 C'est un grand plaisir de parler devant Victor. Je suis très heureux d'avoir été avec Victor pour répondre à beaucoup de mes questions naïves. Je veux dire, il y a quelques années, on a découvert un peu, apparemment, une structure hyperbole-cat-smoody, poppant dans un contexte de gravité, et je ne savais rien du sens. J'ai parlé avec Victor et j'ai senti ses emails. Il m'a toujours répondu très kindly à mes questions. Je veux aussi féliciter à Victor pour qu'il ait été élevé, membre de l'académie nationale de sciences en Amérique. Donc, oui, c'est une structure hyperbole-cat-smoody. Donc, le sujet que je vais parler de était quelque chose qui a été conjecturé d'abord par Bernard Julia. En 1982, je devais immédiatement dire que c'est connecté à d'autres idées différentes, comme les conjectures par Ghanor et aussi par Peter West concernant l'E11. Mais ce que nous avons trouvé de l'évidence était le rôle de l'E10, qui est une version hyperbole de l'E8 dans la dimension supergravité de l'E11. Mais aujourd'hui, la plupart de mes paroles vont être connectées à une version bébé de l'E10 qui est appelée par Victor à l'E3. Donc, c'est la version hyperbole de l'E1 de l'E2, qui a un diagramme de détingue de ce type, qui signifie que c'est un métier carton qui est quelque chose comme ça, puis minus 1, minus 1, puis plus 0. Donc, c'est surtout l'objet que je vais parler de. Mais pourquoi sommes-nous intéressés? Donc, avec un travail avec Marc Aeno, qui est fait ici, nous étudions la solution générale de l'équation de Einstein près de la singularité cosmologique en supergravité. Et ensuite, nous avons trouvé qu'il y avait une structure chaotique qui était décriée par l'équipe éthique de l'E10. Et ensuite, après ça, nous avons regardé plus près à d'autres aspects de cela dans le travail avec Marc Aeno, mais Hermann Nicolai et aussi Bernard Julien et Axel Klansch-Mitt et d'autres. Et nous avons trouvé plus et plus d'évidence pour le rôle de cette structure hyperbole de l'E2. Donc, l'hyperbole signifie que vous avez un métier carton qui a maintenant une signature minus plus plus, dans mon cas. Donc, pour l'E10, il sera plus plus plus plus plus plus plus plus. Et nous allons discuter de l'exemple rank 3 où vous avez... Ah oui, non, je mets le minus 1 dans le même endroit. C'est un métier carton 3x3. Donc, le minus 1 est ici. Ensuite, nous avons conjecturé avec Aeno et Nicolai qu'il y avait en fait une équivalence de dualité entre supergravité dans 11 dimensions ou plus généralement, ce qui s'appelle la théorie M. Donc, ce qui contient une théorie superbe et tous les objets, les objets extensifs. Et quelque chose qui est un coset basé sur l'E10. Et cet coset est le coset de l'E10 divisé par le groupement maximum compact de l'E10. Et la base de dualité est de dire que une certaine théorie dans 11 dimensions est équivalente à la dynamique quantité d'un particle massif en ce coset. Donc, dans la picture, l'idée est que, sur l'un de l'autre, vous avez une théorie 11 dimensions qui signifie que vous avez un certain nombre quand vous regardez les modèles 0, ce qui est la théorie gravité, la forme 3, la théorie gravité, et puis tous les objets quantifs, les objets extensifs associés à cette théorie M. Et l'idée est que la dynamique quantité de ce système serait équivalente à la motion quantité de un particule, un particule massif, mais avec des degrés de frein sur un espace infinimental qui est étonné par un espace maximum compact. Donc, ici, vous avez une théorie dans 11 dimensions et ici vous avez un particule, donc quelque chose qui est en train de bouger avec un paramètre, mais vous quantisez. Donc, quelle était l'évidence pour cela ? L'évidence, c'était une partie de l'évidence, c'est que vous avez les équations fiches, on dirait, de supergravité dans 11 dimensions, et nous pouvons montrer que si vous regardez les équations fiches de supergravité et que vous regardez à elles près d'une grande ou une grande singularité, vous pouvez introduire une expansion qui est labée par un certain nombre de vintagères, ce qui est le nombre d'événements spécifiques que vous avez en général dans les équations fiches. Et vous assumez à la Bellinsky-Ralatnikov-Liffschitz que les événements spécifiques sont en un sens plus petit que les événements de temps, donc vous avez une série infinie labée par tous ces vintagères. Et sur l'autre côté, vous avez la motion qui est juste un géodésic sur cet espace infinimental, mais vous pouvez aussi avec l'expansion dans tous les générateurs, parce qu'il y a un nombre d'événements infinimental, vous pouvez aussi introduire une expansion haute de l'équation de la motion, et puis, qui