 اسلام علیکم I'm back and welcome back to you also آپ بھی پھر سے در آگے ہیں لیکچر اٹین کرنے کے لیے This is a third lecture in Calculus 1 of this course اور hopefully پچھلے دو جو تھے لیکچرز وہ آپ نے جوائی کیے اس کے بعد ہم نے اس میں last lecture میں lecture number 2 میں absolute value اس کے بارے میں بات کی تھی اس کے علاوہ ہم نے absolute value کو دفائن کیا تھا اس کے قاعدت کی تصورت ہے تو یہ بھی بہت پاس شاید کر رہا ہوں پھر ہم نے یہ بھی دیکھا کہ absolute value اینکوالیتیز کیسے سالف کرتے ہیں یعنی اسی اینکوالیتیز جس میں absolute value انوامت ہو اندھو کیسے سالف کر جاتا ہے اور اس کے میں پھر ہم نے اینکوالیتی the famous patience ڈرائنگل اینکوالیتی بھی دیکھی اس کا پروف بھی کیا تورا στα کافی ہتھک تھا hope ڈرائنگل ا اپنی آپ نے بھی کیا its very important in equality اور میں نے یہ کہا تھا کہ آپ اس کو خود اپنے آپ سے دیکھئے گا خور کیجے گا اس پر اور اپنے انہوں نے ذکر کرتے ہیں اور آپ آپ کو حقیصہ دیتے ہیں یہ صحیح جانتے ہیں ایسی اینکوالیٹی اینکوالیٹی جیسے ہم بات کر رہے ہیں یہ بہت بہت بہت سمپل یعنی عام طور پر میتھمیٹکس میں ہی ہوتا ہے کہ چیزیں بڑی آسان سی لگتی ہیں سٹریٹ فورٹ سی لیکن ان کے اسرات آگے چل کے واضح ہوتے ہیں اس کا آنسی عام انہوں بھی خوبصورت سامنے کیا جانتے ہیں یہ سب ہم نے لیکچا نمبر ٹن کیا تھا اب لیکچا نمبر ٹن میں کیا ہم آج بات کریں گے اس کا تھوڑا سا پریوڈ دیکھیں کیا ہے آج کا طوپک بیسیکلی گرافز این دے کارڈنٹ بلین ہے یعنی کارڈنٹ بلین کیا ہوتا ہے سب سے پہلی تو اور اس کے لیٰوہ اس میں اس کی کیا ضرورت ہے ماثمتکس میں اور کی اچھا جائے کسی help us جیومیٹرکلی اور بھائی سورسا تو ہم کارڈنٹ پلین کے بارے میں اس لیکچر میں بات کریں گے کہ کارڈنٹ پلین کیا ہوتا ہے کیا ہوتا ہے؟ یعنی how does it help us view algebraic things جیویمیٹرکلی and بھائی سورسا اس میں اگر آپ کو یاد ہو کہ ڈکارٹس کی ہم نے بات کی تھی پہلے لیکچر میں تو will see what he actually did یعنی ہم نے اس کی بات تو کی طرح سا ذکر کیا کہ how he played an important role but in this lecture we'll see exactly what he did to benefit mathematics and advance it further basically اس نے ڈکارڈنٹ پلین کے بارے میں concreetly کچھ ڈیئے تھے جن کو ہم دیکھتے ہیں اس لیکچر میں اس کے بعد ہم دیکھیں گے کہ گراف کیسے بن سکتا ہے point کیا ہوتے ہیں ڈکارڈنٹ پلین میں and things like that تو تھوہا سا یہ preview تھا سارے لیکچر کا شروع کرتے ہیں اب ڈکارڈنٹ پلین سے کہ ڈکارڈنٹ پلین ہوتے کیا ہے تو ڈکارڈنٹ پلین کی اب بہت شروع کرتے ہیں ڈیٹیل میں تو ڈکارڈنٹ پلین جب میں کہتا ہوں تو آپ کو فرن ایک کلک ہونا چاہئے کہ we've seen this or heard this word before ڈکارڈنٹ یہ پہلے لیکچر میں ہم نے بات کی تھی ڈیٹیل میں ڈکارڈنٹ لائن کے حوالے سے توی بہت ڈکارڈنٹ لائن بہت سکل ایک کارڈنٹ بتوین ڈکارڈنٹ پلین ڈکارڈنٹ پلین بہت ہی حقید کلک لائن ہم اسکتر کلک ڈکارڈنٹ، پلین کی طرف کو خطر تصورنا چاہئے اسی طرف çالی ڈکارڈنٹ پلین کے لئے خطر کچھ کرنا چاہتے ہیں ڈکارڈنٹ پلین ڈکارڈنٹ Himm ڈکارڈنٹ پلین پ کے درد اللک اک dür уд پہ presentations پہ考 لیا کے ل Homer خوانی کتبultan savory fades اکبرا ای شای doesn پ descended جان ک بارن انجام provided جس کے لئے جو بچارن پ کے باری میں اسپر نہیں یہ ب Geoffpe's ڈلیو ڈلیاں کتا ہے۔ بڑک لیکن ڈلیو ڈلیو ڈلک لیکن ڈلیاں کتا ہے۔ بڑک لیکن ڈلیو ڈلیاں کتا ہے اور ڈلیو ڈلیو ڈلیاں کتا ہے۔ بھایس پھر اپنے کسی ڈلیاں کسی ڈلیاں کو مجھے ہا ہے، خیلی ڈلیاں کتا ہے کہ بڑک کواک ہے جس ہے اپنے ٹییڈ بیٹ پرکیں بہت سکتے ہیں۔ اس کے بعد کسی طرح ہمیں کچھ پوrops مارک اوکننے تو اسے کیسے پروٹانٹ پلین ہے تو وہ پوuyorum جو ہم مارک اوکننے کو مارک اوکن ہوں گے اگر آپ اپسیinet پر دیکھئے تو میں آپ کو کہ چیز دکھایں یہاں پر سکین پر ایک دو لائنے جیسے پہلے تھیں یہاں کیا مقصد ہے؟ ہم کیا چاہت ہیں؟ تو یہ ستین پر جو آپ نے ابھی دیکھا، پلاین، اس پر پوینٹ پی لگائی تھا ماہس撰 کا کبین کو ڈیزٹار دینا چاہتے ہیں۔ جس طرح ہم نے سریٹ لائن میں ڈیزٹار کی ڈیزٹار دیتے ہیں۔ باہس سبکتا ہے اور چاہتے ہیں۔ اس کا نظر سے rope ااپ تھا تو ایک طریقہ اس طرح حیانات ل گا نیتا ہے۔ مقصد ہے کہ اُس پ Zus اگر ڈیزٹار دینے تو کس طرح دیں۔ اس کا ایک طریقہ اس طرح سے مقصد یہ کہ اس پوینٹ کو ہم کوئی اگر value دیں تو کس طرح دیں تو ایک طریقہ اس کا اس طرح ہو سکتا ہے کہ آپ اس پوینٹ کے کو لیجیے اور اس پوینٹ سے you start drawing you drop a line from that point down to the line one of the lines at the bottom which is one of those lines which is making the coordinate or the plane it's not a coordinate plane right now it's part of the plane and that horizontal line is the plane so point P سے ہم ایک line drop کرتے ہیں straight which intersects the bottom line of the plane at 90 degrees fine we do that good اسی طرح سے ہم ایک line draw کرتے ہیں from the point P which intersects the vertical line which we have تو اگر اس کی پکچھے دیکھیں تو یہ پکچھر میں اصل میں ایسے ہو رہا ہے اس کو دادہ اسانیسی سمجھ سکتے ہیں پکچھر میں یہ کہ we have the point P and we have the plane and I am dropping a line straight down from the point P which hits the bottom line which is a horizontal line similarly I draw a line from the point P to the left straight such that it hits the vertical line at 90 degrees تو اس سے کیا ہوگا basically well اس سے یہ ہوگا کیا بیسکلی when I the points that I am my lines are hitting جیسے مثال کے طور پہ میری جو line میں نے drop کی تھی down straight down and which hit the horizontal line at 90 degrees the place where it hits the horizontal line I will mark off a number there that will be a unique number well of course it will be اگر آپ دیکھئے تو all you have done is you have marked off a number on the real number line جو bottom line ہے it is nothing more than a straight line امسیٹ لائن with a number on it which you have marked off now آپ اس سے آپ امسیٹ لائن اگر ہے سمجھلی جو ویڈیکل لائن تھی اس پر جہاں پہ آپ کی جو left کی جانب آپ نے line draw کی تھی Where ever that line hits the vertical line سیدھو تو سیدھو تو جو ویڈیکل لائن بسکلی another coordinate اسے بڑی۔ دیرل presentation a real number also مسئلہ صرف اس میں تنا ہے کہ this line is vertical ویرہا اسے پریوز انو was horizontal لیکن concept سارا ایک ہے تو اس سے کیا ہوا اس سے یہ ہوا کہ now you have you can read off a value you can you have a certain value assigned to each of these points of intersection horizontal point and the vertical point so for example maybe I hit on the horizontal line the point 4 and on the vertical line maybe I hit the point 3 so here's a picture of what's happening so here's the initial picture we had where we hit the two lines the two lines hit the vertical and the horizontal line and the idea is that as I said the point on the horizontal line say would be 4 or the vertical is 3 so now I will designate it as a coordinate تو ابھی آپ نے پر screen پر ایک ایک picture تھی جو ہم نے لائن ہے بنائے ساری horizontal or vertical intersection point اب مخصد یہ ہے کہ یہ جو values میں یہاں پر دےنا چاہوں گا اس point کو somehow I want to represent some kind of just ہم نے coordinate line پر ہر mark off point کو ایک number value دیتی یہاں بھی میں کچھ ایسے کرنا چاہتا ہوں تو وہ کیسے کریں گے وہ ایسے کریں گے جو ورٹیکل لائن جہاں پر انٹرسیکٹ ہوئی تھی وہ ہم اس کی ویلیو اگر ہم نے کہا کہ 3 ہے اور جہاں ہورزونٹل لائن پر انٹرسیکٹ ہوئی تھی وہاں پر 4 ہے تو ہم ویلیو دیں گے اس point کو 4,3 اس کو ہم ایسے لکھیں گے کہ 4,3 تو اب یہ میں نے ایک ویلیو دیئے لیکن یہ ہے کیا چیز what is this thing called this is 4,3 تو اس کو تھوڑا تھا ڈیٹیل میں ڈیفائن کرنا پڑے گا مخصد صرف اتنا ہے I have with this procedure of dropping lines to the left and to at the bottom associated a unique point in the plane with something unique which I will define now this is something that I am talking about 4,3 this is what we call an ordered pair تو اب اس کو تھوڑا تھا ڈیفائن کرتے ہیں کہ ordered pair ہوتا کیا ہے تو یہ 4,3 ہے کیا اسال میں یہ جو ہم نے ابھی لکھا سکرین کے اوپر point کو ہم نے peak اور represent کیا تھا 4,3 سے it certainly looks like an interval to me یعنی میں دیکھتا ہوں parenthesis 4,3 parenthesis closed looks like the interval that we talked about in the previous lectures lecture number 1 میں looks like the interval from 4 to 3 4 and 3 not included تو point یہ ڈیفائن کرنے گا that's not what it is یہاں پہنچنٹلی ایک problem میں mathematics میں problem تو نہیں ہے but i guess you could say in a sense it's a problem وہ یہ ہے کہ abuse of notation is what we call it اگر notation ہم کئی چیزوں کی repeat نہ کریں تو mathematics کے idea's وہ یہ تنے complicated ہوتے ہیں کہ اس کے لیے اگر ہر بہت نہیں notation سمال کی جائے تو بات کافی complicated ہوتی ہے لہذا ہم یہ کرتے ہیں mathematics میں کہ sometimes you use the same notation اور کانٹیکسٹ کے حوالے سے ہم کہتے ہیں کہ ہم جچ کرتے ہیں کہ what are we talking about یہاں پر کانٹیکسٹ ہے ہمارے وہ ہے graphs and coordinate planes so whenever i write down 4,3 in general i write down a,b and it looks like an interval it's not an interval it's actually a an ordered pair and that's what i will be talking about in this context the ordered pair کیا ہے it's just a point a way of identifying a quantity with a point in the plane so what we'll do is we'll write to represent a point and it's association with the ordered pair an ordered pair on the plane what we will write is we will write this as p parenthesis 4,3 for example in this case we would write p parenthesis 4,3 to represent the point p with coordinates what we will call these things is coordinates i.e. the ordered pair will be represented as a coordinate now of the point p so that's basically why we did all this construction let's move on ایک چیز اور تھوڑی سی میں بتا تھا چلو about ordered pairs یہاں رکھیں کہ جب میں لکتا ہوں ordered pair 4,3 it's not the same as the ordered pair 3,4 that's the whole point of being ordered i.e. the ordered does matter i.e. if I write 4,3 then it's not going to be the same thing as 3,4 just a small slide I think it was pretty obvious intuitively to most of you but just to be on the safe side I should mention that that's one thing to keep in mind ایک چیز ایک چیز ایک چیز if you talk in general terms it's not equal to ایک چیز ایک چیز ایک چیز there are different points they correspond to different points in the plane these two are coordinates of different points in the plane one way to say that would be that اب آگے چلتے ہیں بار بار coordinate plane کیانا تھوڑا سا مشکل ہے because it's a big word تو کچھ نئی دو تین terminologies ہیں جو آپ کو میں بتا دیتا ہوں we can use them interchangeably when we talk about the coordinate plane اس کو ہم کبھی کبھی xy plane بھی کہتے ہیں اور کیوں کہتے ہیں تھوڑا سا اس کے بارے میں جاننا چاہیے ہیں میں xy plane کا کیا مطلبو xy plane کا مطلب یہ ہے کہ جو آپ کی ہورزانٹل لائن تھی جس پر ہم نے مارک آف کیا تک point that is the line we call the x axis this is just terminology جو ہورزانٹل لائن ہے اس کو ہم کہیں گے x axis جو ورٹکل لائن تھی we'll call that the y axis together we call it the resulting plane we'll start calling it from now on also as the xy plane coordinate plane بھی کہیں گے but it's easier to say xy plane اور ساتھی ساتھ ہم نے یہاں xy plane کا جی بات کی so I've introduced the notion of the x axis and the y axis some terminology