 اسلام علیکم. ایک بار پھر ملوخات کرتے ہیں. آج لیکچر نمبر 6 شروع کرتے ہیں اور اس سے پہلے گا شروع کر رہے ہیں دیکھ لیتے ہیں کہ پہلے لیکچر میں ہم نے لیکچر نمبر 5 میں کیا بات کی تھی تھوڑا سا ریکاب کر لیتے ہیں. ہم نے لیکچر نمبر 5 میں بات چیٹ کی تھی دیسٹنس فرملے کی بات کی تھی کہ دیسٹنس کیا چیز ہوتی ہے. دیسٹنس فرملہ یعنی in the context of finding distance between points in the x y plane اس کے لعا ہم نے mid point and the coordinate plane اور اس کے لعا ہم نے circles کی equations دیکھیں ان کے graphs دیکھیں کچھ examples کی quadratic equation کے اوپر تھوڑا سا خورہ فکر کیا اس کی graph کو دیکھا اس کے بارہ میں بات چیٹ کی تو یہ سب چیزیں تھی اور یہ بھی ظاہر ہے again obviously very important things we should always keep them in mind اور اس کے بعد ہم استعمال کریں سب کو so let's keep them in mind اور آج پھر آگے برتے ہیں next one is in this lecture میں lecture number 6 میں دیکھیں آج ہم کیا پڑھیں گے so today we will talk about functions بیسکلی functions کیا ہوتے functions کا کچھ یوں ہے یہ اس میں personally جب میں functions کی بات کرتا ہوں تو a personal level پرسنل level پے تھوڑی سی میرے لیے ایک ایک تھوڑی سی ہیسٹری ہے functions کے ساتھ بات کچھ یوں ہے کہ جب میں پرنے گیا امریکہ when i was back in early 90s تو یہ میں آج آپ کو بڑا دا چلنو کہ میرے میتہمیٹیکس جتھی when i was younger i was very bad in mathematics یعنی آپ یقین نہیں کریں گے i have a master's in math now i got a master's from the united states لیکن یہ کہ جب میں گیا تھا تو i was a very weak student یعنی ایک طرح سے my conceptual ideas جب میں نے امریکہ پوچھا کچھ ارسی پیانی کافی ارسی پہلے تو functions کے بارے میں بات کی تو یہ میری teachers سے تو وہاں پر مجھے حساس ہوا جاکے کہ میرے مات اصل میں ہے کتنے بیک i had no idea what functions were اور امریکہ جاکے مجھے حساس ہوا کہ functions کی کیا importance ہوتی ہے mathematics میں they are the fundamental very fundamental in the study of mathematics تو لہذا یہ ایک personal methods experience آپ کو بتا رہا تھا اس لئے کہ i think they will convey how important the idea of functions is تو functions کے بارے میں بات کرا تھا میں تو let's see and start talking about functions تو دیکھتے ہیں کہ ہوتے کیا ہے تو اس سے پہلے کہ ظاہرہ آپ functions کی یہ topic جو یہ ہمارا topic ہوگا اس لیکچر کا تو تھوہاں ظاہرہم functions کے بارے میں بات کریں گے تو اس کی تھوڑی سی ایک وہ دیکھ لیتے ہیں سمری کے ہے کیا تو سکین پر آپ کے سامنے bulleted form میں ایک سمری آرہی ہے and these are the topics concerning functions that we will talk about today تو آگے دیکھتے ہیں سکین پر آج ہم دیکھیں گے کہ سب سے پہلے تو ہم دیفائن کریں گے کہ ایک function ہوتا کیا ہے we will define what a function is پھر ہم کہیں گے جی پھر ہم دیکھیں گے کہ discuss کریں گے کہ notation جو استعمال ہوتی ہیں function کے لیے پہلے تو idea دیکھیں گے کہ اس کے بعد دیکھیں گے کہ those notation جو ایک ہے standardsی بنی بھی mathematics میں وہ کیا ہے اس کے بعد پھر ہم topic discuss کریں گے about domain of a function کہ ایک domain کیا چیز ہوتی ہے function کی اور ساتھ ہی ساتھ اس کے بعد ہم دیکھیں گے کہ what is the range of a function تو یہ domain and range جو آخری دو points دے یہ تو کافی important points ہیں these are what basically define a function in a sense اس کے بارے میں تھوڑا detail میں دیکھیں گے لیکن شروع کرتے ہیں defining of a function say how do we define a function تو آئی دیکھیں گے what a function is اچھا تو function کے بارے میں بات کرتے ہیں کہ function ہوتا کیا ہے تو سب سے پہلے تو یہ کہ function کا word کہاں سے آتا ہے mathematics میں یہ basically french mathematician Liebnitz جو تھے he was the first one to define to actually use the word function to define a relationship between some variables two variables اور اُس کا کیا مطلات ہوا بھی دیکھتے ہیں تھوڑی در میں اس میں یہ ہے کہ کچھ examples میں دیتا ہوں کہ جو ہم real life میں دیکھتے ہیں یہ بلکہ ہم already دیکھ چکے ہیں پہلے which are examples which can be called functions you know or functional relationships between two variables تو مثال کے طور پہ جب ہم مثال کے طور پہ کہتے ہیں کہ area of a circle یعنی ایک circle ہے پشل لیکچر میں بھی امیڈیٹلی جو ہم نے دیکھا تھا پہلے اس میں ہم نے circles کی بات کی تھی تو اس میں جو ہم نے بات نہیں کی تھی وہ یہ تھی کہ area of a circle ایک چیز ہوتی ہم define کرتے ہیں جوامیٹری میں ہم نے پڑا ہوگا کافی پہلے وہ یہ ہے کہ اس کا فاملہ ہوتا ہے a equals pi multiplied by the radius squared right یہ a radius of the circle pi of course is that constant number جو ہم approximate کرتے ہیں 22 over 7 سے it's an irrational number یادہ آپ کو pi کی امیڈیٹر دیکھی تھی لیکچر number 1 میں it's an irrational number but we can approximate it by 22 over 7 تو یہ ایک فاملہ جو ہم دیکھتے ہیں a is equal to pi multiplied by radius of the circle squared this is another way of saying the area of a circle is a function of the radius of the circle a is somehow dependent on the radius of a circle that we are talking about ایک اور ازمپل کر لیتے ہیں ہم اگر physics کی بات کرتے ہیں اس کے اندر velocity اور time کی بات ہوتی ہے اس میں عام طور پہ ہوتا ہے کہ اگر آپ ایک کوئی چیز پھیکیں کافی امچائی سے کسی building سے تو جیسے جیسے وہ گرے گی تو اس کی velocity increase ہوتی جائے گی یعنی جیسے جیسے time گزرتا جائے گا اور کوئی گیند اگر آپ نے پھی کیا if you throw a ball off a cliff or something تو time کے ساسہ اس کی velocity increase ہوگی وہ ظاہرہ increase ہوگی کیونکہ اس میں acceleration act کر رہی اس کے پر تو یہاں پر ہم کہیں گے کہ جو velocity ہے is