 ... Petite remarque, comme livre de base, mes livres préférés sur la relativité général restent le volume 2 de l'Anda Hollywood, théorie des champs, le Weinberg Gravitation et Cosmologie, qui date pourtant, j'ai hâte 72. Il y a un livre très récent, sorti en 2013, que je trouve excellent, parce que c'est celui de Norbert Strauman, deuxième édition, qui vient de sortir et qui est à la fois mathématiquement complet et physiquement très précis et qui incorpore des résultats récents. Pour le côté plus mathématique, je vous rappelle que les livres de Mme Chauquet et Cécile de Witte, Analyse Manifold & Physique, c'est excellent, et que Mme Chauquet-Brouillard a publié, en train de travailler sur un nouvel ouvrage, mais a publié un livre sur la relativité général et les équations d'Einstein. Vous avez des questions mathématiques. Pour le côté vraiment relation entre relativité générale et expérience, il y a un livre déjà un peu ancien de Clifford Will, ainsi qu'une Living Review on Relativity, qui est disponible sur le web. Et comme je crois que je l'ai déjà indiqué, et pour quelque chose de beaucoup plus résumé, mais à qui donnent toutes les références sur les tests récents, c'est la revue que je garde sur la page web du Particle Data Group, qui est disponible gratuitement, Particle Data Group. Vous allez sur Reviews, et vous avez en quelques pages une revue sur la relativité générale et sa confrontation à l'expérience. Petit rappel, donc, de la dernière fois, juste pour ceux, si on n'était pas là. Donc l'essentiel de ce que j'ai dit, c'est que localement, quand vous avez un espace-temps, c'est dorimanien, un espace-temps courbe, disons, ou un espace courbe, il existe la notion plus riche que celle d'espace-temps, qui est l'espace-temps osculateur, donc un espace plat osculateur, soit en un point, soit le long d'une ligne quelconque, qui est définie par le fait qu'il existe des coordonnées, qui ici sont des projections quand vous êtes en plongement dans un espace éclidien plus grand, telles que la métrique courbe locale se réduit à la métrique plate, à des termes du deuxième ordre, par rapport à la distance au point P. Et ça, ça conduisait immédiatement à la notion de transport parallèle d'un point P à un point P prime dans un espace rimanien quelconque, et en formule, donc localement, ce transport parallèle voulait dire que c'était le transport parallèle dans l'espace plat osculateur, et du coup, techniquement, il apparaît ces quantités qui s'appellent coefficient de chrysophale ou coefficient de la connexion dans une base naturelle, et dans une base naturelle quelconque, l'équation qui donnait les composantes du transport parallèle du vecteur V en un point P prime à filment voisin était ses composantes au point P, moins quelque chose qui était une matrice qui fait, en un sens, tourner les indices, et cette matrice qui a donc ces indices de matrice était quelque chose qui était une forme linéaire dans la distance infinitesimale de P à P prime, donc c'est ce qu'on appelle une informe, thématiquement, ce que justement il manque l'indice lambda. Et les coefficients de cette informe de connexion sont précisément les coefficients de chrysophale, et de là venait la notion dérivée co-variante qui étant donné un champ de vecteurs, qui avait un indice de plus du type co-variant par cette formule, et si on avait un champ de co-vecteurs, on avait la même formule, mais avec un signe moins, et puis les indices, en gardant l'indice de dérivation à droite, ils n'avaient pas à se tromper. Et aujourd'hui, on va expliquer... Donc la dernière fois, j'ai été resté au niveau de la connexion, et aujourd'hui, on va aller au niveau de la courbure pour pouvoir aller plus loin dans les équations d'Einstein. Alors... Oui, je vais peut-être écrire dans un coin, ici. Alors, il y a la notion de courbure d'un espace riemannien, ou pseudo-rimannien, à plusieurs facettes, et peut être définie, donc on peut l'approcher de plusieurs façons. L'une consiste à continuer le comptage que je faisais la dernière fois, qui est que, quand vous avez localement les coefficients de la métrique dans des coordonnées, vous utilisez la liberté qu'il y a d'une transformation de coordonnées locales pour essayer de réduire cette écovision de la métrique à la forme la plus simple possible. Donc on a vu qu'en prenant les changements de coordonnées localement, donc, x-alpha, au point x-en-da, valet, x-alpha au point P, plus des termes du premier ordre, qui sont les dérivés premières de ça, fois la différence, disons, x-mu au point P, plus après des termes en dérivée seconde, au point P, avec appelons ça delta x-mu, delta x-mu. Donc, cela permettait de réduire l'écovision de la métrique à une forme canonique. Cela avait juste le nombre de composantes qu'il fallait pour pouvoir réduire les dérivés premières à zéro. Donc ici, il n'y a pas de termes du premier ordre. Et, à l'ordre suivant, vous avez un certain nombre de coefficients, delta x, delta x, delta x, mu nu lambda. Et maintenant, faisons le comptage, le nombre de coefficients que vous avez à cet ordre-là, donc la liberté que vous avez pour changer la métrique, comme vous voulez, c'est... Alors, il y en a dans l'espace à dimension n, ça, ça a n valeur. Et là, vous avez... Chacun prend une valeur, mais c'est 6 métriques. Donc, du coup, ça donne n, n plus 1, n plus 2 sur 1, 2, 3. Bien. En vanche de l'autre côté, vous essayez de simplifier les dérivés secondes de la métrique. x capa, x lambda. Et là, vous êtes symétrique dans cette paire d'indices, et symétrique dans cette paire d'indices. Donc, vous en avez n, n plus 1 sur 2, le tout au carré. Et maintenant, vous trouvez qu'il y en a plus ici que là, et que la différence, ça, moins ça, ça va donner le nombre de dérivés secondes de la métrique que vous ne pouvez pas réduire à zéro. Et cette différence, vous trouvez qu'elle vaut n2, n2 moins 1 sur 12. Donc, ce simple abrogement de comptage dit que, localement, au niveau des dérivés secondes de la métrique, c'est-à-dire des termes en delta x2, je ne peux pas les réduire à zéro, mais en tout cas, je peux les réduire à un certain nombre de composantes qui est plus petit que ce nombre total, mais qui doit rester ça. Et ça, c'est la façon dont Riemann a introduit, en fait, la courbure. Et effectivement, on verra que la courbure a ce nombre de composantes indépendantes. Alors, la deuxième façon d'introduire la courbure, c'est en utilisant le transport parallèle, puisque si vous prenez un vecteur au point P, vous pouvez commencer à le transporter parallèlement en un point infiniment voisin qui diffère, qui est en un point P prime, mais qui, dans le système de coordonnées, que vous considérez à des coordonnées x mu plus d1 de x mu, puis après, ce même vecteur, il faut que je le mette comme ça, donc il arrive ici. Vous pouvez le transporter dans un deuxième vecteur d2 de x mu dans une autre direction, donc il arrive quelque chose par là. Et puis après, vous le transportez en sens inverse de ça, et puis vous fermez le parallèle au gramme, et donc vous posez la question. Après avoir fait comme ça un tour infinitésimal, donc c'est la question de l'holonomie du transport parallèle, le transport parallèle ne va pas retourner sur le vecteur tel qu'il était au point initial, mais il va en différer. Et si vous faites le calcul, comme le faisait Einstein et Carton, donc après avoir fait une boucle comme ça, au point P, la différence dans une base naturelle des coordonnées, vous trouvez quoi ? Comme les transports est toujours des matrices qui agissent sur le V, vous allez trouver qu'il y a une certaine matrice qui agit sur le vecteur V de départ, sur les composants du vecteur, mais cette matrice, elle va maintenant dépendre de l'air infinitésimal de ce petit parallèle au gramme, qui est donc quelque chose qui est fait avec ces deux vecteurs-là, deux vecteurs infinitésimaux. Et en fait, il est facile de voir que c'est quelque chose qui est antisymmétrique quand vous faites dans le sens des deux d'abord, et puis des uns dans l'autre sens. Donc, si vous faites vraiment le calcul, vous trouvez que ce truc-là s'écrit comme étant un certain objet à quatre indices, fois des 1 de x alpha des 2 de x beta, où on est antisymmétrique par rapport à ces deux indices. Et donc ça, mathématiquement, ça veut dire que c'est une deux forme, quelque chose qui, deux formes à valeur dans GLN ici, donc, non, les matrices infinitésimales N par n, qui est évaluée ici sur l'air du parallèle au gramme. Donc ça, comme c'est antisymmétrique, je peux aussi écrire en mettant le produit extérieur, c'est-à-dire le tenseur fait de tous les produits des deux directions infinitésimales dans un sens et dans l'autre. Et ça, c'est en fait une des façons commottes de calculer la courbure, c'est que, si maintenant vous connaissez les formes différentielles de cartons, même si j'en ai pas besoin pour ici, mais juste pour dire, si vous définissez la 1 forme de connexion omega de cette façon, eh bien, l'objet omega munu qui apparaît là-bas, c'est une deux forme qui est obtenue à partir de la différentielle de la 1 forme, de façon très simple. Ça, c'est le produit extérieur des formes. Donc, techniquement, c'est souvent la façon la plus commotte de calculer la courbure. Mais maintenant, les coefficients de cette deux formes, deux formes de courbure, c'est-à-dire si j'écris ça sur les formes, ça s'écrira comme un demi du R-menu alpha-beta dx-pha dx-beta, où ça, c'est considéré comme un forme et ça, c'est l'évaluation de ces formes sur en fait ce parallélogramme infinitésimal. L'autre, enfin, la 3e facette de la courbure, c'est de dire j'avais une dérivation co-variante et la dérivation co-variante, on peut calculer le commutateur de déderivée co-variante. Si on était dans l'espace plat par l'identité de Schwartz, calculer le commutateur de déderiveur co-variante agissant sur un vecteur ici avec un indice en haut, devrait donner zéro. Et comme ce n'est pas une dérivée co-variante dans l'espace plat, on trouve que c'est non nul. Et comme ça, apparaît cet objet, le R-menu alpha-venu. Si vous faites le même calcul sur un objet qui est un chanco vectoriel, donc il y a l'indice en bas, vous trouvez la même chose, enfin, oui, avec un signe moins. Et ici, vous complétez les indices. La matrice, l'indice de la matrice, c'est comme ça. Il faut toujours mettre les indices en gardant une place ici, parce que cet indice après va tomber en bas, donc en gardant ici comme une forme matricielle, il y a deux indices antisymmétriques à droite. Et soit vous faites le calcul par la formule de carton que j'ai écrite ici, omega égalder omega plus omega produit matriciel avec omega, soit vous le faites directement le calcul par la commutation des dévets co-variantes, vous trouvez ce résultat explicite. Ça, ce raisonnement, comme on a utilisé que des transports parallèles de vecteurs, ça prouve que cet objet-là doit être un tenseur dont la variance est indiquée, c'est-à-dire une fois contre-variant et trois fois co-variant. Donc ici, à partir des coefficients de la métrique, on a dé fini les coefficients de la connexion, qui en européen naturel sont donnés par cette formule, donc qui sont au niveau des premières dérivés de la métrique. Et ici, on a un objet qui contient des dérivés de ces gammas plus des gammas-gammas, donc il y a des dérivés secondes de la métrique et qui expriment ce que l'on ne peut pas éliminer de l'aspect courbe de l'espace-temps d'où l'on est, et qui est donné par cette formule explicite. Cette formule explicite, sous cette forme-là, elle a l'air un peu compliquée, mais il y a deux façons de toujours se souvenir de cette formule, soit de penser à la formule de Cartan, ici, comme ça, on sait comment les indices se font, les indices matriciels sont toujours ensemble, soit il y a un truc simple qui consiste à dire vous prenez les coefficients de la connexion, cette fois vous êtes encore donné quelqu'un, et formellement vous considérez que c'est quelque chose qui est vectoriel contre-variant par rapport à cette indice-là, et ces indices-là ne comptent pas. Et maintenant, vous calculez la dérivée co-variante par rapport à l'indice alpha de ça, donc ça donne cette dérivée-là ordinaire plus ce terme-là, et vous soustrez la même chose en échangeant alpha-beta en beta-alpha, ce qui donne les termes dans la deuxième ligne ici. Donc ça, c'est une formule simple aussi pour se souvenir de la définition de la courbure. Donc ça, c'est ce qu'on appelle le tension de courbure de Riemann-Christophel. Alors on a dit que la propriété du comptage ici disait que cet objet devrait avoir ce nombre de composantes-là en dimension n, n au carré x n au carré moins 1 sur 12. Comment ça se fait ? Eh bien, ce n'est pas évident quand on le voit sous cette forme-là, mais il y a plusieurs façons, il y a des identités algébriques qui sont satisfaits par les composantes du tenseur de Riemann-Christophel, et il y a plusieurs façons de le voir, une façon... Simplement technique, c'est que si vous utilisez un système de coordonnées localement cartésien, ou donc les dérivés premières de la métrique sont nul, et si vous abaissez l'indice qui était en haut du tenseur de Riemann-Christophel, donc c'est quelque chose qui devient... qu'il y a quatre indices comme ça tous au même niveau, et si vous le calculez... Abaissez l'indice, je