 Alors, on est prêt et on commence par récapituler ce qui permettra en plus à ceux qui n'ont pas pu assister à la première séance de raccrocher. Alors, soit M, G, une variété rimanienne dimension finie, dimension M, ou une I, d'une mesure nu, d'une mesure de référence nu de dx égale exponentielle moins v de x volume de dx, ici le volume rimanien. On dit qu'elle vérifie le critère courbure dimension kN avec k, un nombre réel, et N appartenant à N plus d'infini, si elle satisfait l'une des propriétés équivalentes suivantes. Première propriété, le tenseur Ricci N nu, qui par définition est le tenseur de Ricci plus la SN2v moins gradv, tenseur gradv, divisé par grand N moins N, et supérieur ou égal à k fois le tenseur métrique, et ce partout sur la variété, partout sur M, et donc pour toute direction tangente, inégalité au sens des matrices symétriques, donc pour tout XI, quel que soit X appartenant à TXM, quel que soit XI appartenant à TXM, Ricci N nu de XI et supérieur ou égal à kG de XI. Deuxième propriété, ce sont des inégalités Jacobiennes. Sur l'application exponentielle, exponentielle de T grad PSI, pour tout PSI, fonction disons de classe C2, était assez petit, était tel que déterminant de exponentielle T grad PSI reste strictement positif, et T grad PSI soit une géodésique minimisante. Donc pour tout T assez petit, et l'inégalité, ça va être, alors il y a plusieurs choix, on avait donné plusieurs la dernière fois, et je vais en retenir une qui sera L point point de T supérieur ou égal à k gamma point carré plus, alors k gamma point carré plus L point carré sur N, et ça ici c'est gamma de T, égal exponentielle T grad PSI. Bon et ceci pour tout X, pareil pour tout X et pour tout T assez petit. Donc je vais loin d'une géodésique minimisante et j'ai cette inégalité ou par définition L c'est moins l'augarisme du déterminant Jacobien du déterminant Jacobien de exponentielle T grad PSI. Alors attention, déterminant Jacobien pour le volume nu, autrement dit le Jacobien c'est ce qui vous permet de faire le changement de variable, et dans ce changement de variable on tient compte du fait que la mesure de volume qu'on utilise c'est nu et pas la mesure de la mesure volume. On tient compte de ce que la mesure est nu de DX et non volume de DX. Ok et on a vu qu'il y avait plusieurs façons de réécrire ça et qu'on pouvait l'écrire en fonction du déterminant Jacobien, on pouvait l'écrire en fonction du déterminant Jacobien à la puissance insurène et ainsi de suite. Gamma ici, gamma de T c'est exponentiel, gamma de T c'est exponentiel T grad PSI, gamma de Tx c'est une notation pour exponentielle T grad PSI de x, partant de x. Je pars d'ici en x, ici j'ai grad PSI de x et je suis la géodésique et ça ça me donne un gamma de T qui est exponentiel T grad PSI. Alors je pourrais aussi ici, gamma point au temps initial c'est gradier en PSI mais après quand on suit la géodésique c'est plus gradier en PSI. Il faut bien révoluer PSI par l'équation de Mittenjacoby pour que ça reste un bon gamma PSI. Je vais l'écrire aussi, équivalent L point point de T supérieur au égal à K, grad PSI T carré, grad PSI T de exponentiel T grad PSI carré plus L point carré sur N, où grad PSI T vérifie dérompt PSI sur dérompt T plus grad PSI carré sur 2 égale 0. L'équation qui vous relie les géodésiques au champ de vecteur. Si PSI évolue par cette équation alors gamma point de T est égal à grad PSI de x en chaque T en chaque x. Mais en tout cas, le long de la géodésique, le long de chaque géodésique, on a une égalité sur le determinant Jacobien. Ici j'ai x, je regarde ici la géodésique qui part de grad PSI et si je regarde cette application là, son éterminant Jacobien en fonction du temps, le long de la géodésique, il évolue selon cette inégalité différentielle qui est une inégalité de type Ricati, voilà, égalité quadratique de type Ricati, second ordre. Et plus généralement des inégalités Jacobiennes qui permettent de comparer avec le déterminant Jacobien de l'exponentiel sur une variété de référence. Bon, donc ça c'est là, il y avait une première formulation, une deuxième formulation et il y a une troisième formulation équivalente, une inégalité fonctionnelle à la bockner du style pour tout PSI, lisse, la place 1 grad PSI carré sur 2, moins grad PSI, ce qui a l'air gradi en la place 1 PSI est supérieur ou égal à 4 gradé en PSI carré, plus, alors je vais pas mettre la place 1, je vais mettre L plus LPSI carré sur 2, sur N ou L est égal à la place 1 moins grad V gradiant, voilà. Et la première et la deuxième formulation, il y a équivalence par la dualité la grange Euler, comme j'avais expliqué la dernière fois, déterminant Jacobien, c'est le point de vue la grangien, formule de bockner c'est le point de vue Eulerien et c'est rigoureusement la même inégalité. Ok, alors on avait dit ça, on avait aussi dit que en outre, comme la courbure ne se fait sentir, ne se fait pas sentir dans la direction du mouvement, on peut raffiner ces inégalités et gagner un facteur N sur N moins 1 en se restraignant à ce qui se passe orthogonalment au géodésique. Comme on disait, typiquement, au lieu de regarder le dernier déterminant Jacobien complet, on regarde seulement le déterminant Jacobien correspondant à ce qui se passe dans les directions transversales à la direction du déplacement et alors on a la même inégalité que ce qui est là, sauf que le du N, on a ici N moins 1 par exemple, donc ainsi ça serait L point point orthogonal supérieur ou égal à L point orthogonal carré sur N moins 1 plus qu'à gamma point carré, en regardant juste la contribution orthogonal du Jacobien. Et pour celle-ci, on a égalité sur Sphère et qu'est-ce qu'on va dire, on a égalité sur Sphère et l'exemple que j'avais donné, c'est avec cette inégalité là, on obtient par exemple le théorème de Bonnet-Meyers sur le contrôle du diamètre d'une variété à courbure riche et strictement positive avec la bonne constante en racine de N moins 1 sur k et non en racine de N sur k comme on l'aurait avec celui-ci, c'est juste une indication que pour les constantes, on peut raffiner en regardant seulement ce qui se passe orthogonalment au mouvement. On avait dit ça et qu'est-ce qu'on avait dit aussi qu'il y a une philosophie qui est utilisée CDKN pour comparer à un espace modèle et vous avez deux catégories d'espaces modèles, soit les sphères espaces chrydiennes ou espaces hyperboliques, les habituels, par exemple la sphère de rayons racines de N moins 1 sur k ou l'espace chrydien en, ou l'espace hyperbolique avec paramètres racines de N moins 1 sur valeur absolue de k, ou un espace 1D qui est R avec une mesure appropriée, mesure qui est obtenue en projettant ici selon un axe, vous prenez votre sphère, vous la transversez par un axe, vous projetez la mesure volume de la sphère sur votre axe, ça vous fait un espace qui est aussi un espace CDKN et celui-ci c'est pour N entier tandis que celui-ci pour le faire pour n'importe quelle valeur de R, y compris infinie de N, y compris infinie et l'idée c'est que à chaque fois l'inégalité qu'on cherche à démontrer elle ne sera pas pire que l'inégalité dans l'espace modèle et c'est un principe qui s'applique à beaucoup d'inégalités. On va continuer avec quelque chose dont j'ai pas parlé la dernière fois qui sont les coefficients distorsions, un éponge, quelqu'un voit une éponge, ici je ne vois rien, ici il n'y a rien, dans les profondeurs on ne voit rien, une éponge vous savez, pas clair, c'est grand machin, merci, il marche bien. Alors coefficients distorsions, capture très bien l'esprit de la courbure de Ritchie par les estimations Jacobiennes, je prends un point x, je prends un point y, pour simplifier je vais supposer qu'il existe une y géodésique minimisante de x à y donc y n'est pas dans le lieu de coupure de x, c'est pas équivalent mais par exemple on va supposer ça. Bon et je regarde le long de cette géodésique gamma et je prends une petite boule autour de y, br de y, une petite boule de rayons r et puis je regarde toutes les géodésies qui vont de x dans br de y et ça me fait une certaine boule qu'on va appeler l'interpolation entre x et br de y, pas une boule mais un truc, un ensemble de points qui est interpellé entre x et la boule br de y avec un paramètre t qui