 D'abord, je voudrais remercier les organisateurs d'avoir invité moi à cette workshop. J'ai réenjoué ces lectures par le professeur Kazarian, qui a trouvé une nouvelle formulation de tout cela. Mais ici, je vais essayer de donner juste un autre point de vue. Ce n'est pas très mathématiquement défini tout le temps. Je voulais juste expliquer plus ou moins ce qu'il s'agit de, un petit peu de ce qu'il s'agit de, parce que pour beaucoup de personnes de cette relation, et même pour moi en fait, cette relation semble un peu miraculeuse. Je ne pense vraiment pas qu'il y ait vraiment une bonne compréhension de pourquoi c'est vrai. Nous pouvons prouver le cas par cas, mais nous ne pouvons pas vraiment comprendre pourquoi. Le professeur Kazarian a écrit une équation ce matin, une équation réquestion en termes de l'algebra. Ma façon d'écrire l'équation semble très différente, mais c'est la même chose. Il devrait être équivalent, c'est équivalent. Il y a aussi une autre façon de représenter cette équation, c'est juste une photo. Et la photo, en plus, signifie la même chose. Ce qui serait vraiment intéressant, c'est de voir si cette photo, cette photo est seulement une façon d'encoder l'équation. Vous associé à chaque partie de la photo, vous associé à un terme de l'équation, c'est juste une représentation graphique de l'équation. Ce qui serait vraiment bien, mais qui n'existe pas à l'époque, c'est vraiment une manière géométrique pour cette photo. C'est vraiment une façon d'écrire les surfaces en deux pièces, qui sera naturelle dans tous les modèles A, B ou C, ou dans d'autres frameworks, pour lesquels nous avons naturellement la composition, qui implique l'équation de l'algebra. C'est inconnu. Je vais commencer par introduire. Qu'est-ce qu'il s'agit de ? La récursion typologique, à l'époque, de l'état de l'art, donc la théorie n'est pas finie... C'est une théorie nouvelle, ce n'est pas encore complètement établi, mais la récursion typologique est généralement un algorithme, une récursion typologique, qui apprécie une double séquence de formes, de formes n, et aussi des numéros, des fg, à un curve spectro-curve. Nous devons définir toutes ces choses, mais qu'est-ce que le curve spectro-curve ? En effet, il n'y a pas vraiment un bon accord sur ça, qu'est-ce que le curve spectro-curve doit être, mais la idée est que c'est plus ou moins d'une plane-curve ou de l'algebraie-curve, pas nécessairement de l'algebraie, et avec une structure additionnelle, donc c'est un type de curve, et pour une curve, nous associons les formes et les numéros par une récursion, et cette récursion est complètement universelle, ça dépend de rien. La seule chose que vous devez savoir sont les termes initiales, c'est que c'est le 1M et le 2M, et tout est déterminé par une récursion. Et ces oméga-g-n sur FG, nous appelons les invariants du curve sur le curve. Qu'est-ce que ça veut dire ? En invariant, je ne sais pas si c'est un bon accord, mais ok. Pourquoi est-ce que c'est intéressant ? Il y a deux risques. L'un est de prendre ces définitions, donc cette équation très abstracte, vous pouvez croire pourquoi, mais si vous prenez ces définitions, c'est que c'est d'avoir beaucoup de magnifiques propriétés mathématiques. Et je pense que c'est une raison suffisante d'étudier, d'être intéressé, c'est juste que c'est vraiment des propriétés magiques. Par exemple, si vous regardez cette équation, l'objet numéro 1 semble jouer un rôle très différent de l'objet numéro 1. Mais en fait, le résultat de la computation est toujours symétrique. Et ce n'est pas juste de la définition. Dans la définition z1, ici, il n'y a que l'objet numéro 1, et cela réplique un rôle spécial, mais vous pouvez prouver par la recursion que le résultat est toujours symétrique, et que l'objet numéro 1 est déjà magique. Une autre raison pourquoi ces choses sont intéressantes c'est parce que cette structure recursive s'applique dans plusieurs applications, et ce n'est pas vraiment pourquoi, mais c'est ça. Et donc, toute cette conférence est sur les numéros de Harvitz. Je veux dire, si ce n'est pas le titre, et en particulier, il s'applique pour les numéros de Harvitz. D'accord. Donc, entre les applications sur les numéros de Harvitz, les volumes de hyperbolic, l'invérance de gramma fritone, une très récente chose n'est pas polynamieuse. Donc, par exemple, les polynamieuses de Jones, pourquoi est-ce qu'il s'applique dans cette histoire ? Ce n'est pas connu, mais ce n'est pas même prouvé, c'est seulement un conjecture, mais on veut comprendre. Et il y a aussi beaucoup d'autres problèmes, comme la compétition 2D de 3D partitions, qui sont vraiment plus simples. Donc, je vais vous introduire un exemple très simple sur une compétition actuelle. Cette définition peut être compliquée, mais on va essayer de voir comment compter. En fait, donc, cette recursion typologique est maintenant pensée dans beaucoup de places dans les classes de master, même comme dans la Chine, dans l'Australie. Et professeur Namboury, à Melbourne, quand il enseigne, il dit qu'il n'y a qu'une seule façon de comprendre cette équation, c'est de essayer un exemple sur la compétition, la compétition, la compétition. C'est la seule façon d'en comprendre ce que ça veut dire. Donc, c'est ce qu'il dit, mais je l'avoue. Ok. Donc, les volumes de Valle-Petersen, je comprends qu'ils étaient un peu introduits hier soir. Je ne sais pas comment je vais dire ça, mais juste, les idées, quand vous avez, bien, vous voulez qu'on compute le volume, bien, quand vous avez une surface de genus, de genus avec un peu de bandes, de bens, un unique métriques avec une constantly négative couture pour lequel les bandes sont géodésiques. On va dire, on va dire que la length de les bandes géodésiques sont dues, L1, L2, LN, va faire. On veut computer combien de... en ce moment, combien de surfaces sont porter les bandes de boutiques. Et pour ça, En fait, c'est utile, donc quand vous avez votre métro avec une courbe constate, vous pouvez couper votre surface dans les pertes de pente. Le moyen de les couper dans les pertes de pente n'est pas unique. Donc la même surface peut être couper dans beaucoup de façon dans les pertes de pente. Mais quand vous coupez dans les pertes de pente, par les pertes de pente, je veux dire, je veux dire, qui est une des pente de pente, c'est les geodésic. Mais la pente de pente de pente de geodésic, les pertes de pente, parmi les pertes de pente, c'est quelque chose de la façon dont vous pouvez obtenir ces surfaces. Mais en fait, quand vous voulez obtenir une surface de pente de pente avec une perte de pente, vous allez coller des pertes de poids ensemble et ils devraient avoir une lente de l'alimentation que les bandes ont à matcher, mais vous pouvez les tourner par un angle. Et c'est le sens de ce theta-i. Les teta-i de l'Li sont appelés la co-ordinateur de l'esprit modulé. La forme de cipolles de Valet-Péterson est juste la tente de sum à l'alimentation de l'alimentation de l'E l'O d'l'N. Comme je l'ai dit, la decomposition dans deux pertes de poids n'est