 Dans ce cas, je vous présente des résultats récents et de plus en plus de résultats sur l'entropie de CR Smooth Dynamical Systems. Je vais surtout focussé sur le cas de l'intervalle. Mais en général, je vais considérer l'espace, ou la map continue de CR Smooth Riemannion Manifold M, et avec l'usule de CR topologie. Donc, l'ER sera plus grande que 1, peut-être en finite, mais pas nécessairement un étageur. Donc, je vais récolter la notation classique. Donc, pour F, dans cet espace, je vais dénoncer l'entropie topologique par le top de F. Maintenant, si j'ai une mesure Plus Si en variante F, je vais dénoncer le homogène de la compréhension au top de la compréhension de la compréhension. Et au final, je vais dénoncer par la force de la base, en variante F, pour maximiser la compréhension de la compréhension théotique, c'est hµf, c'est equal à le supramum de la mesure de la fonction de l'entrapeute théorique. Et je vais aussi considérer l'espace m-max-erg, où ici, je considère les mesures ergodiques. Donc ici, c'est bien connu par le principal variational classique que ce supramum est equal à l'entrapeute théorique de f. Donc, la propriété que je considère dans ce talk est la suivante. Donc, première, la fin et la non-emptiness du supramum m-max-erg. Donc peut-être le premier remarque est que quand vous avez une mesure maximale, je veux dire une mesure maximale de l'entrapeute théorique, presque toutes les compétences ergodiques sont aussi de l'entrapeute théorique maximale. Donc, la deuxième propriété que je vais investir est l'entrapeute sémi-continité de l'entrapeute théorique de l'entrapeute théorique comme fonction de les systèmes dynamiques. Donc, l'entrapeute sémi-continité signifie que le soupe de l'entrapeute théorique de g, quand g va à f, est moins que l'entrapeute théorique de f. Mais je vais aussi être intéressé dans l'entrapeute sémi-continité de l'entrapeute théorique de l'entrapeute théorique pour des systèmes dynamiques fixés. Et la troisième propriété que je vais considérer est la suivante. Donc, je vais être intéressé dans l'équidistribution de points périodiques dans les mesures maximales. Donc, je vais expliquer plus précisément ce que je veux dire ici. Donc, pour prouver ces propriétés, généralement, vous avez deux manières. Donc, d'ailleurs, vos systèmes dynamiques satisfaient les propriétés locales de l'entrapeute dynamique. Par exemple, c'est très connu que l'entrapeute dynamique pour l'entrapeute dynamique, la majorité de l'entrapeute théorique est semi-continueuse, et cela admite la majorité de l'entrapeute maximale comme une fonction semi-continueuse de l'entrapeute théorique dans l'espace compact de l'entrapeute théorique toujours atteint l'entrapeute suprême. Mais, comme vous le verrez, on peut définir une notion un peu weaker d'expansivité, qui encore entoure l'entrapeute semi-continueuse de l'entrapeute. Ok, donc, cette première approche est très bonne, mais dans notre contexte, elle sera satisfaite seulement pour les maps C-infinity. Donc, pour les maps CR avec notre finite, on a besoin de quelque chose d'autre. Donc, et la deuxième méthode est de construire une bonne marque de représentation de vos systèmes, et ensuite appliquer la théorie Durvitsch, qui donne des critères pour la distance et la finacité de mesures maximales pour la marque Schist associée à un graphe orienté. Donc, mais ici, en général, c'est très difficile de construire une bonne marque de représentation de vos systèmes. Ok, mais pour les maps CR et les maps, on a une sorte de représentation. Donc, dans la première partie de mon talk, je vais récolter des applications de l'histoire de yumdine dans cet contexte. Donc, et je vais revisiter un peu l'exposition. Donc, let's me introduire des notations ici. Donc, je considère un système CR dynamique ici, en un manifold compact dans une dimension née. Donc, let's me introduire cette quantité, R of T, qui est l'exponential growth de la dévétation. Ok, et let's me aussi définir l'infinite dynamique de balles à un point x dans M, et avec scale epsilon, ce qui est juste le set de points où l'orbit est epsilon close à l'orbit de x. Donc, être forward-expansif signifie que l'orbit existe, epsilon, juste pour tout x, cette dynamique de balles est réduite à un point x. Ici, nous allons définir une notion plus lourde de l'expansivité. Donc, pour cela, je vais définir une nouvelle quantité, ce qui est appelée Taylor robuste entropy, peut-être robuste entropy, c'est un peu mieux. Donc, je vais regarder à l'abord l'entropie topologique. Ok, ici, je vais définir T pour le système dynamique. Donc, je considère l'entropie topologique de la balle de balles