varie entre 0 et 1 et je vais comparer ça au volume de ce que serait l'interpolation si j'étais dans un espace clidien, alors si on était dans un espace clidien et qu'on avait br de y, l'interpolation ça serait quelque chose comme ça et le volume ça serait t puissance saine br de y en volume et donc on va faire le ratio et on va faire tendre vers 0, r. On compose beta t de xy égale la limite quand r tend vers 0 du volume avec un nu disons de br de y divisé par le ratio entre le volume de l'interpolé entre x et br de y avec un paramètre t et le t puissance saine fois le volume de br de y. Alors comment on calcule ça ? Propriété si on fait grand n égale petit n et nu égale le volume donc le cas le plus standard où il n'y a pas de changement de la mesure de référence, c'est exactement beta t de xy est égal au déterminant de la matrice j01 pris autant t divisé par t puissance n ou j2t, j012t est une matrice de champ de Jacobie le long de la géodésique matrice de Jacobie donc avec l'équation j.point plus rj égale 0 la même qu'on avait vu la dernière fois et tel que j01 de 0 est égal à 0 et j01 de 1 est égal à identité bon et si les deux points sont pas conjugués puis toujours résoudre cette équation là de manière de manière unique et vous pouvez faire des estimations alors la dernière fois on avait vu comment le déterminant Jacobien comment les déterminants des champs de Jacobie ils étaient reliés au déterminant de l'application exponentielle donc avec cette formule là vous pouvez faire le lien avec le déterminant de l'application exponentielle et les bandes sur les richies se ramènent à des bandes sur les beta t dont la plus emblématique donc bandes sur richie alors devient se ramène à des bandes sur les beta t dont la plus emblématique et la plus simple c'est que richie positive si et seulement si beta t est supérieur au égal à 1 quel que soit x quel que soit y quel que soit t d'où l'interprétation intuitive d'une l'interprétation intuitive d'un espace à courbure de richie positive un espace dans lequel systématiquement on fait des erreurs en observant les petits volumes avec deux façons possibles de voir les choses connaissant le volume final on essaie d'évaluer le volume de l'interpolé et si on applique la formule l'intuition de l'espace equidien on se plante par en dessous on sous-estime le volume des interpolations ou l'autre façon de voir les choses si on prend en compte l'ouverture avec laquelle nous arrivent les rayons donc la surface apparente vu du point d'observation et qu'on extrapole la formule equidienne on surestime le volume des sources la deuxième la deuxième c'est la plus intuitive si on veut je me mets en un point j'observe la lumière qui arrive d'une certaine source volume et à partir de ce que j'observe j'essaie de reconstituer la taille de la source si je sais pas que je suis dans un espace courbet systématiquement je surestime la taille de la source et si taille ici mesurée en tant que volume ça correspond exactement à dire qu'on est dans un espace à richie positif alors les inégalités sur les jacobiens les ingénieurs été sur bockner c'est bien mais c'est des inégalités différentielle locale et la question se pose qu'est ce qu'on va pouvoir observer comme conséquence globale de ces propriétés de courbures quelles sont les situations dans lesquelles on pourra effectivement faire la comparaison en quelle situation cherche le temps à faire la comparaison entre cdkn et l'espace modèle entre une variété cdkn et l'espace modèle bien surtout une liste d'inégalités dont les plus emblématiques et parmi les plus simples sont l'égalité dite de b-shop gomoff qui contrôle la croissance du volume inégalité de doublement de la mesure qui vous permette de contrôler le volume de la boule de rayon 2R en fonction du volume de la boule de rayon R et la plus simple c'est par exemple cd0n implique que le volume de la boule de rayon R divisé par R puissance n est une fonction décroissante de R et donc en particulier le volume de la boule de rayon 2R sera plus petit que 2 puissance n fois le volume de la boule de rayon R pour tout x ici ceci il faut le comprendre comme une comparaison entre la croissance du volume des boules dans l'espace et la croissance du volume des boules dans l'espace modèle l'espace modèle cd0n c'est l'espace equidiaire R puissance n à une constante près c'est le volume de la boule de rayon R l'autre inégalité emblématique sur le volume c'est brun minkowski et je vous l'avais annoncé aussi pour cd0n ça vous disait que le volume de l'ensemble des milieux entre deux points x et y était supérieur ou égal quand je prenais la puissance insurène à un demi du volume de x à la puissance insurène que ce volume de y à la puissance insurène et pareil il ya toute une famille d'inégalité de type brun minkowski pour tout cas et pour toute aine s'agit de comparer les volumes des interpolations donc les deux là elles sont liées parce que dans les deux cas il s'agit de contrôler des volumes dans des volumes avec une notion géodésique derrière autres inégalités le contrôle du diamètre ça c'est le contrôle du diamètre quand k est positif et n est fini ça c'est l'inégalité de bonnet mayors autre inégalité truspectral ou inégalité de point carré l2 un truc du genre intégrale de f des nuigles 0 un pic intégrale de f carré des nuges inférieure ou égale là alors une constante fois l'intégrale de gradient f carré des nuges la bonne constante en l'occurrence étant n alors c'est quoi c'est n moins 1 sur nk si on est dans un espace cd de nk avec k strictement positif cd de kn k strictement positif et autre et pareil vous avez égalité pour la sphère autre inégalité point carré local point carré l1 une égalité qui vous permet de faire le lien entre des variations sur une petite boule et les variations sur une plus grande boule c'est genre l'intégrale de u moins la moyenne du u par rapport à la mesure nu ici je mets comme ça la moyenne des nuges donc la moyenne de u moins sa moyenne doit être contrôlée par c alors si je mets sur une boule de rayon r par exemple c'est sur r la moyenne sur la boule de rayon 2 r ça c'est la plus emblématique et c'est u ici il y a toute une famille comme ça d'inégalité qui à partir d'un contrôle sur la variation moyenne de u au sens du gradient vous donne un contrôle en moyenne de u sur une boule un peu plus petite et qui sert à démontrer des propriétés parfois pour r très petit parfois pour r très grand pardon c'est fois r pardon merci évidemment parce que ici c'est homogène à l'inverse d'une distance donc il faut que je compense avec une distance ici inégalité de concentration par exemple par exemple concentration de type gaussien sous hypothèses cd qu'un chini une des une des versions serait par exemple que pour toute n nu tensor n de l'ensemble des points x tel que f de x est supérieur au égal à m la médiane de f plus r ici c'est la médiane ici c'est une fonction un lipsticks sur le produit m tensor n et dire que ça est plus petit que exponentiel moins k r 2 sur 2 quelque chose comme ça qu'est ce qu'on va dire d'autres ça c'est qu'on s'écoute des hypothèses négalité type concentration on va mettre aussi dans la liste des inégalités qui sont associées à cd de ka n les inégalités d'isopérimétrie et tout à l'heure on va en détailler celle que j'annonçais la dernière fois et puis on va rajouter avec toutes sortes d'inégalités isopérimétriques les inégalités de ce bolèvres les inégalités de l'oxe bolèvres voilà et puis on va concure la liste en disant des inégalités sur le contrôle du noyau de la chaleur alors un exemple cd de ka n avec cas strictement positif n fini implique que la norme de f dans l 2 étoiles de nu est inférieure ou égale la norme de f l 2 carré de nu plus 4 sur k n n moins 2 n est strictement plus grand que 2 ici fois gradant f l 2 de nu carré et cette inégalité ci est optée là une égalité optimale sur la sphère sur la sphère sn de racine de n moins 1 sur k donc toujours pareil on a une égalité si un cd de ka n alors l'inégalité est meilleure que l'inégalité sur l'espace en tout cas pas pire que l'inégalité sur l'espace de référence donc ça c'est la philosophie pour presque toutes les applications de cd de k n montrer que c'est pas pire que sur l espace de référence à travers