kind of dependent on time یعنی جیسے جیسے time گزر رہا ہے اسی طرح velocity increase ہو رہی ہے so we say that velocity is a function of time basically جس رام نے پہلے کہا تھا the area of a circle is a function of the radius of a circle اس طرح سے ہم اب یہاں بھی کہیں گے کہ the velocity of an object falling down towards the earth is a function of time جیسے time گزرتے گا ویسے ویسے velocity increase ہوگی تو یہ ایک طرح کا idea ہے جو بتاتا ہمیں کہ what a function means basically it's a relationship between two variables اچھا تو یہ تو ہم نے دیکھا کہ تو examples جہاں پر function کی تھوڑی سا idea ہمیں کیا ہوتا ہے function it's a certain kind of relationship اس کو کونکریٹلی ڈیفائن کرتے ہیں function کو ایسے ڈیفائن کریں گے کہ اگر آپ کے پاس دو variables ہیں x and y مثال کے طور پر ہم x and y لیتے ہمیشہ تو ہم کہیں گے کہ اگر میں x کو کوئی ایک value assign کروں arbitrary یعنی اپنی choice کی کوئی بھی ایک number value سے دیتا ہوں یعنی x کو میں 2 3 4 square root of 2 whatever تو اگر میں ایسی کوئی value assign کروں x کو اور اس میں کوئی x کی ایسی کوئی relationship ہو y کے ساتھ such that for whatever value assign to x یعنی for each value assign to x the y variable gets a unique value depending on what x was then I will call that relationship a function یعنی اگر میں پاس x کی جگہ میں 2 value ڈالتا ہوں or y کی میرے پاس value آتی 4 تو this would be یعنی ایک value x کیلئے صرف ایک value y کی آئی تو this would be a functional relationship between x and y تو یہ this is how we define it's a screen پر دیکھلتے ہیں کہ لکھے کیا کیا what was the definition we just saw let's go to the screen آپ کی definition ہے کجی if a quantity y let's call it y depends on another quantity x in such a way that each value of x determines exactly one value of y we say that y is a function of x تو یہ basically definition ہے of a function تو ایک example دیکھلتے ہیں کہ a function کی کہ ہم actually دیکھ چکیں کافیر سے پہلے جتنے بھی ہم نے equations دیکھی تین lines کی اگر آپ کو یادو all those equations were actually functional relationship between the variable x and the variable y تو ایک example دیکھتے ہیں کہ ایک function کی تو یہ جو equation ہے یہ ایک function ہے y equals 4x plus 1 is a function اور اس کی دیکھلتے ہیں کہ this actually is a function یہاں پر میں ٹیبل بناتا ہوں اس ٹیبل میں کچھ x values لکھلتے ہیں جو ہم arbitralی طور پر اپنی طور پر آسائن کریں گے اس کو values اور پھر یہ دیکھنا یہ ہے صرف کہ جو بھی x کو آپ value دیتے ہیں اس کی value y کی جو output value آئی گی corresponding value وہ بھی ایک unique value تو یہ ٹیبل میں آپ کے سامنے کچھ x values ہیں اور نوٹ کیجئے کہ in x values کو اگر آپ equation میں ڈالنے جو آپ کے سامنے ہے تو آپ کے پاس صرف ایک unique exactly one y کی value آئی گی تو یہ ظاہر کرتا ہے کہ یہ ایک function ہے تو ایک example آپ نے دیکھی it's an example we've seen many times before جب ہم chapter lecture number 4 کر رہے تھے خالبا تو اس میں ہم نے lines کی بات کی تھی اس سے پہلے بھی ہم نے lines کی بات کی تھی تو equations دیکھی تھی لائن سے پہلے جو ہم کچھ lectures دیکھتے تھے اس میں ہم نے already equations دیکھی تھی تو we've already seen these functions before اب ہم اس کو بس ایک نئی roof میں دیکھنے اگر آپ دیکھیں تھوڑے سی اس کے بارے میں details معلوم کر رہے ہیں تو جو lines کی equations ہوتی ہیں they're all functions basically کیونکہ ایک کوئی value آپ assign کریں x کی تو corresponding y value جو آپ کالکلیٹ کریں گے it'll be a unique exactly one value corresponding to that input value تو actually یہ بھی کہ سکتے ہیں ایک طرح سے کہ function is basically a relationship of input and output such that for each input there's only exactly one output that comes out تو یعنی جو آپ کا x جوگہ آپ کی input ہوگی جو output ہے آپ کی y ہوگی لیکن یہ جو input output relationship ہے یہ اس طرح ہونی چاہیے کہ for each x input exactly one y output comes out اچھا جی تو یہ ہم نے دیکھا function اب ظاہرہ تھوڑا سا clarify کرنے کے لیے بھی دیکھ لیتے ہیں کہ کوئی ایسی relationship ہے x اور y کے درمیان ہم نے دیکھی already جو کہ function now ہو یعنی obviously ہم نے lines کی equations کافی پہلے دیکھلی تھی تو we know that these are now we know that they're functions are there any things we have seen or any equations which are actually not functions well there are سکین پر آپ کے سامنے ایک سامل آتیے let's see an example in which an equation we see an equation which is not a function تو یہ آپ کے سامنے ہے جناب equation y is equal to plus or minus the square root of x تو یہ اس کو ہم نے شہت پہلے بھی دیکھا تھا کسی اور اوپ میں دیکھا ہو یعنی اگر آپ دونوں سائدوں کو square کردیں اس سائد اس equation کی تو آپ کے پاس equation آتیے y square equals x تو اس فور میں بھی آپ نے دیکھا شہت لیکن ہم اس کو اس فور میں دیکھتے ہیں کہ y is equal to plus or minus the square root of x تو آئی دیکھتے ہیں کہ ہوتا کی ہے جب ہم کوئی اس کے اندر x کی value ڈالتے ہیں so let's see what happens یہاں پر آپ کہتے ہیں کہ فرس کیجئے x جو ہے وہ 4 کی برابر ہے let's say that x equals 4 تو پھر کیا ہوگا یعنی اس کا مطلب ہے کہ میں 4 کو square root کے اندر ڈالوں گا تو میرے پاس رزلٹ آئے گا y is equal to plus or minus the square root of 4 well we know that square root of 4 ظاہرہ square root لے رہے ہیں plus or minus ہیں تو 4 کا کیا ہوگا ایک تو 2 ہوگا اور ایک minus 2 ہوگا تو لہذا آپ کے پاس دو value ڈائیں گی y equals 2 and y equals minus 2 تو یہ ایک ایسی ڈامپل ہے جہاں پہ آپ نے x کی value ڈالی یعنی 4 لیکن جب output