 اسلام علیکم لیکچر نمبر 14 کالپلس پھر سے ایک بار حاضر اب لیکچر نمبر 14 شروع کرنے کے لیے اس سے پہلے میں بتا سوں کہ میں ایک بار پھر سوابہ سے آج سوپا پانچ بڑے نکلا سوپا سوپا اور یہاں پر بھی میں پوچھا ہوں لہور تو ایک بار پھر بارش بھی تھی راستے میں اور ابھی بھی بارش ہو رہی تھی تو آج کا لیکچر ریکارڈ ہونے سے پہلے کافی ٹیکنکل پروبلنز بھی ہمارے سطاف کے ساتھ چھوکے بارش ہو رہی تھی تو لہذا خیر بارش کے فائدہ بھی ہیں اور یہ نقصانات بھی ہوتے اچھا آپ لوگے بھی سوچ رہوں گے کہ میں آتے ہی بارش کے بارے میں باتے شروع کر دیتا ہوں تو اس میں یہ دیکھیں کہ آپ کو فائدہ کتنے ہے اس میں آپ کو کالکلس جو میں پڑھا ہی رہوں ایک بار پھر سے ایک بار پھر سوپا ہوں لیکن یہ کہ ساتھ ساتھ آپ کو ہیسٹری کا بہت چل رہا ہے تیم لائن ایک طرح کی بن رہی ہے اور ساتھ میں آپ کو میٹریولوجی کا بھی کچھ اکسپیرنس ہو رہا ہے تو تیکہ جیسے ہی ساتھ پر شروع کرتے ہیں لیکچر نمبر 14 کیا آج ہم باتے کریں گے اس میں بیسکلی لیکچر 13 میں ہم نے اور سے پہلے کے لیکچر سے اس میں ہم نے لیمٹس کی بات کی تھی لیمٹس کا جو آئیڈیا ہے وہ اب تک اچھی طرح سے ہمیں سمجھ آجا نا چاہیے آگیا ہوگا یقینن آپ لوگوں نے ایکسسائز بھی کر لیے ہوں گے اچھا جی تو لیکچر 14 میں کیا بات کرنی ہے بات وہی ہے بیسکلی کالکلس کی اب چونکہ چیپٹر 1 ہم نے دیکھا تھا لیکچر 1 سے لیکے کے 5 تک جو چیپٹر 1 سے کورسپورنٹ کرتے ہیں آپ کی بوک کے اس میں ہم نے بیسک آئیڈیا اس کی باتے کی باتے کی بیسک مات ریل نمبرز اگر ایسی طرح اور اس کے بعد سیکشن چیپٹر 2 جو تھا آپ کی تکسپوک کل کورسپورنٹing to the last about 8 لیکچر اس میں ہم نے بات کی تھی limits کی یعنی ایک طرح کی building blocks کی بات کی تھی limits were the building blocks of calculus اور اب جو لیکچر 14 start کریں گے اور ہی کورسپورنٹ کرے گا جو جو following lectures ہوں گے it'll correspond to a چیپٹر 3 of your text book تو اس میں بیسکلی derivative یا جیسے derivative بھی کہتے ہیں ہم لوگ اس کی بات کریں گے I'll use the terminology derivative کیونکہ عام طور پہ ایسے مال ہوتا ہے عام طور پہ پوری دنیا میں derivative بھی کہہ سکتے ہیں یہ تو ہمالی مرزی ہم جس طرح بولیں English کو لیکن concept کلیر ہونا چاہیے کہ what exactly are we talking about تو اس کی ہم بات کریں گے آج کے لیکچر میں تھوڑس introduction کی بات کریں گے کہ ہوتا کی ہے derivative اور اس کے بعد اس کو formally develop کریں گے آگے چلکی next sections میں تو آئیش start کرتے ہیں lecture number 14 اچھا جی تو اس میں کیا کس طرح سے شروع کریں ہم لوگ اگر تھوڑسی previous lectures کی بات کرنے پڑے گی آپ کو یاد ہوگا کہ ہم نے lecture number 9 میں seek and line کو use کرتے ہوئے ہم نے ایک tangent line ڈیفائن کی تھی یعنی ہم نے ایک limit ڈیفائن کیا تھا the idea of a limit basically اور tangent line کا idea develop کیا تھا تو اسی کو ہم تھوڑس a formalize کرتے ہیں یہاں پھر ہم دیکھیں گے آگے چلکے کے لیے جو tangent line اور limit کی بات ہے دونوں کی combination جو ہے اس کو استعمال کرتے ہوئے ہم derivative کو ڈیفائن کر سکتے ہیں تو اس کے تھوڑسی بات چیت کرتے ہیں کہ what exactly is the relationship between a tangent line and the limit first of all تو تھوڑا سا ایک recall ہے یہاں پہ تو یعنی اب ہم نے دیکھا تھا کہ اگر ہم ایک seek and line بناتے ہیں seek and line کیا ہوتی ہے it's just a line through 2 points on the graph of a function چیک جی تو اس میں 2 points کوگر آپ connect کر دیں you get a straight line connecting those 2 points and that line was called a seek and line ٹیکہ جی اب اس میں ہم نے یہ کیا تھا کہ ہم نے کہا تھا کہ جو 2 points تھے یعنی مثال کے طور پر یہ میرے پاس ایک line بنیے this is a seek and line it's connected by these 2 points ایک point یہاں پہ لیکے یہاں پی point this is the other point ڈیو اور بیچ میں ایک طرح کا کرف ہے جو جس پہ یہ points لائے کرتے ہیں تو ہم نے یہ کہا تھا کہ اگر ہم ڈیو کو move کرنا شروع کریں ڈیو کی طرف یعنی بیسیکلی اور اس میں کون سب یہی تھا کہ جو کیو کی کورسپونڈننگ x value ہے یہاں پر نیچے x axis پر اس کو ہم ایک طرح کی outer value ہے right p is the earlier point q is the final point تو جو اس کی کورسپونڈنگ x value ہے اس کو ہم move کریں گے towards the previous x value تو ہم نے کہا تھا کہ کیو کی coordinates کیا لیتے ہیں x1 y1 p کی coordinates کیا لیتے ہیں x0 y0 your x0 y0 y0 sounds like y0 لیکن ہمارا مقصد ہے y subscript 0 تو point یہ تھا کہ we move that coordinate or the point x1 towards x0 اسی طرح سیم نے ڈیفائن کیا تھا limiting process کا ایک idea اور اس میں ہم نے نوٹ کیا تھا کہ q جو تھا وہ بیسیکلی move کرنا شروع کرتا ہے towards p because q lies on the curve on the graph of the function جو ایسے کرکے میں نے بنایا تھا تو it starts moving towards p in that direction اس میں پھر یہ ہوتا ہے کہ جو corresponding line تھی آپ کی started doing something like this اور eventually جب q پلکل پی کے پاس پہنچ کیا corresponding to the idea کہ x1 has reached x0 آپ کے پاس ایک tangent line آگئی تھی تو ایک tangent line بھی آپ نے ڈیفائن کر لی تھی ساتھ ہی میں limiting process کا جو ایک idea ہوتا ہے وہ بھی ڈیفائن کیا تھا so this is basically