 Donc aujourd'hui je vais faire une étude du KGL2 et donc à un moment je vais faire apparaître une certaine propriété et le but de l'exploser suivant, ça sera d'explorer cette propriété. Voilà, une propriété locale. Cela dit, s'il n'y aurait personne. Et sinon après tout sera disponible sur votre site ? Oui, oui au fur et à mesure. Donc les notes de l'exposé 2 seront bientôt disponibles. Pour les exposés 3 et 4 il se peut quelques semaines de retard parce que notre secrétaire s'est-il qui l'étape va être en vacances. Donc probablement elle ne pourra pas terminer la frappe avant de partir en vacances. Donc voilà, donc les notes sont disponibles au début du mois d'août pour les exposés 3 et 4. Bon, je commence. Voilà, donc je voudrais explorer ces fonctions noyaux dont j'ai parlé la dernière fois, disons les transformations de Fourier non linéaires dans le cas du groupe GL2. Donc la première propriété à explorer c'est la compatibilité avec le passage au terme constant. Voilà, donc on va d'abord étudier ça. Donc je rappelle le contexte. Donc on est sur un corps global F. Et puis ici donc on considère un entier K au moins que là. Et on prend pour groupe dual de notre groupe réductif G le quotient de GL2 de C par les racines KM de l'unité. Et Rho, c'est la puissance symétrique KM qui va donc de G chapeau dans GL un disque K plus A de C. Donc voilà la situation dans laquelle on va se placer. Donc comme d'habitude on considère le tord maximal de G chapeau. Donc ici c'est simplement le tord standard, c'est-à-dire ces fois au carré, divisé par les racines de l'unité. Alors donc G chapeau s'écrit comme un quotient de GL2. Donc ça se traduit par le fait que le groupe G, donc G chapeau et le dual. Donc G c'est un groupe déployé sur F, ce qui s'inscrit dans un carré cartésien comme ça. Donc ici on a le déterminant. Et ici c'est simplement l'élévation à la puissance K. Et puis on a la même chose pour le tord. Donc ici T2, c'est GM au carré. Ici on va vers GM. Là on va vers GM. Donc ici le morphis, si j'ai deux éléments mu1 et mu2, je leur associe leurs produits mu1 et mu2. Et ici j'associe lambda, lambda à la puissance K. Alors une notation qu'on va introduire, mais qui ne présente aucune ambiguïté, c'est la suivante. Donc les points de G, on les écrira sous la forme G déterminant de G à la puissance 1 sur K. Et ici G c'est un élément de GL2. Donc on le notera sous cette forme là. C'est une matrice. Et puis donc se donner un point de G, c'est se donner un élément de GL2 plus une racine KM du déterminant dans n'importe quel corps. Et de même les points de T, ce sont des triplets formés de deux scalaires inversibles et d'une racine KM de leurs produits. Voilà, donc c'est des notations, on utilisera ces notations. Alors donc on s'est donné cette représentation de transfert roux. Alors elle induit bien sûr un homomorphisme entre les torres. Donc ça va vers... Alors ici l'homomorphisme, c'est si j'ai une paire de scalaires, et bien on le rasse aussi lambda 1 puis sans K, lambda 1 puis sans K moins 1 lambda 2 etc. Donc les puissances de lambda 1 diminuent, les puissances de lambda 2 augmentent, jusqu'à arriver à lambda 2 puis sans K. Et évidemment cet homomorphisme admets un homomorphisme dual qui va dans l'autre sens, donc de GM puissance K plus 1 dans T. Donc T on a dit c'est le produit fibré de GM au carré avec GM sur GM. Ici le premier morphisme c'est la multiplication, le deuxième morphisme c'est l'élévation à la puissance K. Et qu'est-ce que c'est ? Si on a des scalaires lambda 0, lambda 1, lambda K, on le rasse aussi. Donc la première coordonnée mu 1 c'est lambda 0 puis sans K, lambda 1 puis sans K moins 1 etc. Jusqu'à lambda à la puissance K moins 1. Donc ici les puissances décroissent. La deuxième coordonnée c'est d'abord lambda 0 puis sans 0, lambda 1, lambda 2 au carré jusqu'à lambda K à la puissance K. Et une racine KM de leur produit c'est simplement le produit des composantes. lambda 0, lambda 1, lambda K. Voilà. Alors on dispose de ce morphisme et bien sûr ce morphisme rotechapo est équivariant sous l'action du groupe de Veil de G qui est simplement le groupe symétrique. Alors comment le groupe de Veil de G agit-il sur ce paquet de composantes ? Il agit en échangeant la coordonnée lambda i et la coordonnée lambda k-i pour tous les i. Donc ça c'est l'action de l'élément non trivial de sigma 2. Donc on a ce morphisme et donc la première chose c'est qu'on peut lui associer sur un noyau terreau, donc le noyau de rotech, donc il va de G et de puissance K plus indentée et comme le morphisme est équivariant, bien sûr, ceci aussi est muni d'une action du groupe de Veil. Donc on a ça et d'autre part... Pardon ? Le groupe de Veil c'est le groupe de G. Donc c'est celui de GL2, c'est simplement le groupe symétrique à deux éléments. Voilà, donc ce noyau est muni d'une action du groupe de Veil et par ailleurs, comme se morphise de rotech et équivariant pour l'action de WG. Donc cette chose-là c'est TK plus 1 et bien rotech induit un morphisme que je n'en as toujours de la même façon, qui va de TK plus 1 divisé par l'action du groupe de Veil vers T divisé par l'action du groupe de Veil. D'accord, donc on a un morphisme algebraique qui est bien défini. Ici une remarque particulière, je dis particulière parce qu'elle n'est vrai que dans un cas c'est 6K égale 2, donc le carré symétrique. Dans ce cas-là, Théro, je vous calculer immédiatement que Théro c'est l'ensemble, c'est le souterre des éléments de cette forme. D'accord, et donc ça a une conséquence, c'est que le groupe de Veil agit trivialement sur Théro. Vous voyez, il échange lambda et lambda. Donc il agit trivialement sur Théro. Donc il y a une action induite de Théro sur TK plus 1 divisé par, c'est-à-dire ici K égale 2, donc c'est T3 sur T3 divisé par le groupe de Veil. Et donc dans ce cas-là, ce morphisme c'est simplement ceci et le quotient de ça par l'action du noyau. Mais c'est particulier à K égale 2. Dans le cas général, bien sûr, l'action WG sur le noyau est non trivial. Alors, dans le cas général, qu'est-ce qu'on peut dire ? Donc on a encore la chose suivante, c'est qu'on a ce que j'avais noté, vous souvenez, la dernière fois, il y avait des TE, enfin je ne sais plus si je vais trouver sa notation, TE et TE bar. Enfin bon, ici, simplement je plonge le tort TK plus 1 dans l'espace affine, puissance K plus 1, TK plus 1 est plongé là-dedans. Donc ceci, c'est une variété théorique de tort ça. Et bien sûr, c'est muni de l'homomorphisme de trace, comme ça, qui est donné par la somme des coordonnées. Et bien sûr, cet homomorphisme est fixé par l'action du groupe de valles WG, qui échange les coordonnées lambda i et lambda k-i. Donc il y a un homomorphisme induit qui va de T bar K plus 1 divisé par cette action dans A1. Bien sûr, ici, on a TK plus 1 divisé par cette action, qui est un ouvert là-dedans. Et ici, on a donc le morphisme rot et tchèche qui va vers T divisé par l'action du groupe de valles. Donc voilà, la situation géométrique. On fait conscience qu'il y a aussi un espace affine. Oui, parce qu'on fait le conscient d'un espace affine par un groupe fini. C'est un espace affine par HMFG ? Non. Non, c'est pas un espace affine. Parce que c'est pas sigma 2 à la puissance, c'est sigma 2 tout court. Non, non, c'est pas un espace affine. Au sens, il n'y a pas de structure linéaire dessus. Enfin, il y a une structure... Attention, attendons-nous bien. Ici, l'algebra des fonctions là-dessus, c'est un algebra de type polinomial, mais ce n'est plus vrai ici. Non, mais je passais à tes barbes. Non, non plus. Non, non, non. Maintenant, je rappelle qu'on avait choisi un caractère global qui va des adels de F, donc c'est un caractère unitaire, qui est trivial sur les points rationnels, et qui a des composantes, que je note, pardon, les composantes PsiX. Pardon ? C'est une question pour le singulier. Oui, oui, oui, le singulier. Oui, oui, tout à fait. Voilà, donc on dispose de ce caractère qu'on a choisi une fois pour toutes. Donc, si on considère une place arbitraire, on dispose de ce composé qui va de TK plus 1 sur WG2FX dans TK plus 1 sur WG2FX et ensuite composé avec la trace. Donc ça va dans FX et puis ici, je peux composer avec PsiX pour aller dans les nombres complexes dans les unités complexes, dans les nombres complexes de module 1. FX est le corps local. FX est le corps local. C'est localisé de F en la place X. Voilà, alors... Voilà, c'est un caractère additif. Voilà, qu'on choisit une fois pour toutes. Alors, la dernière fois, où j'avais traité le cadet Tor, donc on avait introduit une certaine fonction noyau associée à la transformation de fourriers sur le Tor. Alors sur le Tor, c'est donc une fonction comme ça qui est définie simplement l'intégration de la fonction noyau standard, c'est-à-dire le PsiX de la trace de terreau. On intègre le long des fibres. Alors, bon, évidemment, ce n'est pas une convergence absolue, mais je vais tout de suite dire que... donc la dernière fois, j'avais expliqué à la fin de l'exposé qu'en fait, cette fonction provient d'une fonction que j'ai également notée de cette manière-là qui va de T diviser par WG, c'est-à-dire les invariants de... les invariants par conjugaison de G, donc de Fx, dans C, et cet agèbre est définit par la même formule l'intégration sur les fibres. Pour la mesure des terreaux de PsiX de trace de terreau. Alors, la mesure, ça a un sens de parler cette mesure sur les fibres parce que cette mesure sur l'auteur lui-même, c'est une mesure algébrique. Elle est associée à une certaine forme différentielle, algébrique, donc cette forme différentielle continue à exister sur toutes les fibres. Voilà, donc ici, ce qu'on considère, évidemment, là, ce qu'on regarde, c'est la fibration qui va de T... pardon, de Tk plus 1 divisé par WG vers T divisé par WG. Alors, comme j'ai dit, cette fonction n'est pas... enfin, cet intégral n'est pas... n'est pas absolument convergente, c'est de donner un sens, on fait une limite, c'est-à-dire qu'on tronque. Voilà, ici on introduit une fonction de troncature multipliée par A terreau et donc A, c'est un scalaire. Les scalaires agissent, c'est-à-dire le centre du qu'objet agit sur ce quotient. Et donc 1X, ici, c'est une fonction, disons, continue à support compact qui vaut 1 au voisinage de 0. De 0, alors 0, c'est quoi ? C'est un point de T barf, il s'en se cas plus 1 divisé par WG de... de Fx. Quand tu dis continue, il est refait localement constant. Oui, dans le cas où la place est ultramétrique, mais bon, ça a aussi un sens si la place est archimédienne. Voilà, alors donc évidemment, cette fonction-là définie par cette intégrale, on peut aussi la voir... Pardon ? La forme différentielle des sortes de nos côtes. Oui, parce qu'elle est un variant, donc c'est une forme différentielle donc c'est l'habissance extérieure maximale des différenciels relatives et c'est un variant pour l'action de... Bon, j'avoue que je n'avais pas pensé à ça. Je pense que ça ne bosse pas de problème. En tout cas, de toute façon, pour la mesure, elle voit que les modules, donc... j'ai déjà dit, je le répète, l'exposé que je fais aujourd'hui, c'est un exposé qui est un peu un peu empotillé. Vous voyez, j'ai dit, est-ce local encore un parti formel ? C'est-à-dire, je fais des choses