des comparaisons soit des comparaisons de jacobien soit des comparaisons de commutateur comme avec la formule de balkner voilà et pour terminer sur les bornes de sur les bornes de richey toujours dans la théorie classique je vais parler du je vais mentionner une estimation importante le théorème alors je n'ai pas comment va l'appeler je sais pas quel est le bon nom en français parce que souvent on appelle théorème de spitting par allusion au nom anglais tout le monde comprend quoi il s'agit si m est à courbure de richey vérifie courbure de richey positive cd 0 n et il existe gamma une géodésique minimisante infinie une une application géodésique de r dans m une ligne une droite alors vous pouvez factoriser m au sens métrique par la géodésique donc r croit un autre espace m prime ou m prime vérifiera cd de 0 n moins 1 théorème de factorisation peut-être séparation ça fait un peu bizarre et celui-ci il est important dans des questions locales quand vous l'étudiez localement une certaine situation et puis vous faites vous faites vous grossissez grossissez vous faites un blow-up ça peut typiquement vous écraser votre courbure de richey elle était minorée elle va devenir minorée par 0 et s'il ya une droite finie qui apparaît dans le processus ça va être une direction de l'espace tangent en analyse non lisse et très utilisée pour construire les espaces tangents et ça sert dans d'autres contextes alors on va détailler un exemple et faisons la démontre onze en une on va voir comment le déterminant jacobien intervient on va démontrer la fameuse inégalité de lévi gromov toujours dans le cadre classique c'est un peu ce qu'on a de plus soit qu'on pense de plus fondamentale quand on pense à des problèmes variationnels géométriques c'est là le problème isopérimétrique théorème inégalité de lévi gromov la preuve je sais plus quelle est la date de la preuve en tout cas lévi l'avait démontré il y a fort longtemps sur pour des voilà alors le papier de gromov date de je sais pas en tout cas lévi c'est 1919 où il s'intéressait à des bords de convex donc des variétés plongées de courbures sectionnelles strictement positives et gromov longtemps après l'a généralisé avec une hypothèse seulement sur la courbure de ritchie et surtout il a réparé la preuve parce que la preuve de la preuve de lévi tenait pas bien debout alors qu'est ce que ça dit soit m une variété rimanienne vérifiée en cd de kaël avec cas strictement positif et n finit bon il y a des versions qui vous permettent de faire aussi qu'un négatif par comparaison si vous avez une bande sur le diamètre des choses comme ça mais on va se placer en cette situation là on sait que automatiquement la variété est compacte par bonnet mayors et je prends à un ensemble qui est là dedans ensemble un peu quelconque bon et je vais m'intéresser au volume de ha et puis précisément au volume relatif de ha par rapport à m et pour faire la comparaison je vais prendre la sphère qui est aussi cd de kaël donc ça c'est l'espace de référence donc c sn de racine de n moins un sur k et je vais l'appeler s cette sphère de référence et je vais considérer la boule b une boule dans la sphère donc c'est une calotte si vous voulez qui a le même ratio de masse donc je vais demander que a sur m égale b sur s a sur m c'est un nombre qui entre 0 et 1 quelle que soit le nombre entre 0 et 1 je trouve la calotte sphérique qui correspond alors déroits sur m et supérieurs ou égales à déromber sur s oui andré ça va les deux côtés sont pas homogènes mais de la même monite et si on veut ici c'est alors évidemment ici c'est un volume n moins un dimensionnel ici c'est un volume n dimensionnel on peut il faut le voir comme une version différentielle du truc précédent alors ben justement je vais donner la version homogène qui est équivalente donc deux versions équivalentes la première c'est si je regarde a epsilon égale l'ensemble des x telles que la distance de x a a est inférieure ou égale a epsilon ben je pourrais écrire a epsilon moins a sur m et supérieurs ou égale a b epsilon moins b sur m et même comme j'ai pris toute façon a sur m égale b sur m je peux aussi écrire ça sous la forme a epsilon sur m et supérieurs ou égale a b epsilon sur s pardon je peux traduire ça plutôt qu'en termes de mesures du bord je peux le traduire en termes de mesures de l'élargie de toute façon il est entendu que des rois ça va être un truc du genre l'insuppe de a moins a a epsilon moins a quand sur epsilon quand epsilon tan vers 0 c'est la définition de la surface c'est dans là quand vous faites la variation c'est la façon dont ça a tendance à augmenter le volume bon alors là ça c'est la première version équivalente et la deuxième version équivalente c'est en termes de profil isométrique isopérimétrique pardon on appelle im de alpha l'inf des des rois sur m telle que a sur m est égal à alpha fonctions isopérimétriques c'est si vous voulez la fonction qui a un volume donné associé la plus petite le plus petit périmètre possible la plus petite surface associé alors ce que ça dit cette inégalité c'est exactement que et c'est donc c'est très joli comme ça si vous avez cdk n alors la fonction isopérimétrique de m est supérieure ou égale à la fonction isopérimétrique de l'espace de référence sn de racine de n moins un sur k fonction isopérimétrique à quoi ça ressemble c'est une fonction qui définit entre 0 et 1 quand alpha égal 0 elle vaut 0 et quand alpha égal 1 elle vaut 0 aussi je suis en train de regarder la surface de toute la de tout l'ensemble donc c'est une fonction qui relie 0 à 0 et on peut montrer on peut calculer explicitement la fonction de la sphère on peut montrer en particulier qu'elle est concave ça nous servira il y a une formule explicite pour ça en gros c'est la fonction qui au volume de la calot sphérique associé le volume de la de la du périmètre de cette calot sphérique de la surface donc donc ça c'est j'insiste encore pour dire à quel point ça c'est satisfaisant ça vous dit que sous juste une condition de courbure dimension vous pouvez comparer les profils isopérimétriques de la variété au profilisopérimétrique de la référence les vies utilisés ça pour démontrer ses propriétés de concentration sur la sphère et puis il en déduisait des conséquences de type concentration gaussienne en passant la limite en utilisant le fait que la sphère de grande dimension elle ressemble à une mesure gaussienne quand on regarde la dimension qui tend vers l'infini et si la courbure est aussi considérée de manière appropriée alors on va faire la démonstration selon les lignes de gromov question il se quise de démonstration bon je prends à un ensemble quelconque un cul d'en m et je regarde son bord des rois et en chaque point du bord il ya une normale on l'a nu prenons la normale en 30 et de cette normal je peux lancer une géodésique et puis je peux comme ça lancer plein de géodésique et je vais m'intéresser qu'aux géodésiques minimisantes donc et toutes ces géodésiques minimisantes elles vont recouvrir à recouvre à par des géodésiques minimisantes issus de déroits de sorte que chaque x appartenant à a est ainsi relié au point de déroits qui lui est le plus proche point de déroits qui lui est le plus proche il n'y a pas forcément unicité il ya des points qui vont être reliés par plusieurs géodésiques mais ça va être des un endroit petit ça correspondra au lieu de coupure de l'ensemble des rois hors du lieu de coupure hors de ce qu'on va appeler code de déroits il ya une cité de la géodésique et quitte à éliminer cet ensemble de mesures nul on peut obtenir le volume de ha en intégrant les longueurs de ces géodésiques alors évidemment faire attention il va y avoir un facteur jacobien qui va sortir ouais pourquoi le lieu de coupure il va être d'une dimension au moins un inférieur à celle la variété dimension au pire au pire n-1 c'est on peut le voir ça en remarquant que la fonds le lieu de coupure correspond au lieu de tout cas le lieu où il ya plus le lieu où il ya plusieurs géodésiques quand il ya plusieurs géodésiques ça correspond à un point de non-différenciabilité de la distance par rapport à à mais cette fonction distance par rapport à l'ensemble elle est l'épicienne donc para de marreur l'ensemble de ces points de non-différenciabilité