آپ نے ڈالکلٹی اس میں 2 value ڈائیں تو یہ ایک ایسی ڈامپل ہے between x and y which is not a functional relationship any other relationship call it whatever you want to call as long as you don't call it a functional relationship تو یہ ایک ڈامپل ہے جہاں پہ ایک relationship ہم نے x اور y کے درمیان دیکی جو function نہیں ہے تو I hope that makes things a little bit more clear کہ functions ہوتے کیا ہیں تو آئیے آگے دیکھتے ہیں ایک notation جو ہم سمال کرتے ہیں functions کی لیے تو آئیے دیکھتے ہیں what is that notation notation ہے y is equal to f parentheses x تو یہ بیسکلی ایک function relationship اس کو ایسی ڈامپل ہے جیسے آپ کہیں کہ y is a function of x تو f جو ہے یہاں پہ ڈامپل ہے تو یہ ایک ایسی notation ہے جو ڈامپل ہے تو یہاں پہلے جو ہم جو ہم بہت ہی بھی لے یہاں ایک ایسی standard بنای ہے کہ this is all you see basically اور کوئی notation آپ کو نہیں دیکھنا کو شد ملے as long as you do your math in English جو کہ ہم آم طور پکرتے ہیں overall all over the world basically تو یہ پھر سے وہی دیکھیں کہ y is equal to f of x اچھاں اس کو read کیسے کرتے ہیں جب ہمیسکلی میں لکھا تھا y is equal to f parentheses x اس کو ہم پڑھتے ہیں y is equal to f of x یعنی بیسکل جب میں کہتا ہوں f of x I am really saying f is a function of x تو یہ اس طرح سے اس کو پڑھنا چاہیے یہ یاد رکھیں بہت اہم چیز ہے کہ جب میں لکھتا ہوں y parentheses x I am not saying that f multiplied by x this is not a don't ever make that mistake کہ f is multiplying x you should always remember that f parentheses x means f is a that f of x is what you should read it as and basically اس سے پہلے آپ دیکھیں گے کہ ہمیشہ لکھا ہوگا y is equal to f parentheses x تو مطلب یہ ہے کہ y is a function of x یعنی x اور y کے دمیاں ایک function relationship exist کرتی ہے یہ کوئی چیز ہے جو ہم نے آپ کو شہر یادہ بات کی تھی کہ mathematics میں notation کافی abuse ہوتی ہے unfortunately کیوں کہ جیسے آپ کو یاد ہوگا کہ انٹرولز کی ایک notation تھی اسی طرح کی notation ہم نے co-ordinates کو ڈفائن کرنے کے لیے استعمال کیا تھا the problem وہ یہ کہ اگر آپ ہر چیز کے لیے نئی notation بنائیں گے تو آپ تو پھر میرے حال سے مہت نہیں کر سکیں گے کیونکہ ہر چیز کے لیے نئی notation بنے گی اور اس کو یاد رکھنا بڑا مشکل ہوگا تو عام طور پر ہم یہ کرتے ہیں mathematics میں کہ notation abuse کرتے ہیں we use the same notation again and again لیکن context سے ہم کلیر کر لیتے ہیں کہ بات کیا ہوری ہے یہاں پہ بھی context سے ہمشاہ کلیر ہوگا کہ جب y is equal to f parenthesis x لکھا ہے so it means y is a function of x تو یہ آپ کی ایک notation ہے standard notation for writing functions اچھا اب وہی میں نے تھوڑے دل پہلے کہا تھا کہ جی کچھ تاریخی پسے منظر اس کا تو کیا ہے یعنی یہ notation آتی کن سے یہاں پہ بڑا interesting character سامنے آتا ہے mathematics کی دنیا میں میرے خاص ہاں سب جانتے ہوں گے کہ جو ایک طرح کی steer a typical image بنیو یہ mathematics کی mathematicians are considered to be interesting characters anyway تو اس کے حصاب سے اگر ہم کہیں کہ یہ interesting character ہے تو کوئی بڑی بات نہیں ہوگی لیکن he is interesting for many reasons he was a very prolific mathematician اور میں بات کر رہوں lennard euler کی swiss mathematician who lived in the 1700s very prolific سمراد میرے یہ کہ اس نے اپنی lifetime میں he basically published about more than 1000 papers i mean that's a huge contribution to mathematics i think he basically holds the record for publishing papers in mathematics very prolific 70s or early 80s تک ان کی کچھ عمرتی i'm not exactly sure but he lived up to a very ripe old age اور یہ بھی مزیقی بات ہے کہ in his last years like last ten years of his life he was blind یا نابینہ تھے لیکن those last ten years of his life are probably the most productive تو he is actually a very interesting character any he was blind yet he was very productive in mathematics اور وجہ یہ تھی کہ his memory was phenomenal he could do a huge calculation in his mind in his brain totally without any aid in terms of writing things down and that's why he was able to basically be very prolific اچھا تو ایک historic fact آپ کو بتاہتا ہوں about Euler کے بارے میں Euler جو تھے وہ ایک queen ایک ملکہ تھی European actually i think Swiss queen تھی in Switzerland میں i'm not sure you might want to check about this تو اس کی کوٹ میں he was the mathematician of the court in his door میں باشاہوں کے court mathematicians ہوتے تھے دربار کے so Euler was actually the mathematician at this court of this European queen اچھا وہاں پر problem کو چیوں تھی کہ ایک اس زمانے میں رشان ایک philosophy تھے جو atheist تھے he used to negate the existence of God تو he was at that court and he would basically argue with the royalty of that court جو اس کے queen کے دربار کے لوگ تھے اور اس کے subject تھے and sort of leave them kind of convince کہ God doesn't exist تو یہ queen جو تھیں اور اس کے دربار کے بھی یہ تو غلط باتا she was a Christian and she wanted Euler to basically put an end to this and she requested Euler to basically argue have an argument with this philosopher and convince him of the existence of God تو Euler was not particularly interested in this kind of an argument but he had a way out for the queen what he did was basically on a particular day he showed up at the court and he went up to this scene a philosopher and to him he said some kind of an equation I am not sure what the equation was like in something like X plus A divided by N equals A