pour un système dynamique S. Donc, comme ça. Puis, je prends le supramom par x dans M, et par S dans des nombres de nombres de nombres de f pour la topologie CR. Et puis, je prends finalement l'infinimum par toutes les scales, le silence, et par tous les nombres de f. Donc, je n'ai pas une quantité comme ça. Ok, et donc, la main application est... Oui, c'est l'entropie topologique, mais pour la dynamique S. Oui, S est le système dynamique dans le système CRW Uff. Oh, T, sorry. Ah, oui, peut-être, c'est mieux. C'est T, oui. Sorry. Oui. Ok, donc, la main application de Yandine Sterry est le suivant statement, qui dit que si T est le système dynamique CR, alors que l'entropie robuste est moins que la dimension de M par exemple, la growth, l'entropie exponentielle de Divided, divisé par R. Donc, ça a été prouvé essentiellement par Busy, mais Yandine 1er prouve l'institut, pas pour cette entropie locale, mais pour l'entropie locale. Et puis Busy, en utilisant la même stratégie de Yandine, prouve cette inéquality. Ok, donc maintenant, je vais juste dire, le général Lemma, et voir comment, ensemble avec ce CRM, vous obtenez une proximité de l'entropie. Donc, le Lemma est le suivant. Je dis juste que le Limb Soup, quand le G est de la nouvelle F, donc la nouvelle est la mesure de G invariant, et la nouvelle est la mesure de F invariant, la nouvelle est de la nouvelle dans la topologie de Wichterre, et la nouvelle est de la F dans la topologie de CR. Donc, je dis juste que il y a un défaut de la proximité de l'entropie, comme fonction de la mesure et de la map. C'est moins que l'entropie robuste de l'entropie. Limb Soup, désolé. Merci. Oui, c'est... Oui, c'est le nom de la supermonde. Merci. Donc, ensemble avec ce CRM, vous obtenez la suivante, donc la nouvelle corollerie. Donc, la première, qui est due à Newhouse, qui prouve, ne follow cette ligne, mais ça prouve que, pour la map de l'infinité de C, la mesure de l'entropie de Théonique est très contente. Donc, je vais... Et que ce soit de l'entropie de l'entropie de l'infinité de l'entropie, je mettrais les mesures maximales. Et, précédemment, il y a prouvé que l'entropie de la topologie est très contente. Donc, il y a un autre conséquence de cette léma, qui est né de ma connaissance. La suivante. Ok. Donc, en cas de la case, je considère la map de l'intervalle de C, ou la surface de l'infinité de C, de l'informorphisme. Nous avons que la entropie de l'entropie de la topologie est contente. Donc, la subvention de la subvention de l'opéra est parmi le Théonique de Yom, mais la subvention de la subvention de la subvention était aussi établie pour la intervalle de C0 par Misovic, et pour la surface de l'infinité de la surface de l'infinité de Katoch. Comme dans ce cas, l'entropie est caractérisée par Orchuz, qui persiste sous la perturbation. Dans ce cas, ces deux cas où la entropie de la topologie est contente. Donc, c'était le nom. Puis, la set de mesures maximales dans la façon semi-continue de l'opéra. Donc, c'est un set compact comme la mesure de l'entropie de l'opéra de l'infinité de la map est semi-continue de l'opéra. Et donc, j'ai juste dit que c'est un set semi-continue de l'opéra quand, ici, tu considères l'entropie de la topologie pour un set compact. Donc, dans des termes simples, il dit que si tu considères la mesure maximale de l'entropie de l'opéra et que l'entropie de la topologie de l'opéra de l'infinité de l'opéra de l'opéra de l'opéra de l'opéra de l'entropie de l'opéra de l'opéra de l'opéra. Donc, c'est un peu... Ok. Donc, maintenant, je vais seulement considérer l'intervalle. Je vais investiguer le problème de l'existence et de la fin et la fin de la mesure maximale. J'ai juste dit que pour l'intervalle de l'infinité de l'intervalle tu as la mesure maximale mais il ne dit rien sur les maps de l'intervalle de l'intervalle de l'opéra de l'infinité de l'opéra et, en tout cas, il dit quelque chose de la fin et la fin. Donc, le terrain est le suivant. Donc, il y a beaucoup de gens. Donc, tu considères les maps de l'intervalle de l'opéra donc, ici, je vous rappelle que l'opéra de l'intervalle de l'opéra est plus grande que l'entropie de la topologie de l'entropie. Donc, il y a finalement beaucoup de mesures maximales et des noms non-zeroes. Il existe. Donc, ce statement a été prouvé par Buzi pour l'intervalle de l'infinité de l'intervalle de l'opéra. Et puis, pour les maps de l'intervalle de l'intervalle de l'opéra de l'intervalle de l'opéra de l'intervalle de l'opéra que vous vivez au niveau souterraire mais avec un facteur 2 donc, ça que ce facteur 2 de Seeing Press est très réglé sur ces statement mais Maintenant, nous avons