 Je sais un très grand plaisir de parler ici aujourd'hui devant mon directeur de thèse illégitime et mon directeur de thèse légitime situation un peu embarrassante et comme l'a expliqué Emmanuel ça a été un peu compliqué de forcer David à accepter cette journée même s'il a été très gentil et il a beaucoup insisté qu'il ne voulait pas qu'on fasse un panogérique de ses offens passés mais au contraire qu'on parle de nos résultats à nous récents mais évidemment je comme vous allez voir j'ai pas pu je bénéficie toujours de ce que j'ai appris avec David et vous allez voir qu'une bonne partie des outils que j'utilise viennent de mon expérience de non-doctorante avec David. Alors le titre c'est Spectre d'opérateur de transfert et Bia au cinéma. Donc il s'agit d'un résultat assez récent avec Marc Demers qui sera d'ailleurs apparu tout le mois d'avril et Carline Géloz-Bérani que vous pouvez trouver à 2015 c'est la date sur archive et c'est un article long et technique mais étant donné que ce public est assez diversifié je ne vais évidemment pas vous embêter trop avec les détails techniques donc d'abord je vais rappeler ce que c'est un bière de signail. Alors ce qui est important c'est de comprendre que je vais parler en fait le résultat nouveau est sur le flow bière donc le système bilamique a tant de contenus et l'autre chose qui est importante c'est de comprendre qu'on a un résultat qu'en dimension 2 Alors quand un mathématicien je veux jouer au bière en dimension 2 évidemment il commence par prendre un tord et ce qu'on va faire c'est qu'on va enlever un certain nombre d'obstacles donc on prend une réunion finie d'obstacles que je vais appeler OG et ces obstacles sont des ouvertes, d'adhérence disjointes et dont les bords sont assez sympathiques alors assez sympathiques ça veut dire qu'ils sont assez lisses et je mets C3 mais en fait il suffirait que ce soit un petit peu plus que C2 et pourquoi est-ce qu'on a besoin de C2 parce qu'on va parler de la courbure et il est important que les obstacles soient concaves donc là je vous dessine un certain nombre d'obstacles justement ça c'est toujours la question mais vous voyez sur le dessin ce que je veux dire et donc ça veut dire que la... oui moi j'ai envie de dire convex mais dans les livres on trouve écrit souvent concaves donc le bord de l'obstacle est décrit par une fonction dont la courbure est strictement positive d'accord et vous avez tous compris ce que je voulais dire alors là j'ai mis presque toutes les hypothèses, il y en a encore une qui manque, qui est importante mais pour formuler la dernière hypothèse il faut que je vous décrive la dynamique donc ça ce que je vous ai écrit pour l'instant c'est simplement la table du billard et quelle est la dynamique sur ce billard donc il y a une seule particule sur ce billard, une seule boule et elle n'a pas de dimension c'est une boule ponctuelle donc c'est l'orbite d'un point et la trajectoire, la dynamique est comme suit la vitesse est constante en module disons vitesse constante égal à 1 et en direction c'est constant sur la table de billard c'est-à-dire sur le complémentaire des obstacles donc c'est des droites, l'indroit et chaque fois qu'on rencontre un obstacle il y a une réflexion spéculaire c'est-à-dire l'angle incident est égal à l'angle réfléchi donc réflexion, je sais plus comment ça s'écrivait en français spéculaire, à chaque fois qu'on rencontre le bord, le bord d'un obstacle je n'appelais gamma la réunion des obstacles il n'y a une maîtrique clédière oui le billard on prend la maîtrise à la maîtrite ordinaire donc là il n'y a pas de... c'est un peu ennuyeux peut-être mais pour nous c'est déjà assez difficile comme ça spéculaire ça veut dire que l'angle incident est égal à l'angle réfléchi d'accord c'est ça oui oui j'ai pas fait de latin bon alors voilà et donc l'hypothèse que je n'ai pas encore écrite la dernière hypothèse qu'il faut faire c'est on suppose qu'on a un horizon fini horizon fini alors je suis même pas sûre que c'est vrai non c'est pas vrai pour le dessin que j'ai c'est au tableau horizon fini ça veut dire que le temps qu'il faut attendre pour rencontrer un obstacle est fini donc il n'y a aucune trajectoire qui ne rencontre pas d'obstacles il faudrait ajouter quelques obstacles le temps minimum entre deux collisions temps maximum entre deux collisions et fini voilà donc là j'ai toutes les hypothèses et comme je vous l'ai dit au début ce qui nous intéresse c'est la dynamique au temps continue mais en fait historiquement les gens se sont plutôt intéressés d'abord parce que c'est plus facile à l'application BIAR donc l'application BIAR c'est le système dynamique à temps discret donc le temps c'est z donc pas les dans le futur ou dans le passé et c'est une application qui va de la réunion des bords donc on part d'un point du bord et on attend jusqu'à ce qu'on rencontre le prochain obstacle et ça ça nous donne l'image sauf qu'évidemment quand on part de point du bord il faut aussi dire quel est l'angle initial d'accord donc ça c'est l'application BIAR et sinon il y a le flow BIAR sur lequel on a un nouveau résultat et ça c'est une dynamique à temps continue donc R que je vais noter systématiquement par un film majuscule et là on part d'un point arbitraire sur la table de BIAR on prend un