what we will use now اور اس کے بارے میں تھوڑ سی اور بات کرتے ہیں let's write down a formula یعنی ہم نے یہ جو seek and line کی بات تو کر لی کہ ایک طرح سے ہم نے کیسے convert کیا میں نے آپ کو بھی بناکے بھی دکھائے اس کی ایک جو میں نے تو ہاتھوں سے بنائی تھی اس کی ایک picture بنا لیتے ہیں سکرین پہ دیکھتے ہیں اور ساتھ میں میں اس کا ایک formula بھی لکھوں گا مقصد یہ ہے کہ ہمیں tangent line کی جو line ہم نے بنائی یہ limiting process اس کا slope معلوم کرنا ہے اس لیکچر کا سارہ مقصد یہ ہے کہ وہ جو tangent line ہم نے بنائی using the idea of taking the limit اور seek and line کو convert کیا tangent line میں تو اس میں جو tangent line eventually ہم آئے پاس آتی اس کا slope کیسے معلوم کیا جائے مقصد یہ ہوگا یہ جو seek and line ہمارے پاس اس کو کسی طرح سے استعمال کرتے ہوئے ہم tangent line کا slope بھی معلوم کر لیں اور اس میں مجھے کی بات یہ کہ seek and line کا slope بڑی آسانی سے معلوم ہو سکتا ہے آپ کے پاس دو point ہیں جو graph پہ بھی تھے اور line پہ بھی ہیں لہذا you can find the slope تو آئے تصیر بناتے ہیں اس کی let's see if we can see what I'm talking about let's go to the screen یہاں پہ دیکھئے کہ ایک picture ہے here's a figure یہاں پہ point ہیں پی x not y not اس کے coordinates ہوگے ایک اور point ہے q with coordinates x one y one اور ہم ان کو distinct points لیتے ہیں I mean we're not going to say that p equals q ونہاں تو وہی بات آجاتی یہ جو ہم حاصل کرنا چاہر ہیں tangent line کی بات کرنا چاہر ہیں تو یہ دونا distinct points ہیں اور ایک ان کو ایسے لیتے ہیں کہ these are on a curve یہاں پہ چیر میں گراف بناو ہے this is the graph of some function it could be any function y equals f of x اور یہاں پہ سیک and line بنای ہے اور ایسے بنای گی basically you get a line connecting the two points p and q and notice that we can find the slope of the secant line by the formula I'll write it down m and I'll just label it secant as a subscript m secant یہاں پہ مقصد کرنے کا ہے m of the secant line I'll denote that as m subscript secant equals f of x one minus f of x not divided by x one minus x not تو یہ فرملہ hopefully آپ کو یاد ہوگا familiar لگنا چاہیے اور ابھی پھر سے چلکے دیکھتے ہیں how did we get that formula آپ کو اگر یاد ہے کہ slope کیسے معلوم کیا جاتا ہے لائن کا یہ ہم نے بہت پہلے بات کی تھی chapter one جو ہے آپ کا بکہ اور ہمارے ڈلیسٹ five لیکچر میں ایک لیکچر تھا اس میں بات کی تھی کہ اگر آپ کے پاس ایک لائن ہے اس پر دو point given ہے then the slope is defined as the differences of the y values divided by the differences of the x values of those two different points تو وہی فرملہ میں نے یہاں استعمال کیا ہے میں نے صرف یہ مقصد میرا صرف یہ کہ secant line اور tangent line تو معلوم کرنی ہے لیکن بیچ میں ایک extra piece of information بھی ہے وہ یہ کہ گراف دیا ہے تو یعنی یہاں پر آپ دیکھیں گے کہ it's an interplay of many things یہاں پر میں secant line بھی استعمال کروں گا to get something about some information about the tangent line and I will also use the graph that I have been given basically that's along with the secant line تو اس میں جو فرملہ میں لکھا تھا secant line کے سلوپ کا that was in terms of the graph of the function or actually the functional notation کیونکہ جو point سپی اور کیو لائن پہیں وہ گراف پی بھی ہیں right remember that تو وہی استعمال کرتے فکت کو میں لکھا تھا فرملہ f of x1 that'll be your y1 value یہ y1 جو آپ نے کیو کا point ہے y1 y1 of course has to be equal to f1 f of x1 کیونکہ y1 x1 correspond کرتے ہیں similarly جو minus f of x0 لکھا ہے that's just y0 y subscript 0 corresponding to the value x of 0 x0 اور ان کو ڈیوائٹ کیا ہم نے x1 minus x0 سے so it's basically the difference in the y values divided by the difference in x values that's how you get this formula and I think you'll be convinced that's exactly the formula for the slope of the secant line it is I mean if you study the picture that's exactly what the case is let's look at the picture again here's a picture and note that here a secant line connecting two points there's a graph in there and I'm basically using the trying to find the slope of the secant line using the functional notation or corresponding to the graph the secant line now this is a little preliminary some definitions some ideas now the real purpose is that from the secant line we want to know the slope of the tangent line that is the slope of the secant line how can we use it to find the slope of the tangent line the first thing is that you get the tangent line before the secant line so when they get the slope will automatically get so let's look at this a little bit further on this screen here note the picture that we have that we just saw here it is again here if I let's say that I want to let x1 approach x sub 0 basically now the limit I want to take the limit as x1 