 On s'intéresse à la dérivation de mesures de guips non linéaires à partir de la mécanique quantique dans une limite de type champ moyen. Dans le cours d'aujourd'hui, ce que je voudrais faire, c'est vous présenter quelques-uns des outils classiques, donc essentiellement quelques-unes des propriétés très classiques de l'entropie et de l'entropie relative quantique dont nous aurons besoin pour résoudre ce problème. Je ne vais pas vraiment rappeler, même s'il y a des nouveaux arrivants, je ne vais pas vraiment rappeler le problème principal qui nous intéresse. Le cours d'aujourd'hui est assez indépendant du reste. En fait, dans cette quatrième section, je voudrais vous parler d'inégalité matricienne et d'entropie. C'est un sujet très intéressant et un petit peu surprenant dans le sens où on va faire de l'agébre linéaire en dimension finie très simple. Il y aura beaucoup de questions en apparence très simple qui, en fait, ont mis beaucoup temps à être résolues. Finalement aussi avec des preuves très simples, questions qu'on peut faire en premier cycle parfois. Et pourtant, on a besoin de certaines de ces inégalités pour résoudre notre problème. Donc pendant un petit peu moins d'une heure, j'espère vous parler de ces inégalités. Et on fera tout en dimension finie avec des matrices hermétiennes, mais après tout, c'est en dimension infinie avec des opérateurs compacts. Mais je n'en parlerai pas trop. Avant tout ça, je vous rappelle ce qu'est l'entropie. Dans le cas classique, je rappelle qu'on se donne à un miltonien H, une fonction sur l'espace des phases. Et puis, on regarde le problème variationnel vivant qui est 1, en fait, mine, de l'intégrale de H rho plus T l'intégrale de Rho log rho et qu'on minimise surtout les probabilités. Donc rho est une fonction positive, l'intégrale est à la 1 et on est sur un ensemble M dans R grand D. Typiquement, M est souvent Rd croix Rd quand vous avez installé un miltonien avec position et vitesse. Et je vous rappelle que la valeur de cet infe est en fait moins T le log de l'intégrale de exponentielle moins H sur T et que c'est atteint par la probabilité Rho qui vaut exponentiellement H sur T. Faut un facteur de normalisation, Z qui est justement l'intégrale, c'est ce qu'on appelle la fonction de partition. Alors une manière de voir que c'est atteint, donc je vais peut-être appeler Rho 0, ce minimiseur, une manière de voir que Rho 0 est le minimiseur absolu, c'est de regarder cette énergie. Donc ça, c'est l'énergie libre, énergie moins T fois l'entropie. L'entropie, c'est moins l'intégrale de Rho log Rho. On peut regarder l'énergie libre de Rho moins l'énergie libre de Rho 0. Donc si vous appelez F de Rho qui est l'intégrale de H Rho plus T Rho log Rho, vous faites un petit calcul, vous montrez que F de Rho moins F de Rho 0. Rho 0 étant cette probabilité ici. Peux s'écrire de la façon suivante, ça peut s'écrire T l'intégrale de H Rho Rho 0 ou H xy, c'est x log de x sur y, qu'on appelle l'entropie relative. Et que vous pouvez aussi écrire, moi j'aime bien l'écrire F de x moins F de y, moins F prime de y, x minus y, ou F de t, c'est la fonction t log t, qui est une fonction convexe. Et sous cette écriture, vous voyez bien que tout ça est positif et que c'est atteint, comme si une fonction strictement convexe, c'est seulement si x égal à y. Et donc vous démontrez bien que Rho 0 est l'unique minimum de ce problème variationnel. Ce qui nous intéresse aujourd'hui, c'est de savoir ce qui se passe dans le cas quantique. Avec toujours cette idée que donc une fonction Hamiltonienne classique est remplacée par un opérateur, une probabilité est remplacée aussi par un opérateur gamma, qui est un opérateur auto-adjoint positif au sens des opérateurs dans la trace v1. C'est ce qui remplace les probabilités et que l'intégrale est remplacée par la trace. Donc le problème variationnel qu'on doit regarder, on en avait déjà parlé, c'est la trace de H gamma ou H est maintenant un opérateur donné sur un espace de Hubert et pensez qu'on est en dimension finie n pour simplifier plus T la trace de gamma l'op gamma. C'est le problème qu'il faut regarder. C'est l'énergie libre du système, énergie, moins T fois l'anthropie. Et donc on regarde ce problème de minimisation sur tous les opérateurs dans le respect très positif et dans la trace v1. Et donc ce que je vous dis, mais on verra aujourd'hui, c'est que l'unique solution est atteinte pour gamma 0 qui vaut un facteur de normalisation exponentiellement H sur T qui est l'état de Gibbs à température T. Donc Z, c'est ce qui rend cet opérateur de trace 1. Donc c'est juste la trace exponentiellement H sur T. Et la valeur de l'énergie, c'est moins T, le log de Z, c'est à dire de la trace exponentiellement H sur T. D'accord ? Et si vous faites les mêmes manipulations que là-bas, donc ça je vais l'appeler F de gamma, c'est l'énergie libre de l'état gamma. Vous allez voir que F de gamma moins F de gamma 0. Vous pouvez l'écrire T fois H de gamma gamma 0. J'aurais dû l'appeler H classique là-bas. D'ailleurs dans le H je ne vais pas mettre l'intégral. Bon, enfin, ce n'est pas très important. Mon H quantique va contenir la trace. Donc H de AB de deux matrices AB, c'est juste la trace de A. Alors évidemment là, il faut faire attention parce que ça commute plus, donc on ne peut pas écrire A sur B. Donc on écrit log de A moins log de B. Et un petit calcul vous montera que ça peut aussi s'écrire F de A moins F de B moins F prime de B à moins B. F, c'est toujours T log T. D'accord ? Et donc en fait, cette fonction des deux matrices gamma et gamma 0 est positive. On va expliquer pourquoi. Et ça nule seulement quand gamma vaut gamma 0. C'est une espèce de distance, tout comme la fonction là-bas, une espèce de distance sur les probabilités, sur les mesures de probabilité. Donc ça, c'est l'anthropie. Donc le H, c'est l'anthropie relative quantique. Et donc dans la preuve de notre théorème de dérivation des mesures de Gibbs, que je ne vais pas rappeler aujourd'hui, on aura besoin de propriétés fines à la fois de l'anthropie. L'anthropie, c'est moins la trace de gamma log gamma et de l'anthropie relative qui est la trace de A log gamma moins log gamma 0. Et les questions qu'on se pose principalement, c'est est-ce que les propriétés qui sont faciles à démontrer dans le cas classique, auquel cas on a une fonction de variable essentiellement qui est intégrée. Donc propriété de convexité, de positivité, tout ça. Est-ce qu'elles sont encore vraies dans le cas quantique où là on a des objets qui commutent pas et ce qui peut du coup rendre les preuves beaucoup plus difficiles. Donc tout ce que je vous dis est connu et assez classique mais dans une communauté un petit peu restreinte. Et chaque fois que j'ai eu besoin d'inégalité matricielle, c'était toujours un petit peu difficile de trouver où elles étaient démontrées et donc c'est pour ça que j'ai pensé vous faire un petit peu moins d'une heure une liste de ce qui est très utile pour résoudre ce type de problème. Donc les références classiques, c'est le livre de Batia, Matrix Analysis. Et vous avez un cours de Éric Carlin qui s'appelle Trace Inequalities and Quantum Enchopie, an introductory course qui date de 2009 que vous pouvez trouver sur Archive. Tout ce que je vais vous raconter n'est pas tout à fait dans ces livres mais vous pouvez un petit peu étaler bien. Donc on va commencer par parler de croissance juste pour s'échauffer un petit peu. Donc si vous prenez une fonction F qui est croissante sur un intervalle I, intervalle de R à valeur réelle, c'est à peu près évident que la fonction qui a une matrice auto adjointe associe la trace de F2A et aussi croissante au sens suivant. Ou si vous avez A qui est inférieur au égal à B au sens des matrices, et si le spectre de A et le spectre de B sont inclus dans I, vous aurez que la trace de F2A va faire égal à la trace de F2B et la preuve c'est juste parce que par le principe de courant ficheur vous pouvez calculer toutes les valeurs propres avec le mille max et vous voyez que les lambes d'ACA sont tous, enfin les lambes d'ACA2A sont inférieurs égaux aux lambes d'ACA2B. Donc ça c'est facile. On peut se poser une question un petit peu plus subtile qui est pour quel F on a croissance au sens des opérateurs, c'est à dire que A plus petit que B est toujours avec le spectre de A et de B inclus dans un intervalle I. Pour quel F on aura que F2A et un four égal à F2B encore au sens des opérateurs, et là pour le coup c'est en fait beaucoup plus subtile mais bien connu. Donc vous avez un théorème célèbre qui est dû à l'ovner qui dit que je veux l'écrire pour I égale moins un 1 mais ça change rien, vous pouvez prendre n'importe quel intervalle. Donc si vous prenez une fonction qui continue sur moins un 1 à valeur réelle, alors elle vérifie cette propriété donc on dit que F est opérateur croissante, donc qui est opérateur croissante. Alors en fait de telles fonctions il y en a très très peu, il y en a presque pas. Déjà ils sont c'est infinis, alors F est bon même analytique, enfin c'est infinis de moins un 1 et en fait il existe une unique mesure de probat mu sur moins un 1 tel que F peut s'écrire donc F va être essentiellement une moyenne d'AX plus B et puis des résolvantes, c'est à dire 1 sur X plus B. Donc le théorème vous dit comme c'est ensemble évidemment qu'on vexe, le théorème vous dit que ce qu'on vexe est tout petit et les points extrêmement on les connaît c'est les AX plus B et les 1 sur X plus B. Donc il n'y a pas de T, qu'est-ce que je fais ? Donc F2O plus F prime de 0 et l'intégral de moins un 1 de T sur un moins l'ambit de T, des mu de l'ambit d'A, d'accord ? Donc ce théorème vous dit qu'être opérateur croissant c'est en fait très très très très fort et il y a très peu de fonctions qui vérifient ça et en fait c'est ainsi seulement si, sauf que l'autre sens c'est