angle qui est la direction initiale alors évidemment quand on est sur le bord d'un obstacle il y a certains ans qui sont pas permis mais je ne vais pas trop entrer dans ces détails techniques et donc pour tout temps réel ça définit une application on suit la trajectoire du flow jusqu'au temps T alors il y a une petite remarque qu'il faut faire c'est que l'application T elle n'est même pas continue d'accord vous voyez bien que l'application T elle n'est même pas continue parce qu'il y a des orbites qui sont un peu plus embêtantes que les autres ou intéressantes que les autres c'est ce qu'on appelle les orbites rasantes donc c'est les orbites qui sont tangentes aux obstacles et vous voyez bien que si vous changez un peu l'angle d'une orbite rasante vous allez avoir en ce qui concerne l'application un temps BIAR discontinuité puisque vous allez rencontrer l'obstacle I ou l'obstacle J deux obstacles différents selon l'angle que vous connaissez ça c'est discontinu et le flow il est un petit peu plus sympathique si on réfléchit un peu à cette question des orbites rasantes on voit que au niveau du flow on va quand même avoir la continuité mais on va pas être régulier on va être seulement régulier par morceaux Quelle est la définition de... S1 c'est la direction S1 c'est l'angle initial donc on prend un point n'importe où sur la table et alors là, comme je l'ai dit, si on part de bord de l'obstacle c'est un peu délicat mais je vais pas entrer dans cette discussion là mais là c'est l'angle initial on a un point avec un angle et ensuite le... Pourquoi on a la réflexion, l'angle n'est pas continue ? Ah oui vous avez raison, là effectivement j'ai triché c'est continu, si on l'identifie, je voulais éviter la discussion mais j'ai pas réussi c'est continu, si on l'identifie l'angle incident et l'angle réfléchit l'angle incident et l'angle réfléchit et dans certains cas on a envie de faire ses identifications dans d'autres cas on n'a pas envie de le faire ça rend les choses un petit peu plus compliquées nous ce qu'on a décidé de faire dans presque tout l'article ou même dans tout l'article c'est de pas faire ses identifications et donc en fait on n'utilise pas la continuité Alors quelles sont les propriétés sympathiques de cette dynamique les propriétés sympathiques c'est que c'est une dynamique uniformément hyperbolique Alors une façon de démontrer l'uniforme hyperbolicité si je me trompe pas c'est Wojtkowski qui a eu ce point de vue qui a en tout cas développé ce point de vue le premier c'est de montrer qu'on a des cônes qui sont strictement invariants dans l'espace tangent dans l'espace tangent je vais appeler ça disons omega et on va pas trop se préoccuper du fait que c'est pas vraiment une variété donc on a des cônes invariants donc un cône instable qui est envoyé dans lui-même par la dynamique future et un cône instable qui est envoyé strictement dans lui-même par la dynamique passée et cette propriété hyperbolicité permet de montrer par exemple qu'on a un exposant de diaponeuve positif un exposant de diaponeuve strictement positif un exposant de diaponeuve strictement négatif pour le flou on va avoir évidemment un exposant neutre dans la direction du temps et ça permet aussi de construire des distributions une décomposition de l'espace tangent en infibré instable et puis la direction du temps et on va aussi avoir des variétés stables et des variétés instables donc ça ressemble beaucoup à la situation classique de la dynamique différenciable hyperbolique donc les différemorphismes et les flots d'anoseuf mais par contre il y a une chose qui est difficile ou intéressante selon votre point de vue c'est comme j'ai essayé de l'évoquer il y a un instant on a des singularités donc c'est une dynamique hyperbolique différenciale mais avec des singularités donc comme je l'ai dit tout à l'heure c'est dû aux orbites rasantes qui sont là et donc par exemple si pour le bière soit à temps continu soit à temps discret on peut introduire un temps de première collision ou prochaine collision cette application elle est seulement un demi-holder par morceau c'est un petit calcul que je suis absolument incapable de faire au tableau mais que vous pouvez faire en utilisant le fait que la courbure est strictement positive normalement c'est comme des petits cercles et bien on voit que ce temps de première collision c'est une fonction qui est essentielle ce qui est important ici c'est pas le par morceau c'est le un demi-holder donc il y a vraiment une régularité qui est intrinsèque au système et une autre propriété qu'on peut démontrer c'est que les dérivés ou la dérivée divergent près des ambites alors c'est pas tout à fait vrai parce que quand vous avez une ambite rasante il y a deux façons de l'approcher qui sont assez différentes et d'un des côtés on va vraiment avoir des problèmes de dériver des divergences dynamiques bon alors qu'est-ce que pourquoi est-ce qu'on appelle ça un bière de signeuil ? parce que signeuil a démontré il y a assez longtemps une propriété importante qui est une propriété de comportement statistique probabiliste de ce système dynamique donc il faut qu'on ait une mesure invariante alors pour le flot en fait c'est un flot qui est c'est un flot amiltonien avec des singularités donc par définition il préserve