 اسلام علیکم لیکچر نمبر 19 کے ساتھ ہم اب چلتے ہیں مزید آگے اس کالکلو سکورس میں تو پچھلی دفعہ ہم نے بات کی تھی جناب چین رول کی یعنی دفنشیشن ہی کی بات چل رہی ہے فائنڈنگ ڈریویٹفٹس کے بارے میں ہم بات چیت کر رہے ہیں اور پچھلی دفعہ ہم نے ایک بہتی اسینشل بہتی کروشل کہالی جی ایک عصول ایک رول دیکھا تھا انٹرمزا فائنڈنگ ڈریویٹفٹس آف فنکشنز وہی بات کی کہ فنکشنز ہی کی بات ہوری ہے بھی تک اور اس کے ہی ان کی ہم ڈریویٹفٹس معلوم کر رہے ہیں اور پچھلی دفعہ ہم نے دیکھا تھا کہ کمپوزیشن ڈیو ڈریویٹفٹس کیسے معلوم ہوتا ہے یعنی سمپل ڈریویٹفٹس کے تو ہم معلوم کر سکتے ہیں ہم نے پچھلے کئی لکشت میں دیکھا کہ کچھ عصول کچھ رولs ڈیفائن کیے پولانویلس کا کیسے معلوم کر سکتے ہیں پاور رول ڈیک تھا ڈریگنویٹفنکشنز بہت سارے دیکھے اس کے بعد میں دیکھا کہ ان کی اگر کمپوزیشن لیں اگر آپ کوئی سمکہین اف کمپوزیشن یا نہیں کمپوزیشنس کی کمپوزیشن سے ہمیشہ مراد ہوتی ہے کہ آپ کمپوز کریں جب کمپوز کرتے ہیں تو زیادہ کمپوزیشن ایک آجاتا ہے ان کو کسی ڈریفائنٹشیٹ کرتے ہیں یا ان کا کسی ڈریβیٹیف معلوم کرتے ہیں وہ ہم نے پشتہ لیکچر میں بات کی تھی اب آگے چلتے ہیں اور مزیر سی کو دیوڑپ کرتے ہیں ڈریگنویٹف کی idea کو اچھی طرح سے اس لیکچر میں ہم بات کریں گے ڈریگنویلس ڈیفائن کی یعنی ڈریگنویلس ڈیفائنٹیف ڈیفائن کی آجتے ہیں جو ام بھی بھی ہم دیکھیں گے ڈریگنویلس کا مطلب بیسیٹ کا مطلب بیسکلی انگلیش لنگیچ میں یہ ہوتا ہے کہ something which is kind of not very clear so یعنی ایک طرح سے وہی بات ہے کہ آپ شارٹ کٹ تو نہیں ایک طرح سے چھوپے بیت طریقے سے آپ ایک اندریکٹ طریقے سے آپ ایک کچھ کام کرنا چاہیں گے اس میں in terms of finding derivatives تو اس کی کیوں ضرورت پر تھی یہ بھی ہم دیکھیں گے کون سے ایسے functions ہوتنے یا کون سے ایسی equations ہوتی ہیں جس میں اس کی ضرورت پر تھی یہ تو وہ ہم idea selection میں develop کریں گے اچی طرح سے تو آئیے اسکرین پر دیکھلتے ہیں کہ آج کا topics کیا ہیں اور ہم کن کن چیزوں کی بات چیت کریں گے جناب آج کا topic ہے implicit differentiation اور کیا کیا ہم بات کریں گے سوالے سے پہلے تو ہم سب سے پہلے define کریں گے the method of implicit differentiation کہ یہ ہوتا کیا ہے اور اس میں کیا کیوں ضرورت پر تھی اس کی کی situation میں استعمال کرتے ہیں اس کے بعد ہم دیکھیں گے جناب derivatives of rational powers of x تو یہاں پہ ظاہر ہے implicit differentiation کا کوئی رول تو پلے ہوگا کیوں کہ ہم نے اس topic میں اس کو اس topic کو اس lecture میں شامل کیے تو we will use this idea of implicit differentiation to basically talk about finding derivatives of rational powers of x اس کے لوہ جد last topic ہے وہ ہے differentiability of implicit functions تو یہ بھی ایک چیز ہے ہم دیکھیں گے کہ implicit functions کیا ہوتے ہیں تھوڑے سے پہلے بھی دیکھیں گے ہم اندریکلیسہ کی ہوتے ہیں اور پھر اس کے بعد اس کو مزید define کریں گے کہ یہ کیا ہوتے ہیں تو جناب یہ آج کا agenda ہے تو شروع کرتے ہیں سب سے پہلے تو اچھا یہاں پہ جو ابھی تھوڑے در پہلے میں نے بات کی تھی کہ finding derivatives of rational powers of x تو یہاں پہ صرف یہ کہتا چلنوں کہ یہ ایک طرح کا generalized power rule ہے ابھی تک جو ہم نے power rule لیکھا تھا سب سے پہلے ایک lecture میں ہم نے بات کی دی تو ہم نے دیکھا تھا کہ power rule was defined only for integer powers of x تو اس میں جانی x to the power 3, x to the power 4, x to the power 99 and stuff like that تو اس میں یہ تھا کہ ان کو کیسے دفنشیٹ کرتے ہیں وہ تو ہم نے power rule بنا لیا تھا پھر اس کے بعد ہم نے ایک بیچ میں ایک نیا سول defined کیا تھا finding derivatives of reciprocal functions اس کا استعمال کرتے ہوئے ہم نے دیکھا تھا کہ آپ power rule کو generalized کر سکتے ہیں یا extend کر سکتے ہیں to include all positive and negative integers تو وہ ہم کر چکیں اب یہاں پہ مقصد یہ کہ what if the power turns out to be a rational power یعنی rational number on x مثال کے طور پہ x to the power 3 by 4 any x to the power 3 4 سو گیا یا x to the power 5 9's and stuff like that basically ایک پتکلو کیسے ہم دیکھ چکیں اگر آپ یاد کریں square root function function یعنی سے مراد یہ کہ اس میں اگر آپ صرف positive square root لیں یا negative square root لیں تو اس میں ہم دیکھا تھا کہ we know how to differentiate square root effects for example we also know how to differentiate negative square root effects تو square root of x is the same thing as x to the power 1 half تو وہ سپیشل کیسے ہمیں پتا ہے ہم دیکھ چکیں اب بات یہ کہ اس کو کیسے generalize کریں گے تو وہ ہم اس میں دیکھیں گے تو آئیے پیلٹ شروع کرتے ہیں بات چید اس میں کہ کیسے ہم یہ کیا ہوتی ہے implicit differentiation تو اس میں یہ ہے کہ کچھ سکین پر میں ایک چیز لکتا ہوں اس کو دیکھ لیتے ہیں consider the equation x times y equals 1 and we want to find its derivative basically in other words we basically want to find dy over dx for this equation اچھا جی تو یہ ہمیں معلوم کرنے we have to find basically the derivative of something یعنی of course something سمرات کی یہ equation ہے یہاں پر میں equation استعمال کر رہا ہوں کیوں کہ یہاں پر concept ابھی یہ نہیں x times y equals 1 کا مخصد یہ ہے کہ there is no y on one side and everything else on the other side تو as such it's not entirely a function probably لیکن یہ کہ اس کو ہم پھر بھی معلوم کریں