 اسلام علیکم. آج لیکچر نمبر 44 ستارٹ کرتے ہیں اور اب یہ بیسکلی سیکنڈ لیکچر ہے ہمارا اس کورس کا تو اس میں یہ ہے کہ بات چید وہی ہے وہی طوپ ایک ہے ہمارا سیریز اور سیریز کا بیسکلی سیکوانس اس کے بارے میں تو ہم نے شروع میں تھوڑی سی بات کی تھی بس چند لیکچر سبہلے اب بیسکلی وہی کانسپٹ ہے کہ جو ویریس تیپس of سیریز جو ہم نے دیکھ چکے ہیں ابھی تک ایم سری ویریس تیپ of تیپس of کنورجنس تیپس ہم دیکھ چکے سیریز کے بارے میں اور جو سیریز اندر دیسکیشن تھی دفرن تیپس کی تو تھی لیکن اس میں ایک بڑی کومنیلٹی یہ تھی ان سب کے درمیان کے وہ جو تھی ساری ان کے اندر جو ٹرمس تھی سیریز کی او ساری پوزڈیف ٹرمس تھی تو اس میں اب ہم نے یہ دیکھا تھا کہ جتنے بھی ٹرمس تھی اس ٹیپ کی جو سیریز تھی ان کی کنورجنس کیس طرح ٹیپ کی جاتی ہے تو ہم نے دیکھا کہ اس کے بہت سارے ٹیپس تھے کریٹیرین تھے جن کے ذریعے ہو سکتا ہے ایک تو ہم نے دیکھا جناب ریشو ٹیپس دیکھا تھا پھر کمپیرزن ٹیپس دیکھا تھا لیمٹ کمپیرزن ٹیپس دیکھا تھا اور اس کے لہذا ایک روٹ ٹیپسٹ بھی ہم نے دیکھا تھا تو ان سارے ٹیپس کا مقصد یہ تھا کہ آپ کسی بھی ایک انفنٹ سیریز آپ کو اگر دیوی ہے تو اس کو آپ ٹیپس دیکھن کر سکیں کہ یہاں کیا اس کا کوئی کنورجنس ہے اس کی کسی ایک نمبر پر کنورج ہوتی ہے کہ نہیں اور اگر ہوتی ہے تو وہ نمبر کیا اس کا لگ مسئلہ تھا معلوم کرنے کا لیکن یہ کہ سب سے بڑی بہت بات یہ کہ یہ دیترمین کرنا ہے کہ سیکونٹ سیریز جہاں وہ کنورج ہو رہی ہے یا نہیں ہو رہی اچھا جی تو وہ سب باتیں ہم کر چکیں اور اب یہ ہے کہ آج کے لیکچر میں ہم مزید انی سیریز کے اوپر بات چیت کریں گے اور بیسکلی آج کے لیکچر میں ایک نئی تاپ کی سیریز انتردیوز کریں گے نئی تاپ سے مطلب یہ کہ ہے تو ایک سیریز ہی جس طرح کی ہم دیکھ چکیں نئی تاپ سے مطلب یہ نہیں کہ اس کا فارمولا کوئی دفرنٹ ہوگا لیکن مقصد یہ کہنے گا کہ اس کے اندر جیسے میں نے بھی کہا کہ پہلی جو سیریز ہم نے دیکھی تھی ان میں ساری ترمز پوزیٹف تھی تو اب جو ہم سیریز دیکھیں گے ان کے اندر مینس یا نگریف ترمز بھی علاوٹ ہوگی یعنی نگریف ترمز بھی نہیں کہنا چاہیے کہنا یہ چاہیے کہ اس کے اندر نگریف سائن علاوٹ ہوگا تو ایسی سیریز کو ہم اولٹرنیٹنگ سیریز کہتے ہیں اور اس کے بارے میں بہت ساری باتے کریں گے کہ ان کو کس طرح سے دیترمین کیا جائے کہ کنورچ کرتی ہیں یا نہیں کرتی ہیں اور کوئی ٹیست ان کے لیے اگر دیویلپ کیا جا سکتے ہیں تو وہ بھی دیویلپ کریں گے جس کے ذریعے ہم چک کر سکیں گے کہ کیا اولٹرنیٹنگ سیریز جویں وہ بھی کنورچ کرتی ہیں یا نہیں کرتی ہیں تو اب سب سے پہلے توپکس دیکھ لیتے ہیں آج کے جن کو ہم دسکس کریں گے تو آئی اسکرین پہ دیکھتے ہیں یہ جناب توپک کیا ہے سب سے پہلے تو آج کے لیکچر کا یہ ہے اولٹرنیٹنگ سیریز کنڈشنل کنورجنز اور اس کے ساتھ ایک توپک ہے پاور سیریز تو یہ توپک ہے اور اس میں جو اجندہ ہے وہ کیا ہے کیا کیا چیزیں دیکھیں گے ہم ہم پہلے دیکھیں گے جیسے میں نے کہا اولٹرنیٹنگ سیریز کیا ہوتی ہے اس کو دیفائن کریں گے اس کے بعد ہم دیکھیں گے کہ اولٹرنیٹنگ سیریز کو اپراکسیمیٹ کیا کس طرح کیا جا سکتا ہے یعنی اس کے سمجھ ہوتا ہے اس کا گا کنورج کرتی ہے تو اس کو کیسے اپراکسیمیٹ کرتے ہیں اس کے بعد ہم بات کریں گے اپسلوٹ اور کنڈشنل کنورجنز کی یہ دونہ چیزیں کیا ہوتی ہیں یہ بھی ہم دیکھیں گے اس کے بعد ہم دیکھیں گے ایک ٹیسٹ ہے ریشو ٹیسٹ ہے ایک خاص قسم کا اور یہ ہے جناب ریشو ٹیسٹ فور اپسلوٹ کنورجنز چیک جی یہ ہوگئے اس کے بعد ہم پاور سیریز کی بات کریں گے تو یہ پاور سیریز کیا چیز ہوتی ہے اس کے بارے میں ڈیٹیل میں دیکھیں گے what exactly it is ہے سیریز ہے obviously لیکن پاور سے کیا مراد ہے we will talk about that ڈیٹیل میں دیکھ مراد ہے when you escaped و ڈیٹیل میں دیکھیں گے because آج کا اجندہ اور اس کے top x جس کو ہم دسکس کریں گے تو اب start کرتے ہیں with the alternating series کے یہ کیا چیز ہوتی ہے تو سب سے جیسے میں نے پہلے بھی کہا کہ ہم دیکھ چکے ہیں ایسی series اب تک جن کے اندر جو terms تھی series کی وہ ساری positive ہوتی تھی یہاں پر تھوڑا سا ایک نیا ایڈی اندروس کرتے ہیں ایسے کہ جی جو terms ان کے ساتھ نگیٹف سائن بھی لگا ہوسکتے ہیں ٹیکہ جی تو اس کو پہلے ایسا کرتے ہیں کچھ ڈیمپلس دکھلتے ہیں ایک خاص کسم کی series کا اور پھر ہم دیکھیں گے کہ جی یہ جو series ہم نے لکھی ہیں یہ alternating series ہیں تو آئیے دیکھیں اگر یہاں پر کچھ میں ڈیمپلس دکھتا ہوں series کی کچھ series ہیں مثال کے طور پہلی جو ہے وہ ہے 1 minus 1 plus 1 minus 1 اور اس طرح سے پیٹرن چلتا رہے گا plus minus 1's کا اور kth term جو ہوگی اس کی وہ ہوگی minus 1 raised to the power k plus 1 and beyond تو یہ آپ کی ایک series ہے جو کے alternating series ہے تو یہ alternating series اس لی ہے کہ alternating کا مقصد یہ کہ alternate کرتا ہے plus minus plus minus so there's a concept of alternation involved تو یہ ایک ایسی series ہے جس میں terms کے science جہاں وہ plus and minus کے