la mesure ordinaire la mesure de le bec ou de vieux villes ça c'est une question de terminologie la mesure ordinaire que je vais noter mu pour le bière à temps discret pour l'application bière il faut travailler un tout petit peu plus il faut construire la mesure invariante une mesure qui est absolument continue par rapport à le bec et que je vais noter mu 0 donc pour les deux systèmes on a une mesure invariante qui est une mesure de probabilité invariante et qui est qui a un lien avec la mesure de le bec et alors signeuil a démontré que la mesure mu pardon la mesure mu 0 pour T et la mesure mu pour Phi sont ergodiques et même ils ont une propriété un peu plus forte et une propriété de mélange quand on sait qu'un système dynamique est mélangeant donc qu'est ce que ça veut dire que T mu 0 est mélangeant ça veut dire que si vous prenez deux fonctions dans L2 et puis que vous regardez le produit de l'une itérée par l'autre ça converge vers le produit des moyennes si vous regardez la moyenne de ce produit donc mélangeant ça veut dire que ce site envers zéro pour toutes les pour toutes les observables Phi et Psi qui sont dans L2 alors une question qu'on peut poser c'est la question de la vitesse de mélange et ce qui a été démontré par Laix-Sangyeon il y a presque 20 noms non c'est qu'on a en fait un mélange exponentiel mais attention ça c'est pas vrai pour toutes les observables L2 c'est vrai si on a une réalité disons Euler ou C1 c'est pas très important Euler par exemple et la démonstration de Laix-Sangyeon elle utilisait une espèce de partition de Markov infinie et un peu plus récemment il y a une nouvelle démonstration par Demers et Jang une démonstration un peu plus moderne j'espère avoir le temps de dire quelques mots maintenant pour le bière pour le flow bière alors le résultat qui était connu jusqu'à l'année dernière c'était un résultat de mélange sous-exponential donc de nouveau pour des observables disons on va dire C1 pour simplifier ce qui avait été démontré par Chernoff en 2007 et il y a aussi un il y avait un résultat aussi fort à peu près au même moment par Melbourne c'est qu'on avait un mélange sous-exponential ça veut dire qu'au lieu d'avoir T ici on a racine de T enfin on a une puissance de T plus petite que 1 et le nouveau résultat principal que je veux discuter un peu aujourd'hui c'est donc ce commun avec Demers et Liverny et donc vous avez deviné sans doute on obtient le mélange exponentiel pour des observables C1 ou Wolder c'est pas très important pour les annotations voilà donc je vous ai déjà dit ce qu'on a démontré donc ça va je peux respirer un peu à partir de maintenant non je vais essayer de vous expliquer pourquoi est-ce que c'est un peu pourquoi est-ce que c'est plus difficile d'obtenir le mélange exponentiel à ton continu et à ton discret et puis surtout je veux vous parler un peu des opérateurs de transfert donc l'outil principal de notre démonstration alors j'aimerais juste faire avant de parler des opérateurs de transfert j'aimerais juste faire une remarque donc même dans le cas sans singularité et donc là je parle plus des bières je parle des diféos ou flodanosophes qui sont des systèmes hyperboliques mais différentsiables c'est beaucoup plus difficile d'avoir le mélange exponentiel pour les attendis continue à ton discret et pour vous convaincre de ça il suffit de vous donner les deux dates donc 72 pour le mélange exponentiel à ton discret donc les dissonalasophes et 98 au 96 je sais plus je vais mettre 96 mais je pense que c'est 98 en fait par dolgopiat qui était donc un étudiant de signail mélange exponentiel à ton continu donc les dates sont déjà assez plaires et maintenant au point de vue mathématique je peux vous faire un petit dessin si vous prenez un difodanosoph donc F c'est un difodanosoph j'ai oublié de dire bien sûr que je veux supposer qu'ils sont topologiquement mélangeants donc vous prenez un difodanosoph qui est topologiquement mélangeant et une façon très simple de construire un flodanosoph à partir d'un difodanosoph c'est de prendre un temps de retour donc là c'est M symbolisé par un intervalle et vous construisez un flodanosoph sur une variété dimension 1 de plus en montant verticalement jusqu'à ce que vous ayez c'est un flot suspension, un flot spécial enfin il y a plusieurs façons d'appeler ces flots vous montez verticalement et quand vous rencontrez le temps R de X vous revenez au temps zéro mais pas en X mais en F de X d'accord c'est une façon de construire un flodanosoph et la remarque que je veux faire c'est une remarque absolument trivial c'est que si R est constant le flot que vous avez ainsi construit par ce mécanisme de suspension ne va même pas être mélangeant topologiquement pourquoi ça ? parce que si vous prenez une suspension à temps constant et que vous prenez deux observables qui sont des fonctions caractéristiques qui sont fiers et psies quand vous allez les itérer par le flot elles vont toujours rester indépendantes et donc la propriété d'indépendance elles vont toujours rester je n'aurais pas d'utiliser le mot indépendante mais disjointe et donc la propriété d'indépendance asymptotique ne va pas être vérifiée donc il y a des propriétés subtiles de temps de retour et là je devrais peut-être mentionner un autre résultat dû à Carlingelo