 Imagine qu'on puisse le voir de si près, qu'on distinguerait chaque petit grain. Tout ce qu'on voit, suit un modèle particulier. En maths, ces modèles se révèlent sous les formes les plus incroyables. Le cinéma aime parler de mathématiques. C'est exotique, on ne comprend pas tout et surtout ça peut donner des scènes où les personnages se mettent sans raison à écrire sur les fenêtres. Dans cette nouvelle série de vidéos, il sera donc question de septième art. Attention cependant, étant donné que je n'y connais absolument rien dans cinéma, il ne sera pas du tout question de critique. Je vais plutôt tenter de décrypter les aspects mathématiques des films et séries qui ont tenté d'aborder le sujet. Les maths que l'on y trouve sont-elles réalistes ou bien complètement à côté de la plaque. Commençons aujourd'hui avec un bon élève, l'homme qui défiait l'infini, film de 2016 réalisé par Matt Brown avec Jeremy Irons et Dev Patel. Ce film nous raconte la vie de Srinivasa Ramanujan, le genre de génie que l'on ne retrouve que dans l'histoire des mathématiques. Le réalisateur s'est appuyé sur The Man Who Knows Infinity, une biographie de Ramanujan écrite par Robert Kanigel. A noter que dans les coproducteurs et consultants du film, on retrouve quelques mathématiciens et pas des moindres. Il y a par exemple Ken Ono, spécialiste des travaux de Ramanujan ou Manjul Bhargava, médaillé Fields en 2014. Que raconte exactement ce film ? Je risque de spoiler un peu mais bon ça reste le biopic d'un mathématicien ayant vécu pendant la paix. C'est la première guerre mondiale, on sait tout ce qu'il meurt à la fin. Si vous avez vu le film tant mieux, parce qu'il est sympa et si vous ne l'avez pas vu, il y aura des tas de choses à y découvrir dont je ne parlerai pas du tout dans les menus qui viennent. Voici Ramanujan, mathématicien amateur. Nous sommes en 1914 en Inde et le plus important pour le moment est de travailler pour nourrir sa femme. Il sera embauché comme comptable par Narayana, à condition qu'il lui explique le contenu de son cahier de mathématiques. Verdict, ses recherches ont l'air particulièrement brillantes, il serait dommage qu'elle ne soit pas connue en dehors de Madras. Il demande alors conseil à Sir Francis Spring, un ingénieur anglais responsable du développement du réseau de chemins de fer indien. Il lui propose d'écrire des lettres présentant ses travaux à plusieurs mathématiciens anglais. D'abord à Henry Baker et Ernest Thompson, à peine évoqué dans le film, mais surtout à Godfrey Harold Hardy, qui n'avitera à Cambridge. Arrivé au Trinity College, il fera la rencontre à l'écran de John Littlewood, de Bertrand Russell et plus tard de Percy MacMahon. Ce cependant avec Hardy, Ramanujan va devoir travailler pour réaliser son rêve, publier ses travaux. Comme dans tout bon buddy movie, tous les opposent. D'un côté, il y a Ramanujan, marié, profondément religieux et qui aborde des mathématiques par leur côté intuitif. De l'autre, il y a Hardy, célibataire, hâté et qui ne peut admettre un théorème sans une démonstration. Sans surprise, la collaboration sera difficile puisque Hardy passera son temps à sermoner Ramanujan sur l'importance des démonstrations. Je vais passer sur les quelques anachronismes et erreurs factuelles du film. La principale étant la différence d'âge entre les acteurs et les personnages qu'ils interprètent. Par exemple, Hardy et Ramanujan n'avaient qu'à peine dix ans de différence alors que les acteurs Death Patel et Jeremy Irons en ont 42. De même, Janaki, la femme de Ramanujan, est censé n'avoir qu'une douzaine d'années au début de l'histoire. Forcément, la romance aurait perdu en glamour à l'écran. Revenons plutôt au personnage central du film, les mathématiques. En arrivant en Angleterre en 1914, Ramanujan espère publier pour la première fois en dehors de l'Inde. Son travail dont il est le plus fier, c'est une formule sur les nombreux premiers. Quand Littlewood y trouvera une erreur, il donnera raison à Hardy quand à l'apportance des démonstrations face à l'intuition seule. Cette formule de Ramanujan, qui n'est pas montré dans le film, prétend donner une valeur exacte de la fonction Pi. La fonction qui compte le nombre de nombres premiers, rien à voir avec le nombre Pi. A titre d'exemple, Pi de 10 est égal à 4 car il y a 4 nombres premiers inférieurs à 10. De même, on peut calculer que Pi de 1000 est égal à 168. La connaissance de cette fonction est primordiale pour comprendre la répartition des nombres premiers. Avec leur célèbre théorème des nombres premiers, Adamar et Lavalipoussin ont prouvé en 1896 que le nombre Pi de X était de l'ordre de X sur l'N de X. Cette formule permet de dire qu'il y a environ 145 nombres premiers inférieurs à 1000, soit une erreur de 14% avec la valeur réelle. Une bonne formule donc, mais qui reste améliorable. Ramanujan avait