 Bueno, vamos arriba. Seguimos. Seguimos, ¿no? Bueno, vamos a hacer otra cosa. Hoy vamos a hacer geometría parbólica, ¿no más? Tipo arrancando a medio de cero para gente que no está en el tema y después este... vamos a finalizar con algo más interesante. Pero bueno, vamos a empezar con el templo en el superior. Todos son los números complejos de imagen, parte imaginaria positiva. Tiene un grupo de automorfismos, son los bioromorfismos de este imperplano en sí mismo. O sea, son mapas de H más en H más que son olomorfos invertibles, ¿no? Esto es lo mismo. Supongo que algunos ya vieron esto. Son lo que llaman las MEBIUS. Son las transformaciones de este estilo. Este de acá son todos números reales justamente para que preserve la recta, que es el borde, la recta real que es el borde del semiplano. Y para normalizamos así AD-BC igual a 1 para que no... porque si no es redundante. Y esto ya capaz que no saben menos o no, no sé, pero esto es lo mismo que el grupo PSL-2R, el grupo de las matrices A, B, C, D, AD-BC igual a 1, cosentado por más o menos la identidad. O sea, estos dos grupos son el mismo grupo. O sea, acá con la ley de multiplicación de matrices y acá con la ley de composición de MEBIUS, eso es una cuenta que hay que hacer, ¿no más? Entonces, ¿qué es una superficie hiperbólica? Bueno, lo mismo que antes, no es S. Ahora le voy a pedir este... vamos a pedir un cubrimiento con cartas locales, solo que los cambios de carta ahora verifican más cosas todavía. Este U, cubrimiento. Tenemos para cada U del cubrimiento un mapa que va a ir de U y ahora no va a ir a C, sino que va a caer... le va a exigir que caiga acá en H más. Eso hasta ahora no es muy relevante porque por ahora eso no quiere decir mucho. Este omio suele ser imagen. Lo importante es que el cambio de cartas ahora, tal es que... lo que vamos a pedir es que el cambio de cartas más que 0 el homóforo, le voy a pedir que sea un elemento de este grupo. O sea, el cambio de cartas ahora se extiende a H más y preserva H más. Se entiende ahí la diferencia sustancial acá, ¿no? Tengo acá mi superficie, tengo mis cartas, mis abiertos, acá tengo mi H más. Entonces ahora primero le pido que la imagen por el FIU caiga acá. Eso está eso no es muy relevante porque si cae en otro lado la puedo mover para acá, eso no importa. La imagen del FIU cae por acá y tengo el cambio de cartas. La gran diferencia ahora es que este cambio de cartas que a principio está solo definido de acá a acá, ahora le voy a exigir que esté definido en todo H más. Y que lo preserve. ¿Se entiende? O sea, obvio que esto son homóforos, así que una superficie probílica es una superficie de Riemann pero es un poco más. De hecho hay un pequeño truquito que se puede hacer con esto, es... justamente, para hacer eso una idea no más, ¿no? Antes el cambio de cartas solo está definido de este conjunto en este conjunto. Ahora está definido en todo H más el cambio de cartas. Así que en realidad puedo traer todo este abierto para acá, cosa que antes no podía hacer. Y puedo empezar a hacer eso con todos los cambios de cartas posibles. Entonces eso me empieza a dar como un unión de abiertos en H más. Y hago eso todo lo que yo pueda y eso me va a dar todo H más o no. Si me da todo, es completa, se dice que es completa y si no, es incompleta. Igual en el FIU no lo vamos a usar, pero es para hacer eso una idea bien de lo que está pasando. Cual es la gran diferencia de eso, que ahora yo puedo, no solo puedo ir de acá, sino que puedo ir de... tú este entero lo puedo andar para acá. Entonces bueno, las superficies, obviamente las superficies estas son superficies de Riemann, obvio, ¿no? Porque esto es un almorfismo, esto es un almorfo. Mucho más que el almorfo, en particular es un almorfo. Justamente, pero tiene mucho más estructura, ¿no? Pero vienen con mucho más estructura. Entonces justamente cuál es el asunto, ¿no? Cualquier cosa que sea preservada por la acción del grupo automófimo de H más, cualquier cosa que sea preservada acá por la acción de este grupo, va a ser una cosa que yo puedo definir ahora en la superficie. No, por ejemplo, el ejemplo básico es, por ejemplo, la superficie de Riemann, ¿no? La superficie de Riemann le pedíamos que el cambio de cartas sea el almorfo. Una superficie de Riemann funciona en la omorfa, pero es en la orientación. Entonces la superficie es orientable, porque los cambios de cartas presionan la orientación. Entonces ahora cualquier cosa que sea preservada por este grupo va a pasar a una propiedad, la puedo pasar a una propiedad acá también. Entonces, por ejemplo, esta es la primera cuestión que aparece acá, que es la estructura de Riemann, la estructura de variedad rimeñana, perdón. Entonces que es una métrica rimeñana es, en un punto, la defino solo para H2, pero le digo a la definición general y le escribo para H2 nomás, para H más. Es una variedad rimeñana que es, en un punto, miro el espacio tangente y elijo un producto entorno en ese espacio tangente. Esa es la definición y que eso varía continuamente con el punto de esa lección. Acá tenemos una que es especial, que es, la verdad es que es el producto entorno que es, producto entorno, esto es en z, ¿sí? Estos son dos vectores de R2 cualquiera. El espacio tangente H más es R2. Tengo que definir esto y lo voy a hacerlo para que dependa de z también, ¿no? Entonces, lo voy a hacer es el producto entorno usual, o sea, primera coordenada por primera coordenada del otro, más segunda coordenada por segunda coordenada del otro y lo voy a dividir por la imagen de z, acuadrado. Es una definición nomás. Una cuestión acá para remarcar, tiene los mismos ángulos que R2, o sea, dos vectores de R2, si los mido