درمیان alternate کرتے ہیں تو اس میں کچھ اور ڈیمپلس میں وہ بھی دیکھ لیتے ہیں اور پھر دیکھیں گے یہ دو طائب کی ہوتی alternating series تو اس کو بھی لکھ لیتے ہیں آئی دیکھتے ہیں کہ اب یہ جیسے پہلی والی تو ہم دیکھی چکیں اب یہ دوسری ایک ہے 1 minus 1 half plus 1 third minus 1 fourth similarly all the way to the kth term تو kth term یہاں پہ کیا ہوگی یہاں پہ kth term ہوگی minus 1 raised to the power k plus 1 times 1 over k اور یہ اس لیے ایسے ہوگا کیوں کہ minus 1 کا جو کہہاں وہ ہے roll ہے ہے یہاں پے وہ صرف اتنا ہے کہ یہ science کو ڈیٹرمین کرتا ہے آپ کی terms کا تو یعنی 1 over k جو ہے formula وہ آپ کو terms بتا رہا ہے کہ کنسی ہوں گی for various values of k or minus 1 to the power k plus 1 is telling you what the sign will be next to the term similarly ایک ہو سکتی ہے minus 1 plus 1 over 2 factorial minus 1 over 3 factorial and so forth اور اس کی kth term بنتی ہے minus 1 to the k times 1 over k factorial تو یہاں پہ تھوڑا سا فرق تھا یہ جو ہم نے آخری دو ڈیٹرمین جو سیریز لکھیں ان میں فرق یہ تھا جنا آپ دونوں میں کہ پہلی جو تھی دوسی والی جو ترم ہے سیریز ہے اس کا پہلی ترم جو تھی 1 اس کا سائن تھا plus اور جو last والی اس کا پہلی ترم 1 ہی ہے لیکن اس کا سائن ہے minus تو ایسے کیوں ہوا اس کا جواب یہ ہے کہ جی this is how it's defined لیکن مقصد یہ ہے کہ formula کیوں ہم ذرا گوہر سے دیکھنا چاہیں گے formula میں دیکھیں کہ جب ترم پہلی والی plus ہوتی ہے تو آپ کا minus 1 raise to the power k plus 1 ہوتا ہے کیوں کہ k start ہوتا ہے one سے یہ سیریز ہیں سیکونس اس کی sums ہیں تو جو ترمز آ رہی ہیں وہ ایک sequence آپ کے پاس آ رہی ہیں اور sequence جو ہوتا ہے وہ ایک function ہوتا ہے of the positive integers تو لہذا جب پہلی ترم 1 ہے اور positive ہے تو ہمیں اس کو first term کہیں گے تو اس کی ساتھ اگر ہم اس کو minus a plus سائن کر دےنا چاہیں گے تو minus 1 raise to the power k plus 1 کریں گے تاکہ اگر k کی value 1 ڈالیں تو result minus 1 square آ جائے ہے which is equal to 1 اس کا opposite effect ہوتا کیا ہم نے next ڈالی میں جو اخری example دیکھی تھی کہ پہلی ترم کا sign minus 1 ہے تو minus ہے تو اس کے لیے ہم نے minus 1 raise to the power k کیا تاکہ k one سے start ہوگا تو پہلی ترم minus ہو جائے گے تو in general جو ہے ہم کہہ سکتے ہیں کہ جی یہ جو see series ہیں alternating series ان کو general ڈرم میں لکھلتے ہیں اور یہ تو ہم نے examples دیکھ لی ایک general alternative alternating series ہم کیسے لکھیں گے اس کو بھی لکھے دیکھ لیتے ہیں یہ دیکھے کہ دو forms ہو سکتی ہیں basically coming out of what we just saw کہ ایک alternating series اگر ہے تو it has to have one of the following two forms first one is sum from k equals 1 to infinity of minus 1 to the power k plus 1 times a k a k جو ہے وہ کی ترم ہے اس کو expand کریں گے تو result آئے گا alternating series where the first term is positive and so forth so a 1 minus a 2 plus a 3 and onwards ڈرم سیکن جو form ہو سکتی ہے وہ ہے جہاں پہ آپ کی آپ کا formula ہوگا minus 1 to the power k times a k اس کس میں آپ کی جو پہلی ترم ہے اس کا sign minus ہوگا so this is exactly what we just saw with an example earlier یہاں پہلے تھوڑا سا point ہے کہ جب یہ ہم نے sequences لکھیں سیریز لکھیں یہ alternating تو جو دو forms لکھی تھی اس میں ہم نے a k جو ہے k term اس کو actually ہم نے positive ہی لیے اس میں یہ positive ہی رہے گی اس کا sign eventual sign جو اس کے ساتھ associated ہوتا ہے وہ determine ہوتا ہے by the minus 1 raised to what power that's what determines what the sign should be as such overall it is a positive term but the minus one raised to the power k a k plus one جو ہے determine کرے گا کہ اس کا sign plus ہے یا minus ہے اچھا جی تو یہ ہم نے دیکھ لیں کہ alternating سیریز کیا ہوتی ہے اب right away right from the start سوالی ہونا چاہئے کہ جی یہ کنورچ کرتی ہے اور کرتی ہے تو کس situation میں کرتی ہے اور کوئی ایسا test ہے کوئی idea ہے تھیورم کوئی ہے جس کے ذریعے ہم جان سکیں کہ بھئی alternating series test a series جو ہے وہ کنورچ کر رہی ہے یا نہیں کر رہی تو یہ ہے اس کا جواب کے جیہا بالکل ایک test ہے اس کے لیے جو determine کرتا ہے کہ given alternating series of either form یہ کنورچ کر رہے یا نہیں کر رہی تو اس کو a theorem کی form میں لکھے دیکھ لیتے ہیں this is called the alternating series test or theorem form میں یہ ہے جناب an alternating series of either form one or two یہ جو ہم نے بھی دیکھی تھی ان کو ہم نے one or two لکھا دا converges if the following two conditions are satisfied the first condition is a1 should be greater than a2 a2 should