 اسلام علیکم تو کیسے ہیں سب لوگ ٹھیک ٹھاک خیریت سے اور جیسے میں نے پشتہ لیکچر میں کہا تھا کہ ماثمیٹیشنز کی گریٹنگ کیا ہوتی ہے وہ ہوتی ہے جناب کے آپ کی ماثمیٹکز کیسے جاری ہے تو کیسے جاری ہے ماثمیٹکز آپ کی میری امیت تو یہ ہے کہ سب ٹھیک ٹھاک جاری ہے اور میں اسوم کر رہا ہوں ایک طرح سے کہ جی میں نے جب یہ پوچھا کہ سب کی مات کیسے جاری ہے تو مجھے ایک طرح کی سب نے جتنے بھی سٹیڑنس ہیں سب نے جواب دیئے کہ جی بلکل بہت اچھی جاری ہے تو امیت یہ یہ میری کہ اللہ کرے ایسا ہوں کہ سب کو ٹھیک ٹھاک سب جارا ہوں اس میں کالکلسر کورس میں اور حب جو میں نے دیکھیں کچھ آپ لوگ کی رسپانٹس آئیے تو اس سے مکس رسپانٹس ہے یعنی ٹھیک ہے کچھ لوگ کو شہت کچھ problems ہیں لیکن وہ تو expectت سی بات ہے ظاہر ہے ماثمیٹکز پرڈ ہیں تو اس میں ہوتی ہیں اور ہر چیز میں ہوتی ہیں یعنی جب کوئی نئی چیز ہم سیکتے ہیں تو there are always problems with the new things لیکن یہ کہ خاص بار پر ماثمیٹکز میں problems جو ہوتی ہیں تھوڑی pronounce لکتی ہیں زیادہ بڑی لکتی ہیں کیونکہ subject ایسا ہے لیکن کوئی بات نہیں وہی بات ہے کہ آپ نے چونکہ پریکٹس کرتے رہیں آپ لوگ اور جنو نے ابھی تک اگر نہیں کیے homework practice زیادہ تو وہی بات ہے کہ practice makes perfect تو practice مزیت کیجے اگر کر بھی چکے ہیں homework problems اوغرہ تو اس کے لعاوہ جو extra کچھ اگر کرنا چاہیں تو کر لیجے کیونکہ اس سے concepts جو ہوتے ہیں وہ clarify ہی ہوتے ہیں کوئی خاص problem نہیں ہوتی یعنی اس میں کوئی یہ نہیں کہ جی آپ کا ذہن ایک ایسی چیزیں جو زایا نہیں ہوتی بیسکلی تو وہی بات ہے کہ practice کرتے رہیے اور پر problems ہوتا of course we are already in touch اچھا جی تو یہ تو ہماری mathematicians کی اب start کرتے ہیں یہ والہ لیکچر تو اس میں یہ ہے کہ پشل لیکچر میں کچھ ہم نے important چیزیں دیکھی تھی یہ لیکچر number 31 ہے پشل لیکچر میں ہم نے جو بات کی تھی اس کے ڈیس کو further develop کریں گے سی میں ظاہر ہے وہی سیکونس ہے کہ جو پہلے دیکھ چکیں اس کو مزید develop کیا جائے گا تو پشل لیکچر میں ہم نے کیا دیکھا تھا ہم نے بہتی important چیز دیکھی تھی ایک اس میں تھا جناب first fundamental theorem of calculus دیکھا تھا جس کا مخصص صرف یہ تھا کہ جی آپ کو ایک بہتی آسان طریقہ بتایا گیا تھا اس میں اس وہ تھیرم ہے وہ آپ کو یہ بتاتا ہے کہ یہ جو definite integral ہے جس کی proper definition اگر دیکھی جائے تو اس میں ایک limit بھی involved ہوتا ہے ساتھ ہی میں ایک summation کی equation ہوتی ہے expression ہوتی ہے اور اس سب کو ہم نے دیکھا تھا کہ its kind of hard to evaluate that whole definition یعنی اگر آپ definition کی طور پہ definite integral کو evaluate کریں گے تو اس میں کافی calculational computational جو اس کی وہ ہے کافی مشکل ہوگی ہے نہیں اس میں ظاہر ہے چونکہ بہت ساری terms ہوتی ہیں سام میں ہو سکتا ہے آپ نے بہت بڑا سب division لی ہو تو it can be very intimidating لیکن یہ کہ definite integral کی جو بیسے valuation ہم نے first fundamental theorem میں دیکھی اس کے حساب سے تو یہ بہتی اسان ہو جاتا ہے valuation اسان ہو جاتی ہے as long as you know an antiderivative of a given function that you are trying to integrate تو وہی بات ہے کہ antiderivative کیسے معلوم کیا جائے اس کی کچھ ٹیکنیک سم دیکھ چکیں substitution کی بات کی تھی اور وہی بات ہے کہ substitution کی ذریعے ہم نے دیکھا تھا کہ indefinite integral کیسے evaluate کرتے ہیں یہ کافی lectures پہلے ہم نے دیکھا تھا پھر وہی idea ہم نے پشلے lecture میں develop کیا کہ جی ایک relationship بنائی definite integral اور indefinite integral کی درمیان اور پھر ہم نے کہا کہ جی ان دونوں کو یہ relationship کو ہم exploit کر سکتے ہیں کیونکہ ہمیں ہمارے پاس first fundamental theorem of calculus تو ہے ہی آپ اس میں صرف یہ بات را جاتی ہے کہ ہمیں بڑا سان طریقہ بتاتا ہے یہ theorem for evaluating the definite integral لیکن وہی بات ہوتی ہے کہ as long as we know how to find the antiderivative of a given function یعنی وہ function جس کو آپ integrate کر رہے ہیں یہ اس کا definite integral معلوم کر رہے ہیں تو وہ ہم نے طریقہ develop کیا تھا کہ جی relationship جو ہے definite or indefinite integral کی درمیان اس کو اگر آپ exploit کریں تو آپ بڑا سانی سے antiderivative معلوم کر سکتے ہیں یعنی actually اس سے تو آپ evaluate کر سکتے ہیں کیونکہ as long as soon as you get the antiderivative تو باقی first fundamental theorem apply کر کے جو آپ بڑے سانی سے آجاتا ہے تو یہ basic جو crucial بات تھی آپ کے پچھلے لیکچر کی وہ یہ تھی یعنی اور کچھ نہ ہو لیکن یہ چیز تو definitely سمجھا جا نی چاہیے تھی اور I'm sure کہ ہم نے چونکہ کافی لمبچوری بات کی تھی اس کے بارے میں تو آپ کو I'm sure you have some idea of what it's all about اچھا اب یہ کچھ تھوڑی سی آپ میں historical باتے کرنا چاہ رہا تھا اس لیکچر میں کیونکہ کافی دن سکی نہیں تھوڑے دن پہلے ہم نے گاؤس کے بارے میں کچھ باتے کی تھی جس میں اس کی contribution کی بھی بات کی تھی