گے معلوم کرنا چاہیں گے کہ dy over dx کیا ہوتا ہے یعنی somehow from this equation تو اس کا ایک بڑا سیمپلس طریقہ تو یہ ہے سب سے پہلے کہ آپ اس کو solve کرنے equation کو for y یعنی y کو ایک طرف لیا گی equation کے اور باقی سب کچھ جو ہے وہ on the other side of the equation right-hand side کیا لیں اس کو تو وہ کیسے کریں گے سیمپلسی بات ہے x times y equals 1 ہے if you solve it for y it's the same thing as saying multiply اینی کیسے solve کریں گے تو آپ کہہ دیں کہ جی divide both sides by x تو اسے افیکٹی ہوگا کہ left-hand side پہ x ختم ہو جائے گا اور right-hand side پہ آ جائے گا تو یہ بھی سکنے پہ دیکھ لیتے ہیں کیسے ہوتا ہے سیمپلسی بات ہے کہ y کو ہمیں ایک طرف لانا ہے so we basically want to keep y alone on one side of the equation so first of all we solve it for y then basically you divide both sides by x which cancels the x on the left-hand side and you have a x in the denominator on the right-hand side and you get the equation y equals 1 over x تو یہ آپ کے پاس equation آگی y equals 1 over x اب اس میں سے ہم بڑے سمپلی very easily we can find the derivative یا d y over dx ہم معلوم کر سکتے ہیں تو وہ کیسے کریں گے یہ بھی سکنے بھی دیکھ لیتے ہیں we already know how to do it سیمپلسی بات ہے you apply a d over dx operator on both sides so let's write it down on the screen and see what we actually get یہاں پہاں بیسکل یہ ہے کہ بوث سائٹس of the equation یعنی y equals 1 over x ہے پر اس پہاں دی over dx اپلائے کر دیں آن بوث سائٹس یہاں پہاں ارکھیں کے جب میں کہتا ہوں کہ دی over dx اپلائے کر دیں بوث سائٹس پہاں I am talking about the operator دی over dx یعنی ڈریبیٹف کو میں ایک ڈریبیٹر کی طور پر دیکھ رہوں so when I do that I basically get on the right-hand side جو آپ کے پاس ہے d over dx of 1 over x ایک شروع لیکن دی over dx of x to the power minus 1 یہاں پہاں سام پر idea ستمال کیا ریسی پروکل یعنی 1 over x جو سے سامید شروع لیکن x to the power minus 1 یہاں پہاں بیسکل آپ نے 1 over x کو آپ کوشنٹ رول جو ہم نے دیکھتا ڈریبیٹف کو وہ بھی اسےما ل کر سکتے ہیں right-hand side لیکن بات ہے کہ اتنا ڈرس کو لیم با چاہ دا کان کیوں کریں مثل معاہدی ہے سوزیہمتہ ہے تو یہاں پر ایک ایک بہت سوزیہ کے طور پر میناس فرمی کا بھی جائے اور پھر اس کا دریورٹف لے لے لے لے جانلیلائز کی بہت سوزیہ بھی پر حالت ہوتے ہیں جس میں ہم نگیٹیو انٹیجر س پی اپلائے کر سکتے ہیں اس کو کھنیوانیٹ سیکنے کے لئے یہاں پر اب دیکھے کہ لیفٹن ساکت پر تو دی ویڈ ڈی ڈی اپنے معلوم کرنا تھا تو یہ سچسے سب بھی رہے ہیں و وہی معلوم کرنا ہے ہم اس پرولم میں اور اگر آپ پاور رول سمال کریں یہاں پر right ان ساکت پر تو you basically get negative one over x to the power two تو یہ بیسرکلی جس کامس رование ہے جنرلائیز دی روو جو ابھی تک ہم دیکھا ہے. اچھا جی تو یہاں پر اب یہ ہے کہ ڈیویا بای ڈی x ہم نے معلوم کر لیا. تو کیسے کیا سمplی بای ایک ایک ایکویشن سے ہم نے start کیا جس میں x times y کو از وان تھا ہمارے پاس اور اس میں problem یہ تھی کہ x اور y مکس تھے. اگن ایسی سیٹویشن نہیں تھی جو ابھی تک ہم دیکھ چکیں خاص طور پر جب functions کی بات ہوتی ہے تو ہم یہ چاہتے ہیں کہ y ایک سائٹ پہ ہو. dependent variable اور x جو کچھ بھی ہے آپ کے پاس ساری کچھ چیزے x میں جو انولف کرتی ہیں وہ right-hand سائٹ پہوں. وہ بھی ایک function ڈیفائن کرنے کا طریقہ ہے کہ independent variable right-hand سائٹ پہوں dependent variable on the left-hand سائٹ. تو اس میں یہی تھا کہ سمپل سی بات ہے کہ سب سے پہلے تو آپ x times y کو solve کر لیا ہے y کے لیے اور پھر سمplی apply d over dx and get dy over dx. یعنی بیسیکلی the derivative of the function y equals 1 over x. تو بیسیکلی آپ نے اس equation کو پہلے function میں convert کیا and then you basically found the derivative from that. اب یہ ہے کہ یہ اس کے اس میں تو اسان تھا. what happens کہ اگر آپ ایسا نہ کر سکتے ہیں یعنی اگر آپ x times y equals 1 کو سمپل فائے نہیں کر سکتے تھے in the sense you have solved نہیں کر سکتے تھے y کے لیے اس وقت کیا کرتے ہیں آپ how would you have solved it. اس idea کو ہم دیکھنا چاہیں گے کہ کوئی ایسا طریقہ ہے کہ ہمائے پاس ایک equation ہو ابھی functions کو تھوڑی ایک لیے پھول جائے گی. ایک ہمائے پاس equation ایسی ہو جس میں x اور y جو ہیں dependent or independent variable مکستوں ایک ہی سایٹ پے ہو سکتے دونوں سایٹوں پہوں اور اس میں سے ہم اس کو solve کیے بغیر for y یعنی y ایک سایٹ پے لائے بغیر ہم derivative پھر بھی معلوم کر سکتے ہیں یا نہیں کر سکتے ہیں یا نہیں کر سکتے ہیں یہ سارا concept ہے implicit differentiation کا you are finding the derivative using implicit differentiation basically تو اس کو ہم develop کرتے ہیں further. اچھا جی تو اس میں یہ کرتے ہیں idea کو develop کرنے کے لیے کہ جو example ابھی ہم نے دیکھی x times y equals 1 اسی کو اپنے اس کو example کے طور پر لیتے ہیں اور یہ دیکھتے ہیں کہ کیا اس کو بغیر solve کیے y کے لیے ہم derivative معلوم کر سکتے ہیں یا نہیں تو اس میں تھوڑی سی calculations ہے جن کو ہم ابھی شروع کرتے ہیں تو screen پہ میں concept پہلے لکھ دیتا ہوں کہ ہم کرنا کیا چاہر ہیں ہم یہ کرنا چاہر ہیں screen پہ چلتے ہیں کہ جناب ہمیں معلوم کرنا ہے d over dx of x times y یعنی derivative معلوم کرنا ہے تو یعنی left hand side پہ بھی اپلائے کر