formelles. Bon, pour le moment, je donne simplement le cadre. Je n'ai pas tout vérifié, loin de là, au contraire. Voilà, donc on dispose de cette... Bon, on a cette fonction kx-rot qu'on peut voir, bien sûr, comme une fonction sur g de fx à valeur densée qui est invariante par conjugaison. Puisque g divisé par... le gros g divisé par l'action par conjugaison s'identifie à t divisé par Wg. On peut voir ça comme une fonction invariante par conjugaison, mais je l'avais déjà dit la dernière fois, je le répète. En fait, cette fonction-là ça va péter la bonne fonction noyau sur g. Donc on va voir qu'il faut la corriger d'une façon que je vais préciser pour avoir la propriété de compatibilité. La première propriété qu'on demande, c'est-à-dire la compatibilité d'un passage au terme constant. Alors, qu'est-ce qu'on a encore... Donc la dernière fois, on avait introduit encore le co-caractère donc c'est un co-caractère qui va dans Tx, un co-caractère de Tx qui est un élément lambda associé tout simplement enfin, il est tel ici il y a l'application Roté qui va dans Tx puis sans K+, et ici le composé c'est simplement l'action scalaire sur l'espace de la représentation. Donc il y a un unique co-caractère qui vérifie ça et ce co-caractère et évidemment, en correspond à un caractère central du groupe lui-même. Ce co-caractère est central et il correspond à un caractère du groupe lui-même que j'avais noté DET indigé. Donc ici, qu'est-ce que c'est que DET indigé donc je rappelle que DET indigé c'est quelque chose qui va de T de T dans GM donc ici si je le compose si je le compose avec le morpheus qui va de Tk+, dans GM et bien ici si j'ai décordonné lambda 0 lambda k c'est simplement le produit là je suis en train d'écrire la propriété duale, ce qui correspond à cette propriété-là donc voilà, donc on a ça maintenant quand on considère toujours ce morpheus roté qui va de Tk dans Ck+, et bien il y a des poires qui sont associées à ça qui sont, que je note l'héroïté donc l'héroïté ils sont de la forme le X1 à la puissance K-i X2 à la puissance I et évidemment il y a parmi ces caractères un unique poids dominant puisque la représentation est irréductible le poids dominant c'est rosaero T voilà alors pour ceux qui étaient là lors de mon premier exposé j'avais introduit un autre caractère de G que j'avais noté DET en 10B donc c'était, je l'avais introduit dans le cas général mais ce caractère il est caractérisé par la propriété suivante il est caractérisé par la propriété donc son produit scalaire avec tout poids dominant de la représentation duale donc ici c'est simplement rote 0 est égal au produit scalaire du même poids dominant avec le caractère modulaire donc bon ici il y a un seul poids dominant donc il y a un caractère qui est uniquement déterminé par cette propriété donc qu'est ce que c'est que ce caractère DET en 10B donc ça va de G dans GM alors ici on a les éléments qu'on avait noté de la forme G, DET de G à la puissance 1 sur K et alors on vérifie simplement que ça c'est DET de G tandis que le DET en 10G lui c'est un élément comme ça j'associe DET de G à la puissance 1 sur K donc ça veut dire que DET B dans ce cas là c'est DET de G à la puissance K et je vous rappelle aussi que j'avais introduit la notation DET en 10RO qui est égal à DET G DET B donc c'est DET G voilà donc ces trois caractères on les retrouve dans le cas par exemple de la transformation de fourrier standard sur GLR donc dans le cas de la transformation de fourrier standard sur GLR DET G c'est le déterminant isuel DET B c'est le déterminant isuel à la puissance R-1 et DET O c'est le déterminant isuel à la puissance R c'est celui qui apparaît quand on quand on on étudie la façon enfin l'équivariance de la transformation de fourrier par rapport à l'action du groupe voilà donc ça c'est la situation et maintenant je voudrais rappeler l'énoncé du problème 1 que j'avais donné il y a il y a deux semaines dans le cadre général dans cette situation et dans cette situation ce qu'on veut faire c'est la chose suivante donc on a tous ces choix de G de l'entier K de G de roue égal sim K et donc on veut définir quoi premièrement une mesure que je note D indice sur G de FX qui se transforme donc c'est pas tout à fait une mesure invariante c'est une mesure qui se transforme par le caractère D indice G composé avec la norme pardon c'est D indice roue composé avec la norme X voilà donc on veut une mesure qui vérifie ça et puis on veut définir une fonction invariante par conjugaison donc G Flesh K roue X de G cette fonction doit être associée à roue donc vous voyez tout à l'heure j'avais introduit, j'avais parlé de la fonction d'auté ici je veux quelque chose qui soit vraiment associé à roue donc on veut introduire une fonction comme ça qui vérifie à laquelle est associée la transformation de fourrier par la formule habituelle c'est à dire à une fonction FX sur le groupe on associe l'intégral sur G de FX pour la mesure dérogée de FX de G K roue X de GG voilà donc on cherche une transformation de fourrier de cette forme et on attend un certain nombre de propriétés de cette transformation de fourrier en fait un grand nombre de propriétés et les deux premières propriétés qu'on attend c'est les suivants que je vais regarder c'est à dire la compatibilité aux termes constants alors la forme précise c'est la suivante quel que soit FX donc une fonction définie sur G de FX suffisamment régulière disons localement constante à support compact ou de classe C infinie à décroissance rapide une passe archimédienne donc on considère une fonction comme ça et on lui associe son terme constant donc le terme constant c'est quoi c'est un élément T du tord on associe l'intégral sur NB de FX pour une mesure invariante DU par exemple la mesure autodouale et enfin voilà cette intégrale concorige par la racine carré du caractère modulaire voilà mais attention donc on va pas prendre exactement cette fonction on la tord par le caractère d'être un 10B à la puissance un demi donc ça veut dire qu'ici on introduit ça d'être un 10B de T norme de X à la puissance un demi donc on considère d'une part ça et puis d'autre part on considère le le même terme associé à la transformation de fourrier de F en ce sens là et lui aussi on le corrige par la norme un 16 2D2B à la puissance un demi par exemple et donc ce qu'on veut la première propriété qu'on demande c'est que ceci soit la rotée transformée de fourrier du premier terme donc compatibilité au passage au terme constant après torsion par ce caractère vous pouvez vérifier que dans le cas standard c'est bien ça qui apparaît voilà et puis la deuxième propriété qu'on demande la deuxième propriété c'est que l'opérateur qui a FX associé FX chapeau est unitaire donc ça veut dire qu'il préserve le produit scalaire le produit ermicien défini par l'intégration sur G de FX voilà donc on demande qu'il préserve ce produit ermicien alors ici une remarque qu'on peut faire c'est que bien sûr la propriété d'unitarité équivalente à demander que cet opérateur et pour inverse la transformée de fourrier associé au conjugé de ce noyau et puis ici il y a une remarque supplémentaire qu'on peut faire, que j'aurais dû faire en fait il y a deux semaines c'est la chose suivante c'est que vous voyez que le sur G chapeau on dispose d'un certain, d'un caractère évident qui est le on prend la représentation donc ça ça va ici c'est GLK plus 1 de C et puis on compose par le déterminant donc ça ici j'ai un caractère d'accord, ce caractère évidemment dual donc d'un co-caractère central qui va de GM dans G qui est le dual du déterminant donc ça veut dire qu'il y a une action de GM dans G donc par exemple quand on a un élément de G ça a un sens de prendre de prendre son opposé ça a un sens de multiplier par moins 1 et donc en fait les noyaux qu'on regarde vérifient toujours la propriété que le conjugué du noyau en G c'est le noyau en moins G hein K non non non, KX rho de G bar égale KX rho de moins G moins G ça veut dire G multiplié par moins 1 et moins 1 c'est l'image de moins 1 par ce co-caractère central donc en fait le d'être, le noyau KX rho T qu'on a défini vérifie cette propriété et en fait les noyaux qu'on va regarder concrètement vérifieront toujours ça donc ça c'est la donc voilà le problème avec les deux premières questions opposées la compatibilité au terme constant et la la compatibilité au terme constant et l'unitarité pardon alors la convolution en fait c'est ce que je vais regarder en troisième c'est-à-dire effectivement alors convolution ça veut dire non, convolution à quel sens non mais la convolution non on a simplement ici on a simplement le fait que évidemment la transformation de fourrier est compatible avec les translations à gauche ou à droite dû au fait que la fonction noyaux est invariante par conjugaison et la mesure pardon se transforme par ce caractère donc c'est un fonction noyau et c'est un fonction noyau caractère donc si on connaît la transformation de fourrier d'une fonction F on connaît la transformation de fourrier de cette fonction F convolé avec n'importe quoi à gauche ou à droite convolé multiplicativement il n'y a pas d'addition additivement il n'y a pas d'addition c'est tout le problème c'est de se passer mais là donc le voilà donc voilà donc bon donc jusqu'ici j'ai simplement dit j'ai simplement énoncé le problème donc alors ici je voudrais énoncer un résultat le résultat comme tous ceux dans l'exposé d'aujourd'hui c'est modulo vérification déconvergence et des échanges de saumation donc il y a un travail à faire que j'ai pas encore fait parce que j'ai été pris par le temps il fallait que je fasse un court d'années sinon j'aurais attendu plus donc ça c'est vérifié donc ça veut dire que tout ce que je raconte aujourd'hui soit correct je vais présenter des calculs formels j'ai des raisons de pensée qui sont correctes que je dirais peut-être mais voilà donc j'ai pas vérifié jusqu'à présent enfin au moins certaines des convergences et et au moins certaines légitimités d'échange de saumation alors je considère comme ça considère un noyau général c'est-à-dire simplement une fonction invariante par conjugaison donc c'est une fonction de G et de la racine Km de G et alors ici je vais faire une hypothèse c'est une fonction invariante par conjugaison et même invariante par conjugaison stable c'est-à-dire qu'il ne dépend que des invariants de ce groupe alors les invariants de ce groupe c'est quoi ? c'est évidemment la trace et le déterminant donc ceci doit s'écrire comme une fonction de la trace et du déterminant et alors je suppose que je peux faire une transformation de fourrier par rapport à la trace donc ça veut dire la chose suivante je suppose que cette fonction je peux l'écrire de cette manière là une intégrale fois la trace de G que multiplie une certaine fonction que je note comme ça donc je mets un chapeau c'est une transformation de fourrier par ciel, transformation de fourrier au sens classique transformation de fourrier on fait de la transformation de fourrier c'est vrai fixe de mu fois le déterminant de G ici il y a deux variables mu et le déterminant de G pis en 5 sur K j'ai une fonction de deux variables le déterminant est la trace qui a un sens de faire une transformation de fourrier par rapport à la première variable donc j'écris