quelque chose fort de observations avec qui je pourrais dire on sait des exemples sur des maps de l'intervalle de l'intervalle de l'intervalle de l'intervalle avec l'entropie topologique écosée aux termes qui athen oublié qu'elle ne 얞ant certaines mesures maximales. Et similarly, vous avez les maps intervalles de CR, juste que l'anthropie typologique est habituellement fermée à ces termes, et nous avons infinitément beaucoup de mesures maximales. Donc cela montre que l'arrivée de l'arrivée est rapide en respect des problèmes de faute et de l'existence de mesures maximales. Donc pour prouver cela, nous utilisons l'approche seconde. Donc, je veux dire, nous construisons une bonne marque de représentation de votre système, et ensuite, nous appliquons la théorie de Gervitch. Donc, nous allons expliquer plus de détails à ce point. Donc, essentiellement, ici, l'Islam a, par rapport à Buzi, prouvé qu'il existe un graph, un graph oriental, qui est known now as a Buzi of Bower Diagram. Et c'est, en fait, aneditation of Bower Diagram for piecewise monotone interval maps. Donc, et un map. Donc, let me denote the Markov shift, the associated Markov shift like this, that is a set of sequences, so that two elements of the sequence are... So, there exists a graph and a semi-ganchugassi, a measurable semi-ganchugassi from the Markov shift to with the... Ah, OK, sorry. So, let me maybe continue here. So, there is D and a semi-ganchugassi P from the Markov shift with the dynamic of the interval, which induce a bijection, so between measures, a bijection between measures of maximal entropy. Oh, it's not exactly... induce a bijection which preserves, sorry, preserving the entropy between measures with positive entropy. So, to prove that F has non-zero maximal measures or finitely many maximal measures, you only need to do this for the Markov shift associated to this graph. So, then, you can apply the following result of Durovich, which says that if the Markov shift associated to an oriented graph has no infinitely many ergodic maximal measures, then there exist ergodic measures on the Markov shift, such that the limit of the entropy of nu n is equal to the supremum of the entropy function of the Markov shift. And nu n goes to infinity in the graph, which means that for all finite set of vertices, the measure with respect to nu n of my Markov shift, such that alpha 0 belongs to F, goes to 0 when n goes to infinity. So, then, to prove this theorem, we only need to control the entropy of measures, which goes to infinity in the graph. So, and we can do this, and I will not explain the proof as I didn't define precisely the graph, but can prove that limit of h of nu n is less than the log of the supremum norm of the derivative divided by r when nu n goes to infinity in the graph. So, this is the main steps of the proof, and how we can apply Yovic theories to prove the existence and finiteness of maximal measures. Ok, so now, I will consider the problem of hypersonic continuity of the topological entropy in this context. So, we are following theorem. So, let F be in CR internal maps, the lim soup, ok, so here, just a limit. The topological entropy of G when G is going to F is equal to the topological entropy of F, and here, it's false like this, I need an hypothesis. Ok, so, say when the topological entropy of F is larger than the same bond here, of F divided by r. So, the fact that the topological, the lower semi-continue property, as I said before, follows from a result of Misrovic. Here, we only need to prove the upper semi-continuity of the topological entropy. And same remark here, the lower bond is sharp, and we may find the CR internal maps with topological entropy strictly less than r of F divided by r, which is not the point of continuity of the topological entropy. So, I will not have time to give very much detail to the proof, but the idea is to consider, ok, some map Fn going to F in the CR topology, and to consider the graph as a busy of diagram of Fn, and the busy of diagram of F. And we can see that in some sense, this sequence of graph is converging to the graph given by F. And then, we can apply a theorem, which is a pure abstract theorem for graph, I mean, which really looks like this one, and conclude in the same way that in some sense, you have measures which goes to the infinity, and now it's not in one graph, but in this sequence of graph, and so that the entropy is less than this quantity, and the entropy of this sequence nu n is exactly the limit of the topological entropy of Fn. Ok, so, I just want to finish this talk with problem of equidistribution of periodic points for interval