دیں d over dx operator اور ساتھ ہی میں اس کو ظاہر ہے چونکہ equation ہے تو right hand side پہ بھی اپلائے کرنا ہوگا and you get d over dx of 1 تو یہ یہاں پہ ہم دیکھیں گے کہ implicit differentiation کیا ہوتی ہے یعنی what's the point of all that تو یہاں پہ ظاہر ہے ہم پتا ہے کہ اس example کو تو ہم اسانی سے کر سکتے ہیں جو ہم نے پہلے کی we can solve it for y and just apply all the known knowledge that we have so far and get the answer لیکن اب چونکہ نیا idea develop کرنا ہے تو اسی example کو ایک different تریکے سے کرتے ہیں تو اب یہ ہے کہ x y one سائٹ پہ ہے one دوسری سائٹ پہ ہے اور d over dx operator آپ نے اپلائے کیا تو اب left hand side جو ہے وہ زیادہ انترستیں گے اس میں x times y involved ہے یہاں پہ ہم now product rule for differentiation سمال کریں گے اور ساتھ ہی میں chain rule بھی سمال کریں گے یعنی جو ہم نے پشلے لیکچر میں دیکھا تھا ایک chain rule وہ یہاں پہ استمال ہوگا تو hopefully آپ کو you can recall that and you have a good understanding of it by now of chain rule by now and we'll apply it اور اس میں اگر نہیں بھی ہے تو کوئی بات نہیں you can review it or you can see you can further develop it in this example تو ہی continue کرتے ہیں اس سے اب دیکھیں کہ اگر product rules سمال کریں تو ہمارے پاس basically left hand side پہ جاتھی quantity x times y اس کا ہم نے derivative معلوم کرنا تھا تو میرے پاس اس سے apply اگر میں کروں ڈیوبر ڈی x operator کو تو result آتا ہے product rule سے x times ڈیوبر ڈی x of y plus y times ڈیوبر ڈی x of x اور چونکہ right hand side پے one تھا which is a constant function really if you think about it تو constant کا derivative کیا ہوتا ہے zero so I get x times ڈیوبر ڈی x y plus y times ڈیوبر ڈی x of x equals zero اس کو تھوڑا سا simplify کریں تو دیکھیں کہ ڈیوبر ڈی x of y کو ملک سکتا ہوں as ڈیوبر ڈی x y get x times ڈیوبر ڈی x plus y times ڈیوبر ڈی x because ڈیوبر ڈیوبر ڈی x one ہوتا ہے equals to zero ڈیوبر ڈیوبر ڈی x of y what am I actually saying ڈیوبر ڈیوبر ڈی x of y what am I actually saying ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر ڈیوبر تو جب میں اس فنکشن کا ڈریویٹف لوں گا with respect to x I'll get some answer depending on the expression that I have for y یعنی ہو سکتا ہے y is equal to x square چیک ہے in that case the ڈریویٹف d over dx of x square will be 2x ہو سکتا ہے کہ y بہت ہوتی کمپلکریٹسی کوئی چیز ہو in terms of x تو اس کا بھی کوئی جواب آ جائے گا لیکن چونکہ مجھے پتہ نہیں ہے کہ y کی ڈریویٹس پرشن کیا ہے in terms of x میں am just going to treat that y as a function of x اور جس تک دیویٹدی x of that function y تو ایسا Yin I'm concerned I will get ڈیی ویہ وڈیویٹس صحیح ہاٹا ہے کہ گر y equals x square ہوتا تو اور آپ ڈیویٹس اپلایا کرتے دونوں سیڈوں پی تو you apply it to both sides تو لیہ میں سیڈ پہ دیویٹسی تو آتا ڈیویٹس پہ جو بھی ہوتا we don't we it depends on what the expression is for x for y لیکن تا کیا جاند فرم کرتے ہیں we will just write downedy y over dx انہوں میں اس طرف بارے میں کسی سے بہت سکتا ہے۔ اس میں کہا ہے کہ میں انہوں میں سیدہ سے پہلے جو بہت انجاز کے لئے تو وہی بات ہے کہ یاد رکھیے کہ جب بھی ہم اس طرح کی کو حركت کریں گے کہہ سکتے ہیں تو ہم بہت سکتے ہیں کہ ہمشکلی کیا سکتے ہیں کہ ہم مجھے آئے گا ہم بہت سکتے ہیں کہ ہم مجھے آئے گا کہ ایک اس بہت سکتے ہیں کہ کیا سکتے ہیں ٹیک جی لیکنٹنیو ھو اچھا یہ دیکھئے کہ اب یہ last expression جو آئی تھی x times dy over dx plus y times 1 equals 0 اس کو سیمپلیفائے کریں گے تو رزلت آتا ہے x times dy over dx equals minus y میں نے minus y جو تھا اس کو دوسی سیٹ پر موف کر دی ہے یا basically I have subtracted y from both sides اور اسی طرح سے اب چونکہ اصل مخصص تھا dy over dx معلوم کرنا ہے تو میں یہاں پہ سالف کر لیتا ہوں دی y over dx کیلئے اسی last equation کو اور وہ ہم کریں گے by dividing both sides by x اور that gives me dy over dx equals minus y over x اور یہاں پہاں آپ تھوڑا سا x تیپ یہ ہے یاد رکھیں کہ original equation کیا تھی یعنی اس کو further simplify کر سکھتے ہیں کہ x times y was equal to 1 جس سے ہم نے derived کیا تھا y equals 1 over x تو اسی چیز کو اگر میں dy over dx کی expression میں ڈال دیتا ہوں تو پہاں میں یہاں پہاں y تھا تو میرے پاس ازال آتا ہے dy over dx equals minus 1 over x سکویر اچھا جی تو یہ رزلت وہی ہے جو پہلے ہم نے دیکھا تھا یعنی اس ایک سامپل کو جو ایک پچھلے نورمل طریقی سے کیا تھا تو یہ رزلت آیا تھا کہ dy by dx was negative 1 over x سکویر یہاں پہاں وہ رزلت آیا تو یہاں پہاں یہ بات ہے کہنے کی کہ یہاں پہاں یہاں پہاں اس لئے آیا ہے کہ ہم this given original equation کو جو ہمہاں پاس تھی x times y equals 1 اس کو solve کر سکتے ہیں for y اسی کو ظاہر ہے ہم نے solve کیا اور اس میں substitute کی values y کی in the derivative تو ہمہاں پاس ایک proper expression آگے dy dx کی only in terms of x اگر میرے پاس یہ value نہ ہوتی y کی تو result آتا ہے dy over dx equals minus y over x یہ کچھ ایسی چیزیں جو ہم ابھی آگے اور دیکھیں گے لیکن یہاں پہاں صرف یہ دیکھ لیتے ہیں کہ یہ ایک اور طریقہ تھا of finding dy over dx یعنی یہاں پہاں ہم نے solve نہیں کیا جو original equation تھی اس کو y کیلے solve کیا بغیر ہم نے پھر