cette fonction sous forme de fourrier voilà et ici la mesure que je vais là c'est une mesure additive donc encore une fois cette fonction là c'est la transformation de fourrier du noyau par rapport à la première variable la variable trace et donc et pour si tu avais défini tout à l'heure de KXRO tu sais calculer ça non mais tout à l'heure je n'ai pas encore défini KXRO non non non non ici je cherche un KXRO qui vérifie ses propriétés non non non je n'en ai pas proposé pour l'instant j'ai proposé un KX roté mais je n'ai pas proposé de KXRO comment interprète mu il faut être 30 gc mu indiché non mu mu c'est une vraie cinquième non non mais la trace c'est un scaleur ça prend sa valeur dans fx donc j'ai une fonction de 2 variables la mu c'est la valeur dual voilà donc c'est la trace prend sa valeur dans fx et mu c'est dans le dual de fx c'est à dire fx c'est pas la mesure non donc ici c'est la mesure additive de fx j'ai mu et puis ici j'ai un poids qui dépend de mu la transformation de fourrier elle est là et là j'ai le caractère qui dépend de mu voilà donc on a que ce noyau vérifie la propriété 1 de compatibilité avec les termes constants si et seulement si pour tout élément t alors t c'est un élément du tort donc ça veut dire c'est un triplet mu 1 mu 2 racine de mu 1 mu 2 pour tout élément t du tort on a k roté x c'est à dire lorsque je spécialise ma fonction les éléments du tort et bien c'est égal à la même intégrale donc ici je mets le psyx de mu mu 1 plus mu 2 multiplié par le k ro chapeau x de mu et de la racine k m donc ici vous allez me dire j'ai écrit exactement la même chose que là donc ici ce que je fais c'est simplement je spécialise ro en les éléments du tort mais tel que j'ai écrit c'est pas correct il faut un terme correctif qui est le module de la valeur absolue de mu à la puissance moins 1 entrement dit pour que ça marche le lien entre le noyau sur le tort et le noyau sur le groupe doit être comme ça c'est presque la même chose mais quand on fait la transformation de fourrier par rapport à la variable trace eh bien il faut remplacer la mesure additive qui est là par cette mesure qui est multiplicatif ça c'est convaincant donc là oui je pense que tout ça est convergent mais là toute façon on a fait l'hypothèse je dis on prend un noyau qui est à cette forme on suppose que ça converge bien et pour que le noyau vérifie la propriété de compatibilité il faut cette propriété c'est la propriété que vous dites que le terme constant c'est ça c'est la propriété 1 ça vérifie 1 si et seulement si cette propriété vérifie que le résultat est 0 si tu commences avec un élément qui n'est pas dans le tort pardon ? si tu commences avec un élément du groupe qui n'est pas dans le tort on peut le tour les mêmes intégrales je pense qu'il faut aussi demander que le résultat est 0 si c'est vraiment n'est pas dans le tort on va faire le calcul mais non non non non là c'est bon on va faire le calcul ici par le château n'est pas défini c'est simple oui non mais ce que je fais a priori c'est que je considère un noyau sous une forme très générale et je dis je suppose qu'il n'y a pas de problème pour la convergence des intégrales d'accord ? et maintenant ça a un sens de spécialiser au noyau et ça a aussi un sens de modifier la mesure ici et donc la propriété qu'on demande c'est qu'on ait cette propriété de spécialisation alors bien sûr ici il y a une remarque qu'on peut faire tout de suite c'est que si le corps fx est algebraiquement clou autrement dit si fx c'est les normes complexes ça ça détermine complètement carot parce que la connaissance de ça détermine ces fonctions là vous voyez que si fx plus mu2 et mu1 mu2 sont arbitraires donc ça détermine complètement carot en revanche si le corps n'est pas algebraiquement clou vous avez une certaine latitude par exemple si c'est les réels ici bien sûr le tort c'est pas tous les éléments c'est pas tous les invariants possibles il faut que le polinome soit cendé voilà mais donc il y a une certaine latitude alors voilà donc je vais tout de suite donner un exemple quand même une formule ça vous donnera une idée du degré de convergence ou de divergence des intégrales dont on parle c'est le cas carot est déjà connu parce que là c'est la transformation de fourrier sur le tort et la transformation de fourrier sur le tort de la transformation de fourrier sur ce que j'ai noté ici c'est k plus 1 c'est à dire de la transformation de fourrier standard sur l'espace affine dimension k plus 1 donc c'est connu donc sur le tort c'est entièrement connu et il faut une compatibilité donc elle est écrite là alors donc l'exemple que je vais donner c'est ck-2 on peut tout calculer donc dans ce cas là qu'est ce que c'est que kx roté donc c'est une fonction de 3 variables ici donc k égale 2 donc c'est la racine carré de mu1 mu2 alors c'est quoi ? c'est l'intégrale sur fx foie pour la mesure multiplicative de psi x de mu moins 1 plus mu au carré foie alors mu1 plus mu2 plus 2 fois la racine de mu1 mu2 vous voyez donc là en fait si vous voulez c'est le carré de racine de mu1 plus racine de mu2 donc voilà la formule et donc ça veut dire que vous pouvez définir kx ro de g de la manière suivante c'est l'intégrale sur disons fx foie de d mu la même chose un psi x de mu moins 1 plus mu au carré facteur de mu1 plus mu2 plus 2 fois la racine carré de mu1 mu2 mais ici attention faut corriger vous prenez la norme de x à la puissance au carré la norme de mu au carré la norme indice x de mu au carré voilà donc les intégrales sont données en ces sens là évidemment absolument elles sont pas convergentes pour les faire converger il faut tronquer et puis voir ce qui se passe quand on passe à la philippe enfin voilà donc dans ce cas là on a une formule complètement explicite voilà alors bon bah je veux démontrer la proposition voilà c'est ça donc l'enlève donc si tu préfères ici je peux mettre la mesure additive je dise par mu et puis là je laisse la mesure additive mais en tout cas entre les deux il y a un facteur bah non mu carré parce qu'ici tu vois que c'est du mu carré qui apparaît c'est à dire dans la transformation de fourrier n'apparaissent que les termes qui sont décarrés non non c'est pas oui oui non non mais ça veut dire si tu veux écrire les choses tu dois regrouper les mu et mu moins 1 si tu veux si tu regroupe les mu et mu moins 1 t'as une somme de deux termes voilà je pense la manière la plus concise d'écrire c'est comme ça donc voilà l'énoncé de la proposition et voilà un exemple alors maintenant je voudrais donner une la démonstration alors pour la démonstration bah on va prendre des éléments du groupe donc des éléments de g de fx et on va les écrire sous la forme donc c'est que ça c'est la forme de carton c'est ça alors là ça s'appelle c'est-à-dire un élèves radical la forme d'Iwazawa moi je comprends je sais jamais laquelle est laquelle dans la forme c'est la forme de brouillard donc c'est la mesure qu'on veut écrire évidemment sous cette forme là donc les éléments de cette forme là bien sûr si je calcule c'est mu 1 mu 1 u mu 1 v ici c'est mu 2 plus mu 1 u v je l'écris parce qu'il va falloir calculer c'est la grosse cellule je peux me restreindre à la grosse cellule parce que je dois calculer une intégrale la grosse cellule est ouverte dense voilà et bien sûr quand j'ai avec cette forme là le dette en digée c'est mu 1 mu 2 donc la racine kaïm de dette en digée c'est une racine kaïm de mu 1 mu 2 alors évidemment il y a un LEM qui est simplement l'expression des mesures invariantes donc d'abord des mesures sur sur g de fx donc d'abord il y a la mesure invariante que je note simplement dg dg c'est la mesure invariante donc là calculer avec ces coordonnées c'est d mu 1 d mu 2 d u d v que multiplie delta b de mu 1 mu 2 norme donc ça c'est simplement la norme de mu 1 sur mu 2 et ici c'est des mesures multiplicatives et ici c'est des mesures multiplicatives donc la mesure dg c'est écrit comme ça oui mais ça va disons à partir de maintenant tout ce qui sera avec des mu sera multiplicatif tout ce qui sera avec des u et v sera aditif non mais les notations seront suffisamment lourdes c'est pas la peine d'en rajouter voilà donc ça c'est la mesure dg et puis vous avez aussi la mesure dérogée alors vous devez vous devez corriger cette mesure en la multipliant par le caractère donc quel caractère c'est le caractère detain d'isros il est le produit de deux facteurs il y a le facteur detain dg donc le detain dg c'est mu 1 mu 2 norme de mu 1 mu 2 en disque et le detain dis b ici le detain dis b c'est simplement le déterminant donc vous vous retrouvez avec du mu 1 x au carré parce que vous avez multiplié ça par mu 1 mu 2 donc vous vous retrouvez du mu 1 x au carré x des mu 1 des mu 2 des u dv donc vous avez soit et voilà donc maintenant on peut continuer le calcul donc simplement en écrivant la formule pour la transformée de fourrier d'une fonction fx donc si je... alors bien sûr donc je dois prendre en un élément que mu prime 1 mu prime 2 0 0 parce que je m'intéresse au terme constant donc je dois calculer en interme diagonale multiplié par un élément arbitraire du radical unipotent puis ici bien sûr je complète le déterminant à la puissance 1 sur k alors ceci donc d'après ce que j'ai... enfin d'après la définition de la transformation de fourrier c'est mu 1 mu 2 x à la puissance 1 sur k que multiplie mu 1 carré x alors des mu 1 des mu 2 des u dv x le fx de mu 1 mu 1 u mu 1 v mu 2 plus mu 1 u v complété par la racine km du déterminant et puis enfin il y a le noyau alors le noyau il a la forme une intégrale sur des mu de kx ro chapeau j'écris sous la forme que j'ai presquite donc kx ro chapeau de mu et puis là il y a la racine km du déterminant donc c'est mu 1 mu 2 mu prime 1 mu prime 2 racine km en fait c'est le produit de racine km puis le psix alors psix de quoi ? c'est le psix de la trace du produit donc la trace du produit c'est quoi ? il y a du mu 1 mu prime 1 plus mu 2 mu prime 2 plus mu 1 mu prime 2 u v plus mu 1 mu prime 1 u prime v non non mais oh oui t'as raison donc je corrige que j'ai dit les démus c'est multiplicatif les démus c'est additif donc ça c'est voilà l'expression de la transformation de Fourier mais non on veut calculer le terme constant donc pour calculer le terme constant qu'est ce qu'il faut faire ? évidemment il faut intégrer pour d u prime pour la mesure d u prime parce que vous voyez on intègre par rapport au radical unipotant donc on va prendre cette immense formule et on intègre par rapport à d u prime d'une part ça et plus multiplier par par le caractère modulaire à la puissance 1,5 donc c'est delta B de machin à la puissance 1,5 autrement dit c'est quoi ? c'est mu prime 1 sur mu prime 2 norme indice x à la puissance 1,5 voilà et alors vous voyez donc vous devez intégrer ça pour par rapport à d u prime et alors là vous allez faire voilà exactement le d u prime en fait il apparaît seulement à un endroit il apparaît ici et alors là on va faire une hypothèse encore une fois je pense que ça marche mais il faut vérifier les convergences donc l'hypothèse qu'on va faire c'est qu'on peut échanger les notations quand on peut échanger lors des intégrations c'est à dire que le d u prime qui normalement est le truc qu'on intègre en dernier on peut le faire passer ici d'accord ? alors bon par exemple si vous aviez le cas si vous étiez dans le cas standard ça marcherait dans ce cas là vous auriez pas une somme sur des démus vous auriez un seul mu ça serait une distribution et vous pourriez échanger les notations donc là on va faire comme si on pouvait le faire donc bon bah il faudra le vérifier donc voilà c'est l'objectif du cours de l'an prochain alors les mues primaires ils sont là ils sont dans le psy parce que ils sont là leurs produits c'est ici ils sont dans le noyau dans le noyau carreau donc le noyau carreau il a une part multiplicative donc ils apparaissent ici mu prime 2 et puis il y a une part additive c'est à dire la part trace et alors là on voit mu prime 1 mu prime 2 mu prime 2 mu prime 1 et on intègre par rapport à u prime et u prime n'apparaît qu'ici donc on fait le calcul on fait le calcul et alors vous voyez que bon j'ai pas envie de tout je l'écris dans les notes mais le calcul est pas si difficile que ça donc ce que vous trouvez c'est que quand vous faites ça vous intégrer, vous multiplier vous trouvez quoi alors bon d'abord évidemment vous avez donc ceci la puissance 1,5 qui sort pourquoi c'est parce que ici vous voyez quand vous intégrer sur le u prime ça vous fait apparaître du mu prime moins 1 en norme mais par ailleurs je dis il faut multiplier par ça non donc attendez excusez moi ici c'est du moins 1,5 du moins 1,5 parce que vous avez du mu prime 1 puissance moins 1 mais que vous multipliez par ça donc vous trouvez mu prime 1 mu prime 2 puissance moins 1,5 ensuite il y a l'intégrale fx pardon l'intégrale donc de mu 1 mu 2 puissance 1 sur k dans ce facteur le mu 1 ici j'avais du mu 1x au carré mais avec l'intégration sur le u prime vous voyez qu'il y a un facteur mu 1 qui disparaît donc on n'a plus que norme de mu 1 à la puissance 1, pas la puissance 2 des mu 1 des mu 2 des u oui alors le v n'apparaît plus pourquoi parce que vous voyez qu'ici on intègre sur u prime ce qu'on est en train de faire c'est d'écrire la formule d'inversion de fourrier donc il faut poser dans ce qu'il y a avant v égal 0 donc qu'est ce qu'on obtient voilà on a des mu 1 des mu 2 des u fois fx de quoi mu 1 mu 1 u mais ici il y a 0 puisque j'ai dit on prend v égal 0 maintenant c'est imposé par la formule d'inversion de fourrier mu 1 mu 2 à la puissance 1 sur k et puis enfin il y a ici l'intégral qui définit le noyau alors c'est l'intégral qui est ici sauf que vous voyez que j'intègre par rapport à u prime donc quand je fais un changement de variable vous voyez que non seulement il y a le mu 1 et le mu primeur en facteur j'en ai déjà parlé mais il y a aussi le mu et je dois diviser par norme de u norme de mu à la puissance moins 1 donc en termes eux ne bougent pas px de quoi mu 2 ce qui reste c'est à dire mu 1 mu prime 1 plus mu 2 mu prime 2 alors vous voyez que le terme en nu prime a disparu ce terme là a disparu mais celui ci aussi parce que maintenant on avait égal 0 voilà et donc ça c'est ce qu'on voulait donc ça c'est ce qu'on voulait oui oui parce qu'il s'écrit le caroté c'est simplement on intègre une fonction bien connue enfin la fonction habituelle px de la trace on intègre le long des fibres voilà donc on a rôté ce que j'ai noté rôté tchèche qui va de t puissance k plus 1 dans t on intègre le long des fibres voilà oui disons c'est ce qui correspond la transformation de fourrier sur t, t c'est un quotient de tk plus 1 sur tk plus 1 on a une transformation de fourrier qui est compatible avec la multiplication et on a une transformation de fourrier induite sur t en passant au quotient donc ça c'est le truc évident qui est compatible avec la transformation L tu as donné la formule pour k égale 2, tu sais la formule pour le k général ah bah la formule pour le k général donc là elle est elle est donnée par une intégrale mais c'est plus compliqué t'as pas une formule aussi explicite ? non non j'ai pas de formule aussi explicite tu peux expliquer pourquoi il faut mettre à quoi se correspond de ce point de correctif moins 1 eh il correspond à un changement de variable c'est tout ici c'est simplement en intact pour rapport à u prime et tu vois que le u prime est en facteur donc il est en facteur du v qui est une variable donc tu vas appliquer la formule d'inversion de fourrier mais tu vois que le caractère calculé en u prime v est affecté d'un coefficient multiplicatif le coefficient multiplicatif c'est mu 1 fois mu prime 1 fois mu et donc quand tu as un texte tu dois faire un changement de variable et ce changement de variable pour la mesure additive d u prime te donne la norme indice 6 de ce produit alors t'as la norme indice 6 dedans t'as 3 facteurs tu as mu 1 mu prime 1 alors le mu prime 1 c'est lui qui te donne ça le mu 1 c'est lui qui te donne ça ici c'est pas non pardon c'est 1 sur k 1 sur k ici non non non non k est général hein k est général et donc là on a le c'est moins ennemis ou moins en sur k non non non ici c'est moins ennemis parce que il y a le déterminant dans cette histoire il y a le déterminant indice g qui est le produit à la puissance 1 sur k et tu as le déterminant indice b qui ici est simplement le produit habituel t'as les deux et le déterminant indice b apparaît comme cap facteur correctif à la fois ici et là pardon il apparaît ici et donc pourquoi est-ce qu'il apparaît de l'autre côté c'est parce que ça cette chose là le facteur qui apparaît là je l'écris comme un produit de deux choses c'est le produit de mu 1 mu 2 x à la puissance 1 demi et de mu 1 sur mu 2 x à la puissance 1 demi donc ça c'est le facteur correctif d'aide b ça c'est le caractère modulaire qui intervient dans la définition des termes constants donc on a bien montré ce qu'on voulait donc on va faire une pause et après on passera à la propriété suivante qui est l'unitarité donc paragraphe 2, unitarité donc on est toujours dans la même situation et donc on considère toujours une fonction noyau qui a la forme que j'ai écrite intégrale donc c'est la mesure additive en les mu x de mu trace de g fois ce truc là de mu et de la racine km de dg donc on suppose qu'on a quelque chose comme ça et qui satisfait bien sûr les conditions précédentes voilà il y a cette propriété de combatibilité avec les termes constants et donc bon la fonction noyau est donnée comme ça et puis voilà il y a la relation avec le caroté qui est défini donc en remplaçant ici des mu par des mu sur norme de mu voilà bon et donc on a la transformation de fourrier associé donc si j'ai une fonction f d'un f chapeau de g c'est l'intégrale dérogé pardon donc f chapeau de non f chapeau de g je vais l'écrire c'est intégrale dérogé prime de f de g prime carot j'enlève le x ça sera suffisamment compliqué comme ça donc ça c'est l'édification de la transformation de fourrier et donc maintenant c'est gg prime c'est correct un gg prime maintenant c'est gg prime maintenant j'avais du moins g c'était une remarque donc ici je vais mettre d'ailleurs les f je vais les appeler f prime parce que je vais introduire des primes pourquoi parce que je vais prendre deux fonctions f prime et f seconde et donc on voudrait c'est que l'intégrale sur g de fx dérogé de f chapeau prime de g f chapeau seconde de g bar ceci soit égal à l'intégrale sur g de fx de dérogé f prime de g f seconde de g bar voilà on voudrait ça bon ben on va se lancer dans le calcul désolé alors cette intégrale évidemment c'est écrit comme l'intégrale sur g de fx l'intégrale de gauche c'est à dire le produit scalaire des transformés de fourriers donc ici il y a du dérogé prime dérogé seconde de f prime de g prime f seconde de g seconde kx karo de g g prime et karo de g g seconde bon et puis on va ben utiliser et on va faire les calculs de la même façon que que pour le résultat précédent même si là il se met à y avoir plus de variable encore donc on écrit les éléments g sous cette forme là sous la forme de bruit voilà et donc je rappelle que la norme indigée dans ce cas là c'est mu1 mu2 à la puissance 1 sur k norme de mu1 au carré fois dmu1 dmu2 du dv donc ici mesure multiplicative la mesure additive bon et puis donc ça c'est l'élément g et alors maintenant j'ai l'expression du noyau donc on a le kx le karo de g g prime c'est l'intégrale sur fx donc ici on va l'écrire avec des dmu prime px de mu prime trace de g g prime kch de mu prime fois le déterminant de g g prime puissance 1 sur k et la même chose pour le noyau de g g seconde conjugé donc c'est l'intégrale des mu seconde px de mu1 mu2 puisqu'on conjugue trace de g g seconde kch de mu seconde fois le déterminant de g g seconde puissance 1 sur k et on conjugue voilà mais donc on a ces choses-là mais ce n'est qu'un début plus que ce qui est disponible ici bon et alors qu'est-ce que c'est que la trace de g g prime en fonction les éléments g je les ai écrits comme ça et les éléments donc qu'est-ce que c'est d'abord c'est g prime 1 1 que multiplie mu1 plus g prime 2 2 que multiplie mu2 plus g prime 2 1 que multiplie mu1 u plus g prime 1 2 que multiplie mu1 v plus g prime 2 2 que multiplie mu1 uv et vous avez trace de g g seconde qui s'exprime la même façon, vous remplacez les primes par des secondes donc vous avez mu prime oui non les autres ça va venir mais je veux j'essaie de rendre le calcul compréhensible c'est pour ça que je vais substituer peu à peu donc quand on fait ici vous êtes amené à faire mu prime trace de g g prime moins mu seconde trace de g g seconde à cause de, vous voyez quand vous faites le produit des deux noyaux alors qu'est-ce que vous trouvez vous trouvez mu prime facteur de g prime 1 1 mu1 plus g prime 2 2 mu2 moins mu seconde facteur de g seconde 1 1 mu1 plus g seconde 2 2 mu2 plus mu prime facteur de mu prime 2 1 moins mu seconde mu seconde 2 1 mu1 u plus mu prime facteur de, attendez ici c'est du g prime et là c'est du g prime pardon du g seconde oui c'est ça plus mu prime fois du g prime 1 2 moins mu seconde fois du g seconde 1 2 que multiplie mu1 v et enfin il y a un dernier terme qui est bien embêtant qui est le g prime mu prime fois g prime 2 2 moins mu seconde fois g seconde 2 2 que multiplie mu1 u v alors pourquoi est-ce que je dis que ce terme est très embêtant c'est parce que évidemment dans ces intégrales quand on substitue tout vous voyez quand on fait toutes les substitutions on cherche la dépendance en u et en v et la dépendance en u et en v elle est uniquement là donc il y a 3 termes ce terme en u, ce terme en v et ce terme en u v et il n'y a rien d'autre et ce terme en u en v et en v viennent quand ensuite il faut prendre l'image par les caractères px donc on a px de cet énorme somme donc ça veut dire que c'est des produits des produits de px donc voilà on a px de quelque chose soit u px de quelque chose soit v px de quelque chose soit u v et ici évidemment on aimerait bien faire comme au numéro précédent c'est-à-dire intégrer sur u et v de façon à appliquer à nouveau la formule d'inversion de fourrier vous voyez supposez que vous ayez pas ce terme là le dernier terme donc vous intégreriez sur vous intégreriez intégreriez sur les mu1 sur u et sur v et la formule d'inversion de fourrier vous concentrerez la mesure sur les gprimes et gscondes vérifiant mu prime gprime de 1 égale mu seconde gsconde de 1 mu prime gprime de 1 égale mu seconde gsconde de 1 je vous rappelle que