Iberani et là je remarque que j'avais oublié je suis allé trop vite en fait le problème n'est pas fermé comme vous auriez pu le croire avec ce que j'ai écrit au tableau il avait besoin de faire des hypothèses olgopiates donc c'était si WU et WS sont C1 parce que tout à l'heure quand on a des singularités une des conséquences c'est que les fibréinvariants ou les variétés stables et instables sont seulement mesurables pour les biards alors que pour les diffeaux et faux danoseufs c'est des objets qui sont older donc ce que l'olgopiat a montré c'est si ces objets sont pas seulement older mais en fait sont C1 alors on a le mélange exponentiel et ensuite Liverany a remplacé cette hypothèse sur WU et WS par l'hypothèse que le flot est de contact alors la bonne nouvelle c'est que les biards comme c'est des systèmes amyltoniens avec singularité mais on c'est des flots qui sont hyperboliques et de contact donc c'est pour ça qu'on avait depuis longtemps l'espoir de montrer le mélange exponentiel et lorsque ce contact s'implique C1 ou ? non non non non donc par exemple oui c'est une très bonne question j'aurais dû le dire les flots géodésiques sur les variétés à courbures strictement négatives compactes sont des flots danoseufs en basse dimension les variétés stables et instables sont C1 donc ça veut dire flots géodésiques sur une courbure pardon flots géodésiques sur une surface à courbures strictement négaties les flots géodésiques sur les variétés dimension plus grande à courbures négatives sont de contact c'est des flots géodésiques par contre pas satisfaire en tout cas en général cette hypothèse-là à courbures constantes oui mais ça on le savait déjà il y a des vieux résultats rattenaire enfin bon à courbures constantes il y a toutes sortes d'outils différents qu'on peut utiliser et donc le résultat de l'hiverani permettait justement de passer de flots géodésiques sur des surfaces à courbures négatives strictement à flots géodésiques sur des variétés dimensions quelconques donc c'était vraiment un pas important en avant une petite question est-ce que les constants delta t et delta phi sont indépendantes de phi et psi des fonctions ? les constants sont indépendants oui il existe j'espère l'avoir écrit correctement mais oui oui donc la seule chose qui dépend de phi et psi c'est le pré facteur qui n'est pas très important mais la constante dépend de la classe c'est-à-dire si vous mettez c1 ou alder il se pourrait que si vous remplacez c1 par alder il se pourrait que le delta change un petit peu alors justement ce que j'ai envie de raconter maintenant ça devrait justement éclaircir ce point non non là j'ai quelque chose derrière ok donc ce que j'ai envie de raconter maintenant c'est justement je vais vous parler des spectres et des opérateurs de transfert et donc je vais dessiner des spectres de certains opérateurs et on va voir ces constants delta apparaître sur des dessins alors qu'est-ce que c'est que des opérateurs de transfert alors je vous ai dit tout à l'heure l'Icing Young elle avait obtenu son résultat c'est que je viens de l'effacer je pense avec des partitions de Markov on ne veut pas utiliser de partitions de Markov donc sans sans dynamique symbolique sans partition de Markov donc c'est vraiment l'opérateur défini à partir de la dynamique donc à partir de maintenant je reviens au BIAR j'ai fait une petite parenthèse là sur Anosov, Fogélésique donc on a en tête seulement le système dynamique à temps discret BIAR à temps discret et BIAR à temps continue alors pour T l'opérateur de transfert ça va simplement être l'opérateur qui envoie d'abord une fonction mais vous allez voir que ça ne suffit pas de considérer une fonction sur la fonction composée avec la dynamique à temps inverse et on divise par le Jacobien alors cet objet est naturel parce que son dual par la formule de changement de variable dans une intégrale préserve la mesure de l'obègue d'accord et alors si on regarde cet opérateur et qu'on fait agir sur un espace de fonction il ne va pas se passer grand chose d'intéressant ce qu'on peut faire c'est faire la dynamique symbolique et passer dans un shift bilatéral un shift unilatéral et là on peut travailler avec des fonctions et donc c'est là que l'opérateur a été étudié par David notamment et ce que depuis quelques années ce qu'on fait c'est au lieu de passer à dynamique symbolique et de passer dans un shift bilatéral un shift unilatéral on va directement travailler sur la dynamique sur notre variété mais alors là le prix à payer c'est qu'au lieu de faire agir cet opérateur sur un espace de fonction on fait agir l'opérateur sur un espace de distribution et c'est des distributions qui vont être anisotropes alors qu'est ce que ça veut dire donc tout à l'heure je vous ai dit qu'on avait des directions instables donc on a des dilatations des directions stables ou on a de la contraction et dans le cas du flow on a encore la direction du temps mais là je ne la dessine pas les directions anisotropes elles ont la propriété d'être régulières dans les directions instables parce que dans les directions instables quand on compose avec l'inverse on va contracter et composer avec une contraction ça améliore la régularité mais par contre dans la direction stable il faut que la distribution soit dans