facile. Voilà. Donc ce qui va surtout nous intéresser, nous c'est la convexité. Donc là je vous ai parlé de croissance pour s'échauffer. On va parler de convexité. Donc vous prenez maintenant une fonction convexe toujours sur un intervalle I à valeur réelle et vous vous demandez donc l'M, l'application qui a toute matrice A dont le spectre est dans I, j'écris pas, qui associe la trace de F2A et encore convexe. Donc ça c'est ce qui correspond à cette partie ici. Donc vu sur l'ensemble des matrices dans le spectre et dans I, ça s'afforme une fonction convexe et donc en particulier l'application qui a A associe la trace de A log A et convexe pour toutes les matrices dans le spectre et positif. Donc toutes les matrices, peut-être je dis positive, ça c'est important, on va s'en servir. Donc c'est moi l'entropie, l'entropie qu'on cave et moi l'entropie, une fonction convexe de l'État. Donc comme on va en avoir besoin de nombreuses fois et que c'est un cours, je vais faire la preuve de cette petite chose pas difficile du tout. Donc le LEM repose sur un autre LEM qui est aussi lui-même très utile qui s'appelle Piers-Pogolubov et qui vous dit que si vous avez une fonction convexe, alors en fait vous avez une inégalité un petit peu meilleure au sens où si vous prenez un vecteur X de norme 1, alors vous avez que X F de A X, le produit scalaire, contrôle F de X à X. Bon ce LEM est vraiment très simple. La preuve, si on se met dans une base ortho-normale de vecteurs propres de A et dans ce cas là on voit que c'est la somme des F de l'ambdaille XI carré qui est bien plus grand que F de la somme des l'ambdaille XI carré, enfin c'est la convexité. Et comment on montre la convexité de l'application trace là-haut, donc la preuve du premier LEM. Bon c'est en gros là, c'est une conséquence assez facile. Donc vous prenez deux matrices A et B et vous regardez TA plus un mot ATB, je vais la placer et vous prenez Y, un vecteur propre de C et vous regardez Y F de C Y qui bien sûr égale à F de Y C Y puisque c'est un vecteur propre, c'est-à-dire à F de T Y à Y plus un mot T YB Y. Vous utilisez la convexité de le 2F, vous trouvez T F de Y à Y plus un mot T F de Y B Y et ensuite vous utilisez le LEM précédent qui vous dit T Y F de A Y plus un mot T Y F de B Y et quand vous remettez tout ensemble vous voyez qu'on a démontré ce qu'il fallait, il suffit ensuite de sommer sur tous les vecteurs propres de C et vous trouvez la trace des deux côtés. C'est donc quelque chose de très simple qu'on peut faire en premier 6, petit exercice. Alors souvent on utilise une autre version de la même chose où on remplace le T par un opérateur. Vous avez un autre LEM qui est dû à Hansen-Petersen qui dit que si vous avez une famille de matrice XK qui vérifie que la somme des XK et XK étoiles vaut 1. Bon c'est une somme finie mais en fait on peut même généraliser à des sommes quelconques. Alors F de la somme des XK à K XK étoiles et plus petit que la somme sur K des traces des XK F de A K, XK étoiles. Donc c'est la même chose sauf que les coefficients pour la convexité, on les remplace par des opérateurs et ça ça va vraiment être très utile on va s'en servir plusieurs fois et la preuve est la même. Vous prenez Y un vecteur propre de la somme des XK à K XK étoiles. D'accord et vous faites la même chose que tout à l'heure donc vous regardez Y je l'appelle C, F de C Y qui est égal à F de Y C Y c'est-à-dire à F de la somme sur K des XK étoiles Y à K XK étoiles Y. Bon et ensuite la manière d'interpréter cette somme ici c'est de penser que c'est F d'une très grande matrice qui est A1 jusqu'à A grand K faisant le cas d'une somme finie, une matrice par bloc et ensuite ici vous avez un grand vecteur colonne qui est X1 étoiles Y etc. XK étoiles Y et vous prenez le produit scalaire avec le même et ensuite vous appliquez l'inégalité précédente et vous trouvez le résultat. Donc la seule chose qu'il faut vérifier c'est que le vecteur ici est normalisé mais il est normalisé juste à cause de l'hypothèse que la somme des XK, XK étoiles c'est l'identité. D'accord donc c'est le même argument simplement on utilise le fait qu'on peut varier la dimension comme on veut et on se place avec une matrice beaucoup plus grande. Donc ça c'était pour la convexité de la trace de F2A lorsque F est une fonce en convex. Maintenant on peut se demander la question naturelle c'est quand est-ce qu'une fonction F est opérateur convex, c'est à dire vérifie que F2TA plus simple à TB est vraiment inférieur au égal au sens des matrices à TF2A plus simple à TF2B. C'est la définition de opérateur convex et tout comme les fonctions qui sont opérateurs croissantes c'est une classe très petite. Les fonctions sont toutes c'est infinies donc ça c'est un théorème qui est aussi dû à Hansen, Pedersen et aussi à Levenin. Donc il vous dit que si vous avez F, nous fonçons continu sur manzan1 quand toujours à valeur réelle qui est opérateur convex. Alors en fait elle est c'est infinie et elle vérifie que F de la somme des xk à k xk étoiles est inférieur au égal à la somme des xk F de la k xk étoiles. Oui. Un truc que je comprends pas, une fonction est convex à l'heure à l'opérateur convex et que si une fonction est opérateur convex à l'heure à l'essai infion. Je la suppose opérateur convex d'ailleurs c'est facile d'en déduire qu'elle est forcément convex. Si elle fait croissant, il n'est pas opérateur croissant. Parce qu'elle est forcément c'est infinie et vérifie ça. Donc les fonctions opérateurs croissantes ou opérateurs convex c'est tout petit comme classe, il n'y a pas grand monde. Mais dedans il y aura x log x c'est pour ça que c'est très important. D'accord donc quand une fonction est opérateur convex alors en fait elle est très lisse et elle vérifie cette inégalité au sens des opérateurs et par ailleurs il existe une unique probat mu sur moins un 1 tel que F se décompose encore comme tout à l'heure sauf que c'est l'intégral de ce qu'on avait tout à l'heure pour en fait vous intégrer en gros la formule de tout à l'heure et vous trouvez ça. Je ne sais pas un point extrêmement mais par contre c'est dedans, ça c'est le corollaire que je voulais annoncer. Donc le corollaire c'est que si vous regardez F2t qui vaut t puissance R donc ça c'est opérateur convex quand R est entre 1 et 2, vous voyez que c'est même si c'est seulement 6. Et puis si vous faites en R vers 1 vous allez réussir à démontrer que F2t qui est tel octet est opérateur convex. Donc pour nous ça va être très important le fait que la fonction qui est utilisée pour fabriquer l'anthropie elle est pas juste convex, elle est en fait opérateur convex et c'est vraiment une propriété cruciale de l'anthropie, ça ne marcherait pas avec d'autres fonctions convexes. Moralement ça a l'air d'être un truc pour moi j'ai vécu pourquoi est-ce qu'on a besoin de c'est infinie ? On n'a pas besoin de c'est infinie, encore on parle de continu et on en déduit quel est ça ? En fait elle est même analytique, on démontre que F a nécessairement une extension de mi-plan supérieur et qu'elle est analytique sûrement un ou l'autre. C'est la théorie de choqué, exactement. Donc on regarde l'ensemble des fonctions qui vérifient tout ça et on calcule les points extrémaux explicitement et en fait la première étape et toutes ces propriétés sont équivalentes. Donc on suppose qu'elle fait continue et elle est opérateur convex si elle seulement si elle vérifie ça ou si elle seulement si elle vérifie ça. Et montrer qu'une fonction opérateur convex vérifie forcément, enfin c'est équivalent à vérifier l'inégalité de l'Anson Pedersen, c'est ce qu'ils ont fait et on se sert de cette équivalence pour en déduire l'existence de mu et la régularité aussi. Tout ça c'est pas totalement évident, ça prend un certain nombre de pages et tout est fait dans Batiya dans le livre que je vous ai cité. Vous voyez que là je suis resté assez général, je parle d'une fonction quelconque parce que l'idée, la philosophie qu'on a quand même c'est que ce qu'on réussit à faire avec X log X on aimerait bien le faire avec n'importe quelle fonction pour pouvoir construire des mesures invariantes qui ne soient pas nécessairement basées sur la gaussière. Le problème c'est qu'on a besoin de tellement de propriétés très fines sur l'entropie et sur l'entropie relative que finalement on n'arrive pas à travailler dans une très grande classe de fonctions pour l'instant. Ce qu'on a plutôt c'est une liste de propriétés très importantes qui apparaissent naturellement quand on regarde des problèmes de physique statistiques et qui apparaissent aussi naturellement dans nos problèmes à nous. Et ensuite on regarde l'ensemble des fonctions qui vérifient ces propriétés et pour jusqu'à présent ça l'ensemble assez petit. Donc ça c'était pour opérateur convex. Maintenant je voudrais parler de fonctions de deux variables. Là je vous ai donné les propriétés de fonctions d'une seule variable matricielle mais nous l'entropie relative c'est une fonction de deux matrices et qu'on ne mute pas ce qui posait problème bien sûr. Donc je vous rappelle que l'entropie relative H de AB est définie comme la trace de A log A moins log B pour les matrices AB qui sont positives. En fait généralement ce restreint aux matrices dans la trace au 1 du moins pour que cette formule soit valable. Et ça je vous rappelle aussi vous pouvez l'écrire F2A moins F2B, moins F' de B à moins B avec F2T qui était log T. Faites ce petit calcul vous verrez que pour passer de la formule 1 à la formule 2 on utilise le fait que la trace de A égale à la trace de B. Physiquement la trace de A et la trace de B sont tous les deux égaux à 1 mais en fait on peut regarder l'entropie relative pour des matrices pas forcément normalisées mais dans ce cas là il vaut mieux prendre la deuxième formule que la première parce que ce sera toujours positif. Sinon ça diffère d'une