 اسلام علیکم، کالکلس سیریز کے لیکچر نمبر 9 کالکلس سیریز کے لیکچر نمبر 9 شروع کرنے سے پہلے خوشخبری آپ کو سُراندھو جو کالکلس سیریز کے لیکچر سیارے جو بہت ساری چیزیں ہم نے دیکھی جس کے بارے ہم نے باچید کی ریل نمبرز، گرافز، فنکشنز وغیرہ تو وہ تو سارے کئی بہت میں پہلے بھی کہت چکوں وہ دیکھنے تھے، اگر کالکلس فاناتی کئی بہت ہونے جو اپنی بہت ہوں تو آجی پہلے لیکچر نمبر 9، پہلے لیکچر جس میں actually کالکلس کے بارے میں شروع کرتے ہیں باچید کرنا حسنا تو لیکن سارے ہم بہت ہی لیمٹ سکتے ہیں جو بیسک کانیمٹل کوشپٹ ہے کالکلس کا اس کے بارے میں بات کرتے ہیں کہ کالکلس کا ملی ہے اس میں یہ ہوگا کہ اس لیکچر میں بیسک لیمٹ ہم ایک انٹویٹفیت سا ایڈیہ دورپ کریں گے کہ یہ لیمٹ ہوتا کیا ہے ہی نہیں what is it exactly well not exactly actually in the sense کہ بھی انٹویٹفیٹ اس کو کلیسے اندرسٹان کر سکتے ہیں کہ ماخصت کیا ہے when you say کہ there is a limiting process involved in something some kind of a computation maybe or something like that اس کو ہم دیکھیں گے یہ تھوڑا انٹویٹف لیبل پر انٹویٹف لیبل پہ اس کے بعد we will look at the proofs and you know hardcore جو ایک a mathematics involved ہوتیے we will talk about that later تو ہی شروع کرتے ہیں لیزیوہ کی بہت ہی دیگی ہے لیمٹس کا جو مطblade ہے کہ ہی کوزی کا میشی میں آپ کو اطب境 کے لیمٹہ ہیں یہ کچھ چاند ہی بھی اائفٹبی deixaٹش ہے کہ بہت سے ہی ہو جائے گا سر آئزیک نیوٹن جو تھے میں اسے چیز کیا ہی بہت سکتی ہے میں آپوں جہاں بہت پڑا ہی بہت سکتی ہے تو ہی بہت سکتی ہے ایک پہنگ ہے جو جو کالبلاسی کی بہت سکتی ہے انہوں نے جو development کی تھی اس میں بھی یہ concept جو ہم ابھی دسکس کریں گے ان کے بھی motivation یہی تھی کہ بھئی کچھ physical problems تھی ایسی جن کو solve کرنے کے لیے standard algebraic techniques جو تھی وہ sufficient نہیں تھی تو کچھ ایک نئی کسم کی چیز نئی کسم کی mathematics بھی ضرورت تھی جو Isaac Newton نے بھی develop کی لیکن he himself was influenced a lot by a french mathematician named Leibnitz اس کا بھی میرے خال سام نے پہلے ذکر کیا تھا اور اس کے علاوہ ان دونوں کے دونوں پہ جو influenced ساصل میں وہ تھا ہے ایک اور mathematician کا P.R.D. Fermat another french man بہت famous ہے اس کی problem تھی شاید آپ کو میں نے کسی lecture میں ذکر کیا ہوگا Fermat's last theorem کی نام سے جو ابھی recently prove ہی ہے after 350 years تو he was basically also very prominent in the development of calculus تو میں دیکھیں کہ what exactly was the idea that these mathematicians had or scientists had which led to the development of the idea of calculus and basically based on the idea of limit تو let's see what that's all about اچھا اس کو اس طرح سے دیکھلی چیے کہ let's talk about the problem of finding it or defining a tangent line یعنی یہ ہے کہ what do we mean by a tangent line یعنی کو اگر میں پاس ایک گراف ہے ایسی function کا اور اس پر میں کہتا ہوں کہ جی میں یہاں ایک ایسی line براہوں گا جو ایک point پر tangent ہوگی what does that mean well اس کو intuitively دیکھا جا تو basically ہمارا مقصد کہنے کہ یہ ہے کہ ایک straight line ہو جو اس کرف کو صرف ایک point پر touch کرے یعنی اس کو اگر آپ سکرین پر دیکھا ہوں میں ایک line بناتا ہوں اور ایک گراف بناتے ہیں گراف بناتے ہیں and let's see if you can get a feel for what we mean by tangent lines so let's look at the screen تو اسکرین پر آپ کے سامنے ایک picture میں بناتا ہوں ایک circle بناتے ہیں ایک circle بنایا اس پر آپ ایک point لے لیجے point P اور یہاں پر اس point P پر میں ایک ایسی line درا کرتے ہیں جیسی بھی آپ سکرین پر دیکھرے ہیں ایک this line کو ہم کہیں گے کہ this is what we want the tangent line to be یعنی ایک point کو touch کرے اور یہ اس کو ہم کہیں گے a tangent line لیکن اس میں تھوڑی سی problems ہے کچھ یعنی اس طرح کہ جو ہم idea ڈیفائن کرنا چاہ رہے ہیں a tangent line کا اس میں problem یہ کہ کوئی ایسا curve بھی تو ہوسکتا ہے جس میں وہ ایک ہی point کو touch کرے لیکن وہ tangent جس طرح سے ہم نے سکرین پر بھی دیکھا ہوں اس طرح نہ ہو مثال کے طور پر اگر ہم پھر سے دیکھیں سکرین پر یہ ایک اور فگر ہے یہاں پر اس میں یہاں گراف دیا ہے آپ کو اور اس پر ایک point ہے اور یہاں لیکن یہاں لیکن یہاں لیکن ایک crosses بھی کہہ سکتے ہیں اور touch بھی کہہ سکتے ہیں لیکن یہاں لیکن any line that crosses the curve or the graph has to well has to touch the graph at one point یہاں پر point پی ہے یہاں سے ایک lines کی طرح گزر رہی ہے تو یہاں لیکن یہاں لیکن definitely touch کرتی ہے لیکن it's not exactly what we want the tangent line to be یعنی ہم پہلے دیکھ چکیں کہ ہم کیا چاہتے ہیں tangent line کو define کس طرح سے کرنا چاہتے ہیں یہاں پر problem یہاں کہ this is not going to work in this case اسی طرح سے ایک اور ایک picture ہے اس میں دیکھیں کہ here's the line that looks like a tangent line the way we want it to be defined but actually you see that it crosses the curve or the graph at two points تو problem یہاں کہ we don't seem to have a very concrete way of