con el producto entorno usual o los mido con esta métrica, el ángulo va a ser el mismo. La norma no, pero el ángulo sí, pues básicamente está la parte que está acá arriba esta. Pero, estáis dividiendo por la imagen de z. Así que, si z tiene parte de la imagen muy chiquita, esto es muy grande en general, ¿no? Entonces, el clásico dibujo es, acá tengo mi vector BWB, si los pongo acá, miden esto, si los pongo acá abajo, son mucho más chiquitos y estos dos tienen la misma norma, sea la moral. Acá muy chiquito, ya quiere decir muy grande. Y si está muy arriba, tiene que ser más grande. Parece más grande, bueno, no me sé. Pero tiene la misma medida que esto. Es un gran dibujo. Con una métrica arremendiana viene una distancia. Entonces, ¿cómo es la distancia? Agarramos una curva en HMAS, de un intervalo, eso que sé. Y definimos la longitud de la curva, se define como la integral de la norma de la derivada. O sea, entegro la derivada, esta es la de la longitud. Obvio que justamente la norma va a depender del punto donde yo esté, ¿no? Ahora esto, sigma de T, sigma de T, de T, y acá en I. Y la distancia entre dos puntos va a ser la longitud de la curva más corta que lo suena. Esto es una definición, ¿sí? Y esto es una distancia y esto hay que demostrarlo. O sea, esto no es elemental. La parte que no es elemental, bueno, yo qué sé, no sé. Aparte que uno le daría problemas capaces, si da cero, son el mismo, ¿no? Esa es la parte que da problemas en general, pero todo eso se hace y ya está. No hay mucha vuelta que darle. Y con una distancia vienen ciertas curvas que son especiales, que son las curvas que minimizan la distancia. Una curva. Vamos a decir que es una hegeodésica, o sea, ahí es un intervalo acá, y intervalo también acá como antes, ¿no? Hegeodésica. Hegeodésica, así que es una isometría local, ¿sí? Esa es la definición. Ahora una curva. Define en un intervalo apiespacio, ¿sí? Voy a decir que es hegeodésica, así localmente la distancia entre los puntos de la imagen es la distancia de los puntos del dominio. Localmente es una isometría, ¿sí? En particular localmente minimiza la distancia, ¿sí? Porque está. Es una curva que minimiza, que hace este ínfimo, ¿sí? Localmente, ¿no? Esa es la definición. Acá lo que pasa en HMAS es que estas curvas son globalmente minimizantes entonces, son isometrías globales, en general no vale, pero en HMAS, ahora vamos a ver cuáles son. En HMAS, las hegeodésicas son isometrías globales, es decir, definidas en R, definidas de dominio R, HMAS, son isometrías postas, las hegeodésicas existen estas. Y no lo voy a hacer porque no quiero perder tiempo, pero se sabe exactamente cuáles son, en HMAS cuáles son las hegedésicas, se sabe una inscripción exacta de las hegedésicas. Que son, ¿cuáles son? ¿Quiénes son? Son las curvas, son las rectas verticales, las semirrectas verticales y los semicírculos ortogonales al borde. ¿Pura 8? Que esto es R. Le agrego el infinito para que que, porque sí, pero eso no le explica mucho, pero todas, son estas nomás, ¿no? Es una recta vertical, así, que arranca en el borde de HMAS, obvio, y son los semicírculos así, ¿sí? Esto se puede hacer, no es muy difícil de hacer, pero te dedique a hacer un pequeño desvío, no lo voy a hacer. Una última solución respecto de esto es el grupo de automorfismos de HMAS, este actúa transitivo en el espacio de hegedésicas, quiere decir que dadas dos hegedésicas hay en el automorfismo de HMAS que lleva una otra, o sea, dadas dos hegedésicas, es completa, ¿no? Existe GmH que manda una en otra. Son cuestiones básicas que, si vamos a hacerlas bien, lo pasamos la hora, todo esto, más o menos, igual, ¿cómo vas a hacer una idea nomás? Estos es, mebios, mirar la acción de mebios acá y mirar cómo actúo, cómo manda tres puntos en tres puntos, etcétera, etcétera, digamos, ¿no? No es muy complicado, porque sabes que no son las hegedésicas. Entonces, bueno, todo esto pasa, pasa a una superficie hiperbólica, ¿no? Porque es una superficie hiperbólica. Entonces, ¿qué es lo que pasa, no? Tenemos acá el HMAS, tenemos acá nuestra superficie, tenemos acá nuestras cartas, U y B, tenemos acá nuestro U y nuestro B. Entonces, sabemos que el cambio de cartas es una función que hace esto, que va de acá acá y que es un automófismo de HMAS. Entonces, cuando yo estoy acá, estoy en una superficie y quiero agarrar, por ejemplo, y definir la métrica, un ángulo para dos vectores dados en el espacio de la gente de un punto, ¿sí? Entonces, lo defino como que, como lo mando por una carta local y miro cuánto me hayan deshelado, los miro ahí con esta métrica de acá. Y eso también definió justamente porque ese cambio de carta es una sometería global. Entonces, esa es la definición, digamos, ¿no? Ahora, lo que no, claro, lo que usando la métrica de la mañana puedes de vuelta construir una métrica, pero ahora acá, ¿sí? Que es de vuelta, de la longitud, mirar la longitud de curvas y agarrar el ínfimo de todas las longitud de curvas, ¿sí? Eso no va a ser lo mismo. La distancia no la puedo pasar así nomás, puedo pasar las cuestiones locales nomás, ¿no? Entonces, induce la métrica de la mañana, en ese, ¿no? Que viene de la estructura hiperbólica esa. Y esto induce una distancia de vuelta de la misma manera, ¿no? Agarramos dos puntos, agarramos una curva que lo sune, veimos una longitud con la métrica de la mañana esta y miramos, minimizamos esa longitud, ¿sí? Entonces, acá voy a meter un tremendo teorema. No sé exactamente cómo atribuirlo, porque hay una mezcla de un montón de cosas. Pero lo que pasa es que lo quiero escribir así porque nos va a servir para construir ejemplos del estilo corte y pegue, ¿sí? Entonces, agarramos ese en una superficie