constante la différence des traces. Donc quand on parle de fonctions de deux variables la première propriété classique c'est un M qui est dû à Klein. Alors il faut faire un petit peu attention en effet donc nous on travaille avec des matrices. A et B sont des matrices hermétiennes d'accord on est en dimension reine d'accord. En fait ça va être intéressant et on aura besoin de le définir en dimension infinie mais pour l'instant on en parle pas on parle de matrice, le taille finie et la seule question du coup c'est F' de B qui diverge en 0 mais dans ce cas on suppose simplement que 0 n'est pas valeur propre de B et en fait si 0 se trouvait une valeur propre de B on peut démontrer que la formule a 100 fait sens mais dans ce cas là 0 devra aussi être valeur propre de A et avec le même vecteur propre. Et après du coup on peut oublier ce sous-espace et travailler avec des matrices définies positives d'accord. Donc pour l'instant là je suis un peu flou donc pensez simplement à des matrices qui sont toutes les deux définies positives mais après on peut faire un passage à la limite et traiter le cas où 0 est dedans. Donc le Leme de Klein c'est ce qui va nous dire que cette fonction est positive sauf que c'est un Leme légèrement plus général qui vous dit que si vous avez une fonction de deux variables qui est positive en tant que fonction de deux variables on veut dire que la trace la fonction appliquée A et B est encore positive. Le problème c'est qu'on a un problème d'ordre. Les objets ne commutent pas et donc quand on a une fonction de deux variables on sait pas définir H de AB. On sait très bien le définir et surtout qu'on va prendre la trace on n'aura pas de problème à le définir lorsque H est une combinaison de produits de fonctions de X faut des fonctions de Y. Il n'y a pas de problème d'accord parce que l'ordre n'importe pas du coup vu qu'on prend une trace d'accord donc on suppose que H est une fonction qui s'écrit comme une somme de produits de fonctions de Y X fois des fonctions de Y. Somme finit mais tombe et après bien surtout se généralise la dissonquée conque qui est positive sur Y. Alors la trace de H de AB est aussi positive quand le spectre de A est inclus dans Y et le spectre de B est inclus dans J et les matrices sont toutes les deux ermiciennes et cette trace est interprétée au sens où je mets d'abord FK2A et après GK2B ou l'inverse à un porte peu mais je ne les mélange pas. Je décide de mettre soit tous les A à gauche et les B à droite soit l'inverse et la trace est la même. Donc voilà pour ce petit l'M et la preuve est très simple. Encore une fois on diagonalise A et B donc AVI égale lambda IVI, BWI égale muIWI et puis on calcule la trace de H de AB qui va être égale à la somme sur Y et la somme sur J et on remplace juste très facile et du coup on trouve aussi la somme sur K des CK et donc on va voir ici FK de lambda I et GK de muIJ et puis ensuite on aura la trace du produit des deux projecteurs qui va juste donner VI, produit scalaire avec double VJ au carré et donc vous voyez qu'il suffit d'utiliser que cette fonction ici entre crochet et positive et c'est bon. Donc quand on a des fonctions de deux variables qui peuvent s'écrire comme des sommes de produit il n'y a pas de problème si on sait que c'est positif alors ça reste positif et donc vous voyez immédiatement le corollaire c'est que si vous avez F une fonction convexe du coup nécessairement vous pouvez définir une espèce d'entropie relative associée à F qui est HF de AB qui est la trace de FTA moins F de B moins F prime de B à moins B et ça ce sera toujours positif. Et du coup l'autre corollaire pour notre entropie relative dont vous prenez F de T égale T log T vous en déduisez en fait que dans ce cas là j'écris pas le F c'est la vraie entropie relative on en déduisait que c'est toujours positif ou nul et en fait on peut même faire un petit peu mieux en étudiant précisément la fonction F on peut en fait démontrer qu'on a même que l'entropie relative donc avec X log X contrôle un demi de la trace de à moins B carré et là pour le coup pour avoir ça il faut que A et B soient tous les deux entre 0 et 1 ce qui est le cas s'il est trace val 1. Donc vous voyez bien que l'entropie relative est une espèce de forme de distance mais pas tout à fait ça vérifie pas l'ingérité triangulaire mais en tout cas c'est nul si c'est seulement si A égale B et en fait ça contrôle le carré d'une distance donc proche de 0 c'est plutôt un carré mais après plus loin c'est pas vraiment un carré c'est un objet un peu compliqué mais du coup ça ça vous donne une preuve immédiate du fait que l'état de Gibbs et l'unique minimiseur du problème dont je vous ai parlé puisqu'on pouvait écrire l'énergie libre d'un état gamma quelconque moins l'énergie libre du gamma 0 dont on pensait qu'il était minimiseur comme H et donc on sait que c'est positif ou nul et que c'est nul si c'est seulement si gamma égal à gamma 0 et comment on démontre ça bah c'est facile il faut étudier la fonction de deux variables X log X moins log Y et montrer qu'elle est sur 0,1 au carré est ce minor par un demi de X moins Y carré et ensuite ça suit de Klein puisque toutes les fonctions peuvent s'écrire comme des sons de produits de fonctions de fonctions de A fois des fonctions de B donc voilà donc ça c'est pour les premières propriétés faciles de l'entropie relative je voudrais finir avec un théorème important qui est dont je vous rappelle on a la définition donc je parle vraiment de F égal T log T peut-être j'écris en théorème F2T égalité log T et l'entropie définit comme ça alors en fait c'est cette entropie va être une fonction convexe de la paire AB et convexe d'accord donc c'est beaucoup plus c'est assez facile de démontrer que si vous fixez A ou que vous fixez B c'est convex dans l'autre variable parce que c'est on l'a déjà fait mais montrer que c'est convex dans les deux variables c'est en fait un problème très difficile qui a été ouvert pendant de nombreuses années et qui a été résolu par Lib dans les années 70 alors du coup on a une autre propriété du même type qui est que si on a que la somme des X k et toi l'X k est égal à 1 donc un petit peu comme tout à l'heure sauf que les les toiles a été inversées attention on a une inégalité de ce type que H de la somme des X k à X k étoiles et la somme des X k B X k étoiles et un fer au égal à la somme sur k des H de X k à X k étoiles X k B X k étoiles qui est un fer au égal à H de AB donc une fois de plus comme vous pensez que la somme fait 1 ici c'est un petit peu comme une convexité où les poids sont des opérateurs et cette inégalité va jouer un rôle crucial comme vous allez le voir la semaine prochaine et de tout ça on peut en déduire une troisième inégalité qui est que si votre espace ambiant se trouve être le produit tensoriel de deux espaces donc là je fais une hypothèse supplémentaire et si on définit la trace partielle par rapport au deuxième espace d'une matrice A donc ça c'est ce qui est caractérisé par le fait que la trace de B tensor un A vaut la trace de B la trace de A d'accord donc par dualité on peut définir la trace partielle et c'est juste c'est comme pour les probabilités c'est faire une marginale on intègre les variables de v2 et on garde que les variables de v1 c'est juste une marginale alors l'entropie relative de les matrices où on prend les traces partielles et un fer au égal aux matrices initiales donc voilà le théorème principal sur l'entropie relative ça a l'air un petit peu technique mais chacune de ses propriétés est importante et joue un rôle très important en physique statistique et aussi un peu en théorie quantique de l'information aujourd'hui on utilisera pas beaucoup l'entropie relative mais ce théorème sera notre outil principal la semaine prochaine quand on parlera de la dérivation des mesures de Gibbs en dimension infinie mais puisqu'on en est là je vous aurais vous expliquer un petit peu l'idée de la preuve donc le fait que c'est convex des deux variables c'est ce qui a été démontré par lib en 73 et 3i a été démontré par lib et ruskai aussi en 73 et leur motivation n'était pas vraiment d'étudier initialement l'entropie relative mais l'entropie elle-même il se trouve que ces ces deux propriétés sont équivalentes à ce qu'on appelle la sous-additivité forte de l'entropie dont je vais pas parler mais qui est une propriété très importante en physique statistique et 2i et dû à l'inblad en 74 alors ensuite après ces travaux la preuve de lib est une preuve basée sur de l'analyse complexe la preuve de la convexité qui est assez complexe et il y a eu beaucoup de preuves plus simples au fur et à mesure des années même récemment dans les cinq dernières années j'ai vu au moins deux ou trois nouvelles preuves qui étaient trouvées plutôt par des gens de la communauté de la théorie de l'information quantique moi je vais vous raconter une preuve qui a de 2009 et qui est dû à effrose et qui est vraiment à mon avis la plus courte que je connaisse donc ce que je voulais juste vous dire c'est que la somme donc l'application qui a associé la somme des xk à xk étoiles ça c'est la forme générale de ce qu'on appelle un quantum channel on peut aussi dire une application complètement positive qui préserve la trace encore vous voyez que comme la somme des xk étoiles xk fait un c'est cet état ici à la même trace que à et par ailleurs ça des propriétés de positivité très fortes dont je ne vais pas détailler et ces inégalités bon surtout la dernière ce que vous devez imaginer c'est que c'est une égalité qui vous signifie que vous perdez de l'information en regardant un sous-système vous avez un système quantique et prendre des traces par ciel on expliquera la prochaine fois c'est ce qui correspond à regarder un sous-système et en regardant un sous-système on perd dans l'information l'entreprise relative des croix je