اس لیکچر میں میرے حال سے ہم Riemann کے بارے میں بات کر لیتے ہیں کہ ایک mathematician تھے 1800's میں German mathematician last name ان کا تھا Riemann تو ان کے بارے میں بلکہ آپ کی textbook میں کچھ تھوڑا سا ایک وہ دیا ہے historical background وہ بھی دیک سکتے ہیں میں ان کا تھوڑا سا ہی کہانا چاہوں گا کہ of course تھے تو بڑے زبادہ mathematician German تھے اور گاؤس کے by the way آخری thesis کے student تھے یعنی گاؤس جب کافی senior ہو چکے تھے late 1800's کی بات تو اس وقت Riemann جتے ان کے آخری student تھے in the sense کہ گاؤس نے Riemann کی آخری thesis اپروف کی تھی اور اس کو کہا تھا کہ یہ بالکل Riemann کی آخری thesis تھی جو گاؤس نے اپنے career میں overlook کی اس کو اور اس کو basically approve کیا تو یہ تو ایک ٹھیک ٹھاک زبادہ سکی سم کی interesting سی relationship یہ ہی بن جاتی ہے کہ گاؤس جس کو ہم prince of mathematics بھی کہتے ہیں تو اس کے درمیان اور یہ جو ایک student تھا آخری student in the sense Riemann تو ایک ساتھ یہ کہ Riemann کازکر کیوں کر رہے ہیں اس لے کر رہے ہیں کہ اس کا نام یہ جو نام Riemann صاحب کا یہ ہم دیکھ چکے ہیں پہلے جب ہم نے Riemann سم کی بات کی تھی یعنی جب ہم یہ سارا topic شروع کیا ہم نے integration کا اور اس کے ساتھ ہم نے area under the curve کی بات کی تو اس میں یہی تھا کہ وہ جو ہم ایک process تھا جس میں سب divide کر کے اور rectangles بناکے limit لے کے ہم سارا کرتے ہیں اس میں جو some of the areas of various rectangles جو آپ بنائے تھے تو اس کو ہم نے کہا تھا کہ اس کا اس کو ہم کہتے ہیں Riemann سم تو اس کی کیا وجہ اس کی وجہ یہ ہے کہ ہم نے کچھ contribution کی تھی اس میں اور یہ جو سارا idea ہے area under the curve کا یہ actually Riemann نے کافی حتک دیوالت کیا تھا اپنے جو انہوں نے اپنے ماثمیٹکس کی career میں اپنے جو یہ کافی بیسکسی چیز ہے لیکن انہوں نے اور بہت بہت بہت چیزے بھی کی مثال کے طور پہ جو idea ہے calculus کا یہ ابھی تک ہم نے میں نے آپ کو یاد ہوگا کافی پہلے کہا تھا شروع میں کہ ہم real numbers پہ calculus کر رہے ہیں یعنی ہماری جتنے بھی sets جن کے اوپر ہم بات چیت کریں گے وہ real numbers پہ بیست ہوں گے تو functions بھی جو ہمارے ہیں انپٹ ویلوز بھی real numbers ہیں اور انی functions پہ جن کو ہم نے real numbers کے طور پہ کی بیسس پہ define کیا ان کے اوپر ہم نے پھر calculus کو کرنا شروع کیا اور develop کیا کہ جی derivative کیا چیز ہوتی ہے اور integration کیا چیز ہوتی ہے ایسے functions کی تو ریمان صاحب جو تھے انہوں نے تو بل اس کو یہ پورے idea کو calculus کے کافی آگی لے گئے تھے یعنی ایک چیز ہوتی ہے mathematics میں جسے ہم کہتے ہیں manifold اب manifold کیا چیز ہوتی ہے ایک سیٹ ہوتا ہے جیسے real numbers کا سیٹ ہے لیکن اس کے اندر کچھ خصوصیات ہوتی ہے بہت زب you know interesting کسم کی جن کو خیر اب ہم اس کے بارے میں بات تو نہیں کر سکتے ہیں کیونکہ کافی high level اور interesting topic ہے لیکن یہ کہنات کے مخصد یہ ہے کہ ریمان نے calculus کو develop کیا اس طرح سے کہ وہ many folds بھی کیا جا سکے اور higher dimensions میں کر سکے ہیں تو انہوں نے کافی contribution کی اس حوالے سے calculus کی field میں جہاں لوگ سمشتے تھے کہ جی calculus جہاں وہ صرف real numbers پہ کرنا چاہیے اور اس کی کیا وجہ تھی ہوئی ای وجہ تھی کہ جیسے بہت پہلے کے زمانے میں ہم نے انسانیت نے جب counting شروع کی تو natural numbers were the first ones that they developed or created اس کی وجہ یہ تھی کہ جی آپ کو counting کی ضورت پڑھتی تھی بھیرد وکریہ گنی کی ضورت تھی تو انہوں نے natural numbers کا idea develop کیا اسی طرح جب calculus کی development ہو رہی تھی تو اس میں یہی مخصد تھا کہ applied problems see of course engineering میں physics میں astronomy میں تو ان میں یہ applications کرنی تھی اس limit کی idea کی derivative کی idea کی اور integration کی تو ظاہر اسی بات ہے real numbers پے calculus شروع کیا گیا اچھا جی تو ٹھیک ہے calculus کیا جا سکتا ہے complex numbers پر تو لوگا نے اس کو کیا بلکے they developed this idea کہ بھئی ان کو بلکے کہا جاتا ہے پہلے تو ان نے ظاہر اسی بات ہے کہ ہم نے دیکھا کہ calculus جب ہم real numbers پے کر رہے ہیں تو ایک function کا idea ہونا ضروری ہے تو جب complex numbers کیا پر بات ہوئی کہ ان کے حوالے سے calculus کیسے develop کریں تو ایک complex function کا idea develop کیا گیا اور پھر اس کے بعد اس پر پوری theory بنائی گئی اور اس میں reman اور gaus کا بلکے کافی ہاتھ تھا they contributed a lot to this development of this analysis کہتے ہیں اس کو of complex numbers اور پھر اس کے علاوہ لوگ نے کہا کہ جی ٹی کے complex numbers بھی ہوتے ہیں اس کے علاوہ اور general کوئی sets اگر ہوں ہمارے پاس جن کے اوپر ہم شاید calculus کر سکیں شاید نہ کر سکیں it was a good question کہ جی کیا کوئی اور sets ہیں جن پر calculus develop کیا ہے سکتا ہے یا نہیں کیا جا سکتا تو اس کے طرح کے سوالات پر reman نے غور کیا انہوں نے ایک reman surface کا