defining what we mean by a tangent line تو یہاں پر idea آتا ہے limits کا تو let's see کہ ہم limits سے کس طرح سے define کر سکتے ہیں کہ tangent line کیا ہوتی ہے using the idea of limit یعنی ابھی آپ کو جیسے میں example میں کروں گا you'll also see what a tangent line is and at the same time we'll see what we mean by a limit or a limiting process تو یہ آپ کے سامنے screen پہاں ہے ایک graph of a function let's call it f of x یہ کوئی بھی function ہو سکتے ہیں اور اس پر point دیا با آپ کو p کہالی جیس کے coordinates کچھ بھی ہیں let's call them x not y not اور اس پر ہم دیفائن کریں گے کہ how a tangent line کیا ہوتی ہے اور اس کو حاصل کیسے کرتے ہیں یعنی ابھی ہم نے 3 problems دیکھی تھی جہاں پہ لگتا تھا کہ یہ a tangent line ہے لیکن ہو سکتا ہے کہ نہ ہوں تو let's make it a formal tangent line ہوتی کہ آپ نوٹ کریں کہ جو a line بنیوی اس پر اس کو ایسا کرتے ہیں اس کو a secant line میں convert کرتے ہیں سب سے پہلے let's call it a secant line a secant line ہوتی ہے جو کہ a curve پر 2 points پر cross کر رہے ہوتی ہے یعنی کوئی بھی ایک عامسی لائن ہے جس پر 2 points ہیں گراف کے اوپر اور ان کے through ایک لائن جا رہی ہے تو اب اس میں یہ a secant line ہے جو point p اور p once کے through گزر رہی ہے دونوں کے through سے coordinates کچھ بھی ہو سکتے ہیں x1, y1, x not, y not اور اب مقصد یہلے کہ a secant line ہم کسی طرح سے ایک a tangent line نکالیں ڈیفائن کریں تو نوٹ کریں کہ if I move this point جو بہار والا point outer point with coordinates x1, y1 جس کا point p1 ہے اس کو اگر this point p1 کو میں move کرنا شروع کروں towards the point p جو initial point تھا تو کیا ہوتے well notice یہ دیکھئے کہ تصویر میں ہمہیں پہاں سامنے ظاہر ہے کہ کیا ہور ہے the line as the point p1 moves towards the point p we get the line which was a secant line turning into what we want it to be which is a tangent line نوٹ کریں کہ as your point p1 moves towards the point p the line shrinks in a sense and eventually becomes a tangent line اچھا تو یہ جو ہم نے ابھی دیکھی سارا process ایک طرح کا دفعین کیا explain کیا کہ how you move a secant line دو point سے جو جو جوائن کر رہتا ہے اس لائن کو اور ان میں سے ایک کو آپ نے move کیا پہلے والے کی طرف you got a secant line that turn into a tangent line اور یہ ہم اس کو دفعین کرنا چاہیں گے this idea that a secant line turning into a tangent line that's what we will یعنی جو secant line سے شروع کر کے آپ جس لائن پہ ختم کریں گے that line will be defined اور جو process involved جس میں آپ نے basically ایک point کو move کیا اور دوسرے point کی طرف اس کو ہم کہیں گے limiting process یعنی ایک طرح سے آپ نے limit لیا ہے کسی چیز کا کیا ہوگی وہ چیز ہم ابھی چل کے باتے کریں گے کیا ہے وہ چیز ساری تو یہ جو ہم نے دیکھا سارا process a tangent line to define کرنے کا یعنی secant line کو آپ نے لے کے convert کیا and to a tangent line by moving the outer point towards the initial point تو یہ جو line eventually آپ کو ملتی اس کو ہم دفعین کریں گے as the tangent line جو ہم چاہتے ہیں اور جو process involved جس میں آپ نے ایک point کو دوسرے pointی طرف move کیا اس کو ہم کہیں گے ایک limiting process ہے ایک اور اس میں ہم کہیں گے we kind of took a limit of something ابھی something کیا we'll look at it in detail after a while لیکن idea یہ کہ آپ نے basically in a sense آپ اتنا چھوٹا کرتے گے distance جو تھا between two points اس کو آپ اتنا چھوٹا کرتے گے as far as you were concerned it went to zero تو یہ جو میں نے بھی سمال کیا the distance went to zero that is kind of what the essence of limits is کہ آپ نے limiting process لیا کہ آپ zero گے exactly zero approach کیا یہ نہیں کیا in exactly value I کی نہیں ہے وہ different بات ہے as far as you're concerned you approached it تو یہ limiting process ہے جس کو ہم کہتے ہیں limit اور اس کو دیکھتے ہیں in detail میں we'll see get a better sense of what we're talking about let's move on اس سے پہلے کہ ہم آگے move کریں let me formally put it'll be helpful to look at it here it is the tangent problem give in a function f and a point p with coordinates x0 y0 on its graph find the equation of the line tangent to the graph at the point p تو اس کے ساتھ problem کے ساتھ پکچہ بھی دور کر لیتے ہیں یہ آپ کو وہی پکچہ ہے جس کے بارے میں ہم نے بات چیت کی تھی تو یہ آپ کی ہوگئی tangent problem اچھا so we're done with the tangent problem and we've introduced the idea of a limit in a sense let's move on and look at the next problem that well the problem that motivated calculus تو یہ problem ہوتی about finding areas of some geometric objects which are not exactly polygonal یا نیس کندہ خاص triangle زالی or you know polyhedral polygonal sort of properties نہیں ہوتی تو let me first formally put it down کہ ہم area problem hag here here is the area between the graph of f and the interval a b close