a la propriété que ces roues et fonctions maintenant sont stables par translation elles sont évidemment elles restent dans dans l'espace des fonctions de carrière intégrables qu'est ce qui est elles sont stables par la transformation de fourrier puisque la transformation de fourrier entre buis ce facteur qui est une exponentielle donc je reste dans le même espace et la connaissance de la transformation de fourrier sur l'espace des roues d'abord la connaissance de l'espace des roues fonction équivaut à celle de ces facteurs des facteurs olériens et c'est et la connaissance de la transformation de fourrier sur ces espaces équivaut à celle des facteurs epsilon voilà donc on a quelque chose qui est plus oui oui disons la différence c'est que simplement oui non il y a deux différences c'est-à-dire il y a support fini et puis on autorise ici un facteur exponentiel pour que ça reste stable par translation avant c'était un polinom fois une exponentielle fixée et dans l'exponentiel peut varier voilà donc c'est simple disons les propriétés ce que je fais c'est que je prends l'espace précédent bon d'abord il y a cette condition que je ne veux plus qu'un nombre fini de composantes et puis je veux la stabilité par translation voilà donc c'est bon alors maintenant on a un espace de roue fonction on a on a un espace de roue de roue fonction sur exprimer fois en toutes les places et donc on a un espace de roue fonction sur le tort que j'ai noté t-indice e on prend simplement les produits donc on a des roues fonction sur t-indice de refx qui est simplement ex fois donc c'est le produit sur les places exprimer de exprimer fois alors j'ai une notion de refonction en chaque place donc quand j'ai le produit d'un nombre fini de place je pense simplement des la fallait roue fonction sur le produit c'est les combinaisons linéaires de produits de roue fonction sur chacun des facteurs donc on a maintenant une notion de roue fonction et on en déduit une notion de roté fonction sur t de fx quelle que soit la place x quelle soit ultramétrique ou archimédienne ben qu'est ce que c'est c'est simplement les fonctions donc qu'est ce que c'est qu'une roue fonction c'est les fonctions fx qui se déduisent des roues fonction donc ça c'est une roue fonction sur ex fois oui c'est ça donc c'est à dire te de fx et ce que j'appelle une roté fonction en bas c'est les images directes par l'opérateur d'intégration le long des fibres plus leur translator sachant que le évidemment si je veux une stabilité par translation faut je rajoute des fonctions parce que les fonctions qui sont de cette forme elles sont nécessairement supportées par l'image du morphisme qui va de te de fx dans t de fx donc je dois prendre aussi leur translator et je prends évidemment les combinaisons linéaires je prends l'espace engendré donc c'est ça que j'appelle espace des roues fonction et donc maintenant cette espace de déjà je peux dire que en toute place ultramétrique l'espace définie de roue fonction définie de cette manière là vérifie toutes les conditions donc c'est une proposition ou un corollaire de ce qui présente donc je prends x une place ultramétrique alors l'espace des roues fonction sur t de fx vérifie toutes les conditions du problème de de la fois précédente donc j'avais demandé à voir un espace table par transformation de fourrier dont la connaissance soit équivalente à celle de fonctorelle où l'action de la transformation de fourrier soit équivalente à celle de facteur epsilon voilà il y avait un certain pardon oui voilà l'espace des rotés fonctions sur t de fx vérifie toutes les conditions du problème de avec évidemment le facteur l en la place x donc lié maintenant à rôter d'un caractère qui z alors ici qui c'est quoi qui c'est un caractère qui va de t de fx dans ces fois et évidemment je peux le le le le composer avec l'homomorphise rôter qui va de te de fx dans t de fx et donc simplement j'ai que ça c'est lx de roue celui que j'ai déjà parlé avant de qui composé avec rôte et chèche z donc ce lx je vous rappelle que quand vous avez l'espace de roue fonctions vous retrouvez les facteur l par les les intégrales de ce type les intégrales contre les terminants et réciproquement quand vous avez les fonctions l vous récupérez l'espace des rôts fonctions parce que les facteur l vous vous permet de définir toutes les fonctions d'un certain type donc vous avez voilà donc si vous calculez l'espace les fonctions l à partir de cette espace de rôter fonctions bah vous retrouvez celle que vous aviez déjà exactement la fonction l de qui c'est la fonction l classique de qui composé avec rôter chèche et la même chose bien entendu pour les facteurs epsilon donc on a que epsilon x de rôter qui z est égal au lx de rôte qui ont rôter chèche z donc c'est part de répsilon x voilà et ça c'est le simplement les facteurs epsilon classique alors ici le oui on peut juste préciser un peu ce que ça ça signifie un peu plus concrètement donc les les maintenant les donc ça c'était en une place ultramétrique et maintenant si je prends une place archimédienne et bien j'ai que les les rôts fonctions c'est des choses qui s'écrivent sous cette forme là donc fx de point c'est le dette indigé de point ici je prends la norme x à la puissance moins en demi que multiplie l'intégral sur les caractères qui de t de fx dans ces fois qui