 puisqu'il va s'agir d'électrons et de plasma. Et on va commencer par rappeler que, manière générale, quand on dit stabilité, ça veut dire qu'on s'intéresse à un problème qui se passe en temps grand. Alors d'abord, cet exposé, c'est stabilité du système solaire et stabilité des plasmas. On va passer de l'un à l'autre. Quand je vais m'intéresser à une question de stabilité, ça voudra dire qu'on regarde un problème en temps grand. Vous avez un système avec une équation qui le fait évoluer au cours du temps. Le temps devient grand. Qu'est-ce qui se passe ? Vous allez dire que le temps n'est jamais infini quand on regarde l'observation. Il n'empêche que la limiter de temps vers l'infini est extrêmement utile. D'abord, pour prédire les observations, ce qui va se passer. Et si vous avez une stabilité de convergence vers un certain comportement, c'est ce comportement-là que vous allez réussir à observer. Ensuite, la plupart du temps quand vous observez une équation avec une certaine solution, la solution est compliquée, il n'y a pas de formule explicite. Alors si vous voulez savoir ce que devient le système, si vous avez une limite en temps grand, vous remplacer cette solution non explicite par la limite, au moins vous avez quelque chose d'intéressant à dire. Limite en temps grand, c'est difficile. C'est une simplification considérable par rapport à considérer toute la trajectoire, mais ça reste quand même un problème difficile, voire très difficile. Le plus ancien de tous ces problèmes, dans le cadre de la mécanique classique, c'est celui de la stabilité du système solaire. Ici, dans la stabilité du système solaire, vous avez, comme on l'a rappelé, le soleil et puis des planètes. Alors, approximativement Mercure a une trajectoire elliptique autour du soleil, il y a approximativement Vénus a une trajectoire elliptique autour du soleil et ainsi de suite. Mais en fait, ces lois définies par Kepler avec les belles ellipes et tout ça, elles sont uniquement approchées et on trouve à la place de ces lois de Kepler quelque chose qui est plus précis, qui sont les lois de Newton. Et le lois de Newton, à la fois, c'est plus simple parce qu'il n'y en a qu'une formellement et c'est plus compliqué parce que contrairement aux lois de Kepler, on n'arrive pas à résoudre les équations de Newton, comme cela, plus de deux corps. Et si on appelle X1, X2, X3, etc., les positions de ces différents corps, positions du soleil, positions de Mercure, positions de la Terre, etc., nous allons avoir une équation qui sera du style, accélération de la position de la dérivée seconde de la position de la planète numéro I, l'accélération de la planète numéro I. Je suis pas sûrement public là, tout le monde sait ce que c'est une dérivée seconde ? Vous, c'est OK ? Non. Alors, oui, accélération au sens classique du terme, comme l'accélération qu'on ressent dans une voiture, quand on tourne dans un virage et tout ça. L'accélération correspond à la force que ressent la planète, à un facteur de masse près, est égale à une résultante avec un facteur de proportionnalité G. Et puis, ça dépend des normalisations. Ici, on va le mettre avec une normalisation divisée par quatre pi, fois la somme de toutes les influences des autres planètes. Et ici, l'influence de la planète numéro J, elle est proportionnelle à la masse de la planète J, et ici, on a XJ-XI divisé par normes de XJ-XI. Et comme toujours, je me trompe, c'est pas XJ-XI, c'est XI-XJ. Donc, ça veut dire quoi, ça ? Si je regarde ici la trajectoire de Mercure, elle est influencée par le soleil, la force que le soleil exerce sur Mercure, mais aussi la force que la Terre exerce, alors ici que Vénus exerce sur Mercure, la force que la Terre exerce sur Mercure, et ainsi de suite. Pardon ? Merci. J'étais en train de chercher un cube, je me disais, il y a un cube là quelque part, qu'est-ce que c'est ? Oui, il y a un cube. La force de Newton dit que la force, effectivement, est comme l'inverse de la distance. Alors ici, comme c'est un vecteur, on pourrait mettre une flèche si on voulait, voilà, ça fait un 1 sur distance au carré ou XI-XJ sur XI-XI au cube. Voilà. Et ces équations-là, il y en a autant d'équations qu'il y a de corps. Quand il y en a exactement 2, on s'est résoudre et on a une ellipse et on retrouve la fameuse boîte Kepler, quand il n'y en a plus que 2, on ne sait pas résoudre et c'est le fameux problème des systèmes, un système qui est non integrable, tel qu'on ne peut pas le résoudre. Que faire ? Vous n'avez pas de solution, que le système solaire va être stable ou pas, vous êtes en plein dans une question qui relève d'un problème de stabilité, quand t'es envers l'infini, vous espérez retrouver des informations asymptotiquement sur ce système alors que vous ne les avez pas en temps fini. Alors, quand on regarde les différentes masses, les masses des différents objets et les uns et les autres, je ne sais pas si Jacques, tu as prévu de passer, de montrer les corps à l'échelle, donc vous l'admirez quand Jacques vous montrera ça, mais système solaire, en gros c'est le soleil, le reste c'est des petites poussières ou des choses comme ça. Si on fait la somme de toutes les masses des planètes et qu'on compare ça à la masse du soleil, c'est de l'ordre de 1 pour 1000. Soleil, c'est 1000 fois plus gros que toutes les autres planètes réunies. De sorte que quand on veut calculer la trajectoire de Vénus par exemple, ici, comme les interactions des uns et des autres en coefficient de proportionnalité qui est égal à la masse, la masse de toutes les autres planètes va être très réduite par rapport à la masse du soleil, donc le soleil va compter beaucoup, beaucoup plus que les autres masses. Et donc en première approximation ça va être juste déterminé par le soleil et on retrouvera les lois de Kepler et puis il y aura une correction et on s'attend à ce qu'elle résule d'une correction dans la force qui est d'ordre epsilon en valeur relative un nombre qui est de l'ordre de 10 puissance moins 3. Comment ça peut influer une petite correction d'ordre de 10 puissance moins 3 à un millième ? On ne se dit pas beaucoup. Sauf que si on regarde en tant grand, ça peut influencer beaucoup évidemment. Si votre compte en banque baisse de 1 pour 1000 chaque semaine, au bout de 1000 semaines, il n'est pas très vaillant, il n'est pas zéro parce que ça va faire quelque chose d'exponentiel mais quand même il est très significativement différent de ce qu'il était au départ. Et donc on se dit là ça serait pareil. Si au bout d'une année il y a un millième de modification au bout de 1000 ans 1000 ans c'est le temps typique de rotation de la Terre donc on s'attend sur une échelle caractéristique de temps dans ce problème par exemple par rapport à l'anéterrestre il devrait y avoir une