idea دیا جس پے کافی باتیں لہذا این mathematician کا reman کا calculus کے حوالے سے یہ calculus کی field میں overall aside from just calculus of real numbers کافی ہاتھ ہے اور کافی contribution ہے اچھا یہیں پیسر بات ختم نہیں ہوتی کیونکہ reman کا جو اصل interesting جو ایک ان کے بارے میں بات ہے historical point of you say mathematics کی history میں وہ یہ ہے کہ انہوں نے ان کے حوالے سے ان کے نام سے ایک unsolved problem in mathematics جو آج تک اس کا solution نہیں معلوم کیا جا سکے اور وہ ہے جی reman جو ایک انہوں نے ایک function دیوعلب کیا تھا اس کے اوپر انہوں نے کچھ ایک باتیں کی تھی تو اس function کی کچھ خصوصیات تھی جو انہوں نے hypothesize کی تھی یا conjecture کیا تھا کہ ایک function ہے complex variables کا complex numbers کا اس کی کچھ خاص characteristics ہیں اور ان کو prove کرنے کا جو سارا تھا مخصد وہ یہ نہیں کر سکے اس کو prove انہوں characteristics کو اس function کے لیکن ابھی تک بلکہ وہ کیا بھی نہیں جا سکے تو یہ اس کی وجہ سے کافی مشہور mathematician ہے reman's hypothesis کیا آتا ہے یہ بلکہ recently mathematics میں actually کافی ایسی problems ہیں unsolved problems پچھلی جو پچھلی صدی میں یہ اس پچھلی صدی سے مراد of course 1900s اور اس سے پہلے 1800s میں hypothesize کی گئی تھیں وہ problems یعنی ان کو conjecture کے طور پر present کیا گیا تھا اور 1900s میں کہی ایسی تھی جن کا solution لوگا نے معلوم کر لیا تھا ان میں سے ایک تھی pharma جن کا شاہد ایک دفعہ میں نے ذکر کیا تھا French mathematician تھے ان کی بھی کچھ تھوڑے بہت contribution scene calculus میں انہوں نے a number theory کا conjecture کیا تھا جس کو pharma's last theorem کی نام سے مشہور تھا وہ سارے 300 سال تک اس کا کوئی سلوشن نہیں نکلا مطلب سلوشن conjecture کیا گیا تھا لیکن اس کا proof کوئی نہیں تھا تو 1993 میں یہ actually بلکہ 1995 میں finally Princeton university کے ایک professor تھے Andrew Wiles جنہوں نے اس کا proof کیا اور کافی بڑی بات تھی کیونکہ سارے 300 سال بات جو ایسی problem جو کافی لوگ کو avoid کر گئی اس کا solution معلوم کر لیا گیا لیکن یہ جو ریمان hypothesis ہے یہ جو ہے اس کو ابھی تک اس کا سلوشن نہیں معلوم کیا جا سکا ہے مطلب یہ کہ سلوشن تو conjecture تو کیا گیا لیکن اس کا proof کوئی نہیں ہے تو it's an unsolved problem یا open problem ہے Mathematics کی اور ریمان اس حوالے سے کافی مشہور Mathematician ہے aside from the fact کہ انہوں نے calplus کی free time ہو تو آپ چیک کریں کہ یہ ان کا hypothesis کون سا ہے یہ کیا اس کی تیوری ہے اس کے پیچھے اور اس کو کیا اس کے بارے میں کان کیا جا چکر چکا ہے ابھی تک تو it's an interesting problem ظاہر ہے کافی high level کی بات ہے لیکن it's good to know the basic idea behind it اس سے تھوڑی سی development ہوتی تھوڑی entertainment ہو جاتی ہے Mathematics میں اچھا جی تو یہ ہمارا آچ کا historical سرمن تھا یا نہیں جو historical لیکٹر تھا جو حصہ جو تھا اس لیکٹر کا وہ ہم نے کر لی تو اب ہم لیکٹر کے بارے میں بات کرتے ہیں سب سے پہلے دیکھتے ہیں کہ آچ کا topic کیا ہے اور اس کا agenda کیا کیا topics ہیں جن کے بارے میں بات چیت کی جائے گی تو آئیے دیکھتے ہیں topic ہے جناب evaluating definite integrals اور جو باتیں ہیں well اگر note کریں صرف دوی چیزیں لیکن اس کا مطلب یہ نہیں بس آج کا لیکٹر بہت چھوٹا سائے لیکٹر ہوتنے ہوگا جتنا ہونا چاہیے لیکن یہ کہ اس کے بارے میں بات چیت ہم کر لیں گے topics ہیں جی evaluating definite integrals by substitution ابھی تک ہم نے indefinite integrals evaluate کیا تھے using u substitution یہاں امراد substitution سے ہے u substitution اور وہ ہم سمال کریں گے definite integrals کو evaluate کرنے کے لیے اور اس کے بعد ہم دیکھیں گے کہ definite integrals کو اگر evaluate نہ کرسکے ہم to get an exact answer تو ہم approximate کرسکتے ہیں using of course the Riemann sums تو جناب یہ آج کی باتیں تو یہ ابھی ہم شروع کرتے ہیں اس سے پہلے کہ in topics پر بات کریں ایک چیز جو پشل لیکٹر میں بلکے ہم نے discuss کی تھی آخر میں بالکل وہ تھی average value of a function تو یہ میں نے کہا تھا کہ آپ لو خود اس پر خور کر لیجے گا اس کے بارے میں ٹائم بھی نہیں تھا اور کچھ میں نے سوچا کہ آپ لو اس کے بارے میں سوچیں گے تو it'll be a good exercise لیکن کچھ e-mails اگر آئیں تھی کچھ سوال لو نے پوچھے اس کے بارے میں تو میں نے سوچا کہ چلیں اس لیکٹر میں اس کے بارے میں بات کر لیتے ہیں تھوڑا سا دیکھ لیتے ہیں کیا ہے تو آئیے بیسکل پچھلے لیکٹر کی لیکٹر No. 30 کی کچھ بات آخر میں جو رہا گئی تھی اس کو دیکھ لیتے ہیں ٹیٹیل میں تھوڑی سی اچھا تو اس کی دیفنیشن پہلے دیکھ لیتے ہیں آیورڈیش ویڈیو کہ اس کی دیفنیشن کیا ہوتی ہے بلکہ دیکھنے سے مراد یہ کے لیکھ لیتے ہیں تا کہ سامنے بھی آجا ہے تو اس کی دیفنیشن جناب کچھ یہ ہے کہ یعنی انٹیکر بل سے مراد کہ اس کو انتگریٹ کیا جا سکتا ہے the interval ab then the average value یا جیسے بلکہ آپ مین value بھی کہہ سکتے ہیں