sont unitaires donc avec les notations que j'avais utilisé la dernière fois c'est la partie imaginaire de ce que l'ensemble des caractères enfin je l'avais noté des pi parce que je regardais un g général ici c'est le torté en la place x donc des qui donc ça c'est la mesure de plancherai l'ici c'est simplement la mesure invariante que multiplie qui de point que multiplie le lx de rôté qui moins un pardon lx de rôté qui moins un et je spécialise en un demi voilà et puis ici on autorise un px de qui alors qu'est ce qu'on peut dire de ce px qui est là il est supporté par un nombre fini de composantes connex de l'espace des qui et maintenant quand je regarde sa restriction à n'importe quelle composante donc ici sur la composante il ya des coordonnées naturelles qui sont des éléments s1 sk donc c'est des coordonnées complexes évidemment si on considère simplement les caractères unitaires c'est des coordonnées qui sont imaginaires pur et donc je demande que ceci soit donc c'est une combinaison linéaire de produits de polynômes en les coordonnées s1 sk que multiplie une exponentielle en les coordonnées en question donc c1 s1 plus etc plus ck sk ou les coefficients c1 sk sont des nombres réels voilà donc les rôts fonctions en les places archimédiaires non cette forme là voilà donc bon on va faire une pause et dans la la deuxième partie de l'exposé je voudrais parler de la formule de poisson pour les torts pour cet or là donc la formule de poisson qui est associée à ça qui déjà vous remarquez que pour la la quand vous regardez la formule de poisson sur te ou bien sûr elle s'écrit par évaluation sur les points de te de f c'est à dire de de e fois plus le bord et le bord ici c'est simplement le zéro qu'on ajoute alors bien sûr quand on passe au quotient par le le souterre terreau donc on peut toujours ajouter à enfin considérer que ce quotient un bord effectivement il a un bord mais les rôts et les rôts et fonctions au sens que j'ai dit ne se prolonge pas au bord donc le le terme de bord de la formule de poisson ne peut pas s'exprimer comme une simple évaluation donc ce que je voudrais expliquer c'est que la formule générale que j'ai proposé la fois dernière pour une formule de poisson générale et bien dans ce cas là en particulier s'applique voilà donc je voudrais expliquer ça d'une part et puis la une fois que j'aurais fait ça je voudrais revenir sur la définition du noyau du noyau de la transformation de fourrier sur t de façon à préparer ce qu'on fera la fois suivante quand vous avez le torté donc le torté c'est un tort maximal de g et la fonction noyau restreinte à t c'est donc une fonction sur t qui est invariante par l'action du groupe de vail donc une question qu'on peut se poser c'est est ce que cette fonction se prolonge naturellement à g en une fonction sur g de fx qui évidemment soit invariant de par conjugaison donc je vais dire qu'il ya une une un prolongement naturel mais avec l'avertissement que en fait c'est pas le bon noyau de la transformation de fourrier sur g mais néanmoins il ya un lien entre ce que je vais introduire à la fin de l'exposer aujourd'hui et les les noyaux de la transformation de fourrier générale sur un groupe productif g dont je parlerai la fois suivante donc en fait c'est pas inutile de dire qu'il ya un prolongement naturel vous voyez dans la transformation de fourrier classique le noyau sur la diagonale c'est simplement le le psychique de la de la somme des éléments et évidemment que ça ça prolonge le noyau sur les matrices mais en général ce n'est plus vrai donc il ya une subtilité que qui apparaîtra à la fois prochaine et vous pourrez une fois une caractéristique non c'est pas ça oui mais non non non non non non non non non c'est pas ça donc voilà donc on fait une pause de 5 minutes ou un peu plus voilà donc je voudrais parler de la formule de poisson sur le tort donc on dispose de la transformation de fourrier en chaque place donc en chaque place x de f on a une transformation de fourrier donc fixe flèche sur t de fx on a aussi un espace de refonction et puis en toute place x appartenant à f ultramétrique et non ramifié on a aussi dans l'espace des refonctions ce que moi j'avais appelé la refonction standard ou que d'autres auteurs appellent la refonction spéciale donc et simplement la la fonction sphérique c'est à dire un variant par le sous groupe ouvert compact maximal dont la la transformée de s'attaquer et la fonction l voilà et donc comme on a ça comme on a ces trois données là et bien on en déduit l'existence d'abord d'un espace des refonctions globale donc je rappelle la définition générale que j'avais noté que j'avais donné la dernière fois une refonction globale c'est simplement une combinaison de produits de refonctions locales dont tous les facteurs sauf un nombre fini sont la refonction standard donc sachant que la la transformée de fourrier de la refonction standard est elle même en presque toutes les places donc on a cet espace des refonctions globale et on a une re transformation de fourrier globale sur t2a alors et donc le théorème c'est que bah on a une formule de poisson sur t2a mais donc on considère f de t2a dans c une refonction donc on dispose aussi de sa transformée de fourrier c'est également une refonction et alors le théorème la formule de poisson s'exprime sous forme multiplicative