cualquiera y ponerle que le pusimos una métrica, ¿sí? Le pusimos una métrica de superficie que sea compatible con la topología de la superficie, ¿sí? O sea que una bola para la métrica sea un abierto de la superficie, obvio, ¿sí? Entonces, esto, ¿qué es lo que quiero decir? Ahí va. Esta distancia, o sea, de, proviene de una estructura hiperbólica, sí solo sí, es localmente isométrica a H más. O sea, esto es tremendo teorema, ¿no? Obviamente. Esto va a servir justamente para cuestiones de recorte y pegue, ¿no? O sea, ahora yo no preciso, para ver si, para encontrarme una estructura hiperbólica en la superficie, yo no preciso, tipo, hacer cambios de cartas, no sé qué, verificar que los cambios de cartas, ¿sí? ¿Cómo? Claro, lo preciso hacer más eso. Ahora, simplemente, puedo mirar lo que pasa a cada un punto, mirar una distancia ahí. Y si es localmente parecida a H2, ya está, eso viene de una estructura hiperbólica en la superficie, ¿sí? Esto es una cosa que permita hacer cosa del estilo, que son cosas como que son fáciles pero difíciles de acostumbrarse, ¿no? Yo agarro, agarro un papel, agarro un plano, y corto, agarro, agarro una recta en el plano, ¿sí? Y corto por ahí, lo separo, ¿sí? Ahora, como lo estrozo un poquito, en realidad, y lo pego así de vuelta, ¿no? Por ejemplo, ¿no? En realidad, eso, a pesar de que parece como que tuviera una estructura que no es diferenciable ahí, o sea, eso es isométrico al plano de vuelta, ¿no? Porque si yo me muevo solo arriba el papel, ¿no? Lo que, digamos, pedir un punto al otro, solo, digamos, es igual, en realidad. O sea, agarro, o agarro una recta, corto el plano así, giro así, lo pego de vuelta, esto también es el plano, ¿no? Y está, y eso, este tipo de teorías me ha decidido que yo puedo hacer eso también para cuestiones sin probólica. Puedo agarrar una gésica, corto a recta, corto por esa gésica, y le pego otra cosa que tenga el mismo abord de gésicos, ¿sí? Esa es la cuestión. Esto no va a simplificar bastante la cuestión de construir ejemplos sin, la simplifica un poco eso. Entonces acá quiero decir, igual que seguramente en todo este proceso de hacer este teoría que sea cierto, hay un terema fundamental en algún lugar de toda esa prueba, que es lo que se llama el terema de la uniformización de Poncaret-Cueve, que es por allá por 1.907, esto es 1.900, ¿no? Que es, este, toda la superficie de Riemann, simplemente con exa, es violomorfa. Ya sea a la fera de Riemann, al plano complejo o a Chemas, ¿sí? En algún momento tiene que pintar el cierto terema para demostrar eso, pero vamos a dejarlo por ahí, mañana vamos a volver sobre el cierto terema, supongo. Ahora sí quiero hacer ejemplos. Entonces justamente lo que yo decía antes, hay varias formas de hacer ejemplos, una forma, ejemplos, básicamente de forma de hacer ejemplos, una es buscando sus grupos discretos, el grupo de automorfismos, y la otra es justamente recorte y pegue, ¿no? Que eso lo vamos a explicar después ahora. Primero vamos a hacer ejemplos con esto y después vamos a hacer ejemplos con esto. Entonces, primer ejemplo fácil, eso lo pasó, es una idea, ¿no más? Lo que está pasando es, vamos a agarrar el grupo, yo que se agarramos, un número mayor que uno, por ejemplo, y agarramos el grupo Z, va, anda la N, Z, N, Z, es un grupo cíclico, vamos a llamarla esto Gama, y vamos a mirar cómo actúa, ¿qué pasa con esto en HMAS? ¿Qué pasa con esta acción? ¿Cómo venimos? ¿Una pregunta? Estoy haciendo muy rápido. ¿Está bien? Muchachos. Esto preserva la hegedésica vertical, es una botella, no más, ¿no? Cualquier número multiplica por un porlanto. Entonces, esto no son hegedésicas, no lo demostramos, pero lo dijimos, estas sí son las hegedésicas que está acá. Entonces, un dominio fundamental de esto es agarrar, por ejemplo, agarro acá un número y lo multiplico, todo esto que está acá no se identifica entre sí, entre compillas. Entonces, lo que podemos hacer es agarrar la hegedésica que sea ortogonal a ésta, por ejemplo, que pasa por este punto que elegimos, y la imagen de esto va a ser una hegedésica ortogonal, digamos, ortogonal esta misma, y eso tiene que ser ortogonal al borde, así que va a ser un círculo así. Un dominio fundamental. ¿Qué quiere decir? Agarrar cualquier elemento de H más, lo empiezo a multiplicar por landa y en algún momento va a quedar por acá dentro. Lo empiezo a aplicar al elemento del grupo y en algún momento va a quedar por acá. Y si justo no lo estaban en estos bordes, es el único que está ahí. Y éste se identifica con aquel. Así que topológicamente el consciente es pegar éste con aquel y todo lo da dentro. Eso es topológicamente un cilindro y voy a dejar así por la siguiente razón. Esto que está acá, va a ser esta hegedésica que está acá. Esto va a ser una hegedésica cerrada, ¿no? Ahora esto va a ser una hegedésica cerrada. ¿Qué quiere ser una hegedésica cerrada? Lo escribo acá. Es una curva, es así, en ese, y se metería al local. Esto es que sea hegedésica y le voy a pedir... Esto es que sea hegedésica y que sea periódica le voy a decir que esta función sea periódica. Eso es lo que quiere decir una hegedésica cerrada. Es una hegedésica que va minimiza, minimiza, después vuelve hasta el punto donde estaba y después sigue en la misma dirección. La función es que sea periódica. Entonces esto que hasta acá es una hegedésica periódica. Porque agarro acá, sigo y después cuando volví al mismo punto que estaba, sigo de vuelta para el mismo lugar. Y esto hay que demostrarlo también, pero este segmento que está acá es ese segmento que minimiza distancia en H más entre cualquier par de puntos de estas dos hegedésicas. Eso hay que demostrarlo, pero es parecido... Es parecido esa