of f on ab is defined to be f subscript average یا av e لکھ لیتے ہیں equals one divided by b minus a times the definite integral from a to b of f of x dx تو جناب یہ آپ کے سامنے دیفنیشن تھی یہ ٹیکس بک میں بھی بلکے دیکھ سکتے ہیں آپ پھر سے اس کو تو اس میں یہ ہے کہ یہ جو کونٹی ہم نے ابھی دیکھی اس دیفنیشن میں یعنی one minus one divided by b minus a times the definite integral a to b of f of x یہ ہم پہلے اسی previous لیکچر میں ہم اس کو پہلے بھی دیکھ چکے تھے in terms of some other things تو یہ ہے کہ اس کو یعنی اس میں یہ ہے کہ کیسے کیوں ہے یہ ایسے تو اس کو تھوڑا سا پروف ٹائپ کا تو نہیں لیکن یہ کہ تھوڑی سی اس کی بیگرانڈ ایک دیکھ لیتے ہیں کہ یہ دیفنیشن کہاں سے آتی ہے یعنی ذہرہ دیفنیشن ہے تو اس میں پروف تو کوئی نہیں ہوگا it has to be that way لیکن موٹیویشن کیا ہے کہ یہ دیفنیشن اگر ہے تو کیوں ہے اس کے بیگرانڈ کیا ہے تو اس کو دیکھنے کے لیے کچھ تھوڑی سی باتیت کر لیتے ہیں ایسا کرتے ہیں کہ جی آپ ایک انٹرول لیتے ہیں جس کی ہم نے یہاں پر دیفنیشن میں بات کی کہ انٹرول لیتے ہیں اے سے بی تک کلوزڈ انٹرول اور اس کو سب دیفائٹ کر لیتے ہیں انٹو سمولر سب انٹرولز یعنی کوئی نئی بات نہیں یہ تو ہم پہلے بھی کر چکے ہیں سارا طوپک ہی رہا ہے پریویس کچھ لیکچرز میں تو سب دیفائٹ اس طرح کرتے ہیں کہ جو آپ کے سب دیفائٹ بنیں گے یا جو سب انٹرولز بنیں گے ان سب کی چڑائی جو ہے یا ویٹھ جو ہے وہ برابر کیوں یہاں پہ ہم وہ والا کون سپ نہیں استعمال کر رہے کہ جی کچھ بھی ویٹھ لے لیں یعنی ہر انٹرول کی علاگ سب انٹرول کی علاگ ویٹھ تھو ہم یہ چاہا رہے ہیں کہ سب جو سارے جتنے بھی سب انٹرولز بنے ان سب کی ویٹھ ایک ایو اور اس کا طریقہ یہ تھا کہ ہم نے شروع میں بہت پہلے دیکھا تھا کہ اس کو ہم کہتے ہیں جی آپ جو اپنا انٹرول ہے ای بی اس کو دیفائٹ کر دیں بای سم نمبر پوزیلر نمبر n اور وہ کچھ بھی ہو سکتا ہے جتنا بڑا n لیں گے اتنی چھوٹی چڑائی ہوگی آپ کے سب انٹرول کی اگر n چھوٹا لیں گے تو بڑا سب انٹرول آئے گا تو اس کو آپ ایسا کریں کہ دیفائٹ کردنے یہ بلکی کر بھی چکے ہم ڈلٹہ ڈیکس کو ہم کہیں گے ایسے سب انٹرول اور اس کی دیفائٹ جو ڈیفنیشن ہے یہ فارمولہ ہے وہ ہے b minus a divided by n تو یہ آپ کا آپ کی آگی ہر سب انٹرول کی ویٹ جس کو ہم ابھی کنسرر کریں گے اچھا اب چونکہ یہ اب ہمارے پاس دیکھے انٹرولز آگے اب اس میں ایسا کرتے ہیں کہ کوئی ہر سب انٹرول میں سے ایک ایک point چوز کر لیتے ہیں تو پہلے سب انٹرول میں سے کہ لیتے ہیں جی ہم point لیں گے بلکی اس کو لکھ لیتے ہیں کہ ہم کر کیا رہے ہیں تو دیکھ لیں کہ جی پہلے سب انٹرول میں ہم کہیں گے جی ہم نمبر لیتے ہیں ایک point چوز کرتے ہیں arbitrary point x1 star next ہوگا x2 star اور اسی طرح آخری انٹرول میں سے ہم چوز کر لیں گے xn star تو یہ آپ کے پاس کچھ arbitrary points آگے سب انٹرول میں سے اب انٹرولز انٹرولز پر اپنا جو function ہے ہمارا f اس کو evaluate کر لیتے ہیں اور دیکھتے ہیں رزلٹ کی آتے تو سہرہ سمپل سہ رزلٹ ہے ہمائے پاس آئے گا f of x1 star f of x2 star all the way to f of xn star تو یعنی بیسکل آپ نے جو functions آپ کا ہے given اس کو evaluate کر لیے انٹرولز کے اوپر جو آپ نے یعنی انٹرولز پر یہ انٹرولز کہلیں جو آپ نے arbitrary اپنے سب انٹرول میں سے نکالے تھے تو اب اس کو اب اس میں سے ہم average value کا concept کیسے دیوعلپ کر لیں گے یہ جو آپ کے پاس جو انٹرولز آئے یعنی ایک طرح کہ یہ انٹرولز ہی ہیں real numbers ہیں f of x1 star سے لے کر f of xn star تک these are basically numbers ان کی اگر آپ انٹرولز کی average نکالیں گے تو کیسے نکالیں گے اگر ہم سب کو آتا ہے کہ اگر میں آپ سے کہوں کہ جی 3 اور 4 نمبرز ہیں ان کی average کیا ہے تو آپ کہیں گے جی 3 اور 4 کو add کر دیں پھر 2 سے divide کر دیں تو آپ کے پاس average آ جاتی ہے اسی طرح کوئی n many نمبرز اگر آپ کے پاس ہیں ان کو add کیجئے اور divided by n کریں result کو تو average آ جاتی ہے ان سب n many نمبرز کی اسی طرح سے یہ جو ہم اپس نمبرزیں f of x1 star سے لے کہ f of xn star تک ان کو add کیجئے اور result کو divide کر دیں n سے تو this is what we would call the average of these numbers f of x1 star and so forth یہ ہماری یہاں پہ اب concept آ گیا average value کا اچھا جی اب یہ کرتے ہیں کہ delta x کی ایک definition تھی b minus a divided by n یہاں پہ اس کو استعمال کرتے ہیں اور اپنا جو ابھی ہم نے دیکھے define کی average value of these نمبرز ان کو ایک different طریقے سے لکھ لیتے ہیں تو اس کو لکھ لیتے دیکھ لیتے ہیں کہ ہم کہنا کیا چاہ رہے ہیں کہنا کا مقصد کچھ ہی ہے کہ average جو ہے اگر delta x کا formula میں استعمال کروں تو I can write this average I just defined as 1 divided by b minus a times f of x1 اس ایک اس پرشن کا as n goes to positive infinity تو ظاہری سی بات ہے results آئے گا limit as n goes to positive infinity اب 1 divided by b minus a میں تو n نہیں ہے تو اس کے اوپر کوئی افکٹ نہیں ہوگا افکٹ ہوگا summation پر اور obviously یہ ہم پہلے کئی دفعہ دیکھ چکیں کہ اس summation کا limit اگر آپ لیں as