maps. So, let me introduce some notations. So, let me denote by Pn the set of n periodic points of the considered dynamical systems. So, for smooth maps, I will denote by Pn, delta, the set. Ok, I consider smooth, C1, Syrah interval maps are here. So, n periodic points with Yapunov exponent larger than delta. So, delta is positive. And finally, let me introduce again the quantity. Consider the set of periodic points. So, this will be a subset of this one, but this periodic points will live in a uniformly expanding set. So, more precisely, you will have the growth of the derivative for any k and for any i from 0 to nm minus 1. Sorry. Sorry, X is P. Thank you. And so, L is a positive integer. So, the classical result for the equidistribution of periodic points along maximal measure is due to Bohr's one, says that if T is expansive and has the specification property, then... Ok, so maybe I should introduce some other notation. U n, the measure given by the periodic point, goes to the unique maximal measures. So, this allows to prove the equidistribution of periodic points along maximal measures for uniformly hyperbolic dynamical systems. And now, I just want to state some results for non uniformly hyperbolic case for interval maps. So, there is a result of Gelfert and Wolf, which says that if f is a c1 plus alpha interval maps, so it is true in a larger setting, but let me formulate it like this. Then, a weak limit of U n delta, so... No, it's not precisely... I don't want to write it like this, sorry. So then, there exists sequence nL going to infinity so that U nL delta L which is the measure given by periodic points in this set. So, just replace the definition here the set of periodic point by the periodic point in P n delta n. So, this goes to... So, the assume also that there is a unique maximal measures. Then, it goes to this unique maximal measures. So, for a subsequence. So, but in fact, it's the proof, the proof of this theorem you reduce to the hyperbolic case. As I said, all these periodic points give some uniformly hyperbolic set. Okay, so it's not really non uniformly hyperbolic, so I will prove the following theorem. So, I hope to have... So, let F then any weak limit nu n delta. So, here, sorry, delta should be, it's for any delta less than the topological entropy. So, then any weak limit of nu n delta, so here I consider the set P n delta is measure of maximal entropy. So, and the idea of the proof is quite similar from the upper semi-continuity of the entropy function for C infinity maps from Yom-Din bonds of the robust tail entropy. Here, the main point here is to prove that we have a local a small local periodic growth of periodic points for C infinity maps. So, precisely, so let me define the quantity P delta star of T. So, here I do not look at the topological entropy of Bowen balls, but I look at the exponential growth of periodic points with exponent larger than delta in Bowen ball. So, look at the lim soup 1 over n. So, log. So, this is the finite Bowen ball. So, here, I take the lim soup in n. So, before to take the lim soup, I need to take the supremum over x. And I take again the infinimum over epsilon positive. So, this is a kind of analog of the tail entropy, but for the problem of a growth of periodic points. So, the main, the key lemma in the proof of this theorem is the following estimate of this local quantity. Then, so, this P delta star of T of F, sorry, is less than the log of the supremum number of the derivative minus delta divided by r minus 1. So, let me maybe again explain in a few minutes how you prove this theorem from this one. So, here I define the local quantity for the exponential growth of periodic points, but I consider the global growth by which I mean the, ok, here I will consider the lim half. So, it is the log of the supremum number of the derivative minus delta divided by r minus 1. So, if I consider, ok, the lim half of the growth, exponential growth of periodic points with Lyapunov exponent larger than delta, then, ok, we have the following lemma which is not difficult, which says that any mu n delta, sorry, we can make mu of mu n delta satisfies h of mu F is larger than the growth of periodic points minus the local growth. Ok, and now it's it's done because for C1 plus alpha maps we know it's the indentation of Catox theorem to endomorphis that p delta of F is always larger than the topological entropy and by this previous estimate, you have that the local volume growth is zero for C infinity maps so you get that any weak limit of the atomic measure given by the periodic points will disperse the long maximum measures. So, thank you.