 Oké, goeiemorgen. Laten we onze renomalisatie-storij continuën. Zodat we wat renomalisatie in het geval van cirkel-diffimorphismen hebben geïnteresseerd... ...en vandaag gaan we de relatie met de topologie maken. En dan de andere dagen, die we gaan continuën met de geometrie, met de measuretheorie en met de verkeerdheid. Maar vandaag concentreren we het op de topologie. Zo wat was er gebeurd, en we hebben een cirkel-diffimorphisme. En er werden twee cases van renomalisatie. En de eerste keer was toen, ik denk, als cv, iets zoals dat, iets zoals dat. En dan hebben we behoorlijk naar het eerste return map naar deze intervall. En je ziet hier deze f en op de andere kant kun je itereren en kom terug. En dus zie je iets zoals de tweede iterate. En dan was dit onze renormalisatieintervall en we hebben dat map gewoon rescaleerd. En dan zouden we hier onze renormalisatie zien. Dus dit is de plus type en we hebben een simele foto voor de minus type waar we hier v hadden, hier c hadden en we hadden iets zoals dat. En dan hebben we renormaliseerd naar deze intervall. En dus hadden we de eerste return map op de eerste return map zitten in deze box. Dus hier hadden we al de f en op de andere kant hadden we twee iterate en we zien de renormalisatie. En dan hebben we weer een rescale in een f-niveau en we zien onze renormalisatie. Oké. Dus je ziet hier een plus type en een minus type. En dan kijken we naar de maps i, die infinitief renormalisabel zijn. En dus er zijn de maps waarin je deze proces altijd kunt continueren. Dus en dan wat je kunt doen is, je kunt de sequentie van plus en minusen schrijven. En in zo'n geval, zoals dit is de sequentie sigma n of f. Dus wat dat betekent is dat de n-renormalisatie van f is van c en f type. Dat is dus eerst een plus map of een minus map. En dan hebben we de nummers. En deze nummers gaan de topologie correctiviseren. En de nummers zijn, je count hoeveel letters er in het begin zijn, hoeveel minusen er naast zijn, hoeveel plusen er naast zijn en je countt zoals dat. Dus we hebben de sequentie a van f. En dat is de sequentie a n. En nu hebben we een theorem en dat is de man die we vandaag gaan proeven. En de theorem zegt dat als f en g zijn 2 diviose, dus we zien dat dit de eerste keer is, dan starten we te spelen over de schoenen van de map. En dat gaat om een crosser rol te spelen. Zonder de schoenen, zal de theorem niet correct zijn. En nu hebben we de volgende. Als de sequentie of f is gelijk naar de sequentie of g, dus ze volgen, f en g, volgen precies dezelfde type van renormalisatie, al de manier, dan zijn er een homoënt, een beetje schoongekeerd. Dus 8 of f is g of 8. En dat betekent dat de system topologisch dezelfde is. Dus f en g is topologisch dezelfde als g. En dus nu zie je, wanneer we dit proeven, zie je dat renormalisatie precies de topologie van de system beschrijft. En dat is een paradijn. In een ideele situatie hebben we altijd iets zoals dit, dat de renormalisatie schijnen de topologie van de system. En zo, dit is een typische theorem die je zou willen hebben. Ja, maar we doen dat niet. De stijl, de stijl van de Rijsendepijk, dat maakt een specifiek keuze van daar. Dus je bent absoluut correct, als je over de map van de cirkel spreekt. Maar hier spreekt je van de map van de intervall. En dat maakt je wat te doen. Dus dat is eigenlijk wat je moet doen met sommige stijl van de topologie. Zo, zo. Het is essentieel uniek. Dus dit theorem maakt niet de stijl van de specifiek keuze van de topologie van de system beschrijft? Nee, nee, nee. Nou ja, het is om dit te zijn. Dus als je andere kleinere domaintert, dan krijg je andere nummers, dus je zou dat niet doen. En dus het is allemaal true in dit context. We definieren renormalisatie op dit rate. En je hoort soms dat er variations van hoe je de renormalisatie doet. Maar in de eind, het turns out, dat het allemaal equivalent is. Dus je hebt een valid vraag, maar neem het niet voor. Oké, dus laten we zien waarom dit is true. En dus het meeste punt vandaag is dat we gaan zien