 Volvemos al aspecto de función de los polinomios y vamos a definir las raíces. Sea P un polinomio con coeficientes en el cuerpo K y nos preguntamos si existen elementos alfa del cuerpo tal que P de alfa es igual a cero, el elemento neutro para la suma de K. Si alfa satisface esta igualdad se dice que alfa es una raíz de P y vamos a ver unos ejemplos. Si P de X es igual a X menos A entonces deducimos que P admite sólo una raíz, lo que corresponde al elemento A. Luego consideramos el polinomio X al cuadrado más X más 1 en F2 en el cuerpo finito de dos elementos y ya que F2 sólo tiene dos elementos, simplemente comprobamos si estos dos elementos son raíces del polinomio y vemos que en F2 este polinomio no admite raíces. Por fin consideramos X cubo más 2X en F3, este cuerpo tiene tres elementos, comprobamos si son raíces y deducimos que P el polinomio P admite tres raíces en F3. A continuación vamos a considerar los polinomios del segundo grado en R tal que P de X es igual a X cuadrado más 2AX más B donde A y B son números reales. Intentamos de hallar las raíces de P, suponemos que P de X es igual a cero, añadimos si restamos A al cuadrado del lado izquierdo y deducimos la igualdad siguiente. Ahora distinguimos dos casos, si A cuadrado menos B es estrictamente inferior a cero entonces la igualdad anterior corresponde a la suma de un término positivo y un término estrictamente positivo, lo que significa que esta expresión no puede ser igual a cero y entonces P no admite raíces en R. Por otro lado si A cuadrado menos B es positivo definimos delta un número real igual a raíz de A cuadrado menos B. Aplicamos la igualdad siguiente y deducimos que la expresión anterior se puede escribir como el producto de dos polinomios de grado 1 y además que menos A más delta y menos A menos delta son raíces del polinomio. Así hemos encontrado dos o una si son iguales entre ellas raíces de P y a continuación vamos a ver que no hay más para los polinomios de grado 2. Vamos a demostrar el teorema siguiente. Un polinomio de grado n, n diferente de menos infinito tiene como máximo n raíces. Para demostrar este teorema primero vamos a demostrar un paso intermedio, un lema. Sean P, Q y R, polinomios tales que P es igual al producto de Q y R y el lema dice que si alfa es una raíz de Q o R entonces alfa es una raíz de P y por otro lado si alfa es una raíz de P entonces alfa es una raíz de Q o R. La demostración es bastante sencilla si R de alfa o Q de alfa es igual a cero entonces P de alfa es igual a cero. Esto prueba la primera afirmación y por otro lado si R de alfa y Q de alfa son diferentes de cero entonces debe ser que P de alfa es diferente de cero lo que prueba la segunda afirmación. Y ahora vamos a demostrar el teorema, una demostración por inducción sobre el grado de P. Primer paso si P es de grado cero entonces P es igual a un número no nulo y así deducimos que P no admite raíces. El segundo paso, asumimos que para todo K inferior a n si el grado de P es igual a K entonces P admite como máximo K raíces. Y ahora sea P un polinomio de grado n más 1. Vamos a demostrar que P admite como máximo n más 1 raíces. Distingimos dos casos. Si P no admite raíces no hay nada más que hacer la hipótesis de inducción sigue siendo cierta sino sea alfa una raíz de P y calculamos la división euclídea de P por X menos alfa. Así deducimos que existe un cociente Q y un resto R tal que el grado de R es inferior al grado de X menos alfa es decir R tiene grado cero o menos infinito. Si R es de grado cero entonces R de X es igual a un número no nulo beta pero en este caso P de alfa es igual a beta lo que contradice que alfa es una raíz de P entonces R tiene grado menos infinito lo que significa que R de X es igual a cero. Y ahora estamos listos para concluir. Sabemos que P de X es igual a X menos alfa veces Q de X. Ya que Q tiene grado n la hipótesis de inducción dice que Q tiene como máximo n raíces. Y aplicando el lema anterior con los polinomios P, Q y X menos alfa deducimos que P admite como máximo n más una raíces. Este teorema tiene una consecuencia importante que utilizaremos cuando explicaremos la compartición de secretos que dice que si dos polinomios de grado n tienen n más 1 puntos distintos en común entonces estos polinomios son iguales. Vamos a demostrar esta afirmación sean P y Q polinomios de grado n y asumimos que existen elementos del cuerpo alfa 1 hasta alfa n más 1 distintos entre ellos tal que P de alfa y es igual la Q de alfa y para todo y. Ahora consideramos el polinomio P menos Q. El grado de P menos Q es inferior a n pero el polinomio P menos Q tiene más de n más una raíces que corresponden a los alfa y. Esto puede ser solo si P menos Q es igual a cero y así se acaba esta demostración. Seguimos con una pregunta si P y Q son polinomios de grado n y m respectivamente, ¿cuántas raíces admite como máximo el polinomio P veces Q? Esperamos un momento. Espero que hayáis visto razonando sobre el grado del producto o usando el lema anterior que P veces Q admite como máximo n más m raíces. Por fin os pedimos de hallar las raíces del polinomio P siguiente en R. Para ayudaros notamos que el polinomio P admite las mismas raíces que el polinomio Q siguiente.