puisque déjà on ne peut pas prolonger au bord donc qu'est-ce que ça veut dire ça veut dire on prend une place ultramétrique où la fonction f c'est que se décompose comme un produit donc ça c'est en la plastique ça c'est le facteur en toutes les autres places ou le facteur en la plastique c'est non ramifié donc ça veut dire il est invariant par t2x à valeur dans c donc là parce que la plastique c'est non ramifié pour g ou pour t voilà et comme il est non ramifié je peux lui associer en utilisant sa décomposition spectrale c'est à dire sa transformée de s'attaquer je peux écrire cette fonction fx comme une somme avec une double alors donc j'avais fait ça la dernière fois en général donc on écrit la fonction fx comme une somme de fonction fx en prime donc la formation de ces fonctions à partir de celle là dépend de la enfin elle se lie sur la décomposition spectrale et on a que fx chaque fx nn prime et sa transformée de fourrier sont à support compact alors que bien sûr ce n'est pas le cas de des fonctions fx qui sont considérées comme des fonctions sur le tord voilà donc on considère ces choses là le n donc la manière dont on procède donc c'est la suivante c'est que on décompose cette fonction spectra le monde donc c'est le dette point x puissance moins en demi fois l'intégrale donc là c'est une intégrale sur les caractères non ramifié de déquis lx de qui moins en de qui moins en qui moins en de roter qx puissance moins en demi fois ben ici ça c'est la la enfin c'est la décomposition donc on va noter ça fx qui c'est la décomposition spectrale donc ceci c'est un acteur propre pour le caractère qui est en le en la variable c'est polynomial en qui donc tandis qu'ici il y a un dénominateur d'accord et donc la fonction fx n prime elle est définie à partir de celle là en multipliant par des polynômes x de roter xn de roter qui moins en qx puissance moins en demi fois xn prime de roter qui donc voyez ici vous avez qui moins en là vous avez qui qx puissance moins en demi alors qu'est ce que c'est que le xn de roter qui z c'est le produit de ben simplement d'abord le facteur l lui même à la puissance moins un l'inverse du facteur elle est un polynomial ceci est un polynomial donc c'est ceci multiplié par le monôme en z puissance n voyez le monôme de degré n en z dans le développement en série formelle de la fonction l d'accord donc la fonction elle apparaît deux fois une fois numérateur une fois au dénominateur donc ceci dès là vous avez un polinôme et là vous avez son inverse ce polinôme il est toujours de la forme un plus quelque chose donc on peut le développer en série formelle et on prend le truc de degré n donc ça veut dire quand on fait la somme sur tous les aines dans l'anneau des série formelle on obtient un voilà donc c'est cette définition là et donc dans la décorisation spectrale ben on multiplie par ces deux choses là avec pour effet que évidemment le facteur lx puissance moins un qui apparaît là se simplifie avec ça donc on n'a plus qu'un polinôme donc toutes les fonctions qu'on a sont des fonctions à support compact de même que leur transformé de fourrier parce que quand on prend la transformée de fourrier le nouveau dénominateur qui apparaît se simplifie avec ça voilà donc c'est simplement c'est de refait cette définition oui c'est presque ça c'est presque ça mais pas tout à fait parce que là c'est la décorisation spectrale à la tête de ouais ouais c'est-à-dire tu vois là donc t'écris la décorisation spectrale de ta fonction et donc pourquoi il y a deux entiers ben n et n prime ici t'as xn et là xn prime je veux un entier je veux quelque chose qui correspond à la fonction et quelque chose qui correspond à transformé de fourrier toi ici j'ai du qui moins un là j'ai du qui bon enfin c'est voilà donc voilà c'est défini comme ça non mais disons une propriété importante c'est que la formation de fx nn prime à partir de fx commute avec les translations à gauche ou à droite toi donc c'est pas tout à fait le suivi de la décorisation suivant le support alors donc on a cette définition et alors qu'est donc la première assertion du théorème la première assertion du théorème avec cette définition là c'est la chose suivante donc je regarde alors la série formelle suivante donc c'est la somme sur tous les nn prime de z à la puissance n plus n prime voilà somme avec gamma appartenant à t de f de fx nn prime produit temps sorriel avec f en dehors de x donc voyez on a gardé la fonction f sauf qu'on l'a modifié en la plastique et ce truc là on l'évalue en gamma et puis on fait la somme sur tous les nn prime donc c'est une série formelle en z alors qu'est ce qu'on peut en dire premièrement c'est une fraction rationnelle en z deuxièmement elle converge cette fraction rationnelle en z converge absolument si le mode donc on prend pour z d'un nombre complexe de module inférieur à qx à la puissance 1 demi et sa valeur en z égale 1 voyez que dans z égale 1 la série converge absolument sa valeur en z égale 1 ne dépend pas du choix de la place x donc ça c'est la première propriété du théorème la deuxième propriété bassez la formule du poisson s de f donc c'est cette chose là cette valeur je l'appelle s de f j'ai dit elle dépend pas de la place f donc la deuxième propriété c'est s de f égale s de f chapeau autrement alors une chose que que je fais c'est que je