hoe het meeste speelt in de discussie. Oké, dus recall wat we yesterday gedaan hebben gedaan. Dus wat is de structuur van de renormalisatie? Nou, je ziet, het was iets zoals dit. We hebben een map en een typische situatie, dus iets zoals dat. En remember, als je niet rescale bent, dan hebben we deze interval un. En het had de deur en het had de rechte deur. En dan, als je een foto van de renormalisatie maakt, dan zie je dat deze branden de l-n's iteraten van f zijn. En de andere branden zijn een verschillende iteraten van de originele map. En dus deze keer, ze zouden echt verschillend zijn, zoals in de eerste keer. En je ziet hier, we hebben de eerste situatie en hier, de tweede iteraten. En nu wat we gedaan hebben gedaan is dat je uit dat gebouw het gebouw ontbouwt. En dus en hoe het looked like, je neemt de interval l-n, je neemt de interval r-n en je koopt l-n faces. Little l-n faces, de r-n. Dus dit koopt tot de orbit van de l-n-interval tot het terugkomen. En je doet hetzelfde voor de l-n-interval. Misschien krijgt je iets zoals dit. Dus dit is r-n. Dus dit is de touwer koopt tot de renormalisatie van f. En dan introduceren we deze partijen. Dus we hebben de l-n-partijen die alle iteraten van de l-n-interval zijn. En we hebben de l-n-partijen die alle iteraten van de l-n-interval zijn. En tot het moment r-n en tot het moment l-n. En dan koopt we de hele partijen van alle intervallen. En dat was de dynamische partijen. En dan hebben we een paar basisproperies gehad. Dus we hebben de l-n-partijen gehad. En we hebben gezegd dat p-n de l-n-partijen van deze l-n-collectie zijn. Dat is soort van zoals in de foto. Dus deze intervallen zijn allemaal deze l-n-partijen, zoals je in deze foto ziet. Dus wat is verkeerd met deze foto is dat we een stack hebben gebouwd. In de cirkel zijn ze in een kompliceerde manier gesproken. En ik weet niet hoe ze gesproken zijn, maar ze zijn een soort van gesproken. En ze zijn niet gesproken. Ze zijn gesproken in een gevaarlijke manier. En secondly, als je alle van ze samen neemt, krijg je de hele intervallen. En dus deze collectie p-n is inderdaad een partij van de originele intervallen. En dus dan kun je imagineren dat... Nu, je weet dat dynamische l-n-partijen in deze l-n-collectie zijn. En je begint hier en het gaat op. En dan returnen je terug en hetzelfde hier. En je returnt terug. Dus als je de dynamische l-n-partijen in deze l-n-collectie weet, dat betekent dat je de dynamische l-n-partijen in de cirkel weet. En dus we zijn op onze weg, kent de fact dat alle deze intervallen samen krijgen, je krijgt alles. We beginnen om het topologische model van het systeem te bouwen. Dus, laten we beginnen om de theorem te proeven. Er is één ingrediënt gevoel. Hoe de renormalisatie acteelt om torens. En we hebben dit al gisteren discussiëerd. Dus laten we het even brengen. Dus als je in de plus-case bent, dan zie je onze toren. Dit is l-n, dit is r-n. En we zien, als we in de case zijn, we hebben c en v-n. Dus we hebben iets zoals dit. Dus nu, de renormalisatie zal de eerste returnmap naar deze zijn. Dus het heeft iets, de v is om te kutten iets. En deze v liet hier. En apparaat, we moeten kutten van dit deel van de toren. En dat zal vormen, met het deel van de l-n, de nieuwe l-prens. Dus wat je moet doen is, je moet kutten van het reis van deze toren en dan op de l-n. Dat is hoe het werkt. Dus wat je doet, als je renormaliseert, je krijgt de originele l-n, een lichtere l-n. En je stek op de top van dit deel van wat je kut. En renormalisatie op het niveau van deze toren, op het niveau van deze dynamische partition, is kutten en reorganiseren. En het klopt heel simpel. En het is heel simpel. Je kut en reorganisert. Dus dat idee gaat verder l-n dan gewoon de l-n. Dus je ziet, renormalisatie op dit niveau van dynamische partitionen is simpel. Je kut en reorganisert. Ja? Ja, ja. En je weet, dus, laten we deze v hier nemen. Je ziet, mijn lijn hier, mijn lijn hier is niet een straat lijn, het is een beetje zwaar. Dus wat je echt doet is, je neemt