un espace de sobolef avec un paramètre de régularité négatif alors pour l'instant je n'en dis pas plus je vous donne le résultat le résultat c'est qu'on a un spectre de type perronfroménus donc on va avoir une valeur propre 1 qui est simple et en fait c'est la densité invariante et surtout alors ces opérateurs en général ne sont pas compactes mais on peut contrôler la mauvaise partie du spectre la partie non non valeur propre isolée de multiplicé fini du spectre c'est-à-dire on peut montrer que le rayon spectral essentiel est strictement plus petit que 1 qui est égal au rayon spectral et ensuite donc ça c'est la première chose qu'il faut faire et ensuite il y a un autre petit argument il faut vérifier qu'il n'y a pas d'autre il n'y a pas d'autre élément du spectre sur le cercle unité et à partir de à part la valeur propre simple 1 sur le cercle unité et bien on va avoir un trou spectral donc le premier truc que j'ai envie d'appeler ça peut-être j'ai trouvé un trou spectral essentiel donc modulo des valeurs propres isolées de multiplicé fini et ensuite on va avoir ici un trou spectral donc vraiment genre perronfroménus c'est-à-dire à part la valeur propre 1 le reste du spectre est dans la liste de rayons plus petits et ces valeurs propres les jaunes celles qui apparaissent ici elles pourraient s'accumuler sur le disque rouge en principe c'est ce qu'on appelle les résolences de ruelles polycotes donc ça c'est l'approche l'approche spectrale discret et maintenant à temps continu alors à temps continu c'est un petit peu plus compliqué donc le point de départ c'est le même c'est-à-dire on va composer avec la dynamique à temps négatif alors en principe il faudrait diviser par le Jacobien mais puisque on préserve le volume ce truc là au dénéminateur ça c'est égal à 1 mais là on n'a plus un seul opérateur on a un semi-groupe d'opérateur alors qu'est-ce qu'on fait quand on a un semi-groupe d'opérateur et ben moralement on veut l'écrire comme exponentiel de Tx et donc on introduit le générateur qu'est-ce que c'est le générateur c'est la dérivée par rapport à T de LT en T égale 0 alors évidemment il faut donner un sens à cette dérivée il faut être un peu plus précis pour l'instant c'est plus ou moins formel et au niveau du spectre ça revient à prendre le logarithm de ce dessin et donc le dessin oui le dessin j'aurais dû le lire le dessin que j'ai fait là c'est ce qui a été démontré dans l'article de Demers & Jung donc le dessin que je vous ai fait pour le BIAS à temps discret c'est la démonstration de Demers & Jung du mélange exponentiel alors le dessin que je vais vous faire maintenant pour le temps continu c'est ce qu'on a démontré vos papiers alors il y a un log puisqu'on a pris le générateur donc ce que je vous dessine là c'est le spectre là j'avais le spectre de L sur B ici je vous dessine le spectre de X sur un espace de distribution anisotropique que je vais appeler Bthild alors on s'attend à voir 0 comme valeur propre simple et puis de nouveau il y a deux étapes la première chose contre laquelle il faut se battre c'est les éléments du spectre qui sont pas des valeurs simples de multiplicité finie et donc il faut montrer qu'à part dans un demi-plan à gauche qu'on contrôle pas eh bien le spectre ne contient que des valeurs propres isolées de multiplicité finie donc j'appelle ça de nouveau le truspectral essentiel ensuite il y a une deuxième étape qui est pas trop difficile ce consiste à voir qu'il n'y a pas d'autres il n'y a pas d'autres valeurs propres sur l'aximaginaire mais malheureusement ça ne résout pas le problème parce que comme ici cette aximaginaire va jusqu'à l'infini on aurait pu imaginer jusqu'à l'année dernière je sais ce qu'on termine notre article que ces valeurs propres s'accumulent sur l'aximaginaire et donc il y a une deuxième une deuxième étape qui consiste à exclure justement ce phénomène d'accumulation et donc il faut montrer qu'on a un truspectral il ne suffit pas d'exclure les valeurs propres sur l'aximaginaire et alors tout à l'heure je vous ai dessiné des petites valeurs propres des résonances de ruelle polycote ici c'est pareil on peut dessiner des résonances de ruelle polycote bon et j'en reparlerai tout à l'heure donc je veux vraiment assister sur le fait que c'est ça qui est beaucoup plus difficile au niveau de la démonstration pour les flots que pour les pour les systèmes à temps discret alors je vais peut-être renoncer les théorèmes de façon un peu plus formelle et ensuite je vous dirais deux mots de ces espaces de distribution et de la preuve donc en gros il y a un théorème pour le demi-plan rouge et un qui est pas trop difficile enfin c'est quand même assez long c'est pas trop difficile et ensuite il y a un théorème pour la bande la bande à droite de la ligne verte donc théorème 1 donc c'est l'existence des résonances ou l'existence d'une bande on démontre pas qu'il existe des résonances on démontre qu'il y a une bande dans laquelle il ne peut y avoir que des résonances et les techniques qu'on utilise c'est les techniques les dynamiciens appellent technique de l'azothaïork et que les probabilistes appellent en général méthode de bain fortais et donc ça c'est le théorème facile et l'azothaïork ou de bain fortais ça veut dire quoi ? ça veut dire qu'on a une une borne pour