note soms avec gabard tenant à t bar de f de f de gamma mais attention je le mets entre guillemets c'est pas une évaluation un t bar a bien un sens c'est une variété théorique dans ce cas là mais bon j'expliquerai plus dans en fait plus tard ce que c'est que tes bars peut-être mais en tout cas on n'a pas d'évaluation donc je note ceci c'est quoi c'est la somme sur les gammas appartenant à t de f de f de gamma plus la somme avec gamma appartenant à t de f de f chapeau de gamma on voyait ces deux sommes sont symétriques par rapport à la face à cette somme est fixe par la transformation de fourrier et je prends moins de f donc ce que j'ai écrit là c'est équivalent à dire que ceci est égal à la somme sur les gammas appartenant à t bar de f des f chapeaux de gamma alors pourquoi avoir introduit cette notation c'est que si donc c'est la propriété trois si f se factorise en de cette manière avec fx de t de fx dans c à support compact d'accord c'est à dire il n'y a pas en quelque sens qu'on prenne le bord le prolongement au bord c 0 donc supposons que le support d'un au moins l'un des facteurs est un support compact alors la somme avec les gammas appartenant à t bar de f de f de gamma entre guillemets c'est simplement l'évaluation avec gamma appartenant à t de f de f de gamma voilà donc ici on a une forme linéaire définie sur l'espace des refonctions globales qui est invariant par la transformation de fourrier et qui se spécialise en l'évaluation à les points quand f est à support compact en l'un des facteurs au moins voilà alors bien sûr si vous prenez t égale te et bien cette forme là coincide avec la forme classique c'est à dire avec l'évaluation sur les points alors voilà donc on a ce théorène qui résulte de la formule de poisson sur te c'est à dire la formule de poisson linéaire on prend simplement la formule de poisson linéaire et on regarde sa partie invariante par terreau simplement pour pouvoir prendre la partie invariante par terreau il faut avoir mis la formule de poisson classique sous une forme multiplicative voilà et donc c'est ça que il n'y a pas de poids de poids il n'y a pas de poids non mais là toute façon c'est une notation entre guillemets même dans la partie sur la partie non on évalue en les points de TF il n'y a pas de poids comme dans la formule de poisson classique la formule de poisson classique t'as une fonction tu l'évalues en les points tu te places sur les adels t'as une fois t'as une fois dans le carrière c'est formule classique quand tu regardes les fonctions sur le plan il n'y a pas de poids de même que si tu parles la formule de poisson adélique pas tu regardes dans la thèse de tête c'est simplement t'évalues en les points de F non donc ici il n'y a pas il n'y a pas parce que c'est vraiment non non enfin ça c'est à dire quand tu considères ça là par exemple si tu remplace F par F transporté par T donc cette somme là considéré comme une fonction de T est une fonction automorphe voilà alors donc ceci a donc j'ai intitulé le paragraphe conséquence pour l'objet alors évidemment avec la formule de poisson pour les tord on va pas pouvoir démontrer la formule de poisson pour les hauts parbitraires néanmoins on peut qu'il y a quand même une conséquence que je veux écrire parce que on peut considérer ça comme une forme approchée de la formule de poisson sur un groupe sur g donc maintenant je me souviens que T est le tord maximal du groupe réductif g et g est muni de la représentation de transfert roue voilà je me souviens de que je suis dans cette situation et je considère deux fonctions f1 et f2 sur g de A à valeur complexe alors d'abord je suppose qu'elles sont avariantes par un sous groupe ouvert compact de g des adelles je sais pas comment les appeler les abe les adelles finies ou les adelles ultramétriques donc ça veut dire en chaque place un variant en chaque place ultramétrique c'est un variant par un sous groupe ouvert compact en presque toutes les places le sous groupe en question c'est g de o x simplement ça veut dire ça maintenant en les places archimédiennes je suppose que f1 et f2 sont sont des fonctions c'est infinie voilà et maintenant je vais mettre une hypothèse sur les termes constants ces fonctions donc je regarde un élément donc g ça va être un élément d'un sous groupe compact de g de A quelconque simplement je veux que toutes ces puissances restent dans un compact et je vais regarder les termes constants associés donc les termes constants c'est des des fonctions des éléments du tord donc je forme le alors ici donc la dernière fois j'avais introduit un certain caractère le le déte indice b de t c'est un truc qui est ici une certaine torsion ici je prends la fonction f1 translater par cet élément g et puis je prends son son terme constant donc je rappelle que ça c'est quoi c'est simplement le caractère modulaire la norme globale à la puissance moins ennemie que multiplie l'intégrale sur le radical unipotent de b de f1 de utg du voilà c'est la définition du terme constant donc je fais ça pour la fonction f1 et puis j'ai la même chose pour la fonction f2 donc il y a cette torsion par ce caractère dont j'ai parlé la dernière fois f2 alors ici il faut multiplier par g moins un de l'autre côté et on prend le terme constant qu'on évalue en t donc j'ai deux ces deux fonctions j'ai pris les deux termes constants