 Merci beaucoup d'être venu d'abord. Donc il y aura quatre cours, c'est ça, il me semble de deux heures. Mon but est d'essayer de vous donner un petit panorama sur le modèle d'easing, qui est un modèle très très classique en physique statistique. Et je vais essayer de rester accessible aux non-probabilistes et aux gens qui n'ont jamais fait de physique statistique. Donc en particulier, n'hésitez pas à m'interrompre et me poser des questions s'il y a des concepts qui vous échappent, si j'écris mal ou si je vais trop vite. Enfin, n'hésitez vraiment pas, je pense qu'on a suffisamment de temps pour pouvoir répondre aux questions. Donc le but, ça va être, en fait le modèle d'easing, vous allez voir, je vais le définir, etc. Il y a beaucoup de façon d'approcher ce problème et d'essayer de comprendre ce qui se passe dans le modèle d'easing. On peut le faire à base d'agèbres, à base de géométrie, à base de probabilité, etc. Mon but, c'est d'essayer de vous présenter une approche qui a été introduite dans les années 80. Donc ce n'est pas du tout l'une des premières approches sur cette chose-là, mais qui est très très puissante et qui en fait s'inspire un peu de tous ces domaines. C'est-à-dire qu'il va y avoir de la combinatoire, il va y avoir ce qu'on appelle de l'intégrabilité. On va utiliser les propriétés d'intégrabilité du modèle, etc. Donc c'est ce que je veux faire. Mais avant aujourd'hui, ce que je vais surtout faire, c'est vous définir le modèle et vous donner un peu une motivation en vous donnant un aperçu des résultats qu'on va montrer dans les autres cours. Donc définition et motivation. Donc la motivation principale, c'est d'essayer de comprendre les phénomènes de ferromagnétisme et en particulier la température de curie. Donc curie, Pierre, avait découvert que lorsqu'on met un aimant à température ambiante, non ça il ne l'a pas découvert, ça tout le monde le savait, mais si on met un énorme aimant, on met un petit aimant au bout d'une tige à température ambiante, cet aimant va être attiré par l'autre ou repoussé en fonction de comment on le place. Donc là on va dire attiré par les mains à température ambiante. Donc cet aimant crée un champ magnétique qui attire cet aimant. Mais si on passe au-dessus d'une certaine température, si on se met à chauffer cet aimant, donc le disons là, si on met à chauffer cet aimant au-dessus d'une certaine température T, Tc, l'aimant va perdre son aimantation, il va cesser d'être attiré par l'énormément le champ magnétique n'est plus suffisant pour créer une aimantation de cet aimant. Si on laisse refroidir l'aimant à nouveau, donc il va tomber ici, si on laisse refroidir l'aimant à nouveau il va de nouveau être attiré. D'accord donc il y a une transition entre ce qu'on appelle un matériau qui va être ferromagnétique et un matériel qui va être paramagnétique dans le sens qu'il est attiré que quand le champ magnétique est suffisamment fort. Notre but est d'essayer de comprendre pourquoi il aurait une température critique, pourquoi en fait on ne serait pas toujours attiré à n'importe quelle température ou jamais attiré. Et afin de comprendre ça, donc ça c'était à la fin du 19e, afin de pouvoir comprendre ce phénomène, l'ENSE introduit en 1920 le modèle d'easing que je vais vous définir maintenant. Donc ce qui va prétendre c'est que votre aimant est fait de petits atomes, que chaque atome se comporte un petit peu comme un aimant dans le sens qu'il pointe soit vers le nord soit vers le sud. Donc disons que j'ai un graphe G pour chacun. Donc je vais voir un aimant si vous voulez dont les atomes seraient sur les sommets de G. Je vais voir comme une configuration sigma, donc sur chaque sommet je mets une variable sigma x et sigma x va juste prendre la valeur plus ou moins 1, d'accord ? Donc il pointe soit noir soit sud, soit vers le plus, soit vers le sud. Donc sigma x va être le spin au sommet x et sigma ce sera la configuration de spin, c'est ce qu'on imagine être notre aimant. Donc c'est sigma, c'est un élément juste de plus au moins 1 à la puissance VG. Donc ça c'est notre aimant qui est dans un certain état, les atomes sont soit en soit un spin plus soit un spin moins. Maintenant je dois vous dire ce qui va être l'énergie de votre aimant. Donc l'énergie on va l'imaginer comme suit, on va définir l'énergie de l'énergie d'une configuration sigma. Bon on va suivre l'intuition, l'intuition la plus logique qu'on pourrait avoir. J'écris vite alors peut-être vous me dites si j'écris trop vite, d'accord ? Ce n'est arrivé pas pour ce qu'on veut décrire à suivre. Donc ce qu'on va dire c'est que deux atomes qui sont proches l'un de l'autre ils veulent pointer dans la même direction. Le pôle nord d'un atome va être attiré par le pôle sud de l'autre donc ça va les ondes, ils vont s'aligner. Donc j'aimerais que l'énergie d'une configuration soit d'autant plus petite si les atomes sont alignés. Enfin les atomes voisins. Donc du coup je vais définir ça comme moins la somme sur tous les arrêtes de mon graphe de sigma x sigma y. Donc voyez ça c'est soit un soit voisin en fonction du fait que les deux voisins sont alignés ou pas. Donc ça c'est quoi ? À une constante près c'est juste deux fois le nombre de voisins qui ne sont pas alignés. D'accord ? Donc effectivement on voit que l'énergie elle va être minimale si tous les atomes pointent plus ou tous les atomes pointent moins. C'est les deux, ce qu'on appelle les ground state. Les configurations d'énergie minimales. Alors juste parce que ce sera plus simple pour moi à écrire cette chose là dans la suite du cours je vais juste l'écrire x tilde y comme ça. Ça veut dire x et y voisin dans mon graphe. Alors là ce que je vais faire c'est que je vais me restreindre au modèle d'easing ferromagnétique dans le sens qu'on a envie que les atomes s'attirent et nearest neighbor donc de plus proche voisin. Donc si vous voulez la constante donc en général donc pour répondre à la question on va faire une parenthèse. On va utiliser le bleu pour les parenthèses. En général on écrit moins la somme de j de xy sigma x sigma y pour toute x et y dans vg. C'est à dire qu'on ne se restreint pas du tout au fait d'avoir des voisins. Par contre on va dire bon va entre x et y entre deux sommets il y a une certaine force de couplage entre les deux sommets qui va être plus ou moins forte. On s'autorise à ce qu'elle soit différente en fonction de la paire de sommets et ce que je dis ici quand je prends plus proche voisin c'est que je vais juste décrêter que j de xy c'est 1 si on est voisin et 0 si on n'est pas voisin. C'est une petite simplification mais pour là on n'a pas suffisamment de temps pour aller dans la théorie on va dire des modèles qui vont être non plus proche voisin mais c'est une théorie très importante très très intéressant. En fait beaucoup de ce que je vais raconter se généralise trivialement à des modèles à longue portée. Donc voilà ça c'est une parenthèse. Voilà donc j'ai mon énergie donc maintenant je suis un probiotit j'ai envie de tirer de dire bon je sais pas vraiment dans quel état est mon aimant donc je vais dire qu'il est dans une configuration aléatoire et que la probabilité de cette configuration doit être plus ou moins inversement proportionnelle à son énergie plus l'énergie est grande plus la probabilité devrait être faible. Donc définition donc la mesure de probabilité je vais employer la notation physique donc je vais définir l'espérance de ma mesure d'accord. Donc je vais dire donc la mesure de probat du modèle d'easing sur le grave g à température inverse. Alors je vais peut-être avoir des problèmes avec le français à des certains moments. Je n'ai pas l'habitude de donner le cours en français donc faudra pas se mêquer de moi. Enfin vous pouvez vous mêquer de moi d'ailleurs je vais... c'est pas grave. A température inverse beta ce sera la chose suivante donc la moyenne d'une variable aléatoire x puis ici je vais mettre un petit f vous comprendrez pourquoi dans deux minutes. Ça va être juste 1 sur une constante de renormalisation qui dépend juste de g et de beta et là je vais faire la somme sur toutes les configurations de spin de x de sigma fois exponentiel de moins beta fois l'énergie. Voilà donc ça c'est ma mesure de probabilité et je fais ça pour toutes les fonctions x qui vont disons de plus ou moins un puissance vg dans r des fois on ira peut-être dans c peu importe d'accord donc c'est quoi en gros la probabilité d'une configuration va être proportionnelle à exponentiel de moins beta fois l'énergie c'est pas une mesure de Gibbs donc c'est le beta c'est un paramètre qui nous permet de dire à quel point on prend en compte l'énergie voyez si vous prenez beta égal l'infini c'est à dire qu'on veut vraiment cette mesure c'est quoi c'est la mesure qui va se concentrer sur les ground states sur les les états de l'énergie minimum du coup plus et moins enfin tout plus ou tout moins à l'inverse si vous prenez beta égal 0 ça veut dire que vous ne prenez pas du tout en compte l'énergie et vous êtes juste une mesure uniforme d'accord voilà donc ça c'est la définition de mon modèle et juste pour une terminologie que je vais utiliser donc z f g beta c'est ce qu'on appelle la fonction de partition du modèle et elle est très facile à écrire en fonction de ça c'est juste la somme sur sigma plus ou moins un puissance vg de exponentiel de moins beta fois l'énergie d'accord on veut juste mon but cette cette constante de renormisation c'est parce que je veux une mesure de probabilité donc pour x égal 1 je dois tomber sur 1 alors je sais oui je vais vous dire c'est une très bonne question je vais vous dire ça dans une minute quelque chose comme ça donc juste la remarque d'avant c'est que je voulais juste écrire en fonction de ça donc c'est ce qu'on appelle un le ça va être un modèle dising ferromagnétique dans le sens que les spins ont tendance à s'attirer et si vous avez pris ce type de modèle vous voyez que ça correspondrait ce serait le cas intuitivement si je prends tous les g de x y positif ou nul on a envie vraiment de pousser les spins voisins à être dans la même direction et c'est à plus de plus proche voisins donc ça c'est juste pour un fait le graph il est toujours fini alors pour l'instant il est fini on est d'accord si on veut pouvoir définir cette cette quantité là il faut qu'il soit fini ça on s'en moque ça là c'est n'importe quel grap fini après je vais vous expliquer ce qu'on va vouloir faire mais pour l'instant c'est n'importe quel grap finit alors justement là il y a un petit truc qui est entre guillemets une complexité qu'on n'a pas vraiment envie dans dans dans cette dans cette mesure c'est que elle est symétrique par plus ou moins on peut flipper tous les tous les spins la valeur de tous les spins on aura exactement la même mesure de probabilité donc on a envie de casser cette symétrie donc ça c'est la première chose d'en être