idea. Si vos tenés dos rectas paralelas, la distancia mínima se desrealiza en una recta que es ortogonada a las dos. Acá lo mismo pasa, pero eso no es una desortada de las dos y eso es más difícil de hacer. Esta es la curva más corta de cualquier otra curva que vaya de acá a acá. Eso hay que demostrarlo, pero no es muy complicado y sobre todo lo importante es que es cierto. No importa que se cierre, cualquier otra curva que vaya de acá a acá va a ser más larga que ésta que está acá. Entonces cualquier curva que le dé una vuelta al agujero que está acá va a ser más larga que ésta que está acá. Cualquier curva que agarra que lleve una vuelta acá va a ser más larga que ésta. Incluso las que son todas derechitas de así ésta va a ser la curva más corta de todas las curvas que le dé una vuelta acá a acá. Por eso se dibuja así, como que está mira apretado ahí. Después se tiene que abrir. Un último, una última cosa que para este ejemplo porque lo vamos a usar después es ¿Qué pasa cuando yo agarro otra geodesica? Un círculo no voy a agarrar, pero voy a agarrar otra geodesica particular que es otra geodesica vertical. Quiero entender la imagen de esta geodesica ahora en esta superficie. Quiero entender qué me da. Entonces bueno, la aplico que se anda a la menos uno por ejemplo y cae por acá, ¿no? Entonces acá, de acá acá como que este punto no es equivalente a éste, ojo al gole. Pero como que dé una vuelta, solo que vuelve corrida. Y ahora la aplico de vuelta a la anda. O sea, esto que está acá cuando la aplico anda a la menos uno va a venir para acá ahora, ¿no? Esto sería el anda a la menos uno de... Vamos a llamarla de sigma, esto si quieren. Esto es la anda a la menos uno de sigma. Ahora le voy a usar la anda a la menos dos de sigma. O sea, esto que está acá viene para acá ahora, ¿no? Y esto que estaba acá viene para acá, ¿sí? Así que esto que está acá también como que también le da una vuelta a generador al coso. ¿Sí? ¿Se entienden? Y bueno, y sigo y va a seguir dando vueltas, dando vueltas. Definitamente, se enrolla nunca la corta. Esta es la que dice que nunca va a cortar a esta abajo, ¿no? ¿Sí? ¿Se entienden? Bien. Bien. Otro ejemplo fácil que es otro grupo cíclico también es, ahora es gama basele grupo z va a z más en. Es una traslación ahora. Esto es diferente. Ahora pasa que ahora los puntos se mueven así ahora, ¿no? Su imagen, su imagen, su imagen. Esto es un dominio fundamental, ahora va a ser agarrar una GDSI casi vertical y mirar su trasladador de uno, ¿sí? Esto que está acá ahora va a ser de vuelta un dominio fundamental. O sea, topologicamente vuelve a hacer un cilindro, ¿no? El tema es que hay una diferencia sustancial ahora que es, las cosas que están arriba están muy cerquitas entre sí, ¿no? En lo que decíamos, como están abajo están muy lejos, como están muy arriba están muy cerquitas entre sí. Esto que está acá si yo empiezo a mirar a las hijas es más chico, parece que fuera para ir, pero en la emética pergónica es cada vez más chica. Entonces, esto se parece una cosa que es así. ¿Sí? Y estos dos se pegan. Esto no queda para ir, entonces se pegan. Esto es lo que se llama un cusp. La cusp pide. Observación, este que, si yo miro de acá para acá, todo lo que queda no es. Lo cuento, ¿no más? No lo vamos a hacer. Y lo que lo cuestión acá es que no hay ninguna jevesica cerrada que le de una vuelta a este anillo. Que den una vuelta al cilindro. Esto es aquí importante la definición de jevesica cerrada, ¿no? Porque siguen motón de jevesica que hacen esto. Pero ahora cuando siguen siguen para allá. Hay muchas jevesicas que hacen esto así. Pero es que cerradas que sean periódicas eso no hay. Eso está. No lo vamos a hacer porque si no no llegamos más. Si fuera tiene que ser un círculo de eso, ¿no? Y esos no son. Eso es argumento. Si, si. Otro ejemplo ya más interesante. El toro pinchado. El toro pinchado que es por definición es lo que llamamos ayer S11 que es la superficie de género 1 menos un punto. Menos. Si, esto es esto. Topologicamente es esto, ¿no más? Y un punto que no está ahí. Entonces como todos sabemos este, bueno, está el toro es un cuadrado, ¿no? Topologicamente es este pegado con este este pegado con este, ¿sí? Y el punto de ese que no está ahí es como que yo me olvidé de este vértice que está acá, ¿no? Que de hecho lo puedo pensar como que fue un poquito más abierto, capaz. Esto no está. Esto no está. Esto no está. Y esto que está acá tampoco está. Esto me daría una cosa cuando yo empiezo me daría una cosa del estilo este así con él, abierto así, ¿sí? No es que le falte un punto, le falta un lequito pero, topologicamente es lo mismo, ¿sí? Entonces ¿por qué esto? Porque ahora sí es más fácil de ver déjenme pasar a otro modelo del plan hipogélico que es lo que se llama el disco este son los números complejos de módulo 1, menor que 1, perdón estos dos cosas son biolomorfos se puede escribir específicamente un biomofismo entre los dos y la cuestión es que acá es más fácil de visualizar las ciertas cosas más fáciles de visualizar acá. Hay cosas de mejores de ver acá y cosas de mejores de ver acá lo importante es que en este modelo las geodésicas son los ciclos ortogonales al borde, ¿sí? Entonces ¿qué pasa? Vamos a agarrar esto vamos a tratar de copiar este dibujo agarramos cuatro rectas cuatro geodésicas así ¿sí? hay uno que mande este en este por alguna mebius sabemos qué hay porque en H2 dado dos geodésicas hay una matriz que manda alguno en la otra y otra que haga así así que esto G y estos H vamos a mirar el gama que va a ser el grupo generado por G y H Entonces una cuestión acá es esto que está acá dentro este cuadrado que le falta este cuadrado que está acá es un