approach is x sub 0 then what will happen to q q will approach the point p along the graph of the function y equals f of x یہ وہی چیزے جو تھوڑی دیر پہلے میں آپ سے بات کی تھی کہ q جو ہے وہ موف کرے گا along the graph of the function and the secant line will approach the tangent line at the point p یہاں پی ایک چھوٹی سی انیمیشن اس میں دیکھ لی جی کہ that is exactly what's happening x1 approaches x0 and notice that q approaches p and the secant line in response turns into the secant line will approach that of the tangent line at p as x1 goes to x0 یہاں پہلے کہی اس کا کیا I hope that's clear کیونکہ آپ دیکھیں کہ اگر آپ کی secant line limit میں tangent line بن رہیے تو سلوپ بھی تو چینجور ہے ظاہر ہے your secant line which was this line تو یہ آپ نے اور یہاں پہلے point p تھا بیچ میں میں گا تھا تو اب یہ ایسے موف کر رہیے and turning into a tangent line تو نوٹ کریں کہ ظاہر ہے سلوپ بھی تو چینجورا ساتھ میں secant line turn into the tangent line so obviously the slope of this secant line must turn into the slope of the tangent line تو یہی سارہ مقصد ہے اب دیکھیں کہ how can we write down a formula for this it's pretty straight forward سیمپل سی بات ہے and I think اس کو تھوہاں سا دیکھنے کی سمجھنے گی اس میں notation تھوڑی سی زاتا ہے x0 x1 لیکن I think تو آن دیکھیں کہ how can we do this نوٹ کیجی ہے کہ سیمپل سی بات ہے کہ اگر میں نے slope لکھا تھا یعنی now question یہ کہ what is the slope of the tangent line secant line کو میں نے convert تو کر دیا can I find the slope of the tangent line using the secant line slope of the secant line well I can here is how I will do it let's write down m subscript tan اس کو ہم use کریں گے to represent the idea of the slope of the tangent line equals let's take the limit as x1 approaches x sub 0 of the quantity f of x1 minus f of x0 x0 divided by x1 minus x0 اور یہاں پر یہ چو تھوڑی دے پہلے animation دیکھی تھی ہم نے let me just put it again here میرا ہاں سے یہ چھو تھوڑا سا کافی crucial concept ہے a calculus کا سا I will repeat that picture I will put that animation right here and you can see that this equation which I just wrote down corresponds geometrically to the picture that you are seeing اچھا جی تو یہ آپ نے دیکھا کہ how to convert how to use the secant line to get to get some information about the tangent line تو بات یہ تھی our information کیا تھی information یہ کہ جو slope of the secant line use that to get the slope of the tangent line اب تھوڑا سا اگر آپ غور کریں ظاہرے ٹیکنیکل بات تو ہو گئی we've seen کہ ہم نے basically کیا کیا we just took the limit as the x point approached the earlier x point and we saw that that gave us the limit of the tangent line اصل بات یہ ہے کہ اگر سوچیں آپ تھوڑی دیر کے لیے کہ ہمیں slope معلوم کرنا ہے سارہ point یہ ہے کہ to find the slope of the tangent line تو جو tangent line ہے اس کو اگر آپ سوچیں it's a line that touches a given graph of some function at one point تو یعنی وہ بیسیکلی ہے کہ اگر یہ تھوڑا سا curved ڈائب کا ہے آپ کا graph تو اس میں میں a tangent line بناوں گا تو وہ اس point پر اگر p ہے تو ایسے ٹچ کرے گی at only one point ٹیکی جی اس کا slope کیسے معلوم کریں گا آپ کے پاس صرف ایک point given ہے on the line یعنی سے مجھے پتا ہے equation کیا graph کی جیسے میں ظاہرے جو ابھی ہم نے دیکھا کہ slope of the secant line was defined in terms of the functional جو اس کی equation تھی اس کی notation function کی اس کی equation کو استعمال کرتے ہم نے defined کیا تھا اور اسی طرح سے اور اس میں مجھے کی بات یہ تھی کہ دو points تھے on the graph that also happened to be on the line tangent line میں صرف ایک point ہے تو آپ کیسے معلوم کریں گے that's the problem کیوں کہ جب slope معلوم کرنا ہوتا کسی straight line کا you have to have two points on the line basically اور یہی سب سے this is basically the essence of calculus یہاں پر میں کہا دوں کہ this is it this is calculus I wouldn't be wrong یہی چیزے تھیں جو نیوٹن وغرہ جتے انہوں نے اور libnits جو the two big people of calculus historically speaking they were interested in finding about slopes ابھی ہم تھوڑیر میں دیکھیں گے کہ slope ان کا interpretation کیا ہو سکتی ہے اور مطلب وہ کیا وجوہات تھیں جن کی وجہ سے ان دونوں نے study کیا slope of tangent lines کو اور وہ اتنے point کیوں تھے اور آپ کو سوچی ہے کہ بات کتی خوبصورت ہے کنی ضبہ دست ہے کہ limits کا idea استعمال کرتے ہیں you can basically tackle this problem یعنی otherwise if limits ہم بھول جان تھوڑی در کے لیے go ahead don't recommend that don't forget it but first I can suppose that you do forget it limits don't exist in mathematics how would you solve this problem of course then you'll have to invent the idea of limits again and that's why this is so important and this is the essence of calculus really I can say that straight forwardly تو یہ ساری باتی