cassé à symétrie entre plus et moins la deuxième chose effectivement on aimerait en physique un aimant ça va être il ya énormément d'atomes de nôtre donc on aimerait prendre des très grands graphes et de façon plus générale on aimerait en fait prendre des graphes infinis donc pour faire ça je vais essayer d'éviter d'avoir à définir les mesures en volume infinie donc je vais passer un tout petit peu autour de ça mais de façon générale je vais avoir envie de prendre g un sous-grafe finie de z donc je prends juste le réseau dont les sommets c'est z à la puissance d et les voisins c'est les plus proches voisins donc c'est les gens qui sont à distance l1 d'accord donc je vais prendre un sous-grafe de ça et je vais casser la symétrie de la façon suivante ce que je vais faire c'est que je vais imaginer en quelque sorte que mon aimant qui est dans sur ce grave g il est plongé dans un monde de plus c'est à dire que tous les spins en dehors de mon graph sont plus donc je vais faire ça comme ce comme ceci ici je vais rajouter un terme je vais rajouter moins la somme pour x sur le bord de mon graph je vais vous dire ce que le bord du graph est dans 2 secondes et je vais appeler ça le amyltonien avec condition au bord plus je vais vous dire ce que c'est là et du coup je vais ici définir la mesure avec condition au bord plus juste en regardant le amyltonien plus donc qu'est ce qu'est le amyltonien avec condition au bord plus enfin qu'est ce qu'est le bord donc le bord du graph c'est exactement les sommets du graph tel qu'il existe un sommet qui n'est pas donc un sommet qui est dans z des privés de vg tel que x et voisin de y donc c'est tous les gars tous les sommets qui ont un voisin en dehors de mon graph donc si vous réfléchissez cette mesure c'est quoi c'est exactement le amyltonien de la configuration où vous prenez votre configuration d'angé et en dehors vous mettez tout plus c'est juste si je l'écris comme ça le problème c'est que pour chaque voisin là je vais avoir moins infinie mais si je compte le nombre de voisins qui ne sont pas d'accord ça sera exactement ça donc peu importe en tout cas je prends ça donc ça casse la symétrie entre les plus et les moins en quelque sorte ça favorise les plus parce que sur le bord les voisins enfin les sommets qui sont sur le bord ont plutôt envie d'être plus que moins voilà et maintenant on va pouvoir définir en fait ce qui va être l'objet le plus d'intérêt principal pour nous qui est la magnetisation donc on a envie de dire est ce qu'un aimant va être magnétisé ou non et pour mesurer ça ce qu'on va faire c'est qu'on va regarder la on va regarder la moyenne du spin à zéro donc je prends x comme étant juste la variabe aléatoire qui me donne le spin à zéro au sommet zéro disons que zéro est dans on va dire que zéro est dans g bon peu importe on va regarder l'ambiance n ce sera moins nn à la puissance d je vais regarder le spin à zéro dans la boîte de taille n quand je mets des conditions plus au bord donc cette chose là si j'avais pas mis la condition plus si j'avais mis frie ce serait zéro par symétrie d'accord puisque je mets plus et que mon modèle est ferromagnétique cette chose au moins intuitivement pour l'instant c'est pas une preuve mais intuitivement on a envie de dire que ça va être positif strictement on est vraiment en train de favoriser les plus mais maintenant j'ai envie de regarder la l'infimome sur n ou si vous préférez si vous voulez pas prendre l'infimome prenez la limite enfin en fait ce serait plutôt prenez la limite quand n t'envers l'infini c'est à dire repousser les conditions au bord de plus en plus loin donc effectivement il y a une cassure de symétrie mais on a envie de dire qu'elle est de plus en plus faible cette cassure de symétrie la question c'est est ce que à la limite j'obtiens 0 ou non ce que j'ai vraiment ce que je perd la cassure de symétrie ou pas à la limite donc cette quantité là donc ici puisqu'on ne sait pas clair qu'il y a une limite je vais prendre l'infimome et je vais appeler ça la magnétisation à beta alors ça c'est la magnétisation donc m de beta et la magnétisation spontanée encore une fois n'hésitez vraiment vraiment pas à m'interrompre si je vais trop vite si je posais comme condition limite que les sigmar au bord sont plus un plutôt que de mettre ce terme d'interaction plus compliqué à le faire c'est à dire plus un c'est exactement ça cette chose là ça vient exactement à dire en dehors de mon graphe tout le monde est plus un si je posais comme condition que sur le graphe y compris sur ce que je garde au bord j'impose la condition que si ma x vaut un plus un au bord alors ça serait exactement la même chose ça reviendrait si vous voulez ça reviendrait à prendre le graphe un tout petit peu plus petit c'est strictement équivalent voilà à la limite ça va être exactement la même chose non sinon au niveau discret donc si vous preniez cette mesure la mesure avec les conditions frites et que vous la conditionnez à ce que les spins sur le bord sur cet ensemble là sont plus un c'est pas exactement la même mesure que celle là parce que là ici par exemple les spins sur le bord on pas besoin par contre puisque de façon on va s'intéresser à la limite là ça on obtiendrait la même quantité à la fin c'est plus compliqué d'imposer un point sur lui de ce point du lot ça revient au même alors donc là ici qu'elle est maintenant la quantité oui alors on peut faire ça aussi on peut effectivement mettre un champ extérieur donc le champ extérieur c'est quelque chose qui va pousser donc juste ici c'est quelque chose qui serait plutôt ici mettez sur tout g mais mettez pas mettez juste vous le poussez chaque spin à être un petit peu plus mais pas complètement juste il ya une force interaction h alors ça on peut faire ça aussi ça marche très bien et là ici cette magnetisation ce serait en fait prendre la limite quand n tend vers l'infini d'abord de la mesure donc on aurait une mesure en volume infini avec un champ extérieur et après on fait tendage vers 0 et on obtiendrait cette quantité là c'est la même en fait ce qui se passe c'est que puisque j'ai pas vraiment envie de définir les mesures en volume infini et vous justifier pourquoi elles existent je préfère cette façon là comme ça là vous voyez c'est défini exclusivement en fonction des mesures en volume fini c'est pour ça que j'avais envie de faire ça mais sinon tout à fait on peut faire en champ extérieur et en fait la plupart des théorèmes que je vais montrer puisqu'ils concernent le champ h égale 0 j'ai préféré ignorer cette chose mais effectivement sinon on peut on peut mentionner que on peut utiliser un champ métier ce qui est d'ailleurs plus naturel du point du physique parce que quand on dit que l'aiement là est attiré par un gros aimant c'est quoi c'est justement cet aimant il implique un champ magnétique sur chacun des atomes alors donc du coup quelle est la question qu'on a envie de traiter ici on a envie de se dire si on reprend l'expérience de curie on a envie de se dire que cet aimant donc si j'oublie un peu champ magnétique et je vois plutôt comme ça je vais tricher un tout petit peu en fait il force vraiment les spins qui sont sur le bord à être plus il les force eux ils ont pas les les atomes qui sont sur le bord ils sont pas au milieu de plein d'autres atomes donc ils sentent vraiment énormément cet aimant et ils se tournent tous vers plus et la question c'est ce que en moyenne à l'intérieur une majorité enfin strictement plus qu'une majorité des atomes vont se truvent vont être tournés vers plus ou pas bon c'est pas très dur de se dire que la moyenne spatiale du nombre d'atomes là qui vont être tournées plus ça va être à peu près cette quantité là où n c'est la taille de votre aimant maintenant votre aimant est énorme donc n est très très grand donc cette quantité là va être quasiment égal à cette espèce de magnétisation donc en fait ce phénomène là il va correspond exactement aux phénomènes qui consistent à dire est ce que cette magnétisation ici est strictement positive ou non et la réponse dépend de la température donc on va définir définissons la température critique la température critique la température inverse critique dans le cas présent ah oui alors j'aurais peut-être dû le dire le bêta il a une interprétation de température inverse plus bêta est grand plus on prend on prend une importance enfin plus on regarde l'énergie donc pensez la température comme une excitation dans le système plus la température est élevée plus le système est excité plus l'entropie est importante moins l'énergie est importante donc c'est exactement dire que t c'est comme 1 sur bêta d'accord la température inverse critique bêta c comme étant l'infimum des bêta tel que m de bêta est strictement positive voilà donc c'est la plus petite température inverse à laquelle nos aimants sont naturellement magnétisés notre aimant sur zd est naturellement magnétisé vous remarquez que a priori cette chose là elle dépend de la dimension d dans laquelle on est voilà donc ça c'était ce sera l'objet d'études principales cette température et cette magnétisation spontanée température critique et magnétisation spontanée et le premier résultat sur le modèle d'easing est dû à easing qui était l'étudiant de lence donc easing bêta c de 1 donc si je regarde mon modèle sur z ma bêta c de 1 c'est plus l'infine dans le sens que à toute température inverse la magnétisation vaut 0 intuitivement c'est pas très dur de voir ça parce que ce qu'on a envie de dire c'est que en fait il ne va pas y avoir que des plus dans notre modèle à n'importe quelle température qui est plus petite que l'infini on n'est pas vraiment dans le grand state donc il va y avoir un moment un moins à gauche de un moins à gauche de 0 à moins à droite de 0 sauf que c'est l'inverse mais c'est pour vous je faisais pour vous votre gauche et votre droite et mais voyez si vous si vous arrivez de l'extérieur et que vous voyez un moins et un moins bah tout ce qui est à l'intérieur maintenant est favorisé par le moins non pas par le plus donc en fait il n'y a absolument aucun moyen que les plus arrivent à favoriser 0 jusqu'au bout simplement parce qu'il y a un moment où il va y avoir deux moins de chaque côté et entre les deux maintenant c'est favorisé par moins donc si vous raisonnez sur le fait que vous arrivez à favoriser les plus en faisant ça vous vous rendez compte qu'en fait vous favorisez aussi les moins et par symétrie vous obtenez 0 c'est en fait c'est un exercice qui est très simple à faire je vous laisse essayer de le faire vous pouvez vous convaincre facilement de ça et donc c'était le résultat de la thèse d'easing qui a après conjecturé que c'était le cas en toute dimension donc en fait que c'est un très mauvais modèle de ferromagnétisme puisque en particulier en dimension 3 on ne modélise pas du tout la température de curie puisque la température de