modification considérable du système solaire. Et c'est pas le cas. C'est pas le cas et ça pose des problèmes qu'on se retrouve face au problème évoqué par Jacques dans le documentaire tout à l'heure l'idée qu'il doit y voir temps en temps des remises à zéro pour empêcher que ça se mette à faire vraiment n'importe quoi sinon au bout de 1000 ans tout serait détruit. Et on en était là avec Newton. Newton il avait les bonnes équations mais il n'avait pas l'analyse en temps grand qui allait avec il n'avait pas des méthodes plus sophistiquées avec la place et la grand j'arrive des méthodes plus sophistiquées et ils comprennent que sur une échelle il ne se passe rien de significatif. Les effets significatifs ils arrivent seulement à une échelle de temps de l'ordre de 1 sur epsilon carré donc la place, la grande effet significatif seulement éventuellement pour des temps qui sont au moins en epsilon moins 2. Un sur mille faut un sur mille on a dû un sur un million et donc quand on prend l'inverse on est à l'ordre de millions d'années c'est un calcul qui est fait énormément à la louche mais ça vous montre la puissance de l'ordre de grandeur correspondant un million d'années là c'est dément et c'est vertigineux c'est ça qui est des questions dans le film de penser que au XIXe siècle ils avaient compris que qualitativement on pouvait prédire que les effets significatifs en tout cas les distances planètes soleil variaient pas là on était avec l'ère, la grange la place et tout ça XVIIIe siècle et puis se pose le problème se pose le problème de savoir si sur des temps encore plus grands il peut y avoir des effets significatifs arrive toute une série de contributions il y a point carré en particulier qui dans c'est toute une saga il croit d'abord qu'il montre l'instabilité pardon la stabilité puis finalement il se dit pour l'instabilité arrive une soixantaine d'années plus tard qu'Olmogorov qui donne des arguments pour dire que ça doit être probablement stable et puis arrive dans les années 1970 1980 Jacques Lascar Scott Tremaine et qui montre que finalement c'est instable sur des échelles de temps qui sont pas tellement plus larges pas tellement plus grandes que ce epsilon-2 et ça c'est toute une autre histoire dont je n'en dis pas plus puisque nous aurons tout à l'heure un exposé de Jacques tu parleras de travaux plus récents j'imagine très brièvement bon en tout cas je te laisse en dire ce que tu veux alors revenons à la question du comportement en tant grand ce système solaire avec ces équations-là c'est que un seul exemple un exemple particulier très important très célèbre de toute une classe générale de systèmes mécaniques qu'on aimerait pouvoir étudier en tant grand je prends un système avec une équation différentielle à la Newton j'essaie de savoir ce qui va devenir quand le temps devient grand qu'est-ce que je peux dire est-ce qu'il y a des lois générale qui s'appliquent première idée on va l'appeler comme ça l'ergodicité avec les noms de point carré Birkhoff et puis si on remonte avant point carré Boltzmann c'est l'idée que le système explorera tout ce qui est possible et il passera un certain temps dans tel état un certain temps dans tel état mais il finira par explorer tout ce qui est possible et ce qui est possible c'est tout ce qui n'est pas interdit par les lois de conservation s'il y a une quantité qui est conservée évidemment qu'on ne pourra jamais atteindre un état où cette quantité serait différente de ce qu'elle est à un moment cinétique ou quelque chose comme ça alors dans cette idée d'ergodicité on fait la liste de toutes les conservations du système toutes les lois qui auraient été comme édictées pour limiter la liberté du système et on se dit que le système il va explorer tout ce qui reste et on cherche à savoir dans quelle proportion le système va être et peut-être que par exemple si on met en tête que le système solaire est ergodique que Mercure passera tel pourcentage de son temps près du soleil tel pourcentage au nu soleil et que ça passera de l'un à l'autre au cours des milliards d'années d'une manière telle qu'on finira toujours par revenir dans un état plus dans l'autre et ainsi de suite et puis ça c'est un paradigme ou une idée qui a été admise pendant un bon moment que ça devait se passer dans beaucoup de systèmes il s'avère finalement que dans les années 1950 arrive un tout autre concept avec la théorie Kolmogorov-Arnold-Moser K, A, M K c'est pour Kolmogorov A c'est pour Arnold M c'est pour Moser et il découvre donc ça c'est l'article fondateur de Kolmogorov que, sous certaines hypothèses quand vous prenez un système intégrable un système intégrable en trichant un peu c'est un système dont on peut calculer exactement la solution et dans le cas du système solaire en tout cas le système solaire serait un système intégrable s'il n'y avait pas les interactions planètes planètes avec juste les interactions planètes soleil on a un système à la quai plaire et donc on peut calculer la solution exactement donc un système intégrable perturbé par une minuscule perturbation par une minuscule interaction et je vais appeler, je vais dire qu'il reste stable avec forte probabilité autrement dit on partait de l'idée que vous avez une sorte de système solaire un peu fictif dans lesquels les planètes ont des masses absolument minuscules et au départ vous faites comme si les planètes étaient nulles au sens où elles s'influencent pas les unes les autres elles subissent seulement l'influence du soleil qui lui est massif et puis petit à petit vous augmentez la masse des planètes de sorte qu'il y a une interaction qui s'est habillée entre les planètes si cette interaction est suffisamment petite donc si la masse est suffisamment petite ce système va rester stable avec forte probabilité et les trajectoires seront des déformations disons l'évolution du système on pourra l'obtenir comme une déformation des trajectoires non perturbées il faut parler un tout petit peu cavalièrement pour ceux qui ne sont pas très au fait sur la mécanique classique mathématique alors ça veut dire quoi ça en pratique si les masses des planètes sont minuscules eh bien le mouvement des planètes restera très proche du mouvement des planètes qu'on observe au départ avec forte probabilité ça veut dire que pour certaines configurations il pourra se passer une catastrophe mais pour la plupart des configurations initiales tout se passera bien et il est impossible à priori de terminer si ça se passera bien ou si ça sera une catastrophe les différentes positions menant à des conclusions des scénarios bons ou des scénarios catastrophiques étant entremêlées de manière indemelable mais avec forte probabilité par exemple 99% si la masse des planètes est assez petite tout se passera bien et le système des