basically to keep in mind اب بات کرتے ہیں کہ یہ تو ہو گئی terminology introduce we've talked about what the x and y plane is an x and y axis are اب جو اب تھوڑی سی بات کرتے ہیں جو ہم نے ابھی تھوڑی در پہلے an association create کی تھی between points on the x and y axis right vertical horizontal line with the points in the plane یہ تو ہم نے دیکھ لیا کہ ہم کر سکتے ہیں لیکن سوال یہ کہ is this unique یعنی جس طرح ہم نے coordinate line پے one to one correspondence کی تھی اسی طرح سے کیا یہ جو ہم نے association create کیے by dropping perpendicular lines is this going to be unique I mean four three is it the only point that I'll get when I drop lines from four three and so forth well it so happens that there is the case اور اس کا pretty simple see argument اگر آپ نوٹ کیجئے اور تھوڑا سو چی اس کے بارے میں I guess you could always prove things mathematically but you don't have to in this case it's pretty obvious جب آپ نے straight line drop کی from any point to the x axis it hits that x axis uniquely in just one point that's it there's no other point it'll hit or similarly جب آپ نے y axis پے line draw کی تھی to the left and it hit the y axis that's the only one point it'll hit the line that you drew horizontally to the so that it hit the y axis تو really it's pretty obvious کہ this assignment will be one to one یعنی to one each point in the plane will correspond only one ordered pair and that's why we have this one to one correspondence which is exactly what we were looking for اگے دیکھن کی ہے اچھا اب اگر ہم point plot کرنا چاہئے coordinate plane میں or xy plane میں تو وہ کیسے کریں گے سمپل سی بات ہے کہ اگر آپ ایک کوئی point لیجیئے پی اور ایک تو ہم نے دیکھ لیے کہ اگر ہم lines draw کریں so that they hit the y axis and the x axis ہمارے پاس ایک اس کی ordered value آجتی ordered pair آجتا ہے جو اس point سے correspond کرتا ہے لیکن اس کا opposite کیا ہوگا یعنی converse کیا ہوگا یعنی اگر میں آپ کو کوئی point دیتا ہوں a,b how do I plot that ordered pair on the coordinate plane or the xy plane very simple you have the idea of x axis and the y axis when you talk about the point a,b you are saying that you take your a value in that ordered pair and find it on the horizontal line and mark it off there and you take your b value and mark it off on the y axis find it there and mark it off and just sort of imaginary draw imaginary lines from those two points and look at where they intersect each other wherever they intersect each other that will be the point b that will be a point determined by those two numbers or by that ordered pair تو اس طرح سے آپ دیکھئے کہ this also you know gives support to the idea that this assignment of ordered pairs to the points in the plane is unique کیونکہ آپ نے converse بھی دیکھ لیا پہلے تو ہم نے دیکھا تھا کہ a given a point we can draw lines and get a unique ordered pair اب ایک ordered pair میں آپ کو دیتا ہوں so you can find a unique point کیونکہ زیرہ جب آپ دو لائنے draw کریں گے تو I think you will be too much to convince you کہ تورہ جو کوئی دو will be پرپنڈیکلیر by the way will intersect only in one unique point تو دیتا ہوں will be the unique point in that plane تو this is how you associate points in the plane with the ordered pairs اور یہاں سے یہاں سے یہاں سے another کیسی بھی ظاہر او تیے کہ the a value that you took from your ordered pair is what we call an x value because it lies on the x axis and the value b that you took ہے لائیز ام ، ناری بہنی جالیہ سوئی ہے لہذا یہ سوالیہ کی ایسی ہی ساری ہے۔ تو چسی امید پر ایمانی و سزیہ امید پر ایک ایمانی کے بہت کبھی کبھی ہم یہ ایمانی ساتھ کریں گے ایسی ساتھ ایمانی و سزیہ ہی ساتھ ہوں اور ہم ایسی ساتھ لیں کے دن میں جانتی ہے۔ اب مجھے گی بات یہ کہ اس کوہرسپونڈس جو ہم نے اپنے فرمینی because it will be the way between points in the plane and the ordered pairs. اس سے بڑے مزکر زیادہ ساتے ہیں اور وہ وہ یہ جو پوچھتے ہیں that we define this whole process. ورزل یہ کہ اس کنسٹرکشن کے ساتھ یہ جو کورسپارٹنٹ سم نے create کیے. Now we can basically talk about algebraic equations or ideas which are kind of abstract because they are all equations and involving x's and y's. We can talk about them in terms of geometry or pictures. لہذا یہ آپ کیا کوئی تناسی روسک ہے رُسکتے ہیں آپ نے 걸امنا لائیں کا حقیط اندرائی میں بات کر گئیتا اللہ ہم نے کہتا کہ حقیط اندرائی کے حقیط اندرائی کے حقیط اندرائی میں بیٹھتے ہے اندرائی میں لائے وقت کے ولاہ charm لكن اتنے پر اندرائی سے بہت سکتے ہیں شاق ہےoshaleyam چھوڑ وقت طرح تو اسande شاید آپ کو اتنا کلیر نہ کیا بہت ساکتا تھا اس کیا ساق ہم ہے لہذا جو کچھ جوامیٹریک چیزے جو پکشٹرز ہمارے پاس پہلے تھی اب ہ一下 ان کو الجی بریکلی دیکھ سکتے ہیں و maybe do some more stuff کبھی کبھی زورت محصوس ہوتی ہے کہ آپ کوئی پکشٹر ہے آپ کے پاس یہ کوی ڈراف ہے and you want to look at the equation associated with that so you can do that also with this kind of process we just looked at so let's see what we can do with these things اچھا اہ سے پہلے کہ ہم اگہ پرزی دیا چاہیے کسی مجھے کسی رہا ہے اس کیا نظر ہے؟ یا اور کبھی کبھی آپ یہ بھی دیکھیں گے کہ حورزانٹل لائن will be labeled as the u axis and the vertical line will be labeled as the v axis or vice versa some kind of combination of these two or the t and s variables کیونکہ دیکھیں تو really x and y have nothing special about them it could be anything we can say aleph and bay for example right اگر اردو میں آپ مات کرتے ہیں تو some kind of something like this is what you would look at تو یہ عادت بنانے کی ضرورت پہ مطلب عادت نہ بن جائے اس لے میں آپ کو صور چھوٹی سی warning دی رہا ہوں کہ x and y doesn't have any special meaning to it it could be unb it could be t and s and anything basically aleph and bay could be anything تو یہ تھوڑی سی ایک warning تھی جو تاکہ ہم عادت نہ بنالے x and y کی آگے چلتے ہیں اچھا اب یہ جو ہم نے دیکھا ابھی تک so far whatever we have seen یہاں پہ سارے سسٹم کا یہ جو ہم نے x y plane دیکھا یا coordinate plane دیکھا اس کا ایک اور نام بھی ہے it is also known as the rectangular plane سسٹم ریکٹانگلر اس لیے کہ basically اگر آپ نے و کنسترکشن دیکھی جو ہم نے دراؤ کی تھی کہ a vertical line اور a horizontal line دراؤ کی from a point right and we looked at where it intersected the x axis and the y axis تو اس میں really آپ دیکھیں تو اگر آپ دیکھیں گے جو ہم نے دیکھی بھی بلکہ تھوڑی در پہلے تو اس میں ایک ریکٹانگل سبن رہا تھا تو everything is done in terms of rectangular sort of notions تو اس کو اس لی ہم ایک نام اور دیتے ہیں ریکٹانگلر coordinate سسٹم اچھا یہ تو اس کی بات ہو گئی اس کی تھوڑی سی اور detail دیکھتے ہیں اس کے اندر کچھ اور details ہیں وہ کیا ہے یہ جو coordinate plane تھا اس میں آپ نوٹ کیجے if you go back to the picture or here's the picture on the screen right now اس پیچھر میں بیسکلی آپ نوٹ کریں کہ آپ کی پس چار تکڑے ہیں چار حصے بنے میں plane کے یعنی آپ دو لائنے جب انٹرسیکٹ کرتی ہیں دوسرے کو at 90 degrees which is what determines a plane or what defines a plane without any you know coordinate so far تو اس میں چار حصے بنتے ہیں one to the right اس کے بعد اس کے بات اس کے نیچے والا اور سات والا یعنی پیچھر میں آپ کو دیکھ رہے ہیں کہ اس میں ہم اس کو لیبل کر لیتے ہیں one to three and four تو یہ چار coordinate بنتے ہیں دیس four sections or pieces are what are called the quadrants of a coordinate plane یعنی اب plane چھوڑی اب let's just talk about coordinate plane تو it'll be for the four coordinate quadrants of the coordinate plane تو اس میں کیا خاص بات ہے خاص بات یہ ہے کہ اس میں تھوڑی سی جب آگے چلکہ ہم ڈیٹیل میں بات چیت کریں گے about some mathematical objects تو we'll see that we need to sometimes identify quickly کہ کونسر coordinate کونسر quadrant میں لائے کرتا ہے which coordinate lies in which quadrant of the coordinate plane تو مثال کے طور پہ میں آپ سے کہتا ہوں کہ minus four یا بات کرتے ہیں four comma three جیسا ہم نے پہلے بات کی تھی تو where does that lie یہ بڑے آسان سے طریقہ it lies in the اس کو determine کرنے کی کہاں لائے کرتا ہے وہ یہ ہے کہ پہلے تو میں کہوں گا کہ four and three lies in the first quadrant why am I saying that وہ اس لیے نوٹ کیجئے کہ four which is the x value اس پوزیٹیو سو the horizontal line is the x axis تو if you think about it there's a unique point in the middle of the coordinate plane it is what where the two lines intersect each other now really we haven't talked about it so far but if you think about it what is that unique point well really if you think about it has to be the point zero zero the coordinate zero zero right the point with coordinates zero comma zero the reason is that it is the center the lines intersect each other in a sense at the center of each other so that is why we designate that as zero comma zero so the x value on the at that point is zero and the y value is also zero at that point so now going back to the point four comma three where does it lie well x value اس four so it must be to the right of the point zero for x so I move four units to the right similarly three is positive so it must be three units up on the x axis because it's a positive number so I move up on the y axis and I get the point four comma three and it lies in the first quadrant if you use that construction of rectangular system or the dropping those lines that we did earlier and you will see that point four comma three lies in the first quadrant similarly if you talk about any point let's generalize it for example minus two and three where does that lie note that x value is minus two so it must be to the left of the zero point zero zero because x value was zero similarly minus two comma three کی بات ہوئی ہے تو three must be again on top on the the upper part of the vertical line therefore if you plot it where does it lie you move left by two units on the horizontal line and up three units and you are actually in the second quadrant اسی طرح سے اگر آپ کے پاس دونہو جو ہے آپ کے اس کی values x and y جو ہیں ان کی values negative ہیں تو you must be in the fourth I'm sorry in the third quadrant and similarly اگر y value negative ہے اور x value positive ہے تو you must be in the fourth quadrant اس سب idea کی ایک سمری ابھی آپ کے سامنے سکرین پیاتی ہے you can see the picture and hopefully it will give you some idea of what I was talking about تو اس پیکچر میں جو ابھی سکرین پیاتی ہے آپ کے سامنے we have summarized the idea of a plane coordinate plane with points on it and the various coordinates the coordinates that it divides into and where each coordinate with the different signs lies in یہ ایک سمری سی تھی اس کو آپ دیکھئے گوار سے and hopefully it will make sense it's also in your textbook so you can refer to that اچھا اب ہم آگے بات کرتے ہیں equations کی یعنی تھوڑی دل پہلے ہم نے بات کی تھی about expressing idea algebraic ideas geometrically and vice versa so let's see what we can say about that what are these algebraic ideas we are talking about اچھا algebraic ideas جو ہم بات کر رہے ہیں algebraic things