 Donc, d'abord, je voudrais dire que sur Archive, il y a une nouvelle version de mon article, version 4, qui est beaucoup mieux que la version 3, donc voilà. Et d'autre part, l'exposé d'aujourd'hui va être un survol général de la preuve qui correspond essentiellement au paragraphe 01-02 de l'introduction et aussi un peu au paragraphe 11-1 et 11-2, qui concerne le cas des groupes non-déployés. Donc, ce travail est issu d'un projet de recherche avec Jean-Benoit Bosse, qui n'est pas encore abouti, qui est le cas où il n'existerait pas. Et des discussions avec Alain Génestier, extrêmement fréquentes, ont également été déterminantes et ce travail n'existerait pas sans Jean-Benoit Bosse et Alain Génestier. Alors, on montre le sens automorfe vers Galois de la correspondance de l'anglance pour tous les groupes réductifs sur les corps de fonction. Donc, en plus, évidemment, la méthode ne marche que sur les corps de fonction, parce qu'on utilise des produits de copie de la courbe. De plus, on obtient une décomposition canonique de l'espace des formes automorfe hospitales pour G, ou plutôt, lorsque je n'ai pas réductif, une somme directe indexée par le carin de FG. Donc, cette décomposition est indexée par les paramètres de l'anglance globaux. Donc, la méthode utilise, bien sûr, la comologie étale des champs classifiants, les G Stouka. Donc, ces champs classifiants ont été introduits par Drinfeld. Et ensuite, utilisé évidemment par Laurent, aussi par l'homore à propos de Stuller, Heiko Lo, Gobe Actuan, Goba Ocho et Varshavski. Et notamment, Varshavski a généralisé... Donc, oui, ils avaient déjà été étendus aux agéro-divisions, bien sûr. Et Varshavski a généralisé ces champs à tous les groupes réductifs et à tous les copois, ce qui est en fait exactement le cadre dans lequel on va l'utiliser. L'article de Varshavski a été très utile. Donc, la démonstration est indépendante de la formule des traces d'erture-lèvchette, mais elle repose façon essentielle sur l'équivalence de s'attaquer géométrique. Donc, c'est une démonstration qui est en fait une retombée du programme de l'anglance géométrique. En fait, elle est aussi très inspirée des structures chirales de Bellinson-Drinfeld. Donc, pour GLR, il n'y a évidemment aucun résultat nouveau, parce que tout avait été démontré par Laurent. Seulement pour les agéro-divisions, je ne sais pas exactement, mais j'imagine qu'il n'y a pas vraiment de résultats nouveaux, mais c'est surtout pour les autres groupes réductifs. Bon, par ailleurs, évidemment, comme ce n'est pas une méthode de formule de traces, on n'obtient pas de résultats sur les multiplicités. Laurent, dans son travail, montre que, je pense, que, pt ans sigma, tant sigma étoile, mon moralement, il est avec multiplicité 1, ce que donne le comptage des points, etc. Du lourd, la partie non essentielle. Donc, la méthode que je vais poser aujourd'hui ne donne absolument pas ce résultat. Ça ne donne pas de multiplicité, mais notamment dans le cas des agéro-divisions, je crois qu'il y a des articles de Badou Lescours et Roche, je crois qu'ils montent des égalités de multiplicité entre agéro-division et multiplicité 1 pour agéro-division, et là aussi, les méthodes ne donnent pas de résultats sur les multiplicités. Bon, je vais commencer à énoncer le résultat principal. Donc, soit fq, un corps fini, x, une courbe projective lisse sur fq. En note, f sont encore des fonctions. Ah, c'est Adèle. J'ai un groupe réductif connex sur f. Bon, pour l'instant, je le suppose d'éployer, et j'indiquerai ensuite les changements nécessaires s'ils ne l'aient pas. N, c'est le niveau, c'est-à-dire un sous-chéma fini. KN, c'est le sous-groupe compact ouvert de G des Adèle associés au niveau. C'est-à-dire le noyau de G de O, les Adèle entiers vers G de ON. Les fonctions sur le sous-chéma fini. Et puis, on aura besoin de fixer un réseau, en fait, si dans zf divisé par z2a, ou z est le centre de G. Et puis, comme on a besoin d'une racine de Q, je note une extension finie de QL contenant une racine de Q. Comme ça, c'est bien. Enfin, pour énoncer l'équivalence avec l'attaquer, lorsque V est une place de x, en fait, dans une place de x, on note OV, l'anneau locale complétée, la valeur de zp. FV, son corps des fractions, et K2V, le corps résiduel. Bon, je rappelle que l'isomorphisme de cet aqué, il y a un isomorphisme entre l'anneau des représentations de G chapeau, disons des finis sur E, et puis la E, enfin, l'Algèbre des fonctions sur G de FV, divisé par G de OV des deux côtés, la valeur dans E. Et donc, je l'ai rappelé pour la notation suivante, si j'ai V une représentation, bon, par exemple, irréductible de G chapeau, je vais noter HVV, l'élément correspondant dans l'Algèbre de Vecque. Bon, je rappelle que, évidemment, c'est grâce à cet isomorphisme, à tout caractère de cet Algèbre, donc on a aussi une classe de conjugaison d'éléments semissames dans G chapeau de QL bar, si le caractère est définit sur QL bar. Alors, bon, j'avais annoncé mon théorème de façon un peu imprécise, puisque la décomposition soit canonique, il faut, d'abord, définir les opérateurs d'excursion, et Jean Percer m'avait fait la remarque. Donc aujourd'hui, je vais commencer par définir les opérateurs d'excursion, et comme ça, l'annoncer une théorème sera vraiment canonique. Donc, ça sera beaucoup mieux comme ça. Donc, j'introduis, en fait, juste les notations pour les opérateurs d'excursion. Pourquoi ça s'appelle excursion ? D'abord parce que ce sont des opérateurs qui font intervenir à la congillée Ch'touka. L'idée, c'est qu'on crée des pâtes, et ensuite on les fait varier, et ensuite on les détruise. C'est pour ça que ça s'appelle excursion, c'est l'idée de faire varier les pâtes. Donc voilà la notation pour les opérateurs d'excursion. I, un ensemble fini. F, une fonction sur G chapeau et la puissance I divisé à gauche et à droite par G chapeau. Alors bien sûr, si on rajoute un élément à I, ça fait une divise, pareil que diviser par conjugaison, mais c'est mieux comme ça, en particulier lorsque le groupe n'est pas déployé, donc pour ça que je vais garder, c'est une notation. Et d'autre part, gamma I pour I dans I, une famille d'éléments du groupe de Galois, de F bar sur F. Et alors à ces données-là, on va associer un opérateur, donc d'y opérateur d'excursion, qui est un endomorphisme de l'espace vectoriel de dimension finie, des formes automorphiques hospitales en niveau N. Donc je divise aussi par le réseau XI, c'est grâce à ça que cet E espace vectoriel est de dimension finie. Et donc c'est un endomorphisme qui respecte l'exaction des opérateurs de WECA. Donc un endomorphisme comme module sur la chape des fonctions asporcompactes sur G2A divisé par KN des deux côtés. Donc on construira ces morphismes qui en plus commutent entre eux. Et donc en gendre une certaine sous-algebra commutative, béronde dans cette anneau d'endomorphisme des formes automorphiques hospitales. Donc je vais maintenant annoncer le théorème... Oh pardon, excusez-moi, excusez-moi. Je vais annoncer le théorème. Je vais le mettre sur le tableau de gauche comme ça, il va rester. Donc par décomposition spectrale de cette famille commutative b d'opérateur d'excursion, on obtient une décomposition canonique des formes automorphiques hospitales, donc la je trouve, la valeur donc QL bar, comme summe direct d'espace H sigma. Donc c'est une décomposition comme module sur les opérateurs de veckeux. Le monde de droite est indexé par les paramètres de l'anglance globaux, c'est-à-dire des sigmas, c'est une classe de conjugaison par G-chapo de QL bar, de morphismes, de morphismes que je note encore sigma, excusez-moi, de morphismes sigma, du groupe de Galois, de F bar sur F, vers G-chapo de QL bar, qui sont définis sur une extension finie de QL, continue, semisimple, c'est-à-dire que si l'image est incluse dans un parabolique, alors elle est incluse dans un sous-groupe de Lévié associé, et en plus non ramifié en dehors de N. Donc cette décomposition est compatible à cet aqué, je vais le dire ensuite, mais ça ne la caractérise pas en général. Pour GLN, ça la caractérise, mais pas en général. Donc elle est caractérisée en fait par la famille d'opérateurs d'excursions. Donc H sigma est l'espace propre généralisé, on ne sait pas que la gèbre beronde est réduite. Donc espace caractéristique, je crois, on dit en français, associé à un caractère nu de cet algebre B, tel que quel que soit I, F, et la famille des gamma I, on a nu S, I, de l'opérateur d'excursions, caractère appliqué à l'opérateur d'excursions qui appartient à la gèbre beronde, est égal à F de sigma de la famille des gamma I. Donc on verra qu'un paramètre de l'anglance globale sigma est caractérisé par la donnée de tous les scalaires lorsque l'ensemble I, la fonction F et les gamma I varient. Donc ça caractérise la décomposition de manière unique. L'idée de la preuve du théorème, c'est qu'étant donné une telle famille de scalaires, vérifiant toutes sortes de relations naturelles que j'énoncerai ensuite, et qu'on démontrera pour les opérateurs d'excursions, alors on peut retrouver sigma. De plus, c'est classique, cette décomposition est compatible à l'équivalence de cet aqué, c'est-à-dire qu'en toute place V de x moins n, quelle que soit la représentation V de G chapeau, HVV agit sur H sigma par le scalaire qui V, caractère de V, est appliqué à sigma de FV, où FV est un élément galois du corps local qui est un relèvement arbitraire à l'élément de Frobenus. Cette décomposition est également compatible à la limite sur le niveau N, ce qui fait qu'on pourrait énoncer comme décomposition de représentation de G des adels. Et alors, même si l'énoncer des propriétés des opérateurs d'excursions est un peu long, mais j'ai pensé que c'était bien de l'énoncer comme une proposition à la mesure où la preuve se coupe en deux morceaux, construire les opérateurs d'excursions, montrer la proposition et ensuite en déduire le théorème. Donc