بھی ایک dy over dx معلوم کر لیا تو اب اس کو further develop کرتے ہیں اچھا تو اب یہ اس کو further develop ہم کر رہے ہیں تو اس میں یہ پوچھنا چاہے یہ سب سے پہلے تو یہ کیا ضرورت ہے اس چیز کی why exactly are we using this different way of finding derivatives تو اس میں یہ سب سے پہلے تو یہ کیا جو process ہم نے دیکھا بھی اس کا نام کیا ہے اس کا نام وہ یہ جو ہم چاہیں گے ہونہ جو topic آج کا this process was called implicit differentiation implicit سے وہی مراد ہے کہ آپ نے ایک indirectly آپ نے derivative معلوم کیا یا dy over dx معلوم کیا without actually solving the original equation for y تو اب سوال یہ کہ اس کی کیا ضرورت ہے why should we bother if the original جو ہم نے پہلے کی تھی example یہی والی example جس میں why کیلی solve کر لیا تھا تو وہ اس کا جو derivative معلوم کرنے کا طریقہ تھا وہ زیادہ سان تھا تو why bother with this تو اس کا جواب یہ جناب کہ کبھی کبھی آپ کی original equation جو ہوگی وہ بہت complicated see ہوگی convoluted see ہوگی اور اس میں آپ کو why equals everything else کے طور پہ solve کرنا مشکل ہوگا یعنی it will be hard to keep y on one side and all the terms in terms of x on the other یہ کچھ ایسی equations ہے ابھی ہم دیکھتے ہیں example میں کچھ کریں گے تو لیکن مخصہ سارہ یہ یہ کہ implicit differentiation is needed when you cannot solve a given equation in terms of y any y on one side and everything else on the other side so let's continue with this and develop this further تو کیسے develop کرتے ہیں example کر لیتے ہیں ساتھ رہا سا clarification ہو جائے گی ideas کی so let me write down the equation the example on the screen let's go there example ہے جناب find dy over dx if five y square plus sign of y equals x square اچھا جی تو یہ آپ کے پاس equation دیویے اور اس میں سے آپ کو dy by dx معلوم کرنے یہ derivative معلوم کرنے اب اس میں اگر equation آپ نے ہور سے دیکھی five y square plus sign y equals x square تو یہ کافی مشکل ہے اس کا اب آپ try کریں خودی give it a try try to solve this equation for y i.e. in terms of y only y on one side and everything else on the other side آپ نوٹ کریں گے کہ it's actually impossible ہونی سکتای we don't have enough at the moment we don't have enough algebraic rules that allow us to do it اور اگر جتنے algebraic rules ہیں اس کے حصاب سے بھی اس کو solve کرنا کافی مشکل ہوگا تو ہم اس کو پھر بھی وہی بات ہے کہ dy by dx معلوم کرنے ہیں تو than therefore we should use this concept we developed of implicit differentiation تو وہ یہاں پہ اپلائے کرتے ہیں اور دیکھتے ہیں کہ کیسے اس کو solve کرتے ہیں دیکھیں کہ اس میں کیا کیسے کریں گے اب dy over dx معلوم کرنے اور five y square plus sign y تو یہ ہم left-hand side پر dx operator اپلائے کر دیتے ہیں اور right-hand side پر بھی چونکی equation ہے ظاہر ہے وہی operator ستمال کریں گے اور ہم ہاں پاس result لائے گا d over dx of x square اس کو further simplify کریں تو دیکھیں کہ next step ہوگا five times d over dx of y square five چکے constant ہے can be moved outside the derivative plus d over dx of sign y equals 2x تو یہاں پہ جو right-hand side اس کو تو ہم نے right away we have taken care of that it's obviously simple d over dx of x square is 2x اب right-hand side پہ کیا کریں گے یاد رکھیں کہ یہاں پہ چونکے وہی والی بات ہے کہ y جو ہوگا اس کے اندر implicitly یہ زمشین ہے کہ this is a function of x یعنی it y equals f of x لیکن ہمیں پتہ نہیں کہ f of x کی expression کیا ہے we don't know it could be something like 1 over x square it could be x to the power 10 to the power 100 could be anything لیکن we don't know that so we still but we do know that y is a function of x so یہاں پہ ہم جو rule سپلائے کریں گے وہ اس کو مدھن از دکتے ہوگا کریں گے so let's continue کرتے ہیں اس سے اب دیکھیں کہ five times d over dx of y square جو تھا یہاں بن جائے گا five times 2y times dx of y square times dy over dx plus cosine y d over dx of sin y جہاں وہ cosine y ہو جائے گا times dy over dx equals 2x اب آپ پوچھ رہوں گا کہ جناب یہ y square ہے اس کا جب دریٹر لیا یہاں d over dx سپلائے کیا تو 2y کیوں آیا اور ساتھ میں dy over dx کیوں آیا تو اس کا جواب یہ ہے کہ if you recall from the previous lecture ہم نے کیا دیکھیں کس چیز کی بات کی تھی previous lecture میں ہم نے بات کی تھی chain rule کی تو یہاں پہ ہم نے chain rule اپلائے کیا یعنی وہی بات ہے کہ جب ہم کہہ رہے ہیں کہ y is a function of x اور اس کو ہم دریفنشیٹ کر رہے ہیں تو پہلے ہم اس کو چونکہ ہم اپس function کا square موجود ہے تو پہلے آپ اس پہ اس کو ایک طرح سے ٹیٹ کیجئے y square جو ہے its a function of x لیکن it's more complicated it's actually a composition of functions in a sense y square جو it's basically y times y which is f of x times f of x تو basically f of x quantity squared whatever that quantity is we don't know but it's a power of that تو ایک طرح کی composition یہاں پر involved ہے تو that's why we're using the chain rule تو let's continue with this اور actually سبہلے ہی continue کریں یہ بھی کہتا چلوں کہ sin y کا derivative جو ہوتا ہے وہ بھی ہم نے کہا کہ t کے cosine y ہو گیا لیکن y چونکہ function