voulais aussi vous faire remarquer que cette inégalité ici étoile du moins celle qui est intermédiaire et le fait que h est toujours positive vous implique que h de ab est toujours supérieur à h de x a x étoiles x b x étoiles ce que vous pouvez simplement compléter le carré pour fabriquer un y de sorte que la somme va le 1 et vous jeter le termen y et ça on peut l'utiliser pour définir l'entreprise relative en dimension infinie il suffit de prendre x un projecteur sur un espace de dimension finie et vous voyez que du coup l'entropie des croix et si vous prenez un projecteur sur des espaces qui grandissent ce terme ici va grandir va être croissant et h de ab est juste la limite la limite croissante de cette quantité lorsque vous faites grandir votre projecteur donc ce type d'inégalité sert aussi à définir l'entropie relative en dimension infinie alors ensuite je voulais vous faire une autre marque c'est que il est naturel de se demander pour quel f donc là on a regardé f qui est t loc t mais on peut se demander pour quel f ces propriétés sont vraies et c'est pas connu pour quel f hf et convex par exemple donc il y a une conjecture qui est de dire que f seconde doit être opérateur convex et f tiers doit être positive donc pour nous c'est vraiment très important de savoir quelle est la classe des fonctions f qui est permise pour laquelle on aura toutes ces inégalités parce qu'ensuite on peut dérouler le fil et essayer de fabriquer ou d'étudier des mesures plus générales que les mesures de gypses et donc cette conjecture est par résolu donc on sait démontrer que si f vérifie ses hypothèses alors le hf et convex il y a des travaux de hansen et zang en 2014 où en fait il croyait avoir résolu la conjecture et finalement il y avait une erreur et peterie qui est en 2015 qui ont enfin qui ont pas vraiment résolu cette conjecture mais qui ont donné une autre caractérisation de la fonction f qui est en sens en apparemment il l'a recorvé à ça y est bon en tout cas sur archive c'est toujours la vieille version donc si ils peuvent c'est très bien et j'en profite pour faire un petit peu de pub sur un travail avec julien sabin peut-être 2013 d'ailleurs où on étudiait des propriétés dispersives du modèle de artery dans tout l'espace et on avait besoin de savoir pour quel état de référence on pouvait on pouvait construire le modèle et du coup on s'était posé une question un petit peu différente qui est pour quelle f on a cette inégalité ici j'appelle deux étoiles et on a montré que deux étoiles est vrai si est seulement si f prime et et opérateur opérateur croissante qui est une classe plus grosse que l'avant et ça c'était vraiment très important pour pouvoir étudier ces modèles dans tout l'espace ça c'est la fin des remarques pendant cinq minutes quelque chose comme ça je voudrais vous donner la preuve de ce théorème puisqu'on en aura besoin donc ce que vous devez comprendre c'est qu'en fait toutes ces propriétés sont équivalentes on peut montrer n'importe laquelle et en déduire les autres ce qu'on va faire c'est démontrer i et montrer 2e mais peut-être qu'on commence par montrer par exemple que 2e suit de i donc la première remarque c'est la première inégalité ici est très facile puisque l'anthropie avec t l'opté vérifie que si vous regardez ta tb n'oubliez pas c'est à log à moins log b vous voyez que le t du log s'en va et donc c'est en fait t h de ab c'est une fonction qui est homogène de gréin et donc du coup ici ce que vous pouvez faire c'est juste ajouter arbitrairement un sur k qui est le nombre de termes dans la somme et un k ici et ensuite appliquer la convexité vous écrivez que h de la somme des xk à xk étoiles xk ab xk étoiles et en fait égal à grand k le nombre de termes h de 1 sur k la même chose 1 sur k la même chose et ensuite vous appliquez la convexité et vous trouvez ça donc ça c'est vraiment juste la convexité et ensuite comment vous passez de cette expression à l'autre expression où il n'y a pas les xk il faut utiliser la même astuce que tout à l'heure c'est à dire voir cette somme sur k comme l'anthropie relative d'une très très grande matrice où on met toutes les matrices par bloc donc ça on l'écrit en fait h d'une très grande matrice qui est x1 à x1 étoiles etc des 0 partout xk à xk étoiles et puis la même chose pour b d'accord c'est évident que la formule si vous avez des blocs ça devient la somme bien et donc maintenant ce que vous remarquez c'est que la matrice qui apparaît ici enfin les deux matrices sont les matrices que vous obtenez en prenant la matrice à à à à et en appliquant xk et xk étoiles à gauche et à droite d'accord donc vous pouvez introduire l'application v qui a x associe x1 x xk x et ça c'est une isométrie puisque la somme des xk étoiles xk v1 ou une isométrie partielle c'est pas une bijection vous avez que v étoile v v 1 mais v v étoile v 1 et donc du coup c'est c'est évident quand vous avez ça que h de abe vont en fait h de v a v étoiles v b v étoiles juste parce que c'est une isométrie et ensuite quand vous calculez ces matrices vous voyez que c'est les matrices de là bas mais vous avez des tas de termes hors de la diagonale donc la seule chose qu'on doit faire c'est montrer que si on a une grande matrice et qu'on ne conserve que les termes diagonaux alors l'entropie relative décroi mais ça c'est exactement ce qu'on voulait démontrer dans le cas où les xk sont des projections donc ce que je viens de vous expliquer c'est que en fait on peut ramener se ramener au cas où les xk sont des projecteurs d'accord sur des sur des blocs comme ça d'accord donc il suffit de montrer étoiles pour une formule sous cette forme où les pk sont orthogonaux deux à deux d'accord donc en fait les les opérateurs xk on peut toujours se ramener au cas où c'est les projections par cette astuce pour et pas récurrent si suffit de le faire pour deux on met les zéro petit à petit donc ce qu'il faut démontrer c'est que l'entropie de la matrice à 1 à 2 2 0 0 et b 1 1 b 2 2 ça et un ferorégal à l'entropie de ab c'est-à-dire je prends des matrices a et b des composés avec des blocs de veut dire la taille des blocs et pas importante et je mets des zéro l'entropie relative des croix donc c'est ça qu'il faut démontrer et ça c'est pas difficile parce qu'en fait cette matrice diagonale par bloc et une combinaison qu'on vexe de de plusieurs matrices à tourner avec des unitaires différents fait à 1 0 0 à 2 2 c'est la matrice à plus 1 0 0 moins 1 à 1 0 0 moins un tout sur deux quand vous voyez que cette matrice est une combinaison qu'on vexe de de rotation de la matrice a et donc du coup l'entropie et c'est la même c'est la même le même unitaire u ici donc l'entropie de de cette somme et un ferorégal à la combinaison qu'on vexe et comme à appliquer un unitaire à a b ne change pas l'entropie relative vous avez démontré une égalité donc on voit bien comment ça suit de la convexité ces propriétés là de avec les opérateurs a et b d'accord alors si vous avez plusieurs blocs vous pouvez faire par écurrence ou alors vous pouvez utiliser des racines de l'unité pour tuer tous les blocs comme ça alors on peut utiliser la même astuce pour 3 y mais je ne veux pas en dire trop que je voudrais vous démontrer y vous allez voir que la preuve de y est en fait assez rapide celle des froses du moins pour pour 3 y on utilise l'astuce que si si on prend une matrice a et qu'on intègre contre tout contre tous les unitaires comme ça en fait cette matrice va commuter avec tous les unitaires et donc du coup elle va être constante et la constante ne peut être que la trace de a voilà alors sur d faut l'identité vous voyez que on peut obtenir la trace en faisant une moyenne dont là je prends la mesure de art sur d'accord qui est normalisé à 1 en faisant des moyennes sur toutes les rotations sur tous les unitaires on peut prendre la trace et donc de cette manière on peut démontrer le 3 y il suffit de faire une moyenne sur tous les les opérateurs de la forme intenseur u ou u c'est toutes les unitaires de v2 et on utilise la convexité donc ce qui me reste à faire c'est de vous prouver y ça c'est la partie difficile du moins avant la preuve des froses que moi je trouve très facile donc l'idée des froses qui en fait est une idée qui est dû à raquille je pense déjà c'est de se ramener au cas commutatif on a l'impression qu'on peut pas mais en fait on peut donc l'idée c'est la chose suivante donc n'oubliez pas que h2ab c'est la trace de la log de la log de b voilà on va introduire un opérateur de multiplication pardon on va se placer on voit l'ensemble des matrices comme un illberte avec le produit scalaire qui est la trace de la étoile b et on introduit un opérateur de multiplication à gauche par la matrice a et de multiplication à droite par la matrice b vu sur l'ensemble des matrices évidemment multiplié à gauche et multiplié à droite même si les matrices n'ont rien à voir c'est des opérateurs qui commutent et donc en utilisant ces opérateurs vous voyez que vous pouvez réécrire cette trace comme l log n moins log r appliqué à la matrice identité et ensuite vous faites le produit scalaire encore avec la matrice identité et c'est le produit scalaire des matrices trace de étoile b d'accord ça c'est juste que appliquer f de l à une matrice m c'est la même chose que appliquer f de a m d'accord donc vous avez d'abord à log a vous appliquer l'identité ça vous fabrique à log a et ensuite pour a et b vous appliquer l et log r ça fait des choses à gauche à droite donc ce que vous voyez donc c'est vraiment très important c'est que donc là vous avez l'identité qui est un vecteur donné là et maintenant vous avez le même problème qui est posé pour les opérateurs l et r avec la grosse différence que l et r commut maintenant donc du coup vous voyez qu'il suffit de démontrer le théorème pour des matrices qui commutent mais par contre on a pu les traces