اور اب وہی بات ہے کہ اچھا اور اس کے اس کو مدینظر اکتے ہوئے I think you can appreciate the whole idea of limits کے کتناہ ضروری ہے اچھا اب میں ہاں سے تکنیکلی تو ہم دیکھ چکیں کہ how to find the slope of the tangent line to a point on a given graph جس میں صرف ایک point استعمال ہوتا ہے مطلب ہیتا صرف ایک point دیا ولیکن ہم نے وہی مقصتہ کیسے معلوم کیا دوسرہ point نہیں ہے لہذا we used the secant line and took the limit of its slope as x approached x not and we saw that that gave us the slope of the tangent line beautiful idea so let's now get into the background کیا and interpretation of this whole idea کہ tangent line کیا ضرورت ہے why are they needed so let's go to the screen and look at some stuff میں کچھ لکتا ہوں چیزیں and let's look at them یہاں پر دیکھئے کہ let me introduce a new idea یہاں پر میں لکتا ہوں average and instantaneous velocity تو آپ سوچیں کہ ایک دم سے ہم slopes کی بات کرے تھے tangent lines کی and instead we have something totally new something that looks like it's from physics well it is and ابھی میں تھوڑی دیر میں آپ کو بتا ہوں گا connection care let me just write down a few things about average and instantaneous velocity and I'll define what they mean individually let's just write down this thing we just saw how to find the slope of a tangent line ٹیک جی good this was a geometric problem of course it was because we used geometry of course we used some algebra also but it was really in essence a geometrical problem ٹیارس کی background یہاں کہ in the 17th century mathematicians they could have been called physicists in my opinion everybody is a mathematician who does science تو تھوڑی سی بایس ہے but these mathematicians wanted to define the idea of instantaneous velocity we'll also look at it in a second what that means exactly and of course we'll also define what average means average velocity means تو ٹیک ہے good let's write down one more thing اب یہ جو انسانٹینی سولوسٹی کی بات کی this is really a theoretical idea ٹیاری ہے the idea of instantaneous velocity تو یہ اس کو تھوڑا سا فرمالائس کریں گے تھوڑی دیر میں ہم یعنی فرمالائس سے مطلب یہ کہ جونکہ تنجنت لائنز اور ان کے سلوپس کی بات ہو رہے تو we'll relate the idea of instantaneous velocity to that idea اور اس کے بعد obviously we'll have to talk a little bit about about average velocity also تو یہ ہم تھوڑی در میں دیکنے the next thing I wanted to write down was that well this idea that we the idea of instantaneous velocity was a theoretical idea یعنی اس میں problem یہ تھی کہ there was no real sort of you know reality to it یعنی اس میں theoretical ہی idea obviously اس میں آپ تھیوریٹکلی بات کرتے ہیں کہ at a given instant in time it's a theoretical moment یعنی اس کو towards a فرمالائز لبتہ کیا جا سکتے لیکن اس میں یہ تھیوریٹکل idea کو فرمالائز کیسے کریں گے تو یہی سارہ مقصد تھا یہ جو ہمارے 17th century کے mathematicians تھے and they realized that this could be done by using the idea of tangents any geometric idea of tangents تو یہاں پہ ایک انٹرپلے پھر سے ظاہر ہوتا ہے of between geometry and algebra basically تھیوریٹکل ideas and pictures basically اگر اس طرح سے کہا جائے تو کافی تیک ہوگا میرے خیال سے تو یہ چیزیں تو میں نے لگ دی سکرین پہ تھوڑا سا اس میں historical background مل گیا آپ کو تھوڑا سا why the study of tangents ابھی ہم نے گو کہ اتنا کلیرلی ڈفائنی کیا ہے کہ کیوں پڑتے ہیں tangents لیکن idea یہ کہ somehow they are related to or the slopes of the tangents that they are related to this idea of instantaneous and average velocity basically that is the reason اور اسی کو تو سب سے پہلے تو یہ کرتے ہیں کہ اب سب سے جو problem ہو رہی ہوگی وہ یہ ہوگی کہ ابھی ہم نے tangents slope of tangents لائن کی بات کی اور آپ میں بگم سے average velocity or instantaneous velocity میں آگئے ہیں تو how do we what is going on well let me write some stuff down and it will become clear preview یہ ہے کہ جو instantaneous velocity ہے اس کو میں associate کرنا چاہتا ہوں with the slope of a certain tangent line اور جو average velocity ہے اس کو میں associate کرنا چاہتا ہوں with the slope of a certain whatever that may be a secant line ٹیک جی اور اس کو آئے دیکھتے ہیں کہ define کیسے کرتے ہیں ہم how do we make this association but first I want to write down something about the average velocity what is average velocity تو let me write down the formula formula ہے average velocity ہے the definition is average velocity equals distance traveled divided by time elapsed تو یہ اس میں formula میں basically دیکھلی جی ہے کہ it's a well produced elementary idea it tells us that the average velocity is the velocity at which one travels on average during some interval of time یا نہیں کہ جیسے میں اسلام آس سے لہا راتا ہوں تو it's about 350 kilometers or so تو اس میں یہ ہے