interval ab on the x axis اس کا یہ problem ہے اس کے ایک تصویر یہاں بناا کہ آپ کو دیکھاتے ہیں here is exactly basically what we're trying to find تو یہ آپ کی ہوگئی area problem تو اس کو اب ہم کیسے یا نہیں مخصد کیا ہے کہ جا آپ کے پاس ایک function ہے f اور اس کے نیچے جو اس کے بارے اور ہمکس پر اس کے ایک تصویر میں آپ نے دیکھا ہے ہم نے اس کا بھی شیدت سے بنایا تھا یہاں یہاں آپ کو پہنائی یہاں یہاں ایک فرم اسے جو اس کا جو بڑے ارام سے ہم معلوم کر سکتے ہیں. سمجھلرلی اگر کوئی سکوئر بنے سیمپل فرملہ زہن کے. پرولمی ہوتی ہے کہ جب کنٹنیو یعنی ایک سمودنس کی بات تھوڑی سی کرنے رفلی سپیکنگ ایک ایسا کرف ہو جو سمود ہو without any corners تو اس میں آپکہ کیسے ایریہ معلوم کریں جیسے ہم نے تصویر میں دیکھتے ہیں. سو لیٹس ٹوک about this a little bit. تو اس کی ایریہ کی جو بات ہم نے شروع کی ہے اس کے بارے میں کچھ ملدب تھوڑا صور فرملی اس کو ڈیفائن کرتے ہیں. ہم دیکھ چکیں پرولم کیا ہے اب اگر اس کو اس طرح سی imagine کریں کہ آپ کے پاس کوئی ایسی شیپ ہے جو جیسے میں نے پہلے بھی کا پولیگوانل نہیں ہے اس کے اندر ہم کوئی triangles بنا کے ایریہ معلوم نہیں کر سکتے ہیں. ہم سکین پر چلتے ہیں یہاں پر میں ایک picture بناتا ہوں. میں کہنا کیا چاہ رہا ہوں when I say کہ we have a shape from which we can find the area by making polygons. so let's look at the screen. یہاں پر دیکھیں کہ یہاں picture ہے جس کے اندر آپ بڑے ارام سے finitely many rectangles or triangles بنا سکتے ہیں. اور ان triangles or rectangles کو those rectangles and triangles basically fill up the shape that you had originally. ایک geometric shape تھی اس کو fill up کرتے ہیں these triangles or rectangles. اور ظاہر سی بات ہے کہ ہمیں پتا ہے کہ ان کے formula کیا ہوتے ہیں. تو ہم بہت پوری shape جو تھی original اس کا ایریہ معلوم کرنے کے لیے ہم پہلے ان سارے rectangles کی ایریہ معلوم کرکے آئٹ کر لیں گے. پھر باقی سارے triangles کی ایریہ معلوم کرکے آئٹ کر لیں گے. اور دونوں results کو آئٹ کریں گے تو آپ کے پاس سارا ایریہ آجائے گا. تو this is a very easy problem یعنی ان اسنسی بہرام سے ایریہ معلوم کر سکتے ہیں. لیکن what about things where you can't divide the shape into rectangles and triangles finitely many. تو آئے ایک example دیکھتے ہیں screen پر. تو یہ ایک shape آپ کے سامنے اب screen پر ہے اس کے shape میں note کیجے کہ اس کو ہم اس کے rectangles نہیں بنا سکتے. یعنی کوئی ایسا طریقہ نہیں ہے کہ بہرام سے ایسے rectangles اور triangles بن جائیں. finitely many. جو shape کو fill up کریں. تو یہ پکچر ہے اس میں دیکھ لیجے کہ ایسا ہی case ہے. اچھا اب یہ تو ہم نے problem ڈیفائن کر دی. اب دیکھتے ہیں کہ اس problem کو over come کیسے کریں گے. کوئی ایسا طریقہ ہے کہ ہم اس کو جو ہم نے last picture دیکھی تھی جس کے اندر آپ rectangle triangles نہیں بنا سکتے تھے. finitely many. تو اس کا area کیسے معلوم کر سکتے ہیں. area bounded by that curve and some interval on the x axis. so let's look at that. یعنی اس کا کیا توڑ ہے. اس کا ایک solution یہ ہے کہ آپ کی جو picture تھی آپ کے پاس. جس میں triangles and rectangles نہیں بن رہے تھے. اس میں آپ rectangles بنالیجی. finitely many. اور اس کو use کرتے بے ان rectangles کو ان کا area معلوم کر کے جو ہم بڑے آسانی سے کر سکتے ہیں بڑا simple formula ہوتا ہے. ان سب کو add کر کے approximate کرتے ہیں کہ جو ان rectangles کا area ہے اس سے approximate کرتے ہیں کہ اس کے جو وہ جو original آپ کے پاس picture تھی اس کا area کیا ہے. یعنی area below that. تو میں اس سے ہم picture کو دیکھیں اس کی تزادہ آسانی سے سمجھایا ہے کہ میں کیا کہنا چاہ رہا ہوں. let's look at the screen. تو یہاں پہ note کیجی ہے کہ اس picture میں میں نے کچھ rectangles بنائے. جو کہ fill in کر رہیں اس area کو جو کہ define ہے between the an interval on the x axis and some graph of some function or some you know curve basically. تو ان کو یہ rectangle ظاہر ہے پوری طرح سے fill in تو نہیں کر رہے آپ کی جو area ہے لیکن کافی حتک fill in کر رہے ہیں اور ہم یہ کریں گے کہ ان سب کو use کر کے approximate کر لیں گے کہ کیا area ہے اس کے under. لیکن ایک اورتی چیز ہو سکتی ہے. اگر note کریں کہ بجائے شروع میں میں نے کچھ تھوڑے سے rectangle سمال کیا تھے if I increase the number of rectangles then what will happen. well if I increase the number of rectangles تو اسی طرح کی problem create ہوتی ہے جو ہم نے پہلے tangent والی problem میں دیکھی تھی. یعنی اس میں ہم نے دیکھا تھا کہ ہم distance between two points کم کر رہے تھے. یعنی ہم limit process لے رہے تھے limiting process جس میں آپ کا distance 0 کی طرف جا رہا تھا. یہاں پہلٹا ہور ہے. یہاں پہ آپ اپنے rectangles کا number increase کریں گے اتنا زادہ کہ infinitely many ہو جائیں. اولٹ process ایک طرح کر right. کیونکہ آپ یہ چاہتے ہیں کہ جتنے زادہ آپ کی rectangles ہوں گے اتنے زادہ بیٹر approximation آئی گیا آپ کی of the area you know bounded by the graph of the function and the interval on the x axis. تو یہ سکین پہ آپ نے اس کو دیکھا بھی تھوڑی دے پہلے picture تو اس سے