sont paramétrés par les roues, et puis nous pouvons montrer que, à l'élevage de 30 dans la haute, il y avait une équivalence entre les deux côtés. Et il y avait plusieurs autres aspects qui pouvaient être vérifiés, mais il y a quelque chose qui est frustré dans cette ligne de travail, comme Maxime l'a mentionné l'autre jour, c'est que, dans un sens, il y a des choses qui travaillent bien, vous pouvez prouver des choses, mais vous ne savez jamais si c'est mathématiquement solide, si il y a vraiment une équivalence entre les deux côtés. Donc, récemment, avec Philippe Spandel, nous avons décidé de faire une autre chose, c'est de faire une étude concrète, c'est d'étudier un sub-example de super-gravité, qui est une réduction de super-gravité, pas dans 11 dimensions, mais dans 3 plus 1 dimension, donc super-gravité dans notre spacetime dimension, 3 dimensions spécifiques et 1 dimension spécifiques. Et nous avons regardé une triaxiale tristérie qui signifie que c'est un modèle cosmologique où vous représentez la géométrie de l'espace, ce qui n'est pas évidemment une tristérie de 3 sphères, ce qui serait très dur, mais vous déformez la tristérie de 3 sphères par le squashing dans un moyen que je vais expliquer, pour que la métrique de 3 sphères soit invariée à la gauche et à l'arrière de la pièce du S2, et à la droite de la pièce du S2. Donc vous gardez les invariations sous la gauche de la pièce du S2, donc vous avez une géométrie qui est homogéniale, vous pouvez transmettre la géométrie sur la tristérie, mais ce n'est pas invariant à la droite de la pièce du S2, donc vous avez quelque chose qui est déformé. Donc, intuitivement, cela signifie que vous regardez la géométrie qui ressemble à une balle de roi, et cette géométrie va s'évolver en temps, ensemble avec les dégrés de frein, exactement, et nous allons regarder cela comme fonction de temps, et particulièrement à ce qu'est-ce qui arrive près de la singleité de Big Bang. Et nous allons le faire dans une fashion supersymmétrique et dans une fashion quantum. Quantum signifie dans le sens physique, donc chaque barre n'est pas déformée, mais la quantisation réelle des choses. Donc techniquement, ce que nous faisons est que nous considérons l'action de simple super-gravité sur ce qu'on appelle le model cosmologique de Bianchi-9, ce qui est ce qu'il y a en fait, une tricolour de tricolour qui signifie une géométrie spatiale où il y a un temps, c'est juste un facteur de gage si vous voulez changer l'unité de temps. Et puis la géométrie spatiale c'est juste une fonction de temps quand vous exprime dans la fonction de la frame locale qui est faite par exemple, qu'une phase pour la compétition est la compression dans le sens móvel selon une léga certaine phase qui described une relation à laья catastrophe d'un point sur le samedi en obeint et ensuite transformant l'espace tout à l'heure. Donc la géométrie est paramétrisée par une métrique, une métrique symmétrique, donc la géométrie locale dans une frame. Mais vous pouvez paramétrir cette métrique de 3x3 par la décomposition de Gauss. Vous pouvez décomposer dans des éléments diagonaux et ensuite, la métrique de rotation transpose sur la gauche et la métrique de rotation sur la droite. C'est la métrique de rotation, qui dépend de trois angles. Donc de cette façon, j'ai paramétris les six components de la métrique de 3x3 par la décomposition de Gauss par les trois components diagonaux. Donc les betas sont les collogues des éléments diagonaux de la métrique. Et puis, les trois angles, qui sont les angles de rotation pour mettre ce type ellipsoïde dans une forme diagonale. Maintenant, c'était pour les bousins de degrees de liberté, mais il y a aussi les fermoniques de degrees de liberté qui sont les components de la métrique de gravité et nous représentons les components de la métrique de gravité dans une frame de fixation spatiale. Et dans cette frame, les components de la métrique de gravité ont un index de spin, qui prend 4 valeurs, et ils ont un index spatial qui prend 3 valeurs, donc nous avons 12 gravités non-components et qui sont représentées après une transformation par des objectifs fermoniques qui ont deux indices, index A qui prend 3 valeurs et index A qui prend 4 valeurs. Et ces sont les components de la métrique de gravité de gravité dans une frame locale. Maintenant, on prend l'action de super-gravité et on réplace cette géométrie. On doit voir ce qu'est la dynamique qui est considérée par la super-gravité comme c'est. Et après la version Hamiltonian vous trouverez ce type d'action où les degrees de liberté sont connectées. C'est un peu trop petit. Cette action a la forme d'une