pas unique. Donc pour uneulsive remède surface, il n'y a pas de définition unique de l'alimentation de l'E l'O d'N mais cette forme est bien définie. de cette forme, vous pouvez compter le volume de cet espace modulé. Donc, c'est juste un numéro. En principal, cela peut être compété seulement par la géométrie hyperboli. Je ne vais pas mentionner cette seconde formulae pour le moment, mais c'est juste quelques numéros, quelques fonctions de l'LIs, dont vous voulez compter. En principal, vous pouvez faire cela par la géométrie hyperboli. En fait, je préfère considérer les formes laplace. Les formes laplace, donc, vous comprenez ces volumes, multipliez-vous par e-z-i-l-i, multipliez-vous aussi par l-i-l-i et l'intégrisez par l-i-l-i. Donc, c'est la forme laplace. Donc, vous avez quelques fonctions de variables z1 à zn, et vous voulez compter ces fonctions. Beaucoup d'exemples ont été compétus par la main. V03, c'est-à-dire que vous avez une géométrie 0 et 3, donc c'est la paire de la pente. Il n'y a pas de structure, donc le volume est 1. Et si vous compliquez la place transforme, c'est juste une fraction très simple. Pas pour le moment. Pour le moment, c'est une fonction, et ensuite, c'est une forme différente. Et je vais le write en omega. Quand je multiplie par d-z-i-l-i, je vais le coller en omega. Ok, pour le moment, je voulais être introducteur et c'est juste des fonctions, des fonctions rationnelles. Ok, pour le moment, pour le moment, c'est-à-dire qu'il y a un bondage en genus 1. Et ici, vous pouvez le couper en 1 paire de points, qui vous collez ensemble. Mais il n'y a pas d'un seul moyen de faire ça. C'est un peu plus subtil pour compter le volume, mais le résultat c'est celui-là. C'est un polynomial en L1, ce qui n'était pas objeu de la définition. Un polynomial de degrés 2. Vous competez la place transforme. C'est une fraction rationnelle d'1. Ok, c'est une computation. Ok, pour l'exemple, c'est un polynomial en L1. Vous avez 4 bandes, c'est un polynomial, la place transforme, c'est une fraction rationnelle. C'est très simple. Et ce qui a été fait par Maria Mirzharani en 2004, c'est que il y a une très belle relationship entre ces volumes. Une très belle relation de recursion. Mirzharani a écrit la relation de recursion directement en termes de volumes, mais la place transforme, c'est l'équation de recursion que vous avez pour la place transforme. C'est juste la place transforme de Mirzharani's équation. Et il y a cette forme. Je vais vous montrer que c'est une spécialisation de ce cas. C'est juste un intégral pour qu'on compute des WGNs en termes des WGs, des autres Ws que vous avez déjà computés de toute façon. Mais je vais vous montrer explicitement comment utiliser cette équation en 1 minute. Je ne sais pas si ça a l'air compliqué pour les gens qui ne l'ont pas utilisé, mais je veux montrer que c'est extrêmement simple. Est-ce que vous avez l'interprétation de cette équation en termes de cette photo? Oui. Non, ce n'est pas connu. C'est très beau si quelqu'un est capable d'interpréter ça en termes de ça. Mais ce n'est pas connu. Mais pourquoi Mirzharani l'a prouvé, c'est parce qu'elle a commencé à étudier toutes les géodésies de l'un à l'autre, et d'utiliser une réaction maximale. Donc c'est très indirect. La prouve est très indirecte mais ce n'est pas connu. Je vais vous montrer cette équation. Qu'est-ce qu'elle fait? On va essayer d'appliquer quand c'est 1, quand c'est 0. C'est juste un exemple d'exemple de computation. Je l'ai juste réelé et à la droite, il n'y a que un terme. C'est-à-dire que dans cette décomposition ici, dans la somme, je n'exclure toujours le cas où l'un des côtés peut être un disque. Donc, dans cette décomposition, il n'y a que ce terme. Ce terme est absente pour G equals 1 et pour W11. Il n'y a que cette possibilité pour W11. Il n'y a que la fonction de l'invédentité avec W02 à la droite. Et n'oubliez pas que W02 est juste définie d'être 1 à z minus prime à la droite. C'est un très simple fonction. On le fait. C'est juste 1 à z minus c'est 1 à 4 z à la droite. C'est 1 à 4 z à la droite. Maintenant, depuis que nous devons remplir la résilie à 0, nous devons expander chaque fonction à la droite. Nous devons faire la expansion à 0. Nous devons faire la expansion de l'invédentité à 0 et la expansion de l'invédentité à 0. Donc, c'est juste la même chose. L'invédentité commence avec 2 à z minus 4 z à la droite. Donc, la pi disparaît. Nous avons ici 2 à 4 et la z à la droite. Donc, la résilie que nous devons compter c'est juste ça. Nous devons expander 1 à la droite. C'est juste cette résilie. Nous avons le triple pole. Ça veut dire que nous devons expander quelques-uns. Donc, vous pouvez le lire. C'est extrêmement facile. C'est 1 à 1 z à la droite plus 2 à la droite ou 6. Donc, ce que vous trouverez c'est juste ça. Et ce match est avec un résultat connu. Ok. Mais ce match est en général. C'est prouvé mais c'est toujours correct. Donc, c'est correct. Alors, je vais vous montrer cette recursion de Mirzarani que je vais réécrire ici. Donc, il y a une signée 2 à z dans le denominator. Comment est-ce que c'est un cas spécial ? Je vais l'expliquer. Donc, ici, nous avons les variables z0, z1, zn et aussi les variables sur lesquelles nous intégrons pour moi, pour le moment, ils sont les variables dans le plan complexe ou dans la sphère ou dans le plan complexe plan complexe. Donc, ils sont les numéros complexes mais en général, la situation générale correspond à prendre une surface. Alors, une autre chose c'est que depuis que vous devez intégrer tout le temps, c'est mieux, en fait, les formes différentes plutôt que les fonctions. C'est plus naturel. Donc, je vais tourner les n'ontes W qui étaient les fonctions. Je vais tourner les formes différentes symétriques, les formes différentes. Et on va me dire que c'est omega gn. Donc, c'est une forme symétrique. Et aussi, je suis multiplié par dZ1, dZn. Alors, dZ0 est, je le mets là-bas parce que dZ0 est là-bas donc je mets le dZ0 là-bas. Alors, ici, sur le côté droite, vous voyez que c'est presque un omega. C'est presque un omega. Mais je m'ai mis le dZ et le minus dZ ici pour faire un omega. Alors, j'ai un dZ ici mais je n'ai pas le minus dZ. Donc, je mets le dZ et le minus dZ mais depuis que c'était faible j'ai besoin de mettre un dans le dénominateur. Vous avez le minus dZ et le minus dZ. Mais c'est juste parce que maintenant ça fait un omega. C'est la même chose pour tous les autres termes. Donc, maintenant vous pouvez replacer ça par omega. Donc, ce que vous avez c'est que vous avez un omega ici, un omega là-bas mais vous avez un dZ dans le dénominateur ça peut être étrange mais vous vous rappelez que c'est un différentiel quadratique vous avez deux dZ ici dans le dénominateur vous avez un dans le dénominateur donc le produit est en fait une forme. Donc, pas de problème. Maintenant, je dois expliquer pourquoi nous prenons le minus dZ pourquoi nous prenons le minus dZ pourquoi nous prenons le sinon et tout ça. Et ce serait dans la situation générale donc