be greater than a3 and so forth تو مقصد یہ کہ a1 جو ہے اe each successive term جو ہے وہ ایک دوسر سے بڑی ہو اور ساتی ساتھ جو following terms ان سب سے بڑی ہو تو یہ ایک پہلی condition ہو گئی second condition یہ ہے جناب کے limit as k goes to infinity of the kth term should equal to zero تو یہ ایک theorem ہے اور this tells us how to determine if a given alternating series is converging or not تو اس میں سمپل سی باتا ہے کہ جو second part تھا اس تھیرم کا وہ وہ ہی ہے جو ہم پہلے دیکھ چکے ایک دفعہ بہت پہلے جب ہم نے کہا تھا کہ how do we determine if some series converges are not اس میں یہ ہم پہلے دیکھ چکے ہیں second part تو اس کی ایک سامپل کر لیتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ how we can apply this theorem and see what it tells us about calculations basically تو ہی ایک سامپل کرتے ہیں جناب ایک سامپل ہے کہ use the alternating series test to show that the following series converges جناب ہے summation k equals 1 to infinity minus 1 race to the power k plus 1 times 1 over k تو یہ بیسکلی ایک alternating series ہے minus 1 کی پاور ہے اور for various values of k it'll alternate between plus or minus plus or minus اور ساتھ میں جو اس کا کیتھرم کا فرمیلہ ہے وہ ہے 1 over k so this is basically جو 1 over k یہ تو ایک harmonics series ہم نے دیکھی تھی یہ وہ ہے لیکن فرق اتنا ہے کہ اس میں now signs alternate کریں تو ہم اس کو سولف کرتے ہیں دیکھتے ہیں اس کے بارے میں کیا کہا جا سکتے ہیں تو یہ جناب اس میں دیکھیں کہ جو کنڈیشنز ہے یہ سب بیسکل ایک alternating series ہے which looks like basically the harmonics series alternating series ہے اس کے اندس کے تست کے جو ابھی ہم نے دیکھا اس کے حوالے سے اگر چیک کریں تو ایک جو ہے کیتھرم یہ ہوگی 1 over k اور یہ بڑی ہوگی 1 over k plus 1 سے which is the k plus first term اور یہ اس لیے true ہوگا کیوں کہ اگر k 1 over 2 کریں تو وہ 1 over 3 سے بڑا ہوگا لہذا as long as the denominator keeps increasing the total fractions keep on decreasing تو ایک تو یہ condition satisfy کرلیس نے کہ جی بالکل ہر individual successive term جہاں وہ چھوٹی ہے پچھلی ٹرم سے اور ساتھ ہی میں دیکھیں کہ اگر اس کا limit لیں کیتھرم کا as k goes to infinity تو رزالت آتا ہے 0 تو obviously this is a simple calculation limit of 1 over k as k goes to infinity is 0 تو ہماری سیریز جو یہ دونوں کریٹیریہ جو ہے ان کو satisfy کرتی ہے ہم کہہ سکتے ہیں کہ یہ سیریز جو ہے یہ alternating سیریز جو ہے یہ کنور جنٹ ہے اور کنورچ کرتی ہے اچھا جی اب ایک ثیورم ہے اپرکسیمیٹنگ اگر ہم کرنا چاہے اپرکسیمیٹ ایک alternating سیریز کو یعنی سمز جو تھیں اس کے بنتیں یعنی let's say we want to approximate sums of alternating series تو اس کے بارے میں کیا ہم کہہ سکتے ہیں اس کا ایک ثیورم ہے وہ دیکھ لیتے ہیں اور پھر باقی examples کریں گے تو ثیورم جناب ہے if an alternating series satisfies the conditions of the alternating series test and if the sum s of the series is approximated by the nth partial sum s and thereby resulting in an error of s which is the sum total sum capital S-s n then the absolute گاویٹ olmayبھی دیکھا ہے کہ آپ میں پینامی've کی برفتی کرنے کیا تو آپ کو برامی've کے برفتی کرنا چاہیے آپ کو مصنقی کر لے بھی سے اگر بیش سے بہتے ہیں تو آپ کو بہت سے امران کے برفت کے برفت نہیں ہیں ایک ٹوٹل سم کو ایک لیمٹ کے فام میں ہمیں حاصل کرتے ہیں عم طور پہ تو اس کو اگر میں انتھ پارشل سم سے اقپروکسیمٹ کروں گا تو ایرر کیا ہوگی وہ ہمیں پتہ چل جاتا ہے تو ہم ایک سمپل کر کے دیکھتے ہیں اس کی ایک سمپل آپ کے سامنے ہے جی کہ یہ جو آلٹرنیٹنگ ہرمونک سیریز ہم نے دیکھی تھی سیرنٹرمز کو آپ تک اس کو ایلویٹ کر لیں تو یہ آپ کے سامنے ہے s7 == 319 over 420 اور ساتھ میں s8 اگر کریں تو وہ آتا ہے 533 divided by 840 تو یہ دو سمز آگے ہمارے پاس اب اس میں کہہنے کا مقصد یہ ہے کہ یہ جو سم ہوگا ایک ٹویل سم یہ لای کرے گا کسی بھی دو اگر آپ کوئی بھی دو کنزیکٹرٹی پارشل سمز لیتے ہیں اس سیریز کے تو جو ایکچوال سم ہے وہ ان کے درمیان میں کہیں لائے کرے گا اس کو اس طرح سوچیں کہ ظاہر ہے سیریز ہمیں پتا ہے کنورج کر رہے گے تو جو بھی میں اپروکسیمٹ سم لوں گا تو اس سے اور اس سے پہلے والے جو سم ہوں گے ان کے درمیان میں کہیں ایکچوال سم لائے کرے گا ایک چھوٹا ہوگا اپروکسیمٹ سم سے تو اب ہم یہ دو سم سم نے اپروکسیمٹ کییں اس سیرن اور اس ایٹ اور ان کے درمیان ہمیں پتا ہے کہ ایکچوال سم لائے کرتا ہے تو اب اس کے بارے میں مزید کالکلیشن کرتے ہیں دیکھتے ہیں کہ وہ کیا ارر کیا ہوگی تو اس میں جناب دیکھیں کہ آگے چلکے ہم یہ دیکھیں گے کہ یہ جو آلٹرنیٹنگ ہارمونک سیریز ہے اس کا جو پورا سم ہے وہ ہے لوگ نیٹرل ٹو یہ ہم پروف کریں گے آگے چلکے