je vais énoncer la proposition en vous priant de m'excuser pour le fait que les propriétés sont un peu longues à écrire, un peu fastidieuses, voilà. Donc la proposition, c'est énumère les propriétés des opérateurs d'excursions. Donc il y a quand même un moyen d'hémotechnique, comme on dit, heuristique, je ne sais pas comment dire, donc les opérateurs d'excursions, ils sont comme ça, mais il y a un moyen de vérifier, de trouver naturellement les propriétés, c'est que ce sont des propriétés naturellement vérifiées par i, f, gamma i, s'envoi sur f de sigma de gamma i, vous voyez, où sigma est n'importe quel paramètre de l'angence globale. Donc je vais énoncer un certain nombre de propriétés qui sont très naturelles, les propriétés naturelles, en fait, vérifiées par ces scalaires, quand sigma est un paramètre de l'angence globale, et ensuite on montrera que ces propriétés sont vérifiées par les opérateurs d'excursions construits à l'aide, donc comme j'ai dit, de la comogile échéante de Stuka. Donc la première propriété, c'est que quelle que soit l'ensemble i, quelle que soit la famille des gamma i, l'application qui a f associé cet opérateur d'excursion est un morphisme d'algèbre. Des fonctions sur g-chapeau puissance i, un variant à gauche et à droite par g-chapeau, vers cet algèbre béronde qui, on va dire vers, comme elle n'est pas encore définie, vers les endomorphies, c'est des fonctions cuspidales, des formes automorphes cuspidales. Deuxième propriété, c'est que pour toute application des états de i dans g, où i et g sont les ensembles finis, pour toute fonction f dans le quotient pour i. Donc c'est un quotient évidemment pour les multiplications à gauche et à droite par la diagonale. Et quelle que soit une famille gamma g pour g dans g, l'élément du groupe de Galois, on a s j f zeta, que je vais définir bientôt, famille des gamma g, égal si f pour la famille des gamma zeta de i, où f zeta est une fonction sur le quotient comme ça, mais pour g. Et comment elle est définie f zeta de gj, une famille gj d'élément de g-chapeau, c'est tout simplement f de la famille g zeta de i pour i dans i. Voilà. Si vous voulez ça, c'est une functorialité vis-à-vis des applications de i dans g, que si certains des gamma i sont égaux entre eux, on peut les réunir en un seul. Voilà. Très naturel. La troisième propriété va permettre d'exprimer des opératoires d'excursion où certains gamma i sont des produits de plusieurs gamma, gamma prime, disons, en des opératoires d'excursion où il n'y a pas de produit, parce qu'il faudra bien à un moment montrer qu'à partir de la caractère nu de b, un sigma c'est que sigma est un morphe de groupe. Donc on a besoin de cette propriété. Donc quelle que soit la fonction f dans le double caution pose pour i, quelle que soit des trois familles gamma i, gamma prime, gamma seconde i, on a s i union i, une réunion disjointe f tilde, gamma i fois gamma i prime fois gamma i seconde. Donc ça c'est également la s i f. Et puis la famille des gamma i, gamma i prime moins un gamma i seconde où f tilde est une fonction sur le même caution avec i union i union i et définie par la formule évidente que j'écris exprès à la ligne juste en dessous puisque c'est la même. En l'autre sens, en quelque sorte, f tilde de ce triplet de 3i du plaid, c'est f du i du plaid, j i, j prime, moins un, j seconde i. Pourquoi j'ai mis un moins un ? En fait c'est nécessaire parce que si on a mis juste j i, j i prime, ce truc-là, il ne serait pas dans le caution à gauche à droite. Par contre jukaisons ça aurait été, mais là avec les caution à gauche à droite, j'ai dû en en mettre trois avec un moins un au milieu. Puis c'est ce qui apparaît naturellement dans la preuve. Mais c'est des détails. Voilà. Alors la quatrième propriété, c'est topologique. Donc quel que soit i, quel que soit f, le morphisme qui a gamma i associe l'opérateur d'excursion, on va dire de Galois, de F bar sur F pour simplifier, mais il faudrait mettre un pient d'un ouvert adéquat ici. Mais enfin on va dire Galois pour simplifier, la puissance i vers l'agèbre Béronne, qui est une agèbre de dimension finie, donc mini-l'atopologie euadique. Ce morphisme est continu. Et puis ensuite il y a une propriété que je vais écrire tout en bas, qui sert à montrer la compatibilité avec s'attaquer. C'est-à-dire bon, je vais peut-être l'écrire... Donc c'est essentiellement, c'est que les opérateurs de éco au place Nord Amifié sont des cas particuliers d'opérateur d'excursion. C'est-à-dire qu'en fait l'opérateur de éco associe à HVV, je vais apprécier de HVV, l'opérateur de éco associe à HVV. Bon bah c'est égal à l'opérateur d'excursion avec deux pattes, un, deux. Il emplace en bleu i, c'est un, deux. La fonction c'est kivé de g1, g2, moins 1. Vous voyez, c'est une fonction qui a un variant de part translation à gauche et à droite. Et puis l'élément c'est frobv1, et les gamma-i, c'est frobv1. Donc cet opérateur d'excursion est égal à l'opérateur de éco en V, qui sert ensuite à montrer équivalence avec cet acquis, qui sert aussi d'ailleurs de façon technique mais cruciale dans la démonstration que j'expliquerai les prochaines séances. Voilà. Non bah je vais peut-être effacer en bas. Donc, alors, la proposition implique le théorème, sauf non ramifié en dehors de n, vous voyez, là j'ai mis un groupe de galois. En général, pour montrer que c'est non ramifié en dehors de n, c'est vraiment un vrai argument géométrique. Il faut quand même utiliser un moment que le champ des j'teucas est défini sur x moins z, la puissance grandit. Bon mais à part ça, c'est la proposition implique le théorème et j'expliquerai la deuxième partie du cours aujourd'hui. Donc le plan pour aujourd'hui, d'abord je vais faire des commentaires généraux sur le théorème, ensuite donner une idée rapide de la construction des opérateurs d'excursion, para comme géner j'teucas, donc démontrer et montrer la proposition et ensuite expliquer pourquoi la proposition implique le théorème. Voilà. Donc les commentaires généraux d'abord concernent le cas où g est non déployé. Quelle est la génération du théorème ? Si g est non déployé, bon dans ce cas là on a le L-group qui est j'ai chapeau. J'oubliais de dire que j'ai chapeau c'est le dual de l'anglance. Excusez-moi, donc les racines de j'ai chapeau sont les co-racines de g, inversement. Et je suppose, il est déployé bien sûr comme toujours et là je l'ai supposé défini sur QL. Il est même défini sur z. Alors voilà. Donc l'L-group c'est le produit semi direct ou le groupe de Galois, ou F-teal sur F et une extension qui sainte, qui déploie g. Donc je prends la L-group finie, d'accord. Pas avec le Galois de F-bar sur F. C'est plus comode. Donc on prend U à nouvel de VIX où g est déployé. Et ailleurs on choisit un modèle entier paraurique lisse dont les fibres génériques, genre les fibres géométriques sont connexes. C'est possible d'après Bruatit. Il y aura une note qui est utilisée dans ces articles, c'est lui qui m'a donné la référence. Donc voilà. Et on va supposer n assez grand pour qu'en fait l'ouvert U soit inclus dans x-n. On suppose qu'il y a du niveau dans les places où g est déployé mais où g n'est pas déployé. Voilà. Dans ce cas-là, pour renoncer le théorème, il faut remplacer ces c cospes par une somme directe sur les alphas dans quereins de FG de la même chose pour g-alpha que l-bar. Bon, en fait, ce qui se passe, c'est que la réunion sur alpha de ces cossions adhéliques, c'est tout simplement bonne g n de FQ. C'est-à-dire, je définirais tout à l'heure. C'est pour ça que ça apparaît naturellement. Donc les g torseurs sont sur la courbe avec une structure de niveau n. Dans la proposition, on a des opérateurs d'excursion qui agissent là-dessus. Seule différence, c'est que F, maintenant, est une fonction sur le L groupe à la puissance grandie divisé par g-chapo à l'ou chez à droite. Et puis, bon, évidemment, la décomposition canonique dans le théorème, c'est seulement sur cette somme directe sur alpha. Et donc cette somme directe est égale dans le théorème à une somme de H sigma, où sigma est, comme d'habitude, un paramètre de l'anglance, c'est-à-dire amorphisme dans l'EN groupe qui rend le... Je suis désolé s'il met-t-il en ressemble à des bars, mais qui rend le diagramme commutatif et qui vérifie bien sûr les mêmes propriétés. Alors habituellement, les gens conscients par une relation d'équivalence un peu plus faible où on s'autorise à tordre par un élément, un caustique localement trivial à la vélo dans le centre de Géchapo sur que elle barre. Mais en fait, ici, on ne le fait pas. On en a pas besoin et c'est lié au fait qu'on prend la somme sur Karin. Et d'ailleurs, en fait, il y a un théorème de Kotwitz qui a été étendu en caractéristique P par un Engwien-Kwok-Tang. Qui dit que le Karin de FG est le duale de ce Karin de FZ de Géchapo, de Kuel-Bah ce qui fait qu'ils ont le même cardinal. Bon. Et donc, j'anticipe un peu, mais ça implique que si on s'intéressait au formule du multiplicé des dartures pour chacun des H sigma, puisqu'après tout, dans les formules du multiplicé des dartures, il y a une somme pour les sigma. Et là, avec cette développement canonique, on a un moyen de donner un sens à une conjecture affinée où le conjecteur de multiplicé concerne chacun des H sigma. Et donc, ça serait tout simplement la formule habituelle puisqu'il y a une compensation entre ce Karin de FG et ce Karin de FZ de Kuel-Bah. Bon, à ceci près, que pour l'instant, c'est seulement la partie cuspillale. Donc, il faudra avoir la même chose pour la partie discrète si on veut aussi comprendre les... Bon, ça, j'y reviendrai. Donc, justement, la remarque suivante, c'est qu'on aimerait bien montrer que sigma vient d'un paramètre d'arture elliptique. Et je ne sais absolument pas le montrer. Je ne sais même pas construire le SL2. Donc, pour construire le... Donc, un paramètre d'arture elliptique, c'est un morphisme comme ça. À part qu'ici, on met un