curie devrait être 0 dans ce cas alors c'est faut savoir que ça c'était en 1920 et que ça a posé quand même pas mal de problèmes aux physiciens d'essayer de trouver un modèle alternatif qui présentrait une magnétisation enfin un modèle de ferromagnétisme qui présentrait une magnétisation spontanée en dimension 3 et aussi par exemple en dimension 2 donc il y a eu différentes différents essais en particulier le plus naturel était d'essayer de généraliser de dire que le spin n'était pas à valeur plus ou moins 1 mais prenez des valeurs par exemple dans la sphère unité en dimension 3 ce qui serait plus naturel on a juste envie de dire que c'est pas vraiment plus nord ou sud on va pointer dans une direction donc ça s'appelle le modèle d'isemberg quand on prend sigmaris comme ça alors il faut changer un tout petit peu la définition le sigmaris sigmaris grec en fait vous allez prendre le produit scalaire de sigmaris et de sigmaris grec et là vous avez ce qu'on obtient ce qu'on appelle le modèle d'isemberg classique d'isemberg et de façon générale quand vous changez l'état le spin state donc les valeurs possibles pour les spins on obtient toute une classe de modèles qui s'appelle les modèles de spin où en fait on va prendre le produit scalaire de sigmaris sigmaris grec et les sigmaris prendront les valeurs cette fois dans un ensemble omega qui est juste un sous ensemble d'un certain rn et il y a beaucoup de comportements différents enfin on peut avoir des énormément de comportements possibles pour ce type de modèle et étudier ce type de modèle est l'un des enfin l'un des objets principaux principales de la physique statistique donc là en fait en quelque sorte je suis en train de vous donner l'étude d'un modèle de spin si je vous en donnais un autre vous auriez des comportements complètement différents mais bon faut admettre que le modèle d'easing est l'un des plus des plus étudiés et l'un sur lequel on connaît le plus de choses aujourd'hui donc ça c'était easy en 1920 qui nous fait une jolie prédiction qui est complètement fausse en fait heureusement donc perce en 1936 ça a pris un petit peu de temps à en fait montrer que beta c de dé il est strictement entre zéro et plus infini pour tout dé plus grand ou égal à deux donc en fait la seule valeur à laquelle beta c enfin la seule dimension pour laquelle on n'a pas de transition de phase c'est la dimension une partie du moment où on est en dimension deux on en a une et ça je vais je pense qu'au final je vais je vais arriver à le faire pendant le cours que je repose ça un peu plus voilà donc on a une transition de phase donc ça devient naturel d'essayer d'étudier ce modèle et maintenant essayons de faire un de voir ce que vous avez envie de savoir sur ce modèle et voir si je peux répondre à vos questions alors qu'est ce qu'on voudrait se poser comme question est-ce que vous avez des idées de questions qu'on pourrait avoir là si n'hésitez pas qu'est ce qu'on a envie de savoir très bien donc ça effectivement première question je pense qu'on a envie de savoir ce que vous bêta c première question ensuite est ce que vous auriez d'autres questions qui pourraient vous venir à l'esprit dans ce cas là oui alors effectivement là on a défini bêta c comme étant la plus petite valeur où on a quelque chose de positif donc en dessous c'est toujours 0 la manétisation tout bêta strictement plus petit bêta c c'est toujours 0 et en fait on va voir ce que là pour exemple c'est pas tout évident que cet infimum des bêta tel que m de bêta est positif c'est aussi le suprimum des bêta tel que m de bêta égal 0 dans le sens que dès qu'on est au dessus de bêta c c'est strictement positif l'intuition c'est qu'on a envie de dire qu'il y a de plus en plus d'ordre dans notre modèle ce qu'il est fait romagnétique et que le bêta nous pénala pénalisent de plus en plus donc en fait on va le montrer tout à l'heure où ce sera en début de cours prochain le m bêta est croissant donc effectivement c'est aussi suprimum donc dès que bêta est plus grand que bêta c m de bêta est strictement positif mais ça laisse la question de la valeur à bêta c c'est effectivement une question c'est peut-être pas la question 2 donc on va oui ou pourquoi pas marquer donc m de bêta c égale 0 ou non ensuite qu'est-ce qu'on peut se poser comme autre question oui exactement est ce que m donc il ya cette question et après il y a limite quand bêta tend vers bêta c de m de bêta donc est ce que ça va être m de bêta c et dans ce cas là est ce que c'est 0 ou non de façon générale d'un point de vue physique la valeur à bêta c est pas tellement ce qui nous intéresse si vous avez un système physique vous n'allez jamais arriver à être exactement à la valeur critique par contre ce que vous allez pouvoir voir c'est être proche de la valeur critique donc c'est plutôt le comportement de m de bêta proche de bêta c qui nous intéresse que exactement à bêta c donc même plus général que cette question quel est le comportement de m de bêta comme une fonction de bêta moins bêta c lorsque bêta tend vers bêta c donc effectivement est ce que c'est continu donc est ce que cette chose là tend vers m de bêta c et même comment ça tend si ça tend vers m de bêta c à quelle vitesse etc etc donc ça c'est vraiment la question qui physiquement a le plus de sens alors je vais vous en donner deux autres donc c'était bien tout ça dans le cas où on est en dessous de bêta c on a cette quantité qui dont l'infimum ou la limite vaut 0 mais à quelle vitesse ça tend vers 0 d'accord ça c'est une question qui est très intéressante enfin très importante donc quelle est la vitesse de décroissance de sigma 0 lambda n bêta plus lorsque bêta est plus petit que bêta c donc je fixe bêta plus petit que bêta c et je laisse n tend vers la fin et la dernière question ça va être presque la plus importante c'est si en fait si vous voulez comprendre ça si vous voulez comprendre le comportement quand bêta est proche de bêta c donc là c'est une quantité ce qu'on appelle une quantité thermodynamique c'est la magnetisation de votre modèle c'est des quantités macroscopiques de votre modèle vous en avez d'autres vous avez ce qu'on appelle la longueur de corrélation etc la susceptibilité enfin on a différentes quantités comme ça si on veut comprendre leur comportement quand bêta tend vers bêta c en fait la meilleure façon de le faire c'est de comprendre ce qui se passe exactement à bêta c donc malgré le fait que physiquement on peut pas vraiment être à la valeur critique la manière mathématique d'étudier ce problème est d'ailleurs aussi physique théorique d'étudier ce problème c'est de savoir ce qui se passe exactement au point critique donc comment peut-on décrire enfin que peut-on décrire au point critique donc d'un certain point de vue la question 2 c'est presque après la question enfin la question 2 est effectivement la bonne question pour essayer de répondre à la continuité de la magnetisation par exemple donc ce qu'on verra c'est que la magnetisation vaut 0 et en fait la limite le fait que cette fonction est continue en bêta c la continuité à droite est gratuite à gauche ça vaut 0 et donc du coup si j'ai la continuité à droite gratuitement si je montre que m de bêta c'est vaut 0 j'ai montré que m de bêta est continue d'accord voilà donc ça c'était bonne question maintenant les réponses alors je vous ai pas laissé vous avez d'autres questions je peux pas répondre à d'autres questions mais vous en avez peut-être il ya une pause tu as plus droit à ton âge de poser ces questions là c'est en dessous de 30 ans c'est quand on n'est pas encore papa alors il y aura une pause ne vous inquiétez pas mais par contre j'ai commencé à admis c'est ça donc on va faire une heure après on fera un quart d'heure de pause et on fera les 45 minutes qui reste après c'est c'est vraiment deux heures aussi une heure 45 vraiment deux heures parfait alors on fait comme ça parfait on va faire à la russe ça va être jusqu'à m en sensive alors on y va qu'est ce que je vais faire maintenant à réponse voilà les réponses et l'organisation du cours alors première réponse question 1 bêta c de dé alors on a vu que bêta c de 1 ça vaut plus infinie ça c'est pas très compliqué alors rien à théorème qui est dû à ondes à guerre enfin non qu'est alors on va écrire cramé à revanier même si c'était pas une preuve rigoreuse cramé à revanier qui dit qu'en fait bêta c de 2 c'est un demi de logarithm de 1 plus racine de 2 donc vous verrez pourquoi c'est dû à l'existence de ce qu'on appelle une dualité dans le modèle en dimension 2 c'est quelque chose qu'on va utiliser énormément dans la suite du cours mais plus que la valeur importante ce que je veux c'était question 1 ce que je veux mettre en valeur c'est qu'en fait c'est le seul c'est la seule dimension pour laquelle on a une valeur de bêta c donc pour dé plus grand au égal à 3 bêta c de dé il n'y a pas on s'attend pas à ce qu'une valeur précise n'a pas de valeur de formule il n'y a pas de formule alors bon là je m'engage un peu je peux pas vous dire qu'on n'a pas mais en tout cas par exemple aujourd'hui on ne s'attend pas à ce que soit le cas probablement la meilleure définition de la valeur de bêta c de dé c'est que c'est juste la valeur de bêta c d on sait pas si c'est rationnel ça n'est probablement pas algebraique etc etc priori on s'attend pas du tout à ce soit donc ça va être quand même relativement intéressant parce qu'on va étudier le modèle à une certaine valeur de bêta c qui définit de façon implicite en fait on n'aura pas de valeur précise pour bêta c en dimension 3 et plus mais ça reste quand même la valeur la plus intéressante donc ça c'est la première chose ah oui alors on peut faire effectivement des estimations d'ailleurs d'ailleurs j'en reparlerai quand je répondrais à la question 4 qui permet en fait d'avoir des quets on introduit une quantité qui en fait avait été introduite enfin vous avez voir la preuve est proche d'une preuve pour la percolation bernoulli et en fait la façon dont on a trouvé la preuve pour la percolation bernoulli c'est qu'on a regardé le premier article sur la percolation bernoulli dans le premier article ils introduisaient une certaine quantité qu'on a généralisé et cette quantité en fait dans ce premier article a été introduit exactement pour ça pour essayer de calculer d'avoir des approximations de la valeur dans le cas de la percolation bernoulli de bêta de pc du point critique pour la percolation bernoulli donc ce serait là l'équivalent de dire pour essayer d'avoir une évaluation de bêta c donc on peut avoir de bonnes évaluations de bêta c mais on connaît pas la valeur exacte alors il y a des ensembles oui il y a des développements asymptotiques en dé ça c'est beaucoup plus facile à obtenir effectivement et ça tend vers 0 en fait il y a une autre question qu'on pourrait poser c'est que si je change le réseau par un réseau plus compliqué