 Merci pour invitation. It's a great pleasure for me to speak here about Louis Michel, about our collaboration and especially about influence of Louis Michel idea of my scientific research even after Louis passed away. Louis contributed to different branches of physics. Unify idea can be formulated as look for symmetry effects and discover of generic phenomena which are produced of course by very general symmetries or even particular symmetries. I want to make remark on general idea or general point of view of Louis Michel on nature of science and I want to sign the Galileo Galilei citation. The great book of the universe stays open before our eyes but to understand it we have first to learn the language in which it is written, the mathematics. This citation Louis proposed to include in our own proposal big special volume symmetry invariant topology which was prepared for publication. The manuscript was prepared to publication by Louis Remem, Jason Kim, Joseph Zuck and myself at the end and submitted to the physics reports at the end of 99 just before the sudden death of Louis Michel. I also want to mention that my first personal contact with Louis Michel was due to my search for mathematical language needed to describe simple phenomena observed in the spectra of small molecules. It was in 88. I work at the time in chemistry department of Moscow State University. My subject of interest was molecular spectroscopy of small symmetrical molecules. I was invited for three months to Dijon University and I wanted to laboratory which was specialized in molecular spectroscopy of spherical tops. And I wanted to profit my staying in France to contact French scientist whose name were known to me. And I know Louis Michel bus his publication where he used very important notions related with symmetry such as generating function, integrity basis, group images, stratification and so on. In particular the notion of critical orbits which was very useful in my analysis of small molecular systems. And I want to show today some simple molecular examples on which I want to demonstrate how the ideas can be useful to represent simple features. He is just example of energy momentum or joint spectrum of two integrals of quantum system for rotation vibrational structure of simple five atomic molecules. The collated feature here which are clearly seen in my opinion are to use the pointer. In any case you see probably the presence of energy band and the arrangement of energy levels between these energy bands. Another feature is formation of quasi degenerate group of levels. This for example, oh thank you. This is six fold quasi degenerate, eight fold quasi degenerate or even in more complicated feature by the same type of molecules presence of twelve fold quasi degenerate energy levels. And this collated feature like bands there arrangement rules for redistribution of energy level between bands. Formation of cluster structure and modification of this cluster structure and the variation of GA in this case on the control parameter is more genius. Remain my preferable subject till now. The rotational cluster structure is very simple to understand by studying effective rotation of Hamiltonian for which the classical limit, the classical phase space is two dimensional sphere. Aksin of cubic symmetry group, which is symmetry group of sighted example, produce special critical orbits which are stationary points due to symmetry action. And for example for cubic symmetry group we have three critical orbits. One is with C4 local symmetry formed by six point another with C3 local symmetry formed by eight equivalent points belonging to the same orbit. And C2, which form twelve points. And from the point of view of simplest Morse function only critical orbits are stationary points. This is the simplest rotation of Hamiltonian which has stable points on C4 and C3 orbits instead of on C2 orbits. For higher order approximation rotation of Hamiltonian we can see formation of stationary points on C2 also orbits which correspond to formation of twelve degenerate quasi degenerate cluster. This is a representation of the space of orbits in terms of invariant polynomials forming integrity basis which is used on this picture. Mould generally for arbitrary symmetry of molecules we can find the description of modification of the cluster structure by four locations of stationary classical points which has different local symmetry. Nys ir reikiai ir nekant jau komanda metalą rungtynės, karvokas žesėti viena sėkėje svaikas, šį prieš ir rungtynės, ir ką yra rungtynės, kurį lūdą darbėjome, ar bet jau nekant rungtynės, ir toliu čia modifikacijos klasitai šiandienos priešsų. Ir šiandienos priešsų priešsų. Ir ietūrėti, kaip mūsų reikiausiai modelas, ir bet tai kurį reikiausiai, kurime ietūrėse metu, ir ietukėse, kad negalėjome. būdėse ir laimėtų patitečių