you can express geometrically جو ہم بات کرتے ہیں اس کے بارے میں تو we basically mean equations I mean we say somebody gives us an equation اور کہتے ہیں کہ اس کو picture wise ڈیفائن کریں یعنی make a picture of it somehow تو we can do that by using the coordinate plane exactly and let's do that here's an example on the screen of an equation and let's see if we can make a picture out of it on the x y plane اب یہاں پر آپ کے پاس تین equations ہیں یہاں پر 5 x y equals 2 x square plus 2 y square equals 7 وی ایکوز x cube minus 7 so we want to make a picture of them but before we do that let's talk about something called a solution set یعنی یہ جو equation سم نے بھی لکھی مثال کے طور پہلے پہلے والی کی بات کی 5 x y equals 2 تو اس کا solution set کیا ہوگا اس کا solution set وہ سارے نمبر ہوں گے x or y جو ایسے ordered pairs x and y جو اگر میں ان کی values x or y میں اس equation میں ڈالتا ہوں تو میرے پاس ایک true statement ڈاتی ہے یعنی left-hand side پر اگر x or y کی میں کوئی value ڈالوں تو میرے پاس 5 سے multiply کرنے کے بعد اور ان دونوں نمبر کو آپا سے multiply کرنے کے بعد result 2 آنا چاہیے جو جتنے بھی سارے نمبر یہ ساڈسفائے کریں گے those numbers are actually in this case کیونکہ x or y کو ساسا دیکھ رہے ہیں تو یہ دونوں نمبر ملاکے یہ ordered pairs کی form میں ہم دیکھیں گے these ordered pairs will be called a part or they would be elements of the solution set تو solution set کیا ہوتا ہے it's basically all the numbers or elements inside that solution set are the things that satisfy a given equation تو let's look at some more examples اچھا یہ ایک example ہے اس میں دیکھئے کہ equation dv is 6x-4y equals 10 تو اس کا یہاں پے ایک ordered pair 3,2 سوال یہ کہ کیا یہ اس equation کا solution ہے یہ اس کو ساڈسفائے کرتا ہے کہ نہیں تو اس کو معلوم کرنے کا طریقہ ہے کہ آپ x کی value دیکھئے جو کے 3 ہے and substitute it into the x of the equation اور جو y کی value 2 اس کا y کی جگہ ڈال دیجے اور یہاں پر کالکلیشن ہم نے کیوی اسکرین پر یہ ہے 6x3-4x2 equals 10 well the question is first of all is it تو آپ نوٹ کلیجی 6x3 جو ہے وہ 18 ہوگا 4x2 is 8 subtract 8 from 18 you get 10 which is exactly the right-hand side of the equation سمیلرلی ایک اور equation ایک اور pair ordered pair دیہا ہے 2,0 اس کو آپ اگر try کریں جیسے بھی سکین پر آپ دیکھ رہے ہیں تو یہ سلوشن نہیں ہے اس equation کا کیونکہ اس کا result 18 آتا ہے on the left-hand side when you substitute the values of x and y into the equation which is not the same as the right-hand side which is 10 تو یہ اس کا سلوشن نہیں اور یہاں پے definition پناتے ہیں that'll help us actually in terms of seeing algebraic objects geometrically تو here's the definition اچھا تو definition یہ ہے definition 1.3.1 is what we call it the definition is the graph of an equation in two variables x and y is the set of all points in the xy plane whose coordinates are members of the solution set of the equation تو یہ definition تک graph کی تو اس کا کیا مدلہ ہوئی اس definition کیا اس نے basically آپ یہ کہہ رہے ہیں کہ you're looking a graph of an equation is basically the set of all those ordered pairs or coordinates on the coordinate plane or the xy plane that when you that satisfy the equation basically that if you take those values of x and y in the ordered pair and you substitute them into the x and y variables in the equation the equation becomes true it gives a true statement تو ابھی تھوڑے پہلے ہم نے example دیکھی تھی اس میں ہم نے ایک point دیکھا جس جو ایک satisfy کرتا تھا ایک equation کو اور ایک ایسا point دیکھا جو satisfy نہیں کرتا تھا تو in terms of that ہم کہیں گے کہ جو point equation کو satisfy کرتا تھا lies on the graph of that equation اسی طرح سے ہم کہیں گے جو point satisfy نہیں کرتا تھا تو basically آپ کیا گراف what does the graph represent I mean it's a picture but it's a picture of what it's the picture of the solution set of the equation or all those coordinates on the xy plane that satisfy the equation that's exactly what a graph is ایک ایک سامپلور دیکھتے of graphs یہاں پر ایک equation ابھی سکین پر آپ کے سامنے میں لگتا ہوں y equals x square یہ تو ایک ہوگے equation اب اس کو ہم گراف کرنا چاہتے ہیں اس کو ہم in other words کبھی کبھی ہم سمال کریں گے جو words وہ ہونگے کہ we want to plot this equation or we want to plot the graph of this equation کبھی کبھی یہ بھی کہتے ہیں we want to sketch this equation or we want to sketch the graph of this equation تو یہ ساری interchangeable terminologies ہیں we should get used to these یہ ہم سمال کریں گے frequently or very freely تو اب یہ ایک ایک سامپل تھی y equals x square اب ہم اس کو گراف کرنا چاہتے ہیں what do we want to do we basically want to plot all those points or find all those points on the coordinate plane or the xy plane which satisfy this equation تو how do we do that ایک بڑا سیمپل سا طریق ہے جس یہ ایک سامپل ہے اس میں equation ہے y equals x square تو اس کو پوئنس جھوننے کا وہوالے پوئنس جو سیدسفائی کریں گے اس equation کو سیمپل طریقہ یہ آپ عربیترالی x کی values چوز کرنا شروع کریں اور equation کے اندر دالیں اور پھر دیکھیں کہ y کی corresponding values کیا آتے ہیں مثال کے طور پر یہ اسکین پر آپ کے سامنے ایک گراف سا ایک ٹیبلس آئے جس نے میں نے کچھ values چوز کیا x کی اور corresponding y values پھر لکھییں جو اس x کی correspond کرتییں یہ اسکین پر بھی آپ کے سامنے تو اس میں یہ چند values جو میرے پاس آگئیں تو what is the point what do these things with these values mean تو یہ values بیسکلی کہتی ہیں کہ یہ وہ values ہیں جو x اور y کی جو اس گراف کو اس equation کو سیدسفائی کرتی ہیں یعنی obviously میں نے اس equation میں سے x کی values ڈالیں تو corresponding y کی نکلی نا values ظاہرہ these satisfy the equation تو now basically I have these values and I want to plot these I want to sketch them so to speak تو بڑا سان طریقے for each corresponding value in this table I had a y value so therefore I had a coordinate for a point in the xy plane تو ان کو اگر میں پلوٹ کروں گا تو I will get a sketch of the solutions to this equation لیکن یہ دیکھئے کہ y equals x square جو ہے اس کے اندر تو میں یہ سکویرنگ تیپ کی equation ہے یعنی میں کوئی بھی number ڈالوں گا اس کا سکویر نکلائے گا لیکن یہ دیکھیں کہ یہ تو میں کوئی بھی number ڈال سکتا ہوں کیونکہ ہر number کا real number کا x square ہوتا ہے تو the point is that there are infinitely many solutions to this equation I can keep putting them in and keep getting corresponding y values تو میں سپتو پلوٹ نہیں کر سکوں گا لہذا جو تیبل میں میں تھوڑی سی پلوٹ کی تھی جو values ڈیٹرمین کی تھی I will use those and I will plot those as a graph on the xy plane تو let's do that and here's the picture we get تو this picture میں آپ دیکھیے کہ you have a u-shape picture basically and I have plotted the points that I had in the table تو is that all though یعنی اس کے علاوہ بھی کوئی اور کچھ ہمیں کرنا چاہیے یقینن کرنا چاہیے اسولان تو ہمیں سارے points جو سکویر نکل سرسفائے کرتے ہیں پلوٹ کرنے چاہیے لیکن میں نے جیسے کہ there are infinitely many of those and nobody in this at least on this planet has that time to plot infinitely many points تو ہمیں سارے دیکھیں جو ساکنے کیا you will settle for an approximation یعنی جو پیکچھرہ بھی آپ کے سامنے سکین پی آئی we will take that as the the graph of the equation y equals x square you will keep it in mind this is an approximation لیکن it's a very good approximation we will say that this is the rough idea of what the graph should look like for some values of the solutions of this equation اچھا جی تو ایک ایک ایک زمبل اور کلتے ہیں off ڈرافنگ او سکچنگ گرافس او سیرٹن ایکویشنڈ یہ ایک اور ایک زمبل آپ کے سامنے ابی سکین پیاری ہے ایکویشنڈ is y equals 1 over x اور ہم چاتے ہیں اس کو سکچ کرنا تو اس کو کیسے گراف کریں گے اس کو بالکل اسی طرح سے کرلیتے ہیں جیسے پہلے والی ایکزمبل ہم نے کی اس میں آپ ایک ٹیبل بنائیے کچھ ویلیوز چھوز کیجے ٹیلیے اور ایکویشن میں ڈالیے اور سپارڈننگ ویلیوز جوائیں گی ان کو سمال کر کے ایک اوڈرٹ پیر بنائے وہ ایک رپریزن کرے گا point in the coordinate plane اور ان سب کو پلوٹ کیجے connect them and you get any sketch of the graph of that equation that's exactly what we'll do تو اس میں کچھ point صاحب کوئی بھی لی جی آسان سے ایکس کی ویلیو کے لیے نیچرل نمبرز ہو گئے ان کی کالکویشن آسان ہوتی ہے تو یہ ایک ٹیبل میں بناتا ہوں میں نے اپنی پسندے کچھ نمبرز اس میں لیے for example x could be 1 2 3 4 something like that اور اس کے بعد جب y کی ویلیوز ہوں گی وہ ریسی پروکلز ہوں گی اس ان ویلیوز کی تو ان کو جب میں پلوٹ کروں گا تو پکچھر میرے پاس کچھ ایسی آئے گی یہ فگر میں آپ کے سامنے اچھا نوٹ کیجے کہ یہ پکچھر تو آگئی ہمارے پاس لیکن اس میں کچھ پکچھر میں بھی آپ نوٹ کیجے گا کہ کچھ discontinuities یہ یعنی کچھ break سا ہے بیچ میں ایک کچھ سمیٹریسی نہیں ہے یہ میں رفلی سمال کر رہا ہوں لفاز we'll talk about symmetry in a second تو وہ یہ اس وجہ سے ہے کہ آپ اس میں divide 0 سے نہیں کر سکتے تو you cannot have x equals 0 and that's why there's a break in the graph in a sense so to speak. I'll let you think about that. We'll move on. اچھا جی اب next cheese جو ہم بات کرتے ہیں وہ ہے intercepts کی یعنی گرافن کے حوالے سے ہم بات کریں گے کہ what are known as intercepts of graphs تو intercepts کیا ہوتے ہیں basically intercepts are those ordered pairs in which you have one value either the x or the y as 0. تو depend کرتا ہے کونسی value 0 اس کے حوالے سے ہم ان کو نام دیتے یعنی اگر x کی value 0 ہے say you have for example some ordered pair a comma b اس میں a کی value اگر 0 ہے تو remember a represents the x axis تو اگر a کی value 0 ہے تو آپ کے پاس really جو پیر ہے وہ ہے 0 comma b تو اس کو گرہ پلوٹ کریں گے if you plot it on the coordinate plane or the x y plane you will actually be on the y axis your point will be on the y axis corresponding to that ordered pair obviously if you think about it it's pretty obvious similarly اگر آپ کی y value 0 ہے تو you will get something like a comma 0 your y value 0 in that case when you plot this point on the coordinate plane آپ کی جو پوئنٹ آئے گا وہ آئے گا x axis پر تو یہ آپ ٹریکر کے لئے دیکھ لیے بڑا سیمپل سی بات ہے point یہ ہے کہ جس میں جس ordered pair میں آپ کی value x کی 0 تی اس کو ہم کہتے ہیں x ڈرسپٹ اور جہاں پہ آپ کی y کی value 0 تی اس کو ہم کہتے ہیں y ڈرسپٹ اچھا جی تو اب ڈرسپٹ کی جو بات ہو رہی تو اس میں جو ہم نے ابھی بات کی کے کچھ value جہاں پہ x کی value 0 ہے اور ایک اور form دیکھی جہاں پہ y کی value 0 ہے ان کے سپیشل نام ہوتے ہیں they have special names for these kind of points جہاں پہ ہم کہتے ہیں کہ x کی value 0 ہے تو یعنی we have something like 0 ڈرسپٹ بی مثال کے طور پہ 0 ڈرسپٹ تو یہ point کہاں پہ لائے کرے گا یہ point لائے کرے گا on the y axis کیونکہ y کی value 2 ہوگی اور x کی value جو ہے وہ 0 ہے تو یہ آپ خود بھی ٹریکر کے دیکھ لی جی ہے that's exactly what will happen similarly اگر آپ کے پاس کوئی point ہے جس میں b کی value y value جو ہے آپ کی y value اگر 0 ہے مثال کے طور پہ 2 کمہ 0 تو یہ کھاں پہ لائے کرے گا and the coordinate plane یہ لائے کرے گا on the x axis where the point x equals 2 and y equals 0 یہ بھی آپ خود