qu'est ce qui se passe est-ce que c'est assez chargé alors c'est une très très très très bonne question c'est probablement la question la plus intéressante en fait de tout ça ce qu'on appelle l'universalité c'est à dire si je vous donne un autre un autre réseau quel est le comportement du modèle parce que vous êtes d'accord que mon aimant mes atos ils ont beau être gentils avec moi ils vont pas se mettre sur un réseau carré il y a d'ailleurs il y a des systèmes physiques qui se mettent en réseau mais en général si se mettent en réseau ça va être déjà le réseau triangulaire donc c'est on pourrait faire toute l'étude sur le réseau triangulaire mais en tout cas dans le cas des aimants il n'y a aucune raison qu'on est un quasi cristal mais on n'est pas du tout exactement ça donc si on veut un bon modèle il faut pas que le comportement dépend tellement du réseau il faudrait qu'il y ait ce soit quelque chose de plus profond et qu'on ait le même comportement si on change le réseau donc prenez le réseau triangulaire le réseau hexagonal prenez même un réseau quasi périodique vous prenez un grave fini sur un tort vous le dépliez vous obtenez un grave sur un grave planère si je défini le modèle sur ça est-ce que j'obtiens la même chose alors c'est pas très dur de se convaincre qu'en fait le btac il va vraiment changer la température critique elle va pas du tout être la même donc ça c'est pas c'est pas très grave parce que si vous prenez un aimant donc les aimants le l'expérience originelle avec le fer il faut quand même le fer chauffer sacrément pour arriver à perdre l'aimentation donc on arrive en fait au dessus de 700 degrés ou des choses en fait aujourd'hui on a des alliages de différents métaux qui vous permettent d'avoir des températures de curie en dessous de 100 degrés donc j'aurais presque pu vous faire l'expérience la dernière fois que je l'ai faite je me suis brûlé donc des crétés que je ne la faisais plus mais j'ai des aimants à la maison qui qui se désaimante à 100 degrés et sans doré c'est beaucoup en fait c'est ça que j'avais oublié dans l'histoire mais donc voilà donc là même dans les dans les phénomènes juste même avec des aimants il ya des températures critiques différentes donc c'est ça c'est pas gênant que la température change en fait c'est plus le comportement ici de m de beta qui doit être universel c'est celui là auquel on s'attend à voir et ça effectivement c'est possible de voir que pour les aimants c'est le même on va voir qu'en fait je vais vous le dire dans deux secondes mais beta moins beta c c'est enfin f de beta moins beta c ça va être une certaine puissance de beta moins beta c on aimerait que ça soit toujours la même puissance en tout cas à la même dimension si je prends n'importe donc ça c'est ce qu'on appelle les phénomènes d'universalité et ça c'est très peu compris d'un point de vue mathématique c'est une question très très intéressante c'est la question qui m'intéresse le plus par exemple en dimension 2 vous allez voir qu'on sait faire beaucoup de choses on décrit très bien le modèle sur le réseau carré mais entre guillemets pour les mauvaises raisons et donc essayer de comprendre un peu plus conceptuellement pourquoi on a ces phénomènes là pourrait permettre justement de comprendre le phénomène d'universalité c'est une très très bonne question je n'aurais malheureusement pas beaucoup de temps je pense même à une dimension si je prends un graphe en arbre c'est compliqué qui est essentiellement une dimension mais avec des vertex alors si tu prends un si tu prends un arbre là vraiment tu as un comportement très différent c'est pas du tout un graphe unidimensionnel si tu prends un graphe qui est quasi isométrique avec z donc vraiment un graphe unidimensionnel ils vont tous avoir btc égal plus l'infini et ils ont tant que c'est tant que c'est tant qu'il est tant qu'il est quasi isométrique à z là il n'y aura rien c'est à dire état de branchement partout alors si vraiment si c'est pas isométrique à z si c'est vraiment un arbre dans ce cas là là c'est pas du tout planère et si vous prenez le modèle sur un arbre là vous avez quelque chose de complètement différent ouais et sur tous les arbres c'est possible par contre de montrer qu'ils ont tous le même comportement ça c'est facile à alors ça c'est une très bonne question aussi dès qu'on passe à des longues portées qui sont suffisamment par exemple si vous prenez j2xy qui va être 1 sur x-y à la puissance alpha donc une puissance donc on veut une longue portée mais en plus qui décroît suffisamment lentement alors vous pouvez avoir des transitions des phénomènes de transition de phase et en particulier donc le plus intéressant c'est de prendre alpha égale 2 quand vous prenez alpha égale 2 là il y a une transition de phase btc il y a un point critique btc qui est strictement entre 0 et plus l'infini et ce qui est d'autant plus intéressant dans ce cas c'est qu'en fait vous allez voir que sur le réseau sur zd on va montrer que la magnetisation elle est toujours égale à 0 au point critique c'est pas le cas pour ce modèle là ce modèle là en fait il y a un saut dans la magnetisation donc oui c'est très intéressant d'étudier les phénomènes à longue portée même sur zd en fait d'un certain point de vue pour la phénomène à longue portée zd c'est déjà il y a déjà une richesse largement supérieure au modèle ferromagnétique au plus proche voisin voilà donc ça c'est réponse à la première question c'est pas grave en dimension 2 on va avoir une valeur au dessus on n'a pas de valeur c'est pas grave alors ensuite en fait je vais passer à la question 4 directement je vais pas rentre de difficulté donc quand on décroît en fait on va décroître exponentiellement vite il va y avoir un théorème qui est dû à ison man basquey et fernandez et dont on a donné une preuve alternative avec un de mes postdocs vincentation donc ça ça date de 80 et ça c'est 2015 et qui dit pour tout beta plus petit que beta c il existe une constante c qui va dépendre de beta tel que la magnetisation est plus petite que exponentielle de moins c x n alors ça c'est très important parce que c'est si vous voulez c'est l'outil que vous allez utiliser pour étudier ce qu'on appelle la phase sous critique la phase haute température si vous avez ça vous pouvez démontrer à peu près tout ce que vous voulez sur cette phase donc cette phase beta plus petit que beta c elle est pas mystérieuse du tout on connaît très très bien mais mathématiquement on sait très bien ce qui se passe dans cette phase elle est due à ce théorème là d'un point de vue physique en fait cette constante ça a l'interprétation de l'inverse une longueur de corrélation pour ceux qui ont l'habitude de ce genre de jargon voilà donc ça ce sera un théorème qu'on va regarder je ne vous montrerai pas la preuve complète parce que j'ai plutôt envie de parfait j'ai plutôt envie d'aller vous expliquer ce qui se passe au point critique mais je ferai quand même un petit détour pour vous parler un peu de ça probablement dans le prochain cours alors oublions maintenant la phase sous critique et regardons la phase critique et parlons déjà de la conjecture donc la conjecture pour les questions 2 et 3 c'est que m de beta va se comporter comme beta moins beta c à la puissance alors là c'est pas de bol parce que c'est un très mauvais choix de constante mais c'est pas nous qui l'avons décidé l'exposant il l'appelle beta en physique donc on va le mettre d'une autre couleur beta plus petit au-delà alors ce beta ça rien à voir ça me gêne un peu bêta bar après d'accord donc ça se comporte comme une puissance et le bêta bar et bah il va dépendre de la dimension en dimension une ça va être un huitième en dimension deux excusez moi en dimension quatre et plus ça va être un demi et en dimension trois bah il ya une valeur numérique qui n'est pas connu ah oui du coup forcément hop là cd égale trois donc ça c'est la conjecture et maintenant les résultats donc théorème je vais en bleu donc les théorèmes c'est un huitième c'est prouvé c'est un résultat de vue c'était prédit par onze à guerre donc ça c'était dans les prédits par onze à guerre en 49 prouvés par vu en 52 et je vous parlerai un peu plus de ça quand je parlerai vraiment de la dimension deux dans le cours donc je vais pas passer trop de temps là dessus mais on sait montrer qu'en dimension deux c'est bêta moins bêta c à la puissance en huitième à vrai dire on sait même que c'est pas un plus petit au de l'un c'est à constante près il y a même des valeurs explicites en fait on a une formule ce qui pour certains d'entre vous doit être super et ce qui pour moi est d'un certain point de vue et hyper décevant que ce soit la façon dont on montre ça d'avoir juste une formule explicite en oui ça alors ça c'est quand bêta tend vers 0 bêta tend vers bêta 6 et le un de mi c'est dû à ison man et fernandez même si de nouveau en fait ison man avait plus ou moins déjà fait le travail à ison man dans son mettez le nombre que vous voulez ici c'était déjà plus ou moins fait dans son article originelle mais la preuve réelle pour des plus grands au égal à 4 et dû à c azulman et son étudiant fernandez voilà donc ça c'est ce qu'est connu en dimension 3 en dimension 3 on sait pas en dimension 3 on sait juste une chose c'est donc pour des égale 3 on sait juste que m de bêta c est égal à 0 donc c'est une transition face continue et ça c'était un résultat qui est dû à ison man moi même et si de ravissus voilà donc ça c'est ce qu'est connu pour m de bêta et vraiment j'attire votre attention sur le fait que la dimension 2 vous allez voir ça va être dû au fait qu'on comprend très bien ce qui se passe au point critique on connaît même la variance conforme etc donc ce modèle en dimension 2 il va être intégrable donc on saura faire beaucoup de choses en dimension 4 et plus vous voyez c'est toujours le même exposant et en fait si vous aviez défini le modèle oui 2015 2015 si nous on est sorti en 2012 à peu près et là aison man c'est 80 quelque chose donc le premier papier c'est aison man en 80 82 excusez-moi aison man c'est peut-être deux ou trois ans après donc qu'est ce que je disais oui en dimension 4 et plus c'est toujours le même exposant et en fait si vous regardiez le modèle sur un arbre donc vous définissez le modèle sur un arbre binaire par exemple vous pouvez aussi définir un bêta c et puis là vous vous doutez bien sur un arbre binaire vous avez pas de cycle vous allez avoir une structure qui est beaucoup plus simple à étudier en particulier vous allez pouvoir montrer que en fait l'exposant c'est un demi dans ce cas donc en fait la magnetisation à partir de la dimension 4 se comporte comme ce qu'on appelle en champ moyen donc si vous faites ça aussi sur un sur un graphe complet et vous faites tendre la taille de votre graphe vers l'infini vous avez aussi une façon de définir un modèle et une température critique vous