 اسلام علیکم تو سب لوگ ٹھیک تھا کہوں گے پچھلے لیکچر میں گریٹنگ میں نے بتائی تھی میکنے تیشنز کی وہ آپ گیا دوگی تو ہی بیٹھا ہے جو ایک بیٹھا ہے اور یہ کہ اس لیکچر میں ہم سیکنڈ فندمینٹل تھیرم اف کالکلس جو ہے اس پہ فوکس کریں گے کافی بڑا تھیرم ہے زیرہ سیکنڈ فندمینٹل تھیرم ہے کالکلس کا تو یہ بیسٹیک مجو طوپک جو ہوجائے اس لیکچر کا تھیرم ہوگا اور دیکھ لیں گے کہ تھوڑی دیر میں ہے کیا وہ سارہ تھیرم تو اس میں اب ابھی تک ہم کیا کچھ کر چکیں پریویس لیکچرز کے حوالے سے اور اب کیا اس سب جو ہم نے باتے کی ہیں پریویس لیکچرز میں ان کے حوالے سے اب ہم کیا کیس طرح اس کو دیوالب کریں گے وہ تھوڑا سا دیسکس کر لیتے ہیں تو ابھی تک وہی بات ہے کہ انٹیکرل کالکلس ہم کے اوپر فوکس کر رہے ہیں جو ڈیفنسییشن ہے وہ تو ہو چکی ہے لیکن یہ کہ اس ساری دیسکشنز میں جو پیچھلے لیکچرز میں ہم نے کی انٹیکرل کالکلس کے حوالے سے اور اس میں ایریہ پروبلم جو تھی فکورز ظاہر ہے وہ ایک میجر طوپک تھا یعنی وہ ہی انڈر دیسکشن رہا کافی کہ ایک گفن کنٹنیوز فنکشن کے نیچے گراف کے نیچے اگر ایریہ معلوم کرنا ہے تو وہ کیسے معلوم کیا جو سکتے ہیں اور اس میں دیکھا ہم نے کہ انٹیکریشن کا کانٹسیب جو ہے وہ نیچریلی ارائس کرتا ہے اس کانٹیکٹس میں کہ جی آپ ایریہ معلوم کرنا چاہر ہیں گراف کے نیچے ایک فنکشن کے تو اس میں انٹیکریشن کا کانٹسیب انوالد ہوتا ہے اور انٹیکریشن کا کیا ہے کانٹسیب یہ ہی ہے کہ جی آپ دیفنسییشن کا الٹ کرنا چاہتے ہیں فکورز وہی سرہ ہم نے ابھی تک کیا بھی ہے وہ سب کچھ کے اگر کوئی فنکشن آپ کو دیا ہوئے گفن ہے تو اس کے کورسپورننگ ایک ایسا فنکشن دھونا ہے جس کو اگر ہم دفنشیٹ کریں تو ہمارے پاس جو پہلے گفن فنکشن تھا وہ آجائے اس کا رزلٹ تو یہ بیسکلی انٹیکریشن کا کانٹسیب تھی یہ تھا سارا بیسکلی جس کو ہم انٹیکریشن کے طور پر ہم نے اس کو دیکھا تھا پھر ہم نے دیفنٹ انٹیکرل کے بارے میں بات کی تھی کہ جی کیا چیز ہوتی ہے وہ اور اس میں یہ تھا کہ ایسا فنکشن دھونا ہے جس کو ایسا فنکشن دھونا ہے اس کو ہم نے ایک دیفنٹ انٹیکرل کی طور پر ڈفائن کیا تھا اور دیفنشن میں وہ ہی تھا کہ جی ایک لیمیٹ ہے آپ کے پاس سمیشن اور وہی بات تھی کہ سمیشن جو تھی ورپرزینٹ کرتی تھی اپرکسیمیشن اور اپرکسیمیشن کس طریقے سے ہم رپرزینٹ کرتے تھے وہ سم جو تھی سمیشن اس کا خاص نام تھا ریمان سم بلکے ہم نے ریمان کے بارے میں بھی بچھ بات چیٹ کی تھی پیچھلے لیکچر میں تو تھوڑا سا ہیسٹوریکل بیگران دیکھاتا تو اپنی اس پہ بھی آپ نے تھوڑا سا غور کیا ہوگا کیونکہ ہیسٹری اپنی فیلڈ اور خاص طور پر خاص طور پر میتھمیٹکس میں جو کہلے جیے کہ ایک زائر کا جو آتا ہے یا فلیوڈ جو آتا ہے میتھمیٹکس پرنے کا وہ اس کی ہیسٹری سے آتا ہے کیونکہ جب تک آپ کہیں گے کہ جیے میتھمیٹکس جو ہے وہ تو صرف بہت سارے کچھ فورملوز ہیں جن کو آپ یاد کر لیں یا رٹلیں چیک ہے وہ بھی ایک اس کا حصہ ہے رٹنے پڑتے ہیں تاکہ ہمیں اس کے پیچھے کونٹسپس ہوتے ہیں وہ کروشل چیز ہوتی ہے کہ جی ان فورملوز کے یہ جو فورملے آئے ہیں ہمارے پاس یہ کہاں سے آئے تو اس کی تھیوری ہم ظاہر ہم دیکشن بھی کی بہت سارے فورملوز ہم نے دیرائف کیے لیکن اس سے پہلے اس کی تھیوری دیکھی لیکن تھیوری دیکھنے سے پہلے اگر آپ اس تھیوری کا بیگرون دیکھلیں کہ جی اس کا سارا جو یہ آپ کے پاس آج اتنی ساری ایک well develop تھیوری ہے اس کی ہیسٹری کیا ہے اور کونٹسے وہ کرکٹرز تھے جنہوں نے اس پے کام کیا تو میرے خار سے وہ کافی انترسٹنگ ہو جاتا ہے توپک وہ کونٹسپ جس کے بارے ہم دیکشن کرنا چاہ رہے ہوں اس میں میں ایک دفعق گیالوہ کے بارے میں بھی بات کی تھی ایک ماثیمتیشن تھے جن کا میں کہا تھا کہ بڑا ہی ایک رومینٹکسا فگر ہے ماثیمتکس کی ہیسٹری میں فرنچ ماثیمیٹیشن تھے اور 16 سال کی عمر میں انہوں نے شروع کی تھی محت کرنا اور 21 سال میں جناب وہ پولیٹیکس میں چونکہ بہت انوالف تھے 1800 کی فرنچ پولیٹیکس میں تو of course ہی وہ actually killed in a duel یہ جو پرانے زمانے میں duels ہوتی تھی جس میں جی وہ پسٹورے لے کے کمر سے کمر لگا پھر باک کرتے تھے اور ایک کچھ قدم چلنے کے بعد مرکے شوٹ کرتے تھے ایک دوسرے کو جو بچ جاتا تھا تو وہ جناب آپ کا جسے کہتے ہیں جو جیتا وہ سکندر تو وہ آپ کا ہیروہ جاتا تھا اور جو مرگیا وہ مرگیا تو گیلوان of course چھوٹا بھی تھا عمر میں کافی 21 years old when he fought this duel and lost actually تو لیکن یہ کہ مرنے سے پہلے گیلوان ایک کافی contribution کی mathematics میں اور ایک پوری گیلوان تھیوری کے نام سے ایک mathematical theory ہے جس کے بارے میں ہم پہلے بات کر چکیں تو یہ بھی ایک طرح کا motivation ملتی ہے کہ جب میں نے پہلے بار سنہ یہ کہانی سنی گیلوہ کی اور پھر یہ دیکھا کہ اس نے contribution کیا کی ہے mathematics کی دنیا میں تو I was very surprised کہ and I was actually very motivated یعنے مجھے بڑا اچھا لگا کہ بھی mathematics جو میں سوچتا تھا کہ جی وہ بس کچھ formula ہوتے ہیں بس یات کر لو نمبر آ جائیں گے لیکن وہ چیز نہیں ہے اس میں تو لوگ very motivating concept ریمان کا بھی ہم نے دیکھا کہ اس کی بھی کچھ history تھی contribution کیا کی تھی اس نے ایک famous mathematician گاؤس کا آخری student تھا یہ بھی ایک بہت unixی بات ہے اور ایسا آخری student جس نے calculus کی دنیا میں کافی contributions کی وہی topic جس کے بارے میں آج کل بات چیت کر رہے ہیں تو خیل جناب یہ تو کچھ تھوڑی سی motivation تھی کہ پہلے بھی میں اس کے بارے میں بات چیت کر چکا ہوں یا کینن کر چکا ہوں کہ math کو پڑھنا چاہیے as a wholesome subject صرف یہ نہیں کہ جی بس formلے یات کر لیے یا بس کچھ ان کو جلی جلی یات کر کے solution ڈکالے اور جی جواب آگیا اور applied science ہے اور بات ختم جی نہیں اس میں بہت لوگوں نے