to the power N and hence God exists and he says to the atheist please sir reply تو آپ جو مزے گی بات یہ کہ جو آپ کے جو philosophy تھے he was a philosopher he had no idea of what Euler said he was not a mathematician he was flabbergasted he had no idea how to reply so he basically said nothing and kept quiet and Euler just went back to his seat and sat down and everybody at the court was convinced that God exists تو یہ آپ کے جو آپ کے جو آپ کے جو philosophy تھے he basically left the court the very next day and went back to Russia تو here is a very good interesting example where mathematics was used actually it's an interesting kind of a funny historical fact I thought آپ سب لوگ اس کو انجوائے کیجے کریں گے آپ اس کے بارے میں کہیں سے رفرنس لے کے مزید پڑیے میں تو آپ کو ایک سرسری سن وہ دیا ہے انتردکشن but this is a very interesting story and I recommend کہ آپ اس کے بارے میں معلومات حاصل کریں تو اب یہ Euler کی character تھا he is the one who invented the functional notation ہم نے بات کی and we saw what kind of an interesting person he was اس نوٹیشن کو استعمال کرتے ہوئے what can we say about functions آپ اسکرین پر دیکھئے کہ یہ نوٹیشن لکھی بھیے y equals f of x جو بھی ہم نے انتردوز کی ہم نے بتایا ہے کہ Euler نے انتردوز کرائی تھی تو اس کا فائدہ کیا ہے اس کا فائدہ کچھ یوں ہے کہ یاد رکھیں کہ جو functions ہوتے ہیں ان کا استعمال ہم نے ایک اجامل دیکھی جہاں ہم نے area define کیا as a function of the radius of a circle تو یہاں پر بیسیکل کالکلیشن is involved اگر ہم بیسیکل کچھ کالکلیشنز کرنا چاہتے ہیں جو applied problems میں ہم دیکھتے ہیں i.e. real life میں جب ہم کچھ کالکلیشنز کریں گے تو we end up with functional relationships between various variables i.e.particularly between two variables تو اس لیے ہم یہ نوٹیشنز استعمال کریں گے اور اس لیے یعنی یہ جو نوٹیشن ہم نے دیکھی اس کو استعمال کرتے ہم یہ کالکلیشنز آسانی سے کر سکتے ہیں اور function relationships کو پرنے میں آسانی ہوتی ہے مثال کے طور پرگر سرین پر دیکھیں کہ یہاں پر جب لکھا ہے y equals f of x تو اس میں یہ دیکھیں کہ یہ right away you can tell which variable is independent and dependent اچھا یہ کیا بات ہوئی میں نے کہا کہ independent or dependent variable تو اس میں کچھ میں تھوڑا سا بتا رہتا ہوں کہ independent variable جو ہوتا ہے وہوالا variable ہوتا ہے جو کہ جس کو کیا values سائن کرتے ہیں یعنی ہم نے تھوڑی دے پہلے ایک example دیکھی تھی جس میں ہم نے کہا کہ x کو کچھ values سائن کریں اپنی choice کی تو that x was your independent variable جو dependent variable ہوتا ہے وہوالا variable ہوتا ہے جس جو کہ it depend کرتا ہے on the independent variable obviously تو جو ہم نے تھوڑی دے پہلے ایک example دیکھی تھی again اس پر افر کریں تو in that case was the y variable تو usually جب آپ دیکھیں گے تو x will be usually the independent variable and y will be the dependent variable اگر آپ دیکھیں گے اگر آپ دیکھیں گے اور اس کی notation پر دیکھیں گے آپ نوٹ کریں گے بڑی اسانی سے اس notation سے پڑھا چل جاتا ہے کونسر variable independent ہے کونسر dependent تو یہاں پر دیکھیں کہ یہاں پر لکھا ہے y equals f of x تو جو variable f کے ساتھ ہے obviously that is going to be the dependent variable it is going to be the independent variable and the one that is not alongside with the f is on the equation which happens to be the y in this case that will be the dependent variable تو یہاں پر بیسکلی بڑے اور اس کی obviously ظاہر سی وجہ گئے جب آپ اس کو sentence کی form میں پڑیں کہ y is a function of x تو یہاں پر آپ ظاہرہ کہہیں کہ y is a function of x that means y depends on x تو ظاہر سی بات ہے کہ the variable alongside with the f will be the independent variable and the other variable that is left over will be dependent اچھا بھی یہاں پر f کی بھی بات ہم نے کیئی ہم نے ایک f notation میں ڈیوز کیا تھا f کی چیز ہے f is nothing really it is just a a mnemonic device for you know representing the word function یعنی f جہاں وہ کوئی نمبر نہیں ہے it is not anything else it is just a way of remembering کہ جو آپ لکھتے ہیں y is equal to f of x تو f جہاں وہ function کیا ہے it stands for the word function تو it is not a number or anything so never imagine کہ f جہاں کوئی نمبر رپریزنٹ کر رہا ہے it is just a letter representing the word function ایک اور چیز جو اس میں بڑی اچھے نوٹیشن میں وہ یہ ہے کہ اس کو سمال کرتے ہیں جو آپ کالکلیشنز کرتے ہیں تو آپ کو right away automatically پڑھا چل جاتا ہے کہ کون جو کونسی والی x کی value کو کونسی والی y value سائن ہوئی ہے تو ایک ایک سمپل کرتے ہیں جس میں idea clear ہو جائے گا آئی ایک سمپل دیکھنے سکین کیوں پر تو ایک سمپل آپ کے سامنے ہے جی کہ y is equal to f of x equals x squared تو یہ جو یہاں پر میں کالکلیشنز کرنا چاہوں گا کہ کچھ values میں دینا چاہوں گا x کو and I would like to see what the corresponding y values are یعنی اس function جو یہ square کرتا ہے ہر نمبر کو تو مثال کے طور پر اگر میں x کو value سائن کروں 3 تو اس نوٹیشن کو سمال کرتے ہوئے کافی چیز آسان ہو جائیں گی یعنی اگر میں notations سمال کروں f of x ڈوالی تو I will write down f of 3 is equal to 3 squared equals 9 and if I want to evaluate this function at minus 2 تو میں لکھوں گا f of minus 2 equals minus 2 squared which is equal to 4 تو یہاں سے ظاہر ہوتا ہے کہ یعنی جو ابھی ہم نے لکھا سکین پر دیکھا ابھی پھر سے دیکھیں گے تو اسے نوٹ کیجے کہ اس نوٹیشن سے آپ کو right away پر چل جاتا ہے کہ کونسی x ڈوالی کونسی y ڈوالی پر کارسپارنٹ کر رہی ہے let's go back to the screen and see what I am saying basically اس پر