avez aussi à voir un comportement en racine de bêta moins bêta donc ce comportement en champ moyen c'est ce qu'avait c'est ce qu'a exibé aison man dans son papier de 82 donc il s'intéressait pas exactement à cette quantité là il s'intéressait à une autre c'est ce dont je vous parlerai dans le cours mais quelques années après ils ont capables ils ont été capables de faire en gros toutes les quantités d'intérêt pour nous donc ici c'est parce qu'en gros on va pouvoir comparer au champ moyen ici c'est parce que c'est intégrable en dimension 3 qui est la dimension la plus intéressante on n'a aucun des deux aucune des deux propriétés on n'a pas un comportement en champ moyen donc ça va pas être un demi on n'est pas intégrable donc on sait pas calculer explicitement la quantité et donc là on est bloqué je vous parlerai de ça dans le dernier coup alors numériquement on a des idées de ce que devrait être bêta mais on n'a pas d'existence de mais on sait qu'il existe non numériquement numériquement on a des numériquement on a des estimés pour m de bêta pour bêta proche de bêta c mais puisque c'est une limite on bah ça t'enversé au ça on peut montrer ça on peut montrer que ça t'enversé au mais numériquement ça ne donne pas d'information sur le comportement théorique de la limite je vous parlerai un petit peu de ce qui est connu en dimension 3 physiquement il y a des progrès récents sur en utilisant la variance conforme mais c'est c'est encore très très loin de pouvoir montrer quoi que ce soit sur le comportement je pense que peut-être montrer que c'est plus grand qu'un demi plus petit qu'un demi ça c'est c'est peut-être possible montrer que c'est plus grand qu'un huitième aucune idée mais montrer que c'est plus grand qu'un epsilon peut-être oui j'ai entendu alors quatre moins epsilon donc effectivement si on fait des si on fait des il y a certaines quantités qu'on peut définir et faire apparaître un dé après on peut pluguer le dé qu'on veut donc un dé qui n'est pas un entier effectivement le dé à laquelle ce qu'on qu'elle se comportement commence à disparaître est strictement plus petit que quatre c'est plus la valeur 3,72 c'est quelque chose comme ça bon mathématiquement c'est difficile de dire comment comment c'est relié à nos à notre problème pour les dés qui sont non-entiers en particulier parce qu'en fait on n'a absolument aucune idée pourquoi beta devrait être une fonction analytique par exemple de dé des choses comme ça alors c'est une très très bonne question pour la magnetisation non par contre il y a des quantités où on a des corrections logarithmiques ça je vous en parlerai peut-être un petit peu il y a encore des choses qui sont pas compris en dimension 4 de ce point de vue là par exemple la trivialité de la quantité enfin de la fil theory de la théorie des champs qui associé à ce truc dont je vais vous parler dans deux minutes on sait pas montrer qu'elle est trivial on sait montrer comment il faut la renormaliser etc mais on sait pas montrer qu'il y a des choses qui sont pas comprises en dimension 2 en dimension 4 et en dimension 3 c'est un peu le flou artistique mais tant mieux parce que au moins ça nous laisse de jolis problèmes alors dernière question du coup la question 5 que se passe-t-il pour la question 5 et après on fait une pause alors ce qu'on peut regarder donc ce qui va se passer déjà au point critique donc en sous critique on a des croissances exponentielles de ce genre de quantité en sur critique elle tend même pas vers 0 qu'est ce qui se passe au point critique au point critique elles vont décroître comme des puissances en fait donc cette quantité donc la conjecture c'est que cette quantité à beta c elle va se comporter comme 1 sur n à une puissance je vais l'appeler alpha 1 disons plus petit au de 1 et là le petit au de 1 par contre c'est quand n en vers l'infini donc ça se comporte comme une puissance donc maintenant ce qui est très intéressant c'est d'essayer de regarder si je prends les corrélations entre plusieurs spins comment elles vont se comporter donc si je prends par exemple sigma 0 sigma x à votre avis quelle est la vitesse quelle est la chose naturelle la vitesse naturelle à laquelle on pense que ça va tendre vers 0 sigma 0 fois sigma 1 si je prends la corrélation à beta critique entre sigma 0 et sigma x on a envie de dire on va chopper un n puissance alpha 1 pour chacun des deux spins donc ça va décroître comme 1 sur n puissance 2 alpha 1 si je prends cas spin ça va décroître comme 1 sur n puissance 4 fois alpha donc maintenant ce qui est assez naturel c'est de dire bon bah multiplions notre corrélation par cette quantité regardons si ça converge vers quelque chose alors converger il faut que j'envoie mes gens à l'infini donc ce que je vais faire plutôt qu'envoyer mes gens à l'infini je vais changer un tout petit peu mon point de vue je vais prendre le point de vue de la limite d'échelle limite d'échelle c'est juste de dire j'ai pas envie d'envoyer les gens à l'infini ce que je vais faire c'est que je vais réduire la maille du réseau donc concrètement mes spins vont être de plus en plus loin mais je vais fixer un domaine omega pour qu'imaginer un ouvert puis je vais prendre le réseau delta zd intersecté avec omega j'appeler ce graphe omega delta et je vais regarder je vais prendre des points x1 x2 etc x3 x4 et je m'intéresse à la quantité je vais regarder la limite la limite en delta envers 0 de donc je vais regarder la corrélation entre sigma x1 sigma x disons k dans omega delta laissons on va mettre juste condition free pour simplifier alors ici x1 xk ils ont aucune raison d'être des sommets de omega delta donc je vais prendre x1 delta etc xk delta là j'entends juste le point ou un point très proche de x1 qui est sur omega delta donc c'est une raison que là j'ai prendre un point x3 delta qui est le disons le point le plus proche de x3 si on a plusieurs vous en prenez un donc ça cette quantité elle va tendre vers 0 elle va tendre vers 0 comme delta à la puissance k x alpha 1 c'est à ça qu'on s'attend donc je vais renormaliser ça par delta à la puissance k x alpha 1 est ce que j'ai une limite de cette quantité là alors il va se trouver que je vais avoir une limite tout ça c'est prédictif c'est tout ça on est à l'ordre de l'ordre de la conjecture je vais avoir une limite que je vais noter formellement je vais l'appeler comme ça donc ça c'est formel c'est une notation ça j'ai pas de modèle disings sur omega dans le continu d'accord donc je note comme ça et ça je vois ça comme les correlations à k point d'un champ maintenant d'un champ sur un champ aléatoire sur omega cette fois c'est vraiment dans le continu alors attention à cette fonction donc ce serait un peu la fonction x donc il va de omega dans plus ou moins un et qui à x à ceci sigma x bon cette fonction sigma si je l'avoue c'est pas du tout régulier sans ça je dis que c'est vraiment un sens une distribution aléatoire la régularité de cette chose j'ai pas du tout envie de l'étudier j'ai juste envie d'y ok oublions complètement ça regardons juste les correlations à k point de cette quantité et je dis ça sont de gentil c'est peut-être de gentil fonction à quoi elle ressemble pour ceux qui sont perdus vous inquiétez pas on n'en parlera pas tant que ça malheureusement parce qu'il faudrait plus de temps mais laissez moi vous dire quelques petites choses là dessus donc alpha 1 déjà la conjecture c'est que ça vaut un huitième si d égale 2 on n'a absolument aucune idée si d égale 3 et ça vaut des moins deux sur deux si d est plus grand au égal à 4 donc le des moins deux sur deux ici si vous surprend un petit peu ça dit quoi ça dit que sigma 0 sigma x va décroître comme 1 sur la distance donc 1 sur x à la puissance des moins deux qu'est ce qui décroit comme ça la fonction de green donc en fait en dimension 4 les correlations spin spin en fait elles vont être très très proches elles ont le même comportement que la fonction de green c'est à dire l'espérance d'une du temps passé en x pour une marche aléatoire par temps de 0 d'accord donc juste ici par en thèse par exemple ça nous dit quelque chose comme cette chose là se comporte comme ça et ça c'est à peu près de l'ordre de la fonction de green donc l'espérance d'une nombre de visites en x pour la marche aléatoire simple partant de 0 donc c'est pas une valeur complètement folle ce des moins deux sur deux donc ça c'est la première chose donc ça nous dit comment il faut renormaliser ici et maintenant que s'étant sur cette quantité là sur sur cette limite quand on a renormalisé je vais me concentrer sur deux propriétés je vais vous parler juste de ça donc en dimension pour des plus grands au égal à 5 je vais pas vous traiter le 4 le 4 c'est un peu compliqué comme l'a dit nicola il pourrait y avoir des corrections logarithmiques je vous en parlerai si j'ai vraiment le temps en dimension 5 ce qui va se passer c'est que le sigma 0 sigma x et mettons mettons qu'on est vraiment dans dans rd donc on prend vraiment un volume infini ça ça va se comporter comme un ça va être ça va être comment je oui ça va être une fonction de x de juste d'une de la de la norme éclidienne donc qu'est ce que je suis en train de vous dire comme ça là je vous dis juste une chose simple c'est toute une façon beaucoup trop compliqué de le dire mais d'ailleurs c'est tellement compliqué que je l'aime vraiment pas on va faire ça comme ça c'est si on se met sur zd ça ça va se comporter à peu près comme un sur la norme éclidienne de x à la puissance d moins deux avec une constante devant qui dépend de d donc ce que je suis en train de dire c'est que cette quantité la quantité cette quantité là c'est juste constante d'accord il ya une invariance par rotation donc la raison pour laquelle j'ai un tout petit peu patogé en essayant de vous dénoncer ça c'est qu'en général on s'intéresse pas tellement à ça parce qu'en dimension 5 et plus ce qui va vraiment nous intéresser c'est de voir comment on peut exprimer les correlations à quatre points par exemple en fonction de celle à deux points ou est celle à six points en fonction de celle à deux points etc etc et à quelque chose qui se passe en dimension 5 et plus qui est fâcheuse un point de vue de la théorie des champs donc théorème du isleman c'est pas exactement énoncé comme ça mais je vais vous l'énoncer comme ça quand même c'est que sigma de x1 sigma de x2k donc si je prends 2k points et ben en fait c'est la somme sur tous les appareillements possibles absolument aucune chance que j'écrive apparemment sans photographe donc je vais mettre pairing de x de xpi1 sigma de x de pi2 sigma de x de pi2k moins 1 sigma de x de pi2k donc comment je calcule la corrélation à 2k points et ben je fais la somme sur tous les je les mets par paire et je regarde toutes les façons de les mettre par paire et je fais le produit des spin spin pour les paires alors pourquoi ça il y a un type