 Donc, le titre pour cette série de lectures est l'Arithmeticité des groupes discrets. Et ce talk est un surveil historique. Donc, je commencerai ce premier talk par donner un surveil avec aucune preuve. Donc, à la fin de cette lecture, on ne va peut-être pas être heureux parce qu'on va avoir 0 preuves. Mais la deuxième heure, je vais focusser sur un exemple. Et avec une preuve complète. Donc, cet exemple sera 4x4 métriques, SL4. Et donc, peut-être à ce moment-là, on va regretter le premier talk, où il n'y a pas de preuve. Mais, alors, on va commencer avec cette partie. Et donc, j'ai plan de discuter des groupes arithmétiques. Les groupes arithmétiques sont une famille très importante d'exemples de groupes, qui ont une motivation importante, comme exemple pour faire une série de groupes géométriques. Parce qu'ils sont en quelque sorte des groupes complétiques. Ils sont très naturels, d'un point de vue arithmétique. Et en fait, ils ressemblent beaucoup à l'exemple, mais en fait, ils ne sont pas complétiques parce qu'ils ressemblent beaucoup à leur correspondance à l'espace arithmétique du point de vue géométrique. Donc, c'était vraiment une motivation que peut-être, on peut étudier des groupes complétiques par géométrie. Donc, je vais commencer par 5 exemples. 5 exemples des groupes arithmétiques. La première n'est pas vraiment un exemple. C'est le fait que les groupes gamma... Donc, ce sont des exemples, c'est plus de lattices. C'est un groupe ZD, c'est la lettice dans le groupe RD. Donc, ce que ça veut dire, c'est qu'on peut étudier, pour exemple, un Z2 à l'intérieur de l'R2. Donc, c'est un groupe de transition par ordinateur intérieur. Et quand vous faites cette transition par ordinateur intérieur, vous avez un domaine fondamental, qui est ici. Et cet domaine fondamental a un volume final en RD. Donc, c'est la définition que je vais choisir pour la lettice. Cela signifie que gamma est un groupe discret, c'est-à-dire que le point de gamma en G est isolé et... de volume final. Donc, cela signifie que je peux trouver un domaine fondamental, F en G, qui est traduit par gamma-covers RD. Et cet domaine, F, a un volume final. Ici, il y a un volume final pour le majeur, en RD, mais en général, c'est pour le majeur R. Donc, c'est la définition de la lettice. Et ici, c'est plus qu'un volume final, en fait. C'est compact. Donc, on va dire que c'est un compact. Donc, le second exemple explique pourquoi je n'ai pas choisi la définition d'avoir un domaine fondamental compact. C'est le fait que le groupe gamma et qui est SLDZ, donc, le D times D matrices avec une coefficient integer, est la lettice dans le groupe G, qui est SLDR. Donc, je veux peut-être expliquer plus. Je ne donnerai pas de prouves, mais peut-être donner une picture pour ce fait que c'est la lettice pour le cas où D est equal à 2. Et je veux vous donner un domaine fondamental de volume final pour SLDZ dans SLDR. Et... Donc, ce que vous faites c'est que, pour représenter SLDR, vous représentez la unité d'un bandage tangent pour le plan hyperboli. Donc, au modèle de modèles supérieurs, la pointe en G c'est une pointe, ici, et la compétition des variiegues uniques de laHH. Donc, ce plan supérieux vous avez 0, 1, minus 1. Et donc, j'ai juste emplie la planse supérieure plane, et vous avez un système coordinate, où vous avez un nombre complexe, z equal x plus y, et cet angle est theta. Donc, chaque vecteur d'unit est réparé. Vous le savez, quand vous savez x, y et theta, c'est un système coordinate. Et l'armage dans cet système coordinate est très facile à compter. C'est l'armage pour la métrique hyperbole, dx dy par y square. Et puis pour l'angle, vous avez d theta. Donc, l'un sait que l'armage fondamental pour SL2Z, c'est toute cette partie. Je vous laisse un exercice, si vous n'avez pas vu cela encore. Il n'y aura pas de rôle dans le restant de le talk. Et si vous computez le volume de cela, avec respect à cette mesure, vous avez une majorité, donc l'unité theta est finite. L'unité x est entre minus 1 et demi. Et l'unité y est entre 0 et infinité, mais il y a un y square entre 1 et infinité, mais il y a un y square en bas, qui fait que l'unité