dominio fundamental para la lección y tengo que pegar este con este y este con este o sea esto es una cosa así vamos a bajarlo a revés ahora dibujamos curvas para que se vea bien qué cosas esto sigue ¿no? que es cuando se mueve para acá me estoy yendo para acá entonces vamos a mirarlo bien despacito para que se entienda bien qué es lo que está pasando acá tenemos por ejemplo estas curvas que están acá una curva que vaya acá por ejemplo una curva que vaya acá acá cuando yo camino por acá mejor vamos a hacerlo así camino por acá voy a salir por acá voy a salir por acá cuando yo hago recorrido estas curvas rojas básicamente dándole una vuelta al agujero de este que está acá abajo qué es lo que hacíamos acá cuando van mirar esto que están acá lo que están faltando básicamente son los que hacen las cosas así así que esto es estas curvas si yo ahora les dije bien va a ser una curva que va a ser una cosa así esta curva que está acá es una curva que viene desde el infinito, viene desde lejos intersecta esta curva roja que es la que está en el hueco del anillo después como que se mete por ahí adentro intersecta por ejemplo esta cuando yo agarro la gesica una curva que minimice entre estos dos una curva que haga esto por ejemplo una curva que haga esto va a ser una curva que le dé una vuelta a uno de los generadores del toro va a ser por ejemplo esta entonces esta curva azul va a ser que una curva que viene desde el infinito corta la curva roja a la curva que hace ese generador y este generador que está acá a esta no la corta y después corta la curva roja de vuelta y se va para el infinito de vuelta una cosa medio así viene de acá y cuesta la verde esta otra que diferente estas dos son iguales y algo parecido viene del infinito pero ahora corta el otro generador y estas dos no se cortan la azul y la verde no se cortan y el otro generador es así así que esto va a ser una curva que haga algo así ¿se entienden más o menos? dibujo esto es lo que se llama el toro un toro con bordes geodésicos se llama es un nombre lo que quiere decir es justamente en esta clase que está acá la clase que se va al infinito acá si hay una curva que es más corta que todas las demás en su clase entonces general se usa eso y te olvidas de lo demás te quedas con esa geodésica y te olvidas de todo lo demás y bueno con esta construcción lo que vamos a hacer ahora es construir una una meta en el toro pinchado pero que tenga que el pinchos que la parte que se llama infinito se parezca más bien a esto en vez de esto que se parezca a esto entonces lo que vamos a hacer es empezar a pegar estas geodésicas así vamos a hacer que esto sea acá de más chiquito más chiquito empecemos a pegar estas geodésicas con estas geodésicas toro pinchado con cusp hago lo mismo, voy a ver cosas así pero esta vez lo voy a agarrar como que sean tangentes entre sí y acá hago lo mismo entonces ahora sí esto que está acá ahora es chiquitito así que esto se va a parecer a justamente una cosa así si teníamos o menos esto vagamente entonces ahora me gustaría contar un teorima sobre el toro pinchado un teorima que está herramienta espectacular es lo siguiente es un teorima del 91, se llama la identidad de McShane esto es un teorima de 1991 o sea es un teorima nuevo no tiene mucho tiempo entonces ¿qué voy a hacer? voy a agarrar este voy a agarrar una metica de prebólica acá conseguimos un toro pinchado con cusp si esto me refiere a una metica de prebólica en el toro donde el ojero sea un cusp y voy a agarrar una geótica cerrada simple agarramos una geótica cerrada simple o sea periódica gama cerrada simple entonces una pequeña observación todavía no nació nada está lleno de geótica cerrada simple o sea de hecho esto es una proposición general en cada clase llevo motopía libre hay que decir que no le da una vuelta al borde lo que se llama pa infinito hay una única geótica cerrada ¿qué quiere decir esto? agarrar una curva cerrada en mi superficie y lo que dice el teorima es la puedo empezar a deformar hasta que hacía geótica geótica cerrada y de hecho sólo puedo hacerlo de una manera hay sólo una geótica cerrada que está en esa clase para cualquier clase de motopía en particular por ejemplo para ésta esa no va a ser porque yo no sé en la métrica no tengo idea cuál es pero la puedo deformar hasta tener una geótica cerrada en esa clase y lo mismo en ésta pero también en ésta ahora volvemos allá nos pasamos a aplicar tuísta a estas clases de motopía y empiezan a rozarse de cada vez más por ejemplo ésta ésta otra clase de motopía es diferente y ésta es simple y hay una geótica en ésta clase esto que está acá es de hecho infinita cosas que son así entonces para cada una de ellas vea mirad la longitud mire cuánto mide el tiempo que emboran volverás a rozarse exactamente y voy a considerar este número uno sobre uno más a la longitud eso lo hago para cada clase de motopía cerrada simple es una cuenta por ahora no dije nada y sumo todo eso en todas las clases de motopía cerrada simples la entidad de Max Shane dice que esto siempre da un medio esto para mí es un viaje son numerables son clases de motopía libre clases de conjugación de grupos fundamentales son mucho menos porque no son todas clases de motopía libre son las que no tienen alturas excepciones pero como que la geometría fuerza que no puede entre cualquier uno que estuvo así nomás hay una relación global de hecho no depende de la métrica para empezar y da un medio es una relación mágica ahí que pinta cuando salió esto y por el 91 por lo que he escuchado decirle que la gente da un piro si tampoco como no vi un bodesto antes o capaz que toda un montón de identidades así misteriosas que son las cuentas mágicas y