لی جی this is pretty straight forward تو in general whenever you have a point with one of the or the x value is equal to 0 that point lies on the y axis and if your coordinate y coordinate is 0 and you have a some number than that point lies on the x axis تو these are special names for them is intercepts in the one in the case where the point lies on the y axis we call it the y intercept and the point that lies on the x axis with y value 0 we call it the x intercept تو اس کے بارے میں بھی تھوڑی سی کچھ اس کی اس کے حوارے سے کچھ examples دیکھتے ہیں جو بھی آپ کے سامنے سکرین پہ آتی ہیں let's see what they are find all the intercepts of the following 3 equations equation number 1 ہے یہ پارٹ ای جو ہے اس کا وہ ہے 3 x plus 2 y equals 6 a second جو پارٹ ہے سکزمپل کا وہ ہے x equals y square minus 2 y a part c جو ہے وہ ہے y equals 1 over x تو اس کے پہلی کا سلوشن دیکھتے ہیں کیا ہے پارٹ ایکہ اس کے ہمیں انٹرسیپس معلم کرنے x انٹرسیپس and y انٹرسیپس so how do we find them اچھا اگر آپ definition آپ کو یاد ہو کے انٹرسیپ کیا definition ہے say we want to find the x انٹرسیپ تو x انٹرسیپٹ کا مطلب ہے کہ آپ کا جو جو y value ہے وہ 0 کی برابر ہوگی تو آپ یہی کیجھے کہ آپ کی جو equation آپ کو دیویے اس میں y کی جو value ہے اس کو 0 کر دیجے اور solve it for x whatever remains in your equation you solve it for x تو for example in case of the part a that we are doing we have with y equals 0 we will get 3 x equals 6 کیوںکہ 2 times 0 0 ہو جاتا ہے and when you solve it for x by dividing both sides by 3 you get x equals 2 تو یہ آپ کا ہو جائے گا ایک انٹرسیپٹ یعنی بیسکل جس آپ کہیں گے x انٹرسیپٹ یعنی y کی value 0 ہے x کی value 2 تو as a coordinate پر this would be 2 comma 0 and you can plot it when you plot it you will see it lies on the x axis so this is the x انٹرسیپٹ let's look at what happens when you try to find the y انٹرسیپٹ let's look at that یہاں پہ ہمارے پاس ہے کہ اب ہمیں y انٹرسیپٹ معلوم کرنے تو ہمیں ظاہر ہے x کی value 0 ہوگی by definition of what we mean by the way we define the y انٹرسیپٹ تو یہ اگر آپ اس میں y کی value 0 کر دیں اس equation میں part a کی تو you will get 2 y equals 6 and if you solve it for y you get y equals 3 تو یہ آپ کی آپ کی جو y equals 3 value ہے اس میں ذائرہ corresponding x value جہوگی 0 ہوگی تو this would be the y انٹرسیپٹ of this equation and the point actually this coordinate would lie on the x axis and it'll be 3 0 3 that's your y انٹرسیپٹ let's move on اچھا تو equation جو ہمارے سامنے بھی سکرین پہ ہے یہ ہے y equals 1 over x اس کے ہمیں انٹرسیپٹ معلوم کرنے so we have to find the x and the y انٹرسیپٹس start کرتے ہیں x انٹرسیپٹ سے what is the x انٹرسیپٹ x انٹرسیپٹ ہوتا ہے جہاں پہ y equals 0 ہو تو if you set that equal to 0 y کو 0 in this equation you get 1 over x equals 0 اب اس پہ درہاں خور کی جی 1 over x equals 0 کا کوئی سلوشن نہیں کیوں کیا کیوں کیا آپ ملٹپلائے کریں بوث سائٹس by x you get 1 equals 0 so of course there can't be any solutions otherwise you'll get 1 equals 0 which is totally contradictory سمجھرلی اگر آپ اس کے y انٹرسیپٹs معلوم کرنا چاہیں گے تو اس میں x equals 0 ہونا چاہیے but if you do that you're dividing by 0 which is also not allowed تو اس کی کنکلوژن کیا ہے کنکلوژن یہ ہے کہ اس میں اس ایکویشن میں you don't have any انٹرسیپٹس I mean in either case if you try to find the x انٹرسیپٹ or if you try to find the y انٹرسیپٹ you don't have you don't you get contradictory statements or things you don't like in mathematics so to speak and that's why you basically say that you don't this equation doesn't have any x or y انٹرسیپٹس let's move on اچھا اب نیکس topic جو ہمارا ہے اس لیکچر کا وہ ہے سیمیٹری تو سیمیٹری کیا چیز ہوتی ہے let's show you something actually screen پے ایک میں ایک ریکٹانگل بناتا ہوں and put some points on it and you'll see what I mean best symmetry let's look at that یہاں پے دیکھئے کہ ایک انچار points کو گر آپ لیں یعنی میں arbitrary points ہی بات کر رہوں I won't be talking about پرٹیکلر پوئنس let's say we have points x comma y x comma minus y and we have the points x comma I'm sorry we have minus x comma y and we also have minus x minus y یہ چار پوئنس ہیں جو کے چار different quadrants میں لائے کرتے ہیں of the x y plane note کیجے کہ if you join them they form a rectangle تو یہ چار پوئنس ہیں جو ریکٹانگل فارم کر رہے ہیں ان کے اندر سیمیٹری ہے some kind of an idea of symmetry I mean just by looking at the rectangle I think you can see what I mean اگر آپ ان دو پوئنس کو دیکھیں let's go back to the screen یہاں پے دو پوئنس چہیں x comma y and the point x comma minus y ان میں سیمیٹری یہ کہ they are mirror images across the x axis یعنی جو x y ہے اس کے بالکل نیچے right on the bottom of that is the point x comma minus y جب یہ سیوشن ہوتی ہے تو ہم کہتے ہیں کہ these two points x y and x comma minus y are symmetric about the x axis اسی طرح سے اگر ہم پوئنس کو دیکھیں یہ دو پوئنس ہیں x اور y and minus x and y تو they are symmetric about the y axis because in a sense these two are mirror images across the y axis اور ایک تیسرہ point of symmetry جیسے ہم کہتے ہیں وہ ہے اور سیمیٹری جو پوئنسہ جیسے ہم کہتے ہیں وہ ہیں دو پوئنس x اور y اور دوسرا پوئنٹ ہے minus x minus y اس میں سیمیٹری ہے اسر ڈیس تو eyes are symmetric about the origin یعنی اگر آپ اور까요 کے ہوار کو ایک تن سی آپ دیکھے ہیں as a mirror these two are mirror images of each other across the origin اچھا یہ سیمیٹری کی ہم نے بات کیا this is how we define symmetry let's do an example I mean دیکھیں کے کیا مخصد کی ہے ساری سیمیٹری کی جو ہم نے بات کی کہ ہم مجھے روحوں کو دانے کے جانتے ہیں کہ ہم میھا مجھے روحوں کو دیتے ہیں؟ تو ہم اس کو سمال کر سکتے ہیں جب ہم گراffe کرتے ہیں جب ہم جاتی ہے وہ بانکی بارتے ہیں جس کو مجھے گراف کو د verdict ہے کہ سیمیٹری کیا روحوں کو ساعدتی ہمنا خبری پیدا کرنے کے لئے یا ہم سیمیٹری کھار پرپٹی سوڑی کسے کافی جلدی گراف بنا سکتے ہیں تو ایک سڑیکوجہ ہی جانتے ہیں سمجھا ہے کہ ہم دے لیا کیا کہ کہیں now let's look at that. Advanced exampel ہے کچھ ہوں کہ it says sketch the graph of the equation y equals 1 eighth times x to the power 4 minus x square. تو اس کا solution کیا ہوگا بسیک لیئے گرف ہوگا let's say that the graph is symmetric about y axis اور لیکن میں یہ کہہ کر رہوں کہ the graph is symmetric about the y axis کیوں کہ ہم کہا ہوں؟ یہاں پیسہاہر اُس خالص سے ظاہر ہو جائے گا کہ اگر آپ کو کوئی جتش کرناو یا ڈیریمین کرناو کہ سمیتریک لئے بھی کبھی'dا یا اگر وہاں پہالی میں اجلی بھی یہ تمہیں کہ آپ کو پہلے بھی آپ کے سے لیکن کبھی اگر ہم یہاں پہلے بھی کبھی aren't کہ لوگات پر وہل aم شکروں وہل یہ بھی اسی سمیتریک لئے جو ایک ڈیری اگر یہی ہے BEN you Substitute minus X for X in your given equation that gives you y equals 1 over 8 multiplied by minus X to the power 4 minus the minus of X squared in your given equation which simplifies if you do that simplification it basically reduces to the original equation now why does it reduce to the original equation well its pretty straight forward if hopefully you remember that when you square any輕ان او ہم ہے لہذا وہ اپنی بہت سار ہونے آج کے就是 میں ہوتا ہے کہ ان کا ایک ایک بہت سارکہ او ہر ہنہت سار ہونے کا ہونے کی جان کنیچتے ہیں اور لوگ انکتہ حادث پر بہت سارکھکا ہوتا ہے اس بارہ ایک بہت سارکہ ہوتا ہے Presidential بھی ہوتا ہے وہ ایک ب سے بہت سارکہ ہوتا ہے اس بارہ ایک بہت سارکھے ہے because the minus is already gone that's why we have the fact that in this case the result came out to be the same as the original equation so what does that mean اگر آپ کا ایک وی آر بیٹری پوینٹ آپ نے لے کے اس کا negative of the x substitute کی ایکویشن میں آپ کے پاس وہی ایکویشن آگی that tells you that indeed the given equation is symmetric about the y axis so that's what we can use to graph our equation let's look at that اچھا جی تو اب سیمیٹری تو ہم نے معلوم کر لی کے اس ایکویشن میں کنسی ہے it's symmetric about the y axis what is it help how does it help us in terms of graphing تو گرافنگ میں سنہا help کرتی ہے کے نور تیجے کے once I know the symmetry all I need to graph or plot on the on the graph the sketch that I need to make is all those values of x that are on the right hand side of the origin are basically which are bigger than equal to 0 I need to plot them only and all the points that which are basically negative are on the left hand side of the origin I don't need to actually plot them because I can get their picture from the symmetry that I just saw in this equation I'll draw a picture اُس میں دیکھنے پکچر سے کنہ کیا چاہ رہا ہوں how can I actually do this the picture will actually make it very clear so here's the picture on the screen تو اب ایک ایک ایک سامپل اور کر لیتے ہیں I know it's a lot of examples کافی کر لیے ہم نے بھی تک لیکن just one more just to wind it up and actually I'll make it interesting how but if I just put it on the screen and just tell you what it is and I'll let you do most of the work آپ زیادہ تر کام اس میں کر لیجے گا I'll let you do most of the work میں اِس کا تھوڑا سے بارے کچھ بارے میں کچھ کر دیتوں I'll let you do most of the work میں اِس کا تھوڑا سے بارے کچھ بارے میں کچھ کر دیتوں تو سکین پر آپ کے میں ابھی ایک سامپل لکھتوں the example is ایک سامپل ہے sketch the graph of x equals y squared اس کو ہم کیسے سولف کریں گے؟ اس کو ہم کیسے سولف کریں گے؟ تو نوٹ کیجے کہ x equals y square جو ہے اس کو اگر ہم سمپلیفہ کریں گے ہم سکویر روٹ لیں to get everything in terms of y equals everything else ہم کیسے سولف کریں گے؟ ہم ایک سولف کریں گے y equals the square root of x and y equals the negative square root of x remember that definition we talked about in the lecture lecture number 2 I think about square roots that's what we're using here اب I think this is basically what I'll say in terms of this example and as far as the graph goes I'll let you look at it and exploit any symmetries that exist in this equation and again کیسی سمپلیفہ کیسے سولف کریں گے؟ ہم نے دیکھا کہ we substitute certain points certain values corresponding to the original point any arbitrary point you pick x and y pick a point that you think is symmetric and substitute it into the equation and you get the result which tells you if it's symmetric or not with respect to that certain axis I'll let you do it in this case and of course the textbook is there آپ ٹیکس بک میں اس کے بارے میں بھی معلومات حاصل کر سکتے ہیں تو یہ آپ خود کر لیجے گا and I think this is it for this lecture اس میں آج ہم نے بڑے مجھے کی باتے کیا ہی؟ کچھ hopefully you enjoyed it again as usual کیا باتے کیا ہی؟ we talked about graphs basically یہاں پہنے ہم نے بہت crucial lecture basically سنائے میں نے جو آپ سے باتے کیا ہی اس میں وہ یہ تھا کہ the crucial point کیا تھا the crucial point یہ تھا کہ how to portray algebraic ideas geometrically and vice versa so that's basically what we talked about we saw how to explore the symmetry of graphs what it means to be a graph and stuff like that so I hope you enjoyed this and آپ سے اگل لکشتہ کے لیے جازت and I'll see you next time اللہ افیس