 y ahora que ya conocemos las matrices veamos qué operaciones podemos definir con ellas y qué estructura tiene como conjunto. Comencemos con la suma, así dadas dos matrices de dimensiones m por n, a y b, definimos la suma de matrices como la matriz cuyos elementos son la suma de los elementos de la misma posición en las matrices a y b. Notemos la igualdad de las dimensiones así como que si a y b tienen coeficientes en un cuerpo k, la suma de las dos matrices también tiene coeficientes en el mismo cuerpo k. Veamos algún ejemplo. Si tenemos estas dos matrices de dimensiones 2 por 3, puesto que hay dos filas y tres columnas, está claro que vamos a decir que la suma tendrá también la misma dimensión. Para calcular el elemento que habrá en la primera fila y la primera columna, miraremos los elementos de la primera fila y la primera columna, los sumaremos y el resultado será el que estábamos buscando. Lo mismo para calcular en la primera fila, segunda columna, nos iremos al elemento de la primera fila, segunda columna de la matriz a, el de la b, los sumaremos y ese será el resultado final. De la misma manera procedimos para calcular el resto de la suma de las dos matrices. Veamos cómo definir la multiplicación escalar. Si tenemos un elemento alfa del cuerpo y una matriz a, definiremos el producto escalar entre alfa y a, de la siguiente manera multiplicando cada uno de los elementos de a por alfa. Observar también el tema de las dimensiones como ha pasado anteriormente. Mantendremos el resultado final será una matriz de las mismas dimensiones que la matriz a. Y también que si la matriz tiene coeficientes en k, recordar que allí también era donde pertenecía el elemento alfa que hemos considerado, la matriz resultante también tiene coeficientes en k. Veamos un ejemplo. Si consideramos como el cuerpo finito de tres elementos, esto es, tendrá como elementos 0, 1, 2, las tres clases de equivalencia. Observar que si consideramos alfa como 2 y la matriz a, que sea de una única fila de dos columnas con los elementos 1 y 2, recordad que estamos hablando de clases de equivalencia, el producto será el primer el elemento de la primera fila primera columna será el producto de 2 por 1 con lo cual obtenemos 2 y el segundo elemento será 1 puesto que es 2 por 2 son 4, pero recordad que estamos utilizando aritmética modular, estamos en el cuerpo finito f3. Así pues, si calculamos la división entera como ya hicimos en el módulo 2, la clase representante sería 1. Es importante remarcar que no todas las matrices se pueden sumar. Por ejemplo, las matrices deben tener las mismas dimensiones y como hemos comentado anteriormente, también los coeficientes deben pertenecer al mismo cuerpo. Por ejemplo, las matrices a y b no se pueden sumar. Observar que la primera tiene dimensiones 2 por 2, dos filas, dos columnas y en cambio la segunda, dos filas y tres columnas. Podríamos pensar que la b además tiene coeficientes en los reales, pero recordad que los reales son un subconjunto de los números complejos, así pues en realidad podemos pensar que esta matriz tiene coeficientes complejos. Por lo que el inconveniente principal para sumarlos son las dimensiones. Las matrices c y d sí que tienen la misma dimensión, pero en cambio observar que los cuerpos donde están sus coeficientes son diferentes y no existe ningún tipo de inclusión entre el cuerpo finito de dos elementos y los complejos. Otra operación básica es el producto de matrices. Veamos un sencillo ejemplo donde la matriz representa las ventas diarias de café en kilos en tres tiendas de una ciudad que representan las diferentes filas y puestos que hay tres tipos de café diferente se ha separado las ventas según su variedad robusta, mezcla o árabe. Así interpretaremos que en la tienda 1 se han vendido 12 kilos de café de la variedad robusta, 34 de la mezcla y 25 de la árabica, de la misma manera 24 kilos de robusta en la tienda B donde también se han vendido 50 de mezcla, 78 de árabica y de la misma manera razonaríamos con la tercera tienda. Supongamos además que el precio por kilo de la variedad robusta es de 1 euro, el kilo, el de mezcla 2 y el de árabica 3 euros por kilogramo. Para calcular las ventas totales diarias en cada una de las tiendas podemos proceder de la siguiente manera. Para la tienda 1 lo que podemos hacer es calcular, hemos vendido 12 kilos por euro el kilo más 34 por 2 puesto que vale a 2 euros por kilogramo en la variedad mezcla y 25 por 3 obteniendo al final 155. Si hacemos lo mismo con la segunda de las tiendas y con la tercera de las tiendas podréis observar que las ventas totales han sido estas dos que marcamos aquí. Estos cálculos de hecho corresponden a lo que se llama multiplicación de matrices que se efectúa de la siguiente manera. Comencemos con la definición. Supongamos que tenemos dos matrices A y B con coeficientes en un cuerpo K. Observar además la dimensión de las matrices. Por un lado la matriz A ha de tener dimensión M por N y la otra matriz, la otra matriz del producto B ha de tener dimensión N por R. Observar pues que la A tiene el mismo número de columnas que filas B. Definimos la matriz A por B será una matriz C que tendrá dimensiones el número de filas de A y el número de columnas de B. Esto es M por R. Lo definimos esta matriz C con coeficientes C y J. Veremos como calcular cada uno de estos coeficientes C y J. Si A la expresamos de esta manera y B de esta otra calcularemos C y J a la posición fila y columna J de la matriz producto. Cogeremos la fila y esima de A la columna J esima de B. Calcularemos dos a dos el producto de sus elementos. Observar que hemos dicho que tenían la misma dimensión una en columnas de A que filas de J, con lo cual podremos multiplicar A y 1 por B 1 y y finalmente los sumaremos todos. Este será el elemento de la fila y esima columna J esima del producto de