contribution کی ہے بڑی مہنت کیے intellectual مہنت تو اس کو ہم appreciate کرنا چاہیے چاہے ہم mathematics mathematicians بنے یا نہ بنے کیونکہ جب یہ appreciation ہمارے in the develop ہو جائے گی mathematics کے لیے تو پھر ہم واقی میں کہا سکتے ہیں کہ جی ہم ایک کہہ لیں کہ modern society بن چکیں کیونکہ intellectual جو وہ ہوتی ہے contributions اس کو appreciate کرنا بڑی اچھ بات ہوتی اور modernization کی نشانی ہوتی بسکلی اچھا جی تو یہ تو چلیں ہوگیا تھوڑا سا historical sermon یا کہہ لیں ایک teacher کی حاسیس سے جو مجھے سرمن دینا چاہیے اب یہ ہے کہ ہم mathematics میں کہا آج کے لیکچر میں کیا بات کرنی ہے آج کے لیکچر میں میں کہا second fundamental theorem of calculus کی بات کریں گے اور یہ دیکھیں گے کہ یہ relate کیسے ہوتا ہے جو پشلے لیکچر میں immediately ہم نے دیکھی تھی کچھ چیزیں integration کی حوالے سے اور ان میں سب سے important things جو تھی وہ تھی first fundamental theorem of calculus اس کی بعد ہم نے پشلے لیکچر میں کی تھی اس میں یہ تھا کہ ہم نے دیکھا تھا کہ وہ جو آپ کا theorem ہے وہ کیا کہتا ہے کافی important theorem ہے کہ اس کی وجہ سے آپ definite integrals کو quickly solve کر سکتے ہیں یعنی definite integrals کی ظاہر a definition جو تھی وہ تو کافی لمبچوری ہے limits ہیں اس میں remands sums ہیں اور کافی calculation کرنی پڑتی ہے اس کو avoid کرنے کا طریقہ یہی تھا first fundamental theorem of calculus اور اس میں یہ ہے کہ اگر آپ antiderivative معلوم کر لیتے ہیں اپنے given function کا تو بس آپ یہ جو ہے آپ کا definite integral اس کو evaluate کرنا بڑا سان ہے آپ antiderivative کو جو function آپ نے معلوم کیا اس کو آپ evaluate کر لیتے ہیں at the end points of your given interval جس کو ہم a اور b ہمارا interval تھا تو آپ antiderivative جو capital F سے ہم نے denote کیا تھا اس کو evaluate کرتے ہیں upper limit پے یا outer end point of the interval which is b اور اس میں سے subtract کر لیتے ہیں the antiderivative function capital F evaluated at the lower limit of integration یا lower end point of the interval اور وہ result بیسکل جو آتا ہے وہ آپ کا definite integral کا آنسار ہوتے اچھا جی اب ہم اسی کی بارے میں چونکہ بات کر رہے ہیں first fundamental theorem کی تو اس میں ظارسی بات ہے میں جیسا بھی کہ first fundamental theorem تو ایک ذریع ہے ایک طریقہ بتاتا ہے آپ کو definite integral کو evaluate کرنے کا تو اس میں یہ کہ اور وہ بات ہے کہ آپ ایک بار اگر دھون لیتے ہیں antiderivative اپنے اس فنکشن کا جس کا definite integral معلوم کرنا چاہ رہے ہیں تو بیسکل life بڑی آسان جاتی ہے first fundamental theorem apply کرتے ہیں اور result آجاتے ہیں لیکن سوال یہ ہے کہ کیا ہمیشہ antiderivative معلوم کیا جا سکتا ہے ایک given function کا کی نہیں یعنی condition so میں پتا ہے کہ ایک function continuous ہونا چاہیے تو usually اس کا antiderivative معلوم ہو جاتا ہے اب یہ سوال ہے کہ نہیں بلکہ ایسے کہنا چاہیے کہ ابھی تک جو ہم نے دیکھیں ہیں functions continuous functions وہ ایسے تھے جن کا antiderivative exist کرتا تھا کوئی guarantee نہیں تھی ابھی تک کہ اگر میں آپ کو ایک function دیتا ہوں continuous function تو اس کا antiderivative exist کرے گا یا نہیں کرے گا ہم نے دیکھا کہ جو examples ایک ہی اس میں یہاں دیکھا کہ جیہاں exist کرتا تھا لیکن کوئی hard and fast ایسا کوئی theorem نہیں تھا جو guarantee کرے کہ جی واقی continuous functions جو ہوتے ان کا antiderivative exist کرتا ہے ہمیشہ اس کی کوئی guarantee نہیں تھی اب یہ ہے کہ ٹھیک ہے first fundamental theorem تو ایک بڑی اچھی تکنیک ہو گئی for evaluating once we have found the antiderivative of our continuous function that we are trying to find the definite integral of لیکن یہ کہ how do we know کیا ایسا ایک function کا antiderivative exist کرتا ہے یا نہیں یہ جواب اس سوال کا جواب وہ ہمیں ملتا ہے second fundamental theorem of calculus سے جس جو ہمارا major topic ہوگا آج کے لیکچر کا تو اب تھوڑا سا یہ پرویو ہو گئے تو اب شروع کرتے ہیں دیکھ لیتے ہیں آج کا topics اور جن جن کے بارے میں ہم بات کریں گے آج کے لیکچر میں ان کو لکھ لیتے ہیں آج کا topic جناب of course کئی دفعہ میں ابھی already second fundamental theorem of calculus یہ ہمارا topic ہے آج کا اور جو سب topics ہیں یا جو agenda ہے آج کا جس کے بارے میں بات کریں گے وہ ہے جناب سب سے پہلے ہم دیکھیں گے ایک dummy variable کیا چیز ہوتی ہے um dummy variable کیا ہوتا ہے دیکھ لیں گے ابھی اس کی definition اس کے بعد ہم دیکھیں گے a definite integrals with variable upper limit یعنی ایسے definite integrals جس میں upper limit جو ہے ایک number نہیں ہوگا یعنی عام طور پہ b ہوتا تھا اس کی جگہ ہم کوئی variable کی طور پہ استعمال کریں گے ایک variable کو کسی کو یہ ابھی دیکھ لیں گے تھوڑی دیر میں اس کی details بھی اس کے بعد جناب of course ہمارا جو major topic ہے second fundamental theorem of calculus اس کے بارے میں بات کریں گے پھر ہم دیکھیں گے اسی second fundamental theorem کو استعمال کر کے ہم ایک طرح سے پروف کریں گے the existence of antiderivatives of continuous functions یعنی یہ ایک سوال تھا جو میں نے ابھی تھوڑی در پہلے کہا کہ یہ ایک سوال ایسا ہے جس کا جواب ابھی تک ہمارے پاس نہیں تھا اس کو ہم resolve کر لیں گے کہ جی اس کا جواب کیا ہے وہ دیکھ لیں گے اور آخر میں پھر ہم دیکھیں گے ایسے functions جو integration یعنی