associés à f1 et f2 et donc l'hypothèse c'est que ces termes constants ces termes constants sont bien définis donc ça c'est la première hypothèse la deuxième hypothèse c'est que ce sont des rotés fonctions globales et la troisième hypothèse c'est que le second terme constant le second donc je vais le noter comme ça et bien il se déduit du premier par la rotée transformée de fourrier je mets pour l'instant je sais pas ce que ça peut vouloir dire que la transformation de fourrier sur g mais j'ai une transformation de fourrier sur t donc ça a un sens de demander que les termes constants quelques non seulement de f1 et de f2 mais de leur translator quand je translate f1 à droite par un élément g dans ce groupe compact et bien je dois translator f2 à gauche par g moins un donc je demande que les termes constants de tous ces translatés soit transformé de fourrier l'un de l'autre au sens de la transformation de fourrier sur t associé à la représentation rotée donc ça c'est les hypothèses et ces hypothèses étant faits et bien malgré tout on peut tirer certaines conclusions je vais reprendre la structure du terrain précédent donc je me donne x une place ultramétrique en laquelle g et rô sont non ramifiés et f1 et f2 se décomposent comme f1x donc c'est le facteur en x fois un facteur en dehors de x même chose pour f2 ou f1x et f2x je suppose que ce sont des fonctions sphériques bon mais maintenant donc ces fonctions sont sphériques et donc pour les connaître il suffit de connaître leur transformé de s'attaquer pour connaître la transformé de s'attaquer il suffit de connaître les termes constants bon mais les termes constants j'ai supposé que c'était des rotés fonctions globales donc ça veut dire que les facteurs locaux sont des rotés fonctions locales donc ici les termes constants de f1 et f2 je les vois comme des rotés fonctions locales autrement dit ça veut dire que la transformé de s'attaquer ben c'est une fraction rationnelle avec au dénominateur les facteurs l donc je peux former à partir de f1x et f2x je peux former exactement par le même procédé que tout à l'heure les fonctions des duites f1 de x de indice nn prime et f2x indice nn prime donc ça a un sens quel que soit les entiers nn prime appartenant à n et ici encore f1 f1 est la somme des f1x nf1x pardon et la somme des f1x nn prime surtout les paires d'entiers nn prime est de même pour f2x et donc je peux former maintenant les séries formelles suivantes ben je fais la même chose que tout à l'heure la somme sur les paires d'entiers nn prime de alors ce que j'ai envie de faire bien sûr c'est la somme sur les gammas appartenant à g de f de f1x de nn prime produit temps sorriel f1x de gamma donc j'ai envie de faire ça et de former cette série formelle et de dire les non c que j'avais donné la dernière fois c'est à dire que la valeur régularisée en z des galas ne dépend pas du x bla bla bla qu'elle est stable par transformé de fourrier donc ici je peux pas faire ça parce que je je sais même pas ce que c'est que la transformée de fourrier globale mais ce que je peux faire c'est prendre les termes constants donc ici je je prends la somme sur nb des adels divisé par nb de f du et ici voilà je mets ça donc j'ai d'une part cette série formelle et d'autre part la série formelle symétrique formée des u de nb de a divisé par nb de f somme sur les gammas appartenant à g de f de f2x nn prime f2x en e oui f2x en e que j'évalue en gamma 1 moins 1 donc je forme ces deux séries formelles alors la première chose donc la première partie du lames c'est que ces deux choses là d'abord sont des fractions rationnelles en z et même je peux dire quelque chose de plus c'est que ces fractions rationnelles sont égales j'ai deux factions rationnelles elles sont égales deuxièmement leur valeur régularisée en z égala donc je les note sb de f ah oui et sb de f1 et s prime b de f2 ne dépendent pas du choix de la plastix alors qu'est ce que j'appelle valeur régularisée en z égala si ma fraction rationnelle n'a pas de pôle en z égala c'est simplement la valeur de la fraction rationnelle en ce point attention quand j'étais dans le cas des torres j'avais dit que les fractions rationnelles correspondantes converger au voisinage de z égala ici ce n'est plus le cas il peut y avoir un pôle en z égala et en général il y en a un mais ce qu'on peut faire c'est quand on a une fraction rationnelle qui a un pôle en z égala on peut enlever la partie polaire c'est à dire cette fraction rationnelle on l'écrit r de z égale r 0 de z donc ça c'est une fraction rationnelle qui n'a pas de pôle en z égala plus la somme sur des i compris entre 1 et k de certains coefficients ai sur z moins 1 à la puissance i d'accord et donc la valeur régularisée en z égala c'est r 0 de 1 donc j'ai enlevé la partie polaire quelle que soit l'ordre de la partie polaire ça a un sens de faire ça et ce que je dis c'est que la valeur régularisée de cette fraction rationnelle en z égala ne dépend pas du choix de la place et comme ces deux fractions rationnelles sont égales bien bien sûr j'ai que sb de f1 égale s prime b de f2 qui est une forme donc si on veut approcher de formules de poisson et puis bon il ya un bon également un deuxième énoncé que je donne pas qui dit ce qui se passe quand là au moins des facteurs de f1 ou f2 est à support compacte dans ce cas là vous