vous rappelle, ça veut dire que vous le baissez par la métrique, du alfabetta. Et si vous faites le calcul local, vous trouvez que cet objet est une somme de dérivée seconde, mais c'est une combinaison des dérivées secondes qui introduit ces quatre permutations des quatre indices ici. Et donc ça, c'est vrai dans un système local, c'est-à-dire, en fait, c'est vrai modulo des termes qui sont quadratiques dans les dérivés premières de G. Et si vous connaissez un peu la théorie des tenseurs irréductibles, en fait, on reconnaît tout de suite que cet objet-là est un objet à quatre indices qui a les symétries d'un tableau de Jung de ce type-là. Qu'est-ce que ça veut dire un tableau de Jung ? Ça veut dire que cet objet-là va être antisymmétrique dans l'indice munu, ici, de la première colonne, parce que vous voyez directement ici, parce qu'à chaque munu, il y a un terme moins en sens inverse. Oui, par exemple, celui-là doit être celui-là. Et puis, il est antisymmétrique dans les indices de la deuxième colonne. Et en plus, si vous faites une somme cyclique sur trois indices, par exemple, ces trois-là ou ces trois-là, vous trouvez zéro. Et la théorie des tableaux de Jung, donc vous avez ces identités, donc j'en ai créé une. Hermes Munu, Alphabeta, et aussi antisymmétrique par rapport à la première paire d'indices, etc. La somme sur trois indices, par exemple, ici, somme cyclique est égale à zéro. Et ça, ça implique que le nombre de composantes indépendantes est bien le chiffre que j'ai écrit ici, n2, n2 moins 1 sur 12. En dimension 4, le nombre de composantes indépendantes de la courbure vaut 20. Donc ça, c'est égal à 20, n égale à 4. Alors, l'autre objet essentiel lié au tenseur de courbure, comme on a ici un tenseur dans les indices sous forme naturelle, sont comme ça, on peut essayer de faire des traces par rapport à un indice du haut ou un indice du bas. Et vous définissez comme ça le tenseur de Ricci, qui est obtenu en faisant la somme, c'est à dire la contraction sur l'indice du haut et un indice au milieu. Comme cette paire d'indices est antisymmétrique, il y a deux conventions, soit vous faites la trace par rapport au dernier ou par rapport à celui-là, c'est la même chose au signe près. Avec cette convention-là, le tenseur de Ricci est une forme quadratique définie positive sur la sphère. Donc c'est la bonne convention que maintenant tout le monde utilise. Donc cet objet-là, c'est un objet... D'abord, ce n'est pas totalement évident à ce niveau-là, mais il est symétrique par rapport aux indices munus. Vous pouvez le voir si vous le calculez explicitement et vous le voyez à partir de ça, qu'il est symétrique. Ça, c'est le tenseur de Ricci. En dimension quelconque cet objet-là a donc N, N plus 1 sur 2 composantes. Et en dimension 4, ça, ça vaut 10. Donc, vous voyez que le tenseur de Ricci contient la moitié des composantes indépendantes du tenseur de Riemann Christofel. Et enfin, vous avez le scalaire de Courbure, qui est obtenu à partir du tenseur de Ricci en contractant les deux indices symétriques par rapport à la métrique. Donc ça, ça a une seule composante. Donc ça, c'est Ricci. Ça, c'est le scalaire de Courbure. Et puis, finalement, il y a la combinaison suivante. R-G Munu, qui s'appelle le tenseur d'Einstein, parce qu'il a été introduit par Einstein et parce qu'il a introduit dans les équations d'Einstein. Et de façon curieuse, cet objet-là n'a pas une notation sur lequel tout le monde est d'accord. Dans le monde anglo-saxon, ça s'appelle grand G Munu, parce que c'est le tenseur de géométrie aux membres de gauche des équations d'Einstein. La matière étant dans le monde de droite. Dans le monde français traditionnel, il s'appelait S Munu, parce que c'est la lettre après R, je pense. Certaines personnes essaient de l'appeler E Munu, E étant pour Einstein, mais ça ne prend pas particulièrement. Dans la littérature mathématique, cet objet-là s'appelle Ein, pour Einstein, et puis ça, c'est les composantes naturelles du tenseur d'Einstein. Alors, ici, j'ai dit qu'il y avait que la courbure satisfaisait des identités algébriques. Elle satisfait aussi des identités différentielles, qui peuvent se voir de plusieurs façons. Soit vous utilisez le formis des deux formes et vous introduisez, en fait, au lieu d'introduire les dérivés covariantes de quelque chose, vous pouvez introduire la différentielle covariante de carton, c'est-à-dire agissant sur n'importe quel objet. Vous en prenez la dérivée covariante et puis vous contractez cet indice-là par un élément de la base d'un forme d'Ix lambda pour définir un objet qui agissant, par exemple, sur un vecteur serait un vecteur, qui reste un vecteur, mais qui a évalué dans un forme. Et quand vous utilisez ce langage-là, juste pour... On ne l'utilisera pas, vous vérifiez que la deux formes de courbure satisfait simplement le fait que sa différentielle de carton covariante est égale à zéro. Et ça, c'est un calcul assez simple, parce que vous utilisez le fait que omega... Je ne veux pas écrire tous les indices, c'est la formule que j'ai écrite ici, c'est d'omega plus omega wedge omega, et puis vous calculez ce d, veut dire d plus omega wedge omega, puis vous faites le calcul à partir de là, et c'est assez simple et vous trouvez que c'est égale à zéro. Donc ça, c'est une façon rapide. En composant, c'est tout aussi rapide, parce que si vous êtes dans un système de coordonnée localement cartésien, comme cette égalité est vraie à des termes quadratiques dans les dérivées premières, cette égalité reste vraie si j'en prends la différentielle première, non covariante, parce que si je prends une dérivée partielle, je vais avoir des dérivées troisième des nu, et puis ici, je vais avoir des termes du type dérivée seconde de g, mais il restera une dérivée première de g. Donc ça, ça reste nul en un point. Et donc, du coup, vous pouvez voir directement que le tenseur de Riemann-Christophel satisfait une identité du type. Je vais l'écrire avec la notation ancienne de la dérivée covariante. C'est à dire, vous prenez une dérivée covariante à droite et vous faites une somme cyclique. C'est à dire, cette paire d'indices est antisymmétrique. Donc, faire une somme cyclique sur ces trois indices revient à prendre l'antisymmétrie, en fait, sur les trois indices et vous trouvez que c'est égale à zéro. Identiquement. Donc vous avez ces identités, qui s'appellent les identités de Bianchi, général, et en prenant une trace des identités de Bianchi, en fait, vous démontrez une autre identité qui est que la dérivée covariante contractée du tenseur d'Einstein, c'est-à-dire ici, je prends le tenseur d'Einstein, je monte un indice, donc ça donne R-minu, moins d'un demi de R, delta-minu, et autrement dit, c'est la même chose que nablamu de G-minu, et ça, c'est identiquement nul. Cette identité avait été trouvée en fait par les... Cette la avait été trouvée par les géométries italiens, Bianchi et ses étudiants. Celle-là, en fait, n'avait pas été trouvée, où elle a été perdue, et elle a été démontrée par Einstein lui-même. C'est-à-dire Einstein, quand il a commencé à trouver la relativité GERA, travaillait vraiment en composante, et il a trouvé, par des calculs compliqués, que ça satisfait une identité de ce type-là, et ce n'est qu'après la publication d'Einstein que les mathématiciens ont retrouvé que Bianchi avait trouvé quelque chose qui impliquait ça. Alors, maintenant, les équations d'Einstein, avec... Donc, j'ai introduit rapidement la dernière fois. Je vais les laisser dans un coin. L'action totale de la matière est la somme de l'action de la gravitation, qui ne dépend que de G, plus l'action de la matière, qui dépend des champs de matière, comme des fermions, des champs de Gauche, comme le champ de Maxwell, un champ scalaire comme le champ de Brault-Anglère-Higgs, que vous venez de découvrir, disons, et puis, on prend le Lagrangien du modèle standard de la relativité restreinte, ou des approximations, et on remplace partout la métrique de la relativité restreinte par la métrique courbe. Et quand il y a des dérivés ordinaires dans certains champs, comme dans les termes cinétiques, il faut utiliser la connexion, et donc vous remplacez la connexion triviale de l'espace de Minkowski par la collection de Levy-Civita. Tropement dit, ici, vous remplacez Eta par G, et ici, vous remplacez les dérivés ordinaires par les dérivés co-variantes. Maintenant, on peut définir le tenseur d'énergie impulsion de la matière, Téminu, comme étant égal à la dérivée variationnelle, un facteur 2 sur racine de G, où G, je vous rappelle, désigne la valeur absolue du déterminant de Géminu, donc, moins foi le déterminant de Géminu, la dérivée variationnelle de la matière par rapport à Géminu. Alors, qu'est-ce que ça veut dire, dérivée variationnelle ? Dérivée variationnelle, ça veut dire l'action est une certaine intégrale qui dépend d'hiverchants, et vous variez... Donc, une intégrale d'un certain Lagrangian sur l'espace-temps. Vous variez ici la métrique et les dérivés premières de la métrique quand elle apparaît. Vous intégrer par partie, et vous écrivez ça, modulo des termes de surface que, ici, vous ne regardez pas, sous la forme suivante, des quatre X divisé par C, ce qui est une convention, mais c'est parce que je vous rappelle que X0 vous cété donc en unité ordinaire, vous ne voulez vous les détter des trois X. Et ici, il apparaît la racine carré de ce déterminant-là, qui est un élément de volume de l'espace-temps, et il apparaît le coefficient en un point X de delta Géminu de X. C'est comme ça, c'est la définition de Téminu. Donc, ça, donc plus des termes de surface. Si vous appliquez ça, par exemple, à Maxwell, juste comme pour voir, vous savez que, si vous avez eu des cours de théorie des champs, bonjour Yvonne, qu'il y a plusieurs façons de définir le tenseur d'énergie impulsion. La méthode de base consisterait à utiliser le théorème de notaires, c'est à dire qu'il y a certaines symétries de la relativité restreinte, un variant sur le groupe de point carré, qui implique, quand vous avez eu une action à tout groupe de symétries et à des quantités conservées, et ça, ça définit un tenseur d'impulsion énergie, qui n'est pas nécessairement symétrique, mais il y a une façon canonique de le rendre symétrique. Mais en fait, on démonte que ce résultat-là, qui vient de la relativité restreinte, il est équivalent à dire, je prends l'action de la matière, je la coupe à un champ courbe extérieur, et maintenant, la dérivée variationnelle de l'action de la matière par rapport à ça est égale à un objet symétrique à deux indices, qui est justement le tenseur d'énergie impulsion symétrisée. C'est, semble-t-il, le mathématicien Hilbert, qui a été le premier à comprendre ça et à définir du coup le témunu comme ça. Et si vous faites ça, par exemple, pour Maxwell, le Lagrangian de Maxwell, en unité CGS, il y a un facteur 1 sur 4 pis, sinon il y a un quart. Donc c'est F-munu carré, mais quand vous êtes dans un espace courbe, il faut que vous contractiez les indices de la bonne façon, donc par la métrique courbe, donc ça vous donne ça. Et maintenant, donc ici, le F-munu, c'est simplement pour Maxwell le rotationnel du changeauge, donc il n'y a pas des coefficients... On pourrait aussi mettre des dérivées covariantes, comme les gammas sont symétriques, de toute façon, ça ne reste pas là. Et donc, la dérivée variationnelle par rapport au G vient uniquement de ces termes algébriques-là, donc vous devez différencier le G qui est le G inverse du G ordinaire et quand vous faites le calcul, vous trouvez que le témunu pour Maxwell, c'est un calcul assez simple que je vous engage à faire, est égal à 1 sur 4 pis de F-munu moins un quart de G-munu F-beta où ici, je dois juste compléter les indices, c'est-à-dire ici, les indices sont montés, sauf celui-là qui n'est pas monté, et puis vous contractez comme ça et les indices mu et nu doivent être les premiers ici. Et ici, par exemple, vous calculez la composante T00, vous trouvez que c'est 1 sur 8 pis du champ électrique carré plus de champ magnétique carré, donc la normalisation du témunu est bonne. Avec cette définition du témunu et avec... On va maintenant démontrer que si l'action de la gravitation est égale, comme je l'ai indiqué la dernière fois, à l'intégrale, enfin, c'est la définition de Einstein et Hilbert, le racine de G de C4 sur 16 pi G2 du scalaire de Courbure que j'ai défini ici. Si vous introduisez le sol de gré de liberté possible dans la théorie d'Einstein qui est une constante cosmologique, qu'on va discuter dans un moment, cette constante cosmologique apparaît avec un signe moins et un facteur 2 par rapport à R2G. Donc maintenant, démontrons que les dérivées variationnelles, ici, donnent les équations d'Einstein, c'est-à-dire... Là, j'ai défini ici le tenseur d'Einstein. J'utiliserai ici la notation anglo-saxon, gémunu, juste pour fixer les idées. Les équations d'Einstein donnent gémunu plus l'ambda gémunu est égale à 8 pi G sur ces quatre témunus. Ou, témunu est le tenseur obtenu à partir de celui-là qui était deux fois contravayant en baissant les indices par la métrique G. Alors démontrons ça. Ça, c'est un calcul variationnel. On prend l'action d'Einstein et BERT, et qui est donc une fonctionnelle qui dépend de G à la fois à travers le terme gravitationnel et à travers le fait que