le but c'est de montrer que cette mesure en fprime f seconde est concentrée sur la diagonale c'est-à-dire sur gprime égal gscondes c'est le but de l'unitarité c'est ça c'est-à-dire que cette mesure en fprime f seconde est concentrée sur la diagonale autrement dit la transformée de fourrier de la diagonale est la diagonale c'est ça qu'on voudrait donc on voudrait faire ça mais on peut pas à cause et puis vous voyez que même si on fait ça il y a un problème en fprime et gscondes ne sont pas nécessairement égaux ici contrairement au cas standard mais quand même évidemment si on n'avait pas ce terme quadratique eh bien on serait enfin au moins on pourrait démarrer le calcul alors là on va introduire un LEM qui en a sens est complètement évident mais donc le LEM c'est le suivant donc je prends je définis un groupe qui est si la place est archimédienne donc je prends un compact maximal si x est ultramétrique cg2x sinon on prend le groupe portogonal ou sinon on prend le groupe unitaire enfin un compact maximal donc ça c'est réel on prend le compact maximal et alors on dit la chose suivante c'est que quel que soit gprime gscondes appartenant à g de fx et puis avant de prendre gprime gscondes je prends quelque soit mprime mscondes vous voyez que ici dans mon calcul j'ai des mprimes mscondes eh bien alors il existe un élément du compact maximal tel que mprime que multiplie alors gprime corrigé par cet élément coordonnée d'indice 2 2 vous voyez moins mscondes gscondes corrigé par cet élément vous voyez le même élément coordonnée d'indice 2 2 autrement dit je dis que quitte a multiplié par un élément du compact maximal je peux annuler le coefficient qui est là donc voilà c'est le il y a un seul élément du compact maximal non non non pas nécessairement non mais je dis il n'y a pas besoin que d'un oui oui je dis il existe un élément donc ça c'est quelque chose qui en fait est extrêmement proche donc c'est la décomposition cette fois c'est iwasawa iwasawa dit vous avez un élément du groupe et quitte a conjugé par un élément du compact maximal vous pouvez l'envoyer dans un parabolique autrement dit vous pouvez annuler un certain nombre de coordonnées donc là on fait la même chose mais pas pour l'élément pas pour gprime pas pour gscondes mais pour leurs différences pondérée par mprime mscondes je regarde ces éléments gprime gscondes c'est des éléments gl2 donc je peux faire leurs différences je récupère un élément de m2 et là je peux toujours annuler une coordonnée donc on a ça et donc on va faire quelque chose du genre l'intégration pour la décomposition pour la décomposition iwasawa iwasawa c'est g comme carbide c'est ça ? donc là sauf que là on a une intégration a priori sur les gprime et gscondes donc on a une mesure sur gprime fois gscondes et cette mesure on va l'écrire comme ça alors ça veut dire quoi ? ça veut dire que les éléments je les mets sous la forme suivante alors c'est ici que je vais introduire des coordonnées je vais donner donc mu prime 1 0 0 mu prime 2 1 0 0 v prime alors ici vous remarquez une chose d'ailleurs c'est que par rapport à tout à l'heure pour les éléments g vous voyez j'avais mis les u à droite les v à gauche là je suis le contraire donc les éléments gprime généraux je les écris sous la forme du produit d'un élément de gvid vous voyez et gscondes c'est le produit d'un élément comme ça fois gvid donc je les écris une perre quelconque d'élément comme ça je les écris sous cette forme mais en demandant que les dernières coordonnées les coordonnées d'indice 2 2 vérifient cette propriété là c'est à dire avec mu prime fois la dernière coordonnée c'est mu prime 2 moins mu seconde mu seconde 2 égale 0 les perres d'élément gprime gscondes je les écris comme ça alors évidemment donc ça veut dire que la mesure d'héro prime d'héro gscondes je dois savoir comment l'écrire à partir de ces nouvelles coordonnées alors d'abord il y a les facteurs correctifs habituels donc mu prime 2 mu seconde 1 mu seconde 2 norme puissance 1 sur k donc ça évidemment c'est pas modifié par l'élément dans le compact hein fois le mu prime 1 x au carré fois non c'est mu prime 2 cette fois mu prime 2 c'est eu prime à gauche et les v prime à droite donc ce fait c'est pas mu prime comme tout à l'heure c'est mu prime 2 la mu seconde 2 x au carré et puis ici il y a des mu prime 1 des mu prime 2 des mu seconde 1 des u prime des v prime des u seconde des v seconde alors attention je ne mets pas bien sûr des mu seconde 2 parce que vous voyez qu'il y a cette relation là c'est pour mu prime et mu seconde fixé vous voyez il y a cette relation entre mu prime 2 et mu seconde 2 donc ici j'ai l'intégration par rapport à ça mais attention on doit s'attendre à ce qu'il y ait un coefficient de changement de coordonnées alors le coefficient j'espère que je ne le suis pas trompé c'est v prime moins v seconde la norme de v prime moins v seconde donc là en fait ce changement il faut le comprendre un peu comme l'écriture de par exemple si on est dans le plan on écrit la mesure habituelle du plan encore donné polaire c'est ce qui explique ce facteur mais en fait comme vous allez voir dans la suite c'est que en fait la forme précise du terme qu'on a là n'est pas importante enfin ce sera peut-être important pour les convergences mais en tout cas pour le calcul il suffit que les mesures que je considère ici je puisse les écrire sous cette forme là en fonction des nouvelles coordonnées bon alors donc voilà la nouvelle mesure et je voudrais continuer mon calcul alors vous voyez que ici bien sûr ces considérations là je les ai faites pour m'uprimer mes ms fixés donc ça veut dire que comme tout à l'heure bien sûr on suppose qu'il est légitime d'échanger les signaux sables et j'évide ne parcours pas tout le groupe pardon ? j'évide non j'évide c'est un élément de kxvide oui oui mais il ne parcours pas forcément tout le groupe en bas le non c'est comme si si si si le parcours de toute façon là si on veut atteindre toutes les paires j'ai primes j'ai secondes il faut que j'évide parcours tout le groupe c'est comme pour la décomposition des oiseaux déjà j'évide là c'est la mesure invariante de de ce compact alors donc on suppose légitime d'échanger bah d'échanger quoi voyez qu'à priori vous avez une intégrale sur des dérogés suivi enfin puis plus à l'intérieur une intégrale sur des j'ai primes j'ai secondes et puis ici une intégrale sur des des ms primes et des ms secondes et donc l'hypothèse que vous faites la première l'hypothèse que vous faites c'est que vous pouvez échanger comme tout à l'heure c'est à dire vous pouvez sortir les des ms primes et des ms secondes comme tout à l'heure la raison enfin une raison oui enfin le bon on suppose qu'on peut faire ça ça veut dire simplement que que nos noyaux écrise sous cette forme de fourrier en quelque sorte que les coefficients qui sont là sont suffisamment contrôlables mais encore une fois j'ai vérifié que ça marche bien il faudra que je le fasse alors alors maintenant voyez que puisque je commun la dernière intégration que je fais c'est une intégration sur des ms primes et des ms secondes ça veut dire qu'à l'intérieur de l'intégrale je peux considérer ms primes et ms secondes comme fixés et quand ils sont fixés je peux écrire les paires d'éléments j'ai primes j'ai secondes sous cette forme là bon et alors maintenant j'aimerais bien faire disparaître ça j'évide alors a priori voyez j'évide il intervient il intervient commande donc il intervient dans l'expression de g prime et de g seconde ici donc il intervient au niveau des f prime et également ici et là dans les noyaux bon mais évidemment que la mesure ici par rapport à laquelle j'intègre la mesure sur g prime g seconde suivi de l'intégration sur les g c'est quelque chose qui est invariant par kx vide d'accord donc puisqu'on a muté on regarde des g prime et g seconde qu'il faut apparaître un g vide en facteur ici et là le g vide on aimerait bien le faire passer dans le g d'accord c'est à dire de faire un charbon de variable pour faire passer le g vide dans le g et puis là j'ai une mesure qui est invariante par g vide donc ça ferait disparaître complètement le g vide on a envie de faire ça évidemment donc faire ça ça suppose le vous voyez que ça veut dire que vous considérirez des g prime et des g seconde de cette forme particulière et que ensuite vous intégreriez par rapport au g mais ça ça serait possible évidemment si on pouvait intégrer si l'intégration sur g et les intégrations sur g prime g seconde pouvaient être échangées mais c'est pas le cas c'est pas le cas parce que quand vous calculez la transformation de fourrier habituel quand vous calculez la transformation de fourrier vous pouvez absolument pas échanger les intégrations ça converge plus donc si on veut pouvoir échanger les intégrations g prime g seconde d'une part et g d'autre part on a besoin de tronquer donc on fait ça on introduit on introduit une suite de fonction que je vais noter comme ça donc des 1xg disons donc c'est des fonctions sur g2fx bon par exemple c'est la fonction caractéristique des g tel que quel que soit parce que je veux que ma fonction soit invariante par kxv donc je demande que toutes les coordonnées donc je prends ici les coordonnées d'indices ij quelconque je veux que ceci soit inférieur ou égal à m quel que soit ij égale à 1 ou 2 et puis je demande aussi la même chose pour le déterminant inférieur ou égal je prends sur m au carré et puis ici m au carré je prends quelque chose de cette forme la forme des bornes n'a pas tellement d'importance la chose qui est importante c'est que ça tourne vers l'infini enfin qu'il y ait des bornes et puis ensuite je vais les faire tourner vers l'infini le fait de mettre des bornes donc d'abord je demande que ça soit vrai pour que je prends le maximum de ces choses-là surtout les gvid et gprimvid donc je obtient une fonction et puis ma fonction malgré tout elle me définit un compact et l'intégration je n'aurai pas de mal à échanger les insoms une fois que j'aurai intégré sur ce compact alors maintenant qu'est-ce que je peux dire alors je sais que la la mesure dérogée c'est la limite quand m tend vers plus l'infini la mesure sur g de fx fois ces fonctions de troncature en g dérogée j'ai borné l'intégration à un compact et je fais grandir le compact et puis l'avantage de ça de ce truc-là pour m fixer c'est que ceci peut être échangé avec les intégrations en gprim et gs bon alors j'utilise tout ça et alors j'obtiens la chose suivante donc l'intégral sur g de fx dérogée fx prim de g fx bar prim de g donc ça va être égal à quoi d'abord je l'écris donc comme une limite sur les m tendant vers plus l'infini bon ici j'ai l'intégral sur dmprim l'intégral de 1 gxm donc ici il y a la troncature la troncature qui est appliquée à un terme que j'écris sous la forme de Bruat bon ici il y a les mu1 mu2 la puissance 1 sur k ici il y a le mu1 carré ensuite il y a du dmu1 dmu2 du alors bah continuons faut tout écrire alors donc c'est ceci ensuite il y a une intégrale mais une intégrale qui est prise sur mu2 mu2 égal mu prim mu2 pour la mesure que j'écris tout à l'heure donc mu1 mu2 mu1 mu2 voilà ensuite il y a ici du mu prim 2 x au carré du mu2 mu2 x au carré dmu1 dmu2 dmu1 il n'y a pas de dmu2 à cause de la condition qui est là il y a