d'ailleurs trouvé seul ce résultat avant d'arriver en Angleterre. Une meilleure approximation de la fonction Pi est donnée par la fonction Li, la fonction logarithm intégrale définie comme son ensemble l'indiqué par une intégrale. Pour le calcul de, par exemple, Pi de 1000, l'erreur ne sera que de 6%. En comparant les courbes de ces deux fonctions, on peut s'en prendre de risque conjecturer que celle de Pi est toujours en dessous de celle de Li. En réalité, cette conjecturée est fausse, ce que Littlewood a démontré en 1914 à l'aide de la fonction complexe Zeta. Il existe des valeurs pour laquelle Pi de X est supérieur à Li de X, ce qui est particulièrement contre-intuitif au vu des premières valeurs. En fait, la plus petite valeur X aujourd'hui connue qui rend fausse la conjecture est de l'ordre de 10 puissance 370. Un nombre trop grand pour être imaginable, et bien sûr, ça, Ramanujan ne l'avait pas vu venir. En fait, il avait supposé dans son raisonnement que la fonction Zeta n'avait pas de zéro non-trivio, grosse méprise. Hardy écrira à ce propos que c'est la méconnaissance de la théorie des fonctions invariables complexes qui a abouti à cette formule la plus grande erreur de sa carrière. Ce n'est pas la seule erreur de la carrière de Ramanujan, mais cela vient de sa façon remarquable de travailler. Contrairement aux mathématiciens occidentaux incarnés par Hardy dans le film, Ramanujan n'a jamais vraiment été intéressé à faire des démonstrations rigoureuses des formules qu'il mettait au point. Il faut dire qu'il s'est passionné pour les mathématiques grâce à Synopsis of Pure Mathematics, un livre de George Carr recensant 100 réels démonstrations les connaissances de l'époque, soit plus de 6000 formules et théorèmes. On attribue à cet ouvrage cette tendance car Ramanujan a ne pas s'enquérir des preuves de ce qu'il découvre. Pour accéder à de nouvelles connaissances mathématiques, la stratégie de Ramanujan n'est donc pas de l'éprouver, mais plutôt d'attendre que celle-ci lui apparaît sans rêve, sa façon romancée de décrire ses incroyables intuitions. Quand on parle des capacités hors normes de Ramanujan, on rappelle toujours l'anecdote rapporté par Hardy, celle du nombre 1729. Bien sûr, le film ne se prive pas de la mettre en image. En se rendant au chevet de Ramanujan, Hardy emprunte un taxi portant le numéro 1729. Hardy trouve ce nombre sans intérêt créniant un mauvais présage. Ramanujan lui répigue alors que, pas du tout, 1729 est un nombre très intéressant, puisque c'est le plus petit entier que l'on peut écrire sous la forme d'une somme de deux cubes positifs, et ce, de deux façons différentes. En effet, 1729 est égal à 1 en cube plus 12 au cube, mais aussi à 9 au cube plus 10 au cube. Cette propriété du nombre était connue bien avant Ramanujan, mais c'est malgré tout cette anecdote du taxi qui l'a popularisé. On appelle d'ailleurs désormais Niem nombre taxi cab, le plus petit des entiers que l'on peut écrire comme somme de deux cubes positifs de N façon différente. Le nombre 1729 est donc le deuxième nombre taxi cab. Le troisième nombre taxi cab, quant à lui, vaut 87 539 319. On sait aujourd'hui que la suite des nombres taxi cab est infinie, mais on ne connaît la valeur que des 6 premiers. L'autre point sur lequel le film s'attarde est le sujet qui rendra Ramanujan célèbre, celui des partitions d'entier. On appelle partitions de N, notée P2N, le nombre de façon d'écrire N sous la forme d'une somme d'entier positif des croissants. L'exemple du film est le calcul de P2 4 qui vaut 5. En effet, on peut écrire 4 de 5 façons différentes. 1 plus 1 plus 1 plus 1, 2 plus 1 plus 1, 2 plus 2, 3 plus 1 ou juste 4. La croissance de la fonction P est particulièrement rapide, ce qui rend les calculs de P2N très vite infaisables à la main pour de grandes valeurs de N. Dans le film, Ramanujan se confonte à Makmaon sur le calcul du nombre de partitions de 200. On ne le voit pas directement à l'écran, mais Makmaon utilise pour ce calcul des formules récursives qui permettent de calculer le nombre de partitions de N si l'on connaît le nombre de partitions de tous les nombres inférieurs à N. Pour calculer P de 200, il faut préalablement calculer P299, P298, etc. Après pas mal de calculs, on peut aboutir au résultat exact ce qui est montré dans le film. P de 200 est précisément égal à 3,972,999,029,388. De son côté, Ramanujan utilise la formule qu'il a découverte. P2N est à peu près égal à 1 sur 4N racine de 3 fois exponentielle de Pi racine de 2N sur 3. Cette formule donne des valeurs rapprochées à quelques pour cent de P2N. Grâce à celle-ci, il obtient un résultat très proche du résultat attendu, c'est-à-dire 3,972,988 millions. Une erreur de traduction est anotée puisque selon les conventions françaises, ce nombre doit plutôt se lire 3,972,988 millions. En refaisant les calculs, on