action Hamiltonian qui conduit à un moment de coordinates. Donc, les trois components beta sont donc les paramètres qui déforment la forme de la géométrie et leur momentum conjugée sont appelés paillés. Les thétas, qui devraient être appelés phi, sont les angles qui sont l'orientation de ces métriques quadratiques et leur momentum conjugée. Ce sont les termes des termes fermoniques et les restes de la action sont multipliés par quelques autres compagnons de la métrique. Ce sont des compagnons de la métrique et c'était l'une des zeroes de la gravité. Juste en regardant ces physiques et les mathématiciens, on verra que ces sont les multipliers de Lagrange. Ce qui signifie que la partie des équations de motion est que les objets ici à la droite sont zeroes. Donc, toutes ces choses seront constrainées pour être zeroes. Mais ici, j'ai les termes kinétiques au moins pour le gravité. Et j'ai écrit ici une forme quadratique. Cette forme quadratique, qui est la première hint qu'il existe, et c'est la première qu'on a trouvé, la première hint qu'il y a une structure hyperboli-catsmoudi est cette forme quadratique. Cette forme quadratique est définie dans tout le monde minus la square de la summe de ces objets. Donc, c'est une métrique hyperboli et ce sera la métrique dans l'espace carton de l'algebra a3 hyperboli-catsmoudi en ce cas. Et cette métrique, vous voyez, elle vient ici et cela définit les termes kinétiques de la gravité. Mais quand vous regardez l'action avant d'aller vers la version amyltonienne, la forme de la géométrie est aussi donnée par la même forme quadratique GAB times la dérivativité de la logarithm de la forme. Donc vous voyez, mais c'est lié à la supersymmétrie ici, que la même forme quadratique vient dans le secteur bosonique et dans le secteur fermé. Et comme je l'ai dit, le facteur que vous avez l'agrange multiplier signifie que vous avez des contraintes. Maintenant, comment vous faites la quantisation? La quantisation consiste à une simple quantisation. La quantité du moment est représentée par une quantisation schrodinger par des dérivatifs d'opératoires avec la beta, la même chose pour les angles plus élevés. Mais pour les dégrés féminins de la liberté, comme j'ai un terme kinétique qui est 5-5, la quantisation est que l'anticommutateur d'un de ces 5 entre eux doit être equal à delta unique. Mais c'est un relation cliffaud. Cela signifie que j'ai certains objets et que l'anticommutateur d'un de ces objets est essentiellement une forme quadratique à l'extérieur. Cela signifie que le cliffaud d'Algebra, qui s'appuie avec 8 plusses signataires plus, minus, 8, 4. Et donc, la fonction de l'univers qui est la représentation quantité de la dynamique de la géométrie en supergravité déclinée par ce modèle est un objet qui est le spinor de ce cliffaud d'Algebra donc c'est un objet qui a 64 components. Et les opérateurs de gravité sont ce qu'il y a qui s'appelle gamma matrices qui sont 64 x 64 Donc ici, on a un problème de quantité mais au lieu d'avoir, comme dans le Schrodinger l'équation, une fonction de l'univers vous avez 64 fonctions couplées ensemble. Et ce qu'est l'équation de Schrodinger de l'équation de Schrodinger qui vient de les constrains ils disent que tous les opérateurs qui appuient avec les multipliers de Lagrange ont de l'accent classique qui, dans le sens direct, signifie que quand ils sont appliqués sur le état donc ici Psi dénose la fonction de l'univers donc c'est un certain état et S est un certain opérateur donc ici vous write que l'action d'un opérateur, qui est un opérateur différent c'est que cet objet est 0 donc ici vous avez 0 et ici vous avez 0 Ces constrains vous pouvez résoudre exactement parce que vous trouverez qu'ils sont équivalents à dire que la fonction de l'univers ne dépend de l'arrière de l'arrière donc cela simplifie très bien la fonction de l'univers dépend seulement de la forme de l'univers de la façon dont il est déformé mais pas de factures anglaises et à ce point l'équation de la motion de ce modèle est que la fonction de l'univers doit satisfaire ces équations il y a 4 équations ici et une équation pas 4 en fait parce que l'arrière de l'univers est un opérateur différent donc ces sont les pdés partie de l'équation différent dans 3 variables mais combien de pdés vous avez ? ici vous avez 4 x 64 équations ici et un autre 64 équations ici 4, seulement 64 annonces donc c'est un système déterminé de pdés qui, parce que la compétition de supersymmétrie doit être consistante si la quantisation n'est pas anomalous mais cela dépend de la compétition de la commutation, de l'algebra super de ces opérateurs et c'est là qu'on a fait des