te da cosas así la rompió esto está tremendo este y lo que me gustaría hacer es demostrar esto relacionado con lo de Mirzacani ahora después lo vamos a explicar un ratito pero Mirzacani este generaliza esto a superficies con arbitraras pinchadoras y con bordes geodésicos y eso está la idea es relativamente similar creo que lo que la gente sorprendió muchísimo con Mirzacani fue que ella usó este tipo de fórmulas para calcular el volumen del espacio de móvil y eso lo que vamos a hacer mañana y pasaron como 13 años entre un mes o resultado y otro eso es lo que me gustaría hacer mañana ver como se usa esto para calcular un volumen el espacio de módulos creo que estoy aún no definido que era espacio de móvil anyway vamos a tratar de mostrar esto vamos a tomar un rato haciendo esto entonces el primer importante que va a pintar es Gauss Bonnet esto es lo que hice Gauss Bonnet dice que en HMAS en el panel probólico conseguimos un triángulo de geodésico miramos los ángulos alfa, beta y gama y entonces lo que hice Gauss Bonnet es que el área del triángulo es la diferencia entre pi y la suma de los ángulos Gauss Bonnet área del triángulo geodésico que tiene ángulos alfa, beta y gama es pi menos la suma de los ángulos esto es una cosa muy contrastante con lo que se conoce en R2 en el plano los ángulos da pi acá nunca da pi a cada pi porque esto tiene un número positivo de hecho se puede mostrar pero si no nos quedamos en esto no es muy difícil una simple observación pero esto se puede usar usando justamente la definición de característica de Euler que es triangulando una superficie y contando un número de vértices número de aristas y número de caras esta cuenta que está acá se puede usar para demostrar lo siguiente que si es una superficie hiperbólica compacta entonces su área para la superficie hiperbólica esa va a ser 2pi por la característica de Euler de la superficie y acá le abro el saluto si perdón que quiero decir vamos a hacer las cosas bien 2g-2 así concluís que en la fera no hay porque te queda negativo al área el entorno no hay porque te queda cero al área esto se hace a la mano esto es el primer ingrediente y el segundo ingrediente es la geometría en el par de pantalones estoy de tiempo que me queda que me tiene el par de pantalones un par de pantalones es por definición lo que llamamos S03 que es la fera menos 3 puntos entonces vamos a ponerle una metica hiperbólica al par de pantalones y le vamos a hacerla con lo que se llama el borde geodésico quiere decir conseguiramos el par de pantalones el borde geodésico ahora construimos una ahora vamos a construir una así vamos a construirla parecido este vamos a hacerlos ahí mejor esto vamos a hacerlo para después como construimos esto vamos a hacerlo como hicimos con el entorno teníamos 4 geodésicas así identificábamos este con este y este con este ahora vamos a revés, vamos a identificar este con este y este con este y vamos a mirar el grupo y vamos a mirar el grupo afirmo que va a quedar esto y ahora les explico bien cómo son las curvas hay que mirar para entenderlo entonces este bueno que pasa acá acá va a pintar alguna geodésica que venga de acá que es en variante por G que esta es la que me va a dar esto que está acá en azul esto es esto que va a hacer esta curva por ejemplo que va a dar acá y la azul es esta vamos a hacerlo con rojo esto si huele a esto que va a hacer esta que está acá por ejemplo después va a pasar algo parecido con H va a pintar una geodésica ahí que va a ser la curva más corta en esa clase que va a pasar de que es periférica va a tener una curva más corta justamente porque es parecida a la tropeta va a ser esta que está acá por ejemplo por ejemplo la curva es H esta curva azul vamos a hacer lo que es importante que es esto que está acá y esto que está acá se van a pegar las dos para formar una sola del otro lado estos son dos diferentes esto es un dominio fundamental como antes todo lo que está acá dentro va a ser un dominio fundamental como antes esta azul con esta verde se van a pegar para formar esta que va a ser verde de un lado y azul del otro se entiende más o menos el dibujo hay una propiedad fundamental de los pantalones que es la siguiente que es la métrica la estructura de perbólica en el pantalón no se lo vamos a usar esto pero importa para que quede paciente la estructura de perbólica en el par de pantalones en ese serotrés con bordes geodésicos siempre con bordes geodésicos acá no tiene borde no se ropa allá pero decimos bordes geodésicos porque en las curvas que son una vuelta a la cosa que se va a infinito hay una curva más corta ahí lo digo así, lo remarco para que no se entreviere con bordes geodésicos queda únicamente determinada por la longitud de los bordes me refiero a la longitud de la geodésica en esta clase la longitud de la geodésica en esta clase y todas las tripetas son posibles estos son anunciados no es muy difícil de hacer pero tal importante que hay que recordar es eso vamos a meter a tres números yo tengo un pantalón con bordes geodésicos que tiene uno de esos números como los que tuve para esta clase otro para esta y ese pantalón es único eso es parte del enteorema también eso es un pantalón que verifica esa propiedad ahora ya entramos más precisamente en lo que sería más en la prueba vamos a estudiar más con más precisión la geometría de ese pantalón esto tiene una cierta longitud para no sabríamos esto pero hasta que pasamos a mirar el pantalón más cerca tenemos estas geodésicas y acá tenemos dos geodésicas y hay una curva que va a minimizar la distancia entre estas dos justo le dibujamos roja puede ser la roja, puede ser de otra no importa pero hay una curva que va a minimizar