of x ہے we still need to find its derivative whatever that may be so we get dy over dx آئی continue کرتے ہیں اب اس کو اگر آپ سیمپلیفائے کریں گے فردر تو آپ کے پاس آتا ہے جناب dy over dx times the quantity 10y plus cosine y یہاں پر بیسکل میں نے dy over dx جی ہے وہ left-hand side میں جتنی بھی کونٹیز تھی ان میں سے factor out کر لیے کیونکہ common تھی یہ چیز اور right-hand side پر وہی 2x رہتا ہے اب آپ اس کو فردر سیمپلیفائے کر سکتے ہیں divide both sides by the appropriate quantity to get dy over dx equals 2x divided by 10y plus cosine y یہ اب آپ کے پاس dy over dx آگیا اب نوٹ کریں کہ اس میں جو expression ہے dy over dx کی right-hand side پر اس میں آپ کے پاس x بھی ہے نیموریٹر میں top part پر اور bottom میں denominator میں y بھی ہے آپ کے پاس تو اب کیا کوئی ایسا طریقہ ہے کہ ہم y کو ہٹا کے اس میں x کی value دھال دیں کسی طرح یعنی کو expression ڈرائف کر سکتے ہیں اس کے لیے اس کا جواب یہ آپ نے پشلی ڈیکھا تھا کہ it was only possible if you were able to solve the given equation original equation for y یعنی جب ہم نے x times y equal one دیا تھا اور اس کا implicitly different derivative معلوم کیا تھا تو ایک result آیا تھا جس میں y بھی تھا اور x بھی تھا derivative کی expression میں پھر ہم نے original equation کو y کیلے solve کیا تھا اور جو result آیا تھا ہم نے derivative میں کیا اندر جو y تھا اس میں substitute کیا تھا اور ہمارے پاس derivative کی ایسی expression آئی تھی جس میں y کہیں نہیں تھا اور xی x تھے خالی لیکن یہاں پہ یہ چیز نہ ممکن ہے کیونکہ derivative میں right-hand side میں جس کی expression ہے اس میں y تو ہیں لیکن ان y کو غیب کرنے کے لیے آپ کو original equation کو y کیلے solve کرنا ضروری ہے اور وہ ہونی سکتا that was the whole point چونکہ original equation y کیلے solve نہیں ہو رہی تھی اس لیے ہم نے implicitly derivative معلوم کیا تھا تو یہاں پہ مخصد کہنے کہ یہاں کہ اگر آپ کے derivative میں x اور y کی expressions آ رہی ہیں کوئی بات نہیں اگر آپ جو آپ کو the original equation کو solve کرنا ضروری ہے don't worry about the y's than your expression for dy over dx leave them as they are as the point is that you know what dy over dx looks like so let's continue with this idea اچھا تو اس میں یہ کرتے ہیں کہ ایک example کر لیتے ہیں یعنی ابھی ہم نے ایک example دیکھی تھوڑی در پہلے اس میں ہم نے دیکھا کہ کیسے implicit differentiation apply ہوتی ہے اب یہ کہ اس کی کچھے پریکٹیکلسی اجامل کرتے ہیں تو اس کو میں اسکرین پہلکتا ہوں example ہے جناب find the slope of the tangent line at the point 4,0 on the graph of the equation 7 y to the power 4 plus x cube times y plus x equals 4 تو یہاں پہاں آپ کو slope معلوم کرنے تو the tangent line to the graph of a given equation at a certain given point تو وہی بات ہے کہ slope معلوم کرنے تو slope کیسے معلوم کرتے ہیں the slope of the tangent line is the same thing as the derivative of the function at a given point یہی ہم نے اسی طرح دیفائن کیا تھا derivative کو تو اب یہ چیز اب ہم معلوم کرنا چاہ رہے ہیں اس پریکٹیکلسی اجامل میں problem یہ کہ جو equation دیویے اس میں function type کی notation معلوم کرنا مشکل ہے کیونکہ y کو سیپریٹ کرنا ایک سیٹ پر اور axis کو دوسر سیٹ پر سیپریٹ کرنا نہ ممکنے اس equation میں تو لہاں ذا لیکن وہی بات ہے کہ ہمیں چونکہ slope معلوم کرنے which means we have to find dy dx we will use implicit differentiation and see where that takes us تو آئی اس کے پر implicit differentiation apply کرتے ہیں and see what we get دیکھیں کہ سب سے پہلے اب آپ چونکہ implicit differentiation apply کرنے تو you apply the operator d over dx on both sides which gives you d over dx of 7 y to the power 4 plus x cube times y plus x equals to d over dx of 4 which basically simplifies to d over dx of 7 y to the power 4 plus d over dx of x cube times y plus d over dx of x equals 0 یہاں پہ right-hand side پہ 0 آگیا کیونکہ 4 is a constant function differentiate کرنے تو 0 آتا ہے باکی جو left-hand side پہ چیزے تھی تو I was able to distribute the operator d over dx it's a property of that operator across the sum اب اس میں individual quantities آئیں ان کو ہم differentiate کریں گے again وہی بات ہے کہ implicitly ہم یہ اسم کر رہے ہیں کہ y is actually a function of x چیک جی تو اس کو ہم استعمال کریں گے اور اس میں جب ہم یہ concept جب ہم use کریں گے تو chain rule automatically اس میں apply ہوگا جب ہم اس کا derivative معلوم کریں گے in expressions کا تو I اس کو continue کرتے یہاں پہ دیکھیں کہ d over dx of 7 y to the power 4 سب سے پہلے you will get 28 times y to the power 3 یعنی وہی power will apply کیا آپ نے treating y as a variable first of all لیکن پھر وہ آئے بات ہے کہ y is of course a function of x تو you have to find its derivative also تو basically you multiply the product using the chain rule you multiply this 28 times y to the power 3 with dy over dx this just follows from the chain rule plus the derivative of x cube plus times y this may a product rule be apply کریں گے for finding derivatives and you will apply the chain rule to get x cube times dy dx plus y times d over dx of x