un opérateur et que dans le monde de droite on a deux termes un terme qui est compact donc au niveau du spectre essentiel il ne joue pas de rôle et un terme qui est petit donc c'est ça une inégalité de l'azothaïork mais l'énoncé c'est un l'énoncé technique il existe un espace de balac qui est anisotrope mais qu'on contrôle assez bien parce qu'il contient toutes les fonctions c1 il est contenu dans le dual de toutes les fonctions c1 donc c'est pas trop bizarre quand même et qu'il y a les propriétés qu'on veut donc telle que LT est un semi-groupe à un paramètre d'opérateurs qui sont tous bornés chaque LT est borné sur B donc ça, ça inclut le fait que la limite de LT de phi quant est envers 0 c'est phi au sens de la norme de B donc maintenant on peut définir X et on voit que X est fermé enfin montre X est fermé son domaine est dense et maintenant donc on peut parler légitimement du spectre et on a l'énoncé qui correspond à ce que j'ai écrit au tableau à ce que j'ai dessiné au tableau c'est-à-dire le spectre sur l'axe imaginaire c'est uniquement une valeur propre simple en Z égale 0 et surtout il existe un delta S positif tel que à droite de moins delta S on a seulement des valeurs propres isolées ça pourrait être vide mais on a au plus des valeurs propres isolées de multiplicité finie et donc je vais énoncer le deuxième théorème mais là j'aimerais juste dire que sur certaines choses on est content de ce résultat d'autre on est un peu embarrassé alors de quoi est-ce qu'on est fiers on est fiers du fait que pour le delta S on a à peu près la valeur optimale donc le delta S qu'on obtient c'est un sixième du log de lambda ou lambda c'est la coefficient d'hyperbolicité du système donc c'est quelque chose d'intrinsèque d'accord ça c'est une bonne polyperbolicité que les biardies se tiennent et puis on travaillons un tout petit peu plus mais bon le papier faisait déjà 100 pages donc on l'a pas fait mais on travaillons un petit peu plus on aurait pu obtenir un quart et le un quart c'est ce à quoi on s'attend ça veut dire on s'attend pas à avoir un meilleur résultat pourquoi un quart ? parce que je vous avais dit tout à l'heure tôt et un demi-holder donc on a déjà un demi-là et on perd encore la moitié de la régularité quand on a un système inversible donc on est assez fier de ça c'était l'intrinsèque la smoothness du système pour dire la fonction de la fonction de retour un demi-holder le premier temps de collision que j'ai mentionné pour le billard oui ? oui, il y a au moins c2 plus epsilon on assume c3 on assume c3 il n'a pas l'air c'est la même chose il n'a pas l'air non, non, non c'est vraiment... il n'a pas l'air mais c'est ce qui est un peu embarrassant et c'est la question que je pensais que vous allez poser on ne peut pas montrer qu'il n'y a pas de résonance on ne sait pas si c'est une résonance donc c'est peut-être c'est aussi pour le système dynamique donc personne n'a prouvé qu'il n'y a pas de résonance et personne n'a prouvé qu'il n'y a pas de résonance et si je retourne maintenant au cas plus facile d'un autre système pour le temps continu d'un autre système pour prendre une flow géodésique sur un manifold de courbures constantes alors c'est bien connu que les résonances sont connectées à les valeurs de la plassion alors vous savez que c'est une résonance pour la courbure variable c'est beaucoup plus récent je pense que c'est de ce travail de Fort et Sougi que nous comprenait un spectre même si il y avait aussi des works de Frédéric No donc pour les flows dans un autre cas pour le défaut ce n'est pas encore écrit j'ai un étudiant il y a une idée de Frédéric No et j'ai un étudiant qui travaille sur ça donc ce que j'ai essayé de dire c'est que même dans le cas de smooth hyperbolic c'est pas facile de trouver cette résonance donc ici c'est un peu embarrassant parce que nous ne savons pas qui est la résonance ou je peux dire je pense qu'il y a des résonances mais nous ne savons pas comment compter donc maintenant je n'ai pas beaucoup de temps pour vous dire quelque chose de la prouve de cette théorème peut-être que je vais juste dire que le principale... pardon ah merci merci pardon merci merci c'est parce que j'accélère donc du coup bon donc l'outil principal pour démontrer ce théorème c'est la résolvante de ce générateur et lorsque... donc Z maintenant c'est A plus B complexe et si A est strictement positif on peut écrire cette résonance comme une transformée de la place et en fait on va étudier le spectre de cette résolvante pour différentes valeurs de Z et on va montrer donc des bornes sur le rayon spectral notamment le rayon spectral essentiel de cette résolvante qui permet de démontrer le théorème 1 et donc j'aimerais citer le... le théorème 2 et vous dire petit mot de la démonstration et ensuite vous rappelez qu'il y a un truc là derrière je vais vous montrer alors une question qu'on peut se poser pour vous montrer qu'il y a des résolvants c'est on pourrait déjà essayer de se poser la question est-ce que ces résolvants sont aussi les... les vols d'une fonction état dynamique moi je pense que c'est vrai mais je suis pas sûre que si on arrivait à montrer ça on aurait plus facilité pour exhiber des résolvants donc je termine théorème 2 alors je vais mettre des mots clés donc là c'est le vrai