première, non, première, je vais me expliquer ce 1 over dZ0 square minus dZ square bien, juste observe la suivante 1 over dZ0 square minus dZ square bien multiplié par 2Z dZ0 puis vous observez que c'est l'intégral de minus dZ2Z de la double pole bien, je veux dire vous avez un simple pole à dZ equals dZ0 donc c'est clairement un integral de ça c'est-à-dire une trivialité et cette quantité est précisément ce que j'appelle omega02 donc, laissez-moi replacer ce dénominateur ici par ce integral donc c'est ce que j'ai fait j'ai replacé le dénominateur par ce integral et maintenant j'ai un 2Z dZ dans le dénominateur et j'ai aussi le sinon donc maintenant, laissez-moi expliquer pourquoi nous avons pris une résidue à 0 nous avons tous ces factures dans le dénominateur laissez-moi introduire une fonction qui serait signée 2pi Z over 4pi qui serait relative à ça et une autre fonction qui serait Z2 vous voyez que 2Z dZ c'est juste la différence de X juste 2Z dZ c'est juste la différence de Z2 une autre remarque c'est que la différence de Z2 à 2Z dZ vénéche à Z equals 0 c'est pourquoi nous devons prendre la résidue à un point où il y a un pôle donc nous savons que il y aura toujours un pôle à la zéro de dx donc la situation générale serait de replacer ça par dx et cette 0 par la zéro de dx un endroit où dx vénéche donc une autre remarque c'est que la zéro de dx c'est comme que la zéro de dx equals la zéro de dx donc la map avec dZ associé à la zéro de dx donc nous appelons la map S c'est comme que X donc on le appelle l'involution local donc c'est juste l'involution l'autre valeur de Z qui correspond à la même x donc nous allons replacer donc ici j'ai replacé le 2Z dZ par dx j'ai replacé notre sign 2 pi Z par 2 y Z minus y Z alors ici y est une fonction odd donc y of Z minus y of minus Z mais si nous voulons replacer une situation plus générale c'est ce que nous avons besoin et maintenant cette minus Z oui juste une autre remarque si vous y dx vous pouvez l'appeler omega 0 1 et vous voyez que c'est y dx de Z minus y dx de minus Z donc vous pouvez l'écrire de cette façon et donc la dernière remarque c'est comme je le disais S of Z equals minus Z donc ce qui était là alors nous allons replacer tout le monde minus Z de Z et maintenant nous avons la récursée générale donc la récursée générale c'est choisir une fonction X choisir une fonction Y choisir un omega 2 et replacer la même formule maintenant la S serait la solution de cette équation les places où nous avons utilisé les zeroes de dx et tout ça donc c'est la situation générale donc nous avons joué la récursion de Mirzarani pour une spécialisation de la récursion générale question est-ce que le secteur curve est rationnel ? secteur curve comment est le secteur curve ? donc vous avez X equals Z square et Y est signé 2 pi Z sur 4 pi je pense c'était ça donc ce n'est pas rationnel mais Z vit sur le plan complexe voilà donc je veux dire c'est un curve rationnel mais la fonction Y de Z n'est pas rationnel donc c'est pour ça donc la récursion générale j'aime définir de cette façon donc c'est différent de la définition qu'il a c'est ma façon de le faire il devrait être équivalent j'ai préféré le faire de cette façon il y a une symétrie entre X et Y dont vous ne voyez pas d'autres formulations ce n'est pas objeu de toute la définition mais c'est certain donc c'est pourquoi je préfère le faire de cette façon mais il y a beaucoup d'autres manières je pense que tout le monde qui a utilisé cette récursion a écrit différentes définitions même moi je pense que ce sont différentes définitions donc c'est ce qu'il y a donc un curve spectre pour moi serait la date de une certaine surface mais ce n'est pas nécessairement compact ou connecté est-ce que c'est un exemple de la récursion générale ? oui, tout de suite ce qu'on doit vraiment c'est seulement des termes donc vous n'avez pas vraiment besoin de la surface en fait, vous avez juste besoin d'un peu de germes donc c'est pourquoi c'est l'équivalent de la formulation ce que vous avez besoin c'est juste la coefficient dans la expansion localement c'est tout ce que vous avez besoin en fait c'est la coefficient dans la expansion donc je vous appelle le point de branch le nombre de points de branch sera la n c'est le même n donc le point de branch sera les zéro de la x en professeur Kazarian en fait vous utilisez un ordinateur local et la x est toujours x² en fait c'est une notation mais c'est l'équivalent donc c'est juste la option local c'est l'équivalent de 2x et en fait vous n'avez pas besoin de plus de la function x et vous write la y en termes de la ordinateur s mais donc l'involution dans ce cas c'est juste s-s mais en général vous avez besoin d'involution comme ça et la y est plus ou moins l'équivalent de la eta de professeur Kazarian et la omega 02 est plus ou moins l'équivalent de la t de la boulte t ou de la choice de la dimension manifold et c'est encodé par une forme quadratique la omega 02 est une forme quadratique donc vous avez besoin d'une chose quand vous avez cela vous pouvez compter une option vous définissez la définition la omega gn par cette définition donc pourquoi est-ce intéressant de faire ça une autre chose dans cette définition ce que vous définissez ici vous voyez qu'il y a à peu près 1 cette variable est toujours à peu près 1 cette équation n'est pas la g0 cette équation n'est pas la définition donc pour définir je vais utiliser exactement ce que a été écrit ce matin vous voyez je prends une pi comme la pi que la pi est la omega 01 je multiplie la omega g1 qui était compétue par la recursion je multiplie la pi qui est aussi la même la omega g0 c'est juste un autre nom en fait j'ai aussi utilisé des f0 et des f1 mais la définition ça va prendre beaucoup de temps pour expliquer, ce n'est pas si compliqué mais ça va prendre beaucoup de temps pour expliquer, donc je ne veux pas expliquer donc cette définition est seulement pour la g02 juste en termes de notation delta ici tu veux dire ok, je ne veux pas commenter sur ça, je vais me demander peut-être une caroterie ce n'est pas existant sorry tu n'as besoin localement à l'aille mais si tu as un constant non, le constant n'a pas de problème parce que c'est résiduel c'est toujours résiduel tu peux le prouver par la recursion par la recursion je n'ai pas demandé pour la tronche de détermination de la blessure qu'est-ce que c'est de la blessure ? peut-être qu'on peut discuter plus tard ok juste quelques mots de comment tout ça a été défini c'est sur les modèles métriques bien, initialement dans les modèles métriques les gens sont intéressés donc dans les modèles métriques tu as une mesure sur un set de matrices typiquement les matrices et on dirait que la mesure est typiquement dm la mesure de toutes les components d'exponentation de traitement de la polynomial de m c'est un exemple typique pas le plus général mais c'est un exemple et les gens dans les modèles métriques c'est exactement comme Prof. Konsevich avait dit qu'est-ce que l'exponentation de traitement de m et quand tu commences d'expandre le log de la