matrices A y B. Puesto que acostumbran a ser notaciones relativamente largas, en muchas ocasiones notaremos el elemento C y J utilizando la notación del sumatorio. Recordad que esto remarca que sumaremos todos elementos A y K por B KJ donde K empieza en 1 hasta n, es decir, K igual a 1, K igual a 2, K igual a 3, K igual a 4 hasta K igual a n y cada uno de estos es uno de los sumandos de este sumatorio. Veamos un ejemplo. Supongamos que tenemos estas dos matrices y queremos calcular su producto. La primera de las matrices es una matriz de tres filas por dos columnas y la segunda de dos filas por dos columnas, puesto que el número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda, podemos realizar el producto que tendrá dimensiones tres por dos. Para calcular el primero de los coeficientes, el correspondiente a la primera fila, primera columna, consideramos la primera fila y la primera columna de las matrices primera y segunda respectivamente. El elemento C11 que hemos notado de esta manera será menos 1 por menos 3 más 3 por menos 4. Si realizamos los cálculos es menos 9 con lo cual sustituimos este valor de aquí por su valor real, menos 9. Vayamos a calcular ahora C12. Es un elemento que está en la primera fila, segunda columna, con lo cual necesitaremos los elementos de la primera fila de la primera matriz y la segunda columna de la segunda matriz. Si realizamos los cálculos será menos 1 por 2 más 3 por 1, esto es 1. Si sustituimos obtenemos esto de aquí. Vayamos al siguiente elemento, el de la segunda fila, primera columna. Necesitaremos pues la segunda fila de la primera matriz y la primera columna de la segunda. Si realizamos los cálculos será 4 por menos 3 más menos 2 por 1, esto es menos 14 por menos 4. Yo tenemos ya tres de los seis valores. Si sustituimos tendremos ya la mitad de los valores de la matriz que estamos buscando. Para C22 necesitaremos la segunda fila en la segunda columna. Marcada con este color realizamos los cálculos 4 por 2 menos 2 más menos 2 por 1, esto es 6 que sustituimos y finalmente vamos a calcular la última de las filas de la matriz producto. Para ello necesitamos la última fila de la primera matriz y la primera columna de la segunda matriz. C31 será 5 por menos 3 más 0 por menos 4, esto es menos 15. Si sustituimos solo nos queda el último de los elementos que serán la última fila segunda columna y si realizamos los cálculos 5 por 2 más 0 por 1, esto es 10. Sustituimos y esta es la matriz resultante del calcular el producto de las dos matrices que nos habían dado. Y permitirme remarcar de nuevo que en el producto de matrices A y B, si A tiene dimensiones M por N y B tiene dimensiones N por R, es necesario que las columnas de A coincidan con el número de filas de B y que la matriz resultante tendrá dimensiones M filas y R columnas. Veamos qué operaciones podemos definir con el producto de matrices. Supondramos que tenemos tres matrices A, B y C a coeficientes en un cuerpo K y de dimensiones N por N. Poservar que estamos considerando N por N, es decir, matrices cuadradas y no matrices de M filas y N columnas como antes. Luego hacemos así simplemente para simplificar. Si no, en algunas de las propiedades estaría definidas, pero deberíamos utilizar demasiados nombres de matrices, notaciones diferentes y por no complicarlo todo hacemos esta suposición. Cualquiera de las propiedades, siempre y cuando el producto esté bien definido, es decir, tengamos las filas y columnas las dimensiones adecuadas, se cumplirán estas tres propiedades. En primer lugar, la asociativa, donde podemos asociar de estas dos maneras diferentes manteniendo el producto de las matrices. Y vuelvo a recordar que, en particular, esta propiedad está bien definida si las dimensiones son correctas. El producto es asociativo, pero no es conmutativo. Esto es, no se cumple en general, que A por B sea igual a B por A. Veamos un ejemplo. Si consideramos el producto de estas dos matrices, su resultado es esta otra matriz y si nosotros lo único que hacemos es intercambiar el orden de las matrices, el resultado es esta otra matriz, que es completamente diferente a la matriz de la cual acabamos de calcular. El elemento neutro será aquella matriz de dimensiones N por N coeficientes en K, de manera que multiplicada por cualquier matriz A, el resultado no varía, es decir, es la propia matriz A. Esta matriz existe y es la identidad de dimensiones, está claro. Recordad que la identidad tiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto de la matriz, considerando el cero como el elemento neutro del cuerpo K. Se cumplen la distributiva del producto respecto a la suma, tanto a la derecha como la izquierda. Esto es, dadas tres matrices A, B y C se cumple esta igualdad y esta de aquí. Con estas propiedades diremos que el conjunto de las matrices de dimensiones N por N a coeficientes en un cuerpo K tiene estructura de anillo no conmutativo. Y antes de acabar, un par de preguntas. La primera de ellas, dadas estas matrices donde observar que el cuerpo sobre el que estarán los coeficientes es el cuerpo de los enteros módulo 3, cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas. Bien, espero que veáis que la segunda es cierta, puesto que efectivamente si realizamos el producto obtenemos la matriz en z módulo 3, 0, 2 y la tercera también lo es puesto que B más C sumando componente, componente sumando cada uno de los elementos en la misma posición de B y de C, obtendremos la matriz 1, 1. A no es igual a B por C y simplemente mirando las dimensiones ya podemos llegar a tal conclusión. Y antes de pasar al siguiente vídeo os recomendamos de que dadas estas matrices, intentéis calcular siempre que sea posible estas operaciones. Lo que os permitirá tener cierta agilidad en realizar los cálculos de matrices que no será útil a lo largo de este módulo y del curso en general.