je v-poort en maak het. En misschien krijgt het hier. En je maakt het. Misschien krijgt het hier. Je maakt het. Het is misschien hier. Dus het is iets zoals dit. Dus misschien moet ik de foto een beetje wilder maken. Nu doe ik dat niet. Ik maak het niet wilder. Ja? Ja, je bent goed. Dus deze foto is puur topologisch. Op dit moment denken we niet over de lengte van de intervallen. Op dit moment, zoals in 1 minuut, we willen. Maar op dit moment is het een puur schermatische foto. En we weten niet meer of we deze intervallen ook de lengte zijn. Ja? Nee, je weet, dat vliep. Dat vliep. Maar het is niet zo belangrijk. Dat is een soort van vertrekking. Een lot van informatie is niet belangrijk. Dus renormalisatie is bezig van een lot van dingen. Automatisch. Dus dat is goed. Je moet niet veel weten. Oké. Dus nu weten we hoe renormalisatie ergens op de touwen is. Het is zoals je kunt en je reorganisert. Dus dit is wat renormalisatie doet. Dus en nu, als je hebt. Dus nu gaan we beginnen te werken op de constructie van deze conjugatie. En dus, als F en G dezelfde letters hebben, de nummers, dat betekent dat als je de renormalisatie voor F doet, je moet op het juiste kant op dit moment kutten. Maar omdat G dezelfde letters heeft, voor G ook moet je op dezelfde kant kutten. Dus de kutting en reorganisatie voor F en G zijn dezelfde. Het koopt precies parallel. Je renormalisert F, je bouwt deze touwen. En op hetzelfde moment bouwt je de touwen voor G. En de manier die koopt, is combinatoraal exact dezelfde. Dus nu gaan we dat gebruiken om deze conjugatie te bouwen. Dus dit is een inductieve constructie. Dus we gaan deze conjugatie constructen. En laten we zeggen dat we de partitie voor F hebben en we de partitie voor G hebben. En laten we suppos dat we de volgende hebben. Dus suppos, dus dit is de inductieve hypothesis. Suppos dat er een hn is, van de intervall naar de intervall, die is peacewise f fine en a homeo. En we gaan een foto maken. Laten we eerst de property nemen. En dan zie je, ik zal een foto maken wat dat betekent. Dus vooral, dit is één property. En suppos dat hn van de i-iteren van de laatste deel is exact de i-iteren van de laatste deel van G. Dus de correspondeerde deel van de touwen zijn klaar samen. En hetzelfde als als je de image van de rechte deel van de echte deel zal de correspondeerde deel van G zijn. En dus de foto is, en de foto die je krijgt is, dus hn, dus in de touwen is iets zoals dit. Je hebt de touwen voor F, dit is de F-part. En hier hebben we de touwen voor de G-part. En als je de i-intervall hier neemt, zal dit hier bemerkt worden naar de i-intervall hier. En als je de j-intervall hier neemt, zal dit hier bemerkt worden tot de j-intervall hier. Dus de touwen zijn gewoon metgemaakt. En omdat de nummers allemaal dezelf zijn, de touwen voor F en de touwen voor G zijn van dezelfde hoogte. Dus je weet hoe je de stukken uitgaat. Dus dit is een schermatische foto in de touwen. Maar nu weten we dat deze stukken in de touwen door de intervall in een vreemde manier zijn gehoord. We weten het niet. Maar laten we zoeken over de induktie dat deze identificatie je vaak in de touwen ziet eigenlijk loopt naar een vreemde en hoogte. Dus laten we een foto maken. Ah, dus dan gaan we deze hebben. Dus hier heb je een foto van hn. En laten we zeggen dat we hier een i-intervall in b hebben. Laten we zeggen dat het f i van rn is. En laten we zeggen dat we hier soms de intervall g i van rn hebben. Dus laten we een foto maken. Dus je loopt deze dingen zoals deze samen. Dus je neemt de correspondeerde stukken zoals deze en deze. Je kijkt waar het is en je kijkt waar de andere is en je maakt een fine manier. En laten we zoeken met de induktie dat als je deze constructie doet, krijg je een homomorphisme. Dus het is een stukje. Dus alle stukken die ik heb gemaakt, zoals Wiggely, zijn fine stukken. Maar nu, laten we zeggen dat we hier zijn. Laten we zeggen dat we hier zijn. Dus deze intervall in de touwen correspondeerde en deze intervall in de touwen. En de correspondeerde