SL2 en plus. Et elliptique, ça veut dire que le centralisateur est fini modulo Z de G chapeau invariant par un groupe de Galois. Alors, la classe de conjugaison d'un paramètre d'arture elliptique est déterminée par la classe de conjugaison du paramètre de l'anglance associé, qui s'obtient en mettant, en envoyant Galois de l'arture et dans les matri-diagonales de SL2 d'habitude. Donc, ça, c'est vrai. Mais, bon, donc, il faudrait montrer... Donc, il est annoncé, c'est qu'il faudrait montrer que tous les paramètres de l'anglance apparaissant dans cette décomposition proviennent de paramètres d'arture elliptique, mais je ne sais pas le faire. Et même pour construire l'action de SL2, ce n'est pas du tout évident. Il faudrait sans doute utiliser des compactifications. Donc, là, il n'y a pas de compactification dans la preuve du théorème, mais pour avoir l'action de SL2, il faudrait sans doute utiliser les compactifications, donc introduit par mon frère Projet à l'air et par Goudactuan et Varshavski au projet pour des autres groupes réductifs au moins déployés. Donc, en tout cas, c'est vraiment un problème difficile. Vraiment très difficile. On aimerait aussi étendre la décomposition à toute la partie discrète, pas seulement la partie hospitale, mais là encore, bon, malheureusement, dans la preuve, on va utiliser la comogiasme pour compact des champs de Stuka. Donc, il faudrait une sorte de comogiasme 2, peut-être encore utiliser le bord, donc c'est vraiment très difficile. Voilà. Donc, l'autre marge que je voulais faire, c'est que cette décomposition d'autres groupes que j'ai à l'air n'est pas forcément déterminée par la dégonalisation des opérateurs de EQ. Parce qu'il peut arriver pour certains groupes qu'on ait, par exemple, un groupe fini gamma et puis deux morphismes sigma-sigma-prime, d'un groupe fini gamma vers G-chapo de QL bar, qui ne sont pas conjugués, mais tel que pour chaque élément de gamma, les images soient conjugues. Ce qui fait que, si maintenant on considère un paramètre de l'anglante, en choisissant n'importe quelle surjection de Galois, de F bar sur F, sur ce groupe fini gamma, on obtient deux paramètres de l'anglance qui ne sont pas conjugués globalement, mais tel que en chaque place, les paramètres locaux soient conjugués, donc c'est indistinguable par la dégonalisation des opérateurs de EQ. Et... Et alors, bon, dans le cadre, donc il y a des exemples de Blasius et Lapid, dans le cadre de SLR, où G est égal à SLN, donc chez Japon, il y a le PGLR. Bon, mais en fait, le cadre de SLN, la décomposition peut se déduire de GLN. Donc, là, il y a d'autres moyens de défendre la décomposition, mais pour un groupe comme E8, je ne connais pas de moyens, donc ce phénomène peut se produire d'après Larson, qui a classifié les groupes pour lesquels il pourrait se produire. Et pour E8, par exemple, il peut se produire et je ne connais pas de moyens d'obtenir cette décomposition, par exemple dans le canonique, par exemple dans le cas des coordonnements. Bon, donc, comme cette décomposition n'est pas déterminée par les déconnalisations des opérateurs du HECA ou en général, se pose la question de l'indépendance de L. Une question très épineuse et il y a une, on pourrait, sous les conjectures tendards, on peut définir une notion de paramètres de l'anglance motivique, bien sûr. Donc, on a une conjecture, enfin, que cette décomposition et l'indépendance de L est définie sur Cuba et indexée par des paramètres de l'anglance motivique. Donc, les paramètres de l'anglance motivique ce sont juste des inventeurs d'implantation de G-Chapo dans les motifs purs ce rêve ou quelque chose un peu plus compliqué dans le cas du L-Group, mais bon. Donc, j'espère que, enfin, comment dire, si on suppose à la fois les conjectures tendards et les conjectures têtes, on pourrait peut-être le démontrer avec les méthodes de ces articles. Donc, tout ça pour dire que c'est une conjecture qui est raisonnable mais qui paraît hors d'atteinte pour le moment. C'est un cas des cours de nombre que j'ai déjà un peu anticipé mais cette décomposition canonique a un sens... enfin, cette question est-ce qu'il y a une décomposition canonique qui a un sens sur les corps de nombre. Donc, ici, on a cette somme sur le kérin mais cette somme sur le kérin s'écrit de façon plus naturelle, en fait, aussi s'offérant de ma part. Je ne suis pas expert. Comme les invariants par Galois de F bar sur F de G de A times F bar sur G de F bar. Donc, si on oublie le KN et le XI, voilà. Et on peut aussi remplacer F bar par F tilde pour avoir quelque chose de plus finie qui ne pose pas de problème topologique. Donc, la question c'est est-ce que la partie discrète de L2 de ça se décompose canoniquement en une somme directe de représentation de G de A annexé par les paramètres d'arturélyptique sigma à conjugaison près. Il n'y a pas besoin de cosique dans la relation d'équivalence. Donc, est-ce qu'elle c'est de l'hygmose canonique? Plus, est-ce qu'il y a une multiplécédature pour chaque H sigma? Évidemment, toutes les questions sont complètement ouvertes. Dans le cas des formes automorphes comologiques, on pourrait même espérer que ce soit défini sur Q bar. Donc, dans le cas des torres, c'est vrai. Et dans ce cas-là, les chaque H sigma ont une dimension. Et alors, justement, je tiens à signaler que, dans cette somme directe, il y a évidemment le k ou alpha égal à 0. Donc, le groupe G lui-même. Donc, ça, les fonctions en hospital sur G s'incluent dans cette somme directe. Mais je ne sais pas si cette inclusion est compatible avec cette décomposition H sigma, même si on regroupe ensemble les sigmas qui diffèrent entre de parts de l'incocicle localement triviales à vers dans le centre. Donc, je ne sais absolument pas si sur les fonctions des formes auto-orcs hospitales pour le groupe G lui-même sans faire la somme directe, on peut espérer une quelconque décomposition canonique. Voilà. Alors, encore 2 remarques. Et après, c'est fini. Donc, mon exposé à Orsay, Jean-Pierre Serre, m'a parlé des travaux de carétance sur les pseudo-charactères. Et donc, j'ai regardé, du où ça m'a amené, à regarder, en fait, le cas des corps finis, coefficient à corps finis. Et en fait, si on considère la même chose, mais à co-efficient, dans FL bar, on a encore une décomposition canonique qu'obtenu simplement en réduisant les... En fait, on prend les opérateurs d'excursion avec F, qui est défini sur OE, des entiers de OE. Et puis on réduit modulo-lidale maximale, en diagonalise, etc. Et voilà, il se produit un petit miracle qui est que donc il y a des gens, il y a Bate, Martin, Rohrler, enfin, il s'est expliqué dans l'article de Serre, dans le séminaire Bourbakin-Serre, sur la complète réductibilité, qui a introduit, qui a étudié la complète réductibilité en caractéristique P. Et alors, ce qu'on obtient, finalement, c'est que la décomposition, ici, indexée par les paramètres de Langland, ça valore dans Géchapo de FL bar, qui vérifie les mêmes propriétés et on remplace ce mi-simple, simplement, par le fait que, si c'est dans un... parabolique, alors c'est dans un... dans un Lévis associé. La même condition, il se produit, en fait, que les... les paraboliques du... du L-groupe, qui se surjectent sur le Cossian, Galois de F tilde, sur F, parce que le... le paramètre de... de Langlands, il se surjecte, bien sûr, puisque le diagramme commute, donc le... s'il y a un parabolique, il contient l'image de Sigma, il se surjecte. Et ces paraboliques-là, on a été étudiés par Borel, ils sont très simples, ils sont justes et... d'ailleurs, leurs classes de conjugaison sont en bijection avec les... les orbites sous Galois de... de F tilde sur F dans le... dans l'ensemble des... des racines simples, de... de G Chapeau. Et donc ils sont, bon, de... de Richardson, une notion technique qui intervient. Et donc, bon, finalement, on retrouve cette décomposition indexée par les... paramètres de Langlands, alors dans Eiffelbar, qui vérifie cette condition très simple, au sens que si son... si l'image est dans un parabolique, alors elle est dans un Lévis associé. Voilà. Et puis la dernière chose, c'est que donc on a... avec Alain Génestier, on est en train d'écrire un article, où on va montrer que la... la même chose en local est la compatibilité locale globale. Donc, en particulier, que Sigma V ne dépend que de Pi V, vous voulez, hein. Voilà. Et plus précisément, ce qu'on va montrer, c'est que si les gamaris sont dans un groupe de veilles locales, en une place, qui peut être dans le niveau, bien sûr, alors l'opérateur d'excursion y associe un élément du son de Merchstein, qui dépend que des données locales. Voilà. Donc... maintenant je vais donner une idée de la... commencer à donner une idée très rapide de la démonstration de la proposition, la construction des opérateurs d'excursion, la démonstration de la proposition. Et en ce plus tard, je vais m'expliquer pourquoi la proposition implique les théorèmes. Voilà, le plan. Ici, là ? Ben ça, en fait, c'est une somme finie, c'est pareil que ça, hein. Là, j'ai pas pris les fonctions, là. Je regardais juste le... Y a pas de fonctions, là. Je regarde juste le... Oui. Le quotient invariant par Galois. Et ensuite, on prend les fonctions dessus et on peut prendre les fonctions d'hospital. Oui, oui, pardon. Merci. Voilà. Ben donc... Non, non. Ah non, mais là, je n'ai pas dit qu'on obtient tous les paramètres. J'ai une décomposition suivant des paramètres. Mais je ne sais absolument pas pour lesquels H sigma est nul ou non nul. Voilà. Il n'y a aucune formule de multiplicité dans cette affaire. C'est juste, en quelque sorte, la correspondance de l'anglante, c'est plutôt... C'est pour ça que, grâce à Laurent, j'ai changé un peu le titre, j'ai mis paramétrisation de l'anglante. Mais en fait, dans l'anglante, il y a deux parties, il y a la paramétrisation, la décomposition spectrale. Donc, donc, décomposition spectrale des opéates d'excursions, d'où