la matière ici dépend de G. La dévationnelle de la matière par rapport à gémunu, par définition, j'ai dit, ça donne ce terme-là. Où il apparaît un coefficient un demi qui est mis là par définition. Comme ici, vous avez un coefficient 1 sur 16 pi. Vous voyez que la première partie d'Einstein va avoir un coefficient 1 sur 16 pi, ici un coefficient un demi. Ça explique pourquoi je vais avoir 8 pi G dans le membre de droite, puisque il y avait en fait un demi de Téminu et puis il y avait un sur 16 pi G à droite. Donc expliquons comment, effectivement, la dévationnelle de... Donc là, je supprime les coefficients et je considère la partie essentielle de l'action d'Einstein, celle-là. Et là, on va faire un calcul variationnel. Cette action, je varie G partout. Donc varier... Et je peux être en dimension n quelconque. Quand vous variez G partout, vous avez soit... Algébricement, vous devez varier le gmunu qui est ici à gauche, donc il reste rmunu, ou vous avez un deuxième terme qui est racine de gmunu delta rmunu de g. Calculons d'abord le premier terme, juste pour que vous ayez vu ça une fois dans votre vie. Donc je veux la dévationnelle. J'ai définité gmunu comme étant la dévationnelle par rapport au gmunu en bas, la métrique co-variante. Pour faire ici la dérivée, la variation... Donc delta, ça veut dire que... Delta, pour n'importe quel champ fi, ça veut dire que j'ai en un point un champ fi varié. Je l'ai changé un peu et je fais la différence par rapport au premier champ tel qu'il était. C'est une variation de la métrique. Donc, en un point. Comme le g avec les indices en haut est défini comme étant la matrice inverse, ça, quand vous variez cette identité, vous trouvez que delta gmunu sigma plus gmunu sigma delta gmunu sigma est égal à la variation de quelque chose qui est un nombre, qui sont des nombres, le symbole de Christopher, qui vaut la matrice diagonale et donc ça donne zéro. Donc vous en déduisez de ça que varier le gmunu en haut, c'est équivalent à varier le gmunu en bas, mais avec un signe moins et puis en montant les indices. C'est un calcul facile. Autrement dit, je suis en train de calculer la variation d'une matrice inverse comme étant moins la variation de la matrice et puis la matrice et la matrice inverse qui apparaissent à droite. La matrice inverse qui apparaît deux fois. Il reste aussi, ici, j'ai la racine carré du déterminant de g. Pour ça, il faut se souvenir d'une formule sur la variation d'un déterminant qui est donnée par ce qu'il s'appelait autrefois les cofacteurs. La matrice est symétrique, donc je n'ai pas à m'inquiéter, mais les cofacteurs sont en fait, donnent directement la matrice inverse par la formule de Kramer. Et donc, vous en déduisez ça, qui est la formule de variation des déterminants, ou, c'est plus simple de s'en souvenir sous cette forme-là, que la dérivée logarithmique du déterminant est donnée simplement par ça. Et si je prends la dérivée logarithmique du racine carré du déterminant, j'ai la même chose, mais avec un 1,5, qui est finalement le célèbre 1,5 qui apparaît dans la définition du Tenseur Dunstein. C'est un 1,5 là. Un 1,5 de Gémenu, Delta Gémenu. Donc maintenant, ça, ça me permet de calculer ça, puisque, effectivement, ici, j'ai calculé Delta Gémenu. Ça donne Delta Gé, mais aussi moins. Delta de racine de Gé lui donne 1,5 de Delta Gé. Donc vous voyez que ces termes-là, en fait, donnent moins, finalement, Delta Gémenu, fois quelque chose, il y a le racine de Gé qui reste, et c'est R-1,5 de R Gémenu. Cet fois, les indices ici sont montés à cause de ces deux-là, et puis là, j'ai un signe moins. Et ici, je n'avais pas de signe moins, mais comme j'ai factorisé le signe moins, ce 1,5 là donne de moins 1,5. Donc on trouve bien que ce premier terme est égal à moins racine de Gé, Delta Gémenu, le tenseur d'Einstein. Et déjà, si vous combinez ça avec la définition de Témenu comme ça, vous trouvez que vous avez ce terme-là est égal à 8 Pi Gé et Témenu. Le lambda, donc si je rajoute ici moins 2 lambda racine de Gé, en utilisant cette formule pour racine de Gé, vous trouvez que le lambda contribue comme ça. Mais maintenant, il reste à prouver que ce terme-là ne contribue pas. Alors, il y a plusieurs façons de démontrer ça. Une façon, c'est un calcul complètement explicite dans un système de coordonnée quelconque, mais on peut être un petit peu plus subtil aussi et dire d'abord, je vais me mettre en coordonnée localement cartesienne, c'est-à-dire où les dérivés premières de la métrique sont nuls, en un point ou le long d'une ligne. Ça veut dire aussi qu'en ce point, les coefficients de Christopher sont nules. Et donc, le tenseur de Ricci étant par cette formule-là donné comme une dérivée première de gamma plus des gammas-gammas, les gammas sont nuls et les gammas-gammas sont nuls du deuxième ordre, donc il suffit que je garde en ce point-là les dérivés des gammas. Donc ça donne immédiatement... Oui, j'aurais dû écrire la formule explicite pour Ricci. Je vais l'écrire comme ça en droit, sous les yeux. Donc je définis Ricci comme ça. Et le tenseur de Ricci est explicitement égal. À déron alpha nu, moins déron nu de gamma alpha nu alpha, plus des termes en produits de gamma, gamma romanu, gamma sigmaro sigmaru, moins gamma nu sigmaro, gamma ro sigmaru nu. Donc quand vous variez ça localement et les gammas sont nules, les seuls termes qui restent, c'est les termes du premier ordre en gamma, du coup que j'ai perdu. Le 4, 2, 5, 2, 6. C'est parce que j'ai du montant bas. Voilà. Donc vous trouvez... Donc la variation de ce terme-là donne la dérivée partielle de la variation de gamma, comme c'est des variations d'un champ en un point, la variation delta commute avec la dérivée ordinaire des sigmas, moins le deuxième terme qui est dénu de delta gamma sigmaru sigmaru. Et puis, tout ça, comme les dérivées premières de G sont nues, je peux aussi le réécrire simplement comme ça, en définissant le vecteur V, alpha comme étant g mu nu delta de gamma mu nu alpha, moins g alpha beta delta gamma beta sigma sigma. Donc vous définissez un vecteur comme ça. Maintenant, comme la définition des coefficients en base naturelle, c'est-à-dire des coefficients de Christophel, de la connexion était par le fait qu'il pouvait donner une dérivée covariante par cette formule-là, il est facile de voir, en prenant la différence, si vous avez définissé une première connexion et si vous avez une deuxième connexion, que la différence de deux connexions, comme cette formule est tensorielle, doit être un tenseur. Donc quand vous variez la métrique, la différence des connexions correspondantes est quelque chose qui est un objet tensoriel, et donc ça, ça définit un champ vectoriel. Ça, ce calcul est vrai, localement quand les dérivées premières de la métrique sont nulles, mais du coup, comme cet objet est vectoriel, je peux le réécrire de façon... Le membre de gauche est tensoriel, le membre de droite, maintenant je le réécris sous forme tensorielle. Et maintenant, vous calculez explicitement quelle est la divergence d'un vecteur, en contractant dans cette formule-là l'indice lambda. Si vous faites ce calcul, vous verrez que le terme supplémentaire ici, qui est la trace entre mu et lambda de la coefficient de tristophelle, en utilisant cette identité-là, mais appliquée aux dérivées passelles, vous verrez que cet objet-là s'écrit, maintenant, comme une dérivée ordinaire, et est identique à ça. Donc tout ça montre, maintenant, que cet objet tensoriel ici a été réécrit comme une divergence totale, et donc, quand vous intégrer... Ça donne un terme de surface que vous négligez, enfin, ce n'est pas que vous le négligez, et par définition du calcul variationnel, vous travaillez modifié de termes. Donc ça, est égal à une certaine divergence. Et donc ne contribue pas aux équations d'Einstein. Donc ça conclume ma preuve des équations d'Einstein. On a bien démontré directement, à partir de l'action, que les équations d'Einstein s'y griffent comme ça. Alors vous savez que les données cosmologiques ont montré récemment une indication qu'il existe quelque chose qui appelle l'énergie noire, qui a toutes les propriétés d'une constante cosmologique. C'est pour ça que j'ai rajouté ici la constante cosmologique. Mais en même temps, la constante cosmologique, d'abord, elle-même n'aura pas d'influence sur les tests du système solaire et dans les pulsards binaires dont je parlerai. Et puis conceptuellement, en théorie quantique des champs, on a tendance à considérer que la constante cosmologique n'est pas quelque chose qui doit être vu comme étant gravitationnel, mais quelque chose qui vient des fluctuations quantiques des champs de la matière. Et donc, c'est juste une convention, on le met dans le membre de droite des équations d'Einstein. Et de ce point de vue-là, si je le mets dans le membre de droite des équations d'Einstein, il faut que je définisse un thémunu lambda. Donc, je définis un thémunu lambda, qui est le tenseur d'énergie-impulsion associé à lambda, qui est donc moins c4 sur 8 pigés fois lambda gémunu. Et une fois que j'ai écrit des équations d'Einstein, que j'ai définité lambda, des équations d'Einstein, s'écrivent le tenseur d'Einstein est égal à 8 pigés sur ces quatre, la somme de tous les tenseurs d'énergie-impulsion de la matière que je vois, et puis peut-être de ces fluctuations quantiques, qu'on appelle lambda. Les conventions de signes, rappelez-vous que j'utilise toujours la signature où j'ai menu un signe moins pour le temps et plus pour l'espace. Et donc, les composantes T00, qui sont les densités d'énergie, vont être moins G00, ce qui compense ce signe-là, et donc est donné par le signe de lambda. Autrement dit, une constante cosmologique positive, ça veut dire une densité d'énergie positive. Avec cette convention-là, les équations d'Einstein s'écrivent, donc, tenseur d'Einstein égal à 8 pigés sur nu dému nu. Maintenant, on va, ayant obtenu les équations d'Einstein de façon complète, on va discuter leur contact avec l'expérience. Oui, je pose une question. Je suis toujours un petit peu troublé par cette preuve-là. Je trouve que ça marche trop bien. Preuve ou définition ? Que le T-mu nu est égal à ça ? Non, non. La preuve que ça, ça entraîne les équations d'Einstein. Oui. Je suis d'accord de prendre R, parce que, bon, d'après nos terres, disons, on cherche un invariant, on tombe de la place de la main, donc on comprend. Ceci dit, R dépend des dérivés secondes de G. Oui. Donc un principe variationnel donnerait les équations du mouvement du quatrième ordre. Oui, mais c'est là, oui. Une sorte de petite merveille d'un petit miracle qui fait que, bon, on tombe sur une divergence, et hop, ça passe à la trappe. Oui, c'est pour ça que... C'était prévu ou pas ? C'était attendu ? On l'espérait ça ? Alors, la façon dont Einstein l'a trouvée n'était pas comme ça. Historiquement, donc, Hilbert a écrit ça, puis il a écrit, je définis la dévée variationnelle de la courbure d'une certaine façon, mais il n'avait aucune idée de ce que c'était. Il n'a pas démontré que c'était le tancheur d'Einstein. Alors que, pendant ce temps-là, Einstein, lui, plus terre-à-terre, a obtenu la congé en équivalent à celui-là, mais qui n'contient que les dérivées premières, qui est le suivant. Einstein a fait ses calculs explicituants. Alors, écrivons-les. Calcule qu'a fait Einstein, c'est qu'il est parti de ça. Donc, j'ai des gamins plus gamma-gamins, et c'est même des gamins. Je ne vais pas écrire tous les indices. Gamma-gamma, moins gamma-gamma. OK ? Tu prends ça. Tu regardes ce premier terme, et tu l'intègres par partie. Tu dis, comme ça, il y a des dérivées secondes, ça ne me plaît pas. Alors, je vais réécrire, par exemple, le premier terme, je vais tout même l'écrire, c'est celui-là, munu alpha. Donc, ça, je l'écris comme dérivée ordinaire de racine de G, g-m-u, gamma-m-u, alpha. Moins la dérivée par rapport à alpha de racine de G, g-m-u, fois gamma. OK ? Mais maintenant, les dérivées premières de G, je le réexprime en fonction de gamma, puisque c'est la définition des coefficients de Christophe L. Enfin, que la dérivée covariante des G sont nulles. Donc, ce terme-là, en remplaçant ça par sa valeur en fonction de gamma, va me donner un terme en gamma-gamma. Même chose pour l'autre terme. Et donc, en faisant ça, j'ai une identité qui est ça, est égale à racine de G, g-m-u, gamma-gamma. Et quand on fait le calcul, on trouve que le gamma-gamma, c'est le même que ceux qui apparaissent dans le tenseur de Ricci, c'est-à-dire, celui-là aussi une prête, c'est-à-dire, que ça est égal à gamma-m-u, gamma-alpha, gamma-alpha, beta-beta, moins l'autre gamma-gamma, celui qui est là-bas. Donc, simplement, se calcule plus une divergence totale. Donc, Einstein savait que, parce que les dérivées secondes apparaissent linéairement dans l'action, je peux intégrer par partie, et donc, cette action ne contient que des dérivées premières. Et ce lagrangien-là, c'est du type du lagrangien ordinaire, disons, des muffins carrés pour un champ scalaire. Donc, c'était ça, le lagrangien d'Einstein. Racine de G, j'ai menu gamma-gamma, moins gamma-gamma, les mêmes que dans Ricci, mais avec le signe opposé. Donc, ça, c'est... Non, c'est parce que c'était linéaire dans les dérivées secondes, essentiellement. Oui, c'est vrai qu'il y a quelque chose qui se passe, mais... Alors, limite