لیکن فلہڈ اگر ہم اسوم کرتے ہیں کہ واقی اس کیپٹلس جو ہے وہ یہی سام ہے ڈلن ٹو تو ہم کہہ سکتے ہیں کہ 533 over 840 جو ہے اس کے درمیان اس کے اور 319 divided by 420 کے درمیان ڈلن ٹو ہے اور کالکلیٹر کے ذریعے ہم اس کو ڈیسیمال اکسپانچن میں لگ سکتے ہیں آپ ہم اگر ارر مالوں کرنا چاہے تو سیمپل سی بات ہے کہ ارر اکارڈنگ تھیورم ہوگی ڈلن ٹو minus ڈ سیوڈن equals the following calculation and that has to be less than a, a subscript 8 یا نیٹرل ٹو plus first ڈرم ہے وہ ٹرم ہے ٹو over ٹ اور اسی طرح ڈلن ٹو minus ڈ سیوٹ اگر کریں تو یہ چھوٹی ہوگی a9 سے which is 1 over 9 تو یہ جناب ایک اجامپل اور ہو گئی اس تھیورم کی یہ آپ کو ایرر بتاتا ہے اس کے اپر ایرر تو نہیں بتاتا ہے ایرر کے اپر ایک باونڈ آپ کو بتاتا ہے کہ ایرر جو ہے ایک خاص نمبر سے چھوٹی ہونی چاہیئے تھیکہ جی اب آگے چلتے ہیں اور نیکس بات کرتے ہیں اپسلوٹ اور کنڈشنل کنورجنس کے بارے میں تو یہ کیا چیزیں ہوتی ہیں یہ بیسکل کنورجنس ہی کی بات ہو رہی ہے لیکن اب ہم یہ دیکھیں گے کہ آلٹرنیٹنگ سیریز اور کچھ اور سیریز ایسی ہیں جن میں کنڈ کنورجنس کے اوپر مزید غور کریں تو کچھ اور چیزیں کہی جا سکتی ہیں تو اس میں اسے کرتے ہیں کہ یہ بھی دیفنیشن ہے لکھ لیتیں آئیے دیکھتے ہیں یہ دیفنیشن ہے آپ کے سامنے اے سیریز سمیشن یوکے which is basically you one plus you two all the way to infinity is said to be Converged is said to Converge absolutely if the series of the absolute values summation k equals one to infinity of the absolute value of you k which if you expand turns out to be you one absolute value plus you two absolute value all the way to you k absolute value and beyond if that converges this series of absolute values then the corresponding non absolute value series is said to Converge absolutely. تو یہ ایک آپ کے پاس ایک دیفنیشن آگئی اس کو بعد میں استعمال کریں گے دیکھیں گے اس کی کیا ضرورت پڑتی ہے مثال کے طور پہ ایک example کرتے ہیں دیرہ right away دیکھتے ہیں کہ یہ کیا مطلب اس دیفنیشن سے کیا ہم کہہ سکتے ہیں تو آئیے دیکھتے ہیں یہ example میں دیکھیں کہ ہمارے پاس جناب ایک ہے a series ڈیویے جس میں ہے ہمارے پاس one minus one half minus one half square you have one over two square plus one over two to the power three and so forth تو یہ کیا سی سیریز ہے جس میں ایک problem ہے اور یہ problem کیا ہے یہ problem یہ ہے کہ یہ سیریز alternating تو ہے لیکن alternating in the sense کے science plus or minus alternate کرتے ہیں لیکن فرق یہ ہے کہ science کے ڈا کوئی پیٹرن نہیں ہے پہلے یہ پیٹرن بھی ہے لیکن وہ اتنا وہ نہیں ہے جس ہم نے کہنا چاہے کہ کابو میں نہیں آتا ہمارے پہلے یہ تھا کہ ایک sign minus تھا اس کے فرن بعد ایک plus تھا پھر فرن بعد minus تھا پھر فرن بعد ایک plus تھا یہاں پر problem یہ ہے کہ دو science جو ہے وہ پہلے minus ہیں اس کے بعد دو science plus ہیں اور پھر اس طرح یہ پیٹرن چلتا ہے تو جو alternating series test کا وہ اس سیریز میں ہمیں کوئی help نہیں کرے گا تو اس کے لیہ ہم نے definition بنائیے convergence کی absolute convergence کی تو اب یہ ایک سیمپل پوری کمپلیٹ کرتے ہیں دیکھتے ہیں کہ اس کا result کیا آتا ہے تو جناب دیکھیں کہ اب یہ سیریز تو ہے ہمارے پاس اس کو ہم کہہ سکتے ہیں کہ یہ سیریز کنورچ کرتی ہے absolutely کیوں کہ اگر اس کی corresponding absolute values میں دیکھیں اس سیریز کو تو ہمارے پاس result آتا ہے 1 plus 1 half plus 1 over 2 square plus 1 over 2 to 2 to the power 3 and so forth تو یہ بیسکل اس کے سارے جو minus science سے وہ plus ہو چکیں اور اس میں یہ obviously a p series بن چکیے with I'm sorry p series نہیں ایک geometric series ہے which is also you can say a p series جو کہ converts کرتی ہے کیوں کہ ratio جو ہے وہ one سے چھوٹا ہے لیکن ساتھ میں دیکھیں کہ اگر اس کی corresponding harmonic sequence جاتی ہے alternating harmonic series سیریز وہ تھی وہ 1 minus 1 half plus one third وغیرہ یہ converge absolutely نہیں کرتی کیوں کہ اگر آپ اس کی absolute values لیں تو result آتا ہے one plus one half plus one third and so forth which is obviously a harmonic series and we know that that harmonic series convert diverges تک جی تو یہ ہو گئی absolute convergence یہ converge absolutely convergent converge کب کرتی ہے ایک series تو اس میں اب تھیورم کے طور پہ ہم ایک test طور لکھ لیتے ہیں absolute convergence کا جو ایک criteria ہوگا وہ دے گا ہمیں یہ تو ہم نے definition بنائی تھی کہ absolute convergence کیا ہوتی ہے ہم نے example بھی کیا اور دیکھا کہ ہاں واقی یہ definition جو ہے یہ ہمیں help کرتی ہے in terms of finding the convergence of a given alternating series تو اس کو اگر تھیورم کی فور پہ لیکن یہ تو ہم نے definition بنائی