prieš prieš konty projets. Ir toms prieš komundinės ir nalžiūti kaip – bet jis supligačiausio prieš konty projetos turėjo tai pasirioje. Turėtėjo ten būdą pasirioje, bet jis supligačiausiai atvykote. Aš jis supligačiai, jis visi smarit, jis būdėse, ir kualitativų modifikacijų, žaidėjome, kad jau mūsų kultų semi-kvantumų modelą. Aš to modelą, mes kličiau, mūsų reikų, jis žaidėjome, kličiau, kličiau, kličiau, kličiau, klasikų, kličiau, ir kličiau, kličiau, kličiau, kličiau, kličiau, kličiau, kličiau, kličiau, klasikų, kličiau, to temporary, duokių, duokinu, buvau, duoku, duokinu, duokiniu. About gyvenių metais, dar Rayo klasikų penσηtas. Diognite taškų, š rampיאų, klasikų, greikų, esu, jie, jie, jie, jie, jie, jie, jie, jie. if there are no degeneracy point of eigen values. Bund of form by eigen vectors of semi-quantum Hamiltonians are characterized by the topological invariant. And degeneracy point are responsible for modification of the band structure under the set of the set of the topological invariant. If we return back to this example, Ar daugime galėme, kad proses komandos sėmitaikės, jie sužiūdėjome, tiesiog jų surody... Taip, kung mes yra reikės. Jūs šįtinės turėti jo ir proses su reikės, ir jis žaidėjome, ką desi šeite. Kada pasakau, kad kaip proses sėmitaikės taškųasis ir tai čia jis gerus patro. ir atstavėjai treneriai, ir atstavėjai ir atstavėjai. Tą sužiūrėti, kad ir jau žaidėjo komandos žaidėjo, kurie, kurie nėražinės, kaip ir klausinės, kurių metai žaisti, ką žaidėjų, ką žaidėjų, ką žaidėjų, ką žaidėjo, ką žaidėjo. Jis žaidėjo, kad, ką žaidėjo, nes man vietėjo iš nažos, jis žaidėjo po sėrėjo energijos žaidėjo. Aš jis žaidėjo, kad tos buvo laimėjo. Aš yra žaidėjo, kad jis žaidėjo, kad jis žaidėjo. Tad jis esame kopinę žaidėje, bet šiandienėje ir šiandienėje operacijos pėdvėje su magnėtėjų ir šiandienėje sėgų. Šiandienėje pasakau, sėgų ir angulis ir stavėkų, ir turėjome metu. Iš reikės, gerėjome 2 visių metu, 2 vaikškių, vaikškių samėkvantomai, išrūka išrūkos drugių, ir išrūkos drugių, kurie išrūkos konekojų vaikškių samėkvantomai, ir išsūkos konekojų bet jis ir yra yra mes išrūkos konekojos. Taip toliu pasirbačėjo, bet visi turėjome laukas, bet ar neką vienas komplektų. Galią komplektų žaidėjome, kad jis buvo komplektų klasikų lėmintių. Tai, ką žaidėjome, kad jis buvo klasikų. Jis buvo klasikų, kad jis buvo klasikų. Tą ir tą jam jam jam, kad jis buvo klasikų. nowadaysinomostas automotors ir visi svarbu rungtykų parametrių žulčios. Čia poologiesi su visom jau komeda kolišku kažkas komandai laimėtų, žaisti iš klasikų popruals, juos metu pinkųji – kuriesbūtimos. O kąsėmės, kad visi laimėtai, kąms darėjo, kuriems visi kėmės, kuriems ir ičiūrėjo motžių, visi kąsėju kultūrių monodromyje. Kaip ir tos, kąsėjų, kąsėjų, kąsėjų, kąsėjų, kuriems ir laimėtų seksės, noriuoje kitas. Žinome išlaidu, žinoma mužių priežioje, kuriems reiklauotės. O kųrės, kuriems kainos, noriuoje, kuriems reiklauotės, kuriems reiklauotės, kiekštai, monodromyko rungtynėje. ir bet, ir manau, tiek labai prieš ir reikiausiai iš domygų prieš įvėlės, o turime tokių labai prieš ar jums suvoje modifikų, kur jie suvoje kvantų monodromių, kur jie suvoje klasikų monodromių, kur klasikų hemiltonimų monodromių. Ir, ant, ir jie reikiausiai šeikti komandos, this is an example of the initial splitting of hydrogen atom in presence of electric and magnetic field. The classical integrable model in this case has more complicated single fiber which is double pinched torus. Ačiūrės, kad žaidėjome kvantumų žaidėjomą spektrumą, žaidėjome, kad kvantumą monodronymią žaidėjome 2 žaidėjome, kuriems žaidėjome rungtynėje. Ačiūrės rungtynėje, Buddha power of the procession of another type of defects for regular lattisms. Allows to construct so-called one half lattice defect which corresponds to so-called fractional monodromy, quantum monodromy. And in the classical limit this situation corresponding klasikų reizonantų systemą, kurį laimės ir klasikų rungtynės, kurį klasikų rungtynės. Nes, kad mūsų rungtynės rungtynės rungtynės rungtynės rungtynės, pūkant apie svatis patip, pūkant, tiesiose modifių komandos komandos komandos komandos komandos komandos komandos komandos komandos komandos komandos komandos komandos klasikų rungtynės, kuriems ir jis ir bet, kuriems priešsų vienės dėl vienu. Oveikiai priešsų, kuriems, kuriems, ir dėl vienu. In this case is the generacy point, correspond to formation of generic degeneracy point for problem which depends on two dimensional phase space, one degree of freedom, and control parameter. because the co-dimension of the generacy of Hermitian matrices 3. So this is sphere surrounding these isolated points. We can look at the topological invariant of corresponding fiber bands of this sphere and this is exactly the modification of the chair number for bands under crossing this degeneracy point. If we extend further the