دیکھئے کہ جب میں نے کہا f of 3 تو یہاں پر پر چل گیا کہ x ڈوالی 3 ہے اور اس کے equality کے دوسری سائٹ پر میں نے نمبر لکھا ہوا ہے 9 یعنی یہ وہ نمبر ہے جو میں نے 3 کو process کیا ایک function کے through اور اس کو میں نے square کیا تو 9 آیا میرے پاس تو بیسیکلی مجھے پر چل گیا کہ for x ڈوالی 3 y ڈوالی 9 سیمولوری اگر x ڈوالی negative 2 than y ڈوالی 4 تو یہ ایک اچھت یعنی ابھی ظاہر ایلیمینٹری سی بات لگی ہوگی لیکن میں کئی دفعہ پہلے بھی کہتے ہوگا کہ ایلیمینٹری کا مطلب ہے کہ اگر کوئی چیز ایلیمینٹری ہے then rest assure it's going to be very important یعنی it's one of those basic things جو ان کے اوپر ہم باقی mathematics کریٹ کرتے ہیں اور ڈوالب کرتے ہیں تو یہ ابھی تو شہد نہ اتنا انبازہ ہو کہ کیا اس کے اندر خاص بات ہے لیکن آگے چل کیا ہم دیکھیں گے کتنا آسان ہو جاتا ہے اس نوٹیشن کو استعمال کرتے ہوئے ہمیں calculations کرنے میں کتنی آسانی رہتی ہے تو یہ آپ کی کچھ نوٹیشن کے بارے میں تھا اس میں یہ بھی نوٹ کر لیجے کہ there is nothing special about مینجورک لکھا کہ y is equal to f of x یہ نوٹیشن لکی there is nothing special about small f جو میں استعمال کیا ابھی تک یہاں پر میں کئی اور کئی اور alphabet letter of the alphabet بھی استعمال کر سکتا ہوں اور یہ بھی آتا رکھیں کہ variables بھی میرے کچھ اور ہو سکتے تھے میں یہاں پر ہم نے x and y استعمال کیا I could have used t and v I could have used p and q variables کوئی بھی ہو سکتے ہیں آپ کے لیکن یہ ہے کہ as long as you are defining a functional relationship اسی طرح آپ کی جو small f ہم نے استعمال کیا وہ بھی کو خاص چیز نہیں ہے it could be any other letter of the alphabet for example on the screen I could say y equals capital F of x I could also say y equals small g of x and I could say y equals h small h of x or any other kind of combination of the letters تو یہ کوئی خاص چیز نہیں تھے small f it could be anything as long as you have the right idea that is what is important آئی آگی دیکھتے ہیں اور کیا چیز ہے ایک ایک اجامپل اور کر لیتے ہیں کچھ اس میں میں تھوڑی سی notation difference سمال کروں گے اس اجامپل میں تو گو کیا ہم اجامپل دیکھ چکیں کہ functions میں calculations کیسے کرتے ہیں لیکن اس میں بھی calculations بھی ہو جائیں گی تھوڑی سی اور ساتی ساتا ہم کچھ نہیں notations بھی دیکھ لیں گے یعنی notations سے مطلب یہ کہ سمال اف کے اندر کوئی خاص بات نہیں تھی جب میں notations لکھ رہا تھا function کی تو وہ چیز یہاں پر تری ہو جائے گی تو آئی اجامپل دیکھتے ہیں اجامپل آپ کی ہے phi of x equals 1 divided by x to the power 3 minus 1 تو یہاں پہ phi میں نے لیٹر سمال کیا یہ گریک لیٹر ہے تو small f کی بجائے phi بھی سمال کر سکتے ہیں مثال کے طور پر ہم بلکے اردو سے بھی بھی سمال کر سکتے ہیں میں لکھ سکتا ہوں alif of x کوئی اس میں کوئی وہ نہیں ہوگیا مسئلہ we can always do that problemی ہوگی کہ کوئی شہ سمجھے نہ کیونکہ اردو میں mathematics کم ہوتی ہے دنیا بھر میں لہذا ہمیں وہ لیٹرس سمال کرنے چاہیں جو راکنائز دیں تو آئی اجامپل سے continue کرتے ہیں کہ آگی دیکھتے ہیں اس میں ہوتا کہ تو یہ آپ کے پاس function ہے اس میں آپ کو کچھ کالکلیشنز کرتے ہیں اس میں let's say I want to evaluate the function and let's say this is and I will actually say this this is a functional relationship between the y variable which I am calling phi of x and the variable x تو یہاں پہ میں کہا ہوں گا کہ جی evaluate کریں اس function کو for the cube root of 7 تو یہاں پہ اس کا مطلب یہاں کہ phi parentheses cube root of 7 is equal to 1 divided by cube root of 7 cubed minus 1 which is 1 divided by 7 minus 1 is equal to 1 over 6 اسی طرح سے اگر میں اس کو 0 کیلے evaluate کروں تو یہاں پہاں سوہاں پہلیم ہو جائے گی یہاں پہ میرے پاس result آئے گا 1 divided by 0 تو جب division ہوتی ہے 0 سے تو کیا ہوتا ہے تو پھر بہت بہاں مسئلہ ہوتا ہے آپ کو یاد ہوگا division by 0 is not allowed and we say that when you have a division by 0 things are undefined تو اس اجامپل میں 0 کیلئے اس function کی کوئی value نہیں ہے یعنی کہ میں نے x کو تو 0 آسائن کر دیا لیکن اس کی output جو value تھی y value جس کو میں phi of 0 بھی کہتا ہوں وہ define نہیں ہے یعنی there is no result for that تو یہاں سے ایک کچھ نیا idea develop ہوگا اس اجامپل سے اور آگے دیکھتے ہیں یہ دیکھتے ہیں کہ وہ idea کیا ہے اچھا ایک اور چیز دیکھلتے ہیں یعنی ابھی میں نے کہا کہ ایک نیا idea دیکھیں گے جو پرشلی اجامپل سے نکلے گا لیکن اس سے پہلے ایک اور چیز دیکھلتے ہیں یہاں پہلی دیکھلتے ہیں کہ اپنے اپنے ایک idea دیا کہ بھی function لکھتے ہیں اور پھر ہم x کو کچھ values آسائن کرتے تھے نمبر values ہم نے آسائن کیا بھی تک تو for theoretical reasons اور mathematical reasons یہ ضروری نہیں ہے کہ x کو کوئی نمبری value دی جائے ہم x کی جگہ کوئی اور alphabet کسی اور alphabet سے ایک لیٹر اور ڈال سکتے ہیں یعنی مثال کے طور پہ x equals 2 جیسے ہم نے کسی اجامپل میں شہر دیکھا ہوں ہم کہتے ہیں x کی numerical value 2 ہے تو وہ ضوری نہیں کہ 2 او ایک لیٹر value بھی دے سکتے ہیں تو ایک اجامپل دیکھتے ہیں جس میں idea کلیر ہوگا اور ایسا کیوں کرتے ہیں یہ ہم آگے چل کے کافی کافی آگے چل کے دیکھیں گے لیکن rest assured کہ this is a very important idea also تو let's look at another example یہاں پر اجامپل آپ کے سامنے the function capital F of x equals 2x square minus 1 یہاں پر میں اس کو evaluate کرنا چاہتا ہوں for the letter D I'm not going to assign the variable x any number value instead I will assign it the letter value of D and in that case my result will be 2 multiplied by D square یعنی 2D square minus 1 so that will be the result for the case when x equals D اس کے لہاں ایسے بھی ہو سکتا ہے کہ میں کہوں کہ جی x کی جگہ آپ T