Newtonienne. J'en ai déjà parlé, mais, comme j'en parlais, en fait, ce que j'ai dit, c'est qu'il fallait que la limite Newtonienne soit vraie, mais on n'avait pas les équations d'Einstein, encore. Donc, on ne pouvait pas le voir explicitement. Et pour Einstein, c'était pendant des années, il a eu le problème de réconcilier, le principe d'équivalence, la covariance générale des équations qu'il voulait, et la limite Newtonienne, et il ne voyait pas pendant longtemps comment ça marchait. Alors, finalement, il a trouvé qu'en relativité générale, ça marche pourquoi. D'abord, les équations d'Einstein. Donc, le T-minu ici, c'est le T-minu total qui contient le lambda. Vous pouvez les écrire aussi sous la forme. Ritchie est égale à quelque chose. Pour le faire, vous prenez la trace de cette équation-là. Ça va vous donner le scalaire de Courbure ici une première fois, moins le scalaire de Courbure avec la dimension de l'espace-temps sur 2. Donc, vous pouvez calculer le scalaire de Courbure et le remplacer dans le membre de droite. Et vous trouvez comme ça, en dimension quelconque, que les équations d'Einstein sont équivalentes, à dire que le tenseur de Ritchie est égal. La T-minu, moins 1 sur n-2, fois g-minu T, où T, ici, est la trace de celui-là. Si vous avez mis les indices en bas, c'est cette contraction-là. Bien. Première chose. Donc, en dimension 4, quand n vaut 4, ce terme-là vaut 1,5. Donc, les équations d'Einstein contiennent le moins 1,5 soit que vous le mettez à gauche, soit vous le mettez t-minu à droite. Mais ce n'est pas vrai en dimension n quelconque. En dimension n quelconque, vous avez ici 1 sur moins 1 sur n-2. Et maintenant, regardons la limite Newtonienne. La limite Newtonienne consiste à faire plusieurs approximations. La première consiste à dire que la géométrie est une déviation faible de la géométrie Minkowskienne. Autrement dit, que g-minu s'écrit état-minu plus h-minu, ou vous allez considérer que les h sont petits et vous allez négliger tous les termes quadratiques dans h. Et vous considérez aussi que les dérivés premières, bien sûr, des h sont petites. Donc les gammas sont petits. Du coup, quand vous calculez le tenseur de Ritchie, les termes en gamma-gamma sont du deuxième ordre. Donc vous voulez négliger, il reste que les termes du premier ordre. Donc tout de suite, vous voyez que dans cette limite-là, le membre de gauche, les équations d'Einstein écrits comme ça, va contenir que les termes de Ritchie, de linéaire dans les dérivés premières des gammas. Donc quelque chose, bien. Maintenant, vous faites aussi une approximation supplémentaire. Et les gammas eux-mêmes, donc les gammas alpha-minu, qui contiennent un demi de la métrique inverse g fois les dérivés premières dg, tels qui sont définis là-haut. Quand vous avez cette formule-là, la métrique inverse g-minu est égale, à la métrique inverse de état qui numériquement est égale à état, moins... Ça consiste à prendre la matrice inverse d'une matrice qui est essentiellement l'identité plus une certaine matrice h. Et donc quand vous prenez la matrice inverse de ça, vous trouvez que c'est 1 moins la matrice h plus le carré de la matrice h, etc. Donc, à l'ordre premier ordre, vous trouvez que vous avez moins le h-minu ou le h-minu avec les indices en haut, veut dire vous élevez les indices avec état. Donc ça, c'est état mu alpha, état mu beta, h-minu, h-alpha-beta. Donc vous définissez le h-minu en haut comme ça et vous trouvez qu'il y a des termes du deuxième ordre près. Ça, c'est la métrique inverse. Donc, dans les conditions Christopher, il suffit de remplacer le état ici. Donc, finalement, je l'écris, si vous voulez, ou je ne l'écris pas, parce que quand vous avez... Si vous... Prenons la convention maintenant que je vais monter et descendre les indices par état, donc pour tout objet. Par exemple, si j'ai un h-alpha-beta, je vais définir h-alpha en haut beta comme étant état alpha-sigma h-sigma-beta. Je monte et je descends les indices avec état. Donc, du coup, la formule pour Christopher devient simplement h... Sorry. Donc il y a deux termes en dérivé 1er et puis il y a un indice alpha qui est différent, alpha en haut, h-minu. Donc ça, c'est vrai au terme h-carré près. Donc je peux remplacer ça là-dedans. Ça me donne une forme explicite pour le tenseur de Ricci. Mais maintenant, la deuxième approximation que l'on fait en limite Newtonienne consiste à dire que parmi les dérivés, la dérivée par rapport à x0, qui veut dire 1 sur c et d sur dt, agissant sur h, ça, c'est une dérivée temporelle divisé par c. Pourquoi est-ce que la métrique h va varier dans le système solaire ? Elle va varier parce que la source qui engendre la métrique, qui sont les planètes, bouge. Si rien ne bougeait, ça ne dépendrait pas du temps. Et du coup, grossièrement, vous attendez à ce que ça, ça soit de l'ordre de v sur c des dérivés spatiales de h, et vous utilisez maintenant l'approximation supplémentaire que les vitesses sont faibles par rapport à la vitesse de la lumière. Autrement dit, vous utilisez le fait que d0h est aussi beaucoup plus petit que le dérivée spatiale. Donc si vous utilisez non seulement que h, c'est petit, mais que les dérivés temporelles de h par rapport à l'indice 0 sont petites, dans cette expression-là, tout de suite, vous voyez que les seuls indices qui... L'indice 0, ici, ne va pas compter, c'est l'indice spatial qui compte, i égale 1, 2, 3, venu, et que ici... Donc calculons r00. Maintenant, je calcule la composante 00 de Ricci. Le premier terme me donne ça 00, mais le seul qui reste dans cette limite-là, c'est la dérivée spatiale ici, et ici, les indices 00. Le deuxième, comme il contient forcément des indices 0, est négligeable. Et donc, à l'approximation Newtonienne, c'est très simple. r00 est égal à une dérivée spatiale contractée sur l'indice i de gamma i00. Mais maintenant, en utilisant cette formule-là, je peux calculer les choses. J'ai un facteur en demi qui est là. J'ai la dérivée spatiale i qui est là, et maintenant, je dois mettre gamma i00 que j'ai créé ici. Donc le gamma i00, c'est égal. D'après cette formule-là, ici, j'ai l'indice mule et l'indice nu, donc j'ai d0h0i plus d0h0i moins d0ih00. Mais là, de nouveau, j'ai des dérivées temporelles qui sont plus petites qu'une dérivée spatiale. Donc, finalement, la seule chose qui reste, c'est moins un demi de dérivée i, dérivée i, contraction h00. Mais ici, élever l'indice i, comme je n'ai plus qu'un indice spatial, ça veut dire mettre les étaligies spatiaux, autrement dit, qui sont d'eltaligie. Autrement dit, élever l'indice i, c'est comme si on ne faisait rien, puisqu'on a la métrique clédiène. Donc, si je définis l'opérateur de la place, le lapatien au sens des physiciens, c'est-à-dire deltaligie, déromi, dérongi, c'est-à-dire pour être explicite, dx² plus dx² plus dx², avec un signe plus, ça, ça donne moins un demi de la place d'h00. Donc, vous voyez que, et c'est ce que Einstein a découvert en novembre 1915, que r00 est égal à moins un demi du la place ordinaire de h00. Et donc, maintenant, les équations d'Hanstein, le membre de gauche me disent r00 égale à moins un demi de la place de h00. Et dans le membre de droite, je dois avoir 8πg sur c4, t00 moins, donc, il reste ça. En dimension 4, ça, ça fait moins un demi. Donc, moins un demi de g00, mais à l'approximation la plus basse, g00 est à 0, 0, c'est-à-dire, c'est moins un. Donc, ici, j'ai un signe moins qui se rajoute. Et puis, j'ai la trace t, qui veut dire g00t00 plus gingitij plus g0i avec un facteur de t0i. Mais ça, le g est en état à l'ordre le plus bas. Ce qui va rester ici, c'est g00 à ton moins, c'est moins t00 plus tii, sommé sur l'indicit. Donc, ça, ça fait beaucoup de signe moins, mais quand vous les gardez tous, vous trouvez que tout ça, à cause du 1,5 ici, est égal à 1,5 de t00 plus tii. Autrement dit, ça, c'est la trace de la partie spatiale du tenseur d'énergie impulsion. Et puis, vous avez un demi. Donc, l'équation d'Einstein s'écrive moins 1,5 de la place de h00. Le 1,5 change le 8pi en 4pi. 4pi g sur c4 fois t00 plus tii. Alors, dernière approximation, qu'on ne fera pas, d'ailleurs, dans la suite. Mais si vous avez de la matière ordinaire, par exemple, un gaz de particule à l'intérieur d'un objet comme la Terre, ou d'ailleurs des champs électromagnétiques, dans tous les cas, vous trouvez que les composantes spatiales de Tii sont, alors que les composantes temporelles t00 par la formule E égale MC2, pour le mule célèbre, doit être, en gros, quelque chose comme la densité de matière, densité en gramme par centimètre cube fois le carré de la vitesse de la lumière. Ici, vous avez des termes du type de la pression. Et la pression, c'est du genre de la densité de particule, leur masse, et puis les vitesses avec laquelle ça bouge. Donc, encore une fois, ce terme Tii, il est, en gros, de l'ordre d'une densité fois des vitesses au carré interne à la matière. Et comme les V2, donc la dernière, j'ai dit que V devait être beaucoup plus petit que C, c'était l'autre composante de l'approximation Newtonienne. Et ici, ça veut dire que Tii est beaucoup plus petit que T00, qui est approximé comme étant RoC2. Donc, vous négligez encore ce terme-là. Le C2, qu'on pense ça, et finalement, ça vous donne que la place, et puis je multiplie par le carré de la vitesse de mière à gauche et à droite, je change le signe, que C carré H00 sur 2 satisfait l'équation moins qu'à de PiG, Ro, la densité de matière. Mais maintenant, la théorie Newtonienne de la gravitation consiste à introduire un potentiel U, le potentiel Newtonien, le potentiel U qui est l'intégral sur la matière de Ro au point, c'est le potentiel Newtonien. Donc, j'utiliserai toujours avec le signe plus, donc le potentiel Newtonien U au point X est donné par l'intégral de poisson, ce qui veut dire qui satisfait l'équation de poisson. La place de U est égale, moins à cause de la place de 1 sur R, je vous souviens, la place de 1 sur R est égale à moins 4 Pi delta, pour souvenir des signes, moins 4 Pi G, Ro, ce qui est l'équation de poisson. Quand vous comparez ça à l'équation de poisson, vous voyez que, comme on l'avait annoncé la dernière fois, c'était une condition nécessaire, mais on trouve que C2 H00 est effectivement voisin du potentiel gravitationnel habituel, celui-là. Et donc, à l'approximation la plus basse, donc l'approximation la plus basse dans l'approximation Newtonienne, où je vous rappelle, on a fait plusieurs choses, on a considéré que le champ gravitationnel était une faible déviation de l'espace-temps de Minkowski, on a considéré que les dérivées temporelles des zéro étaient beaucoup plus petites que les dérivées spatiales par des facteurs de l'ordre de V sur C, on a considéré que dans la source de la matière, les termes de pression et de tension, parce qu'ils étaient en gros V2 sur ces deux fois, les termes de densité d'énergie, T00 était aussi inéligible. À cette approximation-là, on obtient finalement que H00 est de, sur ces carrés, le potentiel Newtonien, autrement dit, que la métrique G00, la composante G0 de la métrique, vaut la valeur Minkowski en moins un, plus de, sur ces deux, le potentiel Newtonien, approximativement. Et ce qu'on avait déjà utilisé la dernière fois, alors pourquoi ça, c'est la bonne limite Newtonienne, parce qu'on va s'arrêter juste là pour une petite coupure, c'est que si vous considérez, d'après le principe d'équivalence et le théorème de Carton, j'ai dit une particule massive doit suivre une géodésique, et on va le redémontrer après. L'équation d'une géodésique s'écrit des 2xmu sur ds2 plus gamma-mu alpha-beta dx-alpha dx-beta sur ds, où ds est le temps propre. Mais ça, le temps propre qui vaut insurcer l'intégrale de ds, c'est-à-dire insurcer l'intégrale de racine de moins g00-2g0i pour la vitesse sur c, moins gijvi-vj sur ces deux dt. A l'approximation la plus basse, c'est simplement dt et vous changez le paramètre aussi. Et donc cette équation-là donne une accélération pour les particules suivant une géodésique, qui à l'approximation la plus basse, ce terme-là donne ça. Dans le membre de droite, vous avez moins gamma-i alpha-beta les cadris-vitesse. Mais parmi ces composantes-là, comme on se pose partout que j'ai sur c beaucoup plus petit que 1, c'est que la composante 00 qui reste. Donc là, vous avez moins gamma-i00. Mais en fait, le gamma-i00, vous voyez, et c'est pour ça que les équations d'insurcer sont bien faites, c'est l'objet qui intervenait directement dans r00. Et donc, c'est ça qui est égal à moins 1,5 de moins le di de h00. C'était ce calcul-là, du gamma-i00. Autrement dit, c'est égal à plus le gradient de h00 sur 2. Alors oui, sauf que j'ai oublié que s ici c'était ct. Donc j'avais 1 sur c2, ct2. Et donc ici, j'ai h00 sur 2, qui est donc égal à u sur c2. Donc ici, j'ai 1 de u sur c2. En multipliant les deux membres par c2, on voit que les équations d'une géodésique, alors de la plus basse, disent que l'accélération est égal plus le gradient du potentiel Newtonian. Ce qui est la deuxième morceau de Newtonienne. La théorie Newtonienne dit que le potentiel gravitationnel est donné par ça, satisfaisant cette équation, et que l'accélération d'une particule qui tombe dans un champ gravitationnel est donnée par le gradient 2. Donc on a retrouvé là ce que Einstein avait découvert en novembre 1915, que les