fonction de la partition tu commences d'abord un termes m² d'accord ? alors si tu vas au prochain ordre tu trouves que le prochain ordre est un constant alors le prochain ordre est en n-2 et en fait il s'agit d'une puissance n c'est parce que c'est parce que la symmetry de Hermitian si tu commences avec un ensemble de matrices non-hermitiennes comme je sais pas, la symmetry réelle tu pourrais aussi trouver la force n mais pour la case de Hermitian tu n'as que la force n et bien tu n'as pas une exposition pour chaque v mais pour une classe très grande de mesures tu as une exposition pour que tu computes les coefficients donc let's assume que tu as une exposition comment tu peux computer les coefficients et aussi tu n'es pas intéressé par la fonction de la partition mais tu es aussi intéressé par les valeurs de l'expectation de l'espectrum de l'espectrum, de l'espectrum de l'espectrum statistique et en particulier le spectrum est généralement encodilé donc des n'est-ce que 1 à x minus lambda i où les lambda i sont les valeurs de v donc quelle est la distribution de cette quantité tu vois que c'est exactement sur le spectrum donc c'est pourquoi ça vous donne l'information de l'espectrum cette fonction et encore, tu veux computer sa grande exposition pour l'exécuté, tu trouves que ça ressemble à n c'est une quantité de n donc ce n'est pas très étonnant mais c'est comme n à 1 1 à n times la quantité c'est à la limite la prochaine correction est en n à minus 1 encore, il s'agit d'une puissance n puis la troisième correction la deuxième correction est n à minus 3 et ainsi n à minus 1 à minus 2g 1 à x et encore, la question c'est comment tu peux computer ces fonctions toutes ces séquences et tu peux faire ça pour les fonctions donc la fonction correction c'est que tu prends un produit de résolvance on va prendre le cumulant je ne veux pas dire ce qu'il est mais c'est juste un truc technique assez facile et ça définit la fonction la première correction et encore, on commence à observer comment ça se passe à la large n à la large n, ça se passe à un n à 2 à minus n ce n'est pas si obliquant mais c'est ce que tu observes et encore, il y a une puissance n et ce que tu veux computer c'est toutes ces séquences WGNs donc les gens sont intéressés pour les fonctions et dans la nature il y a beaucoup de méthodes d'essayer de compter ces fonctions les deux premières Omega 01 W01 ce qui est juste la limite de la résolvance c'était déjà connu par la méthode d'Izone au début des matrices donc c'était connu depuis le début et c'est très facile de compter dans ces exemples puis la première correction à la partie F1 et en quelques cas les gens pouvaient aller à F2, F3, etc c'était connu plus de cas par cas en quelques cas plus simples en 1995 Ambiol, Chekhov, Christian et Mackenco ont créé un algorithme pour compter tous les coefficients mais c'était un algorithme qui était très modélisé et pour exemple, ils pouvaient réunir seulement dans le modèle de matrix avec le potentiel polynomial donc ce n'était pas réunisant dans un moyen universel et la structure générale n'était pas très intelligente puis les gens ont commencé à pouvoir trouver des expressions générales pour la fonction de 2 points pour la première correction F1 etc il y a beaucoup de travail sur ça mais en 2004 la nouvelle chose était le papier d'Alexandrov Mironov et Morozov un peu plus tard moi-même donc nous utilisons deux différents méthodes mais les solutions ont utilisé les constraints vis-à-vis pour trouver une relation entre les WGNs j'ai écrit les équations de loop qui sont très liées aux constraints vis-à-vis donc nous pouvons trouver une recursion pour ces coefficients et cette recursion a été très universale c'était près de cette la seule différence est que le denominateur n'était pas celui-là parce que nous étudions seulement le cas hyperliptique ou celui-là minus celui-là et ça a pris vraiment longtemps pour comprendre que la bonne généralisation était pour faire ça et c'est ce que nous avons fait avec Chekhov et Laurentin plus d'un an plus tard nous avons compris que la formulae qui peut généraliser à d'autres modèles matrix c'est quand vous réplacez ce terme par cette différence et puis, en 2007 avec Laurentin nous avons dit, ok, nous étudions cette équation cette recursion d'équation independently d'une relation à un modèle matrix et étudions ses propriétés pour exemple prouvez-vous que ça toujours donne quelque chose simétrique que ça a des propriétés il satisfait des équations par rapport à ce qu'on appelle BCOV etc nous avons commencé à réduire la théorie mathématique de cette équation et c'est vraiment qui a commencé à être appelé la recursion topolégique d'accord, et une autre surprise c'est que, juste quand nous avons terminé que, des physicists marinaux, en fait, nous avons commencé à écrire le papier en 2006 et je l'avais déjà parlé beaucoup avec marinaux, c'est pourquoi il a publié des choses avant mais marinaux a réalisé cette recursion était aussi computée en grammafrite mais à ce moment, c'était totalement mystérieux, pourquoi ? je veux dire, au moins pour moi pour marinaux, c'était naturel en utilisant cette théorie de chance et tout ça mais je veux dire d'assumer que la théorie de chance était équivalente à un modèle matrix qui était formée par la recursion topolégique était une très forte assumption qui n'était pas tout vérifiée et ok je ne vais pas ne pas être sûrs sur ça je veux juste dire quelque chose de la représentation géométrique la représentation géométrique comme je l'ai dit cette équation éteinte comme ça, elle semble compliquée mais c'est très facile d'apprécier si vous pensez de la façon graphique vous devez représenter chaque des termes ici par une photo et d'abord, la géométrique juste représente comme une photo représentant la surface de la géométrique avec d'autres boundaries c'est juste une photo qui représente cet objet parfois je représente les boundaries et parfois les punctures je veux dire dans cette photo omega02 il devrait être quelque chose de de la géométrique avec deux boundaries donc c'est un cylindre ou c'est aussi une sphère avec deux punctures mais très souvent je représente juste par une ligne straight entre x1 et x2 ok ok ce qui est ici laissez-moi représenter comme... une paire de punctures c'est plus ou moins la paire de punctures serait celle-ci il aurait trois variables indépendantes z1, z2, z3 et donc mais k a seulement deux variables indépendantes et ça correspond à dire que c'est une paire de punctures mais où vous avez retiré les pieds parfois on le appelle le short je ne sais donc c'est comme il y a une boundary mais qui est pincée c'est juste une photo très souvent il sera représenté par une ligne avec trois variables indépendantes selon pourquoi ? c'est juste une norme numérique oui c'est juste une norme numérique c'est très sympa de trouver une interpretation actuelle de ça mais pour le moment ce n'est pas con c'est seulement une norme numérique pour rappeler cette équation c'est juste une bonne norme numérique pour rappeler