de champ qui vérifie exactement cette propriété là et ce qu'on appelle le champ libre donc cette chose là ça dit quoi ça dit que le champ est trivial c'est la trivialité du champ obtenu par la limite d'échelle de zing au point critique alors ça c'est juste pour faire une petite parenthèse après je vais retomber sur des choses beaucoup plus simples là c'est vraiment juste la fin de c'est un petit peu plus compliqué mais c'était juste pour vous donner un peu tout ce qu'on va faire je passerai plus de temps là dessus plus tard ça d'un point de vue de la théorie constructif des champs c'est très gênant parce qu'en fait pendant une grande période nos amis à Princeton et Harvard ont essayé d'utiliser le modèle de zing et le modèle qui est relié qui s'appelle la mode le modèle 5 4d pour essayer de construire juste de construire un champ en dimension 4 qui soit non trivial c'est quelque chose que les physiciens aimeraient obtenir aimerait avoir un champ construit mais rigoureusement en dimension 4 non trivial donc ils ont parti du modèle d'hazing et de ce modèle relié qui est le 5 4d pour essayer de dire bah oui alors peut-être une façon de le faire c'est ce modèle au niveau discret il n'est pas vraiment trivial donc essayons de prendre le point critique de prendre la limite et peut-être qu'on obtient quelque chose de non trivial et ils ont essayé pendant de nombreuses années d'essayer de prouver ça sauf que le problème c'est que ce théorème d'heisenmann nous dit que c'est pas le cas ce modèle il est ce champ il est trivial en dimension 4 et plus ça c'est d'un point de vue théorique oui et en fait c'est on s'attend à ce que ce soit vraiment dimension 4 même si on ne sait pas le montrer mais il n'y a pas de doute réelle là dessus tout le monde est d'accord tout le monde tout le monde tout le monde j'en sais rien vous n'avez pas l'air déjà donc ça commence personnellement pour travailler sur cette question j'ai peu de doute sur le fait qu'il soit trivial et le modèle qui les intéressait eux qui était de prendre la limite de 5 4d 5 4 4 du coup ça on sait maintenant que c'est trivial celui là c'est rigolo pour un certain paramètre de couplage c'est connu que c'est trivial c'est ce résultat par bauer schmidt slay des bridges c'est assez récent c'est ça 3 4 alors je vous l'accorde c'est pour le régime c'est pour un régime qui est perturbatif par rapport au gauche infif par rapport au champ libre mais ça reste un régime réel de de modèle 5 4 4 et pour lequel limite des chelets triviales oui il ne pourrait pas nommer alors effectivement deux ans après freliche a fait également ça alors il prétend que c'est fait aussi en dimension 4 bon après quand on a discuté avec lui c'est moins clair et quand on regarde le papier en toute l'été la dimension 4 est pas couverte par par le papier mais effectivement on va on va genre parle au ray quand on va quand on va faire ce théorème c'est également fait par freliche donc moi je vais aborder je vais commencer à développer un objet qui a été étudié exactement dans la preuve de heisman et qui a été introduit à cause de ce théorème c'est pour ça que je parlais de ça effectivement alors qu'est ce qui me reste à dire pour le break qui va arriver vous inquiétez pas non mais c'est d'ailleurs que là il me reste un théorème et après j'en ai fini avec les énoncés c'est un moment plus simple pour pour s'arrêter comme ça plus vous a plus vous tenez là pendant les cinq ou six d'un anit ça fera ça de moi après ça va être alors qu'est ce qui se passe en dimension 2 j'ai juste envie de finir avec ça donc en dimension 2 ce qui est connu et c'est un théorème de chel kak anglais is your off c'est que en fait c'est cette quantité elle existe donc il ya une limite ce qui n'était pas du tout évident a priori et cette limite elle est invariante conforme c'est à dire si je prends un domaine omega simplement connex et que je prends une application conforme fi qui va l'amener dans l'application conforme vous voulez en dire au le morphe et injectif donc ça l'envoie sur un autre domaine simplement connex fi de omega si je prends x1 xk ce qui va se passer c'est que si je regarde la quantité la limite que j'obtiens sur omega en prenant les corrélations à x1 xk donc je prends la limite de cette quantité là et ben je peux la relier à la limite que j'obtiendrai si je regardais le modèle dans fi de omega donc si je veux relier à cette quantité là fi de x1 sigma de fi de xk dans fi de omega donc ça ça veut dire je prends fi de omega je prends la limite de l'échelle là dedans et ben ces deux quantités elles sont pas tout à fait égales mais presque c'est égal à fi prime en x1 à la puissance un huitième etc fi prime en xk à la puissance un huitième fois la corrélation en fi de omega donc c'est ce qu'on appelle c'est une limite qui est un variant enfin un variant conforme co-variant conforme qu'à présent voilà donc ça c'est la limite c'est la dernière chose que je ferais en fait je vais pas exactement montrer cette théorème là mais quelque chose qui est relié j'ai juste envie de finir par vous dire quand même que là il y a quelque chose d'un petit peu magique qui se passe c'est bien entendu si vous prenez comme transformation juste la rotation d'angle plus sur deux puisque c'est une transformation qui préserve le réseau ce résultat est complètement évident vous allez obtenir les mêmes corrélations d'accord mais ce que je vous dis c'est que c'est vrai en particulier dans la limite c'est vrai pour n'importe quelle rotation hors au niveau discret c'est bien entendu complètement faux vous avez pas les on voit même pas le réseau sur le réseau d'accord c'est vrai pour n'importe quelle rotation en fait c'est vrai pour n'importe quelle transformation conforme n'importe quoi qui est localement une dilation de dilation homothécie dilatation composée de dilatation et rotation donc en fait c'est vrai pour tout un ensemble de symétrie et du coup si vous avez beaucoup de symétrie en physique vous allez pouvoir décrire très simplement votre modèle et c'est exactement ce qui se passe ici on peut décrire par à peu près tout ce qu'on veut sur le modèle planère grâce à ça l'autre avantage c'est que cette symétrie elle va être vraie si vous partez d'un autre réseau normalement ça fait exactement partie de ces choses qui devraient être universelle donc ça on finira par ça ce sera un petit peu le point d'or que du cours au dernier cours et voilà je vous avais promis une pause donc il faut que je la fasse ok donc on sert partie alors déjà une titre j'ai fait une photographe là soit vous rajoutez un F soit vous mettez un V donc à présent je crois que Costier a préféré qu'on utilise le V très bien donc ça c'était pour encore une fois je suis allé un peu plus vite sur cette partie là mais c'était pour essayer juste de vous donner un aperçu de ce qu'on allait faire bien sûr maintenant on va retourner à quelque chose d'un peu plus crédible et un petit peu moins compliqué alors l'organisation du cours donc première chose qu'est ce que je vais vous présenter je pourrais pas vous faire un cours là c'est qu'un aperçu d'ailleurs de ce qui est connu sur le modèle des ingres plein d'autres choses qui sont connues donc j'ai choisi ces choses là pourquoi parce que j'ai envie de vous parler d'une d'une approche spécifique au modèle des ingres qui consiste à essayer de réécrire les corrélations de spin en fonction de propriété de sous-graphe aléatoire de zd donc c'est ce qu'on appelle une représentation géométrique du modèle des ingres donc le but c'est d'obtenir et étudier une représentation géométrique du modèle d'hise alors il y en a beaucoup des représentations géométriques donc il y a des représentations de type percolation et des représentations du type marche aléatoire donc je vais juste vous en en enoncer quelques unes qu'on ne va pas étudier pour qu'elles soient écrites comme ça si vous rencontrez dans un cours vous saurez d'où elles viennent donc il y a par exemple ce qu'on appelle la percolation de fortune castellane on est en français on peut mettre percolation avant la percolation castellane qui est un modèle de percolation qui généralise la percolation dont vous avez peut-être déjà entendu parler qui est juste la percolation de Bernoulli où en fait chaque arrête et gardait avec probability p enlever à une pointe p vous avez des représentations par marche ce qu'on va appeler basse et haute température alors ça je vous en parlerai un tout petit peu quand on parlera du modèle en dimension 2 donc ça c'est des expansion en fait de la de la fonction de partition en termes de sous-graphe de z2 il y a des représentations en marche aléatoire et je vais appeler ça à la cimentzée c'était le premier à introduire ce type de choses et il y en a en fait pour ce que j'ai écrit j'ai perdu excusez-nous ça ça marche en fait pour beaucoup de modèles de spin donc c'est pas spécifique au modèle d'easing et dans le cas du modèle d'easing c'est une représentation par brydges freilich et spencer et c'est exactement la représentation qu'avait utilisé freilich pour montrer ce théorème donc en fait aison man et freilich ont effectivement montré cette théorème simultanément freilich en utilisant cette représentation et aison man utilisant la représentation dont je vais vous parler maintenant qui s'appelle une représentation en courant aléatoire donc mon but c'est d'utiliser c'est de vous présenter cette représentation en courant aléatoire et de vous montrer cette théorème en utilisant cette représentation et en particulier cette représentation est reliée à la représentation haute température qui sera utilisée en dimension 2 voilà donc mon but c'est de vous étudier de vous présenter ça donc premier première partie du cours ça va être juste de définir cette représentation et de vous faire quelques des quelques propriétés de base enfin prouver quelques propriétés de base sur cette représentation la deuxième partie ça va être en fait de vous décrire la face sous-critique parce que là la description elle dépend pas vraiment de la dimension ça marche toujours donc je vous ferai ça et après on va faire dimension 4 dimension 3 dimension 2 donc en dimension 4 on va montrer quelque chose qui est proche de cette théorème de trivialité en dimension 3 je vous montrerai que la magnetisation au point critique vaut 0 et en dimension 2 on verra jusqu'on va mais c'est de montrer que beta c vaut effectivement un demi de log de 1 plus racine de 2 et ensuite essayez aussi de vous donner quelque chose sur la variance conforme en quelque sorte d'accord donc c'est là l'organisation du cours on va aller de la plus grande dimension qui est en quelque sorte la plus simple à étudier à la petite dimension donc représentation en courant allez à toi qu'est ce que j'entends parle alors définition alors au début ça va vous sembler tout bête comme définition mais vous allez voir que c'est très utile