converge. Donc, elle a un volume fondamental. Donc, elle est la lattice. Mais juste dans le sens de cette définition, parce que ce lattice, comme vous le voyez, ce fondamental domaine n'est pas compact, donc c'est un non-compact lattice, ok ? Donc cet exemple est due à Minkowski en 1910, quelque chose comme ça, plus que 100 heures auparavant. Mais depuis, il y a beaucoup d'exemples similaires de groupes que vous pouvez définir dans une arithmétique, il s'agit d'un lattice naturelle dans les groupes naturels. Donc, pour exemple, il a été noté que si vous regardez le groupe SLD z²2 c'est encore un non-compact lattice dans le groupe G. Donc, comme vous le voyez, ce groupe n'est pas discret parce que z²2 n'est pas discret dans R, c'est dans R. Donc, il n'y a pas de manière d'avoir un subgroup discret dans SLDR. Mais ce que vous faites, vous pensez que z²2 a été un subring de R dans deux manières. Donc, vous utilisez ces deux manières d'embaider la gamme dans deux copies de SLDR. L'une est juste que vous ne changez pas le G. L'autre, vous appliquez Galois. C'est-à-dire que quand vous avez la somme de tomatrices A et B qui ont un coefficient d'intagère, l'image d'une conjugation Galois sera A-B d'une somme de tomatrices A et B. C'est l'exemple deuxième de la lattice. Et l'exemple deuxième de la lattice arithmétique. Maintenant, vous pouvez essayer de développer cette idée pour d'autres groupes, comme d'autres groupes. Ce que vous avez fait par Siegel dans les années 30 et 40, c'est que si vous choisissez la forme caractéristique Q, je choisis juste un exemple. Toutes les formes caractéristiques avec une coefficient d'intagère vont travailler. Nous allons prendre cet exemple, cette forme caractéristique qui n'est pas négénérée en dix variables, mais pas négénérée. Et les matrices orthogonales pour ces formes caractéristiques, les matrices qui réservent ces formes caractéristiques, mais avec une coefficient d'intagère. Puis ce groupe est la lattice, la groupe orthogonale avec une coefficient réelle. Et ce groupe est non compact. Donc, il y a des matrices avec une coefficient d'intagère qui réservent une forme caractéristique qui a une coefficient d'intagère. Donc c'est bien. Vous pouvez demander si ce groupe est un très bon groupe, en fait. Parce que c'est le groupe isométrique. Parce que la forme caractéristique est une forme caractéristique de Laurentien. C'est le groupe isométrique de l'espace hyperbolic de dimension d-1. Donc, c'est une analogue d-1 de la plane hyperbolic. Et dans la plane hyperbolic, il y a des thylings, des thylings périodiques avec des thylings compacts. Ici, nous avons un exemple avec des thylings non compacts, mais il y a aussi un exemple avec des thylings compacts qui ont été popularisés par Hecher. Et vous pouvez demander si ces thylings existent dans quelle dimension. Et ici, nous avons l'envers de ça, il n'est pas un thyling compact, mais c'est facile de obtenir un qui est compact. Si vous faites ces thylings, c'est l'exemple 3. Donc, c'est l'exemple 5 qui vous dit que si vous avez la forme caractéristique avec des formes minus square root de 2, x1 squared plus xd minus 1 squared minus square root de 2 xd squared et puis, l'orthogonal groupe c'est co-compactitis. Donc, ce que vous faites c'est que vous faites la même chose ici. C'est-à-dire qu'il n'y a pas de raison que ce groupe est discret. Parce que c'est coefficient dans cette ligne qui est un thyling dans la danse. Donc, la façon dont vous faites un groupe discret est d'embaider le produit G qui est l'orthogonal groupe et et puis, vous devez commencer avec l'élément G et vous devez envoyer ce couple G et l'image de Galois. Donc, vous repliez la forme square root de 2 par la forme minus square root de 2. Et ça ne préserve pas plus la forme caractéristique mais ça préserve l'image de Galois automorphisme. Donc, ce G-sigma est le groupe d'orthogonal pour Q-sigma. Q-sigma c'est juste la forme caractéristique mais vous avez switché la forme minus square root de 2 dans la forme plus square root de 2. Et ok, donc le fact est que ce groupe est discret parce que la forme square root de 2 quand vous regardez dans RxR par ce double