کہ ظاہر ہے جب میں گاری چلاتا ہوں تو obviously I go through different type of terrain یا بیش میں salt range کے پہار بھی آتے ہیں so I have to go up I have to go down if I'm coming from سلام آس سے لہا راتا ہوں تو میرے گاری کی speed تیز ہو جانی چاہیے لیکن curves آتے ہیں تو we have to reduce the speed جیسے میں میں دانی لاکے میں انٹر کرتا ہوں I can just go at 120 miles per hour which is the speed limit اسے تیز جائیں گے تو پھر problem ہوجاتی ہے I wouldn't do that گاری پہ بھی زور پڑتا ہے لیکن یہ کہ I can do that اس کے بعد یہ کہ ہوسکتا ہے آگے جاکے بارش پھر ہو جائے I'll reduce my speed to 100 kilometers per hour تو یہ different time in intervals میں different speeds ہیں لیکن جب finally میں پوچھوں گا لہا راتا ہوں I will note my time ایسا ٹائم آیا جہاں پر میں 120 سپیٹ پہ جا رہا تھا ایک ایسا آیا جہاں میں 80 kilometers پہ جا رہا تھا so I just average out and that is done by that formula we just saw یعنی you take your distance covered the total distance you have traveled and divided by the time it took and that gives you your average velocity تو یہ آپ کا وہ ہو کیا definition ہو گیا average velocity کی اور اس میں now یہ ہے کہ ہم کیسے اس کو associate کریں seek and line سے so let's move on before we associate the average velocity with the seek and line slope let's talk about instantaneous velocity what is instantaneous velocity roughly speaking اگر سوچیں تو یہ وہی بات ہے کہ it's the velocity that you are measuring somehow you are measuring it at any given instant of time یعنی کوئی ایک لمہ جیسے کہلیں اور دو میں ہم کہیں گے لمہ اس پر میں آپ سے کہوں کہ میری جیسے میں سلام آبا سیارہ تھا لہاں کی طرف تو ایک اگر میں stopwatch اپنے ہاتھ میں رکھی بھیو اور اس کو میں start کرنو جیسے ہی میں toll جو ان کا بلازہ اس سے میں بہار نکلتا ہوں I start my time watch یہ جو stopwatch ہے اور کچھ وقفہ چلنے کے بعد میں اس کو stop کرنو جیسے ہی میں اس کو stop کرنو اور that would be roughly speaking کہہ سکتے ہیں that's an instant of time تو question یہ ہوگا کہ جیسی میں نے اپنی time stopwatch stop کی what was the velocity of my car at that instant that would be instantaneous velocity تو یہ آپ کی instantaneous velocity ہوگا اور اس کو ہم asociate کریں گے with the slope of the tangent line a certain tangent line so let's move on and further develop this idea ایک instantaneous velocity کی before we move on instantaneous velocity کی تھوڑی سی آپ کو اور بہتر سمجھ کے لیے یہ ایک example دیکھلتے ہیں imagine کریں کہ آپ خودانہ خواص تا کسی گاری کی accident میں involved ہیں یا نہیں مثال کے طور پر میں گاری لے کے جا رہا ہوں یا میں ہوں آپ کیوں میں ہوں میں گاری چلا رہا ہوں and all of a sudden I hit a tree ایک درخت میرے سامنے میرے گاری صورب ہوئی and I hit the trunk of a tree تو سوال یہ کہ اب اس میں ہی ہوتا ہے کہ عام طور پر جب damage assess کیا جاتا ہے گاری کو تو اس میں یہ نہیں دیکھا جاتا ہے کہ جب درخ سے میں ٹکرایا تو اس سے پہلے a given interval of time میں میری average velocity کیا تھی that will not count یہ کرے گا and intuitively it's clear کہ جب میں نے ہٹ کیا تری کو اس انسنٹ پر میری velocity کیا تھی that's how I will assess how much damage is caused to the car and of course to me also insurance purpose کے لیے میرے خال سے کئی بار یہ چیز کام آ سکتی ہے تو یہی اس میں یہاں پر ظاہر ہوتا ہے کہ the concept of the daily velocity اس کی importance کیا ہے it's very important کہ ہم یہ دیکھنا ہے کہ اس impact جو انسنٹ تھا وہاں پی کیا velocity دی تو آئے اس کو اب further develop کرتے ہیں اس idea کو اچھا تو سکین پر میں کچھ چیزے لکتا ہوں یہاں پر اس کے بارے میں تھوڑی سی بات کریں گے idea صرف یہ ہے کہ اب چونکہ میں کو further develop کرنا چاہ رہا ہوں اس idea کو اس association کو between seek and line and average velocity seek and line slope and the average velocity and the slope of the tangent line and instantaneous velocity تو اس سے پہلے کہ یہ کیا جائے we'll have to formalize the idea of velocity and distance basically تو اس کو functional notation میں لکتے I'll write some stuff on the screen let's look at that to define the concept of instant velocity I'm sorry instantaneous velocity we will first have to define or look at distance as a function of time یعنی function کو time کو distance کو time کی حوالے سے دیکھنا پڑے گا and basically the idea is that you want to have a function d distance equals a function of time f of t it's a physical phenomenon تو اس کو جو ہم مجر کرتے ہیں عام اسلام میں بھی ہم کئی بار کہتے ہیں کہ time کی حوالے سے مجر کریں گے ابھی جو اگزمپل میں نے آپ کو دی کہ یہ ایک distance ڈیول کیا ہے تو ہم یہ دیکھتے ہیں جیسے میں اسلام آباستے اگر لہور آتا ہوں سارے 300 km ڈازن میں عام طور پر یہ مجر کرتا ہوں اب میں جو کتنا ٹائم لگا ہے اس کو گوبر کرنے میں اس distance کو وہ ایدی ہے کہ distance is related to time اور عام طور پر بھی in this particular case also