n goes to positive infinity result turns out to be the definite integral from a to b f of x dx یہ جناب آپ کا ایک طرح کی motivation جو ہم کرنا چاہ رہے تھے ایک طرح کا introduction کی definition ہم نے کیوں بنائی ہے اس لیے بنائی ہے کہ یہ ہم دیکھ رہے ہیں کہ اگر ہم ایسی کچھ چیزیں کریں تو یہ definition automatically ایک طرح کی بن جاتی ہے تو یہ جناب آپ کی اس کی background تھا اور اس کے بارے میں تھوڑی سی بات چیت جو ہم نے pre-host lecture میں نہیں کیتی اب ہم نے کر لیے hopefully جن کو تھوڑی سی problem ہی تھی اس کے ساتھ دیکھیں maybe have a better understanding now اور ابھی بھی کوئی problem ہے تو of course آپ پوچھیے ہم دیکھیں گے کیا اس کے بارے میں کر سکتے ہیں اچھا جی اب آج کا lecture شروع کرتے ہیں تو اس میں سب سے پہلے کیا ہمیں بات کرنی چاہیے ہم نے substitution کی بات کرنی ہے use substitution in terms of evaluating definite integrals تو let's start talking about that اچھا اب ہم چاہتے ہیں کہ جو definite integral ہوتا ہے f of x کا کوئی function ہے f of x continuous dx اس کو a سے b تک انٹروال پر ہم انٹروال کریں اس کو تو اسی دو طریقیں انٹروال کرنے کے ان دونوں کو دیکھ لیتے ہیں method number one لکھ لیتے ہیں پہلے والے کو اور دیکھتے ہیں یہ کیسے استعمال کرتے ہیں تو method number one میں دیکھیں اس کا process ہے کہ first you evaluate the indefinite integral in which in this case will be just the integral f of x dx یعنی یہاں پہ اس میں a اور b کوئی نہیں ہے اس کے اندر limits نہیں ہے صرف ایک antiderivative معلوم کرنا چاہا رہے ہیں آپ f of x کا اب یہ پہلے آپ evaluate کر لیجے کر لیں گے تو اس کے بعد کیا کرنے لیکن وہی بات ہے کہ کیسے اس کو کریں گے how would you find this تو اس کا طریقہ یہ کہ substitution جو ہم پہلے کر چکے ہیں جس کے بارے میں بات ہم نے کی تھی indefinite integrals کے حوالے سے وہ process یہاں پہاں اپلائے کیجے f of x کا indefinite integral کا جواب آ جائے گا اور اس کے بعد simplest relationship جو پچھلے لیکچر میں ہم نے دیکی تھی وہ یہاں پہاں استعمال کر لی جے اور وہ relationship تھی کہ definite integral f of x کا a سے b تک برابر ہوتا ہے to the evaluation of the indefinite integral of f of x at the points b and a using the first fundamental theorem of calculus تو یہ ہوگیا آپ کا method number one straight forward سا ہے تی کے وہی چیزے استعمال کی ہیں جو ہم دیکھ چکے ہیں پہلے پچھلے لیکچر میں یہ کہ جی آپ پہلے اس کو indefinite integral کو evaluate کریں اس کے بعد جو اور وہ کیسے کریں گے وہ use substitution کا method جو کافی پہلے ہم نے دیکھا تھا استعمال کر لی جے result آ جائے گا اس کو پھر evaluate کر لے ہیں result کو using the first fundamental theorem of calculus at the points b and a اور وہ تھیورم یہی تھا first fundamental theorem کہ آپ evaluate کر کے ان کا difference لی جے antiderivative کا جو آپ evaluate کریں گے antiderivative کو in points پر b اور a پر اس کو پھر subtract کر دے ہیں دوسرے سے وہ ہم دیکھ چکے ہیں کیا تھیورم ہے آپ کو یاد ہوگا اور آپ کے پاس اس کا جواب آ جائے گا تو یہ جناب method number one ہو گیا اب دوسرہ method کیا اس میں اس کو بھی دیکھ لیتے ہیں next method کیا ہونا چاہیے next method اس طرح سے ہے کہ جی first represent the definite integral in the form اگر آپ کے پاس لکھاوا ہے f of x dx from a to b اس کو آپ لکھلی جی as integral from a to b of h of g of x times g prime of x dx تو یہ کیا چیز ہے یہ وہی چیز ہے you substitution کا idea جو ہم پہلے دیکھ چکیں تو یہاں پر ہم یہ کرنا چاہا رہے ہیں اب اس method میں کہ بجائے پشلے جو first method دیکھا تھا اس میں آپ نے indefinite integral کو evaluate کیا اور پھر اس کو first fundamental theorem سے استعمال کرتے ہوئے آپ نے finally evaluate کر کے آپ کے پاس جواب آیا مخصد یہ کہ وہ ایک step بیش سے اگر نکال دیں تو کیا حرجہ یعنی indefinite integral کو کیوں تدیس کریں درکلی کر لیتے ہیں you substitution اور وہ ہم یہاں کر بھی رہیں بلکے جو topic تھا کہ evaluating definite integrals using you substitution this is basically it تو اس کو وہی بات ہے کہ ابھی میں نے composition of functions کی form میں لکھا ہے f of x کو عام طور پر تبیح استعمال ہوتی ہے you substitution جب آپ کے پاس function جس کو آپ انتگریٹ کر رہے ہیں اس میں composition involved ہو یا product and composition وغر involved ہو تو اس کو اب مزید دیکھ لیتے ہیں کہ ہم نے ٹیکہ لکھ لیا as a composition of two functions اب ہم کیا کر سکتے ہیں اس میں اب یہ کیجئے کہ یہ جو آپ نے لکھا تھا in the form of composition of functions اس میں اب آپ substitution بنالیجے جہاں پہ آپ کہیں گے گی you جو ہے وہ g of x ہو جائے گا اور du جو ہوگا وہ برابر ہو جائے گا g prime of x dx تو یہ وہی بات ہے جو ہم پہلے دیکھ چکیں you substitution میں and that's exactly what we're doing اب اس میں ایسے کیجئے کہ اس کو substitution بنائیں گے آپ نے ان کو substitution کر