تھی ہمیں example بھی کر لی ایک تھیورم کے طور پہ ہم لکھ لیتے ہیں تاکہ ہمیں پڑا چل جائے کہ واقی یہ ایک valid argument ہے اور ہم اپلائے کر سکتے ہیں as a test تو ہم اس کو تھیورم کو دیکھ لیتے ہیں تھیورم جناب ہے if the series sum k equals 1 to infinity of uk absolute value of uk equals the absolute value of u1 and all the way beyond if that converges then so does the series summation k equals 1 to infinity uk equals u1 u2 and so forth so in other words we are saying that if a series converges absolutely then it basically converges تھیکہ جی تو اس تھیورم کا مقصد کہنے کا یہ ہی ہے جیسے میں نے بھی کہا کہ اگر آپ کے پاس ایک series ہے جو absolute values میں کنورج کر رہیے تو اس کا مطلب ہے کہ corresponding series جس میں absolute value نہیں ہے وہ بھی کنورج کرے گی وہ ہی باتی کہ if a series converges absolutely then it definitely converges in general تو ایکسامپل کر لیتے ہیں تو اس کا ہمیں تھوڑا سا مزید سمجھا جائے گی کہ یہ تھیورم کیا کہہ رہا تھا تو ایکسامپل دیکھتے ہیں ایکسامپل ہے جی 1 minus 1 half minus 1 over 2 square تو and so forth تو یہ وہی ایکسامپل ہے جو ہم تھوڑا دیر پہلے دیکھی تھی اس کو ہم نے دکھایا تھا کہ جی یہ کنورج کرتی ہے absolute ڈی اس کی absolute values لیں تو یہ definitely کنورج کرتی ہے یعنی اس کندہ سے minus signs اگر نکال دیں تو آپ کا کنورج کنورج سیریز آئے گی تو اب جو ہم تھیورم دیکھ چکیں اس کے ساپس سے ہم کہہ سکتے ہیں کہ جی یہ جو سیریز ہے جس نے minus signs ہے without the absolute value یہ بھی کنورج کرتی ہے تھی کے جی تو اس ایکسامپل سے تھوڑا سا اندازہ ہوگا کہ یہ کتنا امپارٹن تھیورم تھا کہ اگر ایک alternating ڈیپ کی سیریز ہے اور سیکارسپارننگ ہم ایک absolute series دیکھتے ہیں absolute values میں تو اگر وہ absolute values میں جو سیریز کنورج کر رہی ہے اگر جس ہم کہتے ہیں absolute convergence تو پھر آٹمیٹکلی جو پہلی والی سیریز تھی وہ بھی کنورج کری گی تو یہ آپ کی ایک سامپل ہوگی اب آگے چلتے ہیں ایسا کرتے ہیں ایک سامپل اور کل دیتے ہیں اس تھیورم کی اور تھوڑا سا اور مزید کو سمجھ لیتے ہیں تو یہ ایک سامپل ہے جی کہ show that the series cosine x cosine k divided by k square from 1 to infinity converges اس کا سلوشن کچھ ہے کہ since the absolute value of cosine k is less than equal to 1 for all k اور ظاہر ہمیں پتا ہے کہ یہ true ہے cosine k اگر ایک function کے طور پہ دیکھیں تو یہ 1 اور minus 1 کے درمیان آسالیٹ کرتا ہے اگر اس کی absolute value لیں گے تو result ہمیشہا 1 یا اس سے چھوٹا آئے گا اچھا اس فکٹ کو اگر ہم مدنظر اکھیں تو یہ فکٹ بھی follow کرتا ہے کہ absolute value of cosine k divided by k square جو ہے یہ less than equal to ہے 1 اور k square سے لہذا اب comparison test کے تاہد اگر آپ کو یقینان یاد ہوگا وہ کیا تھا اس کے تاہد ہم کہہ سکتے ہیں کہ جو series ہے absolute value کی cosine k اور k square k equals 1 to infinity یہ کنورج کرتی ہے by the comparison test اور consequentially ہم کہہ سکتے ہیں using the theorem we just saw for absolute convergence کے without absolute value جو series ہے cosine k over k square from 1 to infinity یہ بھی کنورج کرتی ہے ٹھیک ہے جی تو یہ آپ کا ایک اس کی ایک اور example ہو گئی یہ ایک powerful theorem تھا کہ کوئی کنورج کرتی ہے اگر series absolutely تو it converges anyway لیکن اب یہ ہے کہ کچھ ایسی series ہوتی ہیں جو بیسے تو کنورج کرتی ہیں in general alternating series لیکن absolutely نہیں کرتی ہے ایسے بھی ہو سکتا ہے مثال کے طور پہ ایک series اگر ہم دیکھیں بلکہ دیکھ چکیں پہلے اس کو ایک بر پھر لکھ لیتے ہیں کہ جناب series ہے 1 minus 1 over 2 plus 1 third and all the way to the kth term minus 1 to the k plus 1 over 1 over k یہ ابھی ہم نے دیکھا تھوڑی در پہلے کہ یہ alternating harmonic series ہے اور یہ کنورج کرتی ہے لیکن اگر اس کی absolute value لیا آپ اس series کی تو آپ کے پاس ہم نے پہلے لیتی تو کیا رزلٹ آیا تھا ہمارے پاس harmonic series آجاتی ہے by itself یعنی سارے minus science جو وہ ختم ہو جاتے ہیں and we get the harmonic series under the absolute value but that of course we know that it does not converge تو لہذا یہ ایک example of series کی جو بیسے تو کنورج کر رہی ہے overall but it's not converging absolutely and for such series we call them conditionally convergent series اچھا جی تو یہ بات بھی ہو گئی اب ایک ٹیسٹاور آ رہا ہے آپ کی طرف اور یہ ہے جناب ratio test for absolute convergence تو absolute convergence جو абсолютно convergent ہوتی ہے series absolute values میں ان کے لیے ایک ratio test ہے یہ بھی دیکھ لیتے ہیں اس کو لکھ لیتے ہیں یہ ہے جناب ایک تھیوریم کی form ہے of course test for absolute convergence ratio