n'avez pas besoin de de formules la série formelle vous avez une formule exactement analogue à celle que j'ai donnée dans le cas des torts voilà donc alors donc c'est bien sûr du point de vue de la functorialité quand on prend les termes constants comme ça la seule chose qu'on voit c'est les séries d'asenstein c'est-à-dire la partie triviale de la functorialité bon mais quand même on a s'est énoncé et je précise que quand même pour montrer s'est énoncé à partir du précédent il faut travailler pas mal voilà parce que il y a disons il y a une difficulté qui provient des du spectre discret non cuspidale du spectre automorphe discret non cuspidale c'est lui qui fait apparaître éventuellement des pôles de ses fractions rationnelles en z égale alors donc j'ai presque fini mais je voudrais expliquer maintenant que les fonctions noyaux oui je vais plutôt donc c'est le paragraphe 4 donc c'est un prolongement naturel des fonctions noyaux alors donc les fonctions donc je suis toujours dans cette même situation j'étais qui est plongé comme tort maximal dans le objet et sur t en une place fx je dispose de la fonction kx roté et je rappelle que cette fonction elle est définie par intégration sur les fibres sur les fibres de la fonction noyau de la transformation de fourrier linéaire c'est à dire psyx composé avec la trace alors comme j'ai dit cette intégrale ne converges pas absolument mais quand on la tronque et qu'ensuite on passe à la limite on obtient quelque chose enfin on obtient une fonction bien défini voilà donc ce que je voudrais faire la chose suivante donc bon on a t de fx qui bien sûr donc t de fx est plongée dans g de fx et sur t de fx on a l'action du groupe de veille donc d'abord une chose qu'on vérifie tout de suite sur la définition c'est que la fonction qu'on a définie est invariante par l'action du groupe de veille donc ici je prends le quotient par l'action du groupe de veille et bien sûr que ceci est plongé dans g de fx divisé par l'action de g de fx par conjugaison mais évidemment que là on a beaucoup plus de points que ici parce que ceci c'est en tout cas on a un morphisque qui va dans t divisé par l'action du groupe de veille la coefficient dans fx c'est bien sûr qu'il y a beaucoup plus de points ici que là sauf quand fx agiriquement clos donc quand fx est égal à c donc là il y a pas de problème vous n'avez rien à faire en revanche en les autres places il y a quelque chose à faire donc que je voudrais expliquer dans le cas des ployés bon le cas non des ployés étant fait dans les notes alors donc pour ça on a besoin d'un lame donc on est toujours dans la même situation mais on va supposer en plus que le gros le tort le groupe productif j'ai g et déployer sur f et donc on suppose dans ce cas là que gamma f agit trivialement donc il n'y a pas d'action du groupe de galois sur ses puissances donc vous avez simplement que vous avez une suite comme ça là ici c'est simplement t r qui est g m à la puissance r et t est un quotient de g m à la puissance r vous êtes dans cette situation alors donc vous avez g chapeau qui s'envoie par où dans glr de c alors ici sur g chapeau bien sûr vous avez le groupe de vail de g chapeau qui est le même que celui de g et puis ici vous avez le groupe de vail de g à l'air qui est sigma r alors on aimerait bien voir disons ce morphisme comme étant équivariant d'une certaine manière alors on va faire la chose suivante on introduit une définition d'abord je vais noter donc sigma r au rouleau donc c'est quoi c'est l'ensemble des éléments du groupe de vail de g à l'air tel que cet élément respecte le souterre t chapeau considéré donc t chapeau est considéré via rauté comme un souterre de tr chapeau qui est égal à c fois puissance r donc ça a un sens de regarder les permutations qui respectent ce souterre et induit sur t chapeau une action qui coincide avec celle d'un élément de du groupe de vail donc ça a un sens de définir ce sous groupe alors donc maintenant cette notation est opposée ben on peut faire la chose suivante c'est que maintenant on a simplement on a évidemment un morphisme naturel de restriction de ce sous groupe de sigma r dans le groupe de vail de g et donc la première partie du l'aim c'est que cet homomorphisme est surjectif alors il est surjectif il n'est pas nécessairement objectif mais on peut faire la chose suivante donc on considère ça reste oui non non il est surjectif et son noyau donc le sous groupe des éléments de sigma r c'est à dire des permutations qui respectent la partition de l'ensemble 1 2 r définit par la relation d'égalité entre caractère rauté i donc j'appelle que rauté c'est l'homomorphisme qui va de t dans terres chapeau qui est c'est fa puissonser donc rauté ça s'écrit comme une collection de r caractère donc c'est une collection de caractère indexé par un de r et la relation d'égalité entre ces caractères définit une partition de l'ensemble d'indice un de r donc le noyau de cet homomorphisme c'est les les permutations qui respectent cette partition et bon ben pour annuler le noyau ce qui est facile à faire c'est que on considère l'ensemble des w appartenant à ce groupe tel que w respecte l'ordre de chaque partie définie par la partition c'est à dire de chaque partie l'ensemble des i tel que rauté i est égal à un certain mu pour chaque mu je demande de respecter l'ordre bon et