peut aussi remarquer qu'il n'a pas réellement utilisé la formule de la scène précédente puisqu'il aurait dû annoncer sinon un résultat de l'ordre de 4,1 billion. Bref, avec l'aide de Hardy, Ramanujan publiera en 1918 cette formule permettant d'estimer précisément P2X pour les grandes valeurs de X, une avancée incroyable de la combinatoire à l'époque. Les travaux de Ramanujan ne s'arrêtent pas aux partitions. Avant son arrivée en Angleterre, sa spécialité c'était surtout les identités casimistiques qu'il a réussi à intuiter, mais sans jamais vraiment les démontrer. Les plus marquantes de ces formules consistant des sommes infinies ou un des racines carrées imbriquées à l'infini, d'où ce surnom de l'homme qui connaissait l'infini et donc du titre du film. Dans le courrier qu'il a adressé à Hardy depuis l'Inde, Ramanujan lui a présenté plus d'une centaine de formules. Certaines étaient déjà connues à l'époque, d'autres étaient particulièrement ingénieuses et d'autres étaient fausses mais de façon si imperceptible qu'elles restent brillantes malgré tout. A propos de ces formules, Hardy a dit, un simple regard sur celle-ci est suffisant pour voir qu'elles sont l'œuvre d'un mathématicien de haute classe. Ces formules doivent être vraies car si elles ne l'étaient pas, personne ne pourrait avoir l'imagination pour les inventer. Toutes ces formules, Ramanujan les a recueillies depuis son enfance jusqu'en 1914 dans ses célèbres carnets montrés à l'écran. Au nombre de trois, il regroupe dans un style complètement brouillon tous ses résultats découverts en autodidactes, soit à peu près 2500 propriétés des formules. Sur les 2500, seulement d'une vingtaine sont accompagnées d'indications d'une méthode qu'il aurait permis de les mettre au point. A l'instar des trois mousquetaires, il existe un quatrième carnet découvert après sa mort en 1920 ajoutant 600 formules supplémentaires inédites. Hardy a souhaité faire éditer ses fameux carnets en y ajoutant les démonstrations des théorèmes nouveaux, les références de ceux qui étaient déjà connues et en corrigeant les résultats faux. Un travail titanesque seulement achevé par Bruce Berth en 1998 pour ce qui était trois carnets principaux et en 2013 pour le carnet secret. Il dira d'ailleurs de ce dernier carnet que sa découverte est comparable à celle de la symphonie numéro 10 de Beethoven, phrase reprise dans l'épilogue du film. A propos d'épilogue, il est aussi énoncé que les travaux de Ramanujan ont trouvé leurs applications dans la compréhension du comportement des trous noirs. Il faut dire qu'il a travaillé sur un très grand nombre de sujets, il semble logique que certains d'entre eux puissent avoir des applications en physique. En l'occurrence, il se trouve que Ramanujan a étudié dans les dernières années de sa vie, après son départ d'Angleterre, des exemples de fonctions appelés aujourd'hui les « fausse forme modulaire ». Il n'a travaillé que sur des exemples énonçant leurs théories générales et c'est plutôt celle-ci qui ont trouvé des applications dans l'étude de ces fameux trous noirs. Bref, Ramanujan n'a jamais travaillé sur les trous noirs et n'a d'ailleurs jamais su que ces travaux puissent avoir de telles applications. Enfin, je suis obligé de parler de cette scène où Ramanujan assiste à un cours sans prendre de note et où le prof essaye de l'humilier en lui demandant de venir raconter au tableau ce qu'il sait. Ramanujan s'exécute et termine le cours à la place de ce prof, sans suivre une scène où celui-ci vexé menacera Ramanujan à l'aide d'insulteurs assistes. Pour être précis, il est question dans ce cours de développement en série tellore de la forme générale des intégrales elliptiques de première espèce. Des mathématiciens ayant travaillé sur le film, la formule écrite au tableau est parfaitement correcte. Ce qui l'est moins, c'est l'anecdote en elle-même, puisque l'audio-professeur que l'on voit dans cette scène, Howard, n'a jamais existé. La réelle anecdote implique les mêmes intégrales elliptiques, mais le professeur, Arthur Berry, terminera son cours impressionné par les qualités de Ramanujan. Pour conclure, l'homme qui défient l'infini est le bon élève des biographies de mathématiciens au cinéma, qui peut plaire à plusieurs publics différents. D'un côté, le grand public découvrira l'existence de Srivinasa Ramanujan, personnage incontonable de la culture en maths. Bien sûr, l'histoire est romancée pour nous attacher au personnage, ça reste quand même du cinéma. D'un autre côté, le film plaira également au public mateux. Déjà, toute formule apparaissant à l'écran est correcte, mais surtout, le film aborde la question de l'importance de la démonstration en mathématiques, sujet loin de passionner les foules en dehors des mathématiciens. Bref, si vous voulez regarder un film qui parle bien des mathématiques, je vous le recommande.