planètes continueront à tourner autour du soleil de manière très gentille pour tous les temps pour tous les temps c'est une conclusion extrêmement forte c'est pas un surepsilon cube ou un surepsilon puissance 4 ou un surepsilon puissance 18 c'est pour jusqu'à la fin des temps ça a été une révolution conceptuelle et ça a vraiment changé la façon qu'on avait de penser à ces systèmes perturbatifs et d'un coup d'ailleurs l'opinion a basculé et on s'est mis à penser qu'un système solaire devait être stable il faut noter pourtant que les hypothèses du theorem de Kolmogorov Arnold Moser alors dans la version qui était démontrée par Kolmogorov ça s'appliquait pas au système solaire il y avait une question pour diverses questions techniques c'est seulement plus tard que des annoncés ont été mis au point qu'il s'applique au système solaire ou en tout cas aux équations du système solaire mais il y a une autre limitation que les masses des planètes du système solaire c'est un millième c'est pas si petit que ça il faudrait pour que ça s'applique et pour dire exactement comment il faudrait il faudrait rentrer dans le détail d'épreuve mais en tout cas le epsilon dont vous avez besoin pour appliquer la théorie de Kolmogorov Arnold Moser il est vraiment vraiment minuscule beaucoup beaucoup plus petit qu'un millième de sorte que ce théorème si joli soit il s'applique pas au théorème solaire tel qu'on le connaît et de manière générale ce théorème les hypothèses elles sont jamais vérifiées en pratique les systèmes mécaniques dans lesquels la perturbation est suffisamment petite pour que ça marche en gros il n'y en a pas et vous allez dire c'est un peu embêtant si on a cette théorie quelle est importante mais dans laquelle les hypothèses sont jamais vérifiées c'est pas peut-être pas si grave que ça c'est être un peu ambitieux que de penser qu'on va réussir avec un théorème à l'appliquer directement au monde réel la plupart du temps c'est déjà bien d'avoir un théorème qui reflète le monde réel à travers son à travers les hypothèses une idéalisation du monde réel la situation ergodique entre part en thèse en gros elle s'applique jamais non plus le nombre de systèmes dont on a prouvé qu'ils sont ergodiques des vrais systèmes de mécanique classique qui étaient extrêmement faibles et il y a beaucoup de systèmes pour lesquels on a prouvé qu'ils ne sont pas ergodiques en particulier le système emblématique le système des boules de billard de Boltzmann c'est le lieu qu'elle pensait Boltzmann dans ses articles par exemple où vous avez des boules qui se connent entre les autres avec un nombre arbitraire de boules on sait toujours pas montrer qu'il est ergodique on pense que c'est vrai il y a eu de nombreux travaux là-dessus par des gens comme Sass, Simani mais il n'y a toujours pas de preuves et quelque chose qui est sûr c'est que les démonstrations actuellement connues sont plus en plus difficiles quand le nombre de boules augmente alors qu'intuitivement on s'attendrait à ce que l'augmentation de nombre de boules favorise le comportement chaotique qui est à la base de l'ergodicité donc même si on arrive à démontrer les preuves et on peut remarquer qu'il y a quelque chose d'intéressant et epistemologiquement une sorte de paradoxe vous avez là deux paradigmes qui sont complémentaires ou opposés comme on veut qui ont révolutionné l'un et l'autre la conception qu'on a des physiques et qui ont bouleversé des pas entiers des mathématiques et qui pourtant en pratique ne sont jamais vérifiés ni l'un ni l'autre dans leurs hypothèses quand on essaie d'appliquer des systèmes physiques c'est un paradoxe intéressant voici en quelques minutes donc une petite histoire de la stabilité du système solaire ou de quelques aspects de la stabilité du système solaire système solaire c'est compliqué mais si jamais que quand on l'écrit avec des équations classiques neuf ou dix ou onze corps qu'on regarde alors ça dépend combien de planètes on considère vous pouvez ajouter la lune vous pouvez ajouter d'autres satellites Jacques Lascar et d'autres nous ont montré que des fois le comportement de quelques minuscules astéroïdes dans la ceinture d'astéroïdes il peut modifier radicalement les positions des planètes les unes par rapport aux autres au bout de 60 millions d'années quelque chose comme ça donc finalement c'est un truc qui peut être plus compliqué qu'il n'y paraît mais dans la façon dont on a formulé le problème ici en tenant juste compte du système solaire c'est un système qui fait intervenir genre 10 particules en tout cas 10 positions 10 planètes 10 points qu'est-ce qui se passe maintenant si vous intéressez à la stabilité d'un gaz qui va contenir peut-être 10 puissance 20 10 puissance 20 particules alors vous pouvez essayer d'appliquer les théorèmes ou l'idée ergodique ou l'idée colmographe Arnold Moser l'idée ergodique on a bien en tête que ça s'applique peut-être quand on a autant de particules mais on est bien incapable de le montrer pour ce qui est du théorème colmographe Arnold Moser là ça ne marche pas du tout au sens où dans ce théorème les estimations dépendent de manière très sensible de la dimension et quand vous faites grandir la dimension le nombre de particules toutes vos estimations sur la taille de la stabilité elles vont aller en diminuant de manière extrêmement rapide donc il faut pas espérer appliquer simplement appliquer ces théorèmes avec un nombre fini de boules de corps et les faire tendre vers l'infini formuler comme ça ça ne marche pas il nous faut notre approche globale alors si vous intéressez à la stabilité d'un gaz ou la stabilité d'une galaxie galaxie ça va être je ne sais pas quelque chose comme 10 puissance 11 ou 10 puissance 12 points si on modélise si on modélise les étoiles comme des points et si on les regarde juste de manière classique le modèle avec 10 puissance 12 équations évidemment il va rien vous apporter vous n'arriverez pas à les écrire vous ne pouvez rien en faire c'est simplement pas pertinent c'est ici qu'arrivent au contraire les idées de la ce qu'on va appeler la révolution statistique qui arrive dans les années 1865 1875 et qui dit on ne va pas considérer toutes ces particules individuellement on va considérer tout ça comme une sorte de fluide ou de continuum je vais vous passer un petit film piqué sur le site de l'astro astronome astrophysicien canadien John Dubinski qui va nous montrer un peu à quoi ça ressemble une galaxie alors là c'est pas 100 milliards d'étoiles qu'on va voir c'est beaucoup moins mais ça donnera une petite idée de à quoi ça peut ressembler le comportement d'une galaxie quand on le regarde ce serait tant très très grand ok voilà qui nous baisse la lumière ici il y a tout ce qu'il faut c'est bon ? super encore un peu non ? ouais ouais