on l'applique un vecteur ici qui est l'identité et donc du coup on ne peut pas se contenter de montrer pour des traces pour les matrices qui commutent il faut montrer pour des matrices qui commutent mais la version opérateur comme donc le le théorème des fraux c'est le suivant c'est que si vous avez l1 l2 r1 r2 de sorte que les li commutent avec les rj et vous donc vous regardez ensuite l c t l1 plus un point t l2 et r t r1 plus un monté r2 alors vous avez l logr l moins logr qui est inférieur au égal au sens des opérateurs à t la même chose avec les 1 plus un point t la même chose avec les deux mais au sens des opérateurs et alors comment ça se démontre eh bien il faut écrire ça ici vous voyez l astuce c'est que maintenant il commute donc c'est vraiment le log de l divisé par r donc c'est vraiment r fois la fonction x log x appliqué à l divisé par r donc je le vois vraiment comme r1 mi f de bon j'ose pas écrire l divisé par r donc je vais pas écrire r moins un demi l r moins un demi r1 mi ou f c log t tout commut il n'y a pas de problème et ça vous l'écrivez simplement f de r moins un demi t l1 r moins un demi plus un point t r moins un demi l2 r moins un demi et ensuite on va appliquer le fait que t log t est opérateur convex donc pour ça on l'a on introduit ici celui qu'on aimerait avoir c'est à dire r1 à demi donc on introduit x qui vaut racine le t r moins un demi r1 un demi et puis y qui est l'autre celui que vous imaginez de sorte que x x et alors x étoile x plus y étoile y vaut à l'un d'accord et en utilisant le fait que f est opérateur convex on en déduit immédiatement l'inégalité je vous laisse écrire le détail il n'y a rien du tout c'est juste qu'on sort les x en utilisant anson pederson et ça donne exactement ce qu'on veut ce qu'on veut d'accord donc ce qui est vraiment très important c'est que x log x est opérateur convex et curieusement on peut se ramener au cas où les matrices commutent mais il suffit pas de le faire pour des traces il faut vraiment le faire au sens des opérateurs et c'est là où c'est vraiment important que x log x opérateur convex donc après la pause on va utiliser ces inégalités pour faire de l'analyse semi-classique avec des méthodes variationnelles en dimension finie d'accord et évidemment le but c'est d'arriver à la dimension infinie mais ça sera la semaine prochaine donc on va d'abord faire en dimension finie pour se faire la main on sait encore des choses connues mais c'est ce qui nous a inspiré pour faire la dérivation en dimension finie à tout à l'heure bien donc après cette petite heure d'algèbre linéaire on va parler finalement d'analyse semi-classique et comme il faudra faire en dimension finie je pense que c'est mieux de faire calmement dimension finie aujourd'hui donc la cinquième section c'est un analyse semi-classique et mesure de Gibbs en dimension finie bon et quand j'ai un analyse semi-classique là c'est pareil c'est tout un monde là ce qui va m'intéresser surtout c'est des preuves variationnelles et surtout pour baser sur l'anthropie donc on va commencer par le cas qui parlera plus de gens c'est à dire le cas des opérateurs de Schrödinger donc quelle est la philosophie ou à quoi ressemble le meta théorème qu'on va vouloir démontrer le théorème c'est toujours un petit peu le même c'est que la trace vous prenez une fonction de deux variables et vous regardez moinsie h bar gradient et x l'idée c'est que ça ça va se comporter dans la limite où h bar tend vers 0 comme 1 sur 2 pi h bar d l'intérale de f2p et de x des pdx c'est à dire qu'un problème quantique va devenir un problème classique posé sur l'espace des phases et là on se pose une question plus simple on regarde juste la convergence de nombres d'accord et on a toujours cette philosophie que les traces deviennent des intégrales et voilà donc évidemment ça ça ne veut pas tout à fait dire grand chose telle que je l'ai écrit puisque comme ces deux opérateurs ne commutent pas on a un problème de choix d'ordre et qui s'appelle un choix de quantification là il n'y en a pas mais là il y en a on peut multiplier par h bar d et dire que ça tend vers 1 sur 2 pi p sans cd l'intérale de f c'est plus joli comme ça que le théorème sera en fait donc ici on a un problème de choix d'ordre si on écrit f comme une somme de produit est-ce qu'on met le gradient à gauche à droite ou est-ce qu'ils sont emmêlés bon c'est ce qu'on appelle la quantification il y a plusieurs choix en certains sont très classiques en fait le théorème le plus simple qui intéresse beaucoup les gens c'est quand on regarde une fonction d'un opérateur de Schrödinger c'est-à-dire une fonction donc là c'est une fonction d'un opérateur et l'opérateur lui même une somme une fonction de du gradient une fonction de 2x donc moins h bar la placien plus v2x ce qui apparaît naturellement pour une particule quantique non relativiste et on prend une fonction de cet opérateur on regarde la trace et le théorème sera donc que h bar d va tendre à chaque fois que ça fait sens vers 1 sur 2 pi à la puissance d l'intégrale de f sur l'espace des phases pardon intégrale de f de p carré plus v2x d'accord et les exemples classiques donc le premier exemple très classique c'est quand vous prenez f qui est la fonction caractéristique de r moins dans ce cas là ce théorème vous dit que h bar d est le nombre de valeurs propres négatives tant qu'en h bar tend vers 0 vers l'intégrale donc 1 sur 2 pi à la puissance d l'intégrale de p carré plus v2x le volume de l'ensemble dans l'espace des phases ou cette fonction négative qui si vous le calculer vaut la mesure de la sphère sd moins 1 ensuite divisé par des plus 1 depuis la puissance d et l'intégrale de v la partie négative de v est positive pas c'est juste vide à la puissance d sur 2 d'accord donc si vous avez un potentiel v qui est dans l d sur 2 pensez à dimension au moins 2 qui n'est pas vraiment de problème le nombre de valeurs propres négatives se comportent comme 1 sur h bar d fois l'intégrale de v à la puissance 3 demi en dimension 3 l'autre chose très classique c'est quand vous regardez h bar d la somme des valeurs propres négatives d'être en valeur absolue encore qui va tend vers 1 sur 2 pi à la puissance d et cette fois c'est l'intégrale de p carré plus v2x mais intégré sur l'ensemble où c'est négatif qui si vous le calculer vaut encore une constante universelle alors je crois que c'est des plus en les plus de l'intégrale de la partie négative de v à l'absence 1 plus d sur 2 d'accord donc en dimension 3 la somme des valeurs propres se comportent comme v l'intégrale de v absence 5 demi donc les gens se sont beaucoup intéressés à démontrer ses convergences et avoir des estimés qui soient uniformes c'est ce qu'on appelle les inégalités de le petit ring ou d'autres ficoles libre roseanne bloom d'accord avoir plutôt qu'une convergence avoir des inégalités qui soient uniformes h bar et nous ce qui va nous intéresser c'est la version mesure de gipse encore qui est bien connue aussi rien de nouveau c'est des choses bien connues mais que je veux vous raconter avant de passer à la dimension infini donc vous prenez v dans l'un de l'autre on va quand même supposer que la partie négative et borné inférieurement c'est plus simple quoi que je m'en avions là pas vraiment besoin et on suppose que exponentiel moins v est intégrable on dirait que exponentiel moins v intégrable ça vous implique que v doit tendre vers l'infini il faut que ce soit confiné ou alors vous travaillez sur un domaine borné si vous voulez mais donc le v doit tendre vers plus l'infini mais il peut tendre très lentement alors moi il y a une première partie qui dit que la mesure de gipse fait sens c'est à dire que exponentiel h bar la place 1 moins v2x et en fait un opérateur à trace je ne veux pas l'écrire j'écris la trace c'est un opérateur qui est positive donc la trace peut éventuellement valoir plus l'infini mais en fait c'est toujours fini et ça converge vers ce qu'on pense c'est-à-dire 1 sur 2 pi quand j'barte envers 0 à la puissance d l'intérale de exponentiel moins v2x et vous voyez bien sûr que la partie en moment à partie en p se factorise exactement on peut la calculer et on trouve donc une constante fois l'intérale de exponentiel moins v donc je vais vous raconter la preuve variationnelle de ce théorème il y a d'autres approches on n'est pas obligé de faire une preuve variationnelle mais je vais vous raconter la preuve variationnelle qui je pensais dû à lib et simon quoi qu'il y a aussi des choses de béraisine qui sont reliées et cette preuve fonctionne pour d'autres fonctions d'accord nous on regarde la fonction x log x qui à la fin nous fournit la fonction exponentielle moins x mais vous pouvez l'appliquer à d'autres fonctions vous verrez en regardant la preuve ce qu'il faut exactement on va le faire dans ce cas particulier donc la preuve est basée sur une résolution de l'identité basée sur ce qu'on appelle des états cohérents donc qui est la chose suivante c'est vous prenez une fonction f quelconque dans l2 de rd à valeur réelle il faut ça important que f soit valeur réelle et les gens prennent la gaussienne tout le temps on n'est pas obligé ça joue aucun rôle qui est normalisé dans l2 et vous introduisez la fonction suivante donc c'est une fonction qui dépend de trois paramètres ça dépend de h bar d'une position et d'une quantité de mouvement donc x c'est un vecteur de rd et p aussi et c'est une fonction de y qui vaut 1 sur h bar d sur 4 f de y sur r sin de h bar exponentielle y sur h bar vous introduisez cette fonction qui est évidemment aussi normalisé dans l2 et qui est très très concentré dans l2 autour du vecteur x il faut regarder en fourrier vous voyez aussi ce qui va se passer alors pour simplifier les notations je vais appeler f h bar la fonction f h bar 0 0 c'est à dire celle qui est vraiment concentré en 0 et donc la la