équations d'Einstein donnent bien la bonne limite Newtonienne. Et maintenant, après la pause de 10 minutes, on parlera de choses plus compliquées. Avant de passer à des choses plus sophistiquées dans la suite, pour la culture de tout le monde, je veux tout de même maintenant expliquer la solution la plus simple, exacte des équations d'Einstein dans le vide. Solution que Einstein, en novembre 1915, a trouvé les équations d'Einstein et il a résolu ses équations au deuxième ordre. Ici, on a montré comment, fait au premier ordre, R00 est comme la divergence d'un certain gamma et puis on pouvait négliger les termes non linéaires. Einstein a résolu les équations R00 dans le vide, mais au deuxième ordre d'approximation, en gardant les termes en gamma-gamma, en résolvant ça, et il a calculé les premiers effets observables de la relativité générale en novembre 1915. Et quelques mois, deux mois plus tard, Karl Schwarzschild, c'était la guerre 1418, qui était sur le front de l'Est allemand. En janvier 1916, a trouvé la première solution exacte des équations d'Einstein, à la fois dans le vide et avec la matière, qui est la solution à symétrie sphérique. On cherche l'analogue de la solution à symétrie sphérique de l'équation de poisson. Si je prends l'équation de poisson et je cherche la solution à symétrie sphérique, je sais que, même si je ne connais pas le potentiel gravitationnel hors d'un corps sphérique, avec une solution à symétrie sphérique de la place égale à zéro, et donc, c'est quelque chose qui est en un sur-air. Et avec les conventions de signes habituelles, on l'écrit simplement plus GM sur-air. On m'a fait remarquer, à juste titre, que j'avais oublié de mettre le G ici, même si je l'avais mis là. Donc, dans le potentiel gravitationnel, c'est toujours G fois la masse qui apparaît. Maintenant, Schwarzschild a résolu le même problème pour la relativité générale, c'est-à-dire de trouver la géométrie à l'extérieur d'un corps sphérique, en supposant, pour simplifier, qu'elle était indépendante du temps. Et donc, le coefficient G00, pour faire les calculs, il est commode de le mettre sous forme exponentielle, mais c'est juste une notation. Et puis, vous avez aussi le coefficient. Comme vous êtes à symétrie sphérique, vous allez écrire que la métrie contient d'état carré plus sinus carré d'état défi carré en coordonnée polaire. Et ce coefficient-là est, en général, une fonction quelconque de air, mais vous pouvez toujours définir le rayon coordonné que vous n'avez pas encore défini en décidant que ce coefficient-là va être simplement R carré. C'est juste un choix de notation du système de coordonnée qu'on utilise. Il a été démontré après que, dans le vide, la seule solution à symétrie sphérique est nécessairement indépendante du temps, c'est le théorème de Birkhoff, mais ici, supposant directement que c'est indépendant du temps. Et posant-nous la question de résoudre toutes les équations d'Einstein sous cette condition-là. Alors, les équations d'Einstein, dans le vide, ça consisterait à écrire que toutes les composantes du tenseur d'Einstein grangés et sont nulles. D'abord, comme vous avez une métrique très simple comme ça qui n'a que des composantes sur la diagonale, on trouve assez facilement qu'il n'y a que les composantes qui indépendent du temps. Il n'y a que les composantes diagonales du tenseur d'Einstein qui vont être non-nulles. Donc, les seules équations que l'on a à résoudre, c'est ça égale à zéro. Mais maintenant, il y a cette identité de Bianchi. Donc, j'ai dit qu'il y avait l'identité contractée de Bianchi, que la divergence co-variante contractée par rapport à l'indice en haut du tenseur d'Einstein était identiquement nulle. Ce que j'ai oublié de dire, c'était que, vu du point de vue d'Einstein, ça voulait dire que, comme les équations d'Einstein, ces gémenus étaient égales à Témenu, en cométition près, ça voulait dire que cette identité de Bianchi impliquait que le membre de droite des équations d'Einstein, Témenu, devait aussi satisfaire une équation de ce type-là. Et, à la limite, égale à zéro, on verra ça plus en détail, mais en tout cas, à la limite de l'espace plat, ça, c'est la conservation du tenseur d'énergie impulsion. Et donc, ça lit ensemble conservation de l'énergie impulsion de la matière et identité de Bianchi. Mais ici, à cause des identités de Bianchi, par exemple, cette identité-là, qui doit être identiquement nul, si vous prenez ici l'indice R dans l'assommation, vous voyez que ça va contenir entre autres la dérivée partielle par rapport à R de G et R, et que ça, ça doit être d'autres termes qui contiennent gamma et G. Mais, ici, j'ai une dérivée radiale supplémentaire. Ici, a priori, les G peuvent contenir des dérivées secondes, puisque G, c'est lié à Ricci, qui contient les dérivées de gamma et donc les dérivées secondes de la métrique. Donc, les dérivées de ces fonctions-là peuvent apparaître dans les équations d'Einstein avec des dérivées secondes. Mais en tout cas, à cause de l'identité de Bianchi, vous voyez que G et R ne peuvent pas contenir des dérivées secondes, parce que s'il y avait des dérivées secondes, radiale, une dérivée radiale de plus donnerait des dérivées troisième, mais comme à droite, je n'ai que des dérivées secondes, en fait, ça ne contient pas des dérivées secondes. Donc, ça, c'est une façon très simple de savoir qu'à priori, parmi ces équations-là, celle-là ne contiendra que des dérivées premières. Donc, ça sera plus simple de les résoudre. Et, en fait, si vous regardez plus près cette identité de Bianchi, vous trouvez que, en fait, ces composantes-là, leur annulation est une conséquence de l'annulation de G et R à cause de l'identité de Bianchi. Donc, finalement, je n'ai pas besoin de regarder ces équations-là. Je n'ai besoin de regarder que celle-là qui ne contient que les dérivées premières. Et puis, maintenant, pour un autre raisonnement qui est lié à l'invariant sous les difuomorphismes, en fait, on sait, à priori, que celle-là ne va pas contenir non plus des dérivées secondes. Et, du coup, maintenant, le calcul va être très simple. Ça consiste à calculer ces composantes-là et ça nous donne deux équations. Alors, je vous engage, si vous n'avez jamais fait ça. Il y a deux façons, en fait, de trouver très simplement la solution de Schwarzschild. Une, c'est de calculer ces composantes du tenseur d'Einstein. Et ici, c'est important que ce soit le tenseur d'Einstein, n'a pas le tenseur de Ritchie pour ce raisonnement de l'idée d'Anti-et-Bianchi. Ou l'autre, qui est de partir de l'action. Mais prendre l'action sous la forme d'Einstein, c'est à dire éliminer les dérivées secondes dès le début. Donc, l'action, c'est que des dérivées premières, gamma, gamma moins gamma, gamma. Et vous calculez l'évolution de Christopher. Vous les mettez dans l'action. Et vous n'avez maintenant que des dérivées premières, des gradients de nu et de lambda dans l'action. Et puis, vous prenez ça comme une action et vous dérivez les actions de l'air-la-grange. C'est une façon très rapide, en fait, de trouver la solution de Schwarzschild. Comme ça, Kermann Weil le calculait. Mais si vous calculez le tenseur de Courbure, alors que je vous rappelle qu'elle est le procédé pour faire ça, étant donné une métrique, vous calculez d'abord les coefficients de Christopher. Il y a des petits procédés, si on veut, pour simplifier le calcul des coefficients de Christopher, mais finalement, c'est aussi simple de les calculer directement. Puis après, vous calculez le tenseur de Courbure avant de prendre la trace. Et pour ça, les formules de cartons, c'est à dire utiliser des formes différentielles. Donc, prendre les formes différentielles de connexion dans les coordonnées polaires R, T, R, T, Tafi. Et puis, calculez ça, et puis après, prendre une trace, c'est finalement assez simple. Et donc, quand vous le faites explicitement, vous trouvez que GTT, c'est-à-dire la composante 00, est égale à moins 1 sur R carré. Donc, je vous engage à faire ça comme exercice si vous voulez vraiment comprendre la relativité générale. 1 sur R carré, moins lambda prime sur R. Et puis, la composante GRR, c'est-à-dire 1, 1, si je dis T, R, T, Tafi, c'est les composantes 00, 1, 2, 3, est égale. Ça ressemble, c'est moins 1 sur R carré, plus, et puissance, moins lambda, 1 sur R carré. Mais au lieu du dernier terme, il y a plus nu prime sur R. Alors, comme tous ces termes-là, c'est les mêmes. Si je fais la différence de deux équations, vous voyez directement qu'on en conclut que nu prime plus lambda prime est égale à 0. Autrement dit, que le produit épuissance nu, épuissance lambda, est une constante. Mais donc, le produit du coefficient de GR carré et de DT carré est une constante. Maintenant, comme je peux changer l'unité de temps, je peux plus changer l'unité de rayons parce que j'ai décidé d'appeler rayons l'air d'une sphère que l'air valait 4p et R carré. Mais je peux toujours changer l'unité de temps et donc, je peux prendre cette constante égale à 1. Donc, je sais que ce coefficient-là va être l'inverse de celui-là. Et maintenant, vous avez cette équation-là égale à 0, qui est une équation différentielle, justement, pour ce coefficient-là, épuissance moins lambda. En fait, cette équation-là est très simple. Si vous l'écrivez, elle s'écrit comme R puissance moins lambda, c'est-à-dire inverse de ce coefficient-là mutilé par R, prime est égal à 1. Autrement dit, ça veut dire que R épuissance moins lambda est égal à R plus une constante. Donc, il apparaît une constante d'intégration. Cette constante d'intégration n'est pas importante. Ici, il apparaît une constante d'intégration. Si j'appelle cette constante d'intégration moins deuxième, j'en déduis que la solution épuissance nu est égal à épuissance moins lambda est égal à 1 moins deuxième sur R. Donc, finalement, on a cette solution très simple que je vais écrire là. DS2, le coefficient du temps de dr², c'est moins deuxième sur R, c'est 2 dT2. Le coefficient de dr², c'est l'inverse de ça. Donc, c'est dr² sur 1 moins deuxième sur R. Et puis, j'ai R2 dT2 plus sin T2 défi 2. Voilà. Donc, ça, historiquement, c'est la première solution exacte des équations d'Einstein. Elle est remarquablement simple et elle est importante parce qu'elle contient beaucoup de physique. D'abord, elle peut servir de modèles grossiers de la géométrie dans le système solaire. Ici, c'était l'idée d'Einstein. Si vous regardez le système solaire, vous avez le soleil qui est beaucoup plus massif, 300 000 fois plus massif que la Terre et 1 000 fois plus massif que Jupiter. Donc, c'est lui dont la masse domine tout le système solaire et donc la courbure à l'intérieur du système solaire doit être dominée par l'effet du soleil qui est en gros stationnaire à symétrie sphérique et au centre. Et donc, cette solution doit être une bonne approximation de la géométrie dans le système solaire. Mais du coup, je peux comparer ça à l'approximation Newtonienne. Ici, on disait que la composante G00, dans l'approximation Newtonienne, est égale à moins 1 plus 2u sur C2. Donc, autour d'un corps à symétrie sphérique, comme le soleil, je devrais trouver moins 1 plus 2 sur C2 fois le potentiel gravitationnel d'un corps à symétrie sphérique qui est GM sur R. Donc, en comparant ça à ça, le signe moins ici est factorisé. Donc, ça, c'est moins 1 plus 2 petit M sur R. Vous voyez que la constante d'intégration qui apparaît là, j'aimerais dire que cette constante d'intégration, qui est bien définie par la théorie d'Einstein, doit correspondre dans la limite Newtonienne ou produit de la masse du soleil, enfin du corps central, fois la constante de Newton. En fait, c'est un peu plus subtil que ça, parce que... Pardon, sur C4, parce qu'il y a le coefficient C4. Parce que ici, c'est une solution exacte des équations d'Einstein. Donc, ça contient en fait tous les effets, pas uniquement ici, quand on disait M. M est voulait l'intégrale de rôle, la densité de masse. Mais la densité de masse dans la théorie Newtonienne, vous négligez les termes de pression, vous négligez toute l'énergie thermique, vous négligez les effets d'autogravitation, que c'est une théorie non linéaire, la théorie d'Einstein. Donc, en fait, le coefficient petit M qui apparaît dans la solution de Schwarzschild, même si conventionnellement on dit que c'est j'effois la masse du soleil sur C4, c'est la vraie masse Einsteinienne, y compris beaucoup d'effets non linéaires cachés à l'intérieur de cette masse. Mais de toute façon, c'est ce que l'on mesure à partir du mouvement des planètes autour du soleil. Numériquement, numériquement, au fait, je vous dit, je vous signale aussi qu'on connaît la masse du soleil en kilogrammes beaucoup moins que le produit GM, parce que le produit GM, la masse effective gravitationnelle du soleil multiplié par la constante de Newton, c'est ce que vous mesurez à partir des périodes des planètes, etc. Et donc, c'est connu à 10 ou 11 chiffres. Et donc, du coup, le petit M correspondant au soleil, c'est-à-dire G fois grand M sur ces carrés. Vous voyez que, par cette définition-là, c'est quelque chose qui a les dimensions d'une longueur, donc vous associez à la masse du soleil en multipliant par G, en divisant par le carré de la vitesse de mi, à quelque chose qui a une dimension de longueur. Et pour le soleil, vous trouvez que c'est égal à 1,47 6, 