une... Et ensuite, les H sigma sont paramétrés par des... par des sigmas, quoi. Grâce à la bijection entre les caractères de B et les sigmas. Et ensuite, la deuxième partie, ce... Bon, pas du tout traiter ici, ce sont les formules de multiplicité pour chaque H sigma. En particulier, je ne sais pas si elles sont nules ou non nul. Non. Enfin, bon... Non, pas dans le... Pas comme ça. Pas avec cet article, en tout cas. Donc, bon, pour donner l'idée de la construction des opérateurs d'excursions, évidemment, je vais juste poser, j'ai déployé. Donc, je rappelle que bun G, c'est le champ classifiant les g-torseurs sur X. Donc, bun G, c'est un champ sur FQ. Donc, pour toucher ma S sur FQ, bun G de S, c'est l'ensemble, c'est le comparif, pardon, des g-torseurs, g-rondes sur X pour S. Et puis, bon, on introduit aussi bun GN, puisque j'ai utilisé tout à l'heure. Donc, bun GN, c'est pareil. Plus une trivialisation sur N fois S. Alors, il y a un champ qui est familier dans le programme de Langland géométrique, qui est le champ de Hecke. Donc, Hecke Indice I, c'est un un champ, en fait, parce que, bon, sur XI, classifiant, en fait, un g-torseur des modifications de ce g-torseur en les points XI, en les points de la courbe moins, indexés par l'ensemble I. Donc, c'est-à-dire qu'en fait, il classifie, donc, des points XI, qui correspondent au fait que ce champ est au-dessus de XI. Et puis, une modification, phi de G0 vers G1, où G0 et G1 sont des g-torseurs sur X pour S. Et phi, en fait, c'est un... Donc, je note comme ça, mais en fait, c'est un isomorphisme de X pour S privé de l'union des gammas XI vers G1. Enfin, c'est un isomorphisme sur X pour S privé de la réunion des graphes des XI. Ensuite, on peut borner la modification en les XI, mais bon, ici, je l'ai pas fait parce qu'on peut permettre d'introduire moins de notation, mais, bien sûr, on peut borner. Bon, en fait, je vais quand même introduire la notation pour borner. C'est que si j'ai W, une représentation de G chapeau et la puissance I que je vais... que je vais supposer irréductible, alors, j'introduis et que IW, c'est un sous-chant qui, cette fois-ci, c'est un vrai chant, localement type fini, qui est fermé et réduit et il est défini par la condition qu'en chaque XI, la position relative XI est inférieure ou égale au co-poids de G égale au poids dominant de W chapeau, de WI, ou W, c'est une représentation irréductible. Donc, j'écris comme produit des WI. Bon, et puis, il y a la grasse magnénafine de Bellinson-Drinfeld, grouille, classifie des modifications des points de make-up, comme ça, plus une trivialisation de G1. C'est-à-dire, en gros, on parle d'un fibrer, d'un jet torseur trivial, et puis on le modifie en des points de de la courbe. Et de nouveau, évidemment, on peut borner ces modifications. Donc, si W est réductible, on a grouille W. Si W n'est pas irréductible, on fait la réunion des grouilles W pour les composantes irréductibles de W. Alors, je vais parler du cas d'un WI est un singleton, déjà. Dans ce cas-là, grouille, c'est sur la courbe. Et ces fibres sont les grasse magnénafines au sens visuel. C'est-à-dire que ça va pour fibre en un point géométrique. La fibre en X, c'est le caussian FQC de G2FX par G2OX. Et on sait que les G2O orbites à gauche sont objections avec les copoies dominantes de G. Et donc, en particulier, grouille W, dans ce cas-là, c'est la strade fermée correspondant à l'orbite associée au poids dominant de W. Et en général, donc ça permet de définir proprement les grouilles W, pareil pour RQ, lorsque les X6 sont distincts entre eux. Et on procède ensuite par adhérent de Zariski pour le définir partout. C'est pour ça que c'est fermé et réduit. Alors, en fait, comme G1 est trivialisé, en fait, on pourrait, on pourrait, par movi de la slow, la définition, la grasse magnénafine est la même, si G0 et G1 sont définis sur le voisinage formel des graves des X6. Il suffit de se... Voilà. Et donc, ça implique qu'il y a une action de G, ce que j'appelle G, somme d'infini XI. C'est simplement les sections de G sur le voisinage formel de la réunion des XI. Réunion des XI. Et donc, par changement de trivialisation de G1, ce groupe agit sur la grasse magnénafine de Bellinson-Rickfeld. Donc, je vais introduire les chants de Stuka maintenant. Donc, défini dans ce cas de généralité dans l'article de Wachowski, Stuka I. Donc, c'est un... on a une chant encore parce que j'ai pas encore mis la borne à ce qu'ils viennent de W. Bon, je vais dire chant pour simplifier. Donc, il classifie et donc, il est sur XI. Et donc, il classifie les points de Hecke. Plus, un isomorphisme entre G1 et Tog0. Ou Tog0. Et l'image inverse de G0, qui était un G torseur sur XOS par l'identité de X, soit le frobenus de S. Donc, si W est une façon réductive, donc on peut définir Stuka IW en demandant que ce point-là soit dans Hecke IW. Donc, c'est un chant localement type fini. Et on peut aussi imposer des troncatures d'Arnar Naraziman sur G0, inférieure à nu. Il y a une action du... du réseau XI là-dessus et donc ça, c'est un chant de type fini. Alors, on va s'intéresser donc sur XI. On va s'intéresser à la homologie d'intersection de ce chant en degrés moitié, en degrés reductibles. Ensuite, ce qui est très important, c'est ce que... ce qui s'appelle la fusion dans le programme de langage géométrique. Si j'ai appelé ça la coalescence des pattes, un terminologie un peu exotique, ce qui est très important, c'est que ce soit canonique. Parce que si les isomorphismes de coalescence de construction sur les vertiques ne seraient pas valables. Et dans la version présidente, ce n'était pas bien rédigé. Donc, dans la nouvelle version, c'est bien rédigé, l'espère. Et ça vient du fait que l'équivalence de la coales géométrique est un foncteur entièrement canonique parce que c'est... il y a un foncteur fibre sur la catégorie des fessos perverges et de l'équivalence grâce à la fin, qui est un comgit total. Bon, en changeant un peu le détoqueré, la règle des signes. Et... il y a un foncteur fibre canonique, ce qui fait que l'équivalence de catégorie est absolument canonique. Tout repose sur ça, hein. Alors... En fait, avant de... Voilà. C'est ça. Lorsque n'ont pas eu W. W. Oui, oui. Voilà. Lorsque W est minuscule, il n'y a pas besoin de... c'est tout élice. Mais encore une fois, on a vraiment besoin de s'attaquer géométrique. Donc, avant de... je vais quand même parler rapidement des provenus partiels. En fait, il y a une variante où au lieu de demander... Donc, on se donne une partition I1, IK, une partition ordonnée I1, IK de I. Et en ce cas-là, au lieu de demander une modification directement de G0 à G1 en tous les XI à la fois, on peut demander une suite de modifications FI1, etc. FIK, où chaque FI est un isomorphisme sur X fois S privé de la réunion des... des graphes, des gamma I pour I dans IJ. Voyez donc. Modification en les pattes qui sont dans I1, puis dans I2, puis dans I3, etc. dans IK. Donc, ça dépend de l'ordre. Et bon, donc évidemment, on... on définit et que I, alors en haut, je vais mettre I1, IK pour indiquer. Pareil pour la grâce manienne et pareil pour les Ch'toukas. Et alors, pour les Ch'toukas, ils produisent quelque chose de... absolument fondamental. Donc, du Heller-Rinfeld c'est les morphices de Frobenus-Parsiel. C'est extrêmement joli. C'est ça que je vais appréhender à parler. Donc, on a Frobenus-Parsiel associé à I1. Là, il y a des Ch'toukas avec cet ordre-là, I1, IK, vers les Ch'toukas avec l'ordre I2, IK, I1 en permutation circulaire et un Ch'toukas qui est donc une suite de modifications G0, G1 jusqu'à GK, mais GK, c'est Togé0. Donc, à ça, on associe G1, etc. Jusqu'à Togé0 puis Togé1. Vous voyez que si on... si on compose F1, F2 jusqu'à F1, on obtient le Frobenus-Total. Pour ça, on n'a pas les Frobenus-Parsiel. Et en plus, ils sont au-dessus des morphismes que je vais noter frobien, de XI vers XI qui frobenusent les XI qui sont dans I1 et qui ne changent pas les autres. Alors, évidemment, il y a un morphisme d'oubli évident de Ch'toukas, I1, IK vers Ch'toukas, I sans rien ou I, comme vous voulez. Enfin, avant, j'avais pas mis de I pour aller génotation. C'est un morphisme d'oubli en quelque sorte. On oublie les étapes intermédiaires. On garde que G0 et le GK final. Alors, il se trouve que ces morphismes, quand on met les W pour fixer les strats, ils sont petits, donc ils changent pas la comologie. Mais en moins, c'est extrêmement important de considérer ces Ch'toukas avec les modifications intermédiaires pour avoir les morphismes de Frobenus-Parsiel. Alors, maintenant, je vais énoncer l'équivalence d'attaquer géométrique, quelque chose de fondamental. J'arrête après, peut-être. De Loustiche-Drinfeld. Donc je vais écrire. C'est la base du programme de l'anglant géométrique. C'est ce qui sert à énoncer les conjectures. C'est une catégorification de l'isomorphisme d'attaquer. Donc, dû à Loustiche-Drinfeld, Ginsburg et Mercoy Villeneuve, qui ont écrit l'article final. Et la version que je vais utiliser, où il y a des puissances arbitraires de la courbe, elle est bien rédigée dans l'article de Getsguri sur les conjectures de De Jong. Donc, c'est une équivalence entre la catégorie tensoriale d'airpontation de géchapot et l'effet super vert. J'ai deux équivariants sur la grâce manienne affine. Mais, en fait, je m'intéresse seulement, j'ai besoin seulement d'un sens, en fait. Le foncteur de la catégorie d'airpontation de géchapot vers l'effet super vert sur la grâce manienne affine. Mais par contre, il me faut les normes arbitraires de patte, de point XI, grâce manienne affine, de Benidine San-Marine-Felle et avec les propriétés de coalescence. Mais en fait, ces propriétés de coalescence que je vais énoncer, elles expriment le fait que ça, que cette équivalence est un foncteur tensoriel. Parce que, sur la catégorie d'effet super vert sur la grâce manienne affine, il y a surtout un profit tensoriel par convolution ou encore