stuk hier correspondeerde naar deze intervall in de touwen. Oké? En deze identificatie die we zien hier is veranderd door deze fine manier. Dus nu gaan we renormaliseren. Dus als we weten wat we moeten doen. We moeten hier iets kutten en we moeten de orbit volgen. En we moeten hier hetzelfde doen. Je moet de orbit volgen. En dan zie je dat deze intervall hier is kut in twee stukken. Dus er is een welgevond kuttingpunt. En er is een welgevond kuttingpunt hier. Dus als je ze metstelt. Dus zeggen we we hebben een kuttingpunt hier en de andere hier. En je ze metstelt. En je doet dit. Dat natuurlijk produceert de volgende hm plus 1. Dus door de touwen op hetzelfde moment bevindt je deze homomorphismen. Dit zou een horreble object zijn. Maar deze stukken zijn fijn. Hormomorphism. Nu zie je dat dit konjukt. Want als je als je op de volgende niveau maakt hier. Dat correspondt. Je maakt naar de volgende niveau hier. En dus zie je dat de dynamiek is gepreservd. Dus het begint te lijken dat je echt constructeerde konjukt. Oké. Dus en nu laten we de propositie doen. En we verwelden dat dit een exercice is voor deze avond. Laten we zeggen de mesh van PN. En nu komen we naar Stefano's vraag. Dit is de maxima van en de lengte van deze intervallen in de partij. Dus je neemt de grootste. En nu de propositie zegt. Als de mesh van PNF en de mesh van PNG gaat naar 0, dan hn converges naar h en deze h is een homomorphisme. Dus als alle spieces worden kleiner en kleiner, dan dan begin je te brengen, meer en meer careful. En het converges naar homomorphisme. Dus en hf is gfh. Dus als je deze conditie hebt je moet deze conditie hebben. Je moet deze conditie. Dan heb je de conditie gebouwd. En ik zou zeggen waarom het niet het is makkelijk om dit te zien. Je moet het een beetje denken, maar ik zal het niet zeggen je moet het in de exercice doen deze avond. En dan krijg je de voeding hoe deze dingen je krijgt de beter voeding voor hoe deze deze constructie gaat. Oké, dus dat betekent als we willen en dus er is iets gebeurd er iets gebeurt nu. Dus zo ver naar deze propositie we waren alleen doen combinatorisch kutting rearrenning en het was alleen topologie. Dus op dit moment we hebben een geometrische conditie nodig. Dus dit is een geometrie. Dit is een geometrie. Dus als het eerst we beginnen te gebruiken geometrische informatie. En het is een conditie en het gaat uit dat je moet zoals twee verschillende mesh te laten zien dat dit echt is. Dus de schoonheid zal in deze conditie proeven. En nu we krijgen dus wat is er meer voor ons om onze term te proeven voor vandaag is de conditie proeven van deze propositie. En dat is een soort van de nachtmaar van mensen die renomaliseren. Dus dit is waar veel van de schoonheid gaat. Niet dat er andere schoonheid is, maar maar dit is een knie ingrediënt en het altijd zocht. En het heeft een naam. En je hebt het al gezien. Al is het een schoens onder de naam. Ops. Precies. En weer, als je iets op renomalisering luistert op wat moment zal dit start te zien. Oké, dus wat is dat? De vraag is als je kijkt op de consecutive renomaliseren en de vraag is, is het gebouwd? Dus je kunt zeggen als je kijkt op de C1 norm van deze mappen als je de supremum van dit gaat over n de vraag is is dat gebouwd? Dus dit is als je begint te renormaliseren en je wilt zien dat deze dingen niet veranderen en dat staat in een mooie, compacte familie. Dat is dat is de vraag over apiorebouwen. Oké. Dus laten we zien hoe je dat in de circuit kent. Oké, dus dit is als je iets bijzonder krijgt we moeten iets weten over distorsion zoals je moet denken over als je een mappen zoals dat hebt zoals de identiteit en dat is iets niet distorsion allemaal en dus als je een punt neemt op een periode van de manier, dan zal de mappen op een periode van de manier zijn. Als je dat vijf uur neemt dan zal de mappen op vijf uur neemt. En dus niets is distorsieerd, alles voelt in de juiste plek. Dus dit is geen distorsion allemaal. Dus een slechte keuze, veel distorsion en je moet denken over een