computations explicites comme ces opérateurs qui sont les constraints de supersymmétrie ils ont cette forme ils ont un termen de lead qui est linéaire en pi qui signifie linéaire en dédévative partiale d x d'beta multipliée par une métrique gamma comme une équation de Dirac chaque une pour un index fixé ici ce terme serait la équation de Dirac mais ensuite vous avez des termes plus compliqués incluant des termes qui sont cubiques dans les fermiers donc vous avez une équation de cube de Dirac je l'ai appris de Victor mais ce que les gens étudient dans le nom de la équation de cube de Dirac c'est des choses plus simples que ces objets ici donc ce sont les constraints de supersymmétrie et dans ça il y a déjà certains objets comme il y a deux objets beta1 ici et dans ces objets il y a le contingent de beta1-beta2 ce qui sera une route donc les routes commencent ici d'algebra ce sont les termes cubiques c'est la première fois dans ce business qu'il y a des termes non linéaires cubiques dans les générateurs supersymmétrie et quartiques dans l'action dans le Hamiltonian donc nous avons vérifié explicitement et il a pris un temps pour trouver cette réponse que le commutateur antico de ces objets s'occupe sur H vous voulez que je vous remercie nous voulons certifier que le S vane sur le state donc le commutateur antico de 2S devrait aussi vane sur le modulo S et d'ailleurs cette équation est compatible avec ça et donc vous avez un super open c'est-à-dire que sur le côté droite je n'ai pas la construction constante mais aussi les fonctions de beta mais ça ressemble bien donc la question principale que nous voulons adresser dans ce travail c'est est-ce qu'ils sont vraiment édits dans ces structures ? et nous pouvons donner une réponse précise c'est-à-dire qu'il y a un point de formation qui est quadratique dans la pi donc cette partie est essentiellement une équation de clangordon donc c'est la version d'allum dans notre espace 3D parce que je vous remercie que ce GAB est un métro hyperboli c'est un signal de minus plus plus donc c'est comme un opérateur de clangordon et puis il y a des termes potentiels et aussi un terme de masse si vous regardez ces termes potentiels ils ont une forme explicite et ils sont faits de plusieurs parties la plus simple qui vous pouvez voir si vous n'êtes pas en supergravité c'est un nombre de formes d'exponentiales en formes linéaires donc c'est comme un potentiel TODA et puis vous pouvez lire dans cet potentiel qu'est-ce que la combinaison linéaire de la beta qui apparaît ici et ces combinaisons sont précisément les routes de l'aé3 quand vous décomposez avec respect à l'a1 donc si vous prenez une décomposition de cet algebra avec respect à l'a1 qui est juste qui est juste qui est juste ce et puis vous trouvez que vous pouvez décomposer l'infinite dimensionale l'aé3 l'algebra in aninfinite à l'aé0 vous obtenez simple routes qui sont les différences beta1-beta2, beta2-beta3 et beta3-beta1 qui sont les routes associées à l'algebra gl3 d'aé3 donc pardon nous ne décomposez pas avec respect à l'a1 vous avez dans cet algebra vous avez l'algebra gl3 vous décomposez à l'a3 avec respect à gl3 il y a l'aé3 mais aussi gl3 donc ces sont les routes de l'algebra gl3 à l'aé3 et partie de l'amiltonien contient aussi maintenant d'autres exponentielles donc cela contient maintenant d'autres routes qui sont alpha1 plus alpha1 beta1 plus beta1 et beta1 plus beta2 qui sont maintenant les routes à l'algebra gl3 et ils viennent avec des opérateurs quantum qui s'appliquent J et ici il y a aussi d'autres termes dans une pièce de l'algebra gl3 qui vient avec l'algebra gl3 d'un autre opérateur qui est écrit sur la prochaine donc ces sont les calculs explicites vous prenez un modèle physique vous quantisez vous étudiez les dynamiques que tous ces opérateurs quantum appuient l'amiltonien est une certaine function c'est un polynomial dans ces choses et maintenant vous remarque que ces 6 opérateurs S12, S23, S31 J11, J22, J33 ils génèrent exactement via des commutateurs une représentation de la représentation du maximum compact de l'algebra de l'algebra gl3 qui est le compact de l'algebra c'est le point fixe du set fixe de l'involution Chevalier donc au maximum, vous avez l'E, l'Ef et l'Eh et il y a l'involution Chevalier qui change l'E-f etc et puis si vous regardez le set fixe sous cette évolution c'est le set généré par EI-FI qui génère une dimension infinie d'algebra et ces opérateurs ils satisfaient exactement les relations de la représentation de l'équivalent EI-EFI défini par l'algebra hyperbolicat et c'est le compact de l'algebra et c'est une chose non triviale parce que pour le faire