integrals کی طور پہ دیفائن کی جا سکتے ہیں اور ان کی details بھی تھوڑی در میں ابھی ہم شروع کرتے ہیں تو دیکھیں گے اچھا جی تو اب شروع کرتے ہیں پہلے جو topic تھا dummy variables ان کے بارے میں باچیت کرتے ہیں کہ dummy variables کیا ہوتے ہیں تو dummy variables بیسکلی اس طرح سے دیکھنا چاہئے کہ جب integrals کی بات ہوتی ہے یہ دیفائنٹ integrals کی تو اس میں ہم جو ابھی تک ہم نے variables استعمال کیا ہے function کے لیے وہ x تھا یعنی جتنے بھی ہم نے functions انتگریٹ کیا ہے یہ جن کا دیفائنٹ integrals معلوم کیا وہ تھے جناب f of x dx لیکن یہ ضروری نہیں ہے ہم نے شاید ایک example کم اس کم دیکھی ہوگی جس میں ہم t variable یعنی letter جو ہے وہ بھی استعمال کر سکتے ہیں f of t بھی ہو سکتے یعنی انتگریل بن جائے گا f of t d t بلکہ جب substitution کی تھی ہم نے you substitution کی بات کی تھی تو اس میں جو ظاہر ہے ہم نے جو given function تھا جس کو ہم انتگریٹ کر رہے تھے اس کے اندر x کی terms میں دیا ہوا تھا اس کو ہم نے کہا اس کا بھی یہ بہت کمپلکیڈڈ ہے درکلی انتگریٹ کرنے کے لیے تو اس کو ہم نے convert کیا تھا into a function of you تو you جو تھا وہ ایک a different letter تھا alphabet کا جو ہم نے استعمال کیا to represent the variable of integration بیسکلی تو یہاں پر بھی ایک طرح وہی conceptor dummy variable جو وہ بیسکلی یہ جو variable of integration ہے اس کو اب dummy variable کیا سکتے ہیں تو تھوہا سہ اس کے بارے میں ٹیکنیکل جو باتیں وہ لکھ لے دیں کیا ہیں اس میں ہم نے کا مقصد کچی ہوں ہے کہ اگر ہم لکھتے ہیں کہ جی integral a to b f of x dx اور ساتھ میں ایک اور انتگرل میں لکھتا ہوں f of t dt a سے b تک اور پھر ایک انتگرل لکھ لیتے ہیں a سے b تک f of y dy تو اس میں نوٹ کریں کہ یہاں پہ سپسٹوشن کی exactly بات نہیں ہو رہی ہے یہاں پہ جب you سپسٹوشن ہم کرتے تھے to integrate to find the definite integral اس میں ہم نے نوٹ دیکھا تھا کہ جب آپ سپسٹوشن کرتے ہیں تو آپ کے جو limits تھے integration کے x limits جنے ہم نے کہا تھا کیونکہ original function x کی terms میں تھا لہذا جو limits تھے integration کے جنے a اور b کے طور پہ ہم لیتے ہیں ابھی بھی میں نے وہ لکھا ہے ان کو x limits limits کے طور پہ ہم نے treat کیا تھا کہ وہ limits تھے defined in terms of the x variable لیکن جب you سپسٹوشن کی تو پھر ہم نے ان کو convert کیا تھا using the you into you limits اور وہ ضروری تھا اس کے بغیر آپ کا definite integral کا جواب سے ہی نہیں آتا یا ایک اور طریقہ یہ تھا کہ آپ پہلے the definite integral اس کو اس کے limits ھٹا دیجے for a second treat it as a indefinite integral ڈیگریٹ کریں جب جواب آجائے اس کو واپس x کی terms میں لیاں اور پھر evaluate کر لیں using the first fundamental theorem of calculus تو وہ صوری سی different چیز ہے یہاں میں جب میں لکھا ہے اس میں کہنے کا مقصہ صرف یہ تھا کہ یہ جتنے بھی تین integrals رکھے ان میں limits ہوئیں جو a سے b تک لیکن جو function ہے اس میں میں variable کا نام change کر دیئے یعنی substitution کوئی نہیں کیے میں نے میں نے صرف یہ کہاں کہ جہاں x لکھا ہے وہاں پہ اس x کی جگہ میں اگر t ڈال دیتا ہوں یا letter y ڈال دیتا ہوں تو کوئی فرق نہیں پڑے گا formula میں substitution میں تو یہ ہوتا ہے کہ آپ کا پورا formula change جاتا ہے integration کا ہوتا ہے وہ چینج جاتی ہے اسان ہو جاتی integrate کرنے کے لیے یہاں پہ میں صرف نام چینج کر دیئے یعنی اگر میرا نام فیصل ہے اور کوئی میں کہاں کہ جی میرا ایک اور نام کچھ لوگ مجھے شاہ کے نام سے بلاتے میرا middle name جو تو آدمی تو میں وہی رہا ظاہر ہے نام چینج ہو گیا doesn't matter nothing changes basically تو لیکن point ہے کہ اس کا کیا مقصہ دے why are we introducing this new this concept of a dummy variable یعنی جوanner between this x or t or y میں نے کہاں these are variables of integration اس کو dummy variable اسلی کہتے ہیں it doesn't affect the whole structure of the integral تو اس کی حال کے ہم ایک صرف ایکزمپل لگر کریں گے تو صرف کلر ہو جائے گا کہ یہ جو میں نے تین چیزے ابھی لکھی تھی اسکرین پر اس میں go کے میں نے variable of integration change کر دیا تھا x , t or y لیکن جب آپ انٹگریٹ کریں گے اس سارے تینوں انٹگریلس کو جواب ایک ہی آئے گا تو مخصت کہہنے کہ یہ کہ گو کے آپ نے ویریبل چینج کر دیئے آپ کا انٹگریل چینج جائیں گو ہے لہذا آپ کا جو رزلٹ آئے گا اس انٹگریل کا ڈیفنٹ انٹگریل کا یہاں سکتا ہوں گا تو یہ جو نام اگر میں چینج کر دیتا ہوں لیٹر کا یہ اس کا ویریبل اف انٹگریلس کا لیٹر چینج کر دیتا ہوں تو اس کو اس کا دم thing to do یہاں سکتا ہوں گا اس طرح بھی کہہ سکتے ہیں کہ یہ ایک دم thing to do لیکن چینج نہیں ہے لہذا اس کو دمی ویریبل چینج کر دیتا ہوں گا اس کی اجامل کر لیتے ہیں تو تھوڑا سکلیر ہو جائے گا کنسپٹ کے کس چیز کی ہم بات کر رہے ہیں اگر میں انٹگریلٹ کر رہا ہوں 1 سے لیکے 3 تک x2 dx کو تو اس کا x2 کا ایک انٹگریلٹیف جو ہے وہ ہے x3 divided by 3 اس کو اویلیوٹ کرتے ہیں 1 اور 3 پر use first fundamental theorem of calculus تو result آتا ہے 26 divided by 3 اسی طرح اگر میں یہاں پہ اب اس کو x کی جگہ لکھ لیتا ہوں انٹگریلٹ 1 سے لیکے 3 تک of t2 dt تب بھی کوئی فرق نہیں پڑے گا اس کے جواب میں کیونکہ t2 dt کا جو انٹگریلٹ ہے وہ ہے انٹیڈریلٹیف ہے وہ ہے t to the power 3 divided by 3 اس کو evaluیٹ کر لے ہیں 1 سے لیکے 1 پر 3 پر تو جواب آتا ہے again 26 divided by 3 اور سمجھللی اگر میں لکھوں انٹگریلٹ 1 سے لیکے 3 تک of y square dy جواب ہوئی آئے گا y cube