aussi noir que possible pour ce film si on a le le rendu fond on peut aussi le voilà ok ouais à vos souhaits alors voilà regardez ça ici ce qu'on voit chaque point correspond à ça représente une étoile et il n'y a dans cette évolution complexe que la loi de Newton tout ce qu'on fait faire ici au particule sans étoiles sans effet relativistes sans même ici c'est une simulation qui est faite sans les hypothèses de matière noire ou quoi que ce soit c'est juste une simulation classique regardez comme c'est compliqué tout ce qu'on impose comme règles c'est que chaque fois qu'il y a deux points matériels et bien il s'attire l'un l'autre avec une force qui est proportionnelle à l'inverse du carré de la distance alors ça fait très joli image de collision entre galaxies vous voyez et là encore dans cette image il y a uniquement la loi de Newton et quand vous voyez ça cette interaction qui décrit par une équation de Newton avec beaucoup beaucoup d'inconnus ben on est bien embêté pour dire quelque chose d'intelligent on se demande même c'est quoi la question qu'on veut se poser quand on regarde ça bon c'est fascinant alors ce qu'on voit aussi c'est qu'on n'a pas l'impression de voir des différents points on a plutôt l'impression de voir comme un comme un gaz en certains endroits c'est laiteux il y a des zones qui sont dents c'est des zones qui sont moins dents c'est ainsi de suite et l'idée de l'approche statistique c'est précisément de ne pas chercher à considérer les particules mais de voir ça comme une répartition probabiliste de matière voilà lumière on était bien dans le noir arrive donc pour gérer ce genre de problèmes ce qu'on va appeler la révolution statistique et c'est un peu arbitraire mais on va donner des dates 1865-1875 avec deux héros révolutionnaires l'un c'est James Clark Maxwell et l'autre c'est Ludwig Boltzmann et durant ce il faut une sorte de ping-pong mathématique un peu comme la Place et la Grange d'ailleurs et en quelques années comme ça ils vont arriver à tout changer avec ce qu'on va considérer comme quatre progrès majeurs un premier progrès qui est l'équation de Boltzmann donc quatre progrès majeurs d'abord l'équation de Boltzmann qui est un nouveau modèle donc une nouvelle équation un nouveau modèle pour prédire l'évolution d'un gaz l'évolution d'une assemblée de particules d'une assemblée de particules un deuxième progrès majeur c'est la notion d'anthropie concept mathématique concept à la fois physique et mathématique de désordre et qui à partir du moment où il a été introduit va vraiment devenir un concept mathématique et qui va envahir d'ailleurs de nombreuses branches de mathématiques de la mathématique un avancé conceptuel majeur la notion d'irréversibilité macroscopique s'accommodant de la réversibilité microscopique je vais expliquer ça dans une minute et un quatrième progrès qui est un exemple particulier sur ce cas-là d'études de comportements en temps grand de comportements quand on le tente envers l'infini par fonctionnel de Lyapunov par étude de l'entropie en l'occurrence je vais appeler ça fonctionnel de Lyapunov l'idée qu'en étudiant le comportement d'une certaine fonction d'une certaine quantité qui est attachée à l'inconnu on va arriver à déterminer ce comportement quels sont ces progrès ? ici dans le modèle de Boltzmann vous avez des tas de particules qui entrent en collision les unes les autres et on fait une hypothèse majeure qui est que quand au départ les particules elles présentent pas de corrélation particulière si vous savez qu'elle est état d'une particule ça vous renseigne pas tellement sur l'état d'une autre particule voire pas du tout et c'est ça qui va compter quand deux particules se rencontrent juste avant de se rencontrer elles signeraient complètement il n'y avait aucun moyen pour elles il n'y avait rien qui indiquait qu'elles allaient se rencontrer d'une autre, rien dans leurs comportements si vous voulez donc assembler de particules chaotiques et ce qu'on appelle après le cas au moléculaire cette idée que les particules sont décorrelées quand je prends deux particules la probabilité de trouver la première particule en tel ou tel endroit c'est indépendant de la probabilité de trouver l'autre particule en tel ou tel autre endroit sous cette hypothèse là on établit une équation qui porte sur la densité de particules sur la densité ou distribution de particules il faut s'imaginer qu'au lieu de regarder toutes les particules individuellement les positions et les vitesses on a comme un graph au dessus des positions et des vitesses et une courbe qui nous dit est-ce qu'il y a beaucoup de particules à telle position et telle vitesse ou pas comme un profil d'incité un peu comme l'histogramme d'une population cette courbe on va à la pf cette distribution de probabilité autanté à la position x à la vitesse v elle nous dit si il y a beaucoup de particules dans cet état beaucoup de particules qui ont tenté la position x et la vitesse v à peu près ou pas beaucoup donc si par exemple il y a une vitesse qui est très représentée si les particules ont tendance à aller toutes dans une certaine direction peut-être que la distribution de probabilité sera comme ça la vitesse très peu dispersée autour d'une vitesse particulière et alors on peut se demander si je pars d'une distribution de particules un peu quelconques, un peu aléatoires est-ce que ça va rester comme ça ou est-ce que ça va changer est-ce que ça va évoluer différemment c'est un peu le même problème que tout à l'heure dans le système solaire on se disait j'ai les planètes qui sont en telle configuration je vais s'évoluer est-ce que ça va changer ou est-ce que ça va évoluer ça c'est pour l'équation de Boltzmann c'est une équation qui vous décrit qui vous prédit comment cette probabilité va évoluer et elle vous donne la vitesse d'évolution de la probabilité donc la tendance par rapport au temps en fonction des autres dérivés la tendance par rapport à la varie de l'espace et de certains autres paramètres donc une équation au dérivé partiel parce qu'on va voir apparaître diverses dérivés v-scalaire des dérivés par rapport à la position de F et il y a un terme compliqué qu'on appelle pudiquement Q comme quadratique et qui en pratique a une forme un peu repoussante pour ceux qui ne l'ont jamais vu alors ici il y a un noyau de collision comme on dit ici il y a une équation quadratique dans la variable F dans la fonction F et j'intègre par rapport alors à chaque fois j'ai des formules trop grosses j'intègre par rapport à une vitesse qui va vivre dans R puissance D disons si on a des dimensions et par rapport à un angle qui lui vit sur une sphère à des moins d'une dimension avec les formules selon lesquelles les vitesses ici v et v étoiles alors les vitesses v prime et v prime