donc un courant c'est juste une fonction des arrêtes de notre graphe dans n c'est tout et je vais la noter pour essayer de simplifier un peu les annotations les arrêtes je vais les appeler x y comme ça ou x y c'est les deux extrémités de l'arrête et n de x y c'est la valeur du courant en x y donc ça c'est un courant une source de n ça va être quoi c'est juste un sommet tel que la somme sur les arrêtes incidentes à ce sommet du courant est un père donc vous êtes d'accord vous prenez tel que la somme de n de x y pour y voisin de x est un père d'accord soit père soit un père pour toutes les impairs on appelle ça des sources et des ronds n ce sera l'ensemble des sources de n d'accord voilà donc ça c'est la définition d'un courant pour l'instant aucune connexion avec les modèles d'hising et je vais vous rajouter deux notations je vous ai dit courant aléatoire donc je vais vous donner la probabilité d'un courant qu'est ce que c'est que la mesure que je vais définir sur le courant c'est sont des arrêtes non orientés là donc c'est vraiment ouais c'est un graphe non orienté c'est une bonne question c'est avec la notation et pas très bonne de ce point de vue là donc il va y avoir un poids associé à une arrête à un courant excusez-moi donc W beta de n ça va être le produit pour sur toutes les arrêtes de beta puissance n de xy sur n de xy factorial donc ça c'est le poids pour l'instant il n'y a absolument aucune c'est pas évident pourquoi c'est c'est intelligent de faire ça vous allez voir dans deux minutes donc suivez moi pendant deux minutes et vous comprendrez pourquoi c'est quelque chose de naturel et la dernière chose que je veux regarder que je veux introduire c'est une mesure de probabilité donc si je prends un ensemble d'arrêtes de ce moment de sommet pa beta d'un courant donc la probabilité d'un courant sur la mesure pa beta ça va être quoi ça va être 0 si l'ensemble des sources est différent de A donc en fait c'est une mesure qui va être juste sur les sur les courants dont les dans les sources dans l'ensemble de sources et A et pour ces courants là ça va être ici je vais mettre proportionnel à W beta de n voilà d'accord donc c'est concentré sur les courants avec source A et pour ces courants là c'est proportionnel la probable proportionnelle au poids que j'ai défini voilà alors quel est le rapport avec le schmiel blick alors essayons de faire un petit calcul définissons Z essayons de calculer la fonction de partition à une condition frie pour le graphe G oui j'aurais pu mettre G aussi là et là c'est les courants c'est pour tout courant n sur G définissons Z F beta de A comme étant la somme donc c'est une définition c'est la somme pour tous les configurations sur le graphe G de exponentiel de moins beta fois le Hamiltonian donc ça ce serait juste la fonction de partition mais je vais multiplier par cette quantité là si vous voyez c'est la c'est la moyenne non renormalisé du produit de spin au sommet de A donc si vous prenez A comme étant l'ensemble vide vous obtenez quoi vous obtenez juste la fonction de partition vous comprenez l'intérêt de ça c'est si je regarde par exemple la moyenne entre sigma x et sigma y ça va être quoi ça va être le rapport entre Z de XY et Z de l'ensemble vide donc cette quantité ce type de quantité les fonctions de partie enfin les corrélations entre spin c'est exactement des rapports de ce genre de quantité pour simplifier cette chose là je vais à part quand je vais faire varié beta ou G et dans les que je vais juste enlever la dépendance en G beta et même dans pas mal de cas je vais juste enlever la dépendance en F quand c'est pas évident dans le contexte donc je vais juste dire Z de A d'accord et pareil je dirais je dirais W de N d'ailleurs j'aurais dû mettre W de G et beta je enlèverai le G j'enlèverai le beta alors cette quantité est-ce que par hasard je pourrais pas l'écrire en fonction des courants qu'est ce que je peux faire donc cette quantité c'est quoi ? Exponential de moins beta fois le Hamiltonian en sigma je peux l'écrire comme le produit sur les arrêtes de exponentiel de beta sigma x sigma y c'est exactement la même chose d'accord ? Alors là je suis avec les conditions frites avec les conditions libres donc il n'y a pas de terme de bord je vais vous dire juste après ce qui se passe pour le terme de bord c'est une bonne question c'est un tout petit peu différent mais là je suis avec frites donc il n'y a pas de terme de bord maintenant cette chose là je vais juste faire une expansion tellor je vais dire c'est la somme pour N xy qu'elle a 0 à l'infini de beta sigma x sigma y à la puissance N de xy sur N de xy factoriel donc je fais une expansion pour chaque N des arrêtes et juste la variable j'appelle N de xy pour l'arrête xy donc j'ai la somme d'un produit d'une somme maintenant je vais essayer d'échanger les deux je vais échanger cette somme et cette somme donc de façon générale je vais avoir la somme sur toutes les fonctions possibles N donc sur tous les courants possibles après je vais avoir des termes qui dépendent pas des configurations sigma et ces termes là si vous réfléchissez vous allez avoir exactement le produit pour x pour toutes les arrêtes de beta puissance N de xy sur N de xy factoriel c'est exactement tous les termes qui dépendent pas de sigma ça va être ces termes là pour chacune des arrêtes vous obtenez un beta puissance N de xy sur N de xy factoriel et après où j'avais une somme sur les configurations donc somme sur les sigma et qu'est ce que je veux obtenir donc pour les configurations ce qui dépend des configurations c'est que j'ai des produits de spin et donc je vais avoir un produit sur tous les x sigma x à une certaine puissance et ce sigma x à une certaine puissance bah pour chacune des arrêtes xy qui ont x comme une comme un somme mais je vais avoir un sigma x à la puissance N de xy donc je vais avoir en tout un sigma x à la puissance somme sur les arrêtes incidentes à x de N xy somme pour y voisin de x de N de xy ça se serait si j'avais pas ce terme là vous êtes d'accord ça serait exactement vous pouvez le refaire vous même là je ne vais pas passer trop de temps là dessus c'est vraiment un échange de somme tout simple si j'ai ça en plus je dois juste faire attention qu'ici je dois rajouter plus delta de x appartient à si j'appartiens à h doit rajouter plus 1 très bien donc ça c'est le début de mon calcul on va aller ici maintenant alors cette dernière somme qu'est ce qu'elle vaut cette somme qu'est ce qu'elle vaut pour chaque configuration sigma et pour chaque somme mais dans mon graph je peux associer naturellement une autre configuration qui est la même configuration sauf que le spin à x je l'échange si c'était plus je donne moins si c'était moins je donne plus cette involution c'est une involution donc je peux faire un appareillement comme ça des configurations deux par deux imaginez que ce terme la somme de n2xy plus delta de x appartient à h soit un père pour un certain x si ce terme est un père pour un certain x alors la contribution de sigma et du sigma x qui est la configuration où j'ai juste échangé le spin à x bah les deux contributions quelle qu'elles soient elles vont être opposées l'une de l'autre donc quand je vais sommer j'obtiendrai 0 donc dès que ce terme là est un père pour une certaine valeur de x j'obtient 0 donc et à l'inverse si cet terme là est toujours père du coup sigma y ça une puissance perce ce sera de toute façon un donc je suis en train de sommer un donc j'obtiendrai juste deux puissances le nombre de sommets dans mon graph je obtient juste le nombre de configurations de spin sur mon graph donc cette chose là vaut 0 ou 2 puissance le nombre de sommets et ça va dépendre juste des sources de n en fait ce que je veux que cette chose là soit toujours père ça veut dire je veux exactement que cette chose là soit un père sur a et père en dehors de a donc je veux que les sources de n soient exactement à donc toute cette chose là ça va valoir deux puissances le nombre de sommets fois la somme sur les courants ayant pour somme pour sources l'ensemble a et cette chose là c'est exactement w beta de n donc proposition z de a enfin z de g beta prix libre de a c'est juste deux puissances le nombre de sommets voilà somme sur les courants ayant pour sources a de w beta de n donc ça c'est la première connexion entre nos deux choses donc en particulier vous observerez un corollaire enfin remarque du coup si je veux calculer sigma enfin le produit des sigma x pour x appartenant à si je veux regarder cette chose là c'est juste le rapport entre la somme sur les courants de type avec des sources a et la somme sur les courants sans source du tout du poids w beta de n d'accord parce que si je veux obtenir la corrélation de spin je dois diviser par z de l'ensemble vide c'est-à-dire et le deux puissances vg disparaît voilà donc là on est plutôt pas mal on a exprimé les corrélations de spin comme des sommes sur les courants le seul petit problème c'est que vous voyez d'un point de vue probabiliste là on est on fall short from the right answer dans certains cas on est quasiment mais on n'est pas c'est pas la probabilité de quelque chose de quantité pourquoi parce que en haut je sommes sur des courants avec des sources donc ça n'a absolument rien à voir c'est pas du tout les mêmes objets en haut et en bas donc je n'ai pas d'interprétation en termes de p2a qu'on verra comment on règle ça dans quelques minutes juste pour répondre à la question que se passe-t-il quand je prends les conditions plus donc si je prends un graphe g et je regarde les conditions plus le Hamiltonien que j'obtiens donc là faudrait peut-être enlever le jaune si je vous rappelle que les conditions au bord c'est vraiment ça vous pouvez voir c'est Hamiltonien comme le Hamiltonien de enfin comme le Hamiltonien sur un graphe un peu plus grand juste avec un spin qui est fixé c'est à dire que vous pouvez prendre vous ajoutez un sommet appelons le g alors on l'appel g parce que c'est appelé en général le ghost vertex c'est donc ça en français on aurait pas envie de l'appeler pareil mais sinon c'est en fait Griffith ghost vertex donc pour Griffith on va garder g et ce qu'on va faire c'est que ce sommet on va le on va le relier à tous les sommets qui sont sur le bord de g et juste à eux donc on a re on a on ajoute une arrête comme ça du coup sur ce nouveau graphe que je vais appeler gg sur ce graphe h plus de g c'est juste h normal sauf que ma configuration j'ajoute que le spin ag c'est plus quand je fais le calcul là bas dans ce cadre là va tout va fonctionner de la même façon qu'elle est la seule différence la seule différence c'est que j'ai pas le droit de prendre la configuration qui inverse l'état de la rètre de du sommet en g puisque en g je dois forcément avoir plus donc la seule chose que je vais avoir mais je vais obtenir la même chose sauf que ici l'ensemble des