divided by 3 evaluated at 1 and 3 end points and the result again is 26 divided by 3 تیک جی تو یہ کنسپ تھا ڈمی ویریبل کا اس کی تھوڑی سی آپ سوچ رہے ہوں گے ہاں جی یہ تو بڑی سیمپل سی بات ہے اس میں بہت بڑی بات کوئی نہیں ہاں واقعی کوئی بڑی بات نہیں لیکن ٹیکنگلسی بات ہے تو it's good to have it you know in your in your minds کہ اس کو ہم اس میں اس کے بارے میں کیا ڈیٹیلز ہیں اس کو ہم استعمال کریں گے in some things تو یہ ہم دیکھلتے ہیں کہ کنہاں استعمال کریں گے استعمال ہم کریں گے جب ہم next topic بھی بات کرتے ہیں جو تھے کہ تھا جی کے definite integrals جس میں جو upper limit ہے آپ کی integration کا وہ ایک variable ہو یعنی مثال کے طور پہ مخصت کہہنے کا کیا ہے مخصت کہہنے کا یہ کہ اگر آپ دیکھیں ڈیکرل from a to x of something یہ بیچ میں something کچھ بھی ہو سکتا ہے کوئی بھی function ہوگا we don't care لیکن مخصد یہ کہ اب b کی جگہ b ایک number تھا یہاں پہاں میں x لکھ دیا ہے which represents a variable تو یہاں پہاں ہوتا کچھ ہوں ہے کہ چونکہ upper limit integration کا وہ بھی x بن چکا ہے اور عام طور پہ جو ہم integrants لکھتے ہیں یعنی جن functions کو ہم انٹیکریٹ کرتے ہیں وہ بھی functions ہوتے ہیں in terms of the variable x تو تھوڑی سی confusion ہو سکتی ہے create جب ہم یہ integral evaluate کریں گے یعنی آپ کا upper limit جہاں وہ بھی x ہے اور جو function آپ انٹیکریٹ کر رہے ہیں وہ بھی define ہو ہوا ہے in terms of x تو کہنے کا مخصد یہ ہے کہ یہاں پہ کچھ confusion create ہو سکتی ہے تو اس confusion کو avoid کرنے کے لیے ہم یہاں پہ یہ جو dummy variable کا concept ہم نے introduce کیا تھا وہ استعمال کریں گے اور ہم کہہ سکتے ہیں کہ جہاں پہ بھی upper limit جو ہے وہ x variable کو استعمال کر کے represent کیا جا رہے تو اس میں ہم function کا جو variables کو change کر دیں گے from x to anything else یعنی اگر f of x dx کو آپ انٹیکریٹ کر رہیں a سے لے کے x تک تو بہتر ہوگا کس کو آپ لکھیں in the form a to x integral of f of t dt یا f of y dy یا f of any other variable of integration یعنی آپ اپنے English Alphabet سے کوئی بھی variable چوز کر سکتے ہیں a letter چوز کر سکتے ہیں to represent this variable ابلکہ English language سے کیا جب ہمارے پاس variables ختم ہو جاتے ہیں تو we can always choose from Urdu یعنی آپ میں f of alif d alif لکھ سکتا ہوں کو حج نہیں ہوگا یعنی کسی بات ہے لیکن میں رخار سے انٹرسٹنگ ہے شاید ہمیں کوشش کرنی چاہیے کہ ہم اپنی mathematics کو Urdu میں کنورٹ کر دیں تو زیادہ مزای ہے لیکن یہ کے چلیں اب آگے چلتے ہیں کہ دیکھتے ہیں اس سے کیا develop کر سکتے ہیں ہم کوئی concepts تو concepts کی بات ہو رہی ہے develop کرنے کی تو ایک example کر لیتے ہیں جس جو آپ کو اس as integrals میں ہوگا involve جو جس کا اپنے مجھے ہے وہ ایک variable ہے تو دیکھتے ہیں کہ ایسے integrals کو کیسے evaluate کرتے ہیں evaluate ہمیں کرنا ہے جناب example میں the integral of t square d t from to all the way to the variable x تو اس کا جواب آپ کے پاس اس کو مطلب integrate ویسے کریں گے جیسے کوئی اور arm definite integral ہم evaluate کرتے ہیں تو یہ آ جائے گا جناب اس کا result t cube divided by 3 یہ antiderivative ہے t square کا اس کو اب ہم evaluate کر لیں گے at the end points x and 2 using the first fundamental theorem of calculus تو result آئے گا x to the power 3 divided by 3 minus 8 divided by 3 تو یہ کوئی خاص change نہیں ہوئے اس میں طریقہ جو ہے integrate کرنے کا ایسے integrals کو جہاں پر upper limit کوئی variable ہو بالکل ویسے یہ جیسے ابھی تک ہم کرتے ہیں یعنی different integral کو جیسے evaluate کرتے ہیں اسی طرح سے ایسے integrals کو بھی evaluate کریں گے جن کا upper limit کوئی variable ہوگا تو یہ اس میں اب یہ بھی آپ سوچ رہے ہوئے بھی کہ یہ what's the point کہ یہ upper limit variable کیوں ہیں یہ variable اس میں وہی تھوڑا سا concept اگر آپ کو یادو کافی پہلے ہم نے بات کی تھی جب ایک area under the curve کی ہم نے بات شروع کی تھی تو اس میں ہم نے کہا تھا کہ جی اگر آپ area ایک interval پر معلوم کرنا چاہ رہے ہیں a سے لے کے b تک تو اس کی بجائے آپ area کو ایک function کے طور پر define کر سکتے ہیں اگر آپ b کو ایک variable کے طور پر treat یعنی b کی بجائے آپ ایک solid values a اور b کی بجائے آپ کہتے ہیں کہ میں a سے start کروں گا اوپر آپ کے پاس ایک curve ہے اسے اور یہاں سے آپ extend کریں گے آسطا آسطا اپنا a کو move کریں گے b کی طرف اور جہاں پر آپ رکیں گے in between اس کو x کہلی جے تو ایک طرح کا آپ کے پاس area x تک جو آئے گا وہ ایک function بن جائے گا area function in terms of x اور جیسے جیسے x move کرے گا ویسے ویسے جو یہ area function ہے وہ آپ کو area کی values دیتا جائے گا تو اس طرح سے اگر آپ سوچیں اور یہی آت کریں کہ area جو ہے وہ definite integral کی ہی form میں کے ذریعی ہی define کیا جاتے ہیں under the curve تو یہ جو ہے integral جو ہم نے دیکھا جس میں upper limit ایک variable ہے it automatically ties into that concept کہا جی یہ ایک area function بتا رہے کہ area defined so far یعنی so far سے مراد یہ کہ b سے پہلے پہلے جتنے بھی values take on کر سکتے x variable that far you can define an area function اور یہ بیسکل وہی concept یہاں پر تو یعنی اب یہ بھی دیکھیں کہ جو integral آپ نے evaluate کیا بھی example میں اس میں جو result آیا وہ کوئی number نہیں تھا definite integrals کا result ہمیشہ جن کے limits