embellissement vous avez un truc discret mais ça s'occupe d'une laitisse et une compagnie compacte. Mais ce qui est bien dans cette construction c'est que ce serait vrai pour une forme caractéristique avec une forme coefficient dans la forme square root de 2 où quand vous switchez la forme vous devenez positive-definite. Ce groupe ici est compact. Ce groupe est compact. Ça signifie que si vous retirez c'est à dire que vous avez un groupe discret dans ce produit et si vous oubliez de la partie compacte ce sera toujours discret et ce sera toujours compact. Avec cette construction vous avez une compagnie compacte dans SOQR ce qui est meilleur que ce qu'il y a ici parce qu'ici on a une compagnie non compacte. Ça signifie que je ne peux pas l'inforcer et j'ai toujours une compagnie compacte. Ok, donc ça vous donne l'exemple de l'exemple périodique de l'espèce hyperbole historiquement c'était un exemple important parce que vous voyez ce groupe de l'arithmétique point de vue qui ressemble naturellement qui ressemble compliquant et ce que ça vous dit c'est que ce groupe n'est pas très différent vu de loin ce n'est pas très différent de l'espèce hyperbole de dimension d-1 ce n'est pas très différent de l'espèce géométrique vous pouvez l'imaginer donc beaucoup de choses sont liées à ce groupe maintenant parce que c'est ça Ok, donc je vous donne l'exemple de l'arithmétique sont-ils des questions ? Pour SOQZ si vous avez dit D equals 3 est-ce isomorphique pour SOQZ ? pour D equal 3 pour SOQZ je pense, oui peut-être up to finite index maintenant je ne sais pas si 3 est trop oui j'aime un grand blackboard et... oui ok, vous me suggèrez j'ai essayé ici maintenant pour aller à la partie où j'ai discuté les résultats généraux donc je vais introduire des définitions peut-être je vais essayer de les faire simple mais pour... je dois vous dire, si vous n'en avez pas c'est pas important parce que après, je vais discuter juste SL4R, donc 4x4 matrices euh... donc le point est que G est un groupe réel donc ça veut dire euh... c'est-à-dire que c'est l'algebra G c'est semisimple définition, définition est il a des idées nohabiliennes idées donc c'est juste une définition mais la liste de semisimple le groupe réel est well known et il contient exemple G est SLDR G est un groupe en 2D variables G est un groupe d'orthogonal pour des formes non dégénérées donc tous ces groupes classiques sont dans la liste de des groupes semisimples et vous pouvez faire plus, répliquer des nombres complexes ou des algebras donc c'est la définition de semisimple et j'ai aussi assume l'algebra donc... la définition c'est que en fait G vous pouvez le voir dans un groupe je vais juste prendre une définition très basique ok je peux le voir en groupe de matrices pour moi un groupe réel algebrail sera un groupe de matrices pour quelques n et après je vais l'oublier et ce groupe G c'est le set de SLDR un groupe subgroupe défendu par l'équation polynomial comme nous avons ici comme l'équation polynomial est un déterminant peut-être que si vous n'avez rien à l'équité mais ici, pour préserver la forme caractéristique c'est l'équation polynomial dans la coefficient de matrices donc c'est un groupe subgroupe et c'est défendu le set de 0 de polynomiaux dans la coefficient de matrices équations polynomiaux vous avez une famille de équations polynomiaux avec une vraie coefficient donc c'est la définition de groupe réel algebrail ok donc quand vous avez toute cette liste exemple 1, 2, 3, 4, 5 vous voulez savoir ce qui est général est-ce un théorique général et c'est le théorique boréla qui vous dit que si mon groupe réel algebrail est défendu par q donc pour être défendu par q, ça signifie que cette équation polynomial vous pouvez trouver l'équation polynomial donc comme ici quand vous expliquez que la détermination est 1, c'est la polynomial l'équation est intérieure quand vous expliquez que vous préservez la forme caractéristique si cette forme caractéristique a une coefficient intérieure ce sera défendu par q et donc le théorique le théorique général est si g est défendu par q alors si vous regardez la gamme qui est gz que vous définissez juste comme