sources je vais avoir que l'ensemble des sources intersectés avec g doit être égal à a donc si je regarde z plus g beta de a qui serait par définition exactement la même chose mais avec l'expansion de moins beta h plus g du sigma cette chose là ça va être de puissance vg puisque ce sera de nouveau le nombre de configuration puisque j'ai pas le droit de bouger le spin en petit g et là je vais avoir la somme pour les sources intersectés avec vg égal à voilà c'est exactement le même calcul donc ça ça répond à votre question pour les conditions plus si on fait avec les conditions alors voilà donc ça c'est le début de notre représent de l'histoire en quelque sorte et juste une petite chose je vous avais dit c'est un modèle ferromagnétique donc en particulier quand je prends les configurations les corrélations de spin on a envie de dire qu'elles sont positives si sigma x est positive ça devrait pousser sigma y qu'à être positive donc la moyenne devrait être positive ma priori c'était pas totalement totalement évident si vous regardez le calcul là vous mettez sigma x égal sigma sigma x sigma y qui vous essayez de montrer que c'est positive c'est pas totalement évident en fait bon bah là ça le devient complètement les corrélations elles sont positives c'est juste le ratio le ratio de deux choses qui sont positives donc cette inégalité qui vous dit donc on a en particulier ce qu'on appelle l'inégalité de gréfice enfin la première inégalité de gréfice qui dit que quel que soit l'ensemble A les corrélations des spins sur l'ensemble A et vous pouvez prendre free vous pouvez prendre plus c'est la même chose c'est toujours positive ou nul vous remarquerez aussi que dans le cas où vous prenez les conditions free si vous prenez A un père la symétrie globale des spins échanger la configuration sigma avec la configuration moins sigma ça devrait vous donner du coup que la moyenne vaut 0 vous êtes d'accord si vous prenez on l'a dit pour un spin si vous prenez un moyen de sigma 0 si vous prenez conditions free à cause de la symétrie ça vous donne 0 vous pouvez faire le même raisonnement pour 3 pour 5 etc donc ça vous pouvez le montrer directement bien entendu comment on le vérifie là dans notre cas va tout simplement ici si vous prenez un courant il a forcément un nombre père de sources les sources viennent par père donc du coup si vous prenez à un père vous allez obtenir que cette somme elle est juste vide il ya personne donc c'est un sanity check bien entendu on pouvait le montrer directement il n'y avait pas besoin d'aller par là mais effectivement on obtient bien zéro pour un père on devrait pas obtenir zéro pour A pour quand on prend les conditions plus parce que pour plus cet argument de symétrie il fonctionne plus du tout mais dans le cas où j'ai plus même si je prends à un père ici je ne regarde que les courants dont les sources avec intersectés avec vg sont à donc le site j peut être une source dans le cas présent donc en fait qu'est ce qui va se passer quand A est père j'ai ne sera jamais une source et quand A est un père j'ai sera toujours une source voilà et là plus rien n'est incohérent on a bien une quantité qui est toujours strictement positive d'accord donc en plus là le plus grand au égal à zéro on a une condition très simple pour montrer que c'est en fait strictement plus grand quand on prend condition plus et c'est strictement plus grand quand on prend un nombre père dans le cas où on prend les conditions frites oui c'est correct de voir cette dualité comme une version discrète de la dualité entre le modèle de aresmberg et le coulant gaz non pas tout à fait en tout cas je ne vois pas de façon claire mais je connais pas très bien cette dualité déjà pourquoi de dualité puisque il y a ces deux approches pour pour représenter à donc juste en termes de représentation donc voir ça comme une représentation de ah alors ça c'est différent ok parce qu'on parlera de dualité après de transformation qui vraiment quand on les applique deux fois retombe sur d'accord d'accord je vois excusez moi c'est moi qui était alors en termes de représentation c'est plutôt les représentations j'ai effacé oui parce que j'utilise plus du tout la hauteur du coup là je vous ai dit qu'il y avait des représentations par marche aléatoire qui avait été introduite par simanzic et en fait c'est plutôt ces marches là ces représentations là qui se généralisent à d'autres modèles de spin et c'est elle qui par exemple il ya une généralisation au cas d'aisenberg et je pense que c'est plutôt dans cette direction là c'est pas en termes de cours et du coup le bon analog c'est plutôt la transformation de bridges enfin la représentation de bridges freilich et spencer je dirais même si elles sont très proches mais c'est la même chose dans les représentations de par marche aléatoire en fait le a dans le dans les sources dans la représentation par marche aléatoire ça va être exactement les endroits où comment c'est finis les marches alors peut-être laissez-moi faire un donc ce sera peut-être plus j'essaie de répondre à votre question mais vraiment je pense que le bon analog sera j'ai effacé vraiment le bon analog c'est plutôt la représentation bfs mais je vais ça va peut-être répondre à votre question comment vous voyez un courant avec des sources donc un courant sans source comment on peut voir ça comment on construit un courant sans source une façon de faire c'est que vous pouvez dessiner une marche aléatoire la trace d'une marche aléatoire conditionner à revenir à un moment sur elle même d'accord donc une boucle aléatoire et vous regardez le temps d'occupation de chaque arrête combien de fois je passe par chaque arrête ça par définition ça va me donner un courant sans source pourquoi parce que chaque fois que j'arrive à un sommet je dois repartir donc les visites viennent par paire je fais une marche comme ça je pourrais en prendre une autre donc une autre boucle aléatoire je fais la superposition des deux ça me donne toujours un courant aléatoire sans source je peux faire ça à dita meterman j'obtiendrai toujours un courant aléatoire sans source à l'inverse est-ce que tous les courants aléatoires peuvent être vus comme une superposition de boucle bah ce que vous pouvez faire vous partez d'un point et vous épluchez votre courant aléatoire c'est-à-dire que vous prenez vous êtes en un sommet vous prenez une arrête qui a un courant positif s'il y en a une sinon vous arrêtez vous commencez à un endroit où vous pouvez vraiment marcher vous marcher sur ce sommet vous retirez un au courant maintenant vous êtes un sommet qui avait avant source pas de source en ce point parce qu'elle avait pas de source du tout donc du coup c'est-à-dire qu'avant la somme était paire maintenant elle est un père donc ça veut dire que je peux continuer il y a forcément un dégât autour de moi qui a au moins un courant positif donc je continue j'ai plus de neufs c'est dangereux le métier et je continue je continue le seul moyen de m'arrêter c'est de retourner à l'endroit où j'étais parce que sinon je serai toujours un endroit où j'ai un nombre de j'ai un an j'ai une source maintenant après avoir épluché j'ai bien une somme un père donc je pourrais toujours continuer par contre quand j'arriverai au début puisque au début j'ai une source maintenant quand j'arrive au début j'ai aucune garantie que je peux continuer donc je fais ça jusqu'à ce que je ferme ma boucle j'ai épluché entre il met un petit peu mon mon courant ok maintenant je prends un sommet où il ya un courant positif voisin et j'ai plus à partir de ce sommet jusqu'à ce que je referme je prends un autre gars j'ai plus qu'est ce que je suis en train de faire là je suis en train d'écrire une décomposition par boucle de mon courant elle est pas du tout canonique j'ai plein de façon de le faire mais je peux faire ça donc un courant c'est bien une superposition de boucle d'ailleurs c'est pour ça qu'on appelle ça un courant c'est des eddy currents maintenant si je mène des sources donc là on va rejoindre la question si je mets des sources comment je peux décrire ça parce que je peux dire c'est que je me mets à un endroit où j'ai une source et je commence à marcher alors le problème c'est quand je commence à éplucher à partir de même de mon premier pas il ya plus de sources là puisque j'ai enlevé un donc j'ai absolument aucune garantie de revenir là par compte je vais pouvoir continuer continuer continuer jusqu'à arriver où jusqu'à arriver à une source en ayant fait ça donc si j'ai je sais pas si j'ai ça ça donc on ayant fait ça hop après je continue voilà j'arrive à mettre notre source voilà on continue comme ça quand j'ai fini comme ça j'ai épluché toutes mes sources et il reste plus que des boucles parce que maintenant j'ai un courant sans source donc un courant avec des sources ça n'est rien d'autre que des chemins entre les sources et des boucles maintenant ces chemins intuitivement faut les comprendre en quelque sorte comme des marches aléatoires en milieu aléatoire entre ces points là c'est des marches très corrélés mais c'est un peu comme des marches aléatoires en particulier en dimension 4 et plus l'idée c'est qu'ils se comportent vraiment comme des marches aléatoires donc de ce point de vue là on rejoint un petit peu l'intuition d'avoir justement ces marches entre qui sont spécifiques de ces modèles de cimandis alors je sais pas si c'est mais on peut reparler peut-être mais dans le cas de bridges freilich et spencer c'est vraiment directement des marches elles sont vraiment écrites comme des marches voilà bref au moins ça vous donnera une intuition de cette chose là et en fait peut-être un bon moyen de un bon moment d'arrêter sur un parce que donc ce que je ferai la semaine prochaine c'est essayer de se débarrasser de cette chose un petit peu ennuyeuse qui est que c'est pas des probats ici donc la semaine prochaine on va introduire un objet qui s'appelle enfin un outil qui s'appelle switching memo qui va nous permettre en quelque sorte de réécrire ces corrélations de spin en termes de probabilité que certains courants fassent quelque chose et ça d'un point du probabilisme ce sera bien parce qu'on pourra étudier vraiment du point du probabilisme ces objets le coup qu'on va devoir payer c'est qu'en fait c'est pas le c'est pas la corrélation directement qu'on va étudier c'est le carré des corrélations mais c'est quelque chose qui est en fait très très naturel donc on fera ça la semaine prochaine et on verra que ce carré il est ressurgé tout le temps et en particulier le puissance un demi en dimension 4 et plus en fait ça n'est rien d'autre que c'est le carré qui va se comporter de façon linéaire et donc on verra ça bien se déplacer enfin on verra ça tranquillement la semaine prochaine et puis après on utilisera cette représentation en courant aléatoire pour étudier aussi la dimension 3 et la dimension 2 voilà parfait