étoiles seront données par le dessin qui suit ici vous avez un vecteur unitaire sigma ici c'est le demi-vecteur entre la demi-vitesse entre v et v étoiles dans la direction sigma vous allez et vous prenez l'intersection de la droite correspondante avec la sphère dont v étoile est un diamètre et ça il faut le voir comme la géométrie qui vous dit qu'en deux particules se rencontrent avec certaines vitesses elles vont après avoir d'autres vitesses si j'ai ici une particule qui arrive avec la vitesse v prime une autre avec la vitesse v prime étoiles elles vont ressortir avec une vitesse v et une vitesse v étoiles c'est renversant oui alors voilà donc cette équation l'équation elle est compliquée et tout ça peu importe il y a cette idée qu'on va arriver à prédire de manière déterministe la densité de distribution l'évolution même si les particules elles sont complètement chaotiques complètement imprévisibles c'était bien dans l'esprit de la loi des grands nombres sur laquelle même quand on lance quand on fait une expérience aléatoire si on en fait un très grand nombre statistiquement on va arriver à prédire ce qui va sortir ça c'est pour l'équation de bolsman je vais parler un peu des autres concepts alors arrêt voilà oui et puis évidemment si je fais comme ça je vais pas arriver à faire des flèches qui vont là c'est pour grave alors quelques mots sur l'entropie et puis je vous préviens à l'avance pour ceux qui prennent des notes ce tableau ne bouge pas donc ce que je l'écris là disparaîtra à tout jamais après quand je reviendrai sur les tableaux après mais c'est pas grave c'est pas le point principal l'entropie c'est un concept de désordre il vous renseigne sur le nombre de possibilités qui sont offertes au gaz alors il y a deux formules pour l'entropie s'égal k log w la formule qui est sur la tombe de bolsman et s'égal moins l'intégrale de f log f s'égal k log w vous avez un système physique que vous observez de manière macroscopique vous ne connaissez pas le système microscopique vous appelez w l'ensemble de toutes les configurations inconnues qui sont compatibles avec ce que vous observez toutes les possibilités que votre observation vous laisse et vous prenez le logarithm par exemple si toutes les particules sont dans le même état ce que vous observez c'est la configuration macroscopique f c'est la distribution statistique f vous faites une seule possibilité et si on prend cette formule w sera égal à 1 et l'entropie sera égal à 0 alors si en revanche toutes les états sont représentés dans la distribution de particules ça va être très dur de reconstruire quels sont les différents états des particules et l'entropie elle sera élevée dans le cas des gaz bolsman montre que cette formule générale d'etats macroscopique elle peut se calculer exactement et la formule en fonction de la densité f c'est que c'est moins l'intégrale de f log f et il y a un calcul combinatoire pour passer de l'une à l'autre dans lequel on résout un exercice qui est du style combien il y a de façon de ranger cas particules dans n boîtes de façon à ce que les fréquences dans chaque boîte soient déterminées la finement petite c'est le volume dans l'espace des phases donc il y a la position et la vitesse mettons qu'on soit ici dans rd croix rd ou dans peut-être que les positions c'est dans un certain peut-être un contenaire un truc une boîte quelque chose comme ça donc c'est une intégrale typiquement sur six dimensions bon c'est une des notions d'entropie il y a d'autres, enfin c'est une notion d'entropie qu'on retrouve dans la théorie de Shannon c'est la même dans la théorie de la communication de Shannon f c'est comme une densité de probabilité des signaux dans un langage par exemple la distribution des mots la distribution des lettres et puis cette quantité s elle s'apparente elle vous donne une information sur la complexité du langage en particulier combien vous pouvez comprimer un langage sans perdre d'information si le langage est toujours répété vous pourrez faire des compressions si le langage en revanche change tout le temps tout le coup plus dur et ainsi de suite donc cette même formule a été retrouvée par Shannon il y a une citation célèbre de von Neumann de Shannon lui-même qui explique comment von Neumann dans une discussion lui a dit écoute ta formule là on la connaît déjà tu devrais l'appeler entropie parce que d'abord elle a déjà été étudiée par Boltzmann elle a déjà un nom et ensuite comme personne c'est ce que ça veut dire entropie la fois qu'il y aura une discussion tu auras l'avantage et ça a pas loupé du fait que ça s'appelle entropie il y a toujours plein de gens qui sont fascinés plus de gens qui sont fascinés par ça que si on avait choisi un autre nom qui fasse moins rêver ça c'est pour l'entropie et la grande découverte de Boltzmann et c'est là qu'on arrive à la troisième à la troisième découverte majeure cette notion d'irréversibilité macroscopique Boltzmann entre que si vous prenez la formule de l'entropie et que vous ajoutez l'équation de Boltzmann et que vous touillez au sens où vous regardez si f évolue sur l'équation de Boltzmann comment évolue f eh bien vous trouvez que l'entropie ne peut augmenter au cours du temps une irréversibilité donc si vous laissez un gaz dans une boîte tranquille sans rien faire du simple fait des collisions et des particules les unes sur les autres l'entropie va augmenter, le désordre va augmenter il est naturel d'en déduire que le gaz va tendre vers un état d'entropie maximale alors encore ça serait une sorte de philosophie ergodique qu'on commence par faire la liste des contraintes qui sont sur le système et postuler que le système va atteindre l'état d'entropie maximale au moins asymptotiquement ton tenu de ces contraintes c'est ce qui a été la base donc l'entropie ne peut augmenter en particulier quand on regarde un comportement en grand f de txv devrait tendre quand t est envers l'infini vers un état d'entropie maximale un g de xv d'entropie maximale et cela on peut les calculer on peut les calculer et ce sont des gaussiennes g de xv sera égal à une certaine constante une exponentielle alors si le gaz est dans une boîte il n'y a pas de paramètres de vitesse et il y a une paramètre de température en revanche on va mettre que c'est boîte en dimension 3 boîte en dimension 3 sans axes de symétrie où rho et t sont des constantes qu'on peut identifier à la densité moyenne du gaz et à la température du gaz à l'équilibre et regarder cette chose extraordinaire qui est une des belles pages dans l'histoire des sciences qu'on retrouve ainsi par des considérations purement physiques un objet bien connu des probabilistes la loi gaussienne à laquelle gauss a pas apporté grand chose d'ailleurs ceux qui ont vraiment contribué ce sont de moivre et