l'élément de g qui est la matrice dans cet embêtement avec une coefficient intérieure c'est l'élément donc je vous dis que ça généralise tous ces exemples mais peut-être que vous vous inquiétez ici j'ai l'élément du groupe de coefficient intérieure alors ici j'ai parfois je prends la coefficient z parfois je prends z mais parfois je prends z²2 ok et donc il y a un truc que j'ai déjà utilisé implicitement c'est que en fait z²2 est faite d'intègre donc ce sont ces remarques que z²2 c'est juste le set de matrices a, b minus 2b c avec a, b sorry minus 2b avec a, b et z donc c'est un ring de matrices et donc chaque fois que vous avez z²2 vous réplacez par cette matrice donc vous avez plutôt d cross d matrix matrices vous avez 2d cross 2d matrices mais en coefficient avec z, donc quand vous appliquez ce serem vous avez tous ces exemples ok, donc c'est un serem de Borella et Chandra et qu'est ce que nous savons très sorry, merci donc, ensuite il y a les années Borell qui vous dit que si gamma inclus dans g est la plus la plusえー donc gamma est la thariscidance dans G donc je dois définir la thariscidance Cela signifie que l'on danse pour l'ariscithopologie et si vous ne savez pas ce que l'ariscithopologie est, cela signifie que pour toutes les polynomiaux P qui sont 0 en gamma, ils doivent être 0 en G. Vous avez un polynomial dans la coefficient de votre matrices, vous assumez que c'est 0 en gamma et cela signifie que c'est 0 en G. Donc, c'est la définition de l'ariscithopologie, la définition précise. Peut-être que cela ne vous donne pas beaucoup de ressources. La ressource est que, entre gamma et G, il n'y a pas de groupes algébriques. Le groupe de groupes algébriques en gamma est G. Vous devez faire une preuve de l'ariscithopologie. Il y a un problème dans ce sereme qui est que, quand G est compacte, assumez que G est compacte, comme l'ariscithopologie. L'ariscithopologie peut être trivial, mais l'ariscithopologie n'est pas l'ariscithopologie. Dans tout cela, j'assume que G n'a pas d'ariscithopologie. Ce n'est pas très important. Je étudie ce set-up quand G n'a pas d'ariscithopologie ou quand il n'a pas d'ariscithopologie. Alors que l'ariscithopologie est correcte. Vous avez vu que, dans certains exemples, l'ariscithopologie est compacte, et dans d'autres exemples, l'ariscithopologie n'est pas compacte. Donc, peut-être que nous voulons avoir un critérium. C'est un margoulis calcedon. Dans des groupes arithmétiques, c'est à cause de Gannemont. Donc, c'est quand vous vous donnez un litiste. Peut-être que c'est arithmétique, peut-être que c'est un GZ, mais peut-être que vous ne le savez pas. Et quand est-ce que G n'a pas d'ariscithopologie? C'est, si et si, excepté pour l'identité. Dans les gammas, il n'y a pas d'ariscithopologie. Donc, qu'est-ce que l'ariscithopologie est? Cela signifie que l'un est... Je parle avec des groupes algebraiques, donc l'un est une matrice. Et l'unipotent élément signifie que c'est juste d'avoir une autre valeur. Donc, u-1 est nilpotent. Pour quelque power, il devient 0. Donc, c'est la définition de l'unipotent. Et vous pouvez vérifier que ça ne dépend pas de l'ambédition. Ok, donc, c'est ce classique de crétérion. Pour exemple, je ne sais pas. Peut-être que nous pouvons appeler ça à ce exemple 5. Dans ce exemple 5, on veut vérifier que c'est classique. Donc, nous avons juste à vérifier que dans ce groupe, dans ce groupe orthogonale, il n'y a pas d'unipotent élément. Et la façon dont vous le faites, c'est que vous voyez que si un élément est unipotent pour cette formule caractérique et que c'est l'image de Galois, cette notion est envirée par la configuration de Galois, cette image de Galois sera unipotent. Mais ensuite, vous avez un élément unipotent dans un groupe compact. Et c'est facile de voir que l'élément unipotent n'est pas un groupe compact parce que les éléments en groupe compact sont dégonalisés. Donc, c'est juste un moyen de voir que ce crétérion est vraiment facile à vérifier. Mais ensuite, Kajdan Margulis a poussé cette idée de Kajdan Margulis. Et il y a ce 9° thérème, un bon improvement, qui est l'existence du casque. Et il vous dit que si vous avez une latisse, donc