numbers ہوتے ایک number result آتا ہے یہاں پر ایک function آیا یعنی آپ نے جب اس کو integrate کیا تو resulting thing was a function rather than a number تو اس میں بلکہ جیسے ایک طرح کی بات اس طرح بھی دیکھ سکتے ہیں کہ جب derivatives کی بات کی تھی ہم نے differentiation میں تو اس میں ہم نے شروع اسی طرح کیا تھا کہ ہم derivative معلوم کرتے تھے at some given point تو اس میں یہ ہوتا تھا کہ result جو آتا تھا وہ ایک number آتا تھا پھر ہم نے کہا کہ جی اگر ہم number جو یہ جو point تھا وہ ایک real number ہوتا تھا اور اس کی وجہ سے result بھی ایک real number آتا تھا لیکن ہم کہتے ہیں کہ جی جو point ہے a اس کو اگر ہم variable کر دیں x تو resulting answer was actually a function اور اس کو پھر ہم نے کہا تھا کہ یہ derivative function ہے اور اس سے پھر ایک derivative function کا concept develop ہوتا اسی طرح یہاں پھر ایک integral function کیلیجے کہ جو variable والے integrals ہوتے ہیں these are actually giving you a function at the end اچھا جی تو یہ concept بھی develop ہوگیا کہ کچھ aس a integrals ہوتے ہیں جن کا upper limit جو ہے وہ variable ہوتا ہے ٹھیک ہے اب سوال گیا ہے کہ جی کیوں ہم نے یہ دو concept سبھی تک develop کییں ایک dummy variable کا اور aس a integrals کا جن کا upper limit جو ہے وہ ایک variable ہوتا تو جواب یہ ہے اس کا کہ اب چونکہ ہم major topic جو ہمارا وہ ہے second fundamental theorem of calculus جو ہم اس لیکچر میں ادریس کرنا چاہ رہے تو اس کی ہمیں of course وہ focus ہے main تو اس کے بارے میں بات کرنے کے لیے ہمیں یہ دو چیزے develop کرنے پڑیں اور ان کو ہم استعمال کریں گے second fundamental theorem میں جب اس کی ہم تھوڑی سی detail میں جائیں گے تو dummy variable کا concept بھی استعمال ہوگا اور یہ جو integrals with upper limit as a variable وہ بھی ہم استعمال کریں گے تو آئیے اس کو شروع کرتے ہیں اس کے بارے میں بات چیت second fundamental theorem of calculus اچھا اب وہی بات ہے کہ ایک لیکچر تھا کافی پہلے جو کارسپورن کرتا ہے آپ کے text book کے section number 5.1 say basically اس میں ہم نے بات کی تھی یہ جو ابھی تھوڑی در پہلے میں آپ کو بتایا کہ ڈیئریہ کو ہم نے ڈیفائن کیا تھا اگر ہمارے پاس یہ تھا کہ situation کو چیون تھی کیا اگر ہمارے پاس کوئی function ہے continuous function f which is also non-negative on a given interval non-negative سے مراد یہ ہے کہ اس کی جو values آتی ہیں function کی for various x values are either greater than or equal to zero یعنی اس کا جو گراف اگر آپ بنایں تو وہ x axis سے اوپر ہی اوپر رہے گا یا x axis کو تچ کرے گا اس سے نیچے نہیں جائے گا تو ایسے function کی ہم نے بات کی تھی اور اس میں ہم نے کہا تھا کہ وہی concept جو میں ابھی تھوڑی در پہلے دسکس کیا کہ آپ کہتے ہیں کہ اس کے نیچے ایسے function کے گراف کے نیچے ہمیں ڈیئریہ معلوم کرنا ہے on the interval a b تو اس میں یہ تھا کہ آپ نے ایک وہی کیا کہ جی x تک ایک آر پویںٹ اندیوز کیا x جو کنک variable point ہے اور a سے شروع ہوکے وہ جہاں بھی رکھتا ہے وہاں تک وہ آپ کو ایک function area define کر دیتا ہے a of x تو اس کو پھر ہم نے مزید دیوارپ کر کے ہم نے کہا تھا کہ جی جو ایک بہت بڑی بات تھی libnits اور newton نے کہی تھی in terms of finding this area function تو وہ یہی تھی کہ جو اس کا area function کا derivative جو ہوگا وہ برابر ہوگا اس function کے جس کے گراف کے نیچہ آپ area معلوم کر رہے ہیں in the first place تو ایک بہت بڑی بات تھی یہ بھی اس کی philosophically دیکھا چاہا ہے اس کو اگر تو یعنی کہانے کا مقصد یہ ہے کہ اگر ہم اس کو لکھ لیتے ہیں تو پوری سٹیٹمنٹسٹ کچھ ہوں تھی کہ اگر let's say that if we have f a non-negative continuous function over the interval a b and a of x represents the area under the curve y equals f of x over the interval a comma x تو یہاں پہاں a سے b تک جو انٹرول ہے اس کے اندر ایک چھوٹا سب انٹرول ہوگا a سے لے کے x تک اور x جو ہے وہ کوئی بھی point ہو سکتے تو f of x کا over the interval a comma x as a function of x then the derivative of a of x which is a prime of x is equal to the function f of x اور اس کو ہم لکھ لیتے ہیں for a minute as capital B اس کو denote کرتے ہیں اس ایکویشن کو تاکہ ہم اس کو استعمال کریں بات میں تو یہ وہی بات ہے جو پہلے بھی میں کچھوکا ہوں ابھی تھوڑی در پہلے پھر سے کہی کہ جو area کا جو function اس طرح سے ہم نے proof کیا تھا section میں lecture میں کہ area جو function ہے اس کا derivative جو ہے وہ برابر ہوتا ہے اسی function کے جس کے نیچے آپ area معلوم کرنا چاہ رہے تو concept یہ تھا کہ once you know this fact یہ تو ہمیں پتا ہے کہ جی derivative جو ہے وہ given function کی برابر ہے تو اب ہم اگر اس کو انتگریٹ کریں اس equation B کو دونوں سائٹ پے تو ہمارے پاس original a of x function آجائے گا تو مخصد یہ ہی تھا کہ ہمیں a of x معلوم نہیں تھا لیکن اس equation کو استعمال کرتے ہوئے ہم a of x جو area function ہے معلوم کر سکتے ہیں this was a big thing تو اس میں یہ کہ کچھ تھوڑا سی ایک پکچھر بنالتے ہیں تو تو تھوڑا سکلیر ہو جائے کہ کیا باتچیت ہو رہی ہے یہاں پھر یہ دیکھ لیں پہلے بھی ہم دیکھ چکیں اس پکچھر کو تو اس میں آپ کا جو اب ایک سٹیٹمن دیکھی تھی اس کے corresponding جو پکچھر ہے اس میں آپ دیکھ سکتے ہیں کہ area over the interval a comma x کا کیا مطلب ہے اور function کون سا ہے f of x کون سا ہے اور a of x کون سا ہے تو جناب یہ ہو گیا آپ کی پرانی بات جو ہم دیکھ چکیں