mappen zoals dit dat is iets zoals iets zoals dat. En dit is iets horrebel. Want je ziet, als je een punt neemt hier dan zal het in dat punt neemt. Dus het is zoals de plekken zijn volledig distorsieerd van waar ze werken. En om te laten zien op je gebouwen zal hetzelfde zijn. Je zal je later zien. Laten we proberen uit te zien dat we zien dat onze kleine mappen deze kleine hoogschaven hebben. Dat is het task we moeten we moeten doen. En er is een mooie ingrediënt voor dat. Laten we laten zien wat je ziet. Dus hier zie je dat de derivatives heel groot is en hier zie je dat de derivatives heel klein is. Dus als je op de ratio in een punt en de ratio in een andere punt en je neemt de supremum en je neemt, laten we zeggen, de supremum van dit over x en y en dit zal heel groot zijn. Dus de ratio van de derivatives maakt hoe dit gaat. Ja, als je het wilt. Je kunt dat doen. Oh, het gaat rond. Like that. Exchanging things. Reorganising things. We renormen de language nu. Oké. Don't do that too much. Oké. Oké, dus je ziet, dus de ratio van derivatives plays a role. You have to control ratios of derivatives and to do that there is a thing called nonlinearity. And so let's take a map from the interval to the interval and let's say it is twice differentiable. Then the nonlinearity of f is a function and actually some measures you will see a little later and the formula for the thing is very simple. It is just a second derivative divided by the first derivative and it is a formula. If you look at the log of dfx divided by the log of dfy that are things we want to control and now let's take the log. You will see that it is just the integral of x2y. It's like, you know, you know how to integrate this. It's like that. And so this is a key formula. And so in this formula you see and we wrote this as a function but it is actually a measure. You should sort of think about it as a measure. A measure which describes how things are distorting on a very small scale. So you use it so I can measure. It's all very simple but you will see in a second it will play a crucial role. Ok, so now we know what is distortion and nonlinearity for a simple map. So now let's look at distortion of iterates. So let's say we have an interval en we have some map here and let's say that it's nonlinearity is an l1 function so we relax a little bit the c2 is an l1 function and let's say that we have a little interval here i and this will be jumped around for a couple of times. Maybe here. And what we want to have is the antiterate of i to fn of i is a divion so it wasn't folded on the way. And now what we want like to know and it is all very simple so the log of dfn of x divided by the log of dfn of y where you take so x and y somewhere in in our chosen interval let's take the absolute value of that that will be bounded by the integral of the absolute value of our nonlinearity. So and this bound here there is an n so this could be a billion but it is uniformly bounded so this is the point here is this uniform bound it's independent so that means if you take very long iterates but the intervals stay nicely diviomorphic then these intervals, the iterate from the beginning to the end will not be distorted too much it will be just not that fine but not too far away from that fine and so this means that the derivative is essentially constant let's watch sort of what this means and the derivative of fn is essentially ja, so you see what you see is maybe here we have i and maybe here we have fn of i and this function looks sort of nice is something like that what you don't see is something crazy like that so this is what doesn't happen is this sort of a nice curve okay so and the proof of this shall we do it? yeah let's do it so far we didn't do any formulas so let's do it let's do it because then you see that we really use that it is a measure so let's this is very very simple but let's do it just for the fun of it there we go so the log of dfn of x divided by dfn of y now that is the log of the product of dffi of