same Hamiltonian but looking it as depending on two contour parameters, we have the plane of contour parameters and this plane is split in four regions, or isochern region separated by these walls. Crossing each wall corresponding to rearrangement of one energy level between two bands and risk modification of the chair number for these bands by plus minus one. And this phase diagram, if you want to pause your phase diagram, reproduce completely coincide with the central part of this well-known phase diagram suggested by Haldane and shown here on graphic illustration taken from a recent review paper by Pierre Delplace. The next step is to generalize to more complicated Hamiltonian. In solid state this is so-called A2 class in molecular terminology. This is description of two quasi-degenerate first Kramer's doublet. And this model Hamiltonian, first part of this Hamiltonian can be written in terms of quaternion or from the point of view of chemist, more simpler to use explicit representation of quaternion as term of Paveli matrix and to write this hypergramitian matrix as four by four matrix. Co-dimensional of degeneracy in this case is five. So there are no generic degeneracy point for semi-quantum Hamiltonian with four-dimensional phase space. But if we add one control parameter, we obtain typical situation with formation of degeneracy point. The phenomena is typical, but now due to double the degeneracy of fast eigenvalues. The topological invariant are second chair class. The picture remain exactly the same except that now the classical phase space is four-dimensional. And we surround the singularity or the degeneracy by sphere in four-dimensional space and the topological invariant which change is second chair class. To suggest concrete physical example, we can consider spin equal three half for fast subsystem and for slow subsystem we need two degree of freedom and we can take two angular momentum forming classical phase space S2 cross S2. The simplest Hamiltonian corresponding to crossover of two super bands shows the presence of four degeneracy point at which one energy levels go from one super band to another and at which the second chair number changes by plus minus one. And it is quite interesting in my opinion to compare this analysis with non-formal analogy between real complex and quaternionic theory as was suggested by Arnold. In his paper published in 2000 he leave question mark in the cell corresponding to quaternion example of physical theories. But I allow myself to give this comparison with boundary distribution in molecular system description of symmetric of real emission of complex and hyper emission of quaternion with co-dimension of degeneracy respective two, three and five. Just to finish, I want to say that to give more simple example of quaternionic model with one degeneracy point, it is possible to construct Hamiltonian which can be named as quaternionic Dirac oscillator which was introduced in our recent paper and here is just the number of references figure from this paper which are important for the whole construction of different model depending on form of real parameter classical semi quantum and complete classical states for this set of models. And I think that I succeeded in some way to show you that important new ideas about using symmetry and appearance of topological effects is very important in such simple system as finite particle quantum system like molecules. Thank you. Anya, questions, comments? Yes Slava. Can we go to your first plot where you had this molecule with j on the horizontal axis and energy and vertical axis? Yeah, this one, that's okay. Before, even before, yeah this one. So can you give an all the theory that you explained? Can you explain which features here you managed to explain with the theory? This is the band. This is another band which at low j values include these levels, group of levels. Here for higher j, this group of levels belong to the band which is clearly seen here. This is another band and you can see here the number of levels in the band. And normally if you have isolated rotation of band the number of levels is 2j plus 1. Here you see that it's 2j minus 3 minus 1 plus 1 plus 9 minus 1. And the quality feature is just explained from the point of view of this band structure. Why we have different number of levels in the band? And what are the rules for redistribution of energy level between the band and the variation of this control parameter? It's 2j plus 1 if you have rotation variance but here you said this molecule is not rotation variance, it has cubic symmetry. So the number of... We have 2j plus 1 square but this is projection on the laboratory axis which we neglect. And this is internal projection only. This is in laboratory molecular fixed system of actions. Sasha, is there a question? OK. Thank you very much again.