دیں in to the definite integral اور اس کے بعد آپ اس کو evaluate کر لیں لیکن یہاں پہلے تھوڑا سا careful ہونا پڑے گا کہ ٹیکہ ہم نے substitution بنالی اور definite integral میں ہم نے substitution کر دیا لیکن چو کہ یہ in definite integral کی بات نہیں ہو رہی ہے بلکہ ایک definite integral کی بات ہو رہی ہے جس میں limits involved ہوتے ہیں limits of integration lower and upper limits تو ان کے بارے میں بھی کچھ کرنا پڑے گا کیونکہ originally آپ کا جو integral تھا وہ x کی terms میں تھا یعنی اس میں جو آپ function جو آپ integrate کر رہے تھے وہ تھا a function of x اب یہاں وہ ظاہر ہے وہ کافی complicated function ہوگا جس ہم نے دیکھا کہ وہ a composition ہوسکتی functions کی تو اس میں اب آپ نے substitution کیے simplify کرنے کے لیے integration کو in terms of you تو آپ کے پاس ایک نیا an integral آیا جو کافی آسان ہے integrate کرنے میں کرنے کے لیے لیکن یہاں پہ لیمٹس بھی involved ہیں جو original function integral میں آپ کے limits تھے وہ x limits تھے کہہ سکتے ہیں کہ جی وہ x کی function کے لیے تھے اب یہاں پہ چونکہ اب نیا an integral جو ہے اس میں function جو ہے وہ you کا ہے آپ کے limits بھی you limits ہونے چاہیں ہیں تو وہ کیسے ہم چیج کر سکتے ہیں اس کا بھی کچھ a simple procedure ہے دیکھ لیتے ہیں اس میں دیکھیں کہ x limits original تھے ان کو اب آپ کو convert کرنا ہے you limits میں تو note کیجے کہ you equals g of x دیا ہے آپ کو تو simple سی بات ہے کہ x کی جگہ اگر آپ a ڈال دیں تو you equals g of a آجاتا ہے as your first you limit یعنی lower limit کہلیجے اور یہ تب ہوتا ہے جب x equals a کی براور ہے similarly اسی relationship کو استعمال کرتے ہوئے you are x کے درمیان آپ دوسرا you limit معلوم کر سکتے ہیں جس آپ upper you limit کہہ سکتے ہیں جس کو آپ معلوم کریں گے by using you equals g of b if x equals b تو یہ آپ کی جناب آگئے you limits اور اب آپ اپنا جو انتگرل ہے آپ کا وہ different integral اس کو درکلی آپ evaluate کر سکتے ہیں using these you substitution and the you limits that you found تو اس کو لکھ لیتے ہیں کہ آپ ہماری انتگرل کی form کیا ہوگی اس میں ہی ہوگا کہ جب final substitution ساری آپ نے کر لی یعنی آپ کا جو function ہے وہ بھی now simplified form میں آ چکا ہے by the you substitution تو آپ اب آپ لکھ سکتے ہیں integral f of x dx from a to b equals integral h of you یہ آپ کا new function ہے جو بھی اس کو h کا نام دیا ہوا یہاں پہنائے میں نے which is totally in terms of you du evaluated from g of a all the way to g of b تو اگر آپ کی you کی چوائس اچھی تھی تو obviously جو نیا you جو نیا definite integral آئے you کی terms میں اس کو آپ بڑی اسانی سے evaluate کر سکتے ہیں اور ہم دیکھ چکے ہیں کہ اس کو کیسے کرتے ہیں جب ہم نے indefinite integrals میں you substitution کی بات کی تھی تو آگی چلیں کہ example بھی دیکھ لیتے ہیں اس کی practice ہو جائے گی تو example ہے جناب evaluate the integral 0 to 2 x times x square plus 1 to the power 3 dx اچھا یہ ٹھیک تھاک complicated ڈسا انتگرل ہے اس میں آپ کے پاس composition بھی function کی اور product بھی ساتھ میں شامل ہے تو اس کو substitution سے استعمال کر کے solve کرتے ہیں پہلے method number 1 استعمال کر لیتے ہیں جو ابھی ہم نے دیکھا اور پھر method number 2 سے بھی کر لیں گے تو پہلے method اگر آپ استعمال کرتے ہیں تو آپ کے پاس result آتا ہے کیا نا چاہیے سب سے پہلے تو آپ کو substitution کرنی ہوگی تو وہ substitution ہوگی you equals x square plus 1 so du will equal 2x dx اب اس کو آپ substitution کردیں اپنے original integral میں تو original integral میں نہیں بلکہ اس سے corresponding جو indefinite integral ہوتا ہے اس میں آپ substitution کردیں تو آپ کہنا چاہاہے ہیں کہ جو indefinite integral ہے x times x square plus 1 to the power 3 کا وہ برابر ہوگا 1 over 2 times the integral u to the power 3 du چونکہ یہ ہمیں substitution کی تھی تو یہ اتنا simplified ہوگی ہے اور اس کو ہم evaluate کر سکتے ہیں power function ہے اس کا integral ہمیں پتا ہے power میں one add کر دیجے اور جو expression ہے اس کو divide کر دیں by the new power that you get after adding one تو result آتا ہے u to the power 4 divided by 4 plus I'm sorry 8 آئے گا کیونکہ بہار دیکھئے کہ اس میں 1 over 2 بھی ہے so the result is u to the power 4 divided by 8 plus some constant c اور یہاں پہاں بہاں واپس substitute کر دیجے x کی values تو result آتا ہے x square plus 1 to the power 4 divided by 8 plus c تو یہ آپ کا indefinite integral ہوگیا اس کی اب آپ کو definite جو corresponding definite integral ہے وہ evaluate کرنے تو آپ کے پاس antiderivative تو آگئے اب آپ first fundamental theorem جو استعمال کر کے اس کو evaluate کر لیجے کیسے کریں گے دیکھ لیتے ہیں اب آپ کا جو original تھا انٹیکرال 0 سے لے کر 2 تک of x times x square plus 1 اس کو x square plus 1 to the