la distancia entre estas dos que va a ser esta por ejemplo y va a ser la otra de las dos es por definición también va a pasar algo parecido pero con este tenemos solamente una curva que va a venir para acá de todas las curvas que hacen esto que salen de acá, van para acá y le den una vuelta por acá abajo hay sólo una que es la más corta y esa que va a ser ortogonal también estas son cuestiones tipo instituciones geométricas, si tienen que se ortogonar porque si no la muevo un poquito para costado y más corta y hay una porque justamente trato de tensarla entonces lo que quiero tratar de hacer ahora es agarrar un punto acá cualquiera y voy a tirar las geodésicas que se ortogonar acá agarro el atiro me fijo, me pano en el borde voy a ortogonal el borde, miro esa dirección y voy por esa geodésica y me pregunto que va a pasar con esa geodésica que es el mi pregunto entonces una cuestión acá no es del todo elemental pero esto es el ortogonal podría ser así porque qué pasa acá acá pinta un triángulo esta está llenito así que es un triángulo hiperbólico geodésico los ángulos rectos la suma de los ángulos da más que pi eso no puede pasar lo mismo pasa de este lado si yo salgo para acá ortogonal esto qué está acá no puede pasar estamos de acuerdo con eso para mi es más razón esta que está acá va a salir ortogonal acá si está muy cerquita la va a acompañar mucho rato para no sé dónde lo que sí puede pasar es que eventualmente la corte a este si yo muevo mucho más para allá si yo muevo mucho así puede pasar que corte ahí está pero nunca la va a cortar por acá justamente porque va a pintar un triángulo un triángulo geodésico la puede cortar por atrás porque ahí sí no cierra ninguna superficie adentro puede hacer esto esto sí lo puede hacer y después sale por ahí esto sí puede empezar a pintar en algún momento tenemos acá esta que está bien que teníamos acá tenemos esta otra que estaba acá sí entonces bueno sabemos qué eso puede pasar en algún momento esta va a venir para acá este va a venir para acá puede cortar ahí está y la pregunta es qué hace después será que puede creo que yo quiero hacer vamos a hacer un punto más vamos a hacer bien el dibujo esta la acompaña así que si yo muevo relativamente poco esto siempre va a cortar a la curva que está acá abajo relativamente poco entonces está pero en algún momento va a cortar después va a venir para acá cortará esta y después yo que se lo seguirá para abajo capaz que puede venir a hacer esto entonces lo que yo estoy tratando de decir lo que quiero observar es que esto no va a poder pasar o sea cuando yo me muevo así sí, poquito la curva corta esta que está acá abajo no puede volver a cortar a sí misma y el argumento es que acá sí, aparece una cosa aquí en triángulo no me importa pero acá aparece una cosa así esto que está acá que vuelve así eso es un bígo esto no puede pasar tampoco porque un bígo no es como un triángulo con un lado p entonces lo que pasa es que yo me empiezo a mover para acá esta sigue acá, corta esta sigue, se enrolla empieza a mover, sigue cortando, se enrolla más pero no se puede volver a cortar a sí misma entonces me voy moviendo así hasta que la pigo se enrolla más, hasta que va a tender a la que se enrolla infinitamente la que dibujamos al principio esto no va a pasar esto va a empezar así viene para acá y después seguirá y esto va a tender a la cual, tiende va a tender este a la que haga esto que se enrolla sobre esto se entiende? o sea, todas las curvas que salen de acá entre este tipo y este que está acá no se autocortan después tenemos acá la que hacía esto si yo me muevo un poco más ahora las curvas se autocortaron a empezar a hacer así bueno, rebotamos un lado, para hacer una cosa así que se corte, hasta que converge con un lado al otro, y lo mismo pasa para otro lado déjenme hacer este dibujo ya está, casi que estábamos entre comillas básicamente en el pantalón pasa lo siguiente vamos a hacer bien hay varios puntos especiales hay un punto acá, que se enrolla sobre esta como se ha corto bonal se enrolla acá hay otro punto de este lado hay otro punto que es igual pero del otro lado, hasta por acá atrás que no se corta con la otra se empiezan a enrollar las dos pero no se cortan entre sí y después tenemos lo mismo simétrico de este lado esto parte al borde del pantalón lo parte básicamente en dos pedazos bueno, en muchos, pero que normalmente son dos los que salen de acá con ortogonal dan unas vueltas y se van, no se autocortan esta que está acá, no se autocortan y se van lo que están acá pasa lo mismo dar unas vueltas, no se autocortan y se van para allá y lo que están acá en el medio o salen por otro lado o tienen una autentre sección lo que dibujamos acá tal eso me termina eso, eso es entravado es ahí que vamos a dar un nombre esto, la geometría solo depende de los pantalones, solo depende de la longitud de los bordes X, Y, Z así que, todo este dibujo solo queda unicamente determinado por la longitud de este y la longitud de este así que vamos a llamarle a la longitud de este tipo, más las de este vamos a dar un nombre, un nombre geométrico es un nombre es un número que se llama D, D, X, Y, Z es un número es la longitud de este intervalo más la longitud de este intervalo eso queda únicamente determinado por estos tres números, porque la geometría el pantalón queda terminada por esos tres números entonces ahora, estamos a Epsilon de probar una cosita un poquito más fuerte que la identidad de Max Chen de Mirzacán y Max Chen que es, en vez de agarrar un toro pinchado con un cusc, agarramos un borde geodesico y vamos a hacer lo mismo vamos a sumar en gama geodesica cerrada simple y ahora voy a pedirle que no sea ésta no