trou spectral malheureusement j'ai effacé mon dessin c'est dommage le vrai trou spectral donc le vert l'outil c'est pas les inégalités de Blinforte vous rappelez c'était compact plus borné maintenant le... le truc important c'est les intégrales oscillantes donc l'aim de corpout enfin intégration par partie et l'autre mot clé c'est difficile ça c'est vraiment difficile et ça c'est les techniques de Dolgopiat en tout cas en système dynamique et ça vient de Delgopiat bon bah l'énoncé en fait il y a une partie qui est là et puis l'autre partie c'est la partie spectrale qui dit qu'il existe un delta alors je t'ai t'appelé ça delta fini plus petit que delta s tel que toujours sur le même espace de balan qu'un isotope le spectre de x sur un demi-plan un peu plus petit est un ensemble fini de valeurs propres isolés de multiplices finies et donc ça je vous rappelle que c'est ça correspond à dire que il peut pas y avoir d'accumulation des résoles là on savait par le théorème précédent que le spectre c'était des valeurs propres lisées c'est fini, la nouvelle information ici c'est qu'on exclut le fait qu'elle puisse s'accumuler sur l'axe imaginaire et une fois qu'on a ça on a très facilement enfin pas des techniques tout à fait classiques le mélange exponentiel pour la mesure de l'UV et alors là il y a il y a un lème-clé qui concerne la résolvante donc on regarde la résolvante et le lème-clé c'est une inégalité donc z c'est a plus cb et je vous rappelle que ce qui est important c'est de considérer ce qui se passe qu'en b est très grand pour l'axe imaginaire de z et donc la borne c'est qu'on a un contrôle en a plus quelque chose d'uniforme sans n sauf qu'il faut faire un petit peu attention aux quantificateurs ça c'est pour les b assez grands pour un a il suffit de le montrer pour un certain a en fait positif il faut un delta 0 et il faut pas demander trop je prétends pas que c'est vrai pour tous les n mais c'est à condition de prendre un n bien choisi en gros c'est log b c'est un multi constant de log b et donc du coup il faut que je mette c aussi alors je vais vous dire un tout petit peu comment on construit la norme qui permet de définir l'espace b oui il est positif oui c'est un a positif donc c'est dans la zone attention il y a 2 c'est un des dessins que j'ai pas eu le temps de faire donc si je regarde r de z et si je regarde ah non attends t'as raison si si non t'as raison c'est un positif mais après tu peux revenir voilà tu peux revenir est ce qu'il y a un faux de est ce que c'est la norme pardon pardon pardon merci merci merci c'était une faute de frappe merci bon alors je vais vous parler un tout petit peu de la norme anisotrop ça fait maintenant une quinzaine d'années qu'on a introduit ces normes anisotropes donc il y a des travaux de l'hiver Annie en fait Anne Sénéry qui avait travaillé là-dessus dans le cadre analytique moi j'ai des articles avec Tsuji enfin bon et il y a essentiellement 2 écoles il y a l'école transformée de fourrier et il y a l'école petite disons je sais pas comment l'écrire famille de courbes admissibles courbes admissibles alors l'école transformée de fourrier elle a été ensuite adoptée depuis quelques années avec un grand enthousiasme par la communauté semi-classique et donc donc il faut citer donc j'ai mentionné mes travaux avec Tsuji il y a aussi Forte Tsuji il y a aussi des articles de Forte Tsuji il y a un article important de Stéphane avec Tvorsky bon c'est un outil très puissant mais il y a un petit inconvénient c'est qu'en tout cas à l'heure actuelle on n'est pas capables de faire marcher ces outils quand on a des systèmes avec des discontinuités la deuxième école si il y avait des courbes admissibles concrètement ce que ça veut dire et ça c'est l'école autour de Liveranie donc il y a des articles avec Goezelle il y a un article avec Demers et ça a été ensuite adopté par Demers Jang dans le travail que j'ai cité tout à l'heure et un des avantages de cette méthode c'est que ça marche bien quand on a des singularités et moi j'aimais beaucoup je mets uniquement cette approche et j'ai essayé désespérément de la faire marcher pour les bières ça veut pas dire ça marche pas mais en tout cas moi j'ai pas réussi et donc je me suis résigné à utiliser cette méthode et bon ça marche et alors qu'est-ce que c'est ? on prend des petites courbes admissibles qui sont dans les directions stables et on va intégrer le long de ses cours vous allez voir tout ce que je veux dire et comme c'est des courbes admissibles quand on itère la dynamique vers le passé elle devient plus longue et là j'écris juste une dernière formule c'est la dernière chose que je vais écrire le corps de la preuve c'est une égalité schwarz donc ce qu'on est en train de calculer on a une petite courbe ici elle devient très longue donc on va être obligé de la couper en petits morceaux et donc on va se retrouver avec une somme avec plein de petits morceaux donc le B c'est le B de tout à l'heure il devrait être là quelque part donc c'était la résolvante la résolvante vous vous rappelez c'était LT c'était puissance moins ZT LT donc Z c'est A plus B et donc on fait schwarz et donc on se retrouve avec somme sur deux indices mais ce qui est bien c'est que maintenant les séances les GGs créent pas ces des fonctions compliquées on