x divided by the product of dffi of y en so in there you see you do your calculus thing that is bounded by the sum of the logarithm of dffi of x divided by dffi of y but now you see that fix and fii yeah they are in the same interval so these points they lie somewhere and they they started together and after a couple of iterates they are still together so let's call this the interval ii and then we can use our basic formula and you see that this is bounded by the sum of the absolute value of the integral of the nonlinearity over this little interval and now you see this is bounded by the sum of the absolute value of n over i and now I forgot to write down a crucial condition assume and in our case so I forgot because in our case we have this condition assume that the ii's are pairwise disjoint en zo nu en dan we kan gebruiken dat want nu de sum over de pairwise disjoint intervals zal kleiner zijn dan de integral over de hele ding over de hele intervall over de union van deze intervalls wat is kleiner dan de integral over de hele intervall en zo van hier tot hier we played it with dat is een measure oké en nu weet je dat en als je remember wat we kunnen doen is in plaats van negen en laten we terug naar onze verschillende morphisens dus wat we kunnen doen is in plaats van negen i we kunnen l n een intervall in de touw en zo wat we krijgen is en dit is een soort van de theorem zelf a priori bounce ap bounce en zo als f is infinitely renormalisable dan krijg je a priori bounce en wat betekent dat nu je hebt je hebt jouw kleine laten we eens kijken op de en-3 normalisatie als je naar de de linkintervall touw en je kijkt op de schijf en je kijkt je neemt een certain niveau hier zeg ik en je gaat naar een certain level j hier en je neemt deze map dan dan van tussen welke niveau je neemt je ziet een map wat is mooi wat is bijna constant de rivetij dus dit heeft gebouwd de distorsie uniforme gebouwd distorsie en de reden is zoals deze intervall en ze zijn apart van de partition van onze dynamische partition en we weten dat alle intervall dit gebouwd is dus van hier we zien gewoon de bunden van dit gebouwd intervall dus we kunnen dit dit kleine estimate doen en we krijgen een gebouwd van de distorsie van hier tot hier en tussen welke level je wilt je van de wat we zullen gebruiken van de bovenkant tot de top van de bovenkant tot de top maar je kunt je kan dit allemaal doen excuse-me zie 2 wat je echt wilt is ik maak het maar wat je nodig is dat dit is is gebouwd en dus een l1 nonlinearity is iets goed genoemd en dus ik remember dat we konden de gebouwd op de distorsie in termen van de intervall van de nonlinearity en dit gebouwd was independent van n en dus en nu we aanleven dat ding tot alle renormalisatie je bent interesse en dan zie je dit gebouwd de distorsie oké dus dit is dus je weet wat de consequentie van dit is dat als je onze kuttingpunt je remember als we hier renormaliseren laten we onze kuttingpunt en laten we zeggen dat de kuttingpunt is soort van in de middel hier en dan als je op het zal altijd blijven soort van in de middel dus als je een kuttingpunt die soort van in de middel dan alle intervallen wordt kut essentially in 2p equal pieces en natuurlijk dat zal jouw rol in de volgende stap spelen als je een v soort van in de middel stukjes soort van kut in de middel en dat betekent op de volgende renormalisatie je moet dit op deze je zal zien dat de intervallen zwakken en dat is wat we willen we willen dit mesh we willen alle intervallen zo klein als mogelijk maar nu zie je als we dit renormaliseren is de vijf in de middel alle schrijven zijn soort van kut in de middel dat is goede nieuws ja, dus ik geef de proeven dus laten we deze apioe in dit apioegebouw statement en laat me laat me stressen hier dus ik heb een liberale rote theorie hier het klinkt als een kleine lemma het is echt heel elementair echt simpel maar het plaatst een cruiser rol zoiets zoals dit dit is een disaster en in andere zoals unimodal renormalisatie of hand-on renormalisatie of lorrens