comme ça on a défini un sous groupe de ça dont l'intersection avec le noyau est très vial et on a que l'application qui va de ça dans wg est un isomorphisme donc on a réussi à plonger wg comme un sous groupe du groupe des permutations donc voilà alors évidemment donc ce l'est mais tout à fait général mais la prochaine fois on regardera principalement de 4 gl2 donc là dans le 4 gl2 les choses sont vraiment très très simple oui pardon oui il est dans mes notes oui il était peut-être dans mes notes il y a plusieurs années non non je crois même je sais il était dans dans certaines de mes notes déjà mais je pense dans le groupe avait 300 400 pages quelque part il y avait ce ce l'aime donc donc évidemment je donc à un exemple c'est simplement la puissance symétrique km qui va de g chapeau égal gl2 de c divisé par mu k dans gl k plus un de c donc ici l'ensemble d'indices c 0 1 k et le groupe de vail là bah dans ce cas là c sigma 2 donc qu'est-ce que c'est que le sous groupe c'est évidemment c'est le sous groupe engendré par la permutation qui envoie chaque y sur k moins y ici chaque poids chaque caractère apparaît avec la multiplicité 1 donc vous l'avez même pas vous êtes le groupe sigma héros là il est déjà isomorph à wg bon donc on a ce truc là on a cet énoncé et à partir de là vous avez maintenant vous regardez l'homomorphisme donc ça a un corollaire bon je sais pas si le tassot la démonstration sera dans les notes mais c'est pas difficile ça utilise simplement le fait que ça utilise le théorème que les invariants sur les les invariants par conjugaison sur sur g chapeau c'est les éléments c'est les invariants sur t chapeau par le groupe de vaile c'est à dire on a un homomorphisme qui va de c de g chapeau invariant g chapeau donc voilà donc ici on a le g donc c de glr chapeau invariant par conjugaison vers glr chapeau donc ça c'est l'homomorphisme simplement de restriction et ça c'est quoi c'est c de t chapeau invariant sous l'action du groupe de vaile et ça c'est c de t chapeau r les invariants par sigma r donc on a on sait qu'on a une application bien définie qui est donnée par la restriction donc cette application bien définie elle dit la chose suivante est dit si on donne un polinôme là dessus qui est symétrique pour sigma r et bien sa restriction à t chapeau est symétrique pour wg alors on regarde ce que ça signifie comme relation entre ces groupes et ça signifie exactement ça voilà donc bon alors le corollaire de cette chose là c'est la chose suivante maintenant c'est que j'ai l'homomorphisme rauté chapeau qui va de t pardon de tr ici donc c'est r égal te dans t bon mais maintenant cet homomorphisme il devient équivariant pour l'action wg donc j'ai un morphisme induit qui est bien définie comme ça alors bien sûr ici il y avait des structures de torre là quand je passe au coefficient j'ai perdu les structures de torre mais j'ai un homomorphisme bien définie en particulier en chaque place x j'ai un morphisme bien définie comme ça et par ailleurs donc parmi les données alors vous voyez j'ai cet homomorphisme qui va de de tr sur non non non c'est non non c'est j'ai voulu dire je les mets en haut parce que parfois je vous regardais les groupes de vagues fx rationnel et dans ce cas là je mets un x en bas donc je les mets non non donc maintenant j'ai le tr sur wg muni de ce morphisme verté sur wg pour bien sûr le tr sur wg il se plonge dans t bar r sur wg un t bar r c'est simplement à la puissance r et donc là j'ai un morphisme qui est bien défini le morphisme de trace vers un parce que le morphisme de trace a priori il est défini sur un puissance r c'est la somme des coordonnées mais la somme des coordonnées c'est stable par l'action du groupe de vagues c'est ça c'est stable par les permutations donc j'ai un diagramme bien défini et donc si maintenant je regarde t sur wg de fx ici j'ai tr sur wg de fx et ici j'ai x rond trace donc une fonction à valeur complexe en fait à valeur dans les normes complexes de module 1 et évidemment ce que j'ai envie de faire c'est de définir une fonction là par intégration le long des fibres alors bon déjà la fonction est bien définie il me reste à voir que il y a une mesure relative qui est bien définie et qui prolonge la mesure naturelle sur t1-disro alors là attention les fibres de ça sur les fibres de ça il n'y a pas d'action de t1-disro il y a une action si vous passez au corps agébrique monclot là il y a une action mais quand vous prenez un élément à valeur dans fx à moins que cet élément se relève en un élément de t2-fx sur la fibre il n'y a pas d'action de t1-disro de fx en revanche ce que vous pouvez faire c'est la chose suivante c'est que vous regardez le module des différenciels relatives de tr sur t d'accord et puis vous prenez donc ça c'est un module localement libre qui est bien définie et vous prenez sa puissance extérieure maximale donc c'est un fibré inversible qui est engendré par une certaine forme différenciel donc tout ceci est agébrique et voilà vous prenez la même la forme différenciel qui est invariante ici vous avez pris la forme différenciel qui est invariante par l'action du tort donc elle est invariante par l'action du tort elle est également elle est également invariante par l'action du groupe d'épermutation en particulier par l'action du groupe de vile et donc comme elle est invariante