mou fusion. Et le fait que c'est un foncteur tensoriel, ça veut dire exactement, en fait, que ces foncteurs de ce faisceau de mes révolutionnaires existent sur les grâce manienne affine de Benidine San-Marine-Felle. Voilà. Donc je vais énoncer de façon un peu différente de l'habitude. En fait, ce que je vais énoncer, c'est un sens d'équivalence attaquée géométrique. Donc, l'énoncer, c'est qu'il y a des foncteurs canoniques e linéaires de W associe S, I, W, I1, IK, on va dire, S comme s'attaquer. Des représentations de géchapot d'épuisance I vers les e faisceaux pervers g infini XI équivariant sur la grâce manienne affine. La normalisation est relative à XI. La normalisation pervers est relative à XI, bien sûr. Donc, il vérifie les propriétés suivantes. Premièrement, si W est réductible, on va se faisceau pervers simplement le faisceau d'intersection. C'est le faisceau d'intersection de la strate grue W. La strate fermée grue W. Deuxièmement, compatibilité au morphisme d'oubli. Donc, le morphisme d'oubli, je rappelle que c'est le morphisme qui a grue I1, IK. Envoie grue I, I. On va l'image direct du faisceau ici. C'est le faisceau-là. On prend le même W. Compatibilité à la convolution, si je peux dire. C'est-à-dire que le... En fait, il y a un morphisme, c'est pas vraiment des champs, mais si on veut, on peut écrire de façon... On peut écrire avec des... Remplaçant les infinies par des antilles assez grands. Si on met des troncatures, si on met les strates ici, donc ça permet d'éviter ses quotients, si vous n'avez peur. Donc on a un morphisme évident qui coupe en morceaux. C'est-à-dire que... Qu'est-ce que c'est que ça? C'est... C'est un point de... de grueur, donc une... une suite de modifications. Et mais, comme on a conscienté par ça, j'ai qu'un mais plus trivialisé, quoi. Donc où les GI sont des jettorceurs sur le voisinage formel de la Réunion des Gamaïs. Et à ça, on associe, ben, la famille des modifications individuelles, quoi. Vous voyez? La famille des modifications comme ça pour GI à l'âme de l'un à l'autre. En cas sans morceaux, quoi, là, celui des modifications, famille des modifications. Et bon, ben, donc, l'énoncé qui est important, donc c'est que le... le faisceau de Mercut Gionnan, donc je suppose que W c'est le produit tensoriel de... de représentation WI de... de G-chapeau, puissance WGI. WGI, une représentation de G-chapeau, puissance IGI. Bon, ben alors, je me demande que ça, du produit des... des faisceaux associés à... à chaque modification, vous voyez. Et puis la dernière propriété, le last but not least, comme on dit, c'est la fusion. Alors, pour toute application zeta de WI dans GI, je note delta de zeta, le morphisme diagonale de XG dans XI. Ça va dans l'autre sens pour les morphismes des... Donc il y a qu'à une famille XG, à ceci, la famille des X zeta de WI. Alors, évidemment, ça, c'est la propriété de factorisation de la grâce magnifique. Grâce magnifique GG, c'est égal à la grâce magnifique hi, hi. Donc, ici, pour simplifier, je vous fais grâce des I1, IK, d'accord ? On pourrait annoncer avec des I1, IK, mais... Vous voyez, si des... Certains des XI sont égaux, bon, la réunion des graphes, la réunion des graphes, ça ne voit pas les multiplicités. Donc, la grâce magnifique en sociologie, c'est le produit fibré, la grâce magnifique en sociologie, au-dessus du XG, d'accord ? Quand certains des I... OK. Et donc, l'annoncer, c'est que, bon, sur cette grâce magnifique, on a le... pardon, sur celle-là, grâce magnifique, pour I, on a le faisceau de Marc-Vilogre Villeneuve, S-I-W. Je mets un parenthèse I en haut. Donc, associé à une augmentation W de G-chapo-piscence I. Et donc, l'annoncer, c'est que la restriction de ce faisceau au produit fibré avec XG, qui est donc un faisceau là-dessus, qui est encore pervers, en fait, parce que ce sont des faisceaux localement acyclics relativement au morphisme vers les puissances du X. Et bien, c'est le faisceau de Marc-Vilogre Villeneuve, pour J, associé à W zeta, ou W zeta, c'est, comme vous l'imaginez, W zeta, c'est la... c'est une représentation de G-chapo-piscence J, G-chapo-piscence J, s'envoyant dans G-chapo-piscence I par le morphisme diagonale, associé à Zeta. Voilà. C'est magnifique, c'était quand même ça qui est géométrique. Et après la peau, je vais expliquer comment on en déduit les constructions des opérateurs d'excursion. Alors, je rappelle que on a... je sais pas si j'ai dit, en fait. On a un morphisme évident des shtoukas vers le caution de la Grasse-Malienafine par le groupe formel, qui en quelque sorte retient seulement le type de modification auquel on va, comment dire, la forme de la modification. Mon morphisme shtoukaïa 5 k vers le cushion de la Grasse-Malienafine par le connecteur triple T qui a un shtouka G-Zero flash G-k isomorph. Togo G-Zero ça oublie l'isomorphisme avec Togo G-Zero, ça garde que G-Zero G-K ça garde même même que les restrictions à ce que j'appelais gamma infini x, y, enfin, au voisinage formel des graves de x, y, et donc ça, c'est exactement un point du quotient de la grâce main affine et de Saint-Marine Feld par ce groupe formel. Et comme là-dessus, on a le, à droite, on a le faisceau de Mergueuil-Gélenin, associé à une représentation W de G chapeau à la puissance y, et bien on appelle, on définit F, son image inverse. Alors il se trouve que ici on peut conscienter par, en fait, si on fixe le support, ici, W, on peut aussi conscienter par un quotient fini, on remplace l'infini par des nis, c'est-à-dire les sections de G sur un voisinage épécide et des graves des gamma y, et se morphe mes lices, ce qui implique que dans le cas donc, quand W est réductible, comme ici on avait le faisceau d'intersection, l'image inverse est le faisceau d'intersection. Normalisation sont les bonnes en plus. Donc en fait, quand W est réductible, vous pouvez voir ça comme le faisceau d'intersection, mais en disant ça, on perd toute cette canonisité des amorphes de coalescence, il est vraiment essentiel. Donc je rappelle que, évidemment, lorsque y égale un, deux, lorsque la plantation, c'est standard, temps standard étoile, les espaces de Stuka sont les Stuka IW associés aux partitions 1, 2 et 2, 1, 2 ou 2, 1, sont respectivement les Stuka à droite et à gauche, considérées par Greenfield et par Laurent. Bon, donc maintenant je vais définir les morphismes qu'il y a en Stuka, ceci c'est pas, je dois toujours dire que c'était des champs au-dessus de X, mais il est besoin d'introduire une notation, donc P, Stuka, un feuillard amenu, un troncateur de Radar Naraziman sur G0, ça, ça s'envoie vers X, par ce morphisme P, que certains appellent caractéristiques, j'appelais P, P comme patte. Alors on peut aussi mettre du niveau, on peut mettre un niveau sur les Stuka, c'est comme si on avait été de Chumoura, c'est une trivialisation, le niveau. Dans ce cas-là, il faut que les pattes sont en dehors du niveau, voilà. Et puis on note H, N, I, W, 0, un feuillard amenu, bon, c'est tout simplement le R0, P, un feuillard amenu, point d'exclamation en bas, pour la couche d'espoir compact, de ce faisceau, F, I, N, W, I, I, K, donc restreint au Stuka avec troncature de Radar Naraziman, un feuillard amenu. Donc ça, c'est un faisceau constructible sur X-N à la puissance I, et il y a la propriété fondamentale de coalescence. Donc d'abord, un point qui est important, c'est qu'il y a vraiment un foncteur qui a W associé ça, donc ce n'est pas seulement à une classe isomorphiste de W, c'est canonique, grâce à cet aqué, grâce au foncteur Fibre de Mercogéviolone. Et puis d'autre part, il y a la propriété de coalescence, qui est aussi un isomorphisme canonique. Cite zeta est une application d'I dans J, delta de zeta de X-N à la puissance J vers X-N à la puissance I, bon, voilà, la diagonale d'habitude. Alors, l'image inverse par delta de zeta de ce faisceau constructible, N, W, 0, c'était en... 0, en fait, c'est degré médian, parce qu'il y a une normalisation perverse. Un failleur amenu, et bien c'est le H0N pour J. W de zeta, W de zeta, c'est un gêchapeau puissance J qui est obtenu par en comprenant le morphe diagonale au niveau de gêchapeau. Voilà, canonique, compatible à la composition en zeta. Donc, d'où ça vient, simplement que sur le champ de Stuka, on n'a que Stuka I, ah oui, il y a quelque chose que j'ai oublié de dire quand même, c'est que comme les morphismes d'oublient de Iain, où on oublie la partition son petit, le membre de gauche, là, ne dépend pas de la partition Iain Ika, voilà. C'était la mobilité qui vient de l'attaquer géométrique. En fait, j'avais dit que les morphistes d'oublient pour l'attaquer géométrique. Alors, l'image directe envoie les faisceaux que je veux donner sur les faisceaux que je veux donner. Voilà, donc en particulier, pour expliquer les morphistes de quoi l'essence, je me restreins à la partition grossière. Et dans ce cas-là, on a simplement ça, que le Stuka pour J, bon, maintenant je mets géant en parenthèse, mais avant je ne le mettais pas, c'est le Stuka pour If, Fy, X, J, et puis l'image inverse du faisceau F-Rond, ici W, ici ça fait W zeta, canoniquement. Voilà, bon, alors après il y a les actions des morphistes de Frobenus partiel. Bon, là, avant, j'avais l'action par rapport à une partie Iain, mais bon, je vais prendre une partie qu'un singleton. Donc, je rappelle que Frobenus, c'est le morphiste de X puissance grandit dans lui-même, qui est le Frobenus en la partie I et l'identité ailleurs. Et donc, on a les morphistes comme ça, on remarquait qu'on augmente mu, parce que mu, c'était une troncateur de l'un de l'autre, un résumé sur G0, mais le Frobenus partiel, il permute. Il y avait G0, G1, GK, et ils changent G1, donc ça augmente mu. Et pareil pour les opérateurs de I, qu'ils augmentent mu. Qu'un pas, qui dépend de W, quoi. Mu plus une constante. Bon, lorsque W est galin, ces champs de Stuka, ils sont discrets, c'est juste BNGN de FQ, donc on obtient les formes