de mesure nul c'est une façon de le voir alors si on raffine en utilisant le fait que la distance est semi concave on peut même dire que c'est un ensemble de dimensions n-1 le lieu de coupure dimension au plus n-1 dimension de cut est inférieur au égal à n-1 se voit car inclus dans l'ensemble des points de non-différenciabilité du de non-différenciabilité de la distance de x à à à des ronds alors ici c'est le le le le cut locus alors c'est plus comment il s'appelle plus précisément plus précisément le sous ensemble du cut locus celui qui nous pose problème le sous ensemble où il ya deux géodésiques minimisantes distincte il ya deux façons pour quelqu'un d'être dans le cut locus soit qui est deux géodésiques minimisantes qui correspondent à ce point soit qu'il n'y en ait qu'une seule mais qui a un phénomène de focalisation qui fait que le déterminant Jacobien de l'application exponentielle est nulle au point qui nous intéresse alors donc celui là l'ensemble des points où il y en a il y en a deux il est de mesure nul si on regarde l'ensemble des points où le Jacobien s'annule de toute façon comme Jacobien nul dessus qu'on trappa ben j'en déduis que volume de A est égal l'intégrale sur des rois de l'intégrale sur zéro au temps de coupure partant du point x de j de x t d x d t où ça c'est le Jacobien de l'application qui a x t associé x x tenu de x ce Jacobien il vérifie des il vérifie des inégalités des estimations et la dérivée du Jacobien j point de 0x correspond à état on va l'appeler état c'est la courbure moyenne de A de déroits en x et ce Jacobien se compare au Jacobien de l'application exponentielle sur la sphère qu'on va noter j état de t le déterminant Jacobien de l'exponentiel sur la sphère partant de la de la calotte du bord de la calotte sphérique du bord de b état ou b état à courbure moyenne égal à état donc ici c'est la principale subtilité de la preuve on va pas le comparer au jacobien issu de la boule que j'ai écrite ici on va le comparer un jacobien issu d'une autre boule qui est une boule de courbure moyenne état vous allez me dire pour l'instant état il dépend de x et la deuxième grosse astuce deuxième grosse idée de la preuve c'est de dire qu'on pourra se limiter à un état qui est constant précisément parce qu'on va regarder uniquement un volume b qui est minimisant qui minimise l'air alors avant d'aller là je donne l'estimation du jacobien qui va bien le théorème de comparaison en l'occurrence il s'appelle Heinz Kercher avec Heinz Kercher si la courbure moyenne de déroits et supérieur ou égal à état alors le volume de A est inférieur ou égal au volume de déroits fois l'intégrale de 0 à R de A de j'état de x t dt j'état de t dt alors ou R de A c'est ce qu'on pourrait appeler le rayon de A c'est le supe des distances de x à des rois pour x appartenant A et celui-ci c'est le jacobien dans l'espace de référence avec j point de 0 égal à état donc jacobien quand on est parti de la boule dont la courbure moyenne est égal à état alors il est commode de mettre un plus ici c'est à dire qu'on s'arrête quand il y a focalisation si je regarde la sphère c'est la vraie sphère que je dessine là j'ai ma calotte mais donc je prenne la normale dans cette direction c'est à dire que ma boule ici elle est c'est ici ma boule elle est de volume plus grande que la moitié de la sphère et quand je regarde l'application exponentielle elle va s'annuler les termes en jacobien va s'annuler quand je vais atteindre le pôle sud si ici c'est le pôle nord et donc ce endroit le termes en jacobien vaudra 0 tout ce qui se passe après on l'oublie parce que toute façon la focalisation peut pas avoir lieu peut pas avoir lieu avant le temps de coupure alors ben ça c'est pas mal et on va utiliser cette estimation pour pour la preuve et donc là dessus grommoff nous dit appliquons cette formule à un ensemble à deux périmètres minimales qui minimise le volume de déroits à volume de affixé bon et c'est la grosse théorie de la théorie géométrique de la mesure géométrique major theory des années 60 70 que il y a toujours une solution à ce problème et c'est un ensemble dont le bord est courbure moyenne constante et c'est un ensemble qui est régulier sauf peut-être sur un espace de co-dimension au moins 7 existe un minimum avec courbure de déroits égale constante et les grands noms derrière c'est les gens comme c'est almgrain et les autres donc ça ce sont ces théorèmes extrêmement long extrêmement technique dans lesquels on travaille sur tous les ensembles et petit à petit en disant le fait que c'est minimal on établit une régularité la régularité les théorèmes sur lesquels sont en train de travailler des gens comme déléli c'est ce pas d'arrot pour simplifier toutes les preuves alors en tout cas vous avez un ensemble minimum et on va l'appliquer à ça on applique la formule à a et à m moins à alors si a il a courbure moyenne constante égal à état m moins à une courbure moyenne constante égal à moins état tout ce qu'on fait c'est qu'on change le sens de notation de la normale ça change le signe de la courbure moyenne mais ça sera encore une constante donc on va appliquer les deux formules volume de a et volume de m moins à donc d'une part on aura à inférieure égal à déroits l'intégrale de 0 à d de j état plus de t d t et d'autre part on aura m moins à inférieure égal à déroits intégrale de 0 à d de j moins état plus de t d t ou d et le correspond à correspond à autant qui vous faut et le temps d'annulation de j état dans l'espace modèle alors là on y est presque ici c'est des états ici c'est des moins état et si je regarde ce que je peux réécrire ce truc là aussi avec la même formule dans laquelle pour le coup il y aura égalité comme étant le volume de s moins b divisé par le volume de déron s ici c'est avec la sphère de alors que je dis pas bétise s moins b moins état divisé par déron b moins état ou b moins état c'est la boule dont la courbure moyenne est moins état et ici pareil ça sera égal à s moins b état en volume divisé par ce truc là juste divisé par déron b état égalité dans l'espace modèle bon qu'est ce que j'ai démontré avec tout ça ben là j'ai une égalité sur le volume de déroits là j'en ai une autre donc je dis que déron a est supérieur ou égal au maximum de ces deux nombres et quand vous regardez ça vous donne de A déron b état sur b état et pourquoi j'écris s moins b état c'est juste b état qu'il fallait écrire ici ici c'était b moins état qu'il fallait écrire mais ce qui est vrai c'est que la boule moins état c'est la même chose que la sphère moins la boule état je reprends ce point parce que je me suis planté ici j'ai réappliqué la formule juste pour dire qu'il avait égalité quand c'était la boule dans la courbure moyenne était égal à état donc c'est intégrale du Jacobien elle s'écrit comme le volume de la boule divisé par le périmètre de la boule la surface de la boule et ici c'est la boule le courbure moyenne moins état c'est le complémentaire de la boule de courbure moyenne état sur une sphère le complémentaire de la boule c'est notre boule et donc c'est ce que j'ai écrit ici que cette boule c'était le complémentaire de la boule précédente les deux boules ont le même frontière donc ici ça change rien que je mette la surface de b moins état ou de b état bon alors là j'y suis déron a super égal à max de A déron b état sur b état et m moins A fois déron b état sur s moins b état on va réécrire ça en divisant un peu partout par en normalisant un peu partout par les volumes déron A sur m et supérieur au égal à max de A sur m donc je divise par m à gauche et à droite ici je vais mettre déron b état sur s et s sur b état et ici je vais mettre m moins A sur m déron b état sur s s sur s moins b état posons alpha égal à sur m et petit v égal beta sur s ce qu'on a montré ici c'est que ça avec ses notations ça devient max de alpha ici ça va être la fonction isopérimétrique un déron b état sur s c'est la fonction isopérimétrique de la sphère appliqué à v divisé par v et ici ce nombre là c'est un moins alpha fois la fonction isopérimétrique de un moins v divisé par un moins v bon alors maintenant c'est un petit exercice que ça c'est égal à is de alpha car is est une fonction concave tel que is de 0 égal is de 1 égal 0 et si j'ai juste