6, 2, 5 km, ou, en approximatif, 1,5 km. Donc, la constante d'intégration qui apparaît pour la solution du soleil, c'est 1,5 km, ce qui veut dire que 2M qui apparaissent ça, ici, vont à peu près 3 km. Alors, à l'époque, ce qui a choqué les gens, Schwarzschild et puis après Adamar dans les années 20, quand Einstein est venu à Paris, c'est que cette solution, il se passe des choses bizarres quand R est égal à 2M. Vous voyez que cet objet-là devient infini puis change de signe. Ici, le coefficient G0 devient nul puis change de signe. Tout ça n'a été compris que bien plus tard, et c'est la théorie des trous noirs, on y viendra plus tard. Mais pour le moment, comme le rayon 2M, où il se passe des choses bizarres dans cette solution, c'est 3 km et que le soleil, il a un rayon de 700 000 km, vous n'êtes plus dans le vide. Donc, la solution de Schwarzschild ne s'applique pas là où il y a un problème. Donc, ce n'est pas un problème pour les applications dans le système soleil. Alors, oui ? La solution a été trouvée par Schwarzschild et pas Einstein à pas chercher. Parce qu'Einstein a écrit les équations d'Einstein, qui étaient assez compliquées pour l'époque et il n'espérait pas pouvoir trouver une solution exacte. Donc, comme il était physicien, il savait tout de suite calculer la solution au 2e ordre. En plus, Einstein utilisait un système de coordonnées. Par exemple, il avait trouvé quelque chose de très subtil. C'est que vous pouvez simplifier beaucoup les équations d'Einstein. Si vous mettez dans un système de coordonnées où les déterminants de G émis égale à une constante, ce qui veut dire que les gradients de G sont égales à zéro, et quand vous écrivez ça, vous voyez que ça veut dire que cette contraction-là, qui est égale à des mu de Racine de G sur Hine de G, est égale à zéro. Et donc, dans les équations d'Einstein, ça supprimait, en fait, beaucoup de termes, ça supprimait ce terme-là et ce terme-là. Donc, il ne restait plus déjà que la moitié des équations d'Einstein à travailler. Et il ne pensait pas qu'on puisse trouver une solution exacte. Et bon, si on parle l'histoire, il se trouve que Schwarzschild n'a pas trouvé la solution de Schwarzschild écrit dans ces coordonnées-là. Il les a trouvées dans une autre coordonnée parce qu'il suivait Einstein et donc il utilisait des coordonnées où le déterminant est égal à une constante. Et c'est Drost, un jeune hollandais qui a trouvé les coordonnées qu'on appelle maintenant de Schwarzschild. Le truc d'Einstein ? Oui ? Oui. Drost, aussi... Alors Drost avait commencé à résoudre les équations d'Einstein-Grossmann en 1912, donc il était... Mais en 1917, tout de suite après Schwarzschild ou 1916, déjà. J'ai quelque part la thèse de Drost en hollandais, donc je peux vérifier... Que m'a donné Nicolas Kuiper ? Donc maintenant, j'aimerais parler de physique et même si on va... Ici, pour rester simple, on va utiliser le modèle par la solution de Schwarzschild du système solaire, mais ce qui correspond... Ce qui est quelque chose de dépassé aujourd'hui. C'est dépassé, pourquoi ? Donc ici, le système solaire, dans l'espace-temps, vous avez le Soleil et puis autour, vous avez un certain nombre de planètes, et puis au loin, vous avez des étoiles, que vous voyez, qui bougent dans la galaxie, et tout ça, bouge dans la galaxie. Alors, aujourd'hui, et on verra des chiffres explicites, les mesures que l'on fait dans le système solaire sont si précises que, en fait, on ne peut pas modéliser le système solaire par la solution de Schwarzschild. Il faut introduire une théorie du problème à Encore, et c'est ça qu'on fera dans les cours suivants, mais là, je veux juste rester à l'approximation la plus simple. Et en revanche, pourquoi, au fait, il faut aller au-delà ? Parce que l'influence des planètes et des interactions entre les planètes est importante, qu'on a trouvé que dans les théories relativistes de la gravitation, je n'ai pas le droit d'utiliser le théorème de Fermi-Cartan pour le mouvement d'une planète, parce qu'il faut que ce soit une particule d'épreuve. Pour dire qu'une particule suit une géodésique, il faut que quand je vais dans un référentiel local où j'élimine le champ de gravitation, quand je rajoute la particule, elle n'est pas de champs gravitationnels, parce que s'il a un champs gravitationnel, j'ai des effets non linéaires à l'intérieur de la théorie de la gravitation. Donc, en fait, je n'ai pas le droit de dire que les planètes suivent des géodésiques. L'environnement galactique aussi, finalement, le potentiel U gravitationnel engendré par la galaxie, si vous calculez son ordre de grandeur dans le système solaire, il est plus grand que le potentiel du Soleil et des planètes. Donc, il faudrait une théorie pour comprendre comment je peux éliminer la galaxie, éliminer la cosmologie, etc. Mais, donc on fera ça plus tard, mais là, je veux juste conceptuellement indiquer quelles sont les règles d'or pour l'interprétation physique de la relativité générale, parce que dans le passé, les gens étaient parfois confusés. Par exemple, dans les années 20, même des très grands mathématiciens comme Pynlevay étaient confusés en disant, vous, nous avons montré comment l'avance du Périline Mercure peut s'expliquer à partir de cette solution de Schwarzschild écrite comme ça, mais si je réécris la solution de Schwarzschild dans un autre système de coordonnée, ça ne ressemble pas du tout à ça, le coefficient G00 est pas le même, et donc, qu'en est-il ? Donc, les règles pour l'interprétation physique de la relativité générale, comme je l'ai rappelé pour la relativité restreinte, la première règle, c'est de décrire tout processus de mesure comme une configuration géométrique d'une variété v à 4 dimensions, munie d'une métrique pseudo-rimanienne. Donc, par exemple, si on est en train de dire, je suis en train de parler des cours radars sur les planèques, je suis sur Terre, j'envoie une onde électromagnétique radar qui se réfléchit sur la surface d'une planète et qui revient. Alors, je dois dire, je suis ici, ça, c'est la Terre, c'est une word line, pardon, une ligne d'univers dans un certain espace-temps, j'aimais une onde électromagnétique, à l'approximation WKB, ça va être comme des rayons électromagnétiques, ça se réfléchit là et ça revient. Et donc, la configuration géométrique, ça consiste à dire en utilisant cette fois le théorème de Fermi, le long du rayon lumineux qu'il suit une géodésie qu'isotope de l'espace-temps ambiant. Donc, je sais que ça, c'est une géodésie qu'isotope qui va de là à là, qui revient. Et maintenant, si je dis que je mesure le temps entre le point de départ et le point d'arrivée, je dois penser que le temps, c'est le temps propre, mesure est là. Donc, non seulement vous exprimez géométriquement le processus de mesure, mais le résultat de la mesure, qui, par exemple, le temps de retour du rayon lumineux, vous l'exprimez comme un invariant qui est l'intégral du temps propre entre cet événement-là et cet événement-là à d'arrivée. OK ? Où ça, c'est des taux. Et comme ça, c'est moins racine carré de moins géminu d'X mu d'X nu. Ça, c'est un invariant d'espace-temps. J'ai prescrit toute ma configuration géométrique de l'espace-temps. Et maintenant, j'ai exprimé ce que va mesurer une horloge sur Terre, ce temps d'aller et retour sous forme d'un invariant d'espace-temps. Et maintenant, je peux faire le calcul dans n'importe quel système de coordonnées parce que je suis en train de calculer un invariant. J'ai le droit de le calculer dans un système particulier. Et comme j'ai illustré là, aussi, vous utilisez au maximum le fait que, localement, ou le long d'une ligne quelconque dans l'espace-temps, le côté, la courbure peut être éliminée. Enfin, pas la courbure, justement, mais la maitrique et la connexion peut être éliminée. Et donc, je peux considérer que les choses se passent comme dans la relativité restreinte. Ici, vous pouvez le faire le long de ce rayon lumineux et dire que je décris ce rayon lumineux comme si j'étais dans l'espace de la relativité restreinte. Donc, il a une géodésie qu'isotropes. Et puis, je retranscris ça comme le transport auto-parallèle du cadre y vecteur tangent à cette ligne d'univers du photon, etc. Voilà. Donc, ça, c'est la règle d'or essentielle. Et on va illustrer ça sur quelques exemples. Mais d'abord, j'aimerais parler du mouvement des planètes puisque, après tout, c'est le premier calcul qu'a fait Einstein, qui est l'avance du périli des planètes. Et pour ça, vous vous indiquez que... Parce que je l'ai dit plusieurs fois, mais je n'ai pas montré comment ça se faisait, qu'il y a plusieurs actions pour décrire le mouvement géodésique d'une particule. Donc, je prends une ligne d'univers, un point de cette ligne d'univers dans un certain système de coordonnées et repéré par les quatre coordonnées x-mu comme fonction d'un paramètre que je vais appeler ici lambda, qui est un paramètre quelconque. Une première action pour la géodésique, c'est celle que j'écrivais là, c'est d'abord, si on met les bonnes unités, mu, cette fois, c'est la masse propre de la particule que je considère. C, à première vitesse, fois dS. C'est-à-dire, moins mu, c'est l'intégrale de Rassine-Carré de moins g-mu nu de x dx-mu sur des lambdas, dx-mu sur des lambdas. Alors, je suis un peu désolé, il faut faire attention. Le mu ici veut dire la masse propre, c'est pas la même chose que l'indice lambda, et puis lambda ici n'est pas un indice d'espace-temps. Cette équation-là, elle est un variant sous les reparamétrisations quelconques. C'est-à-dire, si je change lambda à une fonction quelconque de lambda prime, tout de même monotone, dérivé ne changeant pas de signe, pardon, j'ai oublié de mettre le D lambda. C'est homogène du premier ordre, donc ça ne dépend pas de ça. Mais l'inconvénient de cette action, c'est qu'elle contient une Rassine-Carré. Et qu'il y a une deuxième version dite de Polyakov en théorie des cordes qui ne contient pas la Rassine-Carré et qui remplace la Rassine-Carré par une forme quadratique, qui est l'action S2, qui contient en plus de la ligne du univers. Vous vous donnez une mesure unidimensionnelle, qui est un Einbein, comme on dit en allemand, un repère mobile de carton pour la géométrie de la ligne du univers séparée de sa géométrie ambiante. Enfin, peu importe, c'est une fonction, quoi. Et vous écrivez, ça, c'est si vous entendez ce langage. Le premier terme vaut un demi de 1 sur E lambda. Et cette fois, vous mettez le carré de cette forme quadratique-là. Moins un demi de E lambda mu carré, ou mu carré, c'est la masse. Et ici, dans la suite, je fais C égale à 1 pour ne pas me compliquer trop à garder toutes les puissances de C. Donc, voyez que cette action, elle dépend de choses. Elle dépend de X. Elle est quadratique dans les dérivés premières. Donc, ça, c'est comme un terme cinétique, un demi de X carré, mais dans l'espace-temps. Mais il apparaît aussi E lambda, qui est un espèce de multiplicateur de la grange. Si vous calculez l'équation que doit satisfaire E lambda, d'après cette équation du deuxième ordre, c'est-à-dire que vous faites la dérivée variationnelle par rapport à E, qui est une fonction de lambda qui peut varier d'un point à un autre, égale à zéro, vous trouvez une certaine équation, parce que ça, ça vous donne moins un sur E carré quand vous différenciez, et ça, ça donne moins... Il n'y a plus E qui a disparu. Donc, ça vous donne une équation pour E carré, qui, finalement, se résout et dit que E de lambda est égal à 1 sur mu. La masse, il faut à racine carré de moins gm nu X.mu, X.nu, racine carré. Et si, maintenant, vous remplacez ça dans cette équation-là, vous trouvez comme E et racine carré, ça, ça redonne le racine carré. Ici, ça donne le même racine carré et les deux s'ajoutent avec le coefficient 1,5 et la somme des deux donne la même chose que ça. Donc, numériquement, si je minimise cette action qui dépend de plus de variables par rapport à la moitié des variables, je retrouve la même action qu'au départ. Donc, c'est une action qui est équivalente pour décrire la dynamique de particules. Mais, maintenant, cette équation-là, vous voyez qu'elle est invariante sous un groupe de symétrie, qui est que si je change l'ambedat en lambda prime, par cette équation-là, et que je change l'ambedat de sorte que ça soit une mesure le long de la ligne, c'est-à-dire qu'il varie par le Jacobien du transformation, vous vérifiez que c'est invariant. Donc, cette équation-là, comme la première, elle est indépendante des repars maîtrisations de l'ambedat. Mais, comme eux apparaissent comme un espèce de facteur de jauge, je peux aussi fixer la jauge et considérer une troisième action, qui est le gauge-vix version de celle-là, dans lequel je prends cette action-là et je remplace l'ambedat par égal à 1. Parce que les équations de l'air-la-grange pour la partie x-point vont être les mêmes qu'avant, ça sera simplement une façon de fixer le paramétrage le long de la ligne que je considère. Et ça, maintenant, ça vous donne une troisième action sur des lambda de 1,5 de géminu de x. Alors, la dérivée par rapport au paramètre, je l'appelle x-point, simplement. x-point nu. Moins à 1,5 de mu carré. Donc là, j'ai une action très simple. J'ai remplacé, vous voyez, la racine carré par 1,5. Ça a aussi éliminé les signes. Ici, j'avais un signe moins, un signe