résolution de l'identité ou résolution état cohérent c'est le lm suivant c'est que pour toute fonction u dans l2 de rd vous avez que 1 sur 2 pi h bar d l'intégrale du produit scalaire de u avec cette ces fonctions là intégré des x dp ça fait la norme de u une autre manière d'écrire cette égalité c'est le fait que si vous regardez 1 sur 2 pi h bar d et ensuite vous intégrer vous voyez vous prenez le projecteur de rang 1 et j'utilise la notation des physiciens avec le quête et le bras c'est le projecteur de rang 1 sur la fonction f là d'accord qui est normalisé c'est vraiment un projecteur orthogonal de rang 1 et si vous l'intégrer sur l'espace des phases avec la bonne constante de vent ça vous fait l'identité de l2 donc c'est en ce sens que c'est une résolution de de l'identité vous avez une famille de fonctions qui sont paramétrés par x et p qui est-elle que quand vous intégrer sur ces paramètres vous trouvez l'identité évidemment c'est une famille non dénombrable c'est une très très grosse famille d'accord c'est pas du tout une base ortho normée beaucoup beaucoup trop de fonctions mais la philosophie c'est que quand h bar devient très petit les f h bar isp sont quasiment orthogonaux 2 à 2 ce qui est évident c'est que si vous regardez le produit scalaire f h bar isp avec un f h bar exp prime p prime ça ça tend vers 0 quand h bar tend vers 0 chaque fois que xp le point dans l'espace des phases est différent du point exp prime exp prime p prime je vous laisse vérifier et par ailleurs s'ils sont égaux ça vaut un donc ça veut dire que c'est que cette résolution devient quasiment une base ortho normée à la limite h bar qui tend vers 0 et c'est comme ça qu'on va c'est la propriété qu'on va utiliser pour faire le lien entre le problème quantique et le problème classique d'accord donc ce qu'on a c'est que moins log de traces exponentielle moins moins h bar la place 1 plus v je vous rappelle que ça c'est le mine surtout les opérateurs auto adjoint de positif de trace égal à 1 de la trace de moins h bar carré la place 1 plus v gamma plus la trace de gamma log gamma bon alors là il y a une petite légère subtilité donc sur cet opérateur ici est borné inférieurement on peut le définir comme un opérateur auto adjoint avec fridrix et cette trace ici est interprété au sens des formes quadratiques comme c'est borné inférieurement vous mettez juste plus l'infini si gamma ne vit pas sur le domaine de la forme de l'opérateur voilà donc ça on l'a déjà rappelé tout à l'heure et bien sûr on a aussi que moins log de l'intégral de exponentielle moins p carré moins v c'est le minimum d'accord et le minimum est atteint pour l'état de guips ici le minimum va être atteint pour la mesure de guips donc surtout les rôles de l'intégral sur l'espace des phases de p carré plus v de x peut-être je l'appelle m plutôt donc c'est une mesure sur l'espace des phases une mesure de probat plus l'intégral de m log n d'accord vous avez une caractérisation variationnelle de ces deux objets moins log du problème quantique et moins log du problème classique et on va démontrer une espèce de gamma convergence c'est à dire que ce problème ici converge vers l'autre ce que évidemment il faut comprendre comment on fait le lien entre un opérateur sur l2 et une probabilité sur l'espace des phases et une manière de faire le lien c'est l'utiliser les états cohérents donc à tout gamma on peut associer la fonction m gamma de x et de p qui est 1 sur 2 pi h bar d le produit scalaire de gamma avec notre espèce de base encore si c'était vraiment une base et si gamma était diagonale ce qu'on espère obtenir à la limite on retrouverait exactement un gamma c'est ce qu'on appelle la fonction de usimie chaque fois que vous avez une résolution de l'identité qui fait intervenir des projecteurs de rang 1 vous pouvez introduire une telle fonction c'est quelque chose d'abstrait et on a choisi les constantes de sorte que m gamma soit une probabilité donc c'est positive bien sûr et c'est une probabilité sur l'espace des phases et donc l'idée c'est de relier le problème variationnel là haut pour gamma avec l'énergie libre de cette de cette fonction m gamma et en fait une autre manière d'exprimer le theorem si vous voulez c'est que si vous posez gamma h bar qui est l'état de Gibbs correctement normalisé quantique alors en fait le m de gamma h bar va tendre vers exponentiel moins p carré moins v2x avec la normalisation appropriée au sens des mesures mettons sur l'espace des phases parce qu'il y a un petit peu plus précis que juste la convergence des énergies que j'ai annoncé dans le théorique donc allons-y faisons cette petite preuve vous allez voir que la preuve utilise les propriétés de l'anthropie donc elle se fait en deux temps il y a une bande inférieure une bande supérieure donc commençons par la bande supérieure sur moins log de la trace exponentielle donc pour faire une bande supérieure oui c'est t locté maintenant ah pardon non c'est pas le même f que le f de là-bas oui d'accord on fixe le f de là-bas et la limite sera vrai pour tout f qu'il soit oui oui pardon faut pas confondre le f que j'ai utilisé pour fabriquer les états cohérents avec f qui était t locté avant encore et tout ceci sera vrai quelle que soit la fonction f normalisé dans l2 qu'on choisit donc après les gens souvent préfèrent prendre un f très bien pour quel on peut dériver faire tout ce qu'on veut par exemple une gaussienne et ensuite il y a un l'aime qui dit une fois qu'on l'a démontré pour un f on l'a pour tout f bien moi je vais supposer que f est assez régulière en fait dans l'achat et ça va suffire pour tout faire alors allons-y donc faisons la bande supérieure donc pour faire la bande supérieure sur le modèle quant x qu'on veut on veut montrer qu'il s'estime par le modèle classique donc on veut construire un état test qui va avoir un rapport avec le modèle classique donc on choisit nous-mêmes un gamma comme on veut un état test et c'est à peu près évident la forme du gamma qu'il faut prendre on prend un gamma sous la forme on se donne une mesure m et puis on choisira m tout à la fin et puis on prend les fxp h bar les projecteurs de l'an 1 dx dp et il faut je mette les deux p tout comme il faut c'est bon si je prends la trace de gamma ça fait un et je suppose que m est une proba et on choisit le m à la fin d'accord et on calcule l'énergie libre de cet état test donc il faut calculer par exemple la trace de moins h bar carré la place 1 plus v fois cet état test gamma et bien sûr ça vaut l'intégrale de m de xp et l'opérateur moins pardon fxp h bar moins h bar carré la place 1 plus v appliqué à fxp h bar dx dp et ce qu'on aimerait c'est que ça soit très proche de p carré plus v dx et dans ce cas là ce sera ça ressemblera beaucoup à ce qu'on veut donc peut-être qu'on va faire ce calcul après peut-être que je vous parle plutôt de l'anthropie puisqu'on a beaucoup discuté de l'anthropie donc la trace de gamma log gamma donc c'est la trace de bon je vais l'appeler grand f maintenant notre fonction t locté de l'intégrale de m de xp fxp fxp dx dp et on veut une bande supérieure on veut utiliser la convexité de cette application sur les sur les opérateurs on l'a seulement démontré pour les matrices mais après pour les opérateurs ça marche pareil vous voyez que ça vous devez vraiment l'interpréter comme une somme de xk xk étoiles comme on avait tout à l'heure le seul problème c'est qu'il faut que les xk xk étoiles soit que la somme soit égale à 1 et donc c'est en fait plus naturel de mettre un 2pi h bar d ici et de diviser ici par 2pi h bar d et là on a vraiment une somme avec des coefficients qui sont des nombres et ici des opérateurs qui s'intègrent à l'identité et donc si on l'applique l'inégalité qu'on a démontré vous voyez que ça ça va être plus petit que f de skia à l'intérieur c'est à dire 2pi h bar d m de xp le tout intégré sur l'espace des phases quand c'est la somme sur k et alors j'ai oublié oui j'oublie toujours les 2pi qui traînent bien et ensuite je vous rappelle que f c'est c'est élocté si vous calculer cette chose là vous allez voir que c'est égal à log de 2pi h bar d c'est très bien c'est ce qu'on voulait plus l'anthropie de m c'est aussi une inégalité exacte si vous avez un opérateur qui est une moyenne sur la base d'état cohérent avec une fonction m alors l'anthropie de cette opérateur est inférieur au regard là pour le coefficient qu'il faut qu'il faut remettre devant plus l'anthropie de la fonction m donc cette inégalité est due à bérésine et lieve c'est un lien entre l'anthropie d'une d'une quantification sur sur une base d'état cohérent et l'anthropie de la fonction qu'on utilise à l'intérieur m pour faire pour fabriquer l'état d'accord bien et donc on va voir exactement une borne supérieure qui fait intervenir l'anthropie classique avec le bon coefficient donc finalement ce qui reste c'est de comprendre l'erreur ici le rapport entre cette intégrale et la même intégrée sur p carré plus v de x donc pour ça ce qu'il faut calculer c'est fxp h bar moins h bar carré la place en fxp après il faut calculer la même chose avec le potentiel v donc ça évidemment c'est juste h bar carré et le gradient de fxp et donc c'est là on a besoin que f soit en fait achat et ici vous faites ce petit calcul le f il est donné par la formule ici c'est vraiment très simple vous allez trouver que ça vaut exactement p carré plus h bar l'intégrale de gradient de f carré quand c'est vraiment pas difficile on doit calculer le gradient le gradient en y donc on a deux termes on a le cas où on dérive l'exponentiel ce qui nous sort un p sur h bar et le 1 sur h bar s'élimine exactement avec le h bar ici ce qui est un carré et ensuite on doit dériver f ce qui nous sort à 1 sur la signe de h bar qui est mis au carré nous sort à h bar et ça ne tue pas tout à fait donc il reste un h bar donc ce que vous voyez