اب اس کو استعمال کرتے ہوئے ہم further develop کرتے ہیں اب ہم ایسا کرتے ہیں کہ area function جو ہے ظاہر ہے وہ جو بھی ہوگا چونکہ area represent کر رہا ہے تو اس کو ہم definite integral کے طور پر لکھ سکتے ہیں ظاہر اسی بات ہے area is defined in terms of the definite integral اس کی ایک definition تھی تو ہم لکھ سکتے ہیں اس کو دیکھ لیتے ہیں کہ a of x جو ہوگا we can now write this as the integral a all the way to x f of t dt تو یہاں پہ آپ دیکھ سکتے ہیں کہ یہاں پہ ہم ضورت ہی ایک ایسے integral کی جس کا upper limit جو ہوگا integration کا وہ ایک variable ہو اور یہ جو ہم نے بھی تھوڑی در پہلے دیکھی equation لکھی بھی area کی یہ وہ وہ بارا area ہے جو sub interval a سے x تک آپ معلوم کرنا چاہتے ہیں یعنی this is actually a functional یعنی ایک function کے طور پہ آپ integral جو آپ کا evaluate جب کریں گے تو ایک function آئے گا that'll be the area function of course تو یہاں پہ وہ بات بھی آپیں دیکھیں کہ میں نے چونکہ upper limit x تھا تو dummy variable جو variable of integration ہے اس کو میں نے x کی بجائے t کے دور پے لیا ہے تاک a confusion now تو اب یہ ہمارے پاس area کی ایک integral کی form میں اس کی equation آگئی اور بالکل صحیح ہے کیونکہ ہم area defining integrals کے ذریعے کرتے ہیں اور یہ وہ area ہے جو x تک آپ معلوم کرنا چاہ رہیں a سے لے کے x تک in the interval a comma b جیگہ جی تو اب اس کو اس کے بارے میں اب ہم کیا کر سکتے ہیں اب ایسا کرتے ہیں یہ جو equation میں نے لکھی تھی ابھی تھوڑی در پہلے a of x equals the integral a to x f of t dt اس کو differentiate کر لیتے ہیں ان اس کا derivative معلوم کرتے ہیں اور دیکھیں کیا ہوتا ہے تو آئیں دیکھیں اس کو اس میں دیکھیں کہ اگر میں derivative لیتا ہوں with respect to x of the area function a of x تو result آتا ہے d over dx of a of x equals a prime x ظاہر ہے نوٹیشنل بات ہے یہ تو d over dx of a of x is just a prime x لیکن a of x جو تھا وہ define تھا in terms of an integral تو چونکہ میں left-hand side پے derivative لیے رہا ہوں مجھے right-hand side پے بھی لینا پڑے گا تو result آتا ہے right-hand side پے d over dx of the integral a to x f of t dt اور یہ کس کے برابر ہوگا یہ برابر ہوگا f of x کے اچھا جی تو اب یہ سوال یہ ہے کہ d over dx میں نے جب integral کلیا a to x تک جو انتگرل تھا تو اس کا result f of x کیوں آیا یہ کہاں سے فالو کرتا ہے یہ obviously کر رہا ہے from that equation جس کو میں نے کہا تھا کہ ہم capital B کے طور پے لکھ لیتے ہیں وہ equation تھی from a very early lecture اور جو book میں section 5.1 ہے کہ اگر آپ a prime of x جو تھا برابر تھا f of x کے وہ جو give and function ہے یہ ہم کافی پہلے دیکھ چکے ہیں ابھی پھر سے میں نے لکھی تھی تو وہ capital B equation جو ہے وہ میں استعمال کیا یہاں پہ میں نے کیونکہ differentiate میں کر رہا ہوں a of x کو اور وہ result آتا ہے a prime of x بیچ میں جو ایک step ہے وہ یہ ہے کہ چونکہ a of x جو تھا وہ defined تھا in terms of an integral تو I have to take the derivative of that integral also but I know the answer the answer has to be f of x from that equation B using what we have discussed a lot earlier یعنی جو کچھ پہلے lectures میں ہونے discussion کی تھی وہ استعمال کرتے ہیں تو یعنی ایک خاص قسم کے انٹیکرال کا derivative ہے اب وہ میرے پاس اس طرح سے آگیا ہے اور وہ برابر ہے f of x کے یہ ہی this is basically it جس سے کہتے ہیں کہ یہ جو میں نے ابھی لکھی equation تھوڑی دل پہلے یہ basically represents the 2nd fundamental theorem of calculus اس کو ہم ثیرم کے form میں لکھ سکتے ہیں اور یہ ستیٹمن جو جو equation ابھی لکھی تھی ہم نے لکھی تھی یہ سارے continuous functions کے لیے true ہے یعنی as long as آپ کا جو function f ہے وہ continuous ہے تو یہ چیز true رہی گی تو اس کو اب ثیرم کے form میں لکھ لیتے ہیں اور وہ ہے 2nd fundamental theorem of calculus تو جناب یہ ثیرم ہے آپ کے سامنے the 2nd fundamental theorem of calculus اور ستیٹمن اس کی یہ ہے کہ let f be a continuous function on an interval i یہاں کوئی بھی انٹرول لے رہے ہیں i جو ہے وہ a comma b بھی ہو سکتے یا یہ a سے لے کے x تک بھی ہو سکتے arbitrary انٹرول ہے اور condition f بھی یہ ہے کہ continuous function ہنا چاہیے and let a be any point in i if capital F is defined by capital F of x equals the integral a to x f of t dt then f prime x capital F prime x equals small f of x at each point x in the interval i تو یہ جناب آپ کا ثیرم ہو گیا 2nd fundamental theorem of calculus اس کی ستیٹمن تھوڑی سی فرن دیکھیں اس کو read کریں تو شہد impact now اس کا لیکن یہ وہی بات ہے کہنے کی anti derivative اگر آپ کے پاس ہے وہ ایک defined ہے in terms of an an integral جس کا upper limit x ہے تو اس کو differentiate کریں گے اگر آپ تو وہ function جس کا an integral لے رہیں اور اس کا اور وہ function t کی terms میں ہے تو وہ evaluate کرنے کی بجائے آپ ایسا کہہ سکتے ہیں کہ جناب یہ تو برابر ہے f that function that you're integrating at the upper limit x تو اس اس ثیرم کو دو طریقی سے پڑھا جا سکتے اس کی understanding کیا رہ جاتی ہے بلکہ یہ لکھ لیتے ہیں کہ یہ دو طریقی کیا ہے تو دیکھتے ہیں ان کو we should read this theorem as if the integrand is continuous integrand سمراد وہ small f function جو ہم integrate کر رہے ہیں then the derivative of a definite integral with