vous avez tous ces choses compliquées qui viennent de super-gravité et ces opérateurs ils satisfaient la relation qui est ce type d'algebra donc vous devez prouver que les commutateurs de 3 opérateurs d'algebra comme S1, S2, S3 mais pour que les commutateurs puissent reproduire ce qu'on avait trouvé qui est l'existence d'une dimension finie d'algebra de l'algebra c'est une chose non triviale donc c'est une très précise sur la présence d'opérateurs qui génèrent l'algebra mais les termes les plus compliqués sont les termes quartiques dans les fermiers qui sont bien connus pour être compliqués et les termes quartiques dans les fermiers finalement, ils se séparent dans les termes que j'ai montrés il y a des termes qui étaient quadratiques et il y a des termes qui étaient quartiques et puis, tous les termes que j'ai écrit ont un potentiel total le total signifie l'exponential de la forme linéaire si j'ai les formes alpha de betas sont les équations linéaires dans les betas donc ils définissent les planes hyper donc ce sont les moules ce sont les moules des moules de moules et tous les autres moules et si vous voulez voir très loin de tous ces moules tous ces exponentials seraient petits et puis il y aura quelque chose en plus de ces termes et c'est la plus compliquée pour la compétition et ces moules de moules vous trouvez remarquablement même si c'est très compliqué que ça commute avec tout autre dans l'algebra c'est le centre de l'algebra généré par S&J et pas seulement ceci mais c'est en même temps le square d'un opérateur très simple qui est celui-ci qui est quadratique dans les fermiers très grandes simplifications et et puis vous pouvez discuter explicitement les solutions pour l'univers quantum qui est en supergravité et dire ok maintenant vous devez solver cette équation directe donc vous regardez pour 64 components colon vector des fonctions de 3 variables et ils doivent satisfaire 4 x 64 équations nous pouvons discuter ce qui est le set de solutions de ces choses selon où vous êtes dans l'espace quantum et en fait les différents states de quantum sont bien paramétrés par cet opérateur parce que cet opérateur est comme un opérateur fermé il prend valeur de minus 3 plus 3 et il y a des solutions qui fixent le nombre de fermiers et en particulier vous trouvez pour quelques niveaux fermiers vous avez seulement des states discrets vous avez des solutions exactes comme un genre de states de grond et des states de grond excité qui dépend seulement sur un petit nombre de constants et puis dans le milieu de l'espace fermé vous commencez à avoir la liberté fonctionnelle dans le sens que la solution générale de cette équation est paramétrée par 3 fonctions de 2 variables et puis vous pouvez aller plus loin et dire OK, let's consider in particular the wave function of the universe in the fermionic levels where it contains arbitrary functions so this wave functions can be made of can look like a wave propagating in internal space of the universe and this wave is submitted to it emits walls these walls are the walls connected with the simple roots of the vile chamber of A3 and in some approximation which is a WKB approximation you can ask when I have the 64 component wave of the universe bouncing on these walls what is the connection between the state after reflection and the state before reflection so my vector, my 64 components is a linear vector in a representation space 64 dimensional representation space of KAA3 of this compact Katsmudi algebra and what you find in confirmation of what we had found with Hillman in some Grasmanian approximation is that in the WKB limit the state of the I mean the state of the universe after reflection is given by applying on the previous state a certain reflection operator but this reflection operator lives in this representation of the spinorial vile group and therefore it in fact defines a generalization of the vile group which is not a bosonic type of vile group in the vile group usually you have reflection operators and the square of a reflection operator is 1 by definition of a reflection on a wall but here these reflections are 8 th roots of unity you need to take the 8th power of unity because it is a spinorial extension of a vile reflection and you find that this general nice formula that the reflection operator on any of these roots is given by exponential minus i pi over 2 the same j operators that appeared ok so all those operators which are 64 dimensional representation they also define a spinorial extension of the vile group which is present definitely in the quantum dynamics of the universe therefore let me conclude so this is one