c'est que cette fonction ici est très proche du p carré qu'on voulait et l'erreur est uniforme c'est juste h bar faut une constante universelle qui dépend juste du f qu'on a choisi on peut prendre le f qu'on veut mais du moins dans un champ et là ensuite il faut calculer fxp h bar contre la fonction v2x et là c'est aussi très simple c'est juste l'intégrale de v2x fois fxp pardon c'était pas très clair le x c'est un paramètre donc c'est v2y des y l'exponentiel y s'en va bien sûr et vous voyez que ça c'est en fait juste la convoilée de v avec f h bar carré donc cette fonction ressemble très fortement à v puisque vous devez vous souvenir que f h bar carré converge vers une delta quand h bar t'envers z donc ça ça va tendre vers v comme on veut et donc vous voyez que ce qu'on a démontré c'est que l'énergie de notre état test et inférieur au égal donc on avait le log de pi h bar d comme on voulait je vous rappelle que c'est le coefficient multiplicatif dans le théorème qu'il faut qu'il soit là plus l'intégrale de p carré plus v convoilé avec f h bar carré fois notre fonction m plus l'intégrale de m log m plus h bar grad f carré et donc maintenant on optimise en m on sait quel m il faut prendre il faut prendre m qui est une constante de normalisation exponentielle moins p carré plus v convoilé avec f h bar d'accord on le met dedans et on va trouver exactement moins le log de de l'intégrale de cette fonction qui va converger à la limite h bar t'envers zéro vers l'intégrale de notre fonction quand on en déduit que la ligne supe en fait ce qu'on a vraiment démontré c'est que moins log de trace exponentielle notre opérateur de Schrodinger et inférieur au égal à log de 2 pi h bar d moins log de l'intégrale de exponentielle moins p carré moins v convoilé avec f h bar d'accord et pour ça ça se calcule et puis un petit terme d'erreur ici pardon et j'ai oublié plus h bar grad r carré c'est que des intégrales doubles sur les laquelle la dernière celle là ah non non ça c'est une intégrale sur rd f c'est notre f c'est notre fonction fixe on choisit pour faire les états cohérents donc une gaussienne par exemple et dans ce cas là on trouve je sais pas un demi ou quelque chose comme ça on utilise on utilise on utilise le le l'aim de anson plaider son avec les xk d'accord et xk étoile on le voit comme donc xk c'est le c'est le c'est le vecteur f h bar xp divisé par racine de 2 pi h bar d d'accord on applique une version continue de slay je n'ai pas démontré la version continue j'ai fait que pour des sommes finis et des matrices enfin bon et ça nous sort moi il faut le réécrire mais ça nous sort exactement ça qui était la somme sur k c'est qu'il faut que je réécris non non le m c'est le a le m c'est le a et les xk c'est les f et les dx un peu bien donc maintenant il faut faire la borne inférieure donc pour la borne inférieure on peut pas choisir d'état test mais le truc naturel c'est de comparer l'énergie du minimiseur avec l'énergie classique de cette probabilité m ici donc il faut tout faire à l'envers une certaine manière donc on prend gamma minimiseur c'est à dire gamma c'est l'état de gipses avec la bonne normalisation donc il dépend de h bar et on a m je l'appelle m h bar peut-être je l'appelle juste m qui est la fonction à deux aussi mi associé qui est défini là bas donc ce qu'on veut c'est relier l'énergie de gamma avec l'énergie classique de h on n'a qu'à commencer par l'anthropie puisque c'est toujours le plus difficile donc l'anthropie c'est la trace de gamma log gamma à du moins c'est le moins l'anthropie donc ça évidemment on peut l'écrire en utilisant le fait que c'est une résolution d'identité 1 sur 2 pi h bar d l'intégrale de fxp h bar gamma log gamma fxp h bar des x dp et maintenant on va utiliser l'inégalité de pire spogolubov qui nous disait que quand on a une fonction f convex alors y f2 à y major f2 y à y donc ça c'est supérieur ou égal à f1 sur 2 pi h par d fxp h bar gamma fxp h bar et le log de la m chose alors vous voyez qu'on n'a pas tout à fait trouvé m parce qu'il nous manque le coefficient 1 sur 2 pi h il traîne toujours celui là donc on l'introduit de force donc celui là il est très bien on le met ici voilà mais par contre il manque celui dans le log et quand on leur ajoute on trouve exactement le log de 2 pi h bar d plus l'intégrale de m log et donc encore une fois vous voyez qu'il y a une inégalité exacte entre l'anthropie quantique et l'anthropie classique ça s'appelle aussi une égalité de bérezine lips sauf qu'elle est complètement dans l'autre sens de tout à l'heure dans la littérature il y a la première inégalité de bérezine dit mais la seconde je sais plus laquelle est la première et quelle est la seconde c'est pas très important mais l'idée c'est que soit vous avez un opérateur et vous introduisez une mesure la mesure de où c'est mis associé dans ce cas là vous avez une égalité dans un certain sens soit vous prenez une mesure et vous introduisez l'opérateur associé comme j'ai fait ici vous avez l'inégalité exacte dans l'autre sens et ça ça suit des propriétés de l'anthropie que j'ai énoncé à la première heure et donc la dernière étape consiste à essayer d'écrire la trace de H bar carré de la place 1 plus v gama en fonction de la probabilité m et c'est le problème à l'envers c'est à dire qu'avant on avait l'opérateur de la place 1 qu'on testait contre les f on calculait entre xtp carré plus une erreur là on a l'opérateur de la place 1 qu'on veut écrire en fonction des f et moi il se trouve que c'est la même c'est un peu la même chose à l'envers c'est à dire qu'un petit calcul vous montrez que moi à je bar carré la place 1 et en fait exactement égal à p carré fxp h bar fxp h bar d xtp alors évidemment il y a encore un coefficient qui traîne moins h bar grad f qu'en fait il faut intégrer l'identité tout à l'heure et on trouve quelque chose de similaire bon et par ailleurs le jour à fin ce qu'on sait c'est que v convolé avec f h bar carré la trace de cet objet est égal à l'intégral de v contre m et donc donc il faut introduire v convolé avec f h bar et l'erreur va être encore une fois la différence entre v et v avec sa convolie donc si vous écrivez tout vous allez voir que moins log de trace du problème quantique se minor par l'énergie du problème classique avec toujours cette constante qui traîne log de 2 pi h bar d plus l'énergie du problème classique donc p carré plus v de x fois m plus l'intégral de m log m et un terme d'erreur vous avez moins h bar fois le grad f carré comme tout à l'heure et l'autre terme d'erreur cette fois c'est plus v moins v convolé avec f h bar le tout fois la trace de gamme fois gamme et la trace parce qu'on est obligé d'introduire v convolé avec f h bar carré pour faire apparaître exactement et bon là je vais pas vraiment faire les détails c'est clair que cette partie ici est juste supérieur ou égal au problème classique et ensuite il faut contrôler ça bon en fait on peut pas le contrôler pour trouver avec les hypothèses que j'ai marquées si v est très très bien dans le gradient éborné par exemple c'est facile sinon il faut faire deux étapes il faut commencer par minorer v par une fonction plus chouette faire l'argument et ensuite passer à la limite vous voyez qu'on a bien démontré le théorème et l'ingrédient principal c'est calculer exactement essayer de tout décomposer sur cette base d'état cohérent et les inégalités sur l'anthropie et comme je l'ai dit vous voyez ce qui compte c'est que c'est que le f soit convex essentiellement le grand f qui est utilisé pour fabriquer l'anthropie vous pouvez écrire exactement le même argument pour des f plus généraux maintenant dans les dernières minutes je voudrais vous parler de champ moyen en dimension finie toujours qui en fait se trouve être exactement la même chose mais écrite de manière différente donc vous prenez je l'appelis grand x c'est puissance d quoi un espace de dimension finie et maintenant vous regardez un problème à n corps pour n bosons qui vivent dans cet espace de dimension finie avec une partie à un corps et une partie de corps exactement comme on a fait depuis le début du cours sauf que nous x c'était l2 souvent l'organe en dimension finie vous vous introduisez le amyltonien à une corps hn qui est somme des h i n plus en lambda somme des w y j sauf que maintenant tout est abstrait donc h c'est un opéra donc c'est une matrice des fois d c'est un opérateur de x en x et w ça agit sur le produit tensoriel symétrique parce qu'on doit regarder deux particules on doit faire le produit tensoriel et c'est des bosons donc on doit les prendre symétriques dans lui même et sans tout s'auto adjoint le refait c'est des matrices et quand j'écris h i je veux dire l'opérateur qui agit sur la im particule cet opérateur agit sur le produit tensoriel symétrique nm de notre espace x donc on a un problème pour n bosons dans un espace de dimension finie et on va faire tendre le nombre de particules vers l'infini c'est exactement le problème qu'on avait au début de ce cours sauf qu'avant nous on était en dimension infini x c'était l2 de rd et donc et une autre différence aussi si on regarde le problème canonique ici on se fixe n et ensuite on fait tendre n vers l'infini tandis que moi je vous avais surtout présenté le problème grand canonique dans lequel on faisait une moyenne sur n avant de prendre le n moyen vers l'infini mais ça on en reparlera la semaine prochaine donc on a expliqué qui pour la limite de champ moyen c'est quand on prenait lambda qui se comportait comme un sur le nombre de particules pour simplifier ici on va prendre lambda égale 1 sur n moins 1 on a déjà fait ce choix qui simplifie un peu certains arguments et donc maintenant je peux vous énoncer un thoremne qui ressemble beaucoup à celui qu'on vient de démontrer et qui j'espère va clarifier un peu le thoremne plus compliqué qu'on avait dans