puis tout particulièrement la place qui est le premier à obtenir une preuve qui tient la route de ce théorème sur lequel quand on prend des variables aléatoires indépendantes qu'on les ajoute et qu'on regarde les fluctuations par rapport à la moyenne et qu'on regarde ces fluctuations multipliées par la racine carré du nombre de lancées on trouve une gaussienne comme ceci dans la variable qui est votre variable aléatoire prenez d'une pièce vous lancez en l'air un million de fois par rapport à 50-50 ça sera proportionnel à l'inverse de la racine carré du nombre de lancées et quand vous regardez plus précisément est-ce que la déviation est grande ou petite la réponse est que la distribution de la déviation dans cette échelle de la racine carré de haine elle est comme une courbe gaussienne ou presque on retrouve donc la même loi c'est pas un hasard reçant sous on a compris après qu'on pouvait aussi démontrer cette loi qui aurait un central limite comme on dit cette loi qui a découvert la place même s'il n'y a pas de physique derrière même s'il n'y a pas de gaz donc on trouve ce comportement asymptotique très intéressant par synodique un gaz que vous laissez abandonner à lui-même il va spontanément vers un équilibre avec cet équilibre il est très simple le gaz est homogène dans toute la boîte il a une température fixée et cette température correspond à un étalement de la gaussienne si la température est basse ça veut dire qu'on a une gaussienne très piquée c'est la température basse c'est une température élevée une gaussienne très aplatie et il y a donc seulement deux paramètres de nombre qui vous permettent de savoir qu'il y a l'état final du gaz énormément d'informations sur l'état asymptotique une autre remarque et ça c'est pour moi mon quatrième point ici l'étude du comportement en tant grand via l'étude de la fonctionnalité appouvenoff ici qui est juste l'entropie le comportement de l'entropie on arrive à comprendre comment se comportent l'équation en tant grand c'était un exploit conceptuel à l'époque l'équation est compliquée vous regardez ce truc là vite mais qu'est-ce que je vais faire de ça et puis heureusement Boltzmann comprend que cette quantité là elle augmente il le montre par un raisonnement mathématique pas par un raisonnement physique donc c'était un tour de force et le fait qu'on va continuer si on s'attarde sur ce qui se passe au fur et à mesure le fait que l'entropie augmente c'est quelque chose d'assez étonnant finalement parce que les équations qu'on a prises les équations de billards, des boules qui se connent les unes contre les autres j'ai pas été précis sur pour dire ce que c'était B mais B ça dépend de l'interaction entre les particules et si vous regardez par exemple un modèle de sphère qui se conne les unes contre les autres ça va juste être une constante pour la vitesse relative et puis si vous avez des interactions qui sont un peu différentes ça sera une forme différente mais par exemple ça va être égal à ça pour des boules de billards qui se choquent alors les boules de billards c'est une équation de Newton qui les régie l'équation de Newton elle est réversible vous la regardez dans un sens du temps ou dans l'autre sens du temps c'est elle même et si vous regardez un film si vous projetez un film de billards dans les sens du temps ou dans le sens inverse on voit pas la différence au niveau des lois physiques pourtant là on voit la différence considérable qu'est ce qui se passe pourtant l'un semble être a été obtenu à partir de l'autre le débat qui s'est en suivi a été costaud et savoir si c'était vraiment justifié ce genre de choses si le raisonnement de Boltzmann tenait la route ou si il y avait des approximations si il le rendait absolument non viable ça a fait intervenir des gens de premier ordre y compris .4 et lui-même qui pensaient qu'on ne pouvait pas mettre sur pied solide le raisonnement de Boltzmann et qu'on ne pouvait pas partir de l'équation de Newton obtenir l'équation de Boltzmann de manière rigoureuse il y a un article dans un revue de métaphysique quelque chose comme ça où il dit même on n'y arrivera jamais c'est la conclusion de son article évidemment les prémices sont en contradiction avec les conclusions réversibilité dans les prémices et réversibilité dans les conclusions c'est pas possible évidemment point de carré aurait bien dû savoir qu'il faut jamais dire jamais et il a fallu attendre les années 1970 pour que Oscar Landford décédé il y a quelques semaines réussissent à faire exactement ce que point de carré pensait impossible on part des équations de Newton on passe à la limite when ou le nombre de particules temps vers l'infini et sur un intervalle de temps très court au moins il montre qu'on obtient l'équation de Boltzmann dans la limite ou le nombre de particules temps vers l'infini alors on voit ici avec tout ce développement avec tout ce développement une démarche très différente de celle qu'on a vu pour le système solaire au lieu de d'aborder directement le système de particules et de chercher un cas de perturbative quelque chose on commence par remplacer le système de particules par une équation dérivé partielle un modèle continu puis on étudie cette équation dérivé partielle indépendamment du système de départ on établit qu'il y a une tendance irréversible on se sert de cette tendance irréversible cette augmentation de l'entropie pour étudier le comportement en tant grand et pendant longtemps ça a été l'explication communément admise c'est ça qui se passe dans la vraie vie le fait qu'il y ait des relaxations vers l'équilibre c'est dû à cette augmentation de l'entropie qui est une loi générale et qui vient de ce que chaque fois qu'il y a des interactions entre particules qui ont pas de corrélation au départ et qui se choquent l'entropie augmente comme l'avait bien ressenti Boltzmann et puis si on se retrouve avec d'autres modèles pour lesquels il n'y a pas cette loi de Boltzmann pour le coup pas de comportement notable et pas d'irréversibilité alors tout ce que je vous ai expliqué ça s'applique à l'équation de Boltzmann c'est une équation qui décrit les gaz des assemblées de particules qui se connent les unes contre les autres comme des molécules mais tous les systèmes sont pas comme ça c'est le goût classique tous les systèmes sont pas comme ça et si on regarde tout à l'heure le film que je vous ai montré le petit film avec les étoiles, les galaxies qui se collisionnaient c'est pas clair du tout que les particules se collisionnent dans ce genre de choses évidemment la galaxie on la voyait elle rentrait dans l'autre galaxie mais c'était plein de particules et les différentes particules on avait l'impression éventuellement qu'elle restait séparée les unes des autres justement une galaxie c'est pas décrit