test وہی چیزے جو پہلے دیکھتی کہ ایک summation u کے ایک series ہے پہلے یہ تھا کہ positive terms نہیں یہ non negative terms نہیں اب non zero ہے could be negative and suppose that row equals the limit as k goes to infinity of the ratio absolute value of the k plus first term of the series divided by the absolute value of the kth term of the series in that case if the following three happen then we can make the following conclusions if row is less than one the series converges absolutely and of course we know that that means it converges overall if row is greater than one or if it is plus infinity then the series diverges and if row equals one we have no conclusion about convergence or absolute convergence and something else has to be used as a test تو یہ ایک root ratio test ہے for absolute convergence اس کی بھی example کر لیتے ہیں let's see what it is اس کی example ہے the series summation k equals one to infinity minus one to the k times two to the power k divided by k factorial this convergence converges absolutely since the row turns out to be zero in this case if you apply the calculation that you have in front of you you have to work out this result is zero which is one from one so we can say that it converges now let's make a table and review it let's see all the convergence tests let's see what it is let's write it in front of you let's see if it is in the textbook here they are یہ بیسکلی دیورجنس ٹیست ہے انتگرل ٹیست ہو گیا یہ پشل لیکٹرز میں سے بھی ہے اور اب تک جتنے اس لیکٹر میں ہم نے کییں ان سب کو ملا کے ہے گے اس کے لعاوہ کمپریزن ٹیست ہوتا ہے اس میں کومنٹس بھی دیے ہیں اور سٹیٹمنٹس بنائی بھی ہیں اس کے بارے میں ریشو ٹیست ہے روٹ ٹیست ہو گیا لیمٹ کمپریزن ٹیست ہو گیا آلٹنیٹنگ سیری ٹیست اور آخر میں پھر ریشو ٹیست for absolute convergence تو یہ تیبل ہم نے تھوڑی درکلی دیکھا اور اس کو ٹیست بک میں بھی آپ دیکھ سکتے ہیں یہ کافی ہیلپ فلسی ہے اس سے ریویو ہو جاتا ہے ایمیڈیٹلی کہ کب ہم استعمل کرتے ہیں اور اس کے بارے میں کیا ہم کنکلوڈنس بنائے سکتے ہیں ایکارڈنگ ٹیست اب ہم آگے چلتے ہیں اور بات کرتے ہیں پاور سیریز کی یہ پاور سیریز کیا چیز ہوتی ہے تو آبیسلی نام سے ظاہر ہے کہ it's a series right so it's a series that we have talked about already some kind of series of that type ہو سکتا ہے alternating ہو سکتا ہے بیسی ہو لیکن یہ لکھ ہم نے کہا ہے کہ اس کو power series in X اس طرح سے ہم دیکھنا چاہ رہے ہیں تو power series in X کیا ہوتا ہے یہ بیسکلی اس طرح کی چیز ہے کہ جیسے ہم نے POLONOMIALS کی بات کی تھی کافی پہلے شروع شروع کے کچھ لیکچھا رہے تو اس میں ہم نے دیکھا تھا کہ جناب یہ POLONOMIALS جو ہوتے ہیں they are basically things that look like powers of X بلکہ لکھ کے دیکھ لے تھیں کہ کس طرح کی ہوتے ہیں تو یہ POLONOMIALS جو ہی جناب اس میں دیکھیں کہ P of X جہاں بہت POLONOMIAL ہے اور یہ اس کی form ہے a0 plus a1x plus a2x2 and all the way to anxn یہ تھا آپ کا ایک POLONOMIAL یعنی اس کے اندر n terms ہوتی ہیں اور اس کی powers X کی جوتی ہیں وہ n تک جاتی ہیں تو یہ آپ کا پولونomial ہے اس کے اندر یہ خاص بات ہے کہ n کی value finite ہے اور ایک ہتے جاکے یہ رکھ جاتی ہے اب اگر میں کہتا ہوں کہ جناب یہ n کو آپ انفنٹ کردیں یعنی there is no finite value for n تو کیا ہوگا تو رزلٹ لکھ لیتے ہیں کیا ہوگا یہ جناب آپ اس کو لکھ سکیں گے کہ اگر یہاں ایک ہی جگہ میں کہتا ہوں c0, c1, c2 are constants and x is a variable تو اب ہمارے پاس ایک انفنٹ سیریز کے فرم میں پولونomial آجائے گا اور ہم اس کو لکھ سکتے ہیں as c0 plus c1x plus c2x2 plus all the way to the k-th term which is ckxk and beyond اور سمیشن فرم میں یہ ہو جائے گا some from 0 to infinity ckx to the power k تو بیسکل یہ جو power series in X ہم نے لکھی بھی it's just a polynomial but with no finite value for the power n اور اس کے اندر بیسکل terms جو ہوتی ہیں ہم infinity میں نہیں ہو جاتی ہیں تو مثال کے طور پر اس کی ایک کچھ examples اگر ہم کریں تو ابھی تھوڑی در میں کر لیتے ہیں لیکن یہ یاد رکھیں کہ اس میں اور ایک عام power series میں فرق کیا ہے ابھی تک جو ہم نے power ابھی تک جو ہم نے series دیکھی تھی جو ایک عام series اور ایک power series میں فرق ہے وہ یہ ہے کہ جو اب تک ہم نے series دیکھی ہیں اس میں numbers تھے جو terms تھیں they were all numbers ہم نے numbers کے طور پر ڈیفائن کیا تھا اب ہم دیکھ رہے ہیں ایک اسی series power series in X جس میں terms جو ہیں وہ اس کے اندر X involved یعنی وہ variables بن چکے اور to be more precise each term is a polynomial in X تو ایک طرح سے اب یہ سیکونسے کیا ہے جن کو ایٹ کر رہے