renormalisatie dit zijn difficulte vragen in de zon het is een heel het is een simpelse keuze dus nu laten we proeven onze onze conditie dus nu hebben we een lemma als f is c2 dan de mesh van pn gaat naar 0 en dan zie je dit is soort van de proef de proef dus als de kuttingpunt v is nicely in de middel dan zie je dat de mesh van de volgende niveau is echt een smaak de facteur zoals 2 terrens kleiner dan de mesh van pn dus als je als je de v vindt die is echt nicely in de middel je ziet alle kuttings zijn nicely in de middel omdat van de app je verbouwt en dit dit punt kan niet teveel te veel naar de zijkant en dat betekent dat je echt kut soort van hetzelfde dus alle deze vrouwen zijn kleiner en als je de volgende renormalisatie doet dan allemaal de vrouwen op de laatste deel wordt kleiner dus ik ben een beetje sloppig hier maar als je hebt punten in de middel dan krijg je de kutting in de zijkant en dat is wat we willen als je dit weer krijgt zie je dat de mesh draagt snel dus en waarom krijg je een punt dat is nicely in de middel nu dus waarom krijg je een punt nu volgens je niet dus als we een situatie hebben zoals dat dus hier hebben we onze mat we moeten deze foto schuuren dus laten we zeggen dat hier we hebben zee en laten we zeggen dat onze v is niet nicely in de middel het is echt in een ridiculously dicht bij de gebouw situatie dus v onze v zit soms hier hier en dit is precies een plus kase dus onze volgende renormalisatie oh let me laten we laten we dus er is een brand soms hier dus dus we moeten renormaliseren tot deze box dus we moeten we moeten de volgende vrouwen dus we moeten ik wil niet draaien de brand je zal zien waarom dus er is wat brandlijven hier dus de volgende v zal itereren de map en je zal een ander gaan maar laten we zeggen het is nog ridiculously dicht in de in de in de de koren dat is van de verandering dus dit zal een paar keer veranderen en maar eventueel het moet naar de andere zijden maar het is nooit het is altijd dicht bij de gebouwen dus eventueel dit punt hier heeft te jumpen zonder hier dus dit guy heeft te gaan zonder hier dus je ziet dit is dit is de piksel en dus als we alle renormalisatie altijd een kuttingpunt gek in de bordel je hebt een piksel zoals dit dus nu laten we de graf en dus het is soms zoals het is dus dit dit dit dit dit maar dan het is zoals dit dus de de volgende zit soms hier en dus je ziet de graf is iets zoals zoals dit dan jumpen en het heeft iets zoals dit en je ziet je ziet zoals ridiculously grote derivative hier en dat contra-dict onze apiore bounce dus het is een delicate ding maar dat is hoe het gaat dus en omdat van de de maps zijn C2 had de apiore bounce dat kan niet gebeuren dus we proefden dat in de C2 kase al deze intervallen in de toren zijn spijt rond tot de cirkel maar ze allemaal krijgen in heel veel tijd en dat betekent dat als je begint te starten deze conjugatie deze piekbaar een fine deel dat zal verweren tot een homomorphisme en we proefden onze theorem als je twee maps hebt met onze C2 en ze hebben dezelfde manier van de bouw in de toren dan zullen ze conjugeren tot tot elkaar dus en nu ik denk vandaag hebben we eerst deze conjectie deze connectie hier dus we introduceren renomalisatie van renomalisatie we begonnen om wat ideeën van de dynamiek laten we het de touwen en dan met een smoest we waren kunnen laten zien dat deze constructie van de touwen deze renomalisatie schemes eigenlijk ontdekken de topologie dus en dat is relatief simpel in dit geval maar de idee is dat als je een non-map of even meer complicate system als je als je wil te vinden de topologie model niet afgaan het automatisch je begint te vinden een renomalisatie scheme en dat zal vertellen topologie informatie dus dus dit is zoals een paradijm hoe je kunt gebruiken renomalisatie om topologie model te bouwen en in de cirkel het werkt perfect en in de andere cases je zal ook dat het werkt erg mooi laten we stoppen oké wanneer je een vraag ja, ja, ja, ja, ja, ja, ja al onze maps zijn ja, ja, ja oké zo see you later