cube plus the derivative of x with respect to x is obviously 1 equals 0 اس کو further simplify کریں تو آپ کے پاس equation آتی ہے یہ آپ کے سامنے لیکھوی you can read it I won't read it out but eventually when you simplify this last equation you get dy over dx equals minus 3 y x square plus 1 divided by 28 y to the power 3 plus x to the power 3 تو یہ آپ کے پاس جناب آگی expression for dy over dx using implicit differentiation اب وہی بات ہے کہ expression تو آگے dy dx کی تو y اس میں سے ہٹانا نہ ممکن ہے کیونکہ original equation میں سے y کو original equation اس کو y کیلی solve کرنا نہ ممکن تھا لیکن کوئی بات نہیں ہمیں we are interested in finding the slope of the tangent line to the graph of this original equation we had تو اس میں basically ہمیں point دیا باق کہاں پر tangent line کا slope معلوم کرنا ہے اور یہ جو dy dx ہے this is representing the slope of the tangent line in terms اور اس کی جو expression ہے وہ x or y کی terms میں تو basically all we do is is to substitute the values 4, 0 which are x and y they represent a point x, y into this formula expression for dy dx and get the slope تو اس کو بھی screen پے کر لیتے دیکھئے کہ x equals 4 ہے اور y equals 0 ہے تو ہمارے پاس basically result آتا ہے اب اس کو میں سرام بھی لکھ سکتا ہوں amm subscript tangent یہ amm tan یہ پہلے بھی دیکھ چکے notation equals dy over dx evaluated x equals 4 and y equals 0 یہ نوٹیشن بھی ہم دیکھ چکے اور اس کا result آتا ہے negative 1 over 64 اچھا جی تو یہ ایک اپلائر اجامپل ہوگا ایک طرح کی یہاں پہنے دیکھا کہ ہمیں اگر اس طرح کوئی سوال ملتا ہے کہ slope of a tangent line to a certain گراف معلوم کرنا ہے اور گراف کی جو equation ہے وہ function form میں نہیں ہے بلکہ it's in some kind of a convoluted form جس کو function form ملانا مشکل ہے اس کو y equals something else کی form میں لیکنہ مشکل ہے ہم پھر بھی slope معلوم کر سکتے ہیں by using implicit differentiation تو ایک اور اجامپل کرتے ہیں to clarify some these concepts اجامپل ہے جناب یہاں پہاں تھوڑی سی interesting ہے یہاں پہاں ہمیں 2nd derivative معلوم کرنا ہے یہاں پہلے بھی اس کی بات کر چکے ہیں basically find d2 y divided by dx square یہ رپریزن کرتا ہے 2nd derivative if 4x square minus 2y square equals 9 اچھا 2nd derivative کیا مطلب ہے 2nd derivative بیسکلی مخصد یہ ہے کہنے گا پہلے آپ پہلے derivative معلوم کریں یعنی dy dx معلوم کریں اور پھر جو result آتا ہے dy over dx کی جو expression آتی ہے اس کا پھر آپ derivative معلوم کریں تو that is basically what we mean by 2nd derivative simply put اس کی interpretation جو ہم بات میں دیکھیں گے کیا interpretation ہوتی ہے یعنی slopes کے بارے میں اگر آپ کہیں کہ dy over dx جو a slope of a tangent line ہے تو اس کا 2nd derivative جو ہوگا وہ بھی ایک slope ہوگا tangent line کی tangent line کا یہ بھی ایک طرح سے دیکھا جا سکتا ہے لیکن یہاں پہ ہم یہ کرتے ہیں کہ اس کو simply algebraically معلوم کرتے ہیں تو آئی اسکین پہ چلتے ہیں دیکھئے کہ سب سے پہلے تو 2nd سے پہلے ہمیں first derivative معلوم کرنا ہے so we basically differentiate both sides implicitly کیونکہ یہاں پہ بھی تھوڑا سا مشکل ہے why کیلے solve کرنا ہے اس equation کو تو ہم implicitly differentiate کرتے ہیں تو اس میں ہمہاں پہ سکتا ہوتا ہے جناب 4x کوئر کا derivative جو ہوگا with respect to x will be just 8x so we know that I think by now or similarly 2y to the power 2 جو ہے وہی بات ہے کہ y جو ہے is a function of x لہاں ہمہاں پہ سکتا ہے پہلے تو ہم اس کو differentiate کر لیں گے in a standard way we get 4y لیکن پھر اس کو ہم بلتیپلائے کریں گے with dy over dx using chain rule and keeping in mind that y is a function of x right inside میں 9 تھا لہاں ذا اس کا derivative 0 ہو جاتا ہے and we get that equation اب اس میں سے اب ہم اس کا derivative مزید معلوم کرنا ہے لیکن پہلے dy over dx کو solve کر لیتے ہیں expression اس کی آتی ہے dy over dx equals 2x over y ٹیک جی expression آگے dy over dx کی اب اس کا ہمے پھر سے derivative معلوم کرنا ہے which will give us the second derivative تو is کو دیکھتے ہیں کیسے کریں گے concept basically یہ کہ we want to apply dy over dx operator to left inside which is dy over dx or یہ چیزا from right inside پر اپلائے کریں گے dy over dx of 2x over y یہ درہ سا complicated process ہے اس میں quotient رول اپلائے ہوگا or chain rule بھی اپلائے ہوگا ساتھ میں یہ بھی ذہن میں رکنا ہوگا کہ y is a function of x لیکن یہ سب ہو سکتا ہے یہ کالکلیشن آپ کے سامنے دیمیں ہمار پاس آئے گا نیموریٹر میں result دیتو y over dx سکویر کا result ہے گا y times 2 minus 2x times dy over dx divided by y square اب یہ جو ہے اس کو مزید میں سولف کر دیتا ہوں لیکن I will leave it up to you to actually work out the details یعنی وہی بات ہے کہ the second derivative جب میں معلوم کر رہا ہوں 2x over y کا تو یہاں میں کیا استعمال کر رہا ہوں I am using the quotient rule for finding derivatives لیکن وہی بات ہے کہ y is still a function of x and I will have to use chain rule wherever I have to تو اس کو I will let you work out the details and I will just simply write down the result on the screen for you یہاں بھی