par l'action du groupe de vile elle se descend en une forme différenciel sur le quotient c'est à dire une forme différenciel relative pour ceci au dessus de cela bon et là d'après andré veille quand on a comme ça une forme différenciel elle définit une mesure donc on a une mesure sur chaque fibre qui est induite par cette forme différenciel algébrique bon et quand on regarde la restriction de cette mesure au fibre qui se relève en des points de fx et bien cette la restriction de cette mesure c'est simplement la mesure invariante qu'on a considérée au départ à une constante près alors on multiplie par la même constante partout et comme ça on a défini une fonction donc maintenant ce dont on dispose c'est d'un opérateur ceci cette forme différenciel là induit un opérateur que on a envie d'appeler comme ça donc c'est un opérateur d'intégration le long des fibres qui quand on a une fonction de tr sur WG de fx à valeur dans c et bien ça lui assosit une fonction sur T de WG donc de fx à valeur dans c donc on a un opérateur d'intégration qui est bien défini enfin qui est définit naturellement et qui prolonge celui qu'on avait déjà et donc ça a un sens d'appliquer cet opérateur d'intégration à la fonction psyches retrace alors exactement comme tout à l'heure si je regarde les choses brutalement ça ne converge pas enfin la convergence n'est pas absolue parce que les fonctions sont toujours de module A mais c'est des fonctions qui oscillent beaucoup donc quand on tronque par une fonction suffisamment régulière puis qu'on passe à la limite ça converge voilà donc ça veut dire la chose suivante ça veut dire que le noyau que j'avais tout à l'heure le noyau kx rôté se prolonge sur t de bleu sur il se prolonge naturellement en une fonction sur g de fx qui est invariant de par conjugaison et même par conjugaison stable mais comme on verra la prochaine fois en fait c'est pas tout à fait le bon noyau voilà donc là donc la prochaine fois ce que je veux faire c'est excusez moi je m'appreçois que je suis en retard quand d'habitude donc la prochaine fois je donc je veux examiner ça veut dire passer à une situation non abélienne et ce que je vais regarder c'est principalement le groupe gl2 muni des représentations de transfert définie par les puissances symétriques alors pour comme j'ai déjà dit au début du premier cours maintenant il faut faire un cours chécané donc est ce que je me racontais n'est pas entièrement prêt donc j'ai pas vérifié toutes les convergences loin de là donc les calculs que j'expliquerai la prochaine fois sont des calculs qui sont principalement formel cela dit je j'ai une confiance enfin bon j'expliquerai pourquoi j'ai confiance en ces calculs mais voilà il y a donc ça sera principalement des calculs formels voilà donc la prochaine fois si il reste des auditeurs je m'occuperai du cas gel 2 voilà les fonctions que tu définis ici pas sous les temps se prolongent sur les cas se causer les temps oui oui oui oui à ce prolonge de cette manière là donc et même c'est même invariant par tu vois ça dépend simplement des invariants c'est-à-dire t'envoie g dans g divisé dans t divisé par le vraiment c'est algebrics c'est-à-dire tu vas de g dans g divisé algebriquement par la conjugaison donc ça dépend que de la variante associée c'est même pas de la conjugaison c'est de la conjugaison stable dans g2fx mais encore une fois je dis c'est simplement une remarque mais la prochaine fois j'ai en fait on verra déjà dans le cas de gel 2 que en fait c'est pas le bon noyau c'est-à-dire c'est-à-dire enfin ce noyau qu'on a défini n'est pas sans rapport avec celui que j'introduirai la prochaine fois mais il y a une vraie différence et on verra la fois prochaine le calcul que je ferai ça va paraître tout de suite non parce que qu'est ce qu'on demande qu'est ce qu'on demande ce noyau la première propriété qu'on lui demande c'est que la transformation de fourriers sur g soit compatible avec la formation des termes constants et là on va voir tout de suite qu'en fait il faut corriger ce noyau d'une certaine manière voilà donc mais à cause de cette proposition on prend le noyau défini comme ça contrairement à ce qu'on pourrait penser naïvement c'est pas compatible avec la formation des termes constants à l'impression que ça devrait l'aide parce que ça prolonge ben en fait non oui oui j'expliquerai ouais j'expliquerai même que le bon en fait pour la transformation de fourriers on demande voyez une liste croissante de propriété et bon donc la première propriété qu'on demande c'est la compatibilité aux termes constants mais voyez que la compatibilité aux termes constants en termes spectraux ça ne voit que ce qui est induit par le tort donc sur toutes les autres représentations vous savez pas ce que ça donne donc il y a une grande liberté ensuite la deuxième propriété que vous demandez c'est que ce soit un opérateur unitaire mais là aussi il y a plein de manière de compléter un opère vous connaissez un opérateur unitaire sur une certaine partie et vous avez besoin de le compléter à l'extérieur donc il y a une certaine latitude après pour ces propriétés là donc ça va apparaître dans ce que je dirais la fois prochaine c'est à dire que pour les les premières propriétés que dans dont on a besoin dans le noyau il y aura une certaine latitude et puis peu à peu on va préciser voilà