moins. Maintenant, j'ai plus que des signes plus, donc c'est plus simple. Mais j'ai deux termes, 1,5 et moins 1,5 de mu carré. Et le gros avantage de cette action, c'est que je peux maintenant prendre la limite mutant envers zéro. C'est-à-dire, si je m'intéresse au géodésique isotrope, c'est-à-dire pour des particules de masse nulle, quand mu carré est envers zéro, je ne peux pas prendre mutant envers zéro là-dedans. C'est assez délicat. Alors qu'ici, je peux prendre mu carré à zéro. Donc cette action quadratique, elle décrit le mouvement de géodésique, soit du genre temps ou du genre isotrope, etc. Maintenant, quel est le calcul ? Donc le calcul le plus simple, j'écris les équations de l'air Lagrange. Dès sur des lambdas de la géant Lagrangien. Si le Lagrangien, c'est ça. C'est un Lagrangien qui dépend de x, c'est de x-point. Il dépend de x-point quadratiquement. Il dépend de x à travers le fait que les coefficients de la métrique dépendent de x. Et puis maintenant, je peux écrire les équations de l'air Lagrange, égal à des ronds L sur des ronds x-mu. Bien. Ce qui est un calcul très facile. Quand vous faites ce calcul-là, qu'est-ce que ça donne ? La dérivée par rapport à x-point, comme géant de mi, ça va donner cette équation, c'est écrit explicitement dès sur des lambdas de géant. Ah oui, là, j'ai mis en indice lambdas, ce n'est pas terrible. Tout de même, je vais le laisser. Lambdas-mu, où lambdas n'est pas le même que celui-là. x-point-mu est égal à un de mi de dérivée par rapport à lambdas de gému nu de x fois x-point-mu x-point-mu. Bien. Donc, vous avez obtenu les lignes critiques de cette action, qui, comme j'ai dit, sont équivalentes à celle-là, mais dans une paramétrisation, quand j'ai fait cette paramétrisation, e égale à 1, ça veut dire que le long de la particule de la ligne d'univers, ça est égal à un mu carré. Pardon, je ne me trompe pas. Oui. Donc, si je mets comme ça, c'est moins mu carré. Donc, ici, maintenant, j'utilise une paramétrisation où vous vérifiez que c'est une constante du mouvement, que la forme quadratique est constante dans la paramétrisation, égale à ça. Et maintenant, ça, c'est les équations des géodésiques. Cette forme est très commode, en fait. Si vous voulez développer cette forme, voyez que vous avez ici la dérivée seconde x-point-point multiplié par g, et puis il faut aussi calculer la dérivée de ça par rapport à délanda, que vous pouvez réécrire comme étant x-point-alpha déalpha de g-landa-mu x-point-mu. Vous avez ce terme-là. Et si vous faites ça, vous avez un terme supplémentaire en gradiant de g qui vient de là, qui n'a pas le facteur en demi. Et quand vous écrivez tout ça, vous trouvez que vous retrouvez bien les coefficients de Christopher avec trois termes, un coefficient en demi. Et que cette équation-là est bien équivalente à x-point-point mu plus, disons, lambda plus gamma lambda mu nu x-point-mu x-point-mu. Là aussi, je vous engage à faire le calcul pour voir comment ça marche. C'est une façon de calculer les coefficients de Christopher de façon plus simple, aussi. En utilisant cette approche variationnelle. Donc maintenant, appliquons ça à la solution de Schwarzschild. C'est-à-dire, je prends le mouvement, soit de la lumière, soit de particules dans l'espace-temps de Schwarzschild et à partir d'une action. Mais comme l'action. Donc, quelle est cette action ? Cette action est donnée par un Lagrangien, qui est celui qui apparaît ici. Je le multiplie par deux. Ah oui, alors dans cette action, il restait le terme de masse carré. Mais comme c'est une constante, à part pour la valeur numérique, que l'action physique est la bonne valeur numérique, parce que, par exemple, un mécanique quantique, l'action, c'est un nombre qui est une valeur, ce terme-là n'intervient pas dans la variation dans les équations de l'air Lagrangien, parce que c'est juste une constante. Donc du coup, je peux travailler avec l'action simplifiée, si vous voulez, on apprime, qui est simplement g-mu nu x-point-mu x-point-mu. Et pour la solution de Schwarzschild, ça veut dire que c'est –1-2M sur rt-point-carré, c'est-à-dire le temps, le long de la ligne d'univers comme fonction du paramètre lambda que j'utilise ici, r-point-carré sur 1-2M sur r, plus r-carré theta-point-carré plus sinus-carré theta-fi-point-carré. Alors la première chose que vous pouvez remarquer, c'est qu'à cause de la symétrie sphérique, il est facile de voir que, si je me place initialement que theta est theta-point, si theta égale-fi sur 2 et theta-point égale à 0 initialement, c'est-à-dire que je me mets dans le plan équatorial des coordonnées polaires theta-fi, ça va rester une solution. Donc je peux fixer theta à pi sur 2. Et donc du coup, ce terme-là donne 1, et finalement, j'ai juste ça. Donc maintenant, je regarde le mouvement de quelque chose dans le plan équatorial. Et puis, cela grand-giens, il ne dépend pas. Il y a deux coordonnées cycliques qui est theta-fi. Cette action ne dépend ni de theta-fi ni de theta-fi. Donc immédiatement, par l'équation de... Parce que, en fait, ça, dans la définition générale, c'est le p-mu, c'est le moment conjugué, l'action qui est d-r-o-l sur d-r-o-x-point-mu, qui est ce qui apparaît ici dans le nombre de droites. Comme les coefficients métriques ne dépendent ni du temps ni de phi, vous voyez que ces dérivés sont nuls. Donc j'en déduis qu'il y a des lois de conservation. Donc c'est le théorème de notaires appliqués à ce lagangien très simple, qui me disent que p-fi, qui est égal à d-l sur d-fi-point-mu, mais si je prends la dérivée par rapport à phi-point-mu, comme j'avais le facteur 2 là, ça me donne r-k-r-fi-point-mu, où le point veut dire, par rapport au paramètre lambda, égal à constante. Donc ça, c'est égal à une constante. Et j'ai p-t, qui est d-r-l sur d-r-o-t-point-mu, le moment conjugué au temps, qui est moins 1, moins 2-m sur r-t-point-mu, est aussi égal à une constante. Alors cette constante-là, vous voyez que c'est le moment conjugué à phi, donc c'est ce qu'on appelle le moment cinétique en français, de la particule que j'appelle l. Et ça, comme j'ai un signe moins et que l'indicité est en bas, c'est moins l'énergie, parce que l'énergie est définie comme ayant l'indicité en haut, en tant que vecteur d'espace-temps. Et puis j'ai une troisième constante du mouvement, je vous rappelle, qui est que ça est égal à une constante. Donc, c'est-à-dire que l'agrangien est constante. Donc j'ai aussi la constante, qui est que moins au carré sur 1, moins 2-m sur r-t-point-mu, et dans lequel je remplace, donc le premier terme, ça serait t-point-carré fois 1, moins 2-m sur r-t-point-mu, mais si j'utilise ça, ça donne le 1, moins 2-m sur r-t-point-mu, passe en bas, donc le carré c'est ça, plus r-t-point-carré sur 1, moins 2-m sur r-t-point-mu plus l-carré sur r-t-point-mu est égal à moins mu-2. Et du coup, si j'introduis le potentiel, une fonction de r, qui dépend de r-t-point-mu et de mu-2 qui est 1, moins 2-m sur r-t-point-mu fois mu-2 plus l-carré sur r-t-point-mu, je définis ça, mais juste parce que cette équation-là, si vous la réécrivez, elle s'écrit, r-t-point-carré plus ce potentiel w-l-mu-carré de r est égal à l'énergie au carré, l'énergie relative-iste au carré. Mais du coup, vous voyez que cette équation-là, elle a une forme Newtonienne qui dit que l'énergie cinétique du mouvement radial, plus une certaine énergie, un potentiel effectif radial, est égal à une constante. Donc cette équation-là, elle est comme chez Newton, si j'avais une particule qui bouge par rapport à un certain paramètre qui n'est pas le temps, mais le temps propre, en fait, le long de la ligne d'univers, mais avec ce potentiel effectif. Et donc je vais pouvoir résoudre les choses explicitement. Dans quel potentiel ça bouge, si vous regardez ce potentiel en le développant, vous voyez qu'il vaut mu-carré, c'est un potentiel relative-iste, c'est un terme de constante d'énergie de masse qui joue tout le même un rôle essentiel. Il y a, en développant là, ce terme-là, fois celui-là, donne moins deuxième mu-2 sur R. Donc ça donne un potentiel Newtonien en moins d'un sur R. Donc là, j'ai une particule qui est dans un potentiel avec triffres moins d'un sur R. J'ai le potentiel centrifuge carré du moment cinétique sur L2. Et puis, la nouveauté de la relativité générale, c'est que le produit de ça par ça me donne une correction au potentiel centrifuge, qui est moins deuxième L-carré sur R3. Alors si vous faites des petits dessins, vous voyez que ce WL, comme fonction de R, alors le fait qu'il y avait la solution sur Schwarzschild, vous voulez dire qu'il y avait ça en facteur. Autrement dit, quand R vaut deuxième, ça s'annule ce potentiel. En dehors de ce point-là, je retrouve le potentiel centrifuge en plus L2 sur R2, qui est quelque chose comme ça. Et puis après, j'ai le potentiel attractif en moins m sur R. Donc cette fonction-là, à l'infini, elle tend vers mu-carré, ce qui correspond à aller vers la masse au repos. Et puis, j'ai quelque chose qui peut ressembler à ça. Et donc, du coup, qualitativement, vous voyez tout de suite les solutions pour les particules autour de Schwarzschild, parce que vous allez avoir, par exemple, si vous êtes ici, ça va au minimum de ce potentiel, vous allez avoir une particule qui reste à R égale constante. Donc ça, c'est des trajectoires circulaires. Si je suis ici, je vais avoir des choses qui bougent entre un rayon minimum et un rayon maximum. Donc ça, comme des trajectoires elliptiques. Et puis vous voyez qu'il y a des choses plus compliquées, parce que si je suis là, je vais tomber vers R égale à deuxième. Et puis, ici, j'ai fait la figure pour le cas où le moment signétique L carré est assez grand. Si le moment signétique est trop faible, je ne vais peut-être même pas avoir de trajectoires circulaires du tout. Mais pour les planètes, on se place au voisinage d'une solution du genre Newtonienne, où le L carré est assez grand. Et une planète va donc être un mouvement comme ça. Donc, il faut comment résoudre cette équation-là ? En fait, résoudre cette équation-là, c'est assez facile. Vous pouvez utiliser les vieilles transformations de variable de binet, c'est-à-dire que vous êtes comme vous faites à l'école pour le potentiel Newtonien. Vous prenez la variable insurère que vous appelez U, vous remplacez là-dedans, et vous trouvez que le U satisfait comme conséquence de ça une certaine équation. Et si je veux avoir la forme de la trajectoire en fonction de phi, je vais exprimer U non pas en fonction du paramètre, mais en fonction de l'angle phi. Et pour faire ça, j'écris que du U sur des phi est égal à du U sur des lambda, divisé par des phi sur des lambda, c'est-à-dire U point sur phi point, U, vous insurère, donc ça, c'est moins insurère de R point sur phi point, mais j'utilise le fait que phi point est donné par cette équation-là, qu'on tient insurère de R, etc. Donc je peux éliminer aussi le paramètre qui apparaît ici et le remplacer par la description de la forme de la trajectoire quasi-élyptique en fonction de phi, et ça me donne l'équation suivante. U prime ou prime maintenant veut dire dérivée par rapport à phi, U prime carré plus U2 est égal à U2 moins Mu2 sur L2, plus 2M Mu2 sur L2U, plus 2M U3. Alors, si vous regardez cette équation-là, ça vous dit que le carré de la dérivée première d'une fonction est égal dans le membre de droite, un polinôme du troisième ordre en U. Donc ça, je peux le résoudre exactement si je veux par des fonctions élyptiques, vailleur-strasse et compagnie, mais si on veut, comme l'affaire Einstein, le faire en calcul de perturbation, je peux aussi différencier cette équation par rapport à phi une nouvelle fois, ce qui va introduire la dérivée seconde de U. Je perds de l'information en faisant ça, mais c'est plutôt simple. Et donc j'ai une équation du type U seconde plus U est égal, très simple, M Mu2 sur L carré, au moment signétique, plus 3M U2. Et maintenant, en regardant les ordres de grandeur, on voit facilement que ce terme-là est un terme qui est une correction relativiste, qui est numériquement petit. Si ce terme-là n'était pas là, la solution générale de cette équation-là, U seconde plus U est égal à une constante, c'est la solution U0 est égal à une combinaison linéaire, il y a une constante, et puis cause de phi, puisque la solution de U seconde plus U égal à 0, c'est cosineus et sinus de phi. Et donc la solution générale, c'est A plus B cosineus de phi, mais ça représente, comme U est égal à un sur R, c'est une ellipse. Donc là, on retrouve la solution de l'ellipse, un sur R est une fonction linéaire de cosineus de phi, le coefficient s'appelle l'excentricité. Mais maintenant, je peux résoudre cette équation-là par perturbation en disant, ça, c'est la solution à l'ordre le plus bas, et je dois trouver une correction due à ce terme-là. Alors, une façon de faire le calcul, c'est de remplacer cette solution là-dedans et de trouver la solution du deuxième ordre. En fait, il y a une façon un peu plus élégante de trouver quel est les termes importants, soit vous le faites par un calcul brutal, soit vous dites que quand je remplace une fonction linéaire comme ça de 1 plus E cosineus phi dans ce carré, je développe ce carré, je vais avoir une constante, je vais avoir des termes linéaires en cosineus de phi, et puis je vais avoir cosineus carré de phi. Cossinus