minus 1 ڈالدیں بجائے کوئی number ڈالنے کے آپ x equals T minus 1 ڈالگیں تو اس کے سامنے آپ کے پاس رزلت آئے گا F of T minus 1 is equal to 2 times the quantity T minus 1 square minus 1 is equal to 2T square minus 4T plus 1 اس میں کچھ بیچ میں کالکلیشن تھی جو میں نے نہیں کی I mean I didn't read it out allowed لیکن آپ اس کو دیکھ سکتے ہیں اور اس کو آپ کالکلیٹ کر لیجی and you'll see that that is the case تو here's a case where you don't have to put in number values for the variable the independent variable but you can input say a letter value and the result comes out to be another function basically جو آپ کا جو رزلت آتا ہے جب آپ ویریبل کی جگہ کوئی letter ڈالتیں یعنی x کی جگہ آپ نے D ڈالا تو آپ کا رزلت آیا 2D square minus 1 تو original آپ کا function کچھ اور تھا اور ایک ایک اور function آ گئے جو کہ ایک different letter کی form میں ہے یعنی آپ کا independent variable ڈی ہے وہ x نہیں ہے بلکہ دی ہے اور سمجھللی دو سٹی ازمبل میں independent variable وہ x نہیں ہے بلکہ ڈی ہے تو یہ کبھی کبھی استعمال ہم کرتے ہیں it's a very important idea اور آگی چلکے دیکھیں کہ ہم کہاں اس کو استعمال کریں گے تو آگی چلکیں دیکھیں اور کیا ہے آچکے لیکچنے میں بات کرنے کے لیے اچھا ایک اور چیز function کے بارے میں یہ کہتے ہیں کہ اب یہ سے ہم نے ڈیمپل دیکھی کہ اس میں ہم لیٹرز ڈال دیتے ہیں تو ہمارے پاس انڈیپنٹ ڈال کی جگہ نمبر ڈال کی جگہ نمبر ڈال کی جگہ لیٹر ڈال دیتے ہیں تو ہمارے پاس ایک اور function آتا ہے ایک اور variable کی form میں اسی طرح سے اس idea کے حوالے سے ایک سوال یہ اٹھا ہے کہ اگر آپ کی پاس دو function ہیں جن کا variable ڈیفرنٹ ہے لیکن وہ لگتے ایک جیسے ہیں تو کیا وہ ایکی function ہوگے دونوں ایکی function ہوگے یا پھر ڈیفرنٹ function ہوگے تو اچھا یہ سوال کے سامپل دیکھ لے دیتے ہیں مطلب کہ میں کہنا کہا چاہ رہوں سکرین پر دیکھتے ہیں سوال سوال ہے جی کے آپ کے پاس ایک function ہے g of c equals c square minus 4c یعنی یہ ایک اسی function ہے جس کا ڈیپنٹ variable c ہے اور ایک اور function ہے g of x equals x square minus 4x تو یہ ایک اسی function ہے جس کا اس کا اندیپینٹ ویریبل جو ہے وہ x ہے تو ان کو اگر آپ وار سے دیکھیں تو آبیس لی they look very much like صرف فرق یہ کہ پہلے والے میں اندیپینٹ ویریبل c ہے اور دوسرے والے میں اندیپینٹ ویریبل x ہے تو کیا یہ دونہ ایکی فنکشن ہے یا ڈیفرنٹ ہے تو انٹوٹیولی مرحل سے آپ کو کلیر لی آپ کہہ رہے ہوئے کہ نہیں پھائی یہ تو ایکی فنکشن ہے just لٹر کے ایک اور ڈال دیا ہم نے x اور c but it's the same function اور آپ بالکل صحیح ہوں گے اگر آپ یہ کہیں گے اور آپ چیک کر سکتے ہیں assign some value for c اگر آپ c کو 1 کہہ دیں number value for example اور وہی value آپ x کو دے دیں تو جو آپ کالکلیشنز کریں گے تو دونہ فنکشنز کا result a کی آئے گا as a number similarly اگر آپ c کی جگہ کوئی لیٹر ڈالنا چاہیں وہی لیٹر اگر آپ x کی جگہ رپلیس کر دیں تو resulting functions جو ہوں گے وہ same ہوں گے تو مخصد یہ کہ functions میں لیٹر جو آپ کا independent variable denote کر رہے وہ اتنہ ڈال نہیں ہوتا جتنا کے structure of the formula is important یعنی a function is basically defined by the structure of the formula that you that is given in the function تو that is why we should look at the structure of the formula not the variable اگر چلتے ہیں دیکھیں دومین کی بات کرتے ہیں ڈomain کیا چیز ہوتی ہے ڈomain جو ہوتی ہے یہ بیسکل restriction کی حوالے سے ہمارے پاس ہی idea تا ہے ڈomain کا یعنی ڈomain of a function تو کبھی کبھی ایسا ہوتا ہے کہ جب آپ functions کی بات کرتے ہیں تو جو آپ کا independent variable ہے جس کو آپ values assign کرتے ہیں any x جو ہوتا ہم طور پہ تو اس میں کئی بر ایسا ہوتا ہے کہ ساری values real numbers کی assign نہیں کی جا سکتی ہیں تو اس کی کئی وجہ ہاتھ ہوتی ہیں formula جو ہے function کا وہ شہد اس کال آو نہ کرے ہم نے ایک example دیکھی تھی جہاں پہ x کی جگہ 0 ڈالا تو ہمارے پاس result undefined آیا تھا وہ ایک ایسا کسہ جہاں پہ x کے اوپر restriction تھی کہ x cannot be equal to 0 تو اسی طرح اوپر restrictions بھی ہو سکتی ہیں physical constraints کی وجہ سے تو ایسے situation میں ہمارے پاس ایک restriction کی ہم بات کرتے ہیں وہ ایسی ہوتی ہے کہ آپ کی جو ڈیپیننٹ پہ variable پہ restrictions ہیں it conspines the independent variable to some subset of the real numbers یا کوئی ایسا set ہوگا real numbers کی جس میں سے allowed values ہوگی تو اس set کو this set of allowed values for the independent variable is called the domain set of the function یہ آپ کی domain ہوتی ایک function کی اسی طرح سے جیسے دومین ہم نے دیکھی اسی طرح سے ایک range کا بھی ایک idea ہوتی ہے range of a function تو range کیا چیز ہوتی ہے range بیسیکلی اس طرح سے ڈیپین کر سکتے ہیں کہ آپ نے جو آپ کے پاس ایک domain آئی آپ کے function کی تو اس domain میں سے آپ جو بھی x کو value دیں گے number کی تو اس کی ایک output آئی گی جو کے y value ہوگی right تو یہ جتنی بھی output سائنگی in the form of y variable یعنی y کی کچھ values جو assign کریں گے آپ depending on the domain تو یہ جو y value سائنگی انگر بھی ایک set بنتا ہے and this set is basically known as the range of the function یعنی اس کو form لیے اگر کیا تو میں screen پلک دیتا ہوں اس کو let's see what it says اچھا تو basically جو range ہوتی ہے ہم کہ سکتے ہیں کہ for every value given to the independent variable from the domain of a function we get a corresponding y value and the set of all such y values is what we call the range it's the set of real numbers بے you know composed of the y values and that set is called the range of the function اچھا ایک ایک اجامل کرتے ہیں about domain and range تو آئی ایک اجامل screen پر