c'est exactement cet état. C'est juste un improvement de celui-là. Et si Gamma n'est pas compact, donc par cette thérème, par Kajdan Margulis, il existe un élément unipotent. Mais en fait, ce que l'improvement dit, il vous dit qu'il y a beaucoup plus qu'un. Il vous dit que, il existe U à l'intérieur de G, une subgroupe horospéricale comme Gamma intersection U est compacte en U. Mais je dois définir ce qu'est la subgroupe horospéricale. Ce qui est la subgroupe horospéricale. Ce sera un subgroupe tous aux éléments unipotent. Donc la définition est que vous pouvez définir avec un élément de G. Il existe un élément de G en G comme ça. Vous pouvez définir comme un set d'éléments comme cette conjugation de G qui colaborent tout à l'identité. Si le set de U en G comme ça, la limite pour n'infinité de GnU est l'identité. Je vais vous donner un exemple pour que vous... l'exemple de G est de 4x4 métriques et je dois vous dire que maintenant, nous sommes collés avec cette subgroupe jusqu'à la fin de cette série de lecture. Je ne parlerai pas d'un subgroupe simple, mais juste de SL4R et de ce particular unipotent. J'ai écrit 2x2 métriques et j'ai prétendu que les subgroupes horospheriques sont de cette forme. Par exemple, pour celui-ci, comment peut-je définir ce groupe de cette façon ? On choisit le métriques G qui est de 1,5 d'identité de métriques de blocs et si vous laissez G par conjugation si vous computez je vais vous donner cette petite computation si vous computez quelque chose comme Gn A B C D G-n vous pouvez faire la computation vous ne changez A et D et vous multipliez le C par 4 à la N et le B par 4 à la –N Si vous voulez une identité quand la N va à l'infinité cela doit être 0 cela doit être identité et cela peut être ce que vous voulez C'est un exemple d'un subgroupe horospherique Maintenant Je veux discuter dans cette série de lecture que je vais utiliser pour expliquer beaucoup de différents résultats classiques qui suivent un thérème avec Sébastien Miquel qui est un converse On a vu que si nous commençons avec un groupe arithmetique il y aura un casque et il y aura un casque et le converse c'est que si j'ai un groupe discret qui a un casque et qui a un casque il y aura un groupe arithmetique C'est ce que j'ai planqué pour l'état G un semi simple un groupe réel si vous voulez et mais il y a des assumptions que le rang réel de G est au moins 2 U est un subgroupe horospherique et Gamma en G est un groupe discret d'arithmetiques de G Gamma intersection U si je prends l'intersection de mon groupe discret avec des subgroupes horospheriques c'est co-compact en U donc je l'appelle Delta cette intersection c'est co-compact en U c'est la TCU ici on a un groupe discret de 4x4 matrices qui intersecte ce groupe de perte triangulaire matrices ici, c'est la TCU isomorphique de Z4 parce que c'est un groupe 4 dimensionnel ici et ce sont les assumptions et tous ces sont satisfaits par les groupes arithmetiques et la conclusion est que sous l'assumption Gamma est arithmetique je vais poursuivre puis Gamma est arithmetique est commensurable pour GZ pour une forme Q de G donc tu vois ce qui se passe c'est que quand tu as un groupe G comme l'autogonal groupe SOQR ce groupe est déterminé par Q à l'équivalence de la formule Karate mais il y a beaucoup de formules Karate qui sont équivalentes sur R mais pas sur Z donc elles vous donnent une très différente groupe GZ donc c'est le théorème que je veux discuter maintenant peut-être que je donne la définition comme commensurable cela signifie que les deux groupes sont commensurables si leurs intersections sont finites et expérimentées dans les deux groupes Gamma GZ ce que j'ai oublié pour définir c'est le rang réel pour définir le rang réel c'est la dimension A donc je vais juste donner une définition donc c'est un numéro pour SL4R il sera 3 pour SLDR il sera D-1 c'est la dimension A et A c'est le maximum Abelian c'est l'algebra de G comme ça c'est Abelian et tout l'élément c'est l'algebra lié le matric le matric le matric adjoint de X le brachet de X c'est la transformation linéaire de G qui est diagonalisable sur R c'est diagonalisable sur R donc c'est un peu