particular case study but it's one in which we took completely into account the quantum aspects of the dynamics of a triaxially squashed free sphere in supergravity and this study definitely confirms the hidden presence of hyperbolic katsmoody structures in the sense that the Hamiltonian structure is a certain operator which is a representation of it represents the serre relations for the objects e i minus f i all the operators that appear here they were representations of these differences you had the e i f i h i you had the level of the roots so we could see all the linear roots linked to this finally in the in the Hamiltonian the operators that appeared were representation of the e minus f which is the compact part in the same way that if you have the gln and if you take the antisymmetric matrices you have the compact so group of gln s1 so this is the analog for here and so we could discuss the wave function of the universe and prove I mean control the number of solution of these things see that the square mass terms which is quartic in the fermions belongs to the center of an algebra which is the one generating the compact part of a3 so we hope that this result will help in clarifying what was true in the conjecture we made before about e10 because here we could do all this calculation for this simple algebra I should say maybe I should not say it but part of the calculations have been done explicitly with 64x64 matrices because some of these calculations are difficult to do by hand so we use some computer means to compute products of 64x64 matrices to check everything and in the case of e10 the dimension of these matrices would be 2 to the 320 so which means 10 to the 50 so it would be impossible to do explicit calculations but probably from the very simple results we have here one can guess what would be the cat smoothie structure for the full supergravity in 11 dimensions which is the real challenge ok thank you for your attention what happened to the reflection if you go beyond WKB approximations so the reflection so first if you look at quantum states that decay exponentially you you have modifications of this formula like for instance in some cases the reflection if one wall is isolated from the other one the explicit quantum effects of the reflection is given by a cumer function so you have a confluent hyper geometric function and then you have a defacing upon the reflection which is more complicated by just this thing but it's a well defined reflection but does it give a deformation of the veil group sometimes I don't know if one should pose question in these terms yes I mean the Hamiltonian because the Hamiltonian is still constructed from the operators that do satisfy exactly the usual certain type cat smoothie relations ok so the fact that you have quantum effects that modify WKB result is not a big deal but you're right, our question is a meaningful question more questions the dual picture well you started by talking about this dual particle so that was already in this example it sort of comes in this presentation exactly so in a sense what we had found before were parts of the picture that we have here the evidence we had before could be seen just like the bosonic wall or when we look at fermions in the Grasmanian approximation that this was this coupling in the Hamiltonian which was part of this so we had found parts of it but here we wanted to say ok what is at the end at the level of the quantum Hamiltonian without approximation and also the quartic terms in fermions because if the terms quartic in fermions had messed up the thing but the fact that they commute exactly in fact I want to ask this question now that Victor is back with us these new square terms the mass term should be a chasmier of k over e3 and formally this chasmier is given by an infinite sum of the generator square which is not well defined I mean he could define the chasmier for katsmoody because he could order things but here we have compact katsmoody where it's not a katsmoody thing you cannot normal order things ok so there are questions but the fact that it commutes like a chasmier more questions actually I would comment or question, when you call the squashed metric on the s3 that the verger metric that is the one which you obtain by squeezing the sphere along some circles which come small circles instead of being large circles so it's it's an su2 invariant so it's the most general su2 most general su2 invariant metric most general so it has parameters or 3 shape parameters but it's squashed in 3 directions no more questions so we're absolutely perfectly on time so thank you to all speakers