cette équation donc je vais me montrer comment ça fonctionne en pratique pour les computations en pratique pour les computations on va dire alors, premièrement il y a des différentes manières de écrire l'équation elle-même donc l'équation requérition est représentée avec des boundaries et de toute façon elle dit pas qu'on peut obtenir une surface de genus G avec d'autres boundaries on commence par la première boundary et on couche quelque part on couche un peu plus bas et ce qui reste est que une surface est connectée puis c'est de genus G-1 mais il y a un plus de boundaries ou la autre possibilité quand on remet un short c'est que vous obtenez quelque chose connecté puis vous avez des genus de genus G-H et de genus H le somme est le nombre de hausse ici c'est que le nombre de hausse est conservé dans cette picture et le nombre de boundaries est conservé une autre façon de l'écrire c'est quand vous représentez des punctures alors vous dites que la case est seulement de la ligne avec ces 3 vertices et vous le collez aux deux punctures et c'est le cas connecté et c'est le cas connecté et c'est le cas connecté et c'est celui-là donc ce sont juste 2 manières de représenter cette équation mais encore une fois, il n'y a que des règles il n'y a pas de géométrie pour le moment je crois qu'il y a des géométries mais il n'y a pas de géométrie alors je vais vous montrer comment si vous voulez compter FG souvenez que pour compter FG ce que vous devez faire c'est qu'il y a omega G1 donc quelque chose avec G1G1 leg une puncture mais sur la puncture vous collez cette fonction phi qui était l'intérimité antiderivative de omega 01 coller signifie vous intégrer vous prendre la résidue et diviser par 2 manières 2G et cela définit FG et généralement si vous avez omega Gn alors c'est equal à omega GN plus 1 où vous avez collé 5 à 1 des leg intégrer diviser par 2G-n cela donne omega GN donc c'est vrai pour chaque positive N et donc en fait c'est juste le cas N equals 0 alors représenté avec des bandes cela veut dire que si vous prendre la fonction avec N plus 1 bandes sur une des bandes diviser par 2G-n puis vous obtenez la surface avec des bandes N donc encore une même technique mais cela fonctionne donc nous allons faire des exemples donc si vous voulez conclure omega 03 omega 03 c'est quelque chose avec 3 punctures ou 3 bandes dans cette représentation cette recursion cela signifie ce summe de deux termes en fait, il y a deux termes dans ces deux termes il n'y a pas de termes dans cette partie il y a deux termes cela signifie ce que cela signifie cela signifie que vous multipliez le weight associé à chaque leg kx0z bz bar x1 sorry, b est omega 02 donc juste prendre le produit de ces trois choses et intégrer à la vertex intégrer c'est-à-dire prendre la résidue à la branche à A et vous avez un autre graph la même chose, multipliez le weight de chaque edge et intégrer à toutes les vertices exactement ce qui est écrit ici c'est juste une technique mais c'est très convainc et il y a une bonne property il y a un symétrie entre z et z bar et en fait, ces deux quantités qui représentent une certaine résidue qui représentent une certaine intégration ont une même valeur donc vous pouvez juste dire que c'est deux fois quand vous computez laissez-moi faire un autre laissez-moi faire omega 11 donc ce qui veut dire c'est exactement ça c'est cette picture donc vous prendre un k vous le collez à un omega 02 donc ici, encore une fois, vous prendrez le produit de la branche associé à l'edge donc ici, cette résidue à la branche correspond à k cette résidue à la branche correspond à un omega 02 prendre ce produit intégrer, donc à la branche à l'edge et ça donne omega 11 c'est juste une réarrivée de l'équation laissez-moi faire un exemple plus compliqué let's computez f2 f2, si vous voulez computer f2 vous devez diviser par 2-2g c'est minus 1-1, en ce exemple multiply par 5, donc c'est ce red dot, c'est de 5 et c'est omega 21 donc genus 21 1 puncture mais ce omega 21 l'équation omega 21 était la summe de deux termes ici comme ça, c'était k x un omega et un omega en ce summe ici omega 11 et omega 11 une autre termes, qui était omega 12 je veux dire c'est juste ce que vous avez obtenu mais ceci, le omega 11 nous avons déjà compété ceci donc let's replace this omega 11 par ce graph ici et pour ceci, nous allons le computer donc c'est le omega 12 qui va être compété par la récursion donc la omega 11 est réplacée par ce graph et sur le omega 12 j'ai utilisé la récursion donc c'est une autre k et ici vous avez omega 03 et ici vous avez omega 02 et omega 11 et pour le omega 03 j'ai réplacé par ce graph il y aura un facteur 2 et pour le omega 11 j'ai réplacé par ce graph et pour le omega 02 c'est le b, j'ai juste réplacé c'est le summe de ces 3 graphes chaque graphe c'est à dire vous avez le producteur pour chaque edge si c'est arrêt, vous associérez le k si c'est non arrêt, vous associérez le b vous avez juste le producteur tous les graphes et vous avez les résidus à la vertices mais vous vous souvenez dans quel ordre nous avons compété les choses donc ça veut dire que ce résidus était compété le premier alors ceci et ici dans ce graphe ce résidus est compété le premier puis celui-ci puis celui-ci donc vous devez être careful de l'ordre des résidus mais vous voyez que vous pouvez suivre l'ordre des résidus c'est l'inverse de l'ordre de l'arrêt donc c'est assez facile de remercier donc c'est écrit sur le graph dans lequel l'ordre vous devez prendre les résidus et c'est important dans lequel l'ordre vous devez prendre les résidus parce que parce qu'il y a des points coincés donc l'ordre de la compétition des résidus ne matterait pas donc donc c'est juste donc c'est juste la façon dont c'est juste la valeur de ces graphes selon cette équation donc pour moi c'est beaucoup plus simple de remercier ces trois graphes pour F2 plutôt que toute cette équation ok et aussi vous avez un résidus ici à la fin ok ok c'est juste donc c'est juste donc ces graphes sont juste un moyen technique d'écrire cela mais en fait c'est très utile parce que la plupart des théorèmes que vous pouvez prouver sont très facile de prouver graphiquement donc par exemple la symétrie de BCOV comme des équations sont très simples de prouver graphiquement et aussi de donner un tas comme un formalisme c'est très facile de faire graphiquement donc ce n'est pas seulement un technique c'est en fait très utile quand vous voulez manipuler ces choses est-ce que c'est la même point pour chaque résidus ou non vous avez chaque résidus vous avez à prendre le summe de tous les points critiques donc c'est en fait un summe fort ok ok si vous avez si vous avez si vous avez un point critique vous avez oui vous avez un résidus ici et un résidus là donc ici il y aurait un n pour les termes je veux dire n pour les 4 termes cette picture mais vous pouvez aussi dire que l'intègro signifie le summe c'est seulement un intègre des résidus c'est juste un point c'est le sens donc ok donc je quelle heure doit-je finir? donc je suis désolé 4? 