automorphes, pardon. Bon, le problème, du coup, c'est que si on prend la limite sur mu, c'est plus constructible. Par ailleurs, c'est pas stable par les Frobenus, donc on ne peut pas appliquer un l'âme de Drinfeld, qui dit qu'on a un faisceau constructible sur un ouvert de l'Hixi, qui émume l'action des formules partielles, qui reste pas expectant une haute structure. Alors, ça donne une représentation du groupe de Galois à la puissance grandit. On ne peut pas appliquer ce l'âme. Donc c'est là tout quel difficulté de la preuve qui serait expliqué dans les séances suivantes. Donc aujourd'hui, on va faire comme si, dans un monde idéal, on aurait une comogique hospitale, mais rédiger ce truc, c'est infiniment pire que les difficultés techniques. Vous êtes article, non ? Ce n'est pas du tout une preuve alternative. Donc dans le système inductif, un limite inductif sur mu de ces machins-là, on va supposer qu'il y a un soufaiso lisse sur X-moisaine puissance grandit, qui est constructible, lisse avec une haute structure naturelle, et qui, en plus, est stable par les formules partielles, par les opérateurs de vequeux, etc. Bon, c'est un peu optimiste, mais bon, pour aujourd'hui, ça suffira. Et dans ce cas-là, qu'est-ce qu'on fait ? On regarde HIW, et HIW, dans ce cas-là, c'est sa fibre. Bon, j'oublie le N, parce que je ne le joue plus de... C'est sa fibre. En fait, on prend la fibre, non pas en un point générique de l'expissance grandit, ça ne serait pas canonique. On prend la fibre en le point diagonale, en delta de étabard. Du coup, c'est bien canonique pour la coalescence des pattes. Et en général, les faisceaux-là ne seront pas définis forcément delta de étabard, mais ils auront un prolongement, enfin, partie à que finir, il y aura un prolongement qui est définit, oui. Là, aujourd'hui, c'est une hypothèse. Je suppose que ça existe. J'expliquerai là. Non, non, non, non, pas du tout. J'expliquerai comment on fait pour obtenir des sous-faisons constructifs et ça, par les Frobenius. Et après, c'est l'Emsringfeld qui donne que celles-ci sont en oeuvre la formule U, pour U assez petit, ce qui suffit pour se restreindre à delta de étabard. Et alors maintenant, c'est HIW qui tombe donc les fibres de la coméologie, certaines comégies cuspidales dans les deltas de étabard. Etabard, c'est un point géométrique au-dessus de l'Emsringfeld. Etabard, c'est un point géométrique au-dessus du point générique de X, et delta, ici, c'était le morphe diagonale de X par XI. Donc, ces HIW, ils vérifient, du coup, une axiomatique qui est extrêmement agréable et qui va impliquer la proposition. Non, je vais quand même arriver avec du retard une espèce de démonstration de la proposition. L'axiomatique de CHIW, c'est vraiment agréable. Donc, à W, d'abord, c'est pour chaque ensemble I, on a un foncteur E-linéaire de W, représentation de G-chapo de puissance I, vers les représentations de Galois de F-bar-sur-F à la puissance I. Dans ça, c'est les crassolems de Drinfeld, donc on aura l'axiom de Galois à la puissance I. Bon, plus, les opérateurs de HECOM, mais j'oublie. Donc, canonique, ça, c'est petit A, petit B. Quel que soit l'application de zeta de 8 dans J. Bon, on a l'isomorphisme de coalescence canonique entre HIW et HGW de zeta. Je rappelle que W de zeta, c'est la compensation de G-chapo de puissance I, qui se déduit de W en composant par le morphe diagonale de G-chapo de puissance J, qui est en G-chapo de puissance I, qui a G-J associé à la famille des G-zeta de I. Donc, ça est comme ça qu'on obtient W de zeta. Donc, ça, c'est le fontoriel en W, équu variant par le groupe de Galois, mais quel groupe de Galois ? Equu variant par le groupe de Galois de F-bar-sur-F à la puissance J, bien sûr, qui agit naturellement à droite, et qui agit à gauche par le morphe diagonale de groupe de Galois de puissance J et puis compatible à la composition par zeta. Et puis, le dernier point, c'est que pour I égale ensemble V ou n'importe quoi d'ailleurs, ou zéro, c'est pareil. Enfin, je dirais après, pour I égale ensemble V, H ensemble V, représentation triviale, c'est les formes de morphe cuspidales. Là, je suis dans le cas où j'ai édéployé. Donc, il n'y a pas de somme sur K1. Alors, je prétends que l'axiomatique implique la proposition, implique la construction des horaires d'excursion et la proposition. C'est très simple. D'abord, on a une application, disons que pour tout ensemble I, je vais noter zeta indice I, l'application de I vers un ensemble à un élément que j'ai décidé d'appeler zéro. Et donc, en particulier, j'ai zeta de l'ensemble V qui va de l'ensemble V vers zéro. Et l'isomorphisme de coalescence associé à zeta de l'ensemble V implique que H de l'ensemble V1, c'est H de 0, 1. Et en fait, ça serait un peu plus commode d'utiliser H de 0, 1. Et comme par ailleurs, on a H de l'ensemble V de 1, c'est cas. En fait, ce qu'on veut, c'est construire les opérateurs d'excursion comme des endomorphismes de H de 0, 1. Donc, on veut définir les S, I, F, gamma, I comme endomorphisme de cet espace de H ensemble de 5 le temps 0, 1. Alors, comment on construit, pas compliqué, H0 de 5 le temps 0, 1. On l'envoie vers H de 5 le temps 0, W de zeta I. Donc, W de zeta I, c'est W avec l'action diagonale de G chapeau. Ah, j'ai oublié de dire quelque chose. En F, c'est une fonction sur G chapeau, je vais le dire là. F, c'est une fonction sur G chapeau, puissance I sur G chapeau de deux côtés. Alors, c'est très facile à voir qu'on peut trouver une W, une représentation de G chapeau, puissance I, X dans W qui est XI dans W étoiles qui sont invariants par l'action diagonale, tel que F soit le coefficient de matrice. C'est XI, le GI, point X. Voilà, c'est évident qu'un tel coefficient de matrice est un variant par le chapeau à gauche à droite. Et puis, c'est évident qu'on obtient ainsi toutes les fonctions. Et puis, il faudra montrer après que la construction de l'opérateur d'excursion ne dépend pas de WXXI, mais c'est pas difficile. Donc, comment on construit l'opérateur d'excursion ? Bah, d'abord, X, c'est un morphisme de 1 dans W zeta I. Ou W zeta I, c'est W de mener la représentation diagonale. Donc, ici, j'ai ce morphisme X que je vais noter, disons, H2X. H est un foncteur, donc, HIW, c'est un foncteur en W. Donc, j'ai ce morphisme. Après, j'ai les homophyses de coalescence. Ça, c'est HIW. Ça, c'est les homophyses de coalescence associés au morphisme de grande zeta I, indice I de I dans 0. Après, j'ai l'action galois. Puis, je reviens à H0 en sens inverse. On fait la même chose en sens inverse, par encore parisomorphise de coalescence à l'envers. Et puis, ici, on applique H2XI. On revient à H01. Donc, voici la construction de SIF gamma I pour I dans I. C'est cette composée dans AND de H01. Alors, le petit heuristique, qui est totalement indépendant des raisonnements logiques de l'article, bien sûr, mais qui est quand même bon. Ce n'est pas du tout comme ça qu'il est venu. C'est grâce au travail avec Jean Benoît. Mais maintenant, il y a apostériorie. Il y a évidemment un argument très simple qui dit, évidemment, évidemment que c'est ça le bon opérateur. Parce qu'on s'attende, après les conjectures habituelles, se recroupir des variétés de Chimura, extrapoler au Ch'toukka. D'ailleurs, c'est le travail de Laurent et puis des conjectures de Varchevski. HIW, en gros, c'est la somme des H sigma dans W sigma I. W, c'est une formation de Géchapeau-Pissenci. Donc, HIW, c'est une comologie de Mini, une action de Bataire de Heckeuil et de Galois, la puissance grandie. Donc, on s'attend à apostériorie ayant la décomposition des formes auto-morscus, mais là, on a H sigma. C'est la somme des H sigma dans W sigma I. Donc, ça, c'est mille actions de l'opérateur de Heckeuil et ça, c'est mille actions de Galois, la puissance grandie, qui est donnée par sigma, puisque W est une formation de Géchapeau-Pissenci. Donc, j'ai noté sigma-Pissenci de Galois-Pissenci dans Géchapeau-Pissenci. Donc, ce n'est pas tout à fait vrai, parce que si l'ondoscopie, il faudrait prendre les invariants par une action diagonale d'un groupe S d'Arthur, bon, peu importe pour nous. Dans le cas de Géchapeau-Pissenci, c'est peut-être vrai d'ailleurs. Du moins, c'est ce conjecteur Varshavski dans son article. Voilà. Bon, là, vous voyez, du coup, qu'est-ce qu'ils font les... Donc, on suppose que c'est compatible à tous les isomorphises de coalescence. Vous voyez, maintenant, ce qui se passe pour que l'action des opérateurs d'excursion s'évitons que ça préserve chacun des H sigma. Et puis, à l'intérieur de chacun des H sigma, ça va envoyer E dans W par X. Puis après, ça fait agir les sigma de gamma Y. Et puis après, ça fait agir XI, ça revient dans E. Donc, ce scalaire, bon, c'est l'impression que j'avais façée. La relation qu'il y avait là, la relation qui était là, c'était que F était le coefficient de matrice. Donc, je vais la réécrire, justement, la relation, c'était que F était... On a choisi WXXY pour que F soit le coefficient de matrice associé à XXY. Donc, c'est exactement ce qu'on obtient là. Vous voyez que la posteriorie par cette heuristique, l'opérateur d'excursion, il agit sur H sigma par le scalaire, qui est le coefficient de matrice, quoi. Donc, c'est exactement ce qu'on voulait, quoi. Parce que vous vous rappelez qu'on veut que, dans le théorème, voilà, on veut que l'envers de l'excursion, il agisse sur H sigma, essentiellement, c'est pas assez une déconvolution spectraque, on ne sait pas si il est diagonalisable, mais bon. Il agisse par... Dans l'heuristique, c'est diagonalisable, mais en la vraie vie, on ne sait pas. Mais on veut exactement qu'il agisse par ce scalaire là. Voilà. Alors, pourquoi l'axomatique implique la proposition, c'est très facile. Et c'est écrit dans l'introduction de l'article, dans le paragraphe 02 qui est très facile à lire. Et malheureusement, vu l'heure, je crois que je vais passer là-dessus. J'ai quand même juste dit un truc