دیکھئے کہ جو expression تیلہ اس کو simplify میں کروں گا گا گر تو result آتا ہے d2y over dx square equals 2y square minus 4x square divided by y to the power 3 اور یہاں سے اگر ہم دیکھیں کہ we basically get d2y over dx square equals negative 9 over y to the power 3 تو یہ کہاں سے آیا negative 9 over y to the power 3 یہاں میں I have used the original equations کیس طرح کیے یہ آپ پہ میں چھوڑتوں it's a good exercise کیس طرح کیا جو میں لیتا ہوں اور ایک چیزا ہے آپ کو دیکھ لیجے گا ہم آگے چلتے ہیں اور دیکھیں اور کیا آیا چکی لیکچر میں اچھا جی اب ہم main topic پہ ایک اور آتے ہیں which is basically generalizing the power rule to include rational powers یعنی rational numbers وہ بھی اس میں شاملو تو is کو formulate write کرتے ہیں screen پر derivatives of rational powers are not any any derivatives of rational powers of x اس میں وہ باتا ہے کہ ہم نے پہلے دیکھا تھا کہ کوئی بھی انتجر اگر power ہو x کی تو d over dx of x to the power n is equal to n times x to the power n minus 1 now we want to expand it to powers that involve rational numbers so basically what we want to do is to say d over dx of x to the power r equals r times x to the power r minus 1 اور یہاں پہاں r is basically a rational number تو جناب اس کو ہمیں کسی طرح سے کیکے کہنا تو بڑا سان ہے لیکن how do we actually kind of prove it تو ایک طرح کا prove کر لیتے ہیں اس کا تو اس کو میں screen پی بلک دوں گا آپ دیکھ لیجے گا let's write it down on the screen کیسے ہم کریں گے وہی باتا ہے کہ we will use implicit differentiation for finding this to actually formally say that this is a true thing to say so let's go to the screen یہاں پر دیکھیں کہ if x to the power r equals r times x to the power r minus 1 ہمیں proof کرنا ہے ایک طرح سے show کرنا ہے تو اس میں r چونکہ rational number ہم نے assume کیا تھا اور یہ بھی assume کر لیں گے کہ x to the r جے وہ differentiable ہے سب سے پہلی بات دی ہے کہ is x to the r differentiable well we'll make an assumption that it is بعد میں دیکھیں گے کیوں an assumption کی لیکن یہ کہ ہم کہتے ہیں اور اس میں میں جو imbalance میں بھی بہت سکتا ہے لیکن ہمیں ہمیں onار انتظر سبkookا باپ你流 سکتا ہے الجوinking س구요 ا говорить لوس بہرا Juan ی inbox عقل آ کا سکتا ہے آپ پربر اس گزی آپ ہم نے کہتا کہ آر کن بیٹنس افراکشن آف انٹیجرز ام over n وہ ہم نے کیئے اچھا اگر اب میں اس جو x to the power m over n لکھا ہے اس کا اگر میں بوث سائٹس کو n سے n کی power ریس کر دوں یعنی بیسیکی I take the n power on both sides I can basically simplify some things یعنی y to the power n سے left hand سائٹ پہ آجائے گا میرے پاس اور right hand سائٹ پہ میرے پاس جو denominator میں تھا power میں n وہ جو ہم نے اب نئی ریس کیا power n وہ canceل ہو جائے گی اور میرے پاس زلت آجائے گا x to the power m خالی تو اب اس کے ساتھ میں کچھ تھوڑا سا کام کر سکتا ہوں یعنی اب بیسیکلی وہی بات ہے کہ مجھے اب یہاں پر derivative لینا ہوگا ظاہر سی بات ہے اور وہ چونکہ y کی ایک power involved ہے n جب میں derivative لوں گا تو implicit differentiation ایک طرح چین رول بیسیکلی شامل ہوں گے تو ہی اسکرین پیسو کرتے ہیں فرملی اب دیکھئے کہ یہاں پہ چونکہ اب نئی فرم جو آئیے وہ ہے اسی یعنی جو equation تیس کو میں نے اب لکھ لیا ہے as y to the power n equals x to the power m. so if I apply the d over dx operator on both sides I get d over dx of x y to the n equals d over dx of x to the m اب یہاں پہ میں implicitly differentiate کروں گا with respect to x اور یہاں پہ میں پہنے پاس results آئے گا n times y to the power n minus 1 times dy over dx equals m times x to the power m minus 1 جناب یہ آپ کے پاس اب ایک derivative ایک طرح سا آگیا ہے آپ کے سامنے سکرین پہ آپ نے دیکھا یہاں پہ میں کیا استعمال کیا میں استعمال کی implicit differentiation اور chain rule جاہر سی بات ہے میں differentiate کر رہا ہوں with respect to x اور y is still a function of x whatever that may be اب یہاں سے ہم تھوڑا صار کامسی calcations کرتے ہیں اور آخر میں جو results ہمیں چاہیے وہ یہاں سے ہم derive کر لیں گے تو آئیے let's go back to the screen and continue this دیکھیں کہ یہاں پہ اب اس کو simplify میں کر سکتا ہوں as y to the n minus 1 equals x to the power m over n یعنی جو میرے پاس یہاں پر نوٹ کیجے یہاں سے بیسیکل میں ایک لکھ رہا ہوں expression کہ y to the n minus 1 جو ہے وہ برابر ہے x to the m over n to the power n minus 1 کے اس کو اگر آپ کالکلیٹ کریں تو آپ دیکھیں گے this is indeed true and this I can rewrite as x to the power m minus m over n تو یہاں پر تھوڑی سی آباہسی میں لکھ رہوں چیزے اور تھوڑا سپلین نہیں کرا سی طرح سے لیکن آپ کو یاد ہے کہ power جب ہوتی ہیں ان میں additions ہو سکتی ہیں بے سیم ہو تو powers are subtract ہوتی ہیں وہ روز یہاں پر اپلای ہو رہے ہیں اور آپ کی ایک exercise ہے کہ you actually work these out and see that this is indeed true تو میں آگے چلتا ہوں اسی calculation میں اب دیکھیں کہ یہاں پر اب میں لکھ سکتا ہوں کہ اب میرے پاس جو ایک ویجنل ایک ویجن آئی تھی after I took the derivative وہ یہ تھی کہ جی اس سے میں اس کو use کرتے ہوں میں کیا سکتا ہوں کہ n times جو n minus 1 ہے y کی power اس کو اب میں پچھلے سٹپ سے جو میرے پاس