se retrouve avec une expression de ce type-là ça c'est schwarz et donc là vous voyez bien apparaître l'intégrale oscillante ça c'est vraiment le coeur de la preuve donc déjà chez Dolgopiat et alors maintenant je termine donc ça c'est la définition explicite des normes et maintenant vous comprenez peut-être pourquoi j'ai essayé des espériments pas voilà donc j'ai essayé d'autres variantes mais pour l'instant c'est ce qui marche et donc on est contents du résultat mais bon c'est un peu lourd comme technique voilà merci beaucoup je pense pour quelques questions non non, David est-ce qu'il y a des résultats à la longue pour les formes au lieu des fonctions on n'a pas essayé je sais pas bon la réponse c'est non il n'y a pas de résultats mais je sais pas si ce serait difficile ou si c'est juste c'est plutôt ta marque qu'il faut poser la question celui-là non je sais pas, à ma connaissance ça n'a pas été fait mais tu vois une application oui ah oui d'accord effectivement si on veut le faire pour les fonctions états ce serait une des choses à faire effectivement si je pose le même problème en mécanique quantique le bière de Sina et quantique l'opérateur de transfert c'est l'expérience qui est un unitaire est-ce qu'on peut dire des choses alors je pense que Stéphane si on prend la limite on retrouve les opérateurs de transfert comme des morceaux de la Miltonienne dans les travaux de Foritz-Sougi il y a certaines techniques qui ont ce parfum mais honnêtement je pense que Stéphane tu peux dire quelque chose de sur le laplacien il n'y a pas de liens directs il n'y a pas de liens directs sinon Joker il pense qu'on peut retrouver alors ça parle de laplacien on peut retrouver une dynamique quantique à partir des résonances c'est pas la dynamique de laplacien c'est un pseudo dynamique quantique un peu la sensation il n'y a pas de liens directs avec le laplacien sauf encore pour constant j'ai deux questions qui sont mal formalisées donc si tu peux répondre juste en faisant en spéculation sur la vie si on affiblie les conditions sur le billard première façon c'est enlever les conditions sur les horizons finis juste mettre en disque rond au milieu des teurs qu'est-ce qu'il faut attendre des propriétés de mélange à ton avis et qu'est-ce qu'on attend de spectraillement ça c'est première question et deuxième c'est qu'on gâche les billards complètement et on remplace les disques ronds par un tambour mais ça c'est toi qui connaissais bien pour deuxième billard non je connais rien de prendre des spectrailles mais la deuxième question est peut-être tout belle donc ici il faut pas attendre il n'y a pas de mélange par contre probablement il y a de mélange faible est-ce qu'on peut voir mélange faible spectraillement pour la première question alors je crois que c'est Balint et Melbourne ah mais finalement je crois qu'on a décidé de ne pas le citer alors non on ne sait pas par méchanceté c'est parce que apparemment ils ont une acune dans la preuve qu'on est en train de le réécrire mais il y a un article donc quand l'horizon n'est pas fini il semble qu'ils obtiennent un mélange polynomial si je me souviens bien et je me souviens plus si ils avaient uniquement la borne supérieure ou aussi la borne inférieure mais en tout cas ça semblait indiquer que c'était polynomial donc quand l'horizon est et infinie ça marche vraiment pas en tout cas sous réserve et pour ta deuxième question alors moi je je n'ai jamais étudié ces bières mais le mélange faible c'est pas juste le fait qu'il n'y a pas de spectre sur l'aximaginaire c'est pas ça non ? cette valeur propre sur l'aximaginaire qu'est ce que j'ai dit ? ah oui pardon pardon mais je sais pas là j'ai vraiment jamais réfléchi à ces questions une question légèrement mais j'avais regardé un peu le papier d'Iberanie dans le cas des bières à nos ordres des flots à nos ordres vous vous fabriquez déjà des espaces fonctionnels un peu compliqués ça n'avait pas l'air beaucoup plus simple que cela non non bien sûr il devient les problèmes de discontinuité alors la différence c'est que l'article de pardon l'article de l'Iberanie donc ici la norme instable c'est une norme de type older d'accord et l'exposant older il doit être choisi de façon il faut faire très attention par rapport aux autres paramètres alors que eux ils avaient en gros il mettait ici une dérivée de filles toutes les directions et ça c'est lié au fait il y a une petite propriété qui est bonne de garder en tête c'est que si vous prenez la fonction caractéristique d'un domaine raisonnable la multiplication par la fonction caractéristique d'un domaine raisonnable c'est un opérateur borné sur les espaces sur les espaces de Bessel-Soboleff à condition que la coefficient de régularité satisfaise des inégalités par rapport aux coefficients de l'intégrabilité et donc ça c'est un élément de réponse en gros ça dit que si on prend les espaces de l'Iberanie et qu'on remplace la dérivée ici de filles par une contrainte de type Holder ou Bézoff on entre dans cette catégorie et l'autre question c'est pourquoi est-ce que ces espaces ne marchent pas quand il y a des singularités mais ça c'est pas ta question mais c'est aussi lié au fait qu'on n'a pas cette propriété de multiplicateur borné dans le monde oui oui oui oui oui oui oui oui oui oui oui oui