par l'équation de Boltzmann une galaxie ou un plasma c'est pas l'équation de Boltzmann mais c'est l'équation de Vlasov appelé parfois équation de Boltzmann sans collision c'était la terminologie que recommandait le regretté Michel et non donc l'équation de Vlasov elle s'écrit des ronds F sur des ronds T plus V escalaire gradient XF moins la convolution du potentiel d'interaction par la densité physique du gaz la densité spatiale du gaz ici F dépend du temps de X et de V et j'intègre seulement par rapport à la variable de vitesse de sorte que j'ai une densité spatiale que j'appelle rho de T de X je prends la convolution par rapport à la variable X avec le gradient du potentiel et je fais le produit escalaire ça c'est un vecteur parce que gradient W c'est un vecteur ici on se met dans un espace plat il n'y a pas de soucis à définir la convolution dans ce cadre là dans l'espace Newtonien à 3 dimensions disons produit escalaire gradient par rapport à la variable de vitesse est égal à 0 voilà l'équation de Vlasov cette équation est différente de l'équation de Boltzmann évidemment est différente le potentiel d'interaction ici par exemple vous allez avoir un W qui sera typiquement un plus ou moins un sur X carré plus ou moins un sur X avec une constante pour un potentiel gravitationnel Colombien gravitationnel ou Colombien si vous mettez le signe plus ça correspondra au potentiel le signe moins ça correspondra au potentiel gravitationnel c'est la seule chose qui change puisque finalement dans la loi de Newton de masse s'attire avec une force qui est inversement proportionnelle au carré de la distance et dans la loi d'électrostatique de particules de même signes se repousse selon une force qui est inversement proportionnelle au carré de la distance aussi sauf que dans un cas ça s'attire repousse, ça c'est le cas électrostatique ça c'est ce qui réagit l'équation d'une assemblée d'électrons assemblée d'électrons ou d'étoiles en tout cas de corps qui sont considérés comme des points et qui interagissent les uns avec les autres pardon alors si on veut bien faire les choses pour le plasma il faut soit neutraliser, en tenant compte des protons et comme il y a un différentiel de poids considérable, de masses considérables entre un proton et un électron ça doit être 1800 de mémoire quelque chose comme ça le mouvement des protons le mouvement des noyaux est beaucoup plus lent que le mouvement des électrons et donc on le modélise avec une équation à part on suppose que par exemple les noyaux sont au repos et les électrons eux sont très mobiles et donc on couple cette équation-là avec une autre équation pour les charges positives soit de manière plus ou moins artificielle on va le considérer on va le mettre dans un milieu qui neutralise qu'on peut modéliser au niveau des conditions limites par exemple ou d'un fond qu'on impose le plasma dans la vraie vie il est globalement neutre il est globalement neutre parce qu'on l'a obtenu en séparant les électrons des noyaux les électrons chargés négativement alors pour les étoiles en revanche il y a une seule espèce on regarde cette équation et on applique la même démarche la même méthodologie que Boltzmann et on constate que c'est complètement différent l'équation est différente oui et quand on regarde maintenant l'évolution du désordre pour cette équation on trouve que le résultat est radicalement différent c'est même le cas opposé si l'on veut pour Vlasov et ben quand je regarde l'intégrale de F log F c'est une constante ça ne bouge pas au cours du temps pas d'augmentation du désordre donc pour un plasma pas d'augmentation du désordre et donc l'idée que on va pas observer cette tendance vers un équilibre qu'on avait dans l'équation de Boltzmann et ça c'est ce qu'on avait en tête c'est ce qu'on a cru pendant un bon moment donc l'étude de plasma ça démarre dans les années dans le début du 20e siècle et jusqu'à ce que arrive un coup de théâtre donc constante ah oui alors d'abord donc il n'y a pas d'augmentation de l'entropie pas d'augmentation irréversible de l'entropie du désordre dans 10 ans et puis si on regarde les équilibres il y a beaucoup beaucoup d'équilibre beaucoup d'équilibre pour l'équation de Boltzmann il y a très peu d'équilibre parce que si un équilibre il est forcément l'entropie maximale sinon l'entropie augmenterait et l'entropie maximale on a vu qu'il y a que les Gaussiennes qui sont libres pour l'équation de Boltzmann en revanche pour l'équation de Vlasov par exemple vous prenez n'importe quelle fonction de la vitesse c'est un équilibre quel que soit le profilier je peux dessiner la main levé un machin ce machin appliqué à la vitesse ça vous donne un équilibre pour l'équation de Vlasov et vous en avez comme ça évidemment des milliards d'autres alors s'il n'y a pas de tendance irréversible et s'il y a une infinité d'équilibre on se dit il doit y avoir aucun comportement intéressant peut-être ça va s'approcher d'un équilibre puis d'un autre entre les deux on se dit que peut-être un comportement hypergodique sera en vigueur et ainsi de suite bon écoute théâtre en 1946 Landau dans un article avec son style dur habituel explique que les autres n'ont rien compris et qu'ils n'ont pas su voir qu'il y avait une tendance une tendance à la stabilité quand on regarde le comportement tant grand et voilà ce qu'il dit il dit que si le gaz initialement a une distribution qui est proche d'un état d'équilibre F0 homogène donc dépendant uniquement de la vitesse et pas de la position il y a une condition il donne explicitement une façon de calculer les conditions il y a une condition intégrale et par exemple c'est par exemple pour une interaction coulombienne avec une fonction F0 qui est qui est radialement symétrique dimension 3 donc quelque chose de qui est restrictif mais quand même couvre énormément de situations et il donne d'autres conditions par exemple ou alors ou alors en dimension 1 si il y a une si il y a une symétrie telle que vous pouvez vous ramener juste à une dimension avec un F0 qui a un seul maximum quelque chose qui est comme ça croissant puis décroissant donc sous certaines conditions comme ça eh bien il y a une tendance à retourner vers un équilibre même si l'entropie est constante l'équation linearisée autour de H0 donc ça c'est la suite de ce que j'ai écrit là haut linearisé autour de F0 manifeste une tendance à on va dire l'équilibration retourner vers un équilibre la thermalisation à une tendance à l'homogénéisation voilà tendance à l'homogénéisation donc si on écrit F égale F0 plus H avec une petite perturbation qui dépend de X et V F0 dépend que de V F ça dépend de F initial ça dépend de X et V et que ceci est très petit et qu'on regarde au premier ordre l'équation correspondante alors on peut l'écrire au