50 ok c'est pour quelques minutes non ok donc je veux présenter très plus fort des propres dans un pas très bien-defined mais juste pour vous donner une idée ok bien la première propriété qui n'est pas written ici mais qui est extrêmement importante c'est que je l'ai déjà mentionné c'est que sur la récaution ça ne semble pas simétrique dans tous les arguments la 1 semble jouer un autre rôle donc la 1re boundary semble jouer un autre rôle mais en fait vous pouvez prouver par la récaution que le résultat est toujours simétrique et par exemple la représentation graphique est très utile pour faire ça c'est-à-dire c'est c'est très facile de la représentation graphique très bien il y a quelques techniques mais je trouve que c'est facile de la représentation graphique donc ce n'est pas obvious que c'est allé produire quelque chose simétrique même omega 03 omega 03 souvenez de la 1 2 3 c'était résidu de k de z1 z omega 02 de z2 omega 02 de z3 en fait 2 bien ça ne semble pas simétrique mais computez et vous trouverez que c'est toujours simétrique donc ce n'est pas obvious mais je veux dire c'est une importante propriété sinon ce n'est pas bien definit bien une autre propriété c'est simétrique bien c'est bien c'est pas réprouvé en général c'est seulement réprouvé pour spécifiques mais l'idée est si vous bien si vous avez ce x et y ici donc ça signifie que vous avez un curve immerse-t-il dans c2 cp1 cp2 vous avez un curve immerse-t-il dans cp1 cp2 cp2 ou quelque chose mais il y a des bonnes propriétés que si vous vous faites pour exemple une rotation dans c2 vous voyez la notion de branch points ici les 0's des x sont les points qui ont une tension verticale et donc quand vous faites rotations pour exemple je veux dire si vous faites une rotation par cp2 les 0's seront totalement différentes et donc toute la computation ici ressemble totalement différente mais quand vous compute les fg ils sont les mêmes donc ils ne sont pas changés quand vous faites ça et c'est totalement le proof est totalement non-trivial mais par exemple un curve pour exemple vous faites les x-axis il n'y a pas d'une branch point à tout oui donc je veux dire que quand les deux côtés sont bien définies pour cette construction alors les fg sont dans le secteur alors il y a quelques je veux dire c'est ce que je dis c'est prouvé seulement quand le curve est vraiment algebraique donc c'est réprové pour algebraique donc vous avez besoin de l'ex en y pour être méromorphique Et vous avez besoin d'un x et d'un y pour avoir des points de range. Et ensuite, c'est simétrique, donc c'est prouvé seulement en ce cas. Donc, par exemple, ce n'est pas prouvé dans le cas correspondant à l'ambert-curve, ou à l'albert-péter-son, ou même pour le gramma-frouiton, ce n'est pas appliqué. Pour le gramma-frouiton-curve, ce n'est pas appliqué. Mais pour le gramma-frouiton, on croit que le FG devrait être simétrique, mais ce n'est pas prouvé par ce pouf. Ok, donc... En fait, nous essayons de générer le pouf pour ce n'est pas un cas algebraique, mais c'est difficile. Je veux dire, pour le moment, nous n'avons pas réussi. Une autre propriété est que les FG que vous produisez de cette manière sont toujours des formes modulaires, mais par formes modulaires, je veux dire, les formes modulaires avec respect à... Donc, quand ce curve a un genus, c'est modulaire avec respect à l'esp2G de la genus. Mais donc, cette modularité est exactement la modularité de la BCOV. Je ne veux pas expliquer, mais c'est une propriété dont vous pouvez prouver par votre recursion, et en fait, pour celle-ci, la méthode graphique vous donne une très facile prouve que la BCOV est toujours satisfaite. Donc, tout ce qui satisfait votre recursion va toujours satisfaire la BCOV, et ce n'est pas très difficile à prouver. Nous ne savons pas vraiment quelle modularité c'est pour la BCOV, mais ok, je veux dire, c'est pour être exploré, je dirais. Bien, l'intégrabilité. Encore une fois, ce n'est pas vraiment prouvé, c'est seulement prouvé case-by-case pour certaines familles de curve spectrailles, mais c'est peut-être qu'il s'agisse dans un setting très, très général pour ces curves spectrailles. Pour exemple, très récemment, le moto-icomoulacé s'est prouvé que ça fonctionne pour des curves spectrailles comme les curves spectrailles, et bien, nous avons aussi des systèmes d'hitching, et nous travaillons sur l'envers de l'envers de l'hitching, un cas de système d'hitching, donc nous pouvons prouver. Ce n'est pas publié, mais l'hitching a été publié pour l'envers de l'envers de l'hitching. C'est... Si vous abaissez toutes les séries des FGs, et faites cette série, une autre, pardon, h bar à 2g-2fg, bien, c'est la fonction tau d'un système intergouvel. Bien... Pour le moment, il y a un curve single. Oui. Ok. Je ne veux pas... C'est trop long d'expliquer, mais il y a plusieurs choix naturels de coordonnées, correspondant, donc si vous avez des fonctions neuro-morphiques ici, les coordonnées seraient coefficient de la partie négative de l'expansion de l'envers de l'envers de l'hitching, et cela correspondait à l'expansion multi-component Kp times. Je veux dire, c'est-à-dire que vous obtenez une sorte de multi-component Kp. Ok. Ou pour l'hitching système, ce serait l'expansion naturelle, l'expansion naturelle de coordonnées du système de l'hitching. Ok. Je ne vais pas continuer dans cette direction. Mais la idée est que le WGN, le WGN sera satisfait d'une formule déterminante, beaucoup d'autres relations de précaires, beaucoup d'autres relations devraient être satisfaites. Et ce n'est pas prouvé en général. Et cela est très rapide à la notion des curves quantes et tout ça. Mais il n'y a pas de prouves en général. Il n'y a pour le moment seulement des prouves en cas de cas. Donc, comme je l'ai dit, il n'y a pas de prouves en général, mais il n'y a pas de prouves en général. Encore une fois, c'est une spécialisation de ces prouves. C'est seulement un subclass de ces prouves. Une très importante propriété dont j'aimerais vous dire un petit peu plus, c'est de prendre des limites. Imaginez que vous avez une famille de curve spectacles. Vous avez une famille qui dépend d'un certain temps. Un temps qui peut être quelque chose d'habiturier. Imaginez que à un certain point d'alimentation t'aimera un temps critique. La curve se génère. Elle a un cosp. Ainsi que d'avoir une tendance verticale, il n'y a plus de tendance. Ainsi que d'avoir une tendance, par exemple, il peut avoir un cosp. C'est une très spéciale valeur t'aimera. Quand vous n'êtes pas à t'aimera, quand vous êtes un petit peu loin de t'aimera, le cosp s'est résolu. Vous avez quelque chose comme ça. Donc ici, vous ne pouvez pas récomputer fg. Mais ici, vous pouvez récomputer fg en fonction de ce temps. Et vous observez qu'il diverge en t-minus tc à un peu de puissance. Vous pouvez récomputer que ça diverge en t-minus tc à un peu de puissance. Donc fg diverge en t-minus tc à une puissance qui est toujours proportionnelle en t-minus tc à un peu de puissance. Donc ce t-minus tc à une puissance appropriée en t-minus