periférica y voy a hacer una suma que voy a hacer, voy a sumar el número D que es un número fijo y en otros variables voy a poner la longitud de la geodesica que quiero sumar y esto el teoría es que esto da L se entiende más o menos enunciado por lo menos de vuelta agarramos una penteca de perbólica en el toro pinchado con borde geodesica ahora para cada geodesica simple voy a mirar un número el número que va a hacer va a ser esta función, esto es una función de tres variables no dije cuánto vale para cada geodesica cerrada simple voy a mirar esa función la primera variable va a ser siempre la misma que la longitud de esta curva y las otras dos variables van a ser la longitud de la curva que quiero sumar y enunciado dice que eso da siempre lo mismo que es la longitud de la curva inicial la longitud de la curva de borde eso es enunciado ya terminamos la mostracion ya hacemos todo el aguro prácticamente ya es la mostracion y terminamos ¿qué vamos a hacer? vamos a agarrar esta geodesica borde y le vamos a escribir ¿qué vamos a hacer? vamos a hacer eso que hacíamos antes agarramos acá agarramos una geodesica ortogonal por ahí agarramos un punto P y agarramos la geodesica sigma sub P la geodesica ortogonal borde que sale para dentro ¿qué puede pasar? no consideramos P en el borde S en la geodesica S vamos a llamarle sigma alfa agarramos sigma P a que apunta para dentro ortogonal alfa por P apunta para dentro ¿y me fijo a ver qué pasa? ¿pueden pasar dos cosas una tres cosas que esencialmente o no se autocorta nunca yo qué sé, sigue ahí y no se vuelve a autocortar nunca, quedará bollando por ahí se enrollará yo qué sé sin autocortarse ¿sí? y las otras dos posibilidades que son que vuelve sin autocortarse y vuelva a cortar al borde ¿sí? y después se va para allá o se autocorta ¿y cuando se autocorta paro? corta al borde antes de autointersectarse o se autocorta viene por acá ahí hace ahí se cortó y ahí me quedé cuando pasa eso ahí par estos son trecos juntos y juntos así que la longitud de la curva alfa es la medida del eveje para la curva de esto más la medida del eveje de esto más la medida del eveje de esto acá estoy hablando de medida del eveje para mi curva alfa como una cosa periódica mi curva alfa la permití una cosa periódica y miro la medida del eveje y esto me parte a mi juicio que cerró me apartan tres conjuntos y juntos y la longitud total es la unión de la longitud de la medida esto es un torrema acá yo me abirman se puede hacer varias maderas pero esto es lo que ha pasado de tiempo esto tiene medida cero así que tiene medida igual a cero así que el borde de la longitud total es la medida de esto más la medida de esto son las medidas es la medida de los puntos que cuando miro totalmente vuelve a cortar al borde o la medida es que se autocorta en algún momento ahora que pasa cuando pasa esto que está acá viene para adentro va y se autocorta en esas que deis y cae una clase acá tengo una curva cerrada miren las que ves y caen en esa clase y corto por ahí y que aparece aparece un par de pantalones y esto va a pasar un rato cuando yo muevo p acá el mismo par de pantalones va a funcionar y el d era la medida de los puntos que verifican esa condición acá esa fue la definición de d sumo eso para todas las posibilidades estas por eso me queda una suma cada vez que pasa esta condición o esta otra voy a estar en ese corte corto por ahí aparece un pantalón ese conjunto mide este número esa es la definición y la medida de total es la suma de todas las medidas de esas cosas por eso me queda esa suma infinita de eso ahí es ah no porque acá en los pantalones pasa lo mismo la guardata que lo que estamos acá acá tenías los que este se que se enrolla para acá el que estaban para este lado no se auto corta de nada, sale, viene por acá giran un poco y lleguen las que están acá verifican esas dos condiciones o se auto cortan o salen por atrás terminamos, casi que terminamos cuando eres tienda cero dale la entidad de Maxine vamos a dejarla por eso gracias ah bueno bien preguntas esta fórmula, esta función la cesa mano hay una fórmula hay una fórmula que la escribís y es tu dinometría en el emperio paróbolico pregúntenla Maxine, Maxine sabe como hacer esto la fórmula es plícita y la fórmula es, la puedo escribir si no me equivocas así es e a la x sobre 2 más e a la y más z dividido e a la menos x sobre 2 más e a la y más z obvio que es simétrico ni z porque era el objeto de este más el objeto de lo opuesto se ha cambiado esto es una fórmula que es tu dinometría en el emperio paróbolico esto lo hacía esa mano entonces ahora tenés que meter eso acá así que te queda te queda la suma en las gamas que se casarrada simple e a la l más e a la sobre 2 más e a la hay que dividir por 2 acá me parece Maxine hay que dividir por 2 acá si seguro que si seguro que si de si la cuenta da acá metes l de gama más e a la menos l sobre 2 más e a la l de gama y esto da l así que ahora pasas el l dividiendo esto da 1 metes l acá y entonces hacer l ir a cero es como hacíamos antes no conoces el ir a cero esto se empieza a chicar cada vez más esto se empieza a horcar acá y esto como que converge al toro con un cusp y esta gente ya siempre vale que esta ahí que vale para todas esas y cuando vos haces la cuenta haces este límite esto es una función fija haces el límite de esto cuando él entienda a cero y te queda el número que te pone Maxine eso es una cuenta fija y esto no me salió a hacer los límites cuando da cero pero me parece que da claro si si si cuando cambia la l y la fuma siempre vale si si si entiendo de eso bueno no se pero algo así tiene que andar ual pero vamos a hablar mañana ual partes mañana gracias que dices