power 3 اس کو evaluate کرنے تو یہ برابر ہے indefinite integral x times x square plus 1 to the power 3 evaluate it at the end points 2 and 3 جینی جو اس کا antiderivative ہوگا اس کو evaluate کرنے 2 and 0 اور یہ ہمارے پاس antiderivative آ چکا ہے indefinite integral کا جواب آیا تھا x square plus 1 to the power 4 divided by 8 evaluate it at the end points 2 and 0 using the first fundamental theorem of calculus اور دیکھ سکتے ہیں آپ کے result اس کا آئے گا 78 تو یہ پہلے میتر سے آپ نے کر لیا اب میتر No.2 اپلائے کر کے دیکھ لیتے ہیں اور دیکھ لیتے ہیں جواب میتر کرتا بھی ہے کہ نہیں یہ بھی اچھا چیک ہے کہ اگر جواب میتر کرے گا تو جو ہم نے شروع میں بات کی تھی اس سے ظاہر ہو جائے گا کہ دونوں میترٹز برابر کہیں یعنی ایکی جواب دیتے ہیں تو آئی اس کو کر لیتے ہیں میترٹ No.2 سے تو اس میں دیکھیں میترٹ 2 کے حوالے سے اگر میں کہتا ہوں u equals 1 if x equals 0 سار اسی بات ہے میں نے سبسیوشن بنائی تھی u equals x square plus 1 کی اگر آپ x جگر 0 ڈالیں گے تو u کی value 1 آئی گی اور x جگر 2 ڈالیں گے تو u کی value آئی گی 5 اور اب آپ درکلی in u limits کے ساتھ اپنا نیا اندیفرنٹ انٹیکرل بنا سکتے ہیں سبسیوشن تو already کری چکے ہیں تو اب آپ کا results آئے گا 1 over 2 times the integral 1 to 5 of u cubed du the result is u to the power 4 divided by 8 evaluated at the end points 5 and 1 using the first fundamental theorem of calculus and again آپ دیکھیں گے کہ جواب اس کا 78 ہی آتا ہے اچھا جی تو ایک example ہم نے کر لی ایک اور کر لیتے ہیں دیکھ لیتے ہیں کہ تھوڑی سی پریکٹس ہو جائے گی تو next example بھی سی기 کرتے ہیں کہ یہ جو evaluation ہے different integral کی using u substitution تو آئی اس کو دیکھ لیتے ہیں example ہے جی کہ evaluate کی جی integral 0 سے لے کر pi over 4 تک of the function cosine of pi minus x dx so let's say that u equals pi minus x so that du will equal to minus 1 times dx جس کو میں سیف لکھوں گا as minus dx یہ سیمپل سی بات ہے du equals pi minus x کو تو یہی ریزلٹ آئے گا اب یہ بھی دیکھیں کہ اگر u pi کی برابر ہے تو x جو ہوگا u pi کی برابر ہوگا اگر x 0 کی برابر ہے 0 جو x کا lower limit ہے اس پے u کی value pi آتی ہے اور اگر x pi over 4 ہے وہ جو کے upper limit ہے x limits کا تو u کی corresponding value وہ 3 pi over 4 آتی ہے یہ میں نے جو سبسٹیوشن کیا اس کو استعمال کرتے ہوئے یہ u limits معلوم کیا ہے اب جو میرا انتگرل ہے وہ کنورٹ ہو جاتا ہے اس والے انتگرل میں جس کو ہم کہہ سکتے ہیں کہ جی minus the انتگرل pi to 3 pi over 4 of cosine u du یعنی cosine u زادہ اسانا انتگریٹ کرنا اس کا جواب مجھے پتا ہے لہذا اس کا انتگرل جو ہے وہ آتا ہے minus sine u کیوں کہ minus sine کو دفنشیٹ کریں گے تو یہ رزلت آجائے گا جو رجال فنکشن آپ کو دیا ہے cosine u minus جو ہے یہاں پے وہ وہاں سے فالو کر رہا ہے جو بہر تھا انتگریٹشن کے sine سے وہاں سے یہ minus sine آیا ہے اب اس sine u کو evaluate کر لیں fundamental theorem استعمال کرتے ہوئے at the end points اور یہ جواب آتا ہے اس کا آپ کے سامنے ہے minus the quantity of sine of 3 pi over 4 minus sine of pi اور جواب final جو ہے وہ آپ اس کا خودی evaluate کر لیجے لیکن مقصد یہ ہے کہ اسی طرح سے اس کا جواب آئے گا اچھا جی یہ ایک سامپل بھی ہوگی اور hopefully میرے خالص یہ mechanical process ہے تو اس میں کوئی زادہ پرشانی کی بات نہیں ہوگی آپ لو practice کریں گے تو کافی آسان ہو جائے گا سارا کام اب جو ہے آخری topic آج کے لیکچر کا وہ دیکھ لیتے ہیں اور وہ یہ ہے کہ جی definite integrals کو remands sum کو استعمال کرتے ہوئے کیسے approximate کر سکتے ہیں یعنی کیا نقصد یہ ہے کہ ابھی تو ہم نے کچھ ڈیمپلز دیکھیں جہاں پہ ہم integrate کر سکتے تھے یا antiderivative معلوم کر سکتے تھے ان function کا جن کو ہم integrate کرنا چاہ رہے ہیں یعنی جن کا ہم definite integral معلوم کرنا چاہ رہے تھے ہم نے use substitution استعمال کی اور ہمہیں پاس جواب آجا تھا لیکن اب یہ ہے کہ اگر کوئی ایسا function آپ استعمال کر رہے ہیں in the definite integral جس کا کوئی طریقہ نہیں ہے جس کا antiderivative معلوم کرنے کا کچھ ایسے functions ہوتے ہیں وہ ہم دیکھیں گے کون سے ہوتے ہیں we will see them in the next lecture میں بھی تو تب ہم کیا کر سکتے ہیں تب کیا ہم چھوڑ دیں ہم کچھ نہیں کہہ سکتے ہیں اس کے بارے میں اس کا جواب ہے کہ ڈیمپلز دیکھیں جی ایسے تو ہم نہیں کر سکتے ہیں mathematicians have to have answers اور اس کا ایک آنسر یہاں پہ ہے آپ اگر exactly evaluate نہیں کر سکتے definite integral کو تو آپ اس کو اپنے مہرے اپرکسیمٹ ہم کر سکتے ہیں اس کے اپرکسیمٹن جو ہوگی وہ ہم ریماہن سمس کو استعمال کرتے ہوگے یعنی ڈیفنیشن ہمیں یاد ہے definite integral کی جو تیے وہ ریماہن سمس کے ہی طریقے سے دی جاتی ہے اس کا ایک لیمٹ ہوتا ہے ریماہن سمس کا اگر وہ لیمٹ exist کرتا ہے ایسے ہم معلوم کر سکتے ہیں تو آپ کے پاس definite integral کا ایک آنسر آجاتا ہے ایسے ہم نے دیکھا کہ سبسٹیوشن کوئی نہیں