d'appliquer l'inégalité de alors pardon oui c'est bon ouais c'est bon ouais quelque chose qui voilà c'est bien c'est supérieur ou égal pardon maintenant quand je minimise ça par rapport à v donc déron alpha sur déron sur m et supérieur ou égal à l'inf sur v compris entre 0 et 1 de ces machins là et ça c'est égal à is de alpha et l'optimum est atteint pour v égal alpha bon donc ça c'est une jolie preuve ça c'est une jolie preuve ça démontre bien exactement ce qu'on voulait et quelle est l'avantage de cette preuve c'est qu'on voit très bien ou intervient la comparaison du jacobien à travers cette décomposition comme une intégrale sur le bord du domaine et le long des géodésiques l'inconvénient c'est qu'elle est très gourmande en régularité parce que dedans on utilise en boîte noire ces très gros résultats sur la régularité des ensembles minimisant et pour donner un sens à cette preuve donc donner un sens à la preuve demande d'appliquer les résultats de théorie géométrique de la mesure il faut distinguer d'ailleurs selon selon que la dimension est inférieure au égal à 7 ou supérieure au égal à 7 ou supérieure au égal à 8 et ça ça ne pose pas de problème si vous appliquez en boîte noire les résultats un ce que ça dit c'est que en dimension inférieure au égal à 7 vous avez toujours une surface qui est suffisamment régulière si la dimension est supérieure au égal à 8 il peut y avoir un ensemble de points de co-dimension un ensemble de points qui vous posent problème qui est de dimension n-7 mais il vous pose pas vraiment de problème parce que en fait on intègre que sur les points qui sont obtenus comme étant des limites de géodésique minimisante les points qui vous posent problème c'est des coins ou des choses comme ça et les coins on les obtient on les obtient jamais les géodésiques minimisantes vont les éviter donc en fait on est en train de faire l'intégral sur un sous-espace qui est régulier en fait on fait l'intégral sur un sous-ensemble de déroits qui est toujours régulier bon donc c'est gourmand régularité et c'est dans un cadre lisse que cette preuve s'applique alors le but du cours c'est que à la fin on soit capable de comprendre la version non lisse de ça et comment elle se démontre et je vais refaire le petit dessin que j'avais fait tout à la fin pour répondre à une question pour sur les espaces dans lesquels on devrait bien travailler est ce qu'il y a d'autres questions par rapport à par rapport à ça les vigres m'offre ok dernière remarque j'ai mis ici yes de alpha mais bien évidemment c'est la même chose que yes de 1 moins alpha je regarde sur une sur une sur une sphère c'est toujours pareil le complémentaire de la boule c'est la c'est la boule qui a le même périm dans le périmètre elle même la fonction isopérimétrique ça c'est vrai pour n'importe quel ça c'est vrai pour n'importe quel ensemble il va être elle va être symétrique par rapport à un demi pour la simple raison qu'un ensemble et son complémentaire ils partagent la même frontière alors quel cadre bon dans les espaces on va dire que on fait de la géométrie en plus grande généralité dans des espaces métriques on va dire que plus réguliers que les espaces métriques il ya les espaces géodésiques les espaces dans lesquels on peut définir des géodésiques encore plus réguliers que les joutes que les espaces géodésiques il ya les espaces géodésiques non branchants donc ça sont les espaces dans lesquels il existe des géodésiques ça sont les espaces dans lesquels les géodésiques ne bifurent que jamais et vous avez il n'y avait jamais deux géodésiques qui coïncident sur une partie non triviale avant de diverger. Ce sont des géodésiques d'espace dans lesquelles vous avez, si vous voulez, un principe de déterminisme de la géodésique. Si la géodésique commence de certaine façon, on sait où elle va aller. Évidemment, chaque fois que vous avez un espace assez lisse pour qu'il y ait des équations différentielles pour les géodésiques, ça va être un espace non branchant, si cette équation n'est pas trop terrible. Donc espace géodésique non branchant, en passant d'espaces métriques à espaces géodésiques, on a par exemple exclu les espaces discrets, il y a pas mal autre chose. En passant d'espaces géodésiques aux espaces géodésiques non branchants, on a exclu les arbres et d'autres choses dégénérées de courbures négatives. À partir des espaces non branchants, on va distinguer 3 catégories intéressantes qui sont étudiées en géométrie. Alors non branchant ou essentiellement non branchant, on définira plus tard ce que c'est essentiellement non branchant, mais en gros, peut-être qu'ils sont branchants, mais pour un ensemble de géodésiques qui est tellement petit qu'il n'apparaît jamais dans aucun calcul et vous en fichez. Donc essentiellement non branchant, il y a 3 catégories d'espaces métriques intéressants qui vont être recours qu'on va trouver là-dedans. L'un, c'est les limites de variété rimanienne. Un autre, c'est les espaces de Cartan-Alexandrov-Toponogov à courbures sectionnelles minorées. Et un troisième, ce sera les espaces de Finstler-Lies. Un espace de Finstler-Lies, c'est un espace dans lequel, en chaque point, la longueur du vecteur est calculée avec une norme, mais pas une norme credienne a priori. Un espace 4+, c'est un espace dans lequel la courbure sectionnelle est minorée par un nombre réel au sens faible, au sens métrique. Et ici, on appelle ça les limites de variété rimanienne, les limites de variété rimanienne à courbures de sous une hypothèse de minoration de la courbure de Ritchie. Disons sous un CD de KN avec N fini. C'est ce célèbre théorème de compasité de Gromov qui vous dit que, quand vous imposez ça et une bande sur le diamètre, vous avez de la compasité qui arrive de manière naturelle et les limites de tous ces espaces, on va les noter comme ça, rim bar. Plus particulier que les espaces à courbure minorée ou que les limites de variété, il y a les variétés rimaniennes. Plus particulier que les espaces de Finzler, il y a les espaces RN avec une norme non credienne. Et puis plus particulier, aussi bien que les espaces rimaniennes et les espaces RN, on dit parfois espaces de Minkowski, vous avez l'espace credien qui est le plus parfait. Ou l'espace credien qui va se faire entrer pas là-dedans. Alors, la théorie classique s'applique là, la théorie classique. Et ce qu'on va voir, c'est qu'on peut faire une théorie qui s'applique jusqu'ici, qui s'applique ici, ici aussi, avec certains raffinements qui s'appliquent à tous les étages en dessous. Et donc on peut généraliser considérablement la théorie classique de la courbure de Ritchie pour aller jusqu'à incur des espaces geodésiques assez arbitraires. Par exemple, on va voir que l'Evy Gromov, on peut le démontrer dans ce cadre d'espace geodésique et donc qui inclut aussi bien les limites de variété que les espaces 4+, ou que les espaces Finzler, en un sens faible qu'on précisera. Donc comment passer de ce degré de ce niveau avec des variétés riemannées lisses à ce niveau là où on suppose pas de régularité à priori, mais juste des espaces geodésiques ou éventuellement des espaces geodésiques non branchants, ça va être l'objet du cours. Et pour ça, on va faire un long détour par diverses théories à commencer par la théorie du transport optimal. D'autres questions ? Avant qu'on se lance dans le chapitre suivant, ouais. Si vous avez un géométrise oradien, ouais, ça va être tout... Ah ah ah ah ! Le truc va changer. Peut-être que... Qu'est-ce que c'est ça ? Vous savez... Qu'est-ce que c'est le statut d'essayer de faire... de faire une synthétique riche dans les espaces lores ? Dans les espaces lores ? Quelqu'un a exploré ça ? Je ne sais pas. Non, je crois pas que ce soit... que ça n'a pas été à l'ordre du jour. Ça le deviendra. Est-ce que t'as un analogue des inégalités de quelque chose qui serait cédé de Caëne en Laurentien ? C'est plutôt des richies égales quelque chose qu'on regarde dans Laurentien, non ? Il doit y avoir quand même. Est-ce qu'il y a une inégalité périmétrique importante en Laurentien ? Bon, on regardera ça. D'autres questions ? Peut-être le souris manien. Alors, souris manien, oui. Qu'est-ce que tu vas appeler souris manien ? Par exemple... Ah... Non, là, oui. C'est pas déterministe, c'est ça ? Si je pense que c'est déterministe, mais il y a un problème, c'est qu'en général, non, tu sais définir ce que ça voudrait dire qu'au bout de richies minorées, mais en général, il ne le vérifie pas. Il vérifie des critères plus faibles que cédés des critères du genre propriété de contraction de la mesure. Des choses comme ça. Il vérifie pas de born inférieur sur richies au sens qui est là. Oui, il y a une courbure moins infinie dans certaines directions. Mais pourtant, il vérifie certaines des inégalités de la théorie. Je te ferai un... C'est une bonne question. Je vous ferai le compte rendu là-dessus, une autre fois. Autre question. Alors, on commence sur les chapitres 2. Pour l'instant, on n'était que en train de parler de géométrie, que de problèmes variationnels et de minimisation et d'optimisation. Et ça sera le problème du transport optimal. Premièrement, introduction et définition. 