premier ordre en H au premier ordre en H c'est déron H sur déron T plus V scalaire gradiant XH moins gradiant W convolé avec l'intégral de HDV scalaire gradiant V F0 égale 0 vous avez une équation ainsi qu'est linéaire par rapport à H ça apparaît ici, ici et ici vous pouvez calculer la solution H de TXV converge quand T est envers l'infinit vers un truc extrêmement simple c'est le même que le temps est vers plus l'infinit ou vers moins l'infinit d'ailleurs puisque c'est réversible et ce truc c'est l'intégral de la perturbation initiale HI I comme initiale de XV V, pardon XV DX c'est vraiment simple et de ce fait pour l'équation linearisée F tend vers un équilibre homogène alors là ça a été considéré comme superfiant et puis sur quoi ça se base le calcul de Vlazov de Landau il est basé sur une équation linéaire c'est donc une approximation on remplace l'équation par quelque chose qui est au premier ordre ça nous fait un peu ça ressemble un peu à la problématique qu'on avait vu précédemment en temps grand en temps beaucoup plus grand ça correspond un peu à regarder des ordres supérieurs des perturbations, des choses comme ça et il est pas du tout évident quand on regarde la vraie équation non linéaire que la conclusion de Landau reste vraie ça peut être extrêmement différent en fait quand on regarde, qu'on réfléchit un peu au problème on trouve toutes sortes de raisons pour lesquelles la conclusion linéaire et la conclusion non linéaire seraient différentes je vais terminer juste sur ce tableau parce que j'ai déjà dépassé mon temps alors le théorème qu'on a démontré avec Clément Mouhou il y a quelques années c'est que ça reste vrai pour l'équation non linéaire évidemment dit comme ça c'est juste une phrase mais en termes de difficultés c'était plusieurs ordres de grandeur au-delà du calcul linearisé en particulier parce que le calcul marche plus on peut pas appliquer les outils linéaires qui fonctionnaient bien et transformaient de la place dans ce cas-là ou si on les applique on se retrouve dans un cadre d'application non linéaire qui est délicat et parmi les... un parallèle entre la théorie CAM et cette théorie d'amortissement Landau c'est comme ça qu'on appelle ça non linéaire le fait que ça marche même si c'est non linéaire et qui est cette part d'étonnement c'est un peu le même étonnement que dans le CAM le fait que ça marche en temps infini alors qu'il y a la perturbation le parallèle il serait comme suit dans CAM on a un petit paramètre et psylône positif ce paramètre correspond à la masse relative des planètes dans l'amortissement Landau on aurait un petit paramètre epsilon qui lui correspond au degré non linearité donc si on veut la taille de la perturbation dans CAM on part d'un système initial d'un système non perturbé qui est intégrable et c'est Kepler et dans l'amortissement Landau non linéaire le système non perturbé intégrable c'est une notion linearisée de Vlasov dans CAM qu'est-ce qui peut vous poser un problème grave qu'est-ce qui peut faire a priori qu'elle est l'ennemi l'ennemi bien connu des astronomes d'anger ce sont les résonances une résonance c'est quand vous avez les périodes des trajectoires de planètes qui sont en rapport rationnel quand une planète fait deux tours autour du soleil et un autre qui fait un tour parce que la même configuration va se répéter de manière exacte et vous pouvez comme ça empiler, empiler et empiler des erreurs dans l'amortissement Landau non linéaire et c'était là qu'il y avait quelque chose à voir qui nous a fallu beaucoup de chances et de rebonds pour voir le danger c'était ce qui correspond au zéco plasma non linéaire l'éco plasma c'est une expérience assez incroyable en physique des plasmas vous envoyez une impulsion autant initiale sur une certaine fréquence et puis il y a un courant électrique qui se forme et qui s'amortit spontanément et puis vous envoyez une deuxième impulsion en plus tard un courant qui se forme et qui s'amortit et puis un peu plus tard et qui apparaît spontanément alors que vous n'avez pas envoyé troisième impulsion cette interaction des courants elle traduit le fait que les oscillations résonance des fréquences oscillations sinétiques oscillations dans la variable de vitesse de la perturbation et ces fréquences elles évoluent au cours du temps pas de la même façon en fonction spatiale sur laquelle vous avez envoyé le courant alors à partir de là on se retrouve dans une problématique de perturbation d'équation avec des recettes dont on peut s'inspirer d'un côté pour traiter de l'autre côté et l'autre côté c'est beaucoup plus délicat parce qu'il y a plusieurs paramètres c'est une EDP et tout ça et si c'est juste une équation différentielle ou l'équation des réparcels correspondent dans les stationnaires mais finalement ça se goupille bien dans les deux cas et donc la conclusion c'est que ici pour epsilon positif petit c'est stable très probablement ici la conclusion c'est que pour epsilon positif petit c'est stable à tous les coups il y a dans ce problème du fait que c'est un problème d'évolution une propriété de stabilisation supplémentaire qui fait que la conclusion est plus forte que celle qu'il y a pour KM eh ben je crois que je vais m'arrêter là voilà je le vois tu as dépassé ton temps on a commencé à moins le quart oui oui oui le gars qui discute le bout de bras donc on peut une question à la limite mais pas plus ha ha epsilon de droite il est dans la démonstration telle qu'on l'avait faite avec Clément Mouhot il est très très très petit dans la vas-y vas-y dans la nouvelle démonstration qui vient d'être rédigé par Nader Masmoudi avec Bédrosian et avec Clément Mouhot encore il est moins petit parce qu'ils ont une démonstration je vais juste être un tout petit peu technique qui repose sur un ils ont arrivé à trouver une reformulation qui peut utiliser un thérum de points fixes plutôt qu'une méthode de Newton et tout de suite ça donne des constantes qui sont honnêtement meilleures donc si on essaie de regarder exactement ce que ça donne avec ce deuxième article alors c'est un bazar un article extrêmement technique mais il est pas si petit que ce qu'on pourrait craindre il faut donner des ordres de grandeur il faut donner la longueur ça aurait pas de sens sans définir d'abord toutes les constantes dans tous les cas que ce soit dans un cas ou dans l'autre il est loin de ce qui est physiquement réaliste là il faut pas rêver dans tout ce genre de problème de la théorie signétique je connais extrêmement peu de résultats mathématiquement rigoureux qui donnent des ordres de grandeur réalisent physiquement il n'y en a quasiment pas on est dans ce que j'ai dit tout à l'heure on s'attache à trouver le reflet de la propriété plutôt qu'à trouver un truc qui s'applique directement à la réalité