tc a une limite. Et qu'est-ce que cette limite ? Le miracle de cette limite est aussi l'fg d'une courbe. Et cette courbe est juste un bloc de la singularité. Oui, oui. Donc, ce n'est pas très réglé de le dire c'est que la limite de fg de s c'est la limite de fg de s c'est-à-dire que vous avez besoin de risques Mais c'est l'idée. La idée c'est que les fg et les omegagens en fait aussi, je ne l'ai pas écrit mais tous les omegagens c'est une propre extrêmement utile. Et il y a beaucoup, beaucoup d'autres bonnes propriétés mais je n'ai pas de temps d'expliquer. Donc il y a des relations avec les équations cyberwitten les déformations dont j'aime appeler formes, psychologi, qui sont des gens qui s'appellent spéciales géométriques c'est les équations déformées je pense que vous allez parler de ça demain. Mais donc, d'autres bonnes propriétés alors vous allez aussi parler d'un lien avec l'informalisme l'alphabet de Hecker est aussi là mais je ne veux pas dire que c'est de la symétrie vous pouvez aussi exercer ceci à des spectraux non commutatifs donc vous pouvez, il y a une notion de spectraux non commutatifs où x et y ne communiquent plus mais vous pouvez appeler tout ce formalisme et ça marche de la même manière et ça entre plus ou moins les mêmes propriétés je ne veux pas, je veux dire, aller trop loin alors, je vais aller aux exemples d'applications donc maintenant, je vais mentionner des applications donc je serai très sketchy je ne vais pas donner des définitions précises par exemple, des variants de gramma je ne vais pas donner des définitions précises je veux juste vous donner une idée et beaucoup de ces choses sont aussi conjectures je veux dire, pas tout est prouvé beaucoup de ces choses n'ont pas prouvé tout alors, un exemple qui s'est imaginé très récemment c'est que la regression topology a quelque chose à faire avec pas avec pas de théorie c'est encore complètement mystérieux et presque rien n'est prouvé mais les gens sont sûrs que ça fonctionne en fait, je pense que la première idée c'est peut-être le premier endroit où ça arrive c'est un papier par Degraf en Fuji en 2009 peut-être où... bon c'est sur le polynomial de John's donc, je vais dire ce que le polynomial de John's est ok, je vais faire ça non, je ne vais pas dire ce que le polynomial de John's est les gens intéressés dans la théorie de John's il y a des invariants associés aux notes et en particulier, il y a un qui s'appelle le polynomial de John's Jn il dépend de la note K, K est la note il dépend de la variable Q et il dépend de l'intagère n n est souvent appelé la couleur et Q est un paramètre formel et donc, c'est un polynomial il s'agit, je pense, de Q de Q peut-être même de Z sorry Q et Q minus 1 sorry integers donc, c'est un certain polynomial qui est une note invariante et les gens ont commencé d'intéresser à comment ça s'exprime à quel point le vlog s'exprime donc, comment ça s'exprime quand on s'exprime de Q de 1 et de n à l'infinité de la façon dont Q log n sorry, n log Q donc, on s'appelle U qui reste finit bien, fixé donc, comment ça s'exprime bien et ça s'exprime avec 1 over log Q plus, c'est-à-dire que c'est log Q de 2G minus 1 et on s'appelle sorry log Q to the K on s'appelle S K of U donc, ça sera S minus 1 of U donc, il y a un conjecture sur S minus 1 of U qui a été là pour presque 20 ans et qui n'est pas encore prouvé ok, c'est le conjecture volume donc, ce que le conjecture S minus 1 est, c'est le conjecture volume il s'agit de cache af je ne m'en souviens pas ce que c'était non mais ce qui est récent c'est que Degas von Fugey dit que tous les S K ici Degas Fugey et Mannebik dit que tous les S K ici sont basément liés à l'Omega GN de la recursion topologique ici je vous présente la figure de 8 notes c'est une note très spéciale voilà, je veux dire une note spéciale mais c'est cette note et il y a une notion de variété caractérale je ne veux pas interpréter mais la variété caractérale est un curve c'est une équation réellement x et y donc, c'est une équation réellement x et y appuyez sur votre curve spectrale appuyez sur la recursion topologique compute ces intégrations d'Omega GN jusqu'à U toutes les variables les lignes donc toutes les lignes intégrées jusqu'à U divise par N factorial summe de G et N comme 2G plus N minus 2 equals K minus 1 appelons-le SK of U alors, la conjecture est que cela compute les synthétiques de John's polynomial donc, comme je l'ai dit même le terme de lignes n'est pas prouvé et c'est très loin de être prouvé donc, nous sommes très loin de prouvoir le reste de l'expansion mais ce que ça dit par exemple avec mon étudiant en bas de la compétition pour cette conjecture nous avons réellement compété des choses jusqu'à la troisième puissance de log Q et cela matchait donc il y a beaucoup de numériques élevés en fait, nous pouvons prouver pour les notes touristes et pour les notes touristes nous pouvons pas seulement le John's polynomial mais oui, mais donc même pour ces notes, c'est assez loin de être prouvé pour ces notes le S minus 1 a été prouvé par Zaghi, je pense mais pas le reste de l'expansion, bien sûr donc, c'est totalement mystérieux pourquoi cela fonctionne mais cela semble travailler et les gens sont vraiment sûrs que cela fonctionne, je veux dire la plupart des papiers récemment par Google sont sur cela c'est très mystérieux je vais faire un autre exemple c'est que vous voulez prendre 3D partitions 3D partitions ou les gens aussi des partitions pleines c'est que vous mettez des boissons dans la salle de la salle mais parfois, vous voulez une salle qui a une salle c'est-à-dire qu'elle a une chine vous voulez une salle et vous commencez à mettre des boissons et ils fallent de cette direction ils fallent du ciel de cette direction et ils vont au bas dans la salle ok et donc c'est un problématique statistique ou c'est un problématique combinatrice et la façon dont vous mettez une contribution est le nombre de boissons donc le weight de la configuration c'est juste vous avez un paramétre Q c'est-à-dire que vous avez juste Q pour le nombre de boissons avec Q large c'est plus que 1 donc c'est juste la façon dont vous comptez les configurations donc vous vous attendez à chaque configuration donc c'est votre mesure sur ces partitions pleines et vous voulez compter la salle qui est ok, je l'ai dit comme le nombre de partitions de la taille mais de toute façon c'est équivalent de dire que vous avez des partitions avec cette puissance Q pour le nombre de boissons et vous voulez trouver les asymptotes les asymptotes quand la taille de la salle devient large donc c'est plus ou moins équivalent de dire les asymptotes quand Q va à 1 dans les powers de log Q pour les asymptotes vous pouvez observer que les asymptotes vont par powers de la taille à 2-2g et vous voulez compter les coefficients fg donc qu'est-ce qu'ils sont ? voilà probablement vous pouvez l'imaginer nous sommes rétés à la question donc oh oui, pardon quand vous mettez beaucoup de cubes ici c'est une configuration avec très peu de cubes avec un nombre très large il commence