1781, le problème de manges qu'on va reformuler en termes modernes, je regarde un phimome de l'intégrale de c de x t de x mu 0 de dx sous la condition que la mesure-image de mu 0 par t soit égale à mu 1. Donc l'un phimome est sur l'été. Mu 0 et mu 1 sont des mesures de probabilité qui sont données. Et c est un coût qui est donné. Alors l'intégrale est sur un certain espace x et on va supposer que c est défini de x croix x à valeur dans r. On n'aura pas besoin de situation plus générale. Donc qu'est-ce qu'on est en train de faire ? On est en train de réarranger une distribution de matière qui est répartie selon mu 0 en une autre distribution mu 1 en se demandant quelle est la manière la plus efficace de réaliser ce transport pour que l'intégrale du coût depuis le point de départ jusqu'au point d'arrivée soit aussi petite que possible. Des recherches là-dessus et tout ça. Et le deuxième problème qui sera bon de garder en tête 1942, on va noter avec un k ici celui-là, ça sera m et la double l'infimum ou ici l'inconnu en la notrapie de la double intégrale de c de x y p de dx dy sur tous les p mesure de probabilité sur x croix x dont les marginales sont mu 0 et mu 1. Alors si vous voulez on peut écrire ça eu 0 eu 1 quand je regarde eu 0 mesure image p c'est mu 0 et eu 1 mesure image p c'est mu 1. Alors on rappelle les notations la mesure image de mu par t c'est la mesure qu'il y a à ceci mu de t moins un de A et puis on notera eu 0 de x y égale x eu 1 de x y égale y donc quand je regarde que la première variable trouve mu 0 quand je regarde que la deuxième variable je trouve mu 1. Interprétation p est un plan de transport un plan comme vous dessineriez si vous étiez un ingénieur là il y a les x là il y a les y il y a tous les points tels que il y a tous les couples x y tels qu'il va falloir faire un transport du point x au point y et vous noircissez par exemple si vous transportez beaucoup de masse vous mettez beaucoup de masse sur votre dessin ça veut dire qu'il y a beaucoup de masse qui va aller du point x au point y et il faut qu'à la fin de la journée toute votre masse qui était présente selon la configuration de départ elle a été transportée selon la configuration d'arrivée un exemple qui est le point de départ prenez c de x y égal x moins y carré alors quand je veux regarde l'intégrale double de x moins y carré pi de dx d y ben je développe le carré je trouve l'intégrale double de x carré pi de dx d y moins 2 l'intégrale double de x carré y pi de dx d y plus l'intégrale double de y carré pi de dx d y ici j'ai une fonction qui dépend que de x donc je peux appliquer la condition de marginal et je trouve que c'est intégrale de x carré mu 0 dx qui dépend pas de pi et ici je peux aussi appliquer la condition de marginal et dire que c'est intégrale de x carré y carré mu 1 de dx qui dépend pas de pi non plus et donc il me reste seulement moins 2 double de x carré y pi de dx d y et si je veux minimiser ça c'est pareil que maximiser l'intégrale de ce produit scalaire et si je retradue ça en interprétant pi comme la loi jointe de 2 variables aléatoires dont les lois seront respectivement mu 0 et mu 1 je trouve que minimiser l'intégrale double de cpi est équivalent à maximiser la valeur moyenne de x carré y ou la loi de x égal mu 0 la loi de y égale mu 1 autrement dit je me donne les lois de 2 vecteurs aléatoires et je cherche à les réaliser d'une façon la plus corrélée possible au sens habituel des corrélations ça c'est l'interprétation de ce problème de Kant-Horowitz on voit que en terme probabiliste il se comprend très bien propriété de base propriété les infimomes coïncident sous des hypothèses très générales le problème de Kant-Horowitz j'admets toujours une solution en fait c'est un problème qui est si vous le regardez bien fait par des contraintes linéaires c'est un problème de programmation linéaire c'est de l'optimisation convexe alors que pour le problème de monge c'est plus délicat parce que si vous y réfléchissez t il intervient par une condition de mesure image dans le problème de monge ça c'est une condition non linéaire un peu dégoutante on se limitera dans la suite dans quel cadre on se limitera à x les bases métriques complets séparables et le plus souvent localement compact et puis c'est continue à valeur réelle c'est de x croix dans r continue parce que ça suffira pour toutes les applications géométriques qu'on a en tête et on commence avec la dualité de Kant-Horowitz bon c'est un problème de programmation linéaire donc il admet un problème dual alors on va trouver formellement le problème dual puis on va l'écrire et puis on va mettre les résultats de dualité dans la généralité qui est intéressante pour nous alors on écrit pour cela k c'est infimum sur pi de l'intégral de c de x y pi de d x d y et la contrainte c'est la contrainte de marginal la contrainte qui dit que pi a pour marginal mu 0 et mu 1 donc on va dire que ça c'est pareil que l'infimum alors je vais mettre pour tous les pis mesures positives plus une fonction indicatrice au sens convex donc il va valoir 0 ou plus l'infini selon que pour tout phi de y pour tout psi de x l'intégral double de phi de y moins psi de x pi de d x d y est égal à l'intégral de phi des murs moins l'intégral de psi plus l'infini sinon vous allez me dire pourquoi j'écris comme ça phi de y et moins psi de x c'est pour être cohérent avec une notation qui suivront je réussis bien pour mettre un plus ici bon et ça je vais dire que c'est la même chose que l'inf sur les pis positifs du chip sur tous les pis et tous les psis sans me préoccuper ici de quel espace il s'agit de intégral double de c de x y pi de d x d y sauf que je veux aussi c'est bon plus l'intégral de phi des murs moins l'intégral de psi des murs 0 moins l'intégral double de phi de y moins psi de x pi de d x d y parce que si jamais cette contrainte là si cette contrainte là est satisfaite pour le phi et le psi que je regarde ben j'ai juste rajouté 0 et si elle est pas satisfaite c'est que c'est un nombre différent de 0 et selon la je peux multiplier phi et psi par un très très grand nombre pour faire en sorte que ça devienne moins l'infini auquel cas ça jouera aucun rôle dans le supremum ou c'est le contraire je le prendrai pour que ça devienne plus l'infini le supremum deviendra plus l'infini ça jouera aucun rôle dans l'infimum si jamais il y a un phi et un psi tel que je prends un phi et un psi tel que ça se soit non nul je vais pouvoir en multiplier par un nombre approprié faire en sorte que le sup soit plus l'infini et ça ne jouera pas dans l'infimum arrivé là je remplace sans me poser de question l'inf sup par un sup inf et c'est peut-être égal à un sup sur phi psi de inf sur pi positif alors de quoi je vais essayer d'abord de rassembler ce qui dépend que de psi de phi ben là il y a intégral de phi des mu 1 moins l'intégral de psi des mu 0 et ensuite il y a quelque chose là par ce qui dépend de pi ça va être intégral double de c de x y moins phi de y de pi de x de pi de x y alors je regarde maintenant ce qui se passe quand je prends l'inf sur les pi positifs regardez si jamais cette fonction elle est négative quelque part strictement négative quelque part je vais prendre un phi qui va être une très très grande masse de dirac pile en ce point il fera un inf qui sera moins l'infini il existe x y tel