لکتے ہیں and let's see if you can find the domain of this function اچھا تو یہ ایک example screen پہا ہے اس پے ہم دیکھتے ہیں کہ function ہے ہمارے پاس h of x equals 1 divided by x minus 1 multiplied by x minus 3 تو اس کی domain معلوم کرتے ہیں تو نوٹ کیجئے کہ آپ کے پاس جو دنومنیٹر ہے اس equation کا right-hand side پہ جو آپ کے expression ہے اس کا دنومنیٹر ہے اس میں x کی value اگر 1 کرتے ہیں آپ تو آپ کے پاس 0 آجاتا ہے and 0 multiplied by minus 3 will result in a 0 or bottom پہ 0 آجائے گا and you'll be dividing by 0 that is not allowed. سیملیرلی اگر آپ x equals 3 کرتے ہیں تو آپ کے پاس آجاتا ہے دنومنیٹر میں 0 again for the same kind of reasons and again division by 0 is not allowed so we will skip you know ignore that value تو بخصت کہانے کہ یہ ہے کہ آپ کی جو دنومین ہوگی اس function کی اس میں ہر کوئی real number آسکتا ہے انی جو x ہے آپ کا کوئی بھی value دی جا سکتے ہیں numerical لیکن سوائے x equals 1 or x equals 3 کے تو کیوں نہیں دے سکتے ہیں وہ values کیونکہ division by 0 takes place تو لہاں سے یہ آپ نوٹ کیجئے کہ یہ جو is numbers 1 or 3 they're not part of the domain the domain then will consist of and I will write it on the screen the domain is going to be the union of these 3 intervals namely the interval from minus infinity to 1 union with the interval from 1 to 3 union with the interval from 3 to positive infinity تو یہ آپ کی دومین تھی اس function کی تو اس میں دیکھیں کہ یہ دومین جو تھی اس کو مکاتیں it's a domain which is a natural domain any natural domain in the sense کہ یہ جو formula تھا آپ کا اس function کا اس کے نتیجے سے یہ result ہوئی تھی دومین یعنی اس میں formula میں ایک چیز اس کا حصہ تھی کہ اس میں x کی value 1 or 3 نہیں ہو سکتی دی تو جب formula کی وجہ سے آپ کی اوپر کوئی restrictions آتی ہیں x variable پہ یہ an dependent variable پہ تو ہم کہتے ہیں کہ this is جو اس کا resulting domain ہوتی ہے تو we say that the domain is determined by the formula of the function and it is called the natural domain natural in the sense کہ یہ form لیکہ نتیجے اس کے برہاکس کبھی کبھی ایسا ہوتا ہے کہ physical کچھ functions ایسے ہوتے ہیں جو physical phenomena describe کر رہے ہوتے ہیں تو اس میں آپ کی تکس بک میں بڑی چیزامپل ہے اسی lectures a corresponding جو section ہے اس میں اس کو آپ دیکھئے گا section ہے 2.1 اس میں آپ ایک example دیکھیں گے about making a box from a piece of cardboard اس میں ایک geometry interpretation دیگئے یہ اور ایک function result کرتا ہے اس geometry ایک problem جو ہے اور اس function کی جو domain ہے وہ ایک physical requirement or a physical restriction کی وجہ سے اکر کرتی ہے in that case we say کہ یہ آپ کی domain determine ہی function کی for physical reasons or geometric reasons in other words تو یہ ایک لیکھ چیز ہوتی ہے natural domain is a result of the formula تو یہ آگے دیکھیں اور کہ یہ ایک example اور ہے یہاں پہ restricted domains کی بات کرتے ہیں کبھی کبھی جب آپ کچھ تھوڑی سی alteration کرتے ہیں اپنے formula میں تو کچھ districtions آ جاتی ہیں domain پہ یہاں پہ ایک example ہے آپ کے پاس function ہے h of x equals x square minus 4 divided by x minus 2 آپ نوٹ کریں کہ جو اس کا a numerator ہے اس کی expression کا left-hand side پہ اس کو a factor کر سکتے ہیں as x minus 2 multiplied by x plus 2 اور bottom بیسی رہ گا x minus 2 لیکن نوٹ کریں کہ you can cancel the x minus 2 and the resulting expression is just going to be x plus 2 یہاں پہ آپ نے کچھ algebraic manipulation کی اپنے ایک formula کے ساتھ function کے اور اب آپ دیکھئے گا میں screen پہ لکھتا ہوں کہ اس کی domain جو original function تھا اور جو آپ کا نیا function ایک آیا ہے form جو ہے اس کا formula جو ہے اس میں domains different ہے let's see how that what is actually happening here یہ دیکھئے کہ original function میں denominator میں تھی expression x minus 2 یعنی اگر آپ x کی جیگر 2 ڈالتے رپلیس کرتے x کو 2 سے تو آپ کے پاس bottom part پہ 0 آ جاتا اور division by 0 ہو جاتی which is not allowed تو یہ جو original function تھا آپ کا اس کی domain میں x equals 2 شامل نہیں ہے لیکن اب کچھ ہم تھوڑی سی ہم نے manipulations کی اور ہمار a resulting جو نئی expression جو کہ original کے برابر تھی وہ ہے x plus 2 یہاں پہ کوئی مسئلہ نہیں ہے کیونکہ x plus 2 تو کوئی بھی ای value ڈالوں اگر x کی تو کوئی مسئلہ نہیں ہوگا کوئی division by 0 نہیں ہوگی یا کوئی اور mathematical problem ہو تو یہاں پہ مخصد یہ ہے کہ اب یہ اس کی تو domain جہاں وہ سارے real numbers انتر the domain the natural domain so to speak of this new expression x plus 2 is actually all real numbers so what is going on well nothing is going on really what we did with the expression was perfectly fine it was all mathematical algebraic لیکن مخصد کہنے کہ یہ کہ کبھی کبھی جو آپ algebraic manipulations کرتے ہیں the domain can change تو اب جیسے last ہماری expression i تھی x plus 2 تو یہاں پہ اس کی domain natural domain جہاں وہ x plus x plus 2 کی وہ ہے all real numbers لیکن ہمیں پتا ہے کہ یہ original function سے follow کی ہے تو یہاں پہ اگر ہم یہ کہنا چاہتے ہیں کہ this is the same function as the original function تو ہم a domain پر restricting لگا نی پڑے گی کیونکہ اور لہذا اگر ہم وہ لگائیں گے تو ہمیں کہنا پڑے گا the domain of x plus 2 is all real numbers except x equals 2 تو جب ہم یہ کریں گے تو ہم کہہ سکتے ہیں کہ ہمارے resulting function جو تھا x plus 2 is the same function as the original one which was x minus x square minus 4 divided by x minus 2 اگر ہم ایسا نہیں کہتے یعنی domain پر restricting