le facteur norme de vprim – vsx dmu1 dmu2 dvs dvs dvs fois le fprim de mu1 plus mu2 mu2 vprim mu2 uprim mu2 vprim ici mu2 complété par la racine km du déterminant ensuite il y a le fs de mu2 1 donc c'est la même chose mais on remplace par tous les primes par des secondes mu prim mu2 vprim ici c'est du mu2 là c'est du mu2 u2 complété par le mu2 1 mu2 2 donc racine km ensuite il y a les deux noyaux alors kch rox de muprim que multiplie mu1 mu2 à la puissance 1 sur k multiplié par le noyau de mu2 mu2 1 mu1 mu2 à la puissance 1 sur k bar enfin il y a les ps alors d'abord il y a px de muprim mu1 muprim 1 moins mu2 de mu1 mu1 seconde donc je remplace enfin je substitue ici alors le second thème c'est du mu1 muprim muprim 2 uprim vprim moins mu1 mu seconde mu seconde 2 u seconde v seconde et puis il y a du px de muprim muprim 2 vprim moins mu seconde mu seconde 2 v seconde que multiplie du mu1 u et enfin il y a du px de muprim muprim 2 uprim moins mu seconde mu seconde 2 u seconde mu1 v donc voilà la formule complète ouais exactement donc alors évidemment dans cette formule il y a un certain nombre de traits importants qu'il faut expliquer comment les G vides ont disparu pourquoi les G vides ont disparu c'est parce que comme j'ai mis la troncature j'ai pu échanger la sommation sur les G primes G seconde et sur les G et l'intégration sur le G elle est invariante par G x vides donc les G vides ont disparu c'est à dire en utilisant l'intégration enfin la multiplication par G vides dans mu prime fois G seconde comme tout est équivariant je peux la transformer en une application sur le G et là j'intègre contre quelque chose qui est invariant par Kx vides donc ça disparaît ça c'est la première chose la deuxième chose c'est que ici vous voyez que tout à l'heure j'avais du mu prime j'ai pris mu1 mu1 et du mu seconde ici c'était du G seconde mu1 et puis j'avais la même chose avec les G prime de 2 mu2 G seconde de 2 mu2 ici il n'y a que les premiers termes il n'y a pas les termes d'indice 2 les termes d'indice 2 ont disparu pourquoi ? parce que à cause de cette relation mu prime mu prime 2 il y a le mu seconde il n'y a pas de termes d'indice 2 enfin la troisième propriété très importante même celle qu'on voulait atteindre c'est que les termes quadratiques en UV ont disparu ils ont disparu parce qu'on a fait ce changement de variable par G vides pour ça on a choisi des coordonnées qui vérifient cette propriété donc il n'y a pas de termes quadratiques en UV vous voyez que si vous cherchez la dépendance en UV là-dedans eh bien la dépendance en UV elle apparaît ici de manière linéaire dans M6 pour le V vous voyez que c'est linéaire en U et en V ici et là et puis enfin les UV bien sûr ils apparaissent dans la troncature dans la fonction de troncature mais vous voyez que évidemment il faut prendre la limite quand M t'envers plus l'infini ça veut dire quand vous faites grandir les bornes quand vous faites grandir les bornes les contraintes sur les mu 1 mu 2 UV se relâchent de plus en plus donc ça veut dire que ici dans cette intégrale vous avez des U et des V qu'il faut intégrer sur des domaines de plus en plus grands donc ça veut dire que en les arguments qui sont là les arguments contre lesquels sont multipliés U et V les mesures en les variables pribes et les variables secondes se concentrent là où ces arguments valent zéro alors ici j'ai écrit mu prime mu prime 2 v prime moins mu seconde mu seconde 2 mais mu seconde mu seconde 2 c'est mu prime mu prime 2 donc en fait j'ai v prime moins v seconde en facteur ici et là j'ai eu prime moins u seconde en facteur donc ça veut dire que les mesures quand vous intégrer sur les U et les V en relâchant de plus en plus les bornes et bien vos mesures se concentrent de plus en plus dans la zone comme ça vous avez quand m tant vers plus l'infini les mesures se concentrent vers la zone u prime égal u seconde v prime égal v seconde autrement dit ça veut dire la chose suivante c'est que votre hypothèse vous aviez choisi une coordonnée de façon quand les dernières coordonnées les coordonnées d'indices G2 2 vous avez la relation mu prime fois la coordonnée prime égal mu seconde fois la coordonnée seconde et là ce qu'on dit c'est que quand on intègre ça se propage la même relation se propage c'est à dire ce que vous aviez pour les coordonnées d'indices 2 2 vous avez cette relation linéaire ici mu prime G prime 2 2 égal mu seconde G seconde 2 2 vous pouviez toujours choisir votre coordonnée de manière à avoir ça mais par intégration ça se propage et vous avez la même relation ici et là qui apparaît à la limite alors bien sûr vous allez me dire ici il y a un problème c'est que on dit qu'on tend vers le v prime égal v seconde mais si on fait v prime égal v seconde là-dedans il y a ça qui apparaît en facteur on va trouver zéro donc en fait non parce que c'est pour la raison suivante c'est que quand vous recherchez, quand vous regardez cette intégrale dans l'intégrale le facteur l'intégration en mu 2 n'apparaît presque plus en particulier mu 2 a disparu des psyx d'accord le mu 2 il n'apparaît plus que dans les noyaux qui sont là les carreaux par exemple si vous êtes avec la transformation de Fourier standard vous n'avez plus de dépendance en mu 2 ici mu 2 n'apparaît plus que dans la fonction de troncature qui est là la fonction 1m et donc ça veut dire que quand vous faites tant de vos bornes vers l'infini vous avez ici quelque chose qui va c'est à dire l'intégration contre ça va produire quelque chose de plus en plus petit mais qui est compensé par l'intégration sur les mu 2 donc disons par exemple ce calcul a déjà un sens il marche pour le cas de la transformation de Fourier ordinaire même par exemple la transformation de Fourier dans le plan vous pouvez la faire par exemple en choisissant des coordonnées polaires et vous voyez ce que ça donne et vous allez voir qu'il y a une direction ça devient tout petit et une autre direction ça devient très grand donc là c'est exactement ce qu'il se passe les deux se compensent et ce qui se passe la chose suivante c'est que en fait la variable v pris moins v seconde qui apparaît ici et la variable u pris moins v seconde qui apparaît ici en quelque sorte je peux la sortir de f pris mais f seconde c'est à dire si je remplace ceci par une fonction donc f pris mais f seconde dans laquelle je pose je pose v pris mais gale v seconde u pris mais gale muse gonde et puis je multiplie par une fonction de u pris moins u seconde et v pris moins v seconde d'accord je choisis une fonction arbitraire 1x de fx dans c disons continue un support compact et qui est égal à 1 dans un voisinage 0 et alors ce que je dis c'est que la limite que j'ai écrite ici elle est égale à la même mais où ici je pose u pris mais gale u seconde la v pris et gale v seconde voyez je substitue et je remplace ça c'est à dire la dépendance que je l'ai perdu je la remplace en remplaçant ici du 1x de u seconde ici du 1x de v seconde en quelque sorte je remplace ma fonction par une autre fonction qui pour v pris mais gale v seconde coincide avec la précédente donc ici je mets du 1x u seconde 1x v seconde et puis ici je mets du donc la même donc ici j'avais v pris moins v seconde en facteur mais que je remplace par v seconde attendez c'était du v oui et puis ici enfin ou par du peut-être je mets du 1x u seconde v seconde et ici j'ai du 1x u seconde 1x u seconde fois du 1x u seconde voilà donc la assertion c'est que les deux limites sont égales voyez donc là ce que j'ai fait c'est que j'ai sorti donc la variable en quelque sorte la différence v pris moins v seconde du pris moins u seconde maintenant elle n'apparaît plus dans f prime et dans f seconde là j'ai restreint j'ai maintenant trois coordonnées qui vérifient la relation linéaire de tout à l'heure et donc ça veut dire pourquoi on a encore besoin de v seconde et de u seconde ici c'est pour définir une certaine mesure donc ici c'était du ici c'était du mu 1 u et ici du mu 1 v donc quand vous intégrer vous voyez vous avez ici ces fonctions à x en u seconde v seconde vous intégrer par rapport à u seconde v seconde vous récupérez des fonctions de u et de v d'accord les fonctions de u et de v apparaissent dans la troncature vous intégrer sur u et v et vous récupérez de cette manière-là une certaine mesure en mu 1 et mu 2 qui bien sûr dépend de la borne m et quand vous faites tendre m vers l'infini eh bien ça vous donne votre produit scalaire bon donc le produit scalaire s'excrise sous cette forme euh bon et vous voudriez que ce produit scalaire ça soit égal euh ça soit égal à de f prime et f seconde ce produit hermitien soit égal à celui de f prime et f seconde alors vous voyez que vous avez progressé mais on est pas encore au bout parce que donc ici euh on a donc on a une relation entre les trois coordonnées c'est à dire là le coin inférieur droit cette coordonnée là, cette coordonnée là sont reliées aux coordonnées ici et là par la même relation mu prime fois la première égal mu seconde fois la deuxième vous avez la même relation linéaire pour ces trois coordonnées en revanche pour les euh la dernière coordonnée vous ne savez pas encore parce que ici vous avez du mu un prime et du mu seconde prime et pour le moment il n'y a pas de contrainte là dessus donc ça c'est la première chose et puis la deuxième chose c'est que vous voulez une mesure qui se concentre sur la diagonale donc pour concentrer sur la diagonale il faudrait aussi concentrer sur mu prime égal mu seconde euh mais euh donc l'avantage enfin ce que vous avez gagné par rapport c'est que ici quand vous regardez euh donc ce que vous avez c'est que vous avez donc un produit de ça ici c'est un second conjugue je vous oubliez euh quand vous intégrer ici euh ce que vous pouvez faire c'est que euh voyez que dans les psyx euh euh et dans les noyaux euh vous n'avez plus euh de u et de v vous n'avez plus que des mu 1 et des mu 2 les mu 2 apparaissent en d'ailleurs seulement dans ces fonctions là les fonctions euh transformées de fourrier du noyau euh vous n'avez plus euh donc les mu 1 et les mu 2 n'apparaissent plus que là euh et euh donc euh ce que vous pouvez vous demander c'est euh euh si par hasard en fixant u prime et v prime qu'est ce qui se passe quand on fixe u prime et v prime et euh qu'on regarde ça comme une intégrale en mu prime à mu prime 2 ça comme une intégrale en mu seconde à mu seconde 2 puis qu'on intègre à nouveau sur les mu 1 et mu 2 et euh qu'on euh euh qu'ensuite on prend la limite quand m tend vers plus la finie et alors là euh bah la réponse c'est un un l'M euh donc euh je vais écrire quand même l'énoncé du l'M donc le l'M c'est le suivant euh donc l'M donc on prend euh fi prime donc c'est un l'M sur le torre vous voyez qu'ici on est ramené à un problème qui en fait est un problème sur le torre donc vous prenez deux fonctions sur le torre euh disons euh continue à support compact et vous regardez la limite quand m tend vers plus la finie de l'intégrale sur Fx donc de D mu seconde fois euh euh pardon des mu prime fois norme de, divisé par norme de u prime des mu seconde euh divisé par norme de mu seconde euh ensuite il y a l'intégrale de cette fonction tronquée de mu 1 mu 1 u mu 1 v mu 2 plus mu 1 u v euh mu 1 mu 2 1 sur k x des mu 1 de Dut v fois l'intégrale