ہیں جس کی terms جو ہیں وہ numbers نہیں ہیں بلکہ polynomials ہیں مثال کے طور پر اگر کچھ examples دکنا چاہے تو لکھ لیتے ہیں آئی دیکھتے یہ کچھ examples ہیں جس میں summation K equals 0 سے لیکن infinity تک جو ہے یہ X to the K کو اگر آپ کریں تو result آتا ہے 1 plus X plus X square plus X cubed all the way to infinity اور اگر summation X to the power K divided by K factorial کریں some from 0 to infinity تو result آتا ہے 1 plus X plus X square time divided by 2 factorial and so forth اب اگر ان جو example ہم نے دیکھئے بھی دو power series کی power series in X ان کے اندر اگر میں X کی جگہ کوئی numeric value substitute کرتا ہوں تو obviously I get again a standard series that we've talked about so far ان اس کے اندر succession of numbers آتے addition of these numbers together اچھا جی تو اب ایک چونکہ definition ہم دے چکے ہیں تو ایک theorem لکھ لیتے ہیں regarding power series in X اور آپ کے سامنے ہے جن آپ ل 두�ے کسی سارے کے کسی ساری حدس ایک ایک اپنے پارخیلی کامل گزکہ بہتبار ہے ہم جانتا ہے یہ سوال جاہی مOOOOOOو یہ سوال جاہی مOOOOOOو یہ سوال جاہی مOOOOOOو مOOOOOOو یہ سوال جاہی مOOOOOOو یہ سوال جاہی مOOOOOOو مOOOOOOو ڈینٹی Kurad ہے بھینص اور یک تعالیٰVA پر ہی کہ چیز اور ڈھائی ڈھائی столاقی ہے بھینسر اور ڈھائی ڈھائی ڈھائی اس کی اندرے ہی will گرھے اور لیکن پہلی کس، اکس بھنسر لیکن ار دے36 چاہد کرا ، queensدیظ زیادہ پرٹکلر سیریز. ٹھیک ہے جی تو یہ آپ کا ایک تھیورم ہو گیا جو آپ کو تھوڑے سی بتاتا ہے باتیں کہ اگر آپ پاور سیریز ان ڈیکھ رہے ہیں تو اس میں کیا اس کے خوایس ہوتے ہیں اور وہ یہ ہے کہ کنورجنس کا بوٹی کہ سیٹویشن میں ہوتی ہے. اچھا یہ تین چیزیں جو ابھی ہم نے دیکھیں ایک تھیورم کی فورم میں اس کے اندر جو تین چیزیں تھیں ان کے بارے میں کچھ ٹرمینولوجی ہے جو اندریوز کر لیتے ہیں اس میں ہم نے بات کی تھی جناب ایک انٹروال کی جس کے اندر ہم نے کہا تھا کہ آپ کی جو سیریز ہے وہ کنورج کر سکتی ہے مائنسار سے رہے کے آرطہ ایک اپن انٹروال تھا تو اس کو انٹروال کو ایک خاص نام ہوتا ہے ٹرمینولوجی ہے اس کو ہم کہہتے ہیں انٹروال of convergence ٹھیک ہے جی تو اس کو بلکہ لکھ لیتے ہیں چیزوں کو تاکہ یاد رہیں آئے لکھتے ہیں ان کو یہ جو آپ کا ہے انٹروال یہ جو تھا جہاں پر کنورج کر رہی ہے آپ کی سیریز تو یہ مائنسار اور آر جو لکھتا اس کو ہم کہہ سکتے ہیں انٹروال of convergence اور ساتھ میں یہ ہے کہ اس کے انٹروال میں یہ ایک صرف point بھی ہو سکتا ہے x equals 0 پی کر کنورج کر رہی ہے تو that's basically just a single point and we could say that it is the single point is your انٹروال of convergence اب اس میں یہ دیکھیں کہ ایک concept ہوتا ہے ریڈیس of convergence کا تو ریڈیس of convergence کیا چیز ہوتی ہے اس کو بھی لکھ لیتے ہیں we can say that the series has a radius of convergence are یعنی are جو ہے capital r which is defining the انٹروال that is called the radius of convergence تکہ جی تو یہ ایک کچھ ٹرمینوالجی ہے کہ جو انٹروال ہے وہ انٹروال of convergence ہو گیا جس میں سیریز کنورچ کر رہی ہے اور جو نمبر آر ہے جو دیفائن کر رہا ہے آپ کے انٹروال کو وہ کلاتا ہے radius of convergence تو اب اس کی پکچھر بنائکے دیکھ لیتے ہیں کہ یہ چیزیں ہیں کیا ریڈیس اور انٹروال یہ دیکھیں کہ جناب ریڈیس of convergence اگر پہلے کس میں جیسے تھیورم میں لکھا تھا کہ 0 ہو سکتا ہے تو ہم کہتے ہیں یہ ایک سٹریٹ لائن ہے اور اس کے اندر point ہے 0 اس کو ہم کہتے ہیں ریڈیس of convergence r is equal to 0 0 کے آسباسی سیریز کرے گی اگر ریڈیس of convergence جہا ہے وہ سیکن پارٹ میں لکھا تھا کہ سار臨یل نمبرز ہیں تو یہ جو ہو گا ریڈیس ہو گا plus infinity because you talking about the whole ریڈیس of convergence r ہے جس کے اندر سیریز کنورچ کرتی ہے اور اس کے بہر دیبرج کرتی ہے تو جناب اب ہم ایکزامبل کر لیتے ہیں اس تھیرم کے حوالے سے اور دیکھتے ہیں کہ اس میں کیا باتیں ہم کہہ سکتے ہیں power series کے بارے میں تو آئی ایکزامبل کرتے ہیں ایکزامبل ہے جی find the interval of convergence and the radius of convergence of the following power series یہ آپ کے سامنے ہے جناب power series summation x to the power k k equals 0 to infinity اس کا سلوشن ہوگا جی کہ radius of convergence معلوم کرنا ہے تو پہلے تو یہ چیک کریں کہ ratio test کے حوالے سے for absolute convergence کی کنورج کر رہی ہے یا نہیں اگر ہم کرتے ہیں تو دیکھتے ہیں کہ رو جو ہے اس کا رزلٹ آتا ہے limit as یہ کالکلیشنز آپ کے سامنے limit as k goes to infinity of the absolute value of x is just the absolute value of x کیونکہ x کے اندر کو k involved نہیں ہے so لہذا آپ ہم کہہ سکتے ہیں کہ ratio test کے حوالے سے کہ یہ سیریز جو ہے یہ absolute convergence اس کے اندر ہے therefore the series converges