I hope idea clear ہو گیا ہوگا. یہ دو جو basic problems ہم نے دیکھی ہیں بھی. ایک تو آپ کی tangent problem اور this area problem اس سے کالکلس کے دو basic components basically آپ کیا سکتے ہیں نکلتے ہیں. you have a tangent problem سے آپ کے پاس ایک field آتی ہے کالکلس کی جسے ہم کہتے ہیں differential calculus اور جو area problem ہے اس میں ہم جو ہمارے پاس field آتی ہے کالکلس کی اس کو ہم کہتے ہیں integral calculus. اب ظاہرہ کالکلس بڑا بہت broad subject ہے. as we move on into it we will see what we mean by these two different fields of calculus. لیکن کچھ تھوڑا سا preview تھا. so let's move on. عوالی دیکھتے ہیں کہ limit کیا چیز ہے. اب ہم نے تھوڑا سا دو دیکھا کہ limit کا کیا مقصد تھا کیا وہ اس کی essence کیا ہے. let's start looking at it in more concrete way more mathematically. آئیے دیکھتے ہیں. اچھا تو یہاں پہ دیکھیں کہ limits کی بارے میں جب باہ شروع کرتے ہیں تو اب ہم functions کے حوارے سے بات کریں گے. limits کی یعنی we want to see limits associated with functions somehow. تو بیسکل ہوتا یہ کہ جب آپ limits اور functions کو سٹڑی کرنا چاہتے ہیں سا ساتھ تو اس میں وہی بات آتی ہے کہ what do you mean by the limit of a function. یا something like that. تو اس میں یہ بیسک idea یہ کہ آپ یہ دیکھنا چاہتے ہیں کہ کوئی limiting process ایسا ہو on the independent variable say of the function and what is the response of the wire variable the dependent variable of the function. تو this is how we study limits and functions together. تو ایک example کے طور پہ میں آپ کو دکھاتا ہوں before we look at the example جو میں نے تھوڑا دل پہلے کہ we look at the response of the independent variable as you take a limit. وہی بات ہے کہ what do we mean by as we take a limit what we mean is that what happens to the y dependent variable as the independent variable x approaches a certain number or say it approaches infinity یعنی وہی آدے کے پہلے آلے tendent ڈوالے کیس میں آپ کا جو دو example تھی اس میں your deep independent variable x was approaching 0 was a certain number اور جو ڈیریہ پرولم تھی اس میں آپ کے basically concept یہ تھا کہ the dependent independent variable کی value see on the x axis they were which were defining the width of the rectangles وہ انفلنٹلی انکریز ہو رہی تھیں تو اس میں ایک ایک ایک اگرامپل دیکھتے ہیں سکین پہ چلتے ہیں یہ اگرامپل ہے جی فنکشن آپ کے پاس دیا ہے f of x equals sign of x divided by x اور یہاں پہ یاد رکھیں کہ x کی بات جو ہم کر رہے ہیں تو ہم ریڈینس میں بات کریں گے اور ریڈینس کیا ہوتے ہیں I hope you remember that x ریڈینس جو میں بیسیکی اس طرح کہہ سکتے ہیں کہ πای ریڈینس equals 180 ڈیگریز اچھا جی تو یہ ایک اگرامپل تھی یعنی ہم نے فنکشن دیکھا f of x equals sign x over x اب اس میں یہ کچھ سوالات ہم جن پر غور کر سکتے ہیں کہ x کو اگر ہم 0 کی value دیں what happens well سب سے پہلی بات تو یہ کہ bottom جو تھا اس کا denominator جو یہ فنکشن کا اس میں x ہے تو اگر xی value 0 ڈیریہ دالیں گے تو یہ فنکشن تو undefined ہو گا because the division by 0 cannot be allowed لیکن چلیں کوئی بات نہیں let's look at the next best thing what happens if you get really close to 0 یعنی کیا ہم f of x کا بیحیوے دیکھ سکتے ہیں when x is getting very close to 0 تو اب ڈیر یہ نہیں ہے کہ ہم x کی value exactly 0 لے رہے یہ ہم دیکھنا چاہتے ہیں کہ اس کے کتنا قریب ہم اگر آئیں 0 کے تو فنکشن کا بیحیوے کیا ہے اور اگر بات کر رہے ہیں فنکشن کے بیحیوے کی تو really what we are saying is we are looking at the behavior of the y values because y is equal to f of x always so let's see what we can say about this when we say that we want x to get very close to 0 some issues arise here first of all is that we can approach x in many directions because we are in x and y axis we are in x y plane so you can have x's positive values and x's negative values and here quite naturally 0 in between so when you approach 0 then you can approach it from the right hand side i.e. if this is 0 in between then you can approach it like this i.e. if x's value starts from 1 yes you can say it starts from 4 then it starts from 4 then it starts from 3 then it starts from 3 then it starts from 2 then it starts from 1 and then further forward remember that we will never take x's value 0 because there is a problem in their formula but we are getting close to it from the right hand side i.e. if we are coming from the right then we say that we are approaching 0 from the right right hand side or right and similarly if we want to come from the left then our aim is to start from the negative numbers minus 4, minus 3, minus 2, minus 1 and so forth when as we can get very close to 0 that way also i.e. you can approach 0 from the right hand side and from the left hand side so these little issues we have defined that we can approach 0 from the left