qui, d'ailleurs, et pas dans l'introduction qui est un peu dans le corps de l'article, donc du coup, je vais le dire aujourd'hui. Le reste est dans le paragraphe 02, donc si vous regardez l'article, vous allez tomber dessus tout de suite. Mais j'ai quand même écrit le... Pourquoi ça dépend pas de X, W, X, I ? Par le brevet ? Oui, oui. Non, non, mais je vais dire juste un truc, sinon c'est trop long, de toute façon. Mais pourquoi ça dépend pas de X, W, X, I ? Non, parce qu'après, il faut que j'explique pourquoi la proposition implique le théorème. Oui, oui, non, non, je préfère le faire aujourd'hui. Donc je dis juste un truc là, c'est pourquoi S... Pourquoi est-ce que l'opérateur d'excursion ne dépend pas du choix de X, W, X, I ? Pourquoi il dépend que de la fonction F ? Quelle est l'importance, ça ? Donc c'est parce qu'en fait, si dès qu'on a un morphisme U de W dans le W prime, qui envoie donc X sur X prime, et qu'il envoie la forminaire, une forminaire X prime sur XI, bah à ce moment-là, l'opérateur S... Alors, j'introduis une notation là, qui est S, W, X, XI, d'accord, au lieu de S, F. Comme je sais pas, pour l'instant, ça dépend que de F. J'introduis cette notation pour l'opérateur composé à gauche. On m'a l'énoncé, c'est que c'est égal à la même chose avec W prime, X prime, X prime et Gamai, voilà. Ce qui est un énoncé, c'est très facile, c'est juste qu'on a ce diagramme, cette ligne pour W. On a une ligne analogue pour W prime, mais deux lignes sont reliées par les flèches H2U, qui est toute commute. Et donc, la composée par une ligne, c'est pareil que la composée par l'autre, voilà. Bon, alors après, on a des... Par exemple, je vais quand même écrire les égalités, mais S, J... Tu vois, on a une application de zeta de Hidang Y. Vous voyez, bon, l'opérateur S, Y, W, X, XI, puis les Gamai pour Hidang Y. C'est pareil que J, W, zeta, X, XI et les Gamai J. Et ici, je me suis trompé, c'était les Gamai zeta de Y. Bon, donc ça, c'est pareil, on a une ligne pour W, on a une ligne pour W et zeta. Elles sont reliées entre eux par les... l'isomorphisme de coalescence, quoi, entre Y et J. Et donc, la composée par une ligne, c'est la composée par l'autre, hein. C'est vraiment... enfin, t'in, quoi. Donc c'est dans le paragraphe 02 de... je vais pas tout faire, là, je préfère expliquer pourquoi la proposition implique le théorème, quand même. Voilà, pourquoi la proposition implique le théorème. Bon, jusqu'à présent, c'était très commode d'avoir ces double quotients à gauche et à droite. Et vous avez vu que ça apparaît sénatéralement dans la construction à cause de l'XXI. Mais maintenant, pour démontrer le théorème, c'est quand même mieux de considérer des classes de conjugues, hein, bien sûr. Donc je remarque, et pour pas confondre, je vais changer de système de l'adéxation. Donc maintenant, je vais prendre... au lieu de prendre des ensembles finis généraux, je vais prendre 0N. Y égale 0N. Et l'avantage, c'est que j'échappe au la puissance Y, divisé par j'échappe au à gauche et à droite. Ça, c'est vraiment... donc j'ai appelé ça bétale, l'isomorphisme. Ça, c'est j'échappe au à la puissance L, divisé par conjugaison diagonale, par j'échappe au. Donc la flèche à G1, GN, on as aussi 1 G1, GN. 1, c'est pour le 0, on a rajouté 0, voilà. Bon, c'est évident. Et donc en particulier, au niveau des fonctions, si on a une fonction F là-dessus, bon ben ici, on a la fonction F rond beta-1, un isomorphisme au niveau des fonctions. Et alors, donc maintenant, le problème, c'est partant de NU, un caractère de l'agèbre B. Donc en particulier NU vérifie toutes les propriétés de la proposition. Comment retrouver Sigma ? D'accord ? Donc je vais appeler ThetaN, associé à NU, donc ça serait ThetaNNU, mais bon, je vais oublier NU. Bon, pour l'instant je le mets, mais après il va disparaître. ThetaN NU, donc c'est là la même chose que ThetaN, mais avec la nouvelle notation, où les ensembles sont 0, N, vous voyez pas, elles me dépendent d'un 10N. Donc ThetaN, ça va de des fonctions sur G-chapo puissance N divisé par G-chapo, donc j'ai un régonal, vers les fonctions continues sur le groupe de Galois de F-bar sur F à la puissance N, à valeur dans E. Et donc à une fonction F, qu'est-ce qu'on associe ? On associe la fonction qui a gamma1, gammaN dans le groupe de Galois à la puissance N, associe, caractère mu, appliqué à l'opérateur d'excursion, S pour l'ensemble 0N, pour la fonction qui correspond, donc F-beta-1, F-beta-1, et pour les éléments du groupe de Galois, 1, gamma1, gammaN. Donc les ThetaN, c'est juste une réécriture des neurons dans les opérateurs d'excursion, mais en changeant légèrement le point de vue, vous voyez, on fait passer les manques de Galois à droite, c'est un peu plus commode. Et alors bien sûr, ce qu'on veut, c'est trouver sigma, tel que ThetaN nu, une fonction F, soit égale à la fonction F, appliqué à sigma2gamma1, etc., sigma2gammaN. Voilà, c'est clair. C'est la correspondance entre nu et sigma, caractère nu de l'Aj, et caractère sigma, et paramètre de l'ongline sigma, qui donne la paramétrisation par les Hs, une fois qu'on a fait la décomposition spectrale suivant l'action de l'Aj. Alors là, je vais quand même réécrire les propriétés vérifiées par les ThetaN, qui sont juste une réécriture à la proposition, mais on s'est pas d'oublié un peu de l'annoncer la proposition. Donc la première propriété, c'est que, bien sûr, ThetaN, d'abord, est un morphe d'algebra, des fonctions sur Géchapeau-Pissencène, du lot conjugaison, vers les fonctions continues du groupe de Galois à la Pissencène vers eux. Notre repas, donc notre repas, c'est compatible à toutes les applications de zeta, de 1m dans 1n, mais ça, ça vient de la proposition en prolongant de zeta par zeta0 égale0, simplement. Donc je vais quand même écrire le truc. ThetaN de f zeta des GammaJ, c'est ThetaM de f, appliqué à la famille des Gamma zeta2, je ne rappelle pas, une notation. Et puis aussi, en fait, ça, c'était la propriété petit 2 de la proposition, puis la propriété petit 3. Alors là, elle est très lourde parce qu'il y a les GammaI, GammaI prime, GammaI seconde, et très lourd, on va faire quelque chose de beaucoup plus léger là, mais qui est essentiellement équivalent. C'est que si on a Gamma, donc ça, c'est la propriété petit b maintenant, si on a GammaI, GammaN plus 1 dans le groupe de Galois à la puissance N plus 1, alors je m'intéresse à ThetaN de f, appliqué à Gamma1 jusqu'à GammaN moins 1, puis ensuite, je fais le produit de GammaN et GammaN plus 1. Alors ça, c'est égal à ThetaN plus 1 de, ils ont f chapeau, appliqué à Gamma1, etc. jusqu'à GammaN plus 1. Ou f chapeau, c'est une fonction en même plus une variable qui est définie évidemment par g1, gn plus 1. f chapeau de g1, gn plus 1, c'est f de g1 jusqu'à, etc. et là, on fait le produit gn, gn plus 1. Donc si vous voulez, ces morphismes ThetaN sont compatibles aux réintéxations des indices et puis le produit de certains des Gamma entre eux. Et c'est évidemment les propriétés qu'on attend pour que ThetaN de f est à l'œuvre de Gamma, GammaN. Alors là, la proposition c'est que si on a ThetaN qui vérifie ça, ça a une donnée de ThetaN pour tout ThetaN qui vérifie ses propriétés, alors il existe un morphisme Sigma de continue, le rouleau de Galois, donc c'est alors. Alors il existe dans g chapeau de heuprime ou heuprime et une extension finie d'œur, tel que l'adérence de Zariski de l'image soit réductive, c'est-à-dire un morphisme semi-simple, et tel que quel que soit f, quel que soit Gamma, GammaN, eh ben on est, je vais pas réécrire la relation que, enfin si elle est tellement importante que j'ai réécrit, ThetaN de f en Gamma, GammaN, c'est f de Sigma Gamma, Sigma GammaN. Et ce morphisme est unique à conjugaison près par g chapeau de Kielba. Alors lorsque le groupe est GLN, ce théorème était déjà connu, parce que en fait, les propriétés qui sont là, d'après procésie, on sait que la catégorie tensorielle des représentations de GLR, la seule relation en fait, c'est l'homme d'air plus un, la standard est galzéro. Donc en fait dans toutes ces relations-là, la seule relation en fait, d'abord tout est déterminé par le caractère, par ThetaN, ThetaN c'est le caractère essentiellement, tout est déterminé par le caractère ThetaN, c'est parce que la standard engendre tout, et puis ensuite, la seule relation c'est l'homme d'air plus un, la standard est galzéro, donc la seule relation c'est la relation de pseudo-caractère. Et donc c'est bien connu qu'un caractère qui vérifie la relation de pseudo-caractère et le caractère de la relation semi-simple, dans GLR. Il y a beaucoup de gens qui ont contribué, Wiles, procésie, Thelaur, puis après on a caractéristique paix, rouquiers, cheveux de levier, etc. Mais donc en fait dans le cas de GLR, cet énoncé était connu, en général c'est pas difficile, disons que la partie difficile a déjà été faite, et ça qui est bien dans les articles, c'est que tout ce qui est difficile en fait, s'attaquer, et ce que je vais dire maintenant, ça a déjà été fait. Donc là, la partie difficile c'est Richardson. Richardson a démontré, dans les années 80, à l'aide de la théorie des invariants de Neumann Ford, j'ai hité quoi, que le caussier en grossier de Géchapeau puissance saine par Géchapeau, donc les points sur QL bar de ce caussier en grossier, sont en bijection avec les cas de conjugaison de Nupley, semi-simple, donc ce sont en fait les Nupley pour lesquels l'orbite est fermée quoi, par la théorie géométrique des invariants. Alors semi-simple c'est toujours pareil, ça veut dire que si ils sont dans un parabolique, alors ils sont dans un Lévié associé, ou en caractéristique zéro, ça veut dire que la verance à risquis du sous-groupe engendrique est éductive. Donc ça c'est difficile, c'est un article à Tchouc dans les années 80, on va faire une rentaine de pages, mais qui en plus utilise la théorie des géométriques invariants et des critères de, comment ça s'appelle ? Hilbert Neumann Ford, je ne sais plus, quelque chose comme ça. Donc une fois qu'on a ça, c'est vraiment facile, parce que l'idée c'est qu'on a plein de caractères de cet algèbre, pas chaque fois qu'on a gama1, gaman, on a le caractère kf associe thetaN de f en gama1, gaman. Donc ça c'est un caractère, caractère de l'algèbre des fonctions sur G chapeau et la puissance N divisé que j'ai dans le diagonale par G chapeau. Donc ce caractère d'une algèbre, bon bah évidemment il correspond à un point du quotient grossier, que je vais noter, excusez-moi pour encore une nouvelle notation, kxN de gama1, gamaN, et donc je vais noter kxN semisimple de gama1, gamaN, la classe de conjugaison de la nuplet semisimple. Donc ça c'est un point kxN, c'est un point du quotient grossier, et kxN semisimple c'est la classe de conjugaison de la nuplet semisimple qui est associée par le théorème de Richard Sonne. Alors qu'est-ce qu'on veut maintenant ? Eh ben on veut que la relation que doit vérifier Sigma, évidemment, cette relation là là, elle se traduit par le fait que quelque soit gama1, gamaN, on veut que Sigma gama1, Sigma gamaN soit nuplet. Bon il n'est pas forcément semisimple mais il est semisimple si par exemple ces arrises qui dansent dans l'image, la posteriorie, mais on veut que cet élément soit au moins au-dessus de kxN, dans le gamaN, dans le quotient grossier. En fait ce qui se passe pour qu'un temps la nuplet n'est pas semisimple, il est dans un parabolique, c'est-à-dire là, et on peut le projeter sur le levis, dans le semisimplifiant quelque sorte. Mais ça diminue strictement la dimension du groupe engendré, bien sûr. On va utiliser ça, c'est notre théorème de Richard Son qu'on utilise. Donc maintenant je vais quand même séparer la démonstration de l'unicité de Sigma qui est évidente. L'unicité de Sigma, on choisit gama1, gamaN, tel que le Sigma, gama1, gamaN soient arrises qui dansent dans l'adhérence d'arrises qui est l'image, qui est réductive. Donc on sait que ce n'est nuplet c'est semisimple. Et maintenant si on prend en plus un gama dans gama... Ah oui, non, j'ai oublié de dire quelque chose. On fixe la classe de conjugaison de ce n'est nuplet. Donc on fixe gngN. Ah bah non, je suis bête. Non, bah non. Bon, supposons qu'on fixe un Sigma, d'accord ? Donc maintenant pour tout gama dans gama, on connaît ce n plus un nuplet, mais aussi semisimple. Et il a même adhérence à risquer que Sigma de gamaN. Donc Sigma de gama est dans l'adhérence à risquer des autres. Donc si maintenant on fixe la classe de conjugaison de ce n'est nuplet semisimple, histoire de fixer la classe de conjugaison de gama, parce qu'on montre que gama est unique à conjugaison près. Donc maintenant j'ai dit quelque chose de plus précis que si j'ai fixé la classe de conjugaison du n nuplet Sigma de gamaN, Sigma de gamaN, alors le Sigma il est vraiment unique. Il est vraiment unique simplement et après Sigma de gama est déterminé pour tout Sigma. Puisque la classe de conjugaison de ce n plus un nuplet, Sigma de gamaN, Sigma de gamaN sont fixés, le n plus un nuplet est fixé. Parce qu'il a la même adhérence à risquer qu'il est fixé. Donc Sigma est unique. Maintenant l'existence de Sigma, c'est pas difficile. Alors on aimerait fixer gamaN, gamaN, tel que ce Sigma de gamaN, Sigma de gamaN, mais on sait pas a priori qu'il y a l'adhérence à risquer de l'image. Donc on ruse un peu. J'ai besoin d'une petite notation. Donc pour chaque gamaN, gamaN, je choisis un n nuplet G1GN d'un n nuplet de semi-simple au-dessus de gamaN, correspond à un gamaN, gamaN. Et donc j'ai choisi un gamaN, gamaN, tel que l'adhérence à risquer de l'image soit de dimension maximale et puis le c de g1GN, c'est le centralisateur de g1GN et minimal, c'est-à-dire bon, dimension minimale, nombre de composants de connex minimale, minimal à conjugaison, bref si vous voulez. Et puis bon, et on fixe g1GN dans sa classe de conjugaison de n nuplets semi-simple. Alors je prétends que maintenant, alors quel que soit gamaN. Donc c'est deux conditions qui remplacent le fait que c'est gamaN, c'est gamaN, les arrises qui dansent. Donc après, quel que soit gamaN dans gama, il existe un unique G, le prétend qu'il existe un unique G, tel que g1GNG, soit au-dessus de, soit, pardon, dans la semi-simple, soit dans la classe de n nuplets semi-simple associé à gamaN, gamaN, gama. Donc la raison c'est la suivante, c'est que bon, a priori le problème c'est qu'on sait pas qu'on, a priori on a n nuplets semi-simple à conjugaison près donc associé à gamaN, gamaN, gamaN, mais on sait pas que l'achat-achatN est semi-simple. Mais si l'achat-achatN n'était pas semi-simple, le sous-groupe engendré, c'est une dimension plus grande, strictement, ce qui contredirait la maximalité ici. Donc finalement il est semi-simple, donc finalement, l'achat-achatN, comme c'est semi-simple, il est conjugé à g1GN, donc on peut, finalement on a effectivement, on pouvait supposer que le N plus un est place, c'était g1GNG. Donc, et après, par minimalité du centralisateur, le centralisateur de g1GNG, c'est pareil que celui de g1GN. Il ne peut pas être plus petit, sinon on rencontrerait la minimalité. Donc g, du coup, il commute au centralisateur de g1GN. Alors c'est évident que g, il est bien défini, modulo le centralisateur de g1GN. Donc il est, finalement, il est unique. Et après, on montre que, on montre que Sylvain est un morphiste de groupe, en faisant le même raisonnement comme ça, si on a deux éléments, gama et gama après, vous voyez, au lieu d'un seul, on fait le raisonnement pour le Nuplay, auquel on a rajouté gama, auquel on a rajouté gama prime, auquel on a rajouté les deux, auquel on a rajouté le produit, chaque fois le même raisonnement. Et puis, on utilise le petit B. Le petit B, là-haut, qui dit que le N plus un est place associé à gama, gama N, et puis gama, gama prime. Il s'obtient à partir de la N plus un, et puis gama, gama prime, en faisant le produit. On trouve finalement que sigma de gama prime, c'est sigma de gama, gama prime. C'est un morphiste de groupe. Et puis, à la fin, il faut montrer aussi que, bon, c'est évident qu'il prend ses valeurs dans le gêchapo de prime, si g1, gn est définit sur reprime, où reprime est d'une extension finie de 1. Donc on ne contrôle pas l'extension finie qui intervient, c'est normal. Mais bon, elle existe, parce que c'est g1, gn, ils sont sur QL bar, donc ils sont bien définis sur une extension finie de QL. Voilà. Alors, pour montrer que sigma et, je prends, j'ai fini en 3 minutes. Pour montrer que sigma est continue, alors là, on utilise l'opérateur de Reynolds. Enfin, c'est tout bête, mais j'ai quand même le dire, parce que, en fait, pour montrer que sigma est continue, en fait, ce qu'on sait, c'est que quelle que soit f, une fonction dans O de gêchapo, puis en n plus 1, conscienté par configuration par gêchapo, on sait que gamma, la fonction qu'il y a, gamma associe f de g1, gn, gamma, est continue. Sigma gamma, pardon. Parce que ça, bon, maintenant, on sait que c'est, si vous voulez, theta n de f en gamma 1, gamma n, gamma. Et donc on sait que c'est continue en gamma. Donc finalement, on sait que ça, c'est continue, vous voyez. J'ai un gn, ils sont fixés, on les a fixés dans la démonstration de l'existence. Donc on sait que cette fonction est continue. Donc, alors ce qui se passe, c'est que les fonctions là-dessus, donc ça, ça se surjecte bien sûr vers les fonctions sur gêchapo à conjugaison près par centralisateur de gn, gn. Quand on les évalue en gn, gn, gn. Une histoire parce que les orbites fermées, c'est des variétés affines, une histoire comme ça. Et puis ensuite, ça, ça se surjecte vers les fonctions sur ce que je vais appeler d de gn, gn, qui est le centralisateur du centralisateur. Voilà, le centralisateur de c, gn, gn. Ça, c'est Reynolds. On peut attendre Reynolds. Parce que, vous voyez, si j'avais pas mis la variance là, c'est évident que ça se surjecte, c'est une restriction. Et c'est gn, gn, il agit trivialement là-dessus. Et l'apprentation d'un groupe réductif, c'est complètement réductif. Enfin, je veux dire, si on a un morphisme surjectif et qu'on prend les variantes par un groupe réductif, ça reste surjectif. Donc, voilà. Donc, dès gn, gn, c'est le centralisateur de gn, gn. Donc, sigmat gama, il est dedans, bien sûr. Si vous voulez ça, c'est un truc qui majeure la priori, la déérence de sigmat, quoi. Et donc, finalement, on sait que, comme tout ça ça se surjecte, on sait que pour toute fonction sur f, toute fonction là-dessus, cette fonction associée à sigmat gama, c'est une fonction continue de gama. On a montré que sigmat continue. Ok? Et puis, bon, il reste à démontrer qu'il reste à démontrer que, finalement, la relation là-haut, là, avec, vous voyez, l'état n de f, et qu'à f de sigmat gama, sigmat gamen. Donc, je vais plutôt l'écrire theta m de f égal sigmat de... appliqué à... Ah oui, j'avais oublié là-haut. Désolé. J'avais oublié gamin gamin à la... c'est là la bonne relation, voilà. Merci. Donc, là, je change de notation parce que gamin gamin, ils sont déjà utilisés. Donc, delta 1, delta m. On veut montrer ça, quoi. Sigmat de delta 1, sigmat de delta m, et f, appliqué à ça, d'accord? On veut montrer ça. Bon, mais ce qu'on fait, c'est qu'on réit, on recommence les arguments ici, avec gama 1, gama n, puis delta 1, delta m, oui. Donc, on obtient des éléments que j'ose plus appeler g1 parce que gg sont déjà utilisés. Enfin, enfin, donc, finalement, en faisant comme ça, on sait que sigmat gamin, sigmat gamen, ça, c'est g1, gn, et puis sigmat delta 1, sigmat delta m. Finalement, on sait que ça, c'est... que ça, c'est au-dessus de xi n plus m de gama 1, gama m, gama 1, gama n, delta 1, delta m. C'est même, donc, si n plus m se met simple, en fait. Mais, du coup, on peut oublier les n premiers, là. Non, c'est dénoncé. C'est au-dessus. Et donc, on a la relation aujourd'hui. Voilà, c'est fini. Merci pour votre attention.