absolutely if یہاں پر کچھ problems ہے problems یہ ہے کہ depending on what happens with the x we can say whether the series is converging or not تو اس میں یہ ہم کہہ سکتے ہیں کہ if row is equal to absolute value of x is less than 1 according to the theorem we just saw or we talked about earlier تو اس تب ہم کہہ سکتے ہیں کہ it will converge or diverge کرے گی if the absolute value of x is greater than 1 اگر absolute value of x برابر ہوگی 1k تو test will be inconclusive تو اس اجامبل کے اندر ہم نے دیکھا کہ جو power series ہے x to the k وہ converge کرتی ہے اگر absolute value of x is less than 1 or diverge کرتی ہے if the absolute value of x is greater than 1 تو بیسکل سوال یہ تھا کہ radius of convergence کیا ہے تو چونکہ absolute value of x یہ series converge کر رہی ہے اگر absolute value of x less than 1 ہے اس کا مطلب ہے x should be between minus 1 and 1 لہذا radius of convergence interval of convergence جی ہوگا وہ ہوگا minus 1 and 1 open interval اور radius of convergence کیا ہوگا وہ ہوگا 1 تو ساتھ میں اب یہ دیکھنا ہے کہ end points پہ کیا ہور ہے interval میں تو ہمارے پاس آگیا minus 1 and 1 what happens at the end points end points کیا ہوتا ہے کہ آپ سپرٹلی analyze کرتے ہیں اس series کو کہ اس میں کیا ہے وہ ہے properties تو یہ کر کے دیکھ لیتے ہیں آئی گی یہ جو series ہے اگر اس میں x equals 1 ہوگا تو دیکھیں کہ یہ بن جاتی ہے summation k equals 0 to infinity 1 to the power k equals 1 plus 1 plus 1 all the way to infinity اور اگر minus 1 کریں تو یہ بن جاتی ہے 1 minus 1 plus 1 minus 1 یعنی یہ alternate کرتی ہے آئیدر cases میں result جو ہے وہ اس کا finite result نہیں آتا کوئی number نہیں آتا تو ہم کہتے ہیں یہ diverge کرتی ہے ٹھیک ہے جی تو یہ ہو گئی ایک power series جو convert کر رہی ہے in a certain interval and in a certain radius of convergence اور end point space interval کے diverge کر رہی ہے اچھا آخری چیز جو ہے آچکی topic کی وہ ہے جناب کے ہم نے دیکھا power series in x اب ہم دیکھتے ہیں power series in x minus a یعنی x کی جگہ اگر میں x minus sum number a تو میرے پاس کی سیریز آتی ہے اس کو لکھلتے ہیں دیکھتے ہیں کہ اس کی examples کیا ہوسکتی ہیں power series in x minus a وہ ایک ایسا سیریز ہوتی ہے جس کے اندر آپ کا ایک polynomial آتا ہے infinite polynomial جس کے اندر x کی جگہ آپ کا variable ہے x minus a so it's something like summation k equals 0 to infinity ck x to the power x minus a to the power k expanded form میں آپ کے سامنے لکھا ہے it's a polynomial اور اسی کچھ examples ہیں جناب اگر میں لکھتا ہوں k equals 0 to infinity تک summation x minus 1 to the power k divided by k plus 1 تو اس کو expand کریں تو result آتا ہے 1 plus x minus 1 divided by 2 plus x minus 1 squared divided by 3 and so forth اور اس میں a جو ہے وہ ہے 1 a کی value 1 ڈالیوی میں نے تیک جی تو یہ ہو گئی آپ کی ایک power series in x minus a آپ اس کے بارے میں کنورجن سوگہ کی بات ہوتی ہے تو ہم کیا کہہ سکتے ہیں تو اس کے لیے بھی ایک تھیورمیں جو آج کا آخری تھیورمیں لیکچر کا آخری طوک ہے اس کو لکھے دیکھ لیتے ہیں اس کے جناب تھیورم میں ہم کہہ سکتے ہیں کہ for a power series in x minus a exactly one of the following is true the series converges only for x equals a the series converges absolutely and hence converges for all real values of x and جیسے پہلے ہم نے کہا تھا وہی چیزیں ہیں گے تکسر حصہ ہے کہ the series converges absolutely for all x in some finite open interval a minus r to a plus r پہلے ہم minus r اور a r کہہ رہے تھے چونکہ وہاں پہ ایکی value zero لی تھی اب یہاں پہ a minus r اور a plus r ہو جائے گا and it diverges if x is less than a minus r or x is greater than a plus r at the end points a minus r and a plus r the series could diverge absolutely converge it could converge absolutely it could converge conditionally or diverge depending on the particular properties of the series itself تو یہ جناب ہو گیا آپ کا ثیورم for testing for convergence of a power series in x minus a اس کی کچھ ڈیمپلزیں یہ exactly وہی چیز ہے جس طرح power series in x ہے فرقی ہے کہ x minus a سے آپ کی interval and radius فرقی ہے پڑھتا ہے کہ آپ r کی جگہ a minus r اور a plus r لکھ دیتے ہیں اس کی کچھ ڈیمپلز بک میں دیوی ہے آپ ہوتھ دیکھ سکتے ہیں اور of course جب ڈیمپلزیں کریں گے you will see what those you know what those exercises are and it will help you understand this whole idea in more detail جناب یہ لیکچر اب یہاں ختم ہوتا ہے اب آخری لیکچر میں آپ سے next time ملاقات ہوگی تو تب تک کیلی جادت اللہ حافظ