جو ہم دیکھیں گے and also in general terms یعنی ہم جب آپ بات کرتے ہیں تو اس کو آپ یہ ہے کہ تھوڑی سی یہ تو ہم نے ایک function define کیا distance کو as a function of time اور اب average velocity کو یہ بارے میں بات کرتے ہیں and let's give it a geometric meaning we will give a geometric meaning to the concept of average velocity تو یہ اس کے بارے میں ابھی بات کرتے ہیں لیکن یہ recapture کلنے تھوڑا سا کہ جو سکین پر میں لکھا تھا کہ now we have done what we have defined distance as a function of time تو یاد ہے جب ہم نے اب یہ تھوڑا ساہی develop ہو رہا ہے idea یعنی وہی تھا کہ average velocity کو relate کرنا ہے with the slope of a certain secant line تو اس میں جب ہم secant line کی بات بھی کر رہے تھے تو اس میں ایک function involved تھا یاد ہے آپ کو ایسے کر کے جو میں تصیر میں بھی ہم نے بنایا تھا تو یہ جو distance کا function ہے this will be our it will be that function it will play the role of that function اور اب ہم average velocity کی بات کرتے ہیں let's go to the screen average velocity is defined as the distance traveled over a given time period یہ تھوڑے دے پہلے بھی ہم نے اس کی equation لکھی تھی so if your curve for distance equals f of t looks like this یہاں پر ایک picture بناتے ہیں this is what I am supposing my distance function جو ہے اس کا جو گراف ہے وہ ایسا ہے curve big angle گراف بھی کہہ سکتے ہیں then the average velocity over the time interval t0 t1 I mean I am making up in time interval کیونکہ ذہر an average velocity always depends it's defined in terms of a time interval is defined as اور یہاں پر my definition پھر سکتا ہوں for reference of average velocity average velocity remember was defined as distance traveled during some interval اب یہاں پہ چونکہ interval کی بات ہو رہیے تو لکھ لیتے ہیں اس کو distance traveled during the interval divided by the time elapsed یعنی جو انٹرول کے outer پہلا value ہے اور اس کی جو بہر کی value ان کا distance ان کا جو فرق ہوگا that'll be the time elapsed obviously اور اس کو mathematically لکھیں گے ظاہر a distance traveled جو ہوگا d we are calling distance d so we will call it پہلے والے کو کہیں گے d1 او Checkو that پہلے کو کہیں گے d0 او first والے کو کہیں گے and d1 او the distance traveled during some interval will be d1-d0 divided by time elapsed which is t1-t0 and that is ofcourse the definition of average velocity تو یہ جو average velocity اس کو function notation میں definecontrolled گے as f of t1 which will be the same value as d1 as of t0 or f of t not which will be the value same value as d not divided by t 1 minus t not. تو یہ آپ کے پاس کھا ہوں اب آپ دیکھ رہے ہیں کہ آہستہ آہستہ we are developing this concept of average velocity and eventually it will lead us to the idea of instantaneous velocity or association بھی دیوالاپ ہو جئے گی. ابھی تک ہمار پس کھا ہے ابھی تک ہم نے average velocity کو as a slope کی جو ایک کوذیر میں لکھتی ہے. زہر ہے بھی حاملہ جو دیکھا ہوں سے زہر ہوگا کہ یہ جو f of t1 minus f of t0 divided by t1 minus t0 ہے یہ ایسا سلوپ of a certain line second line. یہاں پہیں جو پکچر بنائیت بناتیں کہ اس کو دیکھ لے تھیں کہ what exactly is that second line. دیجو ہی بھی بھی کہ the picture we get کیا ہے بسکل یہ جو ہمارا پہلے ہمارے پاس دسنس کا گراف تھا. اس کے دو پوینٹس ہیں ڈ1 ڈ0 اور اس کو ہم نے کنکٹ کر لی ہے ڈ0 اور ڈ1 اور یہاں پہ ان دونوں پوینٹس کو ہم کنکٹ کرتے ہیں تو ایک سیکنڈ لائن بنتی ہے انہ سینس ابھی رفلی سپیکنگ یہ رپریزنٹ کر رہی ہے عبرج ویلوسٹی کو لیکن not fully ہم یہ کہنا چاہتے ہیں کہ عبرج ویلوسٹی is the slope of the سیکنڈ لائن لائن جویننگ the point's ڈ0 ڈ0 and ڈ1 ڈ1 لیکن ہم اس کو ہم کنکٹ کر رہے ہیں عبرج ویلوسٹی ایک سیکیجو ڈ1 لائن نے دیکھا تھا f of ڈ1 minus f of ڈ0 divided by ڈ1 minus ڈ0 ویلوسٹی سپیکنگ جویننگ the point's ڈ0 ڈ0 and ڈ1 ڈ1 یہاں پہلے نوٹ کیجئے کہ جب ڈ1 ڈ1 gets very close to ڈ0 we're basically taking the limit so we're taking the limit as ڈ1 goes to ڈ0 and again the idea is that the ڈ1 ڈ1 which is the ڈ1 turns into a ڈ1 and obviously the slope of that ڈ1 which is representing ڈ1 is going to turn into the slope of the ڈ1 ڈ1 which is going to represent the ڈ1 of ڈ1 so roughly speaking ڈ1 ڈ1 یہ تو خرم نے ڈیفائن کر لیا ویسے بھی اگر ڈ1 ڈ1 دیکھیں کہ آپ اگر ڈ1 ڈ1 ڈ1 ہے آپ کے پاس اورس میں آپ ڈ1 ڈ1 کر رہے ہیں you want to measure the ڈ1 ڈ1 کے ایک لم ہے جو آپ جیسے اس ڈ1 بات تھی کہ اسو ڈ1 کیسے ڈ1 کریں گے so basically ڈ1 ڈ1 جو جمیٹرکلی ہم نے ڈ1 کیا یہ کرتے ہیں کہ آپ عاستہ عاستہ ڈ1 کی قریب آنا شروع کرتے ہیں کہ آپ نے ایک انٹرول پہ آپ ڈیفائن کر لیتے ہیں اپنا جو آپ کی ویلوسٹی ہے ڈ1 ویلوسٹی and you try to get that ڈ1 ویلوسٹی very close to a certain ڈ1 roughly speaking ڈ1 ایک طرح کا intuitive level پہ بات کر رہے ہیں لیکن I think جو پکچے بنای تھی اور جو ہم نے بھی بات کی that is very clear so let's go to the screen and write down the