en fait je recopie simplement ce que j'avais avant simplement au lieu d'avoir des fonctions euh fi prime et fi seconde de 4 variables je regarde des fonctions maintenant simplement sur le torre euh donc de px de u seconde plus v v seconde euh fois la norme de v seconde x qui multiplie un x de u seconde un x de v seconde donc ça c'est le terme que j'ai écrit c'est exactement celui que j'ai là euh après changement de variable euh euh que multiplie l'intégrale sur mu seconde mu seconde 2 égal mu prime mu prime 2 euh de mu prime 1 mu prime 2 mu seconde 1 mu seconde 2 x puissance 1 sur k mu prime 1 des mu prime 2 des mu seconde 2 fois le fi prime de mu prime 1 mu prime 2 euh racine km du produit que multiplie le fi seconde du mu seconde 1 mu seconde 2 racine km du produit conjugé donc c'est cette chose là donc euh que j'ai encore bah il me manque les psix donc ça veut dire les psix de mu prime euh mu 1 mu prime 1 moins mu seconde mu 1 mu 1 seconde euh et enfin les noyaux euh k donc de mu prime mu 1 mu 2 puissance 1 sur k mu prime 1 mu prime 2 puissance 1 sur k euh fois le noyau de mu seconde et puis ici c'est du mu 1 mu 2 mu seconde 1 mu seconde 2 puissance 1 sur k barre donc cette limite doit être égale à l'intégrale sur mu prime 1 mu prime 2 1 sur k des mu prime 1 des mu prime 2 fi autrement dit je dis que c'est cette limite c'est pas autre chose que le produit scalaire que le produit hermitcien sur le tort mu prime 1 mu prime 2 mu prime 1 mu prime 2 à la puissance 1 sur k alors donc euh ça c'est le non c'est du lait comment démontrer ça et bien euh en fait c'est pas dit c'est un corollaire de cette formule pourquoi parce que euh je sais déjà euh une chose euh c'est que le la transformée de fourrier sur le tort est unitaire je sais qu'elle est unitaire parce qu'elle est déduite par caution de la transformation de fourrier standard sur le tort le tort linéaire standard donc elle est unitaire donc ça veut dire que ce produit scalaire là le produit scalaire de fi prime et de fi seconde je peux l'écrire comme le produit scalaire des transformées de fourrier d'accord donc j'obtiens évidemment si je l'écris comme le produit scalaire des transformées de fourrier j'ai une formule beaucoup plus compliquée dans laquelle apparaît une intégration sur les mu prime 1 mu prime 2 mu seconde 1 mu seconde 2 mu 1 mu 2 j'écris simplement je développe la définition de la transformation de fourrier de fi prime donc c'est une intégrale sur des mu prime 1 mu prime 2 qui dépend de variables mu 1 mu 2 la transformée de fourrier de fi seconde c'est une intégrale sur des mu seconde 1 mu seconde 2 qui dépend de variables mu 1 mu 2 et ensuite j'intègre sur les mu 1 mu 2 et ce que je dois montrer c'est que donc ça je le sais je sais que ceci est égal au produit scalaire de transformée de fourrier de fi prime fois transformée de fourrier de fi seconde et ce que je dois montrer c'est que ce produit scalaire avec donc cette intégrale il est égal à cette limite alors quelle est la différence entre ce produit scalaire et cette limite eh bien c'est le fait que d'abord je fixe dedans mu prime mu prime 2 égal mu seconde mu seconde 2 et puis bon j'ai la division par les les normes de mu prime normes de mu seconde et puis j'ai ce terme de poids un peu compliqué là enfin j'ai la troncature j'ai la multiplication par la norme de fi prime et fi seconde j'ai les fonctions 1x de u seconde et de v seconde voilà il s'agit de montrer que quand on fait la limite sur les m c'est égal à cette mesure enfin la formule explicite en fi prime et fi seconde il s'agit de montrer cette égalité bah comment le montrer donc fi prime et fi seconde ça doit être des fonctions à support compact sur le torre mais comment fabriquer des fonctions et de prendre leur terme constant d'accord donc ça veut dire que les fonctions fi prime et fi seconde je peux supposer que c'est les termes constants associés à des fonctions f prime et f seconde comme ici donc je prends pour f prime et f seconde des fonctions à support compact sur le torre et je décide que f prime et f seconde c'est leur terme constant bon mais maintenant la formule que j'ai là c'est une formule pour le produit scalaire le produit hermitien des transformés de fourriers de f prime et de f seconde donc j'ai cette formule je prends les termes constants évidemment les termes constants le passage aux termes constants c'est compatible avec la formation des produits hermitiens donc je prends les termes constants dans cette formule et qu'est ce que je trouve je le trouve exactement ça non non c'est simplement vous intégrer donc ici vous intégrer par rapport au u prime et au v prime vous prenez cette formule vous intégrer par rapport au u prime et au v prime si vous avez des fonctions f prime et f seconde qui sont à support compact vous avez aucun problème pour le faire vous intégrer par rapport au u prime et au v prime et donc vous trouvez exactement ce que vous voulez là vous avez cette formule et maintenant que vous avez cette formule vous la substituez là dedans vous substituez la formule c'est à dire pour chaque u prime et v prime fixé vous considérez f prime et f seconde comme des fonctions de mu prime 1, mu prime 2 mu seconde 1, mu seconde 2 vous substituez la formule que vous avez là et qu'est ce que vous trouvez le résultat non c'est alors c'est un peu bizarre d'obtenir le lèmme vous voyez c'est un lèmme sur le torre qu'on obtient comme conséquence d'un calcul sur le groupe on utilise le fait que la fonction noyau sur le torre elle est en quelque sorte la trace de quelque chose qui existe sur le groupe alors c'est un peu bizarre de le faire comme ça dans le cas du carré symétrique dans le cas du carré symétrique de GL2 ou on a une fonction noyau qui est complètement explicite on peut faire le calcul directement pour le lèmme mais plus en général je ne sais pas le faire donc tout ça il faut vérifier les convergences les différences les échanges de sommation qu'on fait j'ai un espoir raisonnable que c'est correct au moins ce que je vous présente c'est un calcul formel à l'instant présent je ne peux pas vous garantir que ça marche complètement du niveau des convergences je pense que oui pourquoi c'est parce que effectivement l'unitarité ça doit être vrai c'est-à-dire par exemple si on est sur les fonctions les transformations de fourriers associées aux transferts de l'anglance évidemment elles sont unitaires oui elles doivent être unitaires donc la propriété d'unitarité dans ce cas là on la connaît et là ce qu'on dit c'est que la propriété d'unitarité est vérifiée à partir du moment où elle est vérifiée sur le tort et où par ailleurs il y a donc cette condition de compatibilité entre la transformation de fourrier sur le groupe et sur le tort et puis dernière condition vous avez besoin que les que les développements de fourriers des noyaux par rapport à la variable trace des noyaux carropes les développements de fourriers par rapport à la variable trace soient suffisamment sous contrôle pour pouvoir justifier l'échange des sommations donc vous avez besoin de tout ça et vous avez besoin de tout ça et voilà donc donc mon projet c'est de le faire d'abord pour le carré symétrique où toutes les fonctions sont explicites donc là on peut suivre le calcul complètement d'un bout à l'autre et puis si ça ça marche comme j'espère faudra passer au puissance symétrique et puis si ça ça marche comme j'espère aussi faudra passer au groupe réductif généreau donc là on peut proposer une formule pour le noyau mais pour terminer l'exposé d'aujourd'hui bien que j'ai déjà dépassé mon temps je voudrais parler d'une autre propriété qui en fait est un corollaire de cette démonstration il y a quelque chose qui apparaît dans cette démonstration qui est la chose suivante c'est que vous voyez qu'ici donc on a on a fait un calcul très compliqué d'ero g de f chapeau prime de g f chapeau seconde de g bar on a fait ce calcul et puis ce qu'on a fait c'est qu'on a développé les définitions pour yer de f prime et f seconde donc comme des intégrales ceci c'est l'intégrale de d ro g prime de f prime de g prime k ro x de g g prime et ça ce truc là on l'a développé comme une intégrale sur des d mu prime psy x de mu prime de mu prime trace de g k chapeau ro x de mu prime le déterminant c'est trace de g g prime et ici c'est le déterminant de g g prime 1 sur 4 donc on a on a substitué un certain nombre de fois dans les intégrales on a écrit et on a développé le plus qu'on pouvait et ensuite on a fait un changement on a échangé les signaux sommes sur les d mu prime qui étaient à la fin enfin qui étaient au début de l'intégration on les fait passer à la fin on suppose que c'est correct et ensuite on a fait un changement de variable pour obtenir la condition la condition finalement ce qu'on cherche c'est une condition du genre mu prime g prime égale mu seconde g seconde alors on choisit des coordonnées pour que ça soit vrai d'une coordonnée et à partir de là on a vu que ça se propage ça se propage sur les 2 coins comme ça vous choisissez les coordonnées de manière que ça soit vrai là dans le coin et puis ça se propage ici et là en utilisant la formule d'inversion de fourrier donc voilà ce qu'on a fait mais alors en fait ici et évidemment dans tout ça on a utilisé continuellement la linearité de la fonction trace c'est à dire que le voyez a priori on est dans une situation qui n'est plus linéaire en principe mais malgré tout on a une fonction qui est invariante par conjugaison donc une fonction qui s'écrit comme fonction de la trace et du déterminant et là ça dépend vraiment du déterminant simplement ce qui apparaît ici c'est que en fait la partie de ça qui est la dépendance en la trace évidemment ça reste linéaire et c'est suffisant c'est à dire peu importe qu'il y ait aussi une dépendance en le déterminant c'est à dire le caractère linéaire de la trace est suffisant et au moment où vous avez ça vous pouvez vous demander la chose suivante plutôt que de regarder ces intégrales je vais regarder des intégrales encore pires je fais ça ça veut dire au lieu de prendre 2 fonctions j'en prends 3 d'accord j'ai je prends 3 fonctions première seconde et je regarde ça toujours mais enfin sur certaines hypothèses ça va converger si tout est par exemple tout est un support compact ça va converger donc on regarde cette intégrale alors qu'est-ce que ça veut dire regarder cette intégrale c'est une chose très simple c'est regarder la transformation de fourrier du produit des fonctions donc tout à l'heure quelqu'un a demandé qu'est-ce quitte de la convolution donc quand on est avec la transformation de fourrier habituel évidemment on sait que la transformation de fourrier habituel elle transforme le produit des fonctions le produit point par point des fonctions en leur produit de convolution alors le produit de convolution c'est quoi c'est prendre une intégrale qui utilise les translations alors quand on est sur un groupe productif arbitraire en situation unissame évidemment il n'y a pas de translation donc en revanche ce qui existe toujours c'est prendre le produit point par point des fonctions et on peut se demander quelle est la transformation de fourrier de ça ou est-ce qu'on peut en dire quelque chose et le donc vous voyez donc là si on suppose que tout