carré de phi par une identité trigonométrique, c'est cosineus de phi plus une constante. Donc, ça veut dire que dans le membre de droite, je vais avoir soit des constantes, soit du cosineus de phi, soit un terme linéaire en cosineus phi, c'est-à-dire qu'il est comme une constante fois U lui-même, puisque U était linéaire en phi. Et maintenant, quand je regarde cette équation-là, j'utilise la théorie de la résonance, parce que dans le membre de gauche, j'ai un oscillateur harmonique par rapport à la variope phi. Et donc dans le membre de droite, j'ai un couplage qui force l'oscillateur, qui le fait bouger. Si ce couplage n'a pas la fréquence de résonance de ça qui est la fréquence 1, puisque ici c'est-à-dire quelque chose qui est à cosineus phi ou sineus de phi, il n'a pas d'effet séculaire. Par exemple, cosineus de phi dans le membre de droite, il y a une solution U égale cosineus de phi pour une constante, et puis rien ne se passe. En vanche, si dans le membre de droite, j'ai quelque chose qui a la même fréquence de résonance, ça va faire quelque chose dans l'oscillateur. Ça veut dire qu'il faut que je prenne le coefficient linéaire de U dans le membre de droite et que je le mette dans le membre de gauche et ça va me changer la fréquence qui était ici 1 dans une nouvelle fréquence. Donc quand vous faites ça, vous trouvez qu'effectivement, d'abord c'est un calcul très simple, vous verrez les notes du premier cours ont été mis sur le site web de l'IHES et les notes du deuxième cours seront mis aussi sur le site web de l'IHES. Quand vous faites le calcul tel que je l'ai indiqué, le terme linéaire en fait alpha, ce coefficient qui apparaît ici, il est égal, il y a un 3 et puis il y a un 2, parce que quand je développe ça, j'ai le carré qui donne un facteur 2. Donc on trouve assez facilement que alpha est égal à 6M sur P0. Et si je fais passer dans le membre de gauche, j'ai donc une équation U seconde plus 1,6M sur P0 U est égal à quelque chose qui n'a maintenant plus de termes résonants à droite. Mais ça, c'est une équation d'un oscillateur harmonique, U seconde plus Omega 2 U est égal à quelque chose, ou la fréquence par rapport à Phi, Omega carré vaut ça, donc Omega est la racine carré de ça. Ça, c'est quelque chose de petit, ce que vous rappelez, c'est GM sur C2, donc Omega vaut 1,3M sur P0. Et du coup, ça vous dit immédiatement que parmi les solutions, la solution résonante va être U est égal à 1 sur P1 plus E cosinus. Ça, ça modifie ce qui apparaît devant le Phi dans le cosinus, plus des termes en cosinus de Phi avec la même fréquence ici. Donc vous trouvez que vous avez quelque chose qui est une ellipse déformée par des cosinus de Phi, mais le point important, c'est que l'ellipse n'est pas en cosinus Phi, mais en cosinus de quelque chose qui diffère de 1. Et ce calcul-là, où le 6 qui est ici vient uniquement du 3 et du 2 qui est là, donc c'est quelque chose de très facile à faire, vous dit que cette ellipse, elle tourne, elle fait une rosette au lieu d'avoir une ellipse qui est fixe dans l'espace. Elle tourne parce que U qui vaut 1 sur R retrouvera la même valeur maximum au minimum, non pas après un angle de Pi, mais un angle de Pi divisé par 1,3M sur P. Si je développe ça au premier ordre, ça veut dire 2P x 1 plus 3M sur P. Et donc j'en déduis que l'angle entre un... Ici, ce n'est pas le Péréli, mais c'est la Péré, le plus loin, enfin un peu importe. Cet angle-là, Delta Phi, est égal à 2P x 3 x M sur P, c'est-à-dire 6P x M, la constante d'intégration qui apparaît dans la solution de Schwarzschild, divisé par P ou P est le paramètre de l'ellipse, qui est ce P-là. Ce P-là veut dire le demi-grand taxe multiplié par l'excentricité au cas, et c'est juste la définition habituelle du paramètre d'une ellipse. Donc voyez, le calcul est assez simple, vu comme ça, ça montre que les trajectoires des planètes, en fonction de leur demi-grand taxe et de leur eccentricité, avancent de façon positive, c'est-à-dire ça va plus vite que depuis, plus loin que depuis. Et si vous faites le calcul numérique en fonction des valeurs que j'ai données là, donc 1,5 km, etc., vous appliquez ça à la planète la plus proche du soleil, comme c'est en un sur le demi-grand taxe, cet effet est le plus grand si vous êtes le plus proche possible du soleil, et c'est là où Einstein a obtenu que Delta Phi, à partir de cette valeur-là, est égale à 43 secondes d'arc par siècle, ce qui coïncidait avec, approximativement, avec l'avance du périodier de mercure connue à l'époque, donc ça, c'est pour mercure. Et aujourd'hui, si vous refaites le calcul avec les valeurs les plus exactes et les mesures les plus exactes, vous trouvez qu'effectivement, d'abord, on a démontré récemment que le moment quadrupolaire du soleil qui longtemps a été une question est en fait négligeable, donc il n'y a pas de correction du moment quadrupolaire du soleil, et donc ça coïncide au troisième chiffre, à 10-3 près. Bien. Donc je vais m'arrêter là, je vais juste dire en un mot que vous pouvez faire... Ici, c'est le calcul pour un mucaré non nul, c'est-à-dire une particule massive qui tourne autour du soleil. Le même calcul marche si je prends mucaré égal à zéro, c'est à dire que je considère un photon, un rayon de lumière. Donc vous faites les mêmes calculs, tout ça s'applique, tout ces trucs-là, c'est le même. La seule différence, c'est que ici, je dois mettre mucaré égal à zéro. Et donc maintenant, j'ai le potentiel effectif pour la lumière, et vous voyez que du coup, ce potentiel, à part le fait que, comme mucaré égal à zéro, il ne tend pas vers mucaré à l'infini, mais il tend vers zéro, donc ça veut dire que sa forme, il n'y a pas de minimum possible. La forme du potentiel effectif pour un photon, il s'annule toujours ici, comme il s'annule, il aura un maximum, et puis là, il tend vers zéro, comme elle carré sur R2. Et maintenant, comment on interprète ça ? Vous voyez, une particule de massenule qui vient de l'infini, elle va être à... Elle va bouger là. Ici, c'est un point de retour, où l'air point carré égal à zéro. Et puis le repas, et ça, ça correspond à quoi ? Ça correspond autour du soleil à voir quelque chose qui, à l'infini, est sur une ligne droite et qui est d'effléchir avec un certain angle. Ok ? Qui fait comme ça. On voit aussi des choses intéressantes, c'est qu'il y a ce point particulier qui est un maximum, donc ça vous dit que si vous mettez un photon à ce point-là, il va tourner en rond autour dans la solution de Schwarzschild. Donc il existe, dans ces solutions-là, des light drinks, des anneaux de lumière, où des photons peuvent tourner en rond. Mais il faut être pour ça, ce maximum, c'est facile de le voir, il est égal à 3M. Donc si vous pouviez vous approcher à 4,5 km, si le soleil était d'une taille plus petite que 4,5 km de rayon, il y aurait des photons qui tourneraient autour du soleil. Mais sinon, pour les photons ordinaires qui passent assez loin, vous pouvez faire le... En fait, par essentiellement le même calcul que je ne vais pas refaire, c'est-à-dire utiliser cette équation-là, mais vous voyez, avec Mucarregal à zéro, vous résolvez cette équation-là par perturbation, une seconde plus su, égal à un terme U2. Il n'y a pas le problème de résonance, mais vous trouvez de nouveau une solution qui est comme ça. Et ici, le coefficient, dire Phi n'apparaît pas, et donc vous avez une déflexion de la lumière, et vous trouvez que la déflexion de la lumière, qui, donc cet angle-là, par le même calcul que j'ai montré, est égal à 4M sur le paramètre d'impact, c'est-à-dire, c'est la distance entre l'assam-tote du rayon lumineux qui arrive de l'infini, si on la prolongait par rapport à la distance perpendiculière au soleil, donc paramètres d'impact. Donc ce calcul a aussi été fait en novembre 1915 par Einstein, et si vous appliquez ça à la taille du soleil, donc un rayon de 700 000 km, et vous mettez petit thème ou 1,5 km, donc vous avez 4 fois 1,5 km, 6 km divisé par 700 000 km, donc ça vous donne pour le soleil, pour un rayon rasant au soleil, ça vous donne quelque chose qui vaut 0,86, 10,5 radians, et en seconde d'arc, c'est égal à une seconde 75. Effect qui a été mesuré plus tard. Voilà, donc pour ne pas vous prendre trop, je vais m'arrêter là, et... Oui, Pierre ? – On va calculer Newtonian, c'est de pas petit. – Ah oui, donc si on faisait un calcul, si on disait que le photon était attiré par le potentiel Newtonian en M sur R carré, une force Newtonienne, on trouverait ici un 2 plutôt qu'un 4. – Oui, la façon simple de prendre... – Oui, la façon simple, c'est que... C'est que à l'approximation Newtonienne, la métrique contient pour G001-2U sur DT2, et que la théorie de la roulette étejale dit que la métrique d'espace aussi est modifiée, comme on verra, elle est modifiée dans d'autres systèmes de coordonnées par 1 plus de Dx carré. Et maintenant, d'après... Une façon très simple de voir les choses, c'est que d'après le principe de Fermat, une géodésie qu'isotropie, c'est ds2 égale à 0. Donc, ça me dit que si je calcule Dt, le long, donc Dt carré est égale à 1 plus 2U divisé par 1 moins 2U, donc ça donne 1 plus 4U. Si je prends la racine carré, ça simplifie le facteur 2, et donc j'ai 1 plus 2U sur C carré Dx, module, ou parmi ce 2U, il y a un terme qui vient d'ici, de la truc Newtonienne, et un qui vient de la géométrie d'espace. Donc ce facteur 2, la moitié vient de ce terme-là. Et maintenant, d'après le principe de Fermat, les rayons lumineux minimisent le temps d'été, et donc ce sont des géodésiques d'un espace courbe euclidien multiplié par ça, où l'effet, le facteur 2, vient pour moitié de la courbure d'espace, du fait que la partie spatiale est courbée, et moitié de la limite Newtonienne pour G00. Donc ça, c'est l'origine du facteur 2. En théorie Newtonienne, si on disait que je ne connais que G00, l'effet gravitationnel, et je n'ai pas la courbure d'espace, j'en déduirai un principe de Fermat, où j'aurai U sur C2, et en faisant le calcul de déflexion, je trouve la moitié de la déflexion de la lumière. Voilà. C'est ça, ce facteur 2. Donc ce facteur 2, là, il est profond. C'est dû au fait, dans les équations d'Einstein, j'ai une courbure de la partie spatiale, j'ai Igi et aussi de G00, et qu'elles ont des poids opposés les uns, et qu'ils s'ajoutent quand je prends le théorème de Fermat. – Einstein avait fait le calcul purement Newtonien ? – Non, Einstein avait pas fait le... Si, il avait fait un calcul purement Newtonien. En fait, en 1907, Einstein avait prédit que la déflexion de la lumière devrait être égale à deuxième sur B. Et il y a un astronome prussien qui a lancé toute une expédition pour profiter d'une éclipse de soleil qui avait lieu en 1914 en Crimée, ou je ne sais plus où. Et il a envoyé une expédition en Crimée. Ils sont arrivés en Crimée pour l'éclipse en août 1914, qui est le déconchement de la guerre, et du coup, les autorités locales les ont empêchés de mesurer l'éclipse. Donc il n'y a pas eu cet eclipse mesuré par Finlay, comme il s'appelait déjà, je ne sais plus, il y a le nom, il s'est éconnu, Finlay, Finlay, Finlay. Ce qui était bien pour Einstein, parce que l'année suivante, Einstein, parce qu'à l'époque, Einstein avait une... Einstein pensait que la géométrie était DS2, et t'égales à moins un, moins deux u sur c2, dT2, plus dX2. Il pensait que la géométrie spatiale n'était pas modifiée. Donc il avait prédit le facteur de Finlay-Frendlisch. Et deux ans plus tard, Einstein a obtenu la théorie de la relativité générale, où ça, il modifiait, et donc il a multiplié sa prédiction d'un facteur d'une. Donc c'est heureux qu'on n'ait pas pu, grâce à la guerre de XIV, qui s'est déclenché en août XIV, on n'a pas fait une manip qui aurait montré que Einstein, que la déflexion, était plus grande que ce que prédisait Einstein, puisqu'après, on aurait dit qu'Einstein avait changé de théorie après l'effet expérimental. On dit que là, il a fait une deuxième prédiction, en 1915, disant que l'effet était double. Et celle-là, il était vérifié en 1919. Voilà. Topo historique. Autre question ? Oui, je ne peux pas dire de bêtises. Est-ce que dans cette 43 secondes par siècle, qu'on tenait, qui lui était déficient, on ne tenait compte, à ce moment-là, de l'action des autres planètes ? Oui, oui. Les autres planètes, c'est 500 secondes d'arc. C'est Le Verrier. Il n'a pas modifié ça. Le Verrier, en 1845, a fait une théorie générale du système solaire, où il fit tous les paramètres, toutes les masses, et il a trouvé que tout marchait, sauf un résidu inexplicé, qui, à l'époque, valait 38,5 secondes d'arc par siècle, qui a été raffiné après, à 42, 43 secondes de d'arc. Donc, il n'y avait pas de doute qu'il y avait cet effet supplémentaire. Mais cet effet est tout petit, par rapport au... Oui, bien sûr. Mais donc, on a surement fait le calcul relativiste avec toutes les autres planètes. Oui, ça, ça va être la suite. Alors, après, si on tient compte de toutes les... Pour vraiment expliquer les choses, ici, on suppose qu'il n'y a que le soleil qui perturbe les choses et on rajoute l'effet du soleil. Pour être sûr que cet effet soit correct, il faut tenir compte de la description relativiste du problème à Encore pour qu'il n'y ait pas d'effet qui vient de modifier ça. C'est ce qu'on fera la prochaine fois. Y a-t-il d'autres questions ? Non. Très bien. Merci.