and the right so this is a point we have clarified now what do we mean by getting very close to 0 well this is exactly what we will define as a limit i.e. you will remember that when we were taking the tangent problem we also said that we are taking it towards distance 0 so we were limiting there was a limiting process involved similarly the limiting process will be you are getting close to 0 from both the right and the left i.e. you are not taking exactly the value of 0 you are getting very close to it and that is exactly what we will define as a limit come let us see on the screen what we have about that we can write limit x goes to 0 from the positive side i.e. I have written a plus on 0 so let me tell you what this means we will write limit x arrow 0 and plus on it we will read this as limit as x goes to 0 from the right you can call it from the positive side we usually call it the limit as x approaches 0 from the right and along with it we have written the function we had before sign of x divided by x so totally if you read it comprehensively we will read it like this limit as x goes to 0 from the right of sin x over x so this is your limit you have defined it from the right-hand side i.e. you are approaching 0 from the right-hand side and you are taking the limit of that function sin x over x so we have just introduced a symbology what is its behavior what happens to that function when that happens we look at it in a while let us define one more thing here let us go to the screen here I am writing that limit as x goes to 0 and I have put a minus sign on 0 and along with it we have written sin x over x so this is read as the limit of f of x as x approaches 0 from the left so this is basically kind of a mirror image if you can say that of the topic we looked at earlier through the path I have defined from the right-hand side I have defined a limit from the left-hand side so you are approaching 0 you are getting very close to it but not exactly equaling it i.e. you think what happens when we get up very close to 0 with this particular function what happens to the y values let us go to the screen here we have made a table there are some values in this table the table shows what happens to the function f of x as x gets close to 0 from both left and right so in tables we see that the tables show that as x approaches 0 from both sides f of x approaches 1 i.e. جیسے جیسے values x کی 0 کے پاس پاس آ رہی ہیں from the left and the right-hand side in دونوں کیسے میں y کی value جیسے 1 کو اپروچ کر رہی ہے it is getting very close to 1 so here in the table you must have noted that the values of x there are no concrete whole number values i.e. as I said 4,3,2,1 and then negative 4,3,2,1 negative 1 this can have decimal values now when you get close to 0 you will get values like 0.0001 for example there will be a value very close to 0 but not exactly equal to so here we have noted when such happens from the left and the right when x approaches 0 from left and the right your y values approach 1 so we will write limit as x goes to 0 equals 1 i.e. limit as x goes to 0 or f of x equals 1 one point and here I clarify that we have written on the screen that limit as x goes to 0 so in this I did not put a plus and minus sign on 0 so this is the purpose to say that when you do not see a sign there is no sign on 0 so here it is already assumed that you have checked what is happening to the function as x approaches 0 from the left and from the right if you have checked the values and if you have on the other side if your y value corresponding comes only one then you say the limit as x goes to 0 only without any signs that means you have checked from the left and right and from both sides your y value came out to be the same approaching the same number in this case happens to be 1 and you just write down that as your limit value so this is what we say when we say that we have taken the limit of a function one point and here I clarify until now we have seen an example that we were approaching our x value 0 but it is not necessary that you approach 0 it can be your x value 2 to approach so in that case also you will say x approaches 2 from the left x approaches 2 from the right and so forth so in general we can say that sometimes it can be that x approaches a number and we call it x not x subscript 0 so in special case we can generally read it like this you might want to take the limit where x goes to x not now I will write a little table on the screen where there are some notations and some cases about the limits let us look at that now it happens that we have