formula first of all of instantaneous velocity the formula is now formally we can define v subscript inst I'm sorry instantaneous اسکے میں ڈیٹرکلی کھائے just as a short form this is going to be defined as the limit as ڈ1 goes to ڈ0 of the average velocity which is basically the limit as ڈ1 goes to ڈ0 of f of ڈ1 minus f of ڈ0 divided by ڈ1 minus ڈ0 now I have formally defined what instantaneous velocity is it is basically the ڈیٹرکلی کھائے ڈیٹرکلی کھائے with the limit basically of a secant line or idea ڈیٹرکلی کھائے just slope result ڈیٹرکلی کھائے you are basically using the slope of a certain secant line to get the slope of a certain tangent line and you are taking that slope of the tangent line defining it as instantaneous velocity so this is a historically ڈیٹرکلی کھائے this is how people are motivated i.e. velocity or application of mathematics ڈیٹرکلی کھائے where you want to measure velocities you can do it very nicely with the idea of limits and how big the calculus is in this look here on the screen I am going to write down basically two things first is geometric interpretation of average velocity we can say in this for an object moving in the positive direction along a coordinate line the average velocity of the object between ڈیٹرکلی کھائے and ڈیٹرکلی کھائے is represented geometrically by the slope of the secant line connecting the points ڈیٹرکلی کھائے and ڈیٹرکلی کھائے and ڈیٹرکلی کھائے on the position versus time curve ڈیٹرکلی کھائے the geometric interpretation of instantaneous velocity for an object moving in the positive direction along a coordinate line the instantaneous velocity of the object at time ڈیٹرکلی کھائے is represented geometrically by the slope of the tangent line at the point ڈیٹرکلی کھائے ڈیٹرکلی کھائے on the position versus time curve ڈیٹرکلی کھائے اچھا جی ہم نے ڈیٹرکلی کھائے آپ ڈیٹرکلی کھائے لیکن وہ اس ڈیٹرکلی کھائے ایک تھوڑا سا ڈیٹرکلی کھائے یہ جو ہم نے ڈیٹرکلی کھائے اس میں ایک였ی اس میں ڈیٹرکلی کا party ڈیٹرکلیstä mentions اس میں اس میں گrigid اacaksın کھائے اس میں ایک통 ہم کو its idea ڈیٹرکلیСТر یعنی مرسلن یہاں پہاں تھوڑا ساگر آپ سوچیں تو جو جہاں ہم نے لیمٹ لیا تو اس میں ایک ریٹ اف چینج انوالت تھا یعنی جب time جو تھا وہ t1 سے t0 کی طرف گیا تو ایک طرح سے time چینج ہو رہا تھا there was some change taking place in the independent variable which is regarding your function distance تو اس میں بیسکل جو limit جو جسا ہم نے لیا اس میں جو یہ ہے idea is a rate of change کا اس کو ہم جنلائس کر سکتے ہیں and we can generalize the idea of instantaneous velocity اس کو بھی جنلائس کر سکتے ہیں اسی concept کو استعمال کرتے ہیں now we say let's forget about time and distance let's take a function y equals f of x x is the independent variable and y is the dependent variable and let's define the rate of change of y with respect to x یعنی کہ اب ہم ہم یہ کہنا چاہتے ہیں کہ we want to somehow measure the response of the dependent variable to something that happens to the independent variable یہ بیسکل it comes from the idea of taking the limit یعنی جو ہم نے average velocity کا limit لیا or instantaneous velocity ڈیفائن کی تھی وہی چیز یہاں پر ہو رہی ہے so let me write this idea down لیکن actually before I do that آپ شہدی جاننے میں انترسیت ہوں کہ why do we need it well for obvious reasons یہاں پہ جب فنکشن ہم نے دیکھا distance versus time کا تو یہاں پہ جب ہم نے limit لیا تو rate of change involved یعنی we were interested in what's happening to velocity which is a dependent variable with respect to change in time تو اس کو ہم جنلائس کر سکتے ہیں for example if I am a physicist یا ایک انجنیر ہوں گر میں تو I would be interested in finding out how does the length of a metal rod changes with respect to increase in the temperature for example تو یہاں پر temperature جو گا independent variable ہوگا length of the rod جوگی وہ dependent ہوگی تو یہاں پہ بھی وہ a limit کا concept ہے so let me formally write it down on the screen for you اچھاں یہ screen پیجا آپ کے سامنے ایک definition ہے if y equals f of x then the average rate of change of y with respect to x over the interval x0 x1 is the slope of the secant line joining the points x0 f of x0 and x1 f of x1 on the graph of the function f basically what I am saying is m subscript secant is equal to f of x1 minus f of x sub 0 divided by x1 minus x0 اور یہاں پر اس کی ایک پکچے بنالتے ہیں یہ جنلائز idea ہے جو ابھی تک ہم دیکھ چکے ہیں اس کو جنلائز کر دی ہے here is the figure اور اس کو آپ دیکھ لیں کہ this is basically what I am trying to say in the definition اچھاں اسا تھی ایک اور definition ہے آپ کے سامنے this is basically in terms of the instantaneous velocity relating to that if y equals f of x then the instantaneous rate of change of y with