ہو رہی ایک لیمٹ تو ہم معلوم کر لیں گے ظاہر ہے جبھی definite integral exist کرے گا لیکن یہ کہ اگر ہم اس کا سبسٹیوشن کا کوئی طریقہ نہیں ہے جو ہم ابھی بات کر رہے تھے تو کیا کرتے ہیں تو اس کے بارے میں دیکھ لیتے ہیں کہ ہم کیسے کریں گے اپرکسیمٹ یہ ایک فارمالہ دیکھ لیتے ہیں ریماہن سم کا تھا فارمالہ تو نہیں لیکن فارمالہن سم یہ جناب سمیشن from k equals one to n of f of xk star times delta xk اور یہ یہ ایک سبسٹیوشن کہاں سے آتی یہ بیسکل جب ہم نے اپنے given انٹرول کو ڈیوائٹ کیا ہوتا ہے سب انٹرولز میں ہم دیکھ چکیں کہ وہاں سے یہ ایک سبسٹیوشن ہم معلوم کرتے ہیں تو یہ ہمارے پاس ہے already given اچھا ریماہن سم تو ہمارے پاس آگیا ذائر سی بات ہے کہ اگر اس کا ہم لیمٹ لیتے ہیں تو ہمارے پاس definite integral آجاتا ہے لیکن اگر لیمٹ نہ لیں تو by definition اور جو تھیوری ہم نے develop کیا اسے ساہر ظاہر ہے کہ یہ ایک اچھی اپروکسیمیشن دیتا ہے ہمیں definite integral کی یعنی اگر اس میں ہم اپنہ جو delta xk یعنی جو delta x کی کونٹی جو ویٹھ ہوتی یہ سب انٹرول کی اس کو بہت چھوٹا کر دیں ہمارے پاس کافی اچھی اپروکسیمیشن آجاتی ہے تو اس کے بارے میں تھوڑی سی ڈیمپل دیکھ لیتے ہیں تو ڈیر وہی سے کلیر ہو جائے گا کہ ہم کیا بات کرنا چاہر ہیں اگر سی پہلے ایک چیز میں لکنا چاہتا ہوں جو ہمیں جو بیسیکلی کنویے کرے گی کہ بیسیک آئیڈیا کیا ہے تو وہ ایک سپریشن یہ ہے جناب کے definite integral ہے a سے b تک f of x dx کا it's approximately equal to summation k equals 1 to n of x k star times delta x k یعنی کہہنے کا مقصد یہ کہ اگر آپ delta x k بہت چھوٹا کر دیں اور جس کا مطلب ہے کہ n جو نمبر ہے وہ بہت بڑا سن کو نمبر لیں تو یہ اپروکسیمیشن بہت اچھی اپروکسیمیشن دے گی to the definite integral اچھا جی تو یہ ایک سپریشن ہم آئے پاس آگئی اس کو تھوڑا سا مزید دیکھنے کیلئے اس کو اکسپینٹ کر لیتے ہیں ہم نے بات تو کر لیتے ہیں کہ delta x بہت چھوٹا ہو جائے گا اور ہم اس کی اپروکسیمیشن کافی اچھی آئے گی ہمارے پاس تو اس کو اکسپینٹٹ فرم میں لکھ لیتے ہیں دیکھتے ہیں کہ اس سے ہمیں کیسے ہم اس کو دیکھ سکتے ہیں تو لکھ لیتے ہیں انٹیکرال آئے سے لے کے بی تک f of x کا جو ہے وہ اب اس کو اگر اکسپینٹ کریں اپروکسیمیشن جو ہم نے دیتی سمیشن فرم میں تو رزلت ہے کہ یہ برابر ہے لکھ لیتی ہیں کہ ہمader fantastic dayollИمخی존 فرم جو جمعہ السمیشن آپ میں چیز işان investig attracts تو یہ 하게 ہstrong لکھ لیکن لیکن یا لیکن برابر اس طرح ایک دون سو paz تو ہم نے پہلے بھی دیکھا تھا کہ ہو سکتا ہے یہ لفٹ end point ہو، right end point ہو، انٹرول کا یا mid point ہو اور کچھ بھی ہو سکتا ہے درمیان میں یہ ایک تھیورم تھا جس کا میں نے ذکر کیا تھا کہ وہ تھیورم کہتا ہے کہ it doesn't matter which point you pick from the sub-interval it'll still give you the same answer تو یہاں پہلے یہ کہ اپروکسیمیشن کے حوالے سے ہمارا آنسر تھوڑا سا different ضرور آئے گا کیونکہ ہم اپروکسیمیٹ کر رہے ہم نے limit نہیں لیے لہذا آنسر یہاں پر different آئے گا تو example اب شروع کر دیتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ کیا results آتے ہیں ہم left end point بھی دیکھیں گے اپروکسیمیشن کے لیے right end point اور mid point بھی تو ہی example دیکھتے ہیں example ہے جی approximate the definite integral 0 to 1 of the square root of 1 minus x square dx using the left end point right end point and the mid point approximation each with n equals 10, n equals 20, n equals 50 and n equals 100 sub-intervals تو اب اس میں ہم یہ کریں گے آپ کے جو n ہے اس کی کئی values لیں گے اور x کے star جو ہے وہ ہم کوئی ایک پہلے left end point کے طور پر لیں گے پھر right end point اور اس کے بعد mid point تو اس کا چھوٹا ساتھ ٹیبل میں بناکے دیتا ہوں calculations تو اس کی involved ہے آپ لو خود کرلی جیگہ it's a good example to work out calculations جو already ہے وہ آپ کے سامنے ایک table کے format میں دیکھ لیتے ہیں اس کو اس میں دیکھئے کہ یہ جو table ہے اس میں آپ کے سامنے approximations دیے ہیں with n equals 10 سے لے کے 100 تک کی n کی values ہیں اور left end approximations اور right end approximations بھی دیے ہیں اور ساتھ میں mid point approximation بھی دیے تو ظاہر سی بات ہے کہ answer جو ہے وہ around about point 78 لگتا ہے لیکن n اگر چھوٹا ہوگا تو answer تھوڑا سا آف آئے گا جیسے جیسے n بڑا ہوتا جائے گا تو answer ایک سمجھ کرنے لگے گا سارے cases میں اور یہاں پہ دیکھئے کہ answer is approximately 0.7901 یہ آپ کا جناب approximation ہے اس انتگرل کی اور it's kind of looks like یہ پائے over 4 کی برابر ہے تو یہ جناب آپ کا طریقہ ہے to approximate the definite integral in the case where you cannot find a proper substitution to find the antiderivatives ٹھیک جی لیکچر آپ ختم کرتے ہیں آج کے سارے topics cover ہو گئے کوئی problem ہو تو please of course contact کی جیگہ email کی جیگہ اور next time آپ سے ملاقات ہوگی پھر تو next time لتے ہیں پھر thank you for your time Allah Hafiz