seen the first example we have compiled numerical evidence and then we have deduced that according to this evidence our limit was 1 in the first function where we saw sin x over x but sometimes it is misleading it tells you something totally wrong i.e. ابھی تو ہم develop کرنے اس limit کی idea کو اس لیے ہم نے وہ پہلی example دیتی جس میں ہم نے تھوڑا دیکھا کہ limit کا مقصد کیا ہوتے اب ایسی example دیتے ہیں جہاں پہ numerical evidence ہم collect کریں گے but ہمارہ limit کے جو ہوگا value آئیگی وہ غلط ہوگی so let us look at that let us go to the screen یہاں پہ آپ کے سامنے example ہے the function f of x equals sin of the quantity pi divided by x and the question is find the limit as x goes to 0 of this function یہاں پہنے پوچھا ہے کہ limit as x goes to 0 they really mean that you have to determine you have to check both the limit values as x approaches 0 from the right and the left so really what we should write down is that limit as x goes to 0 of the function sin of pi over x is equal to limit as x goes to 0 from the right-hand side so I put a plus on the 0 of that same function and that should equal to limit as x goes to 0 from the left-hand side I put a negative sign on 0 of the same function تو جب یہ condition ساری برابر ہوں گی then only can we have a limit which is what we will define to be the limit so let us look at the numerical evidence compile for this particular example as x goes to 0 from the left and the right یہاں پہنے آپ ہے this table shows the values of f of x for various x تو ان x کی values کے حوالے سے آپ دیکھیں f of x کی values تو suggest یہ کرتا ہے کہ limit is 0 یعنی y کی جو values ہیں as x goes to 0 so does y لیکن let us also look at the graph of the function the graph is here if you look at the graph the funny thing is that as x goes to 0 the graph really approaches no limiting value at all because the graph oscillates between y equals 1 so here is a problem یعنی numerical evidence تو کہہ رہا تھا کہ limit was going to be 0 but that is not the case in reality algebra کچھ کہہ رہے graph کچھ کہہ رہے so there is a problem تو algebra کیانی جو numerical values تھی those were misleading and if you looked at the graph the problem یہ تھی کیا آپ کا graph as سے oscillate کر رہا تھا between 1 and negative 1 y values 1 and negative 1 as x goes to 0 from the left and the right تو یہاں پہنے آپ ہے تو sometimes numerical evidence can be misleading we shouldn't always trust it let's talk some more about limits اچھا جی اب کچھ بات کرتے ہیں the existence of limits یعنی ابھی ہم نے an example دیکھی جہاں پہلی والا example جہاں پہ limit exist کرتا تھا function کا next example دیکھی جہاں پہ limit ہمیں لگ رہا تھا 0 ہوگا لیکن the limit actually did not exist کیونکہ oscillations ہو رہی تھیں تو limit ایسا بھی ہوتا ہے کہ sometimes fails to exist تو let's define what we mean when we say the limit does not exist تو what basically happens is that جب left اماما کچھ اس کے جو reasons ہوتے ہیں for the limit not to exist وہ ہم دیکھ لیتے ہیں کیا ہے ایک تو یہ ہوتا ہے جیسا ہم نے definition سے دیکھا ہے limit کے ایک طرح جو ہم نے informals دیے کہ آپ left سے approach کریں right سے approach کریں تو تب ہی limit exist کرتا ہے یعنی زیرہ جب x کی value left سے right سے approach کرے گی some کہتے ہیں limit exist کرتا ہے ایک تو یہ case ہو گیا باکی case ہے کہ usual culprits جو ہوتے ہیں اس کے limit کے not exist کرنے پہ وہ ایک تو ہوتے ہیں جو ہم نے دیکھا بھی oscillations کہ oscillate کرتا ہے function تو اس میں کوئی limiting value نہیں ہوتی بس oscillation ہوری ہوتی y کی values back and forth ہوتی ہیں اس کے لیوہ unbounded decrease ہی increase بھی ہوسکتی ہے یعنی ایسے بھی ہوسکتا ہے کہ آپ کا کوئی آپ کی x کی value کیا approach کر دے اس کے لیوہ y values are actually going towards infinity positive infinity یعنی negative infinity اس کے لیوہ ہم کہتے ہیں یہ جو positive infinity کا case ہے اس کو unbounded increase کہلیں یعنی negative infinity کا case جو تھا ہوسکتے ہیں unbounded decrease تو let's see some examples یہ example ہے جی یہ گراف دیا آپ کو of a function f of x یعنی یہاں کوئی f of x equation نہیں ہی just have a graph اس میں note کیجے کہ as the values of the function یعنی y values as x approaches the number x not from both the left and the right well we see that the y values increase without bound یعنی basically they shoot towards positive infinity تو یہاں ہم کہتے ہیں اسے case میں that limit as x goes to x not of f of x equals limit as x goes to x not from the left and the right equals positive infinity تو یہی کیسے کیسے جہاں x کی value تو کوئی ایک نمبر کو x not لیکن the y values are not approaching any finite number یعنی وہ positive infinity کی طرف shoot کر رہے ہیں and in this case we