respect to x at the point x0 یہاں پر انٹرول نہیں ہے چونکہ انسنتانیس ویلویسٹی جو تھی وہ تنجن لائن کے سلوپ سے کورسپورن کرتی تھی او تنجن لائن ایک پوینٹ پر اگر تھی only therefore جہاں ہم جنلائز version دیکھتے ہیں rate of change کا then you have to look at only one point x0 and it is the slope at that point of the tangent line to the graph of f at the point x0 and I will write it down as m tangent equals limit as x1 goes to x0 x sub 0 of f of x1 minus f of x0 divided by x1 minus x0 and here is a figure corresponding to that and basically that is the idea general idea of the instantaneous rate of change یہاں ہم نے دیکھا generalization of the concept of basically the concept the instantaneous velocity کا as the slope of the tangent line and the average velocity as the slope of the secant line اس کو جنلائز کر سکتے ہیں in terms of rates of change and that is what we have done let's go to the screen example ہے جی ایک function دیے ہے y equals f of x equals x square plus 1 اس میں تین چیزیں معلوم کرنی ہے first of all find the average rate of change of y with respect to x over the interval 3 5 second thing is to find the instantaneous rate of change of y with respect to x at the point x0 equals minus 4 چونکہ انسانٹینیس ریٹ کی بات تو یہ تو ایک point دیا ہوگا آپ کو اور تیسی چیز ہے find the instantaneous rate of change of y with respect to x at a general point x equals x0 تو یہ ایک سمپل ہے اور اس کو شروع کرتے ہیں solve کرنا let's solve this part a میں جناب آپ کو چونکہ average rate معلوم کرنا تو آپ دیفنیشن جو ہے آپ کے سامنے ابھی آئی تھی تھوڑے دیر پہلے of average rate of change we use that and remember that's defined as the slope of the secant line basically or in some secant line تو یہاں پہ ہم values ڈالتے ہیں x0 جو ہے وہ 3 ہو جائے گا x1 جو ہے 5 ہو جائے گا formula میں آپ ڈال دیجی formula ہے f of x1 minus f of x0 divided by x1 minus x0 equals f of 5 minus f of 3 divided by 5 minus 3 equals 26 minus 10 divided by 5 minus 3 equals 8 so basically what this is saying is that y increases 8 units for each unit increase in x over the interval 3,5 part b کر لیتے ہیں part b ہے جی یہاں پہاں انسنتانیس rate of change معلوم کرنا تو اس کی definition سمال کرتے ہیں اس کو ہم کہیں گے function ہمہا پس وہ یہ x2 plus 1 point x0 جہاں وہ minus 4 ہے so m10 will be limit as x1 goes to x0 of f of x1 minus f of x0 divided by x1 minus x0 which will equal limit as x1 goes to minus 4 of x1 squared plus 1 چکے x کی جگہ x1 ڈالا ہے میں نے تو یہ اس طرح سے بن جائے گا minus 17 یعنی x0 کی value پتا ہے minus 4 اس کو اگر function میں ڈالیں تو 17 value آتی ہے divided by x1 plus 4 اس کو سمال کر لیجے you will get limit as x1 goes to minus 4 of x1 squared minus 16 divided by x1 plus 4 that's equal to the limit as x1 goes to minus 4 of x1 minus 4 which equals negative 8 so this negative that basically means that the negative instantaneous rate of change means the rate of changes negative basically the ideas of a decrease involved in here let's part c کرلیتے ہیں یہ جنارک ہے اس میں کوئی point نہیں دیا با آپ کو here we have m10 equals limit as x1 goes to x0 of f of x1 same definition I won't read it is written down یہاں پہنکہ x equals x0 ہے تو limit جو ہم لے رہے ہیں وہ x1 goes to x0 ہے یہاں پہنکشن تو جو x1 کی والیوں میں دڑل دی جی so you will get x1 squared plus 1 minus x0 squared plus 1 divided by x1 minus x0 سیمپلی فائر کرلی جیے you will get limit as x1 goes to x0 of x1 squared minus x0 squared divided by x1 minus x0 اور پھرزلی голی بریگ اسمطلی کیشن کریں گے تو limit آ جاتا ہے as x1 goes to x0 of x1 plus x0 and that's basically just the same as remember یہ x1 plus x0 جہاں جہاں سے پہلی ڈیزامپل کی تھی اس میں x1 آپ کے پاس آئے تھا x1 minus 4 these are polynomial functions تو ان کی لیمٹ ہم ایسے معلوم کرتے ہیں کہ we just substitute the value in there تو یہ رزالت آتا ہے 2x0 تو یہاں پہ دیکھ لیے کہ part b کا جہاں رزالت تھا بل کہ وہ آپ اسی general concept کو استعمال کر سکتے تھے اس میں x0 کی جگہ یہاں پہ آپ اگر minus 4 ڈالنے تو وہی رزالت آتا ہے جو پہلے ڈیزامپل میں آیا تھا اچھا جی تو یہ ڈیزامپل ہو گئی long abided ڈیزامپل جو میں نے promise کی تھی now we have done it تو اس لیکچر میں اب ہم اس کو یہاں ختم کرتے ہیں لیکچر کو we have seen the idea of rates of change or tangent lines and secant lines کے بارے میں بات کی and the relationship between them اور ایک طرح کامنے ایک basic idea جو میں نے کہا تھا derivatives کی بات کی تھی وہ ہم اگل لیکچر میں دیکھیں گے لیکن یہ اس کا development یہاں سے شروع ہوتی rates of change are the things that define derivatives تو یہاں پہ یہ ہم نے دیکھا کہ کیسے define ہوتے rates of change how do we work with them اور اب اگلہ لیکچر میں will talk about derivatives تو تب تک کیلے پھر جالت I'll see you next time Thank you Allah Hafiz