نہیں لگا تھے آخر میں تو ہمارے جو رزل تھا وہ totally different function ہو جاتا تو in a sense آپ کہہ رہے ہیں کہ جو domain جو وہ بھی function کو دیفائن کرتی ہے کیونکہ اگر ہم domain کو restricting نہ کرتے رزلت کی جو آخر میں رزلت آیا تو function totally different ہو جاتا لہذا جب ہم نے restrict کی تو we had the same function as the one we started with تو the so the domain characterizes the function in a sense آگے دیکھتے ہیں اچھا ابھی تک تو domain کی ہم نے کافی بات کی range کو ہم نے define کر لیا تھا تو آئے دیکھتے ہیں کہ range کیسے معلوم کی جا سکتی ہے domain تو ہم نے دیکھلی کہ restrictions on x and they are kind of obvious by the formulas جو ہمیں دی ہوتے ہیں functions کے یہ کبھی کبھی geometric confinements ہوتی ہیں اس کی وجہ سے ہم x پر کچھ restrictions لگانی پڑتی ہیں اور ان کو معلوم کرنے کا طریقہ سان ہے you just look at the formula for the function and they become kind of obvious کے کیا restrictions ہوں گی اور restrictions کو مدنظر رکھتے ہوئے آپ بتا سکتے ہیں کہ domain کیا ہوگی آپ کی function کی اب range کی ہم بات کریں تو range کیسے معلوم کرتے ہیں تو range بیسکل یاد رکھیں کہ it's a set of y values which correspond to the domain یعنی جو domain سے آپ values assign کرتے ہیں x کو ان x values کی جو corresponding y values ہیں is what forms the range. so how do we can we actually find the range by some you know methods تو آئی سکین پر دیکھتے ہیں کہ کیسے کرتے ہیں let's see how we find the range ایک فرملہ ہمارے پاس ہے f of x equals x square تو اس کو بیسکل آپ مرحب سے ابھی تک کلیر ہو گیا ہوگا میں نے پہلے بھی ذکر کیا تھا کہ f of x بیسکل y کو لکھنے کا ایک اور طریقہ ہے اگر میں نے کہا تو اب کہتا ہوں and I think you probably got this idea more or less anyway کہ f of x is another way of writing y تو جب f of x equals x square لکھا تو I will rewrite that as y equals x square تو اب یہاں سے نوٹ کیجے کہ اس کی جو natural domain ہے function کی y is equal to x square کی یعنی جو x values ہیں all possible x values تو کچھ بھی یہاں پر دال سکتے ہیں کوئی mathematical inconsistency نہیں آئی گی تو اس کا مطلب اس کی natural domain جو ہے وہ سارے real numbers پر کنسیسٹ کرتی ہے all real numbers can be input as for the x can be made input for the x and therefore the domain is all real numbers تو لیکن اگر domain all real numbers ہے تو output کیا ہوگی note کیجے کہ as x varies over the real numbers y is always positive یعنی جو y کی جو values ہیں وہ ہمیشہ پوزیٹف آئیں گی کیونکہ آپ جب بھی کوئی be value x کو دیں گے چاہے پوزیٹف یا نگیٹف تو وہ square ہو جائیں گی اور square جو numbers ہوتے ہیں ہمیشہ پوزیٹف ہوتے تو اس formula کو just by inspection آپ دیکھے کہا سکتے ہیں کہ جی یہ اس کی جو range ہوگی it will be all positive real numbers the negative real numbers will not be included but only the positive ones اچھا ایک تو یہ طریقہ تھا ایک اور طریقہ معلوم کرنے کا domain کا کیا ہے وہ ہے ایک کچھ algebraic manipulations کا وہ میں screen پر لگتا ہوں آپ دیکھ لی جے I will write it on the screen and I'll let you read look through it and convince yourself کی ہوا کیا I think these basic algebraic manipulations are something we know already تو ہی دیکھیں کہ ایک زمبل کیا ہے ایک زمبل ہے جی کہ y is equal to x plus one divided by x minus one اس کی natural domain جو ہے وہ سارے real numbers ہیں except for one range کو اس میں سے formula سے interpret کرنا کافی مشکل ہے لہذا آپ solve کریں اس کو for y تو جب y کیلی solve کریں گے and I will let you do it using basic algebra تو آپ کیا سالٹ آئے گا x is equal to y plus one divided by y minus one یہاں سے ظاہر ہوتا ہے کہ رین جو ہے وہ سب کچھ all real numbers ہوسکتی ہے سباہی y equals one کے اچھا یہ تو ہم نے دیکھ لی ہے کہ range کیسے معلوم کرتے ہیں اب آخری topic آچ کے لیکچر کا وہ ہے piecewise defined functions یعنی کچھ ایسے functions جن کو آپ ٹکڑو میں define کرتے ہیں تو ہی اسکین پر دیکھیں کہ what exactly do I mean piecewise defined functions کیا ہوتے ہیں اگر آپ کو یاد ہو ہم نے ایک absolute value کے بارے میں بات کی تھی ایک لیکچر میں تو وہ اس کو اب ہم پھر سے دیکھتے ہیں اس کی definition کو in the form of a function تو میں لکھتا ہوں f of x is equal to the absolute value of x which is equal to x if x is greater than equal to zero and it's equal to minus x if x is less than zero so this is basically a function which is defined in pieces یعنی اس کے دو pieces ہیں اور جو different pieces ہیں ان کی different domains ہیں لہذا یہ ایک piecewise defined functions تھی یعنی اس میں function جو آپ کا ایک ہوتے ہے اس کی کئی definitions ہو سکتے ہیں absolute value ایک بڑا نیچلسا piecewise defined function ہیں ہم نے دیکھا کہ اس کو کیسے define کرتے ہیں in the form of a function اور pieces کی عام طور پر domains different ہوتی ہیں تو I will let you look at this very straight forward idea کچھ exercise کریں گے تو I think it will make more sense تو یہ ہمارا آچکہ lecture تھا lecture number 6 اب یہ اس کو ختم کرتے ہیں اس کا دیکھ لیتے ہیں کیا بات چیت کیا جا ہم نے ہم نے basically functions کے بارے میں بات کی functions کو define کیا ہم نے تھوڑی ایلر کے بارے میں بات کی how he proved the existence of God that was my favorite part I hope you liked it too اس کیلہا ہم نے domain of a function کی بات کی the range of a function کیا ہوتی ہے اور پھر ہم نے piecewise defined functions کی بارے میں بات چیت کی so as usual do the homework do the exercises practice makes perfect and I will see you next time اگلے وقت کے لیے جا رہت سلام علیکم خدا حافظ