que c de x y soit strictement inférieur c est que c de x y moins phi de y plus psi de x négative on choisit pi égal alors disons x 0 y 0 voilà on choisit pi égal lambda delta x 0 y 0 avec lambda tend vers l'infini et ça rend l'inf égal à moins l'infini et donc ça joue aucun rôle dans le supremum donc finalement ça c'est la même chose que supremum sur phi psi de l'intégral de phi des mu 1 moins l'intégral de psi des mu 0 sous la contrainte que pour tout x et pour tout y phi de y moins psi de x soit inférieur ou égal à l'inférieur ou égal à c de x y c'est la négation de ce truc-là et ça ça s'appelle le problème dual de cantorovic ou le problème de cantorovic dual sup sur tous les phi et tous les psi de l'intégral phi des mu 1 moins l'intégral de psi des mu 0 sous la contrainte pour tout x pour tout y moins psi de x inférieur ou égal à c de x y bon et la dualité de cantorovic ça consiste à trouver des conditions selon lesquelles il y a effectivement l'infimum là est égal au supremum ici et on tirait des indications alors l'interprétation économique de ça c'est quoi là-haut infimum de l'intégral de c du x y pi de x y c'est je réalise le transport entre la masse initiale et la répartition finale et je fais ça pour que ça me coûte le moins possible ici je confie le transport à un intermédiaire qui me fait payer un prix à l'achat et un prix à la revente donc il achète la marchandise au départ selon un prix qu'on décide ensemble qui est psi de x et puis il revend la marchandise il me revend la marchandise à l'arrivée selon un prix qu'on fixe ensemble et qui est psi de y psi de y moins psi de x c'est ce qu'il a gagné peut-être dans certains cas il a perdu dans certains cas il a gagné on ne dit pas que psi est toujours supérieur ou égal à psi mais pardon pardon pardon oui c'est ça, c'est ce qu'il a gagné en chaque point ça ça représente le gain total ça c'est tout ce qu'il m'a vendu et ça c'est tout ce que je lui ai acheté et cette condition là elle garantit qu'il ne me fait jamais sur payer le prix d'une marchandise qui est partie de x quand il arrive en y c'est jamais plus fort que le prix de départ plus le coût de transport ça c'est l'interprétation du convoyeur, du transporteur il vous fait une bonne offre de prix compétitif voilà je ne vous fais jamais y payer plus que ce qu'il faut et puis je cherche quand même à maximiser le plus possible mon profit alors on va énoncer un théorème de dualité alors avant d'énoncer les théorèmes on va travailler sur ce truc là la contrainte rappelle la dualité de le gendre et en fait quitte a sauf à changer les signes en transformant fi en moins fi en prenant un coût qui serait x cal et y que quelque chose comme ça ça ressemblera, ça sera exactement une égalité de le gendre et on va étudier ça avant d'énoncer la dualité donc ça suggère une dualité sur les fonctions de x alors les fonctions disons de x dans r et on va rappeler ses principales propriétés donc définition si j'ai une fonction un psi de x définit sur l'espace x une fonction qui correspond à ça on va associer sa transformation à psi de x on associe si c de y est égal à l'infimum des psi de x plus c de x y infimum sur tous les x et puis à phi de y on associe phi c de x est égal au supremum sur les y de phi de y moins c de x y vous allez me dire mais les deux fonctions elles sont définies sur le même espace donc je suis en train de donner deux définitions différentes mais en pratique on aura toujours une fonction du point de départ et une fonction du point d'arrivée et c'est ça les conventions qu'on utilisera on prendra la formule avec l'inf si c'est une fonction du point d'arrivée pour prendre la formule avec le supe ça change une fonction du point de départ en une fonction du point d'arrivée ça change une fonction du point d'arrivée en une fonction du point de départ et on dit que on développe à partir de cela la notion de ses convexités et c'est tout particulièrement ruchen d'orf qui a développé dans un cadre abstrait les propriétés de cette notion définition si de x dans r union plus l'infini et c'est convex si il existe une fonction zeta de x dans r union moins infinie tel que si soit égal à zeta c et c'est équivalent à dire que si c'est c'est égal à c donc là on a une analogie avec la dualité habituelle de le gendre une fonction convexe et une fonction qui est égal à ça bidual on définit alors une fonction différentielle d'erron c'est psi de psi comme étant l'ensemble des couples x y tel que si c'est de y moins psi de x est égal à c de x y autrement dit les couples qui saturent l'inégalité et j'aurais pu mettre ici je rajoute ici que pour tout x pour tout y par définition moins psi de x inférieur au égal à c de x y et ce qu'on dit ici c'est qu'on s'intéresse à l'ensemble des couples qui saturent l'inégalité on appelle ça le c sous différentiel qu'est-ce qu'on peut dire sur cet ensemble il a une propriété géométrique très particulière qui l'a encore est complètement parallèle à la propriété analog dans la théorie des fonctions convex il est c cycliquement monotone propriété si psi et c convex alors d'erron c'est psi et c cycliquement monotone ce qui veut dire quoi ? alors définition gamma inclus dans x, x, donc un ensemble de pairs et c cycliquement monotone monotone je noterais c m si pour tout n appartenant à grand n et pour tout x1, y1 etc xn, yn appartenant à gamma la somme des c de xy est inférieur au égal à la somme des c de xy plus 1 avec la convention yn plus 1 égal y1 dit en termes de transport optimal si vous pensez à la somme des c de xy comme les moyens de transporter n petites masses de Dirac en n petites masses dans les y on est en train de dire que l'apparemment des xy aux y il est meilleur que si je change avec les propriétés habituelles des permutations je pourrais aussi mettre ici y sigma de i pour n'importe quelle permutation c'est équivalent à quel que soit n quel que soit x1, y1 etc, xn, yn appartenant à gamma somme des c xy inférieur au égal à la somme des c y sigma de i quel que soit sigma appartenant à sn alors d'ailleurs on s'est psy, c'est si cliquement monotone y a une réciproque on va appeler ça rocafeleur ruchendorf c'est une preuve qui est due à rocafeleur dans le cas des fonctions convex et tout passe sans problème au cas des coûts généraux comme ça a été démontré par ruchendorf donc si gamma est c si cliquement monotone alors il existe psy une fonction c-convex tel que gamma soit inclus dans le c sous-différentiel de psy donc ces ensembles ils sont toujours qu'est ce qu'on va dire, les sous-différentiels les c sous-différentiels c'est les ensembles c'est si cliquement monotone maximum bon et maintenant on est prêt à énoncer un théorème d'optimalité et de dualité d'optimalité et de dualité euh qu'à particulier du théorème 5.10 de mon livre optimal transport all than you on va supposer que c est continu minoré et c2xy inférieur ou égale la a2x plus b2y ou ab sont continu a est continu inter l1 de mu 0 et b est continu inter l1 de nu de mur je peux majorer le coup par une fonction continue intégrable de x plus une fonction continue intégrable de y alors le mine de l'intégral double de c2xy p de dxdy surtout les p qui ont les bonnes marginales est égal au max ici c'est bien un max il est atteint de intégral de phi des mu 1 moins intégral de psi des mu 0 sur tous les phi psi qui vérifient la condition phi moins psi inférieur ou égal à c c'est pareil que le max sur tous les psi de l'intégral de psi c des mu 1 moins l'intégral de psi des mu 0 et c'est pareil que le max sur les psi c convex de la même chose intégral de psi c des mu 1 moins l'intégral de psi des mu 0 si vous pouvez utiliser le problème primal pour vérifier l'optimalité dans le problème dual et vice-versa Pi est optimal si et seulement si le support de Pi et c si cliquement monotone et si et seulement si il existe psi optimal pour vérifier la condition c convex optimale tel que support de Pi est inclus dans des ronds cepsis et réciproquement si c convex est optimal dans le problème dual si et seulement si il existe Pi optimal tel que le support de Pi et puis on peut dire qu'il existe un ensemble gamma c cycliquement monotone tel que Pi est optimal si et seulement si Pi de gamma égale 1 et psi est optimal si et seulement si gamma