say that the limit does not exist وہاں case یعنی as such کوئی finite value approach نہیں کر رہی ہے y لیکن یہ ہے کہ ہم اس کو لکھ سکتے ہیں کہ limit as x goes to x not of f of x does not exist یعنی اسے لکھ سکتے ہیں کہ plus infinity مخصدی ہوتا ہے plus infinity لکھنے ایک نمبر اپروچ نہیں کر رہے ہیں actually the limit is shooting without limiting values are not as x approaches x not y values are not approaching a finite number they are growing without bound therefore limit does not exist and we denote that with a plus infinity تو ایک ازامپل اور کر لیتے ہیں ازامپل is abound جیسے ڈھالے لیکچر میرے ہم نے دیکھا تھا previous ڈھالے میں let's look another one یہ ازامپل ہے یہاں پے ڈھالا ہے ڈھالا ہے یہاں پے اگر آپ دیکھنکے what happens to the y values as x approaches x not from both the left and the right inside well notice that the y values or the f of x values decrease without bound as x approaches x not and we write this as limit as x goes to x not of f of x from the positive side equals to the limit as x goes to x subscript 0 x not of f of x equals the real limit we are looking for x goes to x not of f of x equals minus infinity this case میں آپ کے پاس ایک ایسا function تھا یا ڈھالا ہے جہاں پے x کی value کو a finite number کو approaching but your y values were decreasing without bound they were going towards minus infinity and we say the limit does not exist and we represent that idea of infinite decrease infinite approaching y values approaching minus infinity with that symbol minus infinity so that's one case where the limit does not exist or fails to exist let's move on ایک ایسامپل اور دیکھتے where we see in the case where we see that the limit does not exist اس کے بارے میں میں تھوڑی در پہلے کچھ کیا چکا ہوں but let's look at it anyway let's go to the screen example ہے جی let's say that f is a function whose graph is shown here and let a x approach some number x not then from this picture or that we have of the graph we see that the limit as x goes to x not from the positive side equals positive infinity and if you take the limit of the same function as x approaches x not from the left hand side this approach is minus infinity یہ کیسی اجامپل ہے جہاں پے آپ کے پاس limits کی infinite values تو آرہیں تو یعنی اگر دونوں values برابر کی ہوتی یعنی دونوں سائٹسے اگر آپ اپروچ کرتے x not کو اور positive infinity آتا تو ایک طرح سام کہ سکتے تھے کہ بھائی کچھی انیفارمٹی ہمیتے ہیں کہ دونوں انباونڈنٹ انکریز ہو رہی ہیں لیکن تبیوڈ دو نوڑ ایک اسوالہ کہس ہوتا یہاں پر ایک اور کہس ہوتا ہے جو پہلے بھی میں حال سے میں کچھوں تھا پہلے کہ یہاں پہ left hand اور right hand سے جو آپ اپروچ کرتے x not کو when x approaches x not from the left and the right hand side the values of y from the right hand side approach positive infinity from the left hand side approach negative infinity تو یہاں پہاں چونکہ انفنیٹیز ہیں تو ہم کہتے ہیں کہ یہ بھی ایک ایسا case ہے جہاں پر لیمٹ دہز نوڈ اگسیس بھی because the values from the left and the right don't match up. اس کے بارے میں پہلے بھی کچھ کیا چکو. تو یہ بھی ایک case ہے جہاں پر لیمٹ دہز نوڈ اگسیسٹ and let's see what we have further. اچھا اب ایسے cases دیکھیں جہاں پر x جہاں وہ بجائے کسی finite number کے اپروچ کرنے کے جیسے x not تھا پہلے یا 0 تھا ایسے دیکھیں کہ x جہاں وہ positive infinity کی طرف اپروچ کرے یا minus infinity اب ٹرمانولجی میں وہی consistant لکھوں گا یعنی یہ کہنا تو کچھ اجیب سا لے گا کہ x approaches positive infinity in a sense لگتا ہے کہ ہمیں کہنا چاہیے x diverges to positive infinity مے بھی لیکن just to keep consistent with the terminology we'll just say that x approaches positive infinity یا x approaches minus infinity تو اس کی ایک example دیکھیں کہ what happens then یہ ایک مثل ہے جنہاں آپ سکرین پے کہ graph of y equals f of x is given here اور graph سے ہم اگر دیکھیں تو ہمیں پڑھا چلتا ہے کہ اگر آپ اس فنکشن کا limit لیں as x approaches positive infinity تو اس کی value آتی ہے 4 اور اس کو دیکھیں گے x approaches minus infinity تو اس کی value آتی ہے minus 1 تو یہاں پہ just like any other limit جو ہم نے دیکھا تھا یہاں پہ بھی وہی case ہے یعنی x کی values diverge کر رہے ہیں they're approaching positive infinity a negative infinity تو y values are actually approaching some numbers یعنی این this case آپ کہ سکھتے ہیں کہ limit جو تھا positive sides سے positive infinity جب اپریوچ کر رہتا ہے x تو آپ کی limiting value کی 4 کی اور جب x approaches minus infinity تو limiting value کی y کی values کی was minus 1 اچھاں بہت مزے کی بات گی کہ جب آپ x کی values آپ کی اپریوچ کرتی ہیں positive infinity کو تو کیا یہاں پہاں میں یہ بھی دیکھنا چاہی ہے کہ x کی value نفت سے پوٹھ کر رہے ہیں پوزر انفنٹی یا رائیٹ سے زار سی بات ہے کہ ایسا کوئی ضرورت نہیں ہے کیونکہ جب آپ پوزر افنٹی کو پوٹھ کر رہے ہیں تو یہ آپ کو ایک طرح کیا ہے آپ پوٹھ کیا ہے تو پوزر افنٹی وہاں پر لیفنس کا کتھکہ کوئی کونسپٹ نہیں ہے ہے نہیں کہ آپ لیفن سے آرہے ہیں ایسا جانتے ہیں آپ پاس افنٹی کی دلکشن رائیٹ کیا ہے ہی طور پر زیادہ بات ہے اور باقی savory 10ی اپروچن اپروچن اور سی طرح سی جو آپ نگری بنفینٹی کی بات کرتے ہیں آپ اپروچن سے فرم اوی بیوے شاہی ہے تو یہ کوئی ایسا کنسر پڑھ نہیں ہے کہ دو ساید گئے اللی مٹس ہو جانتا ہے دیسٹنگنشن گئے سکتے ہیں جب آپ کے اللی مٹس اپروچ کرتے ہیں Campe روزی ہے جو کسی شکل ہے اور ایک بلی آنچ کے بطرف ہے آقصیہ بہت ہی سے شہریہ مخصصران ہے۔ آقصیہ بہت سوچ کرنے کے لئی میں بہت مخصصران ہے ان�ادہ ہوتا ہوتا ہے۔ آقصیہ بہت سوچ کرنے کے لئے اگر بہت سوچ کے لئے آپا جلسے ، ہمارے حوالہ کو نرانت کیا بھی آپ کے لئے مربط گا ہے۔ بہت مخصصران ہے بہت بہت سوچ کرنے کے لئے لاہنگی۔ تو آپ کو نہیں ہوڑتا ہوں اگر обязательно آپ کو کبھی بنا ہوتا ہے۔ تو یہ اس اجامل میں کچھ ہم نے دیکھا کہ what happens you know when you approach positive infinity or minus infinity on the x direction x approach is positive infinity or minus infinity تو اس میں auslations بھی آسکتی ہیں لیکن اس فعل ایک اس میں auslations نہیں لیکن auslate ہوتے ہوتے سیٹل ڈاون کر جاتی ہیں at y equals minus 2 پر تو اچھا ایک بات اور یہاں پر نوٹ کیجئے کہ جب ہم نے بات کی کہ as x approach is positive infinity or minus infinity تو اس کو تھوہا سا understand کرنے میں اس طرح سے دیکھئے کہ جب ہم نے کہا تھا کہ when you approach positive infinity say x is approaching positive infinity it can only approach it from one side تو اس کا اس طرح سوچی ہے کہ جب آپ positive infinity کو اپروچ کر رہے ہیں تو there is no concept of a left-hand side یعنی other side of infinity because infinity is just a concept there is no finite value from which you can say that you have reference point اور اس کے بعد نمبرز اور بڑے ہو جاتے ہیں تو لہذا ایک other side کا کوئی concept نہیں ہے لہذا there is only one way to approach positive infinity یہی concept آپ minus infinity پہلی بھی اپلائے کر سکتے ہیں اور میں ایک بہت سکتے ہیں کہ یہ کیسے distinguish ہوتا ہے when you approach a finite number and when you approach infinity or minus infinity let's move on یہ ایک example origin آپ یہاں آپ کے پاس ایک function دیہا ہے f of x اس کو دیکھیں کہ as x approach is minus infinity the y values f of x approach minus infinity and as x approach is positive infinity f of x oscillates so there is no really notation for this failure of the limit when you have oscillations یعنی جب ہم کہتے ہیں کہ infinity کی طرف جا رہے ہیں آپ کی y values تو ہم کہتے ہیں infinity کے سیمبل دال بھی کہتے ہیں کہ یہ does not exist کا case ہے لیکن کو اس کا notation جو ہوتی ہے سیمبل جی وہ ہم infinity کے سیمبل سے ڈیفائن کرتے ہیں جب oscillation کی بات ہوتی ہے تو اس وقت ہم کہہ سکتے ہیں کہ we don't have a special notation we just say the limit does not exist because of oscillation اچھا جی تو یہ تو ہم نے آج کا لیکچر یہاں ختم کرتے ہیں پھر ہم نے آج کیا دیکھا ہم نے limits کی بات کی finally ہم limits تک پوچھے کالکلس تک پوچھے this was the very beginning of calculus basically پچھلے جو بات اگی تھیں کہ ہم نے کہتے ہو کہ were basic ideas needed for the development of calculus لیکن limit was the basic idea of calculus itself تو ہم نے دیکھا کہ کیسے a tangent problem تھی جس کی وجہ سے idea of limit was motivated area problem تھی finding the area پھر ہم نے دیکھا کہ how they define different types of you know different fields of calculus differentiation is derived from tangent problem integration from the area problem and then we looked at some ways of actually looking at finding limits intuitively in a sense یعنی ابھی تک ہم نے جو کیا اس لیکچر میں وہ کافی رفلی کیا ہم نے we haven't really done anything mathematically formal لیکن لیمیٹ کی جو ہم نے بات کی جتنے بھی سلکچر میں was very intuitive یعنی ہم نے گراس کی تصویرے دیکھیں اور سے deduce کیا کہ behavior کیا ہے y values کا as x approaches some number تو یہ سارا idea ہم نے آج اس سلکچر میں دیکھا اس میں کچھ notations ہی لیمیٹ کبھی کبھی exist نہیں کرتا اس کے بارے میں بتایا ہم نے بات چیت کی تو اب یہ ہم ختم کرتے ہیں سلکچر کو اگلے لکچر سے پھر ہم اس کو تھوڑا سا اور فرملی ڈیفائن کریں گے کہ لیمیٹ ہوتا کیا ہے پہلے تو ہم دیکھیں گے کہ computational techniques کیا ہوتی ہیں یعنی یہ تو سارا intuitive سارا تھا اب ہم اس کو algebraically compute کیسے کرتنے لیمیٹ کو اور اسی طرح سے پھر ہم اس کو further develop کریں گے اگلے دو تین لکچر میں اور اس کے بعد پھر ہم differentiation وغرہ کی بات کریں گے لیکن وہ کوئی تین چار لکچر کے بعد ہے لیکن point یہ کہنے کا مقصد ہے کہ now you can look forward to seeing calculus and it's full glory and I look forward to teaching it to you and I hope you look forward to learning it تو پھر اگلے دفعہ تک کیلی جاتتے ہیں we'll see you next time اللہ حافظ