respect to its upper limit is equal to the integrand the function you're integrating evaluated at the upper limit یعنی مقصد کہانے کا یہ کہ جو upper limit ہے وہ چونکہ ایک x کے طور پر ہم لے رہے ہیں ایک variable کے طور پر تو اس کو بجائے آپ پورے function کو آپ integrate کریں اور پہلہ first fundamental theorem استعمال کریں اگر upper limit جو ہے وہ um وہ ہے variable ہے تو اس میں آپ اس کو function کو اس پر evaluate کیجے اور result آپ کے سامنے آجاتا ہے یہ تو پہلی چیز ہو گئی اس کو اس طرح بھی کہ سکتے ہیں کہ the derivative of a function representing the area under the curve of another continuous function small f is equal to the function small f on a given interval اور یہ جو سیکن پارٹ جو ہم نے جو سیکن سٹیٹمنٹ لکھی یعنی اس کو اندستان کرنے کے لیے second fundamental theorem کو یہ وہی چیزیں جو ہم کافی پہلے دیکھ چکیں اور ابھی تک ہم اس کی کئی دفعات بھی کر چکیں کہ یہ جو area function ہے یا وہ جو derivative function ہوتا ہے وہ برابر ہے اس function کے جس کے نیچے آپ جس کے گراف کے نیچے آپ area معلوم کرنا چاہ رہے تو اس کی تھوڑی سی سیمپل سی سٹیٹمنٹ ہے second fundamental theorem کی تو آدمی تھوڑی دیکھ لیے کنفیوز ہوتا ہے کہ اس میں کوئی بڑی بات نہیں ہوئی لیکن یہ جو دین چیزیں ابھی ہم نے دیکھیں ایک تو سٹیٹمنٹ دیکھیں اور پھر دو چیزیں اس کو اندستان کرنے کے لیے دو سٹیٹمنٹ سکیں ان پر خور کیجی یہ بڑی crucial ہیں اور انی سے اس کی understanding ہوتی ہے تو اس میں اپنے ایک ڈیمپل بھی کر لیتے ہیں لیکن ایک ڈیمپل سے پہلے کچھ تھوڑی سی notation کی بات ہے یہ میں لکھ دیتا ہوں notation کیونکہ کافی ڈیمپلٹ ہوتی ہے کنفیوزنٹ کر سکتی ہے تو اس کو کلیر کر لیتے ہیں جو تھیرم ہے second fundamental theorem اس کو عام طور پہ اسے بھی لکھتے ہیں کہ d over dx of the integral a to x f of t dt equals f of x یعنی یہ چیز ہم پہلے بھی دیکھ چکے ہیں جب ہم نے اس کو ڈیمپلٹ کیا تھا ڈییا کو لیکن جو ڈیمپلٹ ہے اس میں capital f prime of x استعمال کیا گئے اس کو اگر آپ ڈیمپلٹ کرنا چاہیں تو اس طرح سے بھی لکھ سکتے ہیں as the derivative of the integral itself equals the function that's given to you جس کا آپ ڈیمپلٹ معلوم کر رہے تھے with upper limit x تو آیا بیک ڈیمپل کرتے ہیں اس ڈیمپلٹ کی اور تھوڑی سی understanding اس سے کلیر ہو جائے گی ڈیمپل ہے جی کے ایک function ہے f of x equals x cube اور ظاہرہ یہ x cube function جو ہے یہ continuous function ہے یعنی یہ پوری real number کی لائن پے یہ continuous ہوتا ہے اس کی domain سارے real numbers ہیں تو اب ہم چونکہ یہ continuous ہے تو ہم second fundamental theorems استعمال کرتے ہوئے کہہ سکتے ہیں کہ d over dx of the integral a to x t cubed dt is just equal to x to the power 3 یعنی بجائے اس کے کہ میں یہ چیز بلکہ یہ انتگرل ہم نے تھوڑی در پہلے کیا تھا ایک ایک اگزمپل میں تو اس میں یہ کہ اس کو بجائے میں evaluate کرتا اور کہتا ہے کہ یہ رزلٹ آئے میں درکلی کہا سکتا ہوں کہ t cube کی جگہ آپ x ڈال دیں تو وہ آپ کا function آپ کا جواب آجائے گا اس انتگرل کا یعنی جو رزلٹ آپ کو چاہیے وہ function آجائے گا جس کو آپ انتگریٹ کر رہے اس کو چک کر لیتے ہیں کہ واقی یہ تیرم صحیح ہے کہ نہیں ایسا کرتے ہیں جو انتگرلہ بھی دیکھا ہم نے جس کا ڈرویٹف لیا اس کو درکلی انتگریٹ کر کے دیکھتے ہیں کہ جواب صحیح آتا ہے کہ نہیں تو چک کر لیجے کہ اگر آپ اس کو درکلی evaluate کریں گے تو آپ کے پاس آئے گا انتگرل کو t cube ڈیٹی ایکوالس t to the power 4 ڈیواریٹ بھائی 4 evaluated at a and x تو یہ فرس پندمل تیرم استعمال کر کے آپ اس کو evaluate کریں تو جواب آتا ہے one fourth x to the power 4 minus one fourth اب اس کو اگر آپ differentiate کریں تو جواب آتا ہے y equals x to the power 3 تو یعنی یہ اس اجامبل سے ظاہر ہوتا ہے کہ جو آپ نے second fundamental ڈیرم جو ہے آپ کا کالکلس کا یہ ایک کافی powerful ڈیرم ہے بجائے ایک لمبی چاڑی کالکلیشن کریں اور پھر اس کو differentiate کریں آپ ایکی سٹپ میں کہہ سکتے ہیں کہ ایک ڈیرل کو اگر میں differentiate کرتا ہوں تو جواب وہی فنکشن آتا ہے جس کا میں ڈیرل لیے رہوں with variable upper limit اچھا جی تو یہ اجامبل بھی ہو گئی اب جو crucial ڈیرم ایک اور topic ہے اس سیکشن کا وہ تھا کہ existence of antiderivatives of continuous functions یعنی ہم نے بات کی تھی کہ first fundamental ڈیرم میں تو ہم دیکھتے ہیں کہ ہمارے پاس اگر antiderivatives exist کرتا ہے اس کا function کا کسی function کا جس کو آپ ڈیگریٹ کر رہے ہیں تو ہم بڑے رام سے اس کو ڈیگریٹ کر لیتے ہیں جواب ہم نے دیکھا تھا وہ کیسے کرتے ہیں اب سوال یہ کہ کوئی بھی فنکشن اگر میں آپ کو دوں تو اس کا antiderivatives exist کرے گا کیونکہ اگر کرے گا تو first fundamental ڈیرم بڑی احسانی سے اپلائے ہو سکتے ہیں تو جواب اس کا یہ کہ جی اگر آپ کے پاس function جس کو آپ ڈیگریٹ کر رہے ہیں یہ جس کا antiderivatives معلوم کرنا چاہر ہیں وہ continuous ہے تو اس کا antiderivatives ہمیشہ exist کرے گا اور یہ جواب آپ کو ملتا ہے second fundamental ڈیرم of calculus کے ذریعے تو کیسے ملتا ہے یہ دیکھ لیتے ہیں let's write some stuff down second fundamental ڈیرم کی سٹیٹمنٹ اگر آپ دیکھیں وہ ہے کہ d over dx of the integral a to x f of t dt which is equal to f of x تو یہاں اس formula سے ظاہر ہوتا ہے کہ اگر میں لکتا ہوں یہ جو ڈیگریٹ ہے اس کو اگر میں نام دے دیتا ہوں capital f of x کا تو ظاہر ہے d over dx of capital f of x is equal to f of x یعنی یہ سیمپل سی بات ہے کہ ڈیگریل کو آپ نے ڈیگریل یہ جو آپ کے سامنے ہے a to x اس کو جب اوانچلی آپ ڈیگریٹ کریں گے تو result is a function and that function I am calling capital f and of course if I substitute this capital f in the equation for the statement of the second fundamental ڈیرم of calculus result آتا ہے d over dx of capital f of x is equal to small f of x تو یہ statement جو ابھی ہم نے دیکھی اور اس میں جو ہم نے ایک substitution کی capital f کی تو capital f کیا ہے capital f ایک ایسا function ہے جس کو اگر آپ ڈیفنشیٹ کریں تو result آتا ہے small f function اور small f of x جو ہے وہی تو وہ function ہے جس میں آپ انٹرسٹٹ ہیں یعنی اسی کو آپ ڈیگریٹ کر رہے تھے from a to x اور اس کے بعد اس کو ڈیفنشیٹ کریں تو original function آجاتا ہے f of x small f of x تو یہاں سے ظاہر ہو گیا بڑے کوکلی اور بہتی سمپلی کہ the second fundamental ڈیرم جہاں وہ گارنٹی کرتا ہے کہ اگر آپ کا function continues ہے یعنی function سے مراد یہاں پر میری وہ function جس کو آپ انٹیگریٹ کر رہے ہیں اور وہ ہے small f function تو اس کو آپ انٹیگریٹ کریں اور پھر ڈیفنشیٹ کریں تو آپ کے پاس وہی original function آتا ہے اس کا مطلب یہ ہوا کہ ایسے function کا انٹی ڈیریوٹیف جو ہے ہمیشہ ڈیسٹ کرتا ہے کیونکہ اگر نہیں کرے گا تو ظاہر ہے ڈیفنشیٹ گلات ہو جائے گی second fundamental ڈیرم of ڈیفنشیٹ کی اچھا جی اب آخری جو چیز ہے آج کی وہ ہے integrals یا functions define in terms of integrals only تو یہ کیسے ہوتے ہیں کون سے functions ہوتے ہیں ان کے بارے میں تھوڑی سی بات کر لیتے ہیں اس میں ہوتا کچھ یوں ہے کہ ابھی تک جو ہم نے بات چیت کیے اس میں جو ہم نے functions second fundamental ڈیرم of ڈیفنشیٹ کی first fundamental ڈیفنشیٹ کی اس میں ایسے integrals ہم نے دیکھے جن کا eventually جو ہم ان کو انٹیگریٹ کر سکتے تھے اور result آتا تھا ایک کوئی اور function یا کوئی number اگر definite integral ہوتا تھا اب سوال یہ کہ کیا کوئی ایسے functions بھی ہوتے ہیں جن کا integral معلوم کرنا نا ممکن ہے تو جواب یہ کہ جیہا بالکل ہے ایسے functions بہت ہیں بلکہ لات عاد ہیں زیادہ تر functions ہوتے ہیں یہ ایسے یہ تو بہت چھوٹی سی کلاس ہوتی functions کی جن کو آپ انٹیگریٹ کر سکتے ہیں using these very simple techniques we have seen تو ایک ایسا functions دیکھلتے ہیں کون سا ہے یہ ایک function ہے جناب ایک integral ہے اس میں ایک function جو ہے جس کو میں انٹیگریٹ کرنا چاہوں گا وہ ہے one divided by x یعنی یہ function ہم دیکھ چکے ہیں کافی پہلے صغرافی ہمیں پتا ہے اس کو میں انٹیگریٹ کرنا چاہوں گا one سے لے کے 3 تک تو اس میں دیکھیں کہ یہ function جو ہے one over x یہ continuous ہے 1,3 انٹرول پر تو لہاں زیادہ یہ انٹیکریبل ہے because a continuous function on the interval 1,3 تو اب second fundamental theorem of calculus سے میں کہہ سکتا ہوں درائٹلی کہ اس کا antiderivative جو ہوگا وہ ایک function ہوگا capital f of x equals 1 to x one over t dt یعنی یہ second fundamental theorem کی سٹیٹمنٹ کے تحت میں کہہ سکتا ہوں کہ this continuous function کا ایک antiderivative exist کرتا ہے on this interval 1,3 جہاں پہ جو انٹیڈریفٹیب ہوگا اس کی form ہوگی 1 سے لے کے x تک one over t dt x جو ہے وہ 3 سے چھوٹا یہ اس کی برابر ہوگا اب یہاں پہاں اس یہ میرے پاس antiderivative تو آگیا اب using the first theorem first fundamental theorem of calculus میں اس کو evaluate کرنا چاہوں گا تو اس کی evaluation کچھ یوں ہوگی کہ one over t dt کو اگر آپ انٹیگریٹ کریں one سے x تک تو یہ برابر ہوگی capital f of 3 minus capital f of 1 کی برابر capital f of 3 جو ہوگا چونکہ defined ہی انٹیکرل کی form ہے تو یہ برابر ہو جائے گا 1 سے 3 تک one over t dt کے اور اس میں سپٹریک کر لیتے ہیں انٹیکرل one سے لے کے one تک one over t dt لیکن نوٹ کیجئے کہ one سے one تک میں جو بھی انٹیکرل لوں گا اس کا result zero آئے گا یہ ایک statement ہم کافی پہلے دیکھ چکیں لہذا final answer آتا ہے one to three integral one over t dt تو یہ اس میں اب جو final answer آگیا integral one سے لے کے تین تک one سے لے کے تری تک one over t dt کا اس کو میں تگریلٹ نہیں کر سکتا یعنی its guaranteed کہ this is the anti derivative of the function one over x right لیکن there is no way میرے پاس so techniques نہیں ہیں ابھی تک جس میں ہم نے جو دسکس کییں جس کی ذریعے اس کا میں کوئی final ایک function form میں یا اس کا کوئی number form میں جواب آجا تو اس میں اب دیکھیں کہ یہ ہمارے پاس ایک function ہے جو define ہوا ہے integrals کے ذریعے یعنی کہہنے کا مقصد ہے کہ one سے لے کے x تک one over t dt جو ہے defines a function in terms of integrals یعنی ہمیں معلوم ہے کہ اگر ہم اس کو انٹیکریٹ کر لیں تو result would be a function but we don't know how to do it so we say this is a function defined in terms of integrals اچھا جی تو یہ آخری بات تھی آج کے لیکچر کی یہ بھی ہو گئی اور سب سے بڑی بات تو یہ کہ second fundamental theorem of calculus جو ہے وہ ہم نے دیکھا اور hopefully ہمیں سمجھ بھی آگیا ہوگا وہ ہی میں نے جیسے کہا کہ statement اس کی کافی سیمپل سی لگتی ہے لیکن اس کی understanding problems کریں گے تو آپ کو ہوگی کہ یہ کہنا کا مقصد کیا یعنی یہ اتنا fundamental queue ہے کہ اس کو اتنا special نام دیا گیا اور اس کو اتنی importance ہے calculus میں تو وہ آپ please کیجے گا ضرور homework assignments اور آپ سے پھر میری ملاقات next lecture میں ہوگی تب تک تک کیلے جادت اللہ حافظ