ce qu'on a fait est correct donc la transformation de fourrier est un opérateur unitaire donc elle définit un automorphisme de l'espace des fonctions de carré intégrable mais maintenant dans l'espace des fonctions de carré intégrable vous avez une énorme algèbre naturel d'opérateur qui sont les opérateurs de multiplication par des fonctions unitaires des fonctions à valeur complexe qui prennent leur valeur dans le cercle c'est une énorme algèbre commutative d'opérateur c'est un groupe oui un groupe je pensais algèbre parce qu'on peut prendre leur combinaison linéaire aussi vous savez un énorme groupe abélien d'opérateur unitaire de les fonctions de carré intégrable mais si ce que j'ai dit est correct sur l'espace des fonctions de carré intégrable vous avez aussi un automorphisme qui est l'automorphisme de transformation de fourrier et vous pouvez vous demander quels sont les transformés de fourrier des opérateurs de multiplication par les fonctions unitaires ça doit être des opérateurs de l'espace des fonctions de carré intégrable qui ont plus commutant entre eux donc c'est facile à définir évidemment c'est plus difficile d'en dire quelque chose mais on peut s'interroger là dessus et s'interroger là dessus c'est exactement s'interroger sur ces intégrales vous voyez vous avez deux fonctions F prime et F seconde vous formez leurs transformés de fourrier vous prenez le produit et puis vous regardez le produit scalaire le produit hermétien contre une fonction test et ça c'est exactement faire la chose suivante puisqu'on connaît déjà l'unitarité c'est exactement je prends deux fonctions je regarde le produit et je me demande quelle est la transformée de fourrier de ce produit alors est-ce qu'on peut dire quelque chose à part trop haut de ces intégrales absolument encore plus d'horribles que les précédentes donc évidemment je vous passe les calculs j'ai déjà dépassé mon temps sauf que évidemment quand vous allez faire exactement comme c'est les mêmes calculs qu'avant simplement au lieu d'avoir j'ai prime, j'ai seconde et vous avez maintenant j'ai prime, j'ai seconde et j'ai tiers donc par exemple quand vous exprimez j'ai prime, j'ai seconde, j'ai tiers et l'élément g exactement comme avant donc et vous développez et alors évidemment vous regardez ce qui se passe dans le caractère PSYX qu'est-ce qu'il y a dans PSYX donc égal et puis vous avez du PSYX et puis dans le PSYX comme d'habitude il y a quelque chose qui est extrêmement gênant qui est le terme quadratique alors ici c'est quoi ? c'est du mu prime j'ai prime de 2 plus mu seconde de 2 moins mu tiers j'ai tiers de 2 que multiplie mu1 uv ça c'est le terme quadratique en uv et puis au dessus bien sûr vous avez un terme en u et un terme en v qui eux sont beaucoup plus sympathiques donc vous avez ce terme quadratique voilà avec ici vous voyez de nouveau apparaître une combinaison linéaire simplement avant on avait une combinaison linéaire de 2 matrices avec des coefficients mu prime et moins mu seconde ici vous avez une combinaison linéaire de 3 matrices avec des coefficients mu prime mu seconde et moins mu tiers et là évidemment on on serait bien content que ceux-ci disparaissent mais on fait la même chose qu'on para va précédent c'est-à-dire qu'on fait agir diagonalement l'élément j'ai vide c'est-à-dire si vous avez un triplet d'élément j'ai prime, j'ai seconde, j'ai tiers vous faites agir un élément j'ai vide de façon que j'ai prime, j'ai vide donc c'est l'élément donc le coefficient d'indice 2 2 j'ai seconde, j'ai vide le coefficient d'indice 2 2 et j'ai tiers j'ai vide le coefficient d'indice 2 2 vérifie la relation mu prime fois ça plus mu seconde fois ça moins mu tiers fois ça égale 0 vous choisissez une corde des coordonnées de façon que la coordonnée dans le coin inférieur droit vérifie cette relation linéaire et donc que ça fasse disparaître le terme quadratique vous avez vous choisissez la coordonnée de façon que ici on est cette relation linéaire entre les trois matrices et vous faites la même chose qu'avant c'est-à-dire vous voulez faire disparaître le j'ai vide en utilisant le fait que la mesure que vous calculer ça doit être une mesure invariante par l'action de j'ai vide parce que vous voyez la mesure qu'on calcule au début vous voyez quand vous translatez le triple f prime f seconde f tiers par g par un élément de kx vide à gauche ou à droite vous obtenez la même chose puisque la transformation de fourrier est compatible avec les translations multiplicatives à gauche ou à droite donc normalement vous devez obtenir la même chose mais évidemment pour avoir le droit de faire ça il faut pouvoir échanger l'ordre d'intégration sur g d'une part et puis d'autre part sur g prime g seconde g tiers et pour ça faut tronquer donc on tronque par une fonction invariante par kx vide on fait le même topos que tout à l'heure ça fait disparaître le terme quadratique donc maintenant on a des g prime g seconde g tiers qui vérifie cette relation linéaire à ce niveau-là et donc qu'est-ce qu'on obtient il n'y a plus que les termes linéaires en u et v et les termes linéaires en u et v quand on intègre sur les u et v on peut appliquer la formule d'inversion de fourrier et ça veut dire que ce qui est devant u et ce qui est devant v ça nul et ça ça veut dire quoi ? ben c'est exactement comme tout à l'heure c'est-à-dire que la relation linéaire que vous aviez ici par choix de coordonnées elle se propage donc tout ça c'est pour bien sûr mu prime, mu seconde, mu tiers fixé donc ça veut dire que si vous avez la relation linéaire ici dans le coin ça se propage mais bien sûr nos mesures oui oui nos mesures sont invariantes par kxv en particulier elles sont invariantes par l'action du groupe de veille donc si j'ai cette relation linéaire ici et là par exemple en échangeant la première et la deuxième colonne ça veut dire que je peux supposer ce coin là il est ici donc ça veut dire la relation linéaire que j'ai elle se propage partout et donc ça veut dire qu'on a nos matrices g prime, g seconde, g tiers enfin c'est pas c'est plus exactement les composants dans gl2 de ces matrices vérifie la relation mu prime, g prime plus mu seconde, g seconde moins mu tiers g tiers égale 0 alors vous allez me dire à quoi ça nous avance parce que là vous voyez tout à l'heure on avait seulement 2 2 matrices avec 2 relations et puis finalement il y avait un moyen de concentrer en mu prime égale mu seconde pour obtenir g prime égale g seconde donc ici vous risquez pas de pouvoir faire ça vous avez vraiment les mu prime, mu seconde, mu tiers il varie et donc ça veut dire que quand vous faites une intégration sur les mu prime, mu seconde, mu tiers vous allez perdre ces relations linéaires parce que c'est une relation linéaire pour mu prime, mu seconde, mu tiers fixé et ensuite il faut intégrer sur tous les mu prime tous les mu secondes, tous les mu tiers qui contrairement au cas standard n'ont pas de relation entre eux dans le cas standard il y a un seul mu prime donc ça veut dire qu'on a nécessairement un mu prime égale mu seconde, égale mu tiers c'est la relation que j'ai écrite j'ai prime plus g seconde, égale g tiers là on n'a pas ça mu prime, mu seconde, mu tiers sont variables mais on a tout de même quelque chose c'est que quelque chose qui dépend pas des valeurs de mu prime, mu seconde, mu tiers c'est que vous avez ici 3 matrices et alors vous obtenez que si la coordonnée par exemple d'indice ij, si les 2 coordonnées d'indice ij de 2 des 3 matrices sont nulles il en est de même de la 3ème ça c'est une propriété qui dépend pas de mu prime, mu seconde, mu tiers alors qu'est-ce que ça veut dire par exemple ça veut dire la chose suivante ça veut dire que si si 2 parmi j'ai prime, j'ai seconde j'ai tiers appartiennent au tort alors la 3ème aussi et même chose ici j'ai dit le tort mais j'aurais pu dire le borrel donc si ces calculs sont corrects je répète encore une fois tout ça est formel non vérifié peut-être que c'est entièrement faux enfin bon donc si tout ça, si les calculs sont corrects et si on veut les justifier, vérifier les convergence on a cette propriété-là c'est que la en quelque sorte le produit de convolution c'est-à-dire le quoi en un sens c'est-à-dire la transformation de fourriers du produit point par point des fonctions respecte le tort ou il respecte le borrel donc ça veut dire la chose suivante la donc on peut appeler donc je vais l'énoncer besoin un peu plus de tableau donc c'est disons théorème entre guillemets c'est modulo vérification nombreuse donc le théorème je vais l'énoncer sous la forme suivante supposant que l'ondée est une relation de la forme donc c'est une relation entre fonctions vous avez que f2 chapeau égale f1 chapeau que multiplie disons que multiplie donc ça c'est disons une fonction unitaire tel que alors vous allez me dire une fonction unitaire ça n'a pas nécessairement de ça n'a pas nécessairement transformé de fourrier ça quand même une transformation de fourrier au sens des distributions c'est à dire une forme linéaire tel que là transformé de fourrier de fi au sens des distributions soit supporté par thé respectivement b supposons ça alors de f2 sur thé respectivement b ne dépendent que des valeurs de f1 sur thé respectivement b pardon c'est f2 non c'est f2 je considère la transformé de fourrier non mais là quand on a une fonction qui est le produit d'une autre par une fonction évidemment là c'est même la valeur de cette fonction en un point ne dépend que de la valeur de cette fonction en le même point ça c'est complètement évident quand vous prenez la transformé de fourrier de la multiplication évidemment vous allez beaucoup mélanger vous allez beaucoup mélanger les espaces mais quand même vous avez cette propriété là voilà alors vous voyez donc en quelque sorte ici si vous pensez à la situation classique dans la situation classique la transformation de fourrier de la multiplication point par point c'est le produit de convolution et voyez que le produit de convolution vérifie cette propriété il respecte les torres simplement parce que si vous avez vous vous passez dans les matrices vous prenez deux points du torre diagonale leur somme est encore dans le torre vous prenez deux points du borrel leur somme est encore dans le borrel mais là ce qu'on dit c'est encore une fois modulo plein de vérifications donc en tout cas on a des raisons de faire cette propriété là alors donc pour le moment encore une fois je n'ai pas vérifié tout ça c'est à dire je n'ai pas vérifié qu'il y a toujours convergence qu'on peut faire les échanges de sommation que j'ai fait mais une raison supplémentaire pour laquelle je pense que ceci est correct c'est que finalement c'est la même preuve que pour l'unitarité et l'unitarité on sait que c'est correct donc encore une fois encore une fois c'est pas je ne prétends pas il faudra certainement beaucoup de travail pour justifier tout ça si c'est correct mais donc le dernier exposé ce sera justement pour étudier un peu plus les opérateurs unitaires de multiplication par des fonctions unitaires sur le groupe et leur transformer de fourrier voilà donc ça sera c'est l'objectif du prochain exposé excusez-moi d'avoir pris tout ce temps et encore je vous ai raconté que je suis loin d'avoir dit tout ce qui est une autre