l2 en dimension infini dans laquelle les mesures apparaissent et c'est des mesures en dimension infini donc le thoremne c'est le suivant c'est que la limite quand n tend vers l'infini de moins log la trace de exponential moins hn et je vous rappelle que on prend une température d'ordre n vous souvenez donc j'ai pris tout de suite t égal n et comme tout à l'heure on va avoir une constante qui va diverger rapidement tout à l'heure c'était deux pi h bar d bon là ça va être une constante dn que je vais définir après donc cette limite en fait c'est égal à moins log de l'intégrale de la fonction de artri e h de u du ou h de u je vous rappelle que c'est u h u plus un demi de u tenseur de fois w u tenseur de fois donc c'est l'énergie non linéaire de artri pour ce modèle en dimension finie avec un problème à un corps une partie quadratique une partie non linéaire ici quartique et comme ici on est en canonique on a fixé n la mesure ici va vivre sur la sphère en fait donc le u va être normalisé à 1 et dn c'est juste la dimension de l'espace bosonique à n corps qui vaut n plus des moins 1 donc c'est quelque chose qui diverge très vite qui se comporte comme n puissance d et qui se comporte aussi très très mal avec la dimension voilà et alors par ailleurs on peut être un petit peu plus précis et donner aussi une convergence pour les marginales c'est à dire quand on regarde nos particules et qu'on les teste contre une observable qui ne fait intervenir que k particule à la fois donc c'est à dire on regarde la trace de h tenseur 1 tenseur l'identité ou a n'agit que sur les k premières variables et ne fait rien sur les autres et on teste contre notre état de gibbs donc il faut diviser aussi par la trace pour oublier quand elle est oréme dit que cet objet ici converge quand n t'envers l'infini vers l'intégrale de u tenseur k a u tenseur k des mu de u ou mu c'est la mesure de gibbs qui est juste exponentielle moins l'énergie d u avec le bon facteur de normalisation évidemment ici on est en dimension finie donc la mesure vit sur la sphère de x x est juste s'absence d donc c'est une sphère de dimension 2d moins 1 tout fait sens pas de problème toutes ces intégrales converges on n'est pas comme dans le cas de la dimension finie où les objets ne faisaient pas sens séparément il fallait diviser entre eux pour que ça fasse sens donc dans le cas de la dimension infini notre théorème je vous rappelle c'est que on regardait la convergence de moins log trace en fait on regardait juste trace enfin c'est pareil de exponentiellement un chaine sur n et ensuite on divisé par la même chose où on enlève double v c'est à dire où on prend lambda equal à 0 et l'idée c'est qu'en faisant ça bon si on prend le moins log ce qu'on fait c'est qu'on tue cette constante qui diverge de manière dramatique et qui dépend de la dimension tandis que la mesure finale elle même ne dépend pas vraiment de la dimension on obtient ces mesures non linéaires dans tout l'espace en dimension infini enfin là je vous présente la preuve simple en dimension finie qui en fait est la même essentiellement que c'est que je viens de faire pour faire cette preuve ce qu'il faut juste comprendre c'est trouver une résolution de l'identité dans laquelle on voit apparaître les états qui sont factorisés les états où les particules sont indépendantes et donc la base la base de tout c'est le fait que vous avez une résolution de l'identité encore sous la forme ce que vous faites si vous prenez u temps sereine u temps sereine quand vous prenez le projecteur orthogonal sur u temps sereine projecteur de ron 1 et vous intégrer avec la mesure uniforme sur la sphère de votre espace et si vous faites ça vous trouvez une constante fois l'identité de l'espace à une core symétrique d'accord donc ça c'est la base de tout et c'est ce qui remplace la résolution en état cohérent dont j'ai parlé juste avant alors pourquoi on pense que ça va marcher ben c'est juste que si on prend u différent de v au sens où ils sont pas collinières et que vous regardez u temps sereine produit scalaire avec v temps sereine c'est juste u produit scalaire avec v puissance saine et donc si ils sont pas collinières ça tend tout le temps vers zéro parce que c'est strictement plus petit qu'un en module d'accord donc ça vous dit exactement que deux états comme ça deviennent toujours en rtogono dans la limite où n est grand et donc à cause de la résolution l'identité comme ça ça suggère on est la même structure que précédemment c'est à dire que les états factorisés jouent le rôle des états cohérents et qu'à la fin on se retrouve avec un problème classique posé sur la sphère unité de notre espace x et donc du coup on introduit la mesure de ucimi associé tout comme avant qui vaut dn le produit scalaire de u temps sereine avec un opérateur gamma quelconque donc gamma c'est un opérateur sur le produit temps sereine nm de notre espace x et puis ça c'est notre mesure dn gamma du u et ce qu'on essaye c'est de relier par la même preuve que tout à l'heure relier le problème quantique avec le problème classique pour cette mesure m mesure m pour y à ce propos j'ai pas vraiment fait de commentaires sur pourquoi cette formule était vrai c'est aussi un petit exercice c'est le fait que si vous appliquez un unitère temps sereine vous faites le changement de variable vous voyez que cet opérateur ici est invariant donc cet opérateur est laissé invariant par tous les unies u temps sereine et ensuite c'est un petit peu theory des groupes pour vérifier que un opérateur qui commute avec tous les u temps sereine doit commuter avec tous les unitaires et donc finalement c'est l'identie constante fois l'identité et ensuite la constante dn c'est la dimension de l'espace simplement en prenant la trace et en calculant donc je voudrais terminer en vous donnant le théorème principal qui permet de faire le lien entre les énergies classiques et les énergies quantiques tout à l'heure ce qu'on a utilisé c'était vraiment qu'on pouvait calculer quand on a le la placien contre un état cohérent vous pouvez l'exprimer il faut qu'on puisse faire quelque chose de similaire sauf que l'on a des opérateurs abstrait donc le théorème principal c'est le théorème suivant qu'on démontrera la prochaine fois on peut l'appeler de finitie quantique moi j'aime bien ajouter quantitatif le théorème de finitie c'est un théorème abstrait et là on donne une estimée précise avec des constantes donc ce théorème vous dit que si vous regardez la trace de A times 1 n-k ou A est un opérateur qui agit seulement sur les cas premières variables et vous faites rien sur les autres variables vous prenez votre état quantique gamma et ça vous le comparer avec l'opérateur que vous obtenez en utilisant cette mesure ici vous faites moins u tends sur k A u tends sur k avec cette mesure là bas je l'appelais n ou mu donc ce que vous voulez dire c'est qu'il devrait être proche à la limite où n est grand et l'estimée précise c'est que ça s'estime par 4 k d sur n fois la norme de A donc remarquez bien donc n c'est le nombre de particules il est très grand c'est très bien ça va être très petit k c'est le nombre de particules qui sont qui interviennent simultanément dans le processus d'observation donc on les regarde k par k et nous ce qui va nous intéresser beaucoup c'est k égale 1 et k égale 2 puisque on a une somme avec des opérateurs qui font intervenir les particules une par une et une autre somme 2 par 2 donc on est intéressé à prendre k égale 1 ou 2 donc c'est très bien ça va être très très petit et ensuite d c'est la dimension de l'espace ambiant vous voyez que ce type d'estimée ne peut pas du tout marcher en dimension infinie mais bon au moins c'est vrai en dimension finie donc ce théorème est dû à chris tandole kenik mitchinson et reyner en 2007 et il y a une version qui ressemble par chiri bella en 2011 et on en a redonné une preuve un petit peu différente avec nam et rougerie en 2014 et donc à partir de ce théorème j'ai pas vraiment besoin de vous écrire la preuve du théorème que j'ai non c'est là bas je termine mais bon les étapes sont exactement les mêmes vous prenez d'abord un opérateur test que vous écrivez comme une comme une moyenne avec une certaine mesure et vous appliquez les mêmes inégalités que celle qu'on a utilisé c'est à dire que l'anthropie va être relié à l'anthropie quantique à l'anthropie classique avec une égalité de bérisine libre première ou deuxième peu importe et ce qu'il va falloir utiliser bien sûr c'est que quand vous prenez votre état test vous allez devoir calculer utensurène l'opérateur hn utensurène ça c'est ce qui joue le rôle du f moi la placien plus vf de tout à l'heure mais ça c'est très facile parce que ça vaut n l'énergie de artri et c'est exact donc il n'y a même pas de termes d'erreur donc dans une des deux inégalités entre le quantique et le classique alors il n'y aura pas de termes d'erreur ce sera une égalité exacte ça c'est ce qui intervient dans la borne supérieure et dans la borne inférieure vous suivez aussi exactement la même démarche que tout à l'heure d'accord donc vous avez la trace de hn gamma que vous voulez essayer d'écrire en fonction de la mesure de aussi mille à bas et cette trace c'est juste n fois la trace de h tenseur 1 n moins 1 gamma parce que tous les le premiers termes ils sont tous pareil il suffit de faire agir h sur la première variable c'est le h1 c'est le h tenseur 1 et ensuite le deuxième terme vous avez n n moins 1 sur deux termes ils sont tous les mêmes le lambda vous avez exactement 1 sur n moins 1 vous allez trouver 1 de mi de la trace de w tenseur 1 de n moins 2 de gamma d'accord et donc là ce que vous faites simplement on est en dimension finie il n'y a aucun problème tous les opérateurs sont bornés d'accord ici vous allez simplement mettre cet estimé qui vous permet de remplacer les observables quantiques