ایک ویجن آئی تھی اس سے میں لکھ سکتا ہوں as n times x to the m minus m over n times dy over dx equals m times x to the power m minus 1 right inside وہی ہے basically left hand side کو میں تھوڑا سا different formula like بھی ہی using the step I just did a while ago اب یہاں سے اگر میں dy over dx کیلیے سالف کروں تو میرے پاس results آتا ہے dy over dx equals m over n times x to the power m divided by n minus 1 لیکن m over n کیا چیز ہے that's just our and so I get dy over dx equals r times x to the power r minus 1 جناب یہ آپ نے دیکھا کہ we have established a result that our basically power rule جو اس کو ہم نے اب generalize کر دیا to include all rational numbers also تو انٹیجورز automatically follow کریں گے because they are a subset of rational numbers تو یہ ایک آپ کے پاس example تھی اس کو سمال کر دیو ہم کی چیزیں کر سکتے ہیں تو اس کی examples کی بھی جا سکتے ہیں لیکن I will let you do this it's a simple rule اس کا دیکھنا ضروری تھا کہ یہ ڈرائف کیسے ہوتا ہے examples بڑی simple ہیں کچھ home work میں آپ کے ہونگی آپ کے سامنے you can do that ہم آگے چلتے ہیں اور دیکھتے ہیں اور کہ آخری بات کرنی ہمیں اچھا جی تو اب آخری چیز یہ ہے کہ difference ability of implicit functions یعنی implicit differentiation ہمیں دیکھی implicit functions دیکھے جو ابھی تک ہم نے بات کی تھی جدنے بھی تھے x times y equal one تھا for example اس کو ہم equation کہہ رہے تھے ابھی تک those are also called implicit functions یعنی دیر functions in some hidden form یعنی جو ہمزار کہتے تھے کہ جی y is a function of x that was an implicit function of x جو چھپا ہوا تھا اس کے ہم expression معلوم نہیں تھی تو problem یہ ہے یہاں پے کہ ہم نے ابھی تک جو کام کیا جو ہم نے implicit differentiation اپنا کی define کی تھی اس میں ایک problem یہ ہے کہ ہم نے ایک طرح کی assumption کی تھی کہ جو y function ہے جس کا آخر میں ہم d y over dx معلوم کرتے ہیں using implicit differentiation وہ assumption یہ کہ that function is actually differentiable یعنی وہ اس کا derivative exist کرتا ہے تو derivative کی وی بات ہے کہ اگر slow present کرتا ہے نا sense at a given point of the graph of the function تو اگر point پے وہ slope infinite ہے یعنی tangent line straight ہے the problem جاتی ہے یہ function differentiable نہیں ہوتا تو یہاں پے وی بات ہے کہ how do we resolve that any مثال کے طور پہاں بھی screen پہمیک function لکھتا ہوں let's look at this یہ کی جناب implicit function ہے یعنی ایک طرح کا equation ہے کہ x square plus y square equals plus one equals zero اچھا اب اس کو اگر میں بغیر دیکھے کچھ اندھون ایک طرح سے کہ لیں کہ میں اس کا derivative معلوم کرتا ہوں using implicit differentiation I get 2x plus 2y times dy over dx equals zero یا dy over dx equals minus x over y اب اس میں ایک problem کی ہے derivative کی expression تو آگے dy over dx equals minus x over y لیکن اگر original equation کو آپ دیکھیں اس میں ایک problem ہے x square plus y square plus one equals zero کو اگر آپ simplify کریں in a sense کہ آپ one کو اس طرح پر لیا ہے تو آپ کے پاس ازالت آتا ہے x square plus y square equals minus one a problem یہ کہ left hand side پر دونوں quantity square ہو رہیں جو آپ کوئی بھی چیز سکویر کرتے ہیں تو results positive آتا ہے پھر آپ ان کو add کر رہے ہیں تو you're adding two positive quantities but the right hand side is telling you that the result is negative تو ایسا تو کبھی ہوئی نہیں سکتا تو یہ original equation جو ہے اس میں ہی problem کی ہے کہ اس کا derivative equation ہی ایک طرح سے nonsensical ہے تو derivative کاں سے آگیا تو یہ چیز ہے جو تھوڑیسی ہمیں careful ہونا چاہیے جب ہم implicitly differentiate کرتے ہیں functions کو اب اس میں کرتے ہیں کہ اس کی ہم نے تھوڑیسی a warning آپ کو دے دیے میں نے اس میں ایک example آپ کی book میں بھی ہے I will let you look at this کہ وہ کہاں پہ چیزیں کون سی جگہ ہیں جہاں پہ آپ کو تھوڑیسا careful ہونا چاہیے کچھ equations ایسی ہوتی ہیں جو جیسے یہ بھی ہم نے دیکھی کہ اس میں derivative تو ہم نے expression تو معلوم کر لی لیکن اس کا sense نہیں بنتا there's no conceptual sense of this process the process of implicit differentiation apply کرنے سے پہلے ہمیں دیکھنا ہوتا ہے کہ یہ کیا ہمیں کوئی sensible جواب ملے گا بھی کہ نہیں تو یہ example اس میں آپ کی text book میں ہے I will let you look at it اور of course وہی بات ہے کہ کوئی problem ہو تو you can always email me اور زیرہ homework بھی آپ کریں گے تو you can always see کہ یہ جو اس طرح کی چھوٹی چھوٹی چیزیں یہ زادہ کلیر ہو جائیں گی تو یہاں پہ اس لیکچر کو آج کہ ہم ختم کرتے ہیں آج ہم نے بات کی implicit differentiation کی powerful tool for finding derivatives indirectly in a sense لیکن یہ کہ کچھ problems ہوتی ہیں جو آخر میں ہم نے بالکل دیکھی کہ ہمیشہ exist نہیں کرتا derivative expression تو آجاتی ہے but it could be nonsensical تو اس کا تھوڑا سا careful رہی ہے اس سے باقی یہ کہ کوئی اتنا مسئلہ نہیں تھا میرے خالص سے straight forward سی بات تھی تو کوئی problems ہو you know how to get in touch اور باقی یہ کہ do the homework practice makes perfect اور اب اگل لیکچر میں ملیں گے Thank you so much Allah Hafiz