compliqué mais c'est A c'est l'algebra lié de la dimension G donc c'est la dimension du maximum oui Abelian Abelian est une map Abelian est une map de G l'algebra G à G qui sent Y à XY c'est la définition du adjoint de X c'est la transformation linéaire la transformation linéaire et je veux cette map être diagonalisable avec des valeurs reales donc c'est l'algebra du maximum pour tous les X merci merci ok donc oh j'ai oublié j'ai l'assumé que Delta est compact et aussi irréducible en G pourquoi j'ai besoin j'ai besoin parce que il y a cette assumption donc je ne veux pas G pour être Rank 1 mais si ça se passe que ma situation est une situation producte où vous avez G1 cross G2 et G1 est Rank 1 je ne veux pas ma gamme être dans G1 ou un producte parce qu'il ne sera pas correct sur le côté gauche donc j'ai besoin de l'assumé irréducible et je vais vous dire ce que ça veut dire ça veut dire que la intersection de Delta G' est trivial pour tous les normaux subgroupes de G donc si vous avez un propre normaux subgroupes non G non finite index G j'ai besoin pas de l'intersecte Delta si l'intersecte Delta vous serez dans une situation producte et et cette condition est automatique si vous assumez G pour être simple donc cette condition pour SL4R vous n'avez pas à vérifier, c'est un groupe simple ok donc maintenant je veux dire l'exemple que je vais discuter est SL4R c'est compliqué donc je veux discuter l'exemple donc l'exemple avec l'exemple est SL4R donc à partir de la prochaine lecture je vais prouver ce SRM pour cette groupe SL4R et le U qui est à l'arrière mais avant de commencer la prouve c'est sympa de voir combien de groupes de gammas j'ai besoin de combattre combien de gammas existent d'avoir une liste d'exemples qui arriveront donc la question est quelles sont les groupes de SL4R qui intersectent vous à la dernière donc je vais vous donner quelques de eux qui représentent la plupart mais le premier exemple sera de choisir gamma est SL4Z vous voyez csl4Z intersect en ce cas delta sera juste ce groupe le subgroupe de vous à l'aide de B en M2R vous avez un B dans les matrices 2x2 qui sont efficaces en Z donc c'est un exemple mais vous avez d'autres exemples un n'est pas si compliqué gamma est SL2 dZ donc dZ c'est quaternion comme ça quand vous regardez à un point réel c'est comme les quaternions mais les quaternions, quand vous regardez sur R, c'est un fil ici je choisis quaternion sur l'intagère mais quand je regarde sur R vous voulez être M2R donc si vous faites ça vous voyez que ce DZ est le plus tard dans les matrices 2x2 et si vous regardez les matrices 2x2 qui sont efficaces en DZ selon Borel et Chandra vous avez un plus tard dans SL2 de M2R qui est SL4R et B ce sera mon groupe delta delta sera B delta sera DZ et je termine avec le dernier exemple qui est un très bon exemple dans le spirit de les 5 exemples que j'ai donné au début en utilisant la route DZ2 ce que vous faites c'est que vous introduisiez un groupe unitaire donc vous devez être familiar avec le groupe unitaire donc SU sur SU4 sur la route DZ2 cette notation est une notation abusive je vais donner une définition précise ce qui est un groupe unitaire sur la route DZ2 cela signifie que c'est un set de 4x4 matrices qui sont efficaces dans la route DZ2 de la même manière si vous voulez définir le groupe SU4 du nombre complexe comment définir le groupe unitaire du nombre complexe vous devez les 4x4 matrices avec une coefficient complexe et vous dites que c'est une mission antérieure mais pour cela vous utilisez la conjugation complexe ici je vais utiliser la conjugation Galois par la route DZ2 donc ce sont les matrices si je compute G J donc le transpose de G sigma je vais obtenir J et je n'ai pas écrit l'identité pour J j'ai écrit J je veux que le groupe SU soit exactement celui-ci si vous voulez que vous soyez exactement celui-ci vous devez choisir juste les matrices antidiagonales donc c'est un exemple de groupe qui est arithmétique laetisse en SL4R et qui vous intersecte dans un code compact laetisse ok donc ces exemples dans l'exercice vous devez faire à la fin de aujourd'hui et demain donc je pense que j'ai fini pour cette lecture