est inclus dans des ronds cepsis autrement dit il y a un ensemble géométrique gamma associé à mu 0 mu 1 et c tel que tout se joue par rapport à cet ensemble gamma si psi est optimal c'est la même chose de dire que le sous-différencé de le psi contient gamma c'est-à-dire que Pi est optimal c'est la même chose de dire que le support de Pi est inclus dans gamma donc vous avez ici une caractérisation géométrique de l'optimalité gamma c'est quoi il y a plusieurs gammas qui peuvent marcher dans les non cés mais il y en a un plus petit il y en a un plus grand et on peut écrire explicitement en un certain sens ce que ça veut dire plus petit et plus grand pour gamma on peut choisir par exemple gamma égale l'union des supports de tous les Pi et prendre l'adhérence de tout ça et on va l'appeler M cet ensemble ou encore gamma est égal à l'intersection sur tous les psi c'est qu'on vexe optimal des dérons c'est psi et cet ensemble on l'appellera A celui ci c'est une version non lisse de ce qu'on appelle l'ensemble de mother en théorie des systèmes dynamiques et celui ci c'est une version non lisse de ce qu'on appelle l'ensemble d'obri en théorie des systèmes dynamiques alors en général pour les gens qui font des systèmes dynamiques quand ils disent ensemble d'obri ensemble de mother ils ne regardent pas sous la forme point de départ point d'arrivée ils regardent sous la forme point de départ vitesse de départ donc pour eux c'est grave dans un espace tangent mais nous on n'a pas de structure différenciable donc c'est point de départ point d'arrivée la bonne représentation et pour passer à l'ensemble de nobri l'ensemble de mother correspondant classique il faut juste faire la transformation à x y on associe x la vitesse qui permet d'aller de x à y je crois qu'on va s'arrêter là pour aujourd'hui dans la suite on va dire ce qui se passe dans le cadre régulier si je fais du transport sur une variété rimanienne plutôt que sur un espace métrique quelconque et puis on parlera ensuite d'interpolation et distance qu'est ce que ça veut dire qu'est ce que ça me dit le transport transport vu comme une notion de distance entre mesures et puis comme une notion d'interpolation où je vais passer continuement d'une mesure à une autre et donc c'est pas la semaine prochaine mais c'est celle d'après la prochaine séance des questions c'est des rappels des rappels de base et l'idée évidemment qui va y avoir c'est que pour définir la notion de courbure de Ritchie pour définir CDKN on va lire non pas sur des géodésiques des déterminants jacobiennes géodésiques mais sur l'évolution de la mesure le long du transport optimal et un transport optimal c'est une façon de considérer le bien de géodésiques à la fois et regarder l'évolution d'une fonction intégrale de la densité ou quelque chose comme ça ce sera une façon de regarder un déterminant jacobien sans le dire ou plutôt de regarder quelque chose qui sera comme une intégrale faisant intervenir déterminant jacobien de sorte qu'on n'aura pas écrit déterminant jacobien mais on s'intéressera à des variations de densité le long du transport optimal un déterminant jacobien ça vous renseigne d'une façon dont si vous pensez à un fluide qui se balade selon les géodésiques en fonction des déterminants jacobien ça vous dit si la densité du fluide augmente ou diminue déterminant jacobien plus petit que 1 le fluide va augmenter plus grand que 1 le fluide va diminuer à moins que ce soit le contraire oui c'est ça la densité va augmenter volume occupé va augmenter quand le volume occupé augmente la densité diminue et donc au lieu de regarder l'évolution déterminant jacobien on va regarder des évolutions de densité au lieu de faire le long d'une géodésique on va le faire le long de plein de géodésiques à la fois transport optimal nous permet de regarder toutes ces géodésiques à la fois parce qu'on va partir d'une mesure pour arriver à une mesure et donc ça nous fera quelque chose d'intégrale quelque chose qui sera moyenné sur tout l'espace et donc quelque chose qui sera beaucoup plus stable comme en théorie des distributions moyenne par rapport à des fonctions test ce qui tient le rôle de moyenne pour nous c'est de mettre ces mesures muséro et mu1, mesures départ, mesures d'arrivée problème géodésique classique on part d'un point on veut arriver à un autre en minimisant le coût maintenant on part d'une mesure donc pour arriver à une autre mesure c'est une version étalée moyenne de ce problème de géodésique et toutes nos propriétés cd de kn le sport ça va être de les retranscrire en propriété associé au transport optimal voilà alors le le chemin est encore long plus de la feuille de route et question c'est tout au début justement tu as une géodésie tu calcules le carré de l'accélération de la longueur, de la vitesse oui de la vitesse bon et disons tu as 2 de moyens disons de pourtenir un petit peu cette vitesse à faire le lendemain la seconde c'est en considérant les trajectoires orthogonales je dirais presque mais pour les les géodésies qu'on les prendra toujours à vitesse constante de sorte que le le nombre de la vitesse sera constante ça sera pas un problème d'accord non mais tu te places dans des camps orthogonales et là tu as en déduit disons une minoration meilleure qu'est-ce qui fait pourquoi est-ce que ah quand je me mets orthogonalement à la distance c'est ce qu'on disait c'est facile à comprendre pour le coup il faut se représenter la sphère bon je me déplace le long de la sphère la signe géodésique bon je regarde comment évolue un petit élément un petit élément de petite distance transversale elle s'écarte elle s'écarte puis ça diminue etc et si j'écris l'équation en correspondant à ce petit élément de longueur je dirais un truc genre qu'on casque quelque chose comme ça mais si j'écris l'évolution d'un petit élément de longueur qui dans le sens du mouvement et bien ça change jamais les longueurs dans la direction du mouvement sont préservés autrement dit les effets de la courbure on les sent pour toutes les directions qui sont orthogonales au mouvement ici une courbure sectionnelle par exemple donc la sphère dimension N je vais regarder comment les distances l'on du transport varie je vais trouver que il y a N moins une direction dans laquelle ça varie et une direction dans laquelle ça varie pas et ça correspond au fait que la courbure de Richie évidemment ça va être N moins 1 fois la métrique et pas N fois la métrique et donc il y a comme ça quelque chose qui est quelque chose à gagner on regarde un volume c'est indimensionnel et ça tient compte du mouvement longitudinale mais on peut aussi se dire qu'on va factoriser par ce mouvement longitudinale et regarder juste une évolution d'un élément de surface la courbure de Richie d'ailleurs on donne souvent les deux interprétations en termes distorsions des volumes et en termes distorsions des surfaces orthogonales au mouvement et les deux interprétations sont équivalentes parce que de toute façon il ne se passe rien dans la direction du déplacement alors même si les deux interprétations sont équivalentes au plan technique pour avoir les inégalités c'est un peu du sport et c'est pas c'est pas juste factorisé parce que le mouvement transversal et le mouvement longitudinale ils sont pas indépendants donc c'est du sport mais moralement c'est toujours l'idée que tout ce qui se passe comme distorsion ça c'est dans le plan orthogonal au déplacement autre question sur les bigromov alors comme je vous disais la dernière fois la preuve est très lisse et c'est resté un gros problème dans la théorie de savoir comment gérer du bigromov dans un cadre non lisse jusqu'à il y a quelques mois donc ça va être le point central du cours enfin disons le point de mire plutôt expliquer cette nouvelle démonstration qui est apparue de le bigromov non lisse et comment elle s'insère dans une théorie générale pour considérer la courbure de Ritchie non lisse et comment par exemple elle s'applique tout de suite à des limites de variété rimanienne alors qu'on ne sait pas faire de l'arractifiabilité à la hame graine sur une limite de variété rimanienne on n'a pas de théorème de si et cela on ne peut pas refaire la preuve même sur un espace qui serait une limite de variété rimanienne voilà