à devenir comme ça et si vous observez il y a des régions où il n'y a pas de cubes sur les roues et ici en ce pays vous avez atteint l'opposite roue vous pouvez voir les couleurs ? oui donc ici vous voyez qu'il y a un genre de désordre mais ici dans ces parties il n'y a pas depuis qu'il n'y a pas de cubes ou ici les cubes ne peuvent pas bouger c'est frozen c'est appelé frozen et il y a une courbe qui sépare la région de frozen de la région liquide et les gens s'appliquent le cycle arctique le cycle arctique sépare la région de frozen dans l'océan en tout cas et la forme de ce cycle le cycle arctique a été composé c'est pour exemple un papier très fameux par Kenyon Okunkoff et pour cet exemple ils trouvent que c'est un carburant en général ce qu'ils trouvent c'est que ce curve est le plus petit curve d'algebraie qui est tendance à tous les liens donc et la région liquide satisfaite l'équation de burgers aussi pour les autres et donc un curve on veut compter des FGs ok, on va faire un guess en fait c'est un peu plus subtil ce que je pense que le bon guess est ok, le bon guess est un peu plus subtil prends un slice vertique de cette picture et prends la densité de ce bleu et la densité de ces bleus défend un curve spectraal qui dépend de quel slice vous choisissez donc si vous choisissez ce slice vertique ou ce slice vertique ou ce slice vertique vous avez une autre densité ok donc vous avez une famille de densités mais depuis qu'elles sont liées par les equations burgers cela signifie que elles sont tous simplétiquement équivalentes donc en fait elles compteront tous les mêmes FGs grâce à l'équation de burgers donc la conjecture dont vous ne pouvez pas lire la conjecture est que les FGs devraient être les FGs compétus pour ces densités et de toute façon je dirais qu'il y a des cas où cela s'est prouvé c'est parce que en fait ce sont des partitions de 3D partitions c'est plus ou moins ce qu'est la compétition de Donaldson et Thomas en variantes pour certains calibres ou des manifs qui sont équivalents à la variante de gramma et de toute façon les FGs sont en variante de gramma dans les cas où cela correspond à un problème de geometry animerique de toute façon cela s'est prouvé par Okunkov et de ces collaborateurs mais en général pour des domaines ce n'est pas prouvé ce blue curve n'a pas de points de branche en fait il y a un point de branche ici et un point de branche ok c'est pas proté de la compétition c'est proté par moi ok alors ce que je voulais vous montrer c'est que si vous changez la variante verticale le curve réellement change mais ça change par un symplectomorphisme qui conserve les FGs c'est juste un exemple peut-être que je dois mieux arrêter ici je pense je veux dire quelques mots juste un autre récemment c'est parce que les théories conformes sont devenues un sujet très important parce qu'il s'agit d'un conjecture AGT ce n'est pas vraiment un conjecture mais c'est possible qu'il s'agit d'un conjecture AGT mais qui dit que les fonctions de corrélation des opérateurs dans la théorie conformes je ne veux pas expliquer ce que cela veut dire sont très close de ce qu'il s'appelle les fonctions de parties et tout mais la chose est peut-être que vous puissiez en particulier, peut-être que vous puissiez les fabriquer dans une certaine limite la théorie conforme conforme dépend de la charge centrale qui est usually written in this way 1 plus 6 q² et on peut dire peut-être que nous puissons ces choses dans la large Q limite c'est appelé la haute limite et nous voulons puissons cela dans la large Q limite donc vous voulez expliquer la fonction de la théorie conforme dans deux forces de Q dans la large Q de nouveau, cela va avec les forces de Q et vous vouliez compter les FGs et de nouveau cela est conjecturé que les FGs ici sont composés par la réduction de la théorie topologique d'un curve spectra et la curve spectra devrait être ... une fois une fois une fois une fois une fois une fois des expressions qui est en fait de la tension énergie dans la théorie conforme donc la tension énergie donne la curve spectra et une fois que vous savez que la tension énergie c'est le limite classique de la tension énergie vous avez une curve spectra vous devez obtenir l'expansion de l'FG correspondant à cette grande expansion. Donc, c'est encore une conjecture. Mais on a des bonnes raisons pour croire que c'est correct. Et ce que ça veut dire, un Y et un X dans le quartier? C'est non commutatif. Oui, c'est non commutatif. Ok, je ne veux pas... Ok, je ne veux pas... Ok, il y a un moyen de définir le K dans le cas non commutatif comme vous pouvez toujours appeler cette recursion. C'est quelque chose que nous avons fait en particulier avec Tchaikov et Olivier Marchal. C'est ici, mais ce n'est pas fini. C'est toujours en progrès. Le curve est à l'algebra, mais si vous le faites non commutatif, ok. Ok, je vais juste conclure. Donc, à l'initial, la recursion en particulier a été introduite dans les modèles métriques et, en effet, cela permet de trouver l'expansion large de les modèles métriques par un genre d'algorithme explicitaire. Donc, tout de suite, cela résoudra le problème de l'expansion large de les modèles métriques. Et si vous l'abstractez par les modèles métriques, si vous l'appelez à un curve arbitrage, cela définit quelques intérêts intéressants, ce qui s'appelle l'invariance du curve. Ils ont beaucoup de très intéressants, fantastiques propriétés mathématiques. Je pense qu'ils doivent juste être étudier parce que c'est cela. Mais ils ont beaucoup d'applications. Par exemple, le fait qu'ils compute Gromov with an invariance pour certaines classes de Calabia, donc ces locales Calabias, ont été prouvues, mais... Vous pouvez ouvrir Gromov ? Oui, ouvrir. Mais pour ces locales Calabias, c'était prouvé. Mais, à plus de cela, ce n'est rien de renon. Le fait que cela s'applique à John's Polynomials, c'est un total mystère à l'époque. Mais il est là. Donc, beaucoup d'interessants pourront prouvoir toutes ces constructures. En effet, avoir une fréquence générale pour faire cela, serait très sympa. Et aussi, comprendre ce que cette photo veut dire, serait très sympa. Merci pour votre attention. Est-ce qu'il y a une photo de deux pièces sur la gauche ? Deux pièces ? Oui. Peut-être qu'il y a une pièce sur la gauche, mais deux pièces sur la droite. Peut-être qu'il y a une forme de couleur, mais c'est toujours... Ok. C'est comme une fonction harmonique ? Non, ce n'est pas... C'est vraiment... La forme de l'équation est vraiment... Ok, je vois ce que tu veux dire, mais c'est l'autre. Il y a quelque chose d'autre qui s'appelle l'interessant. Il y a une possibilité avec deux pièces sur la gauche, mais ce n'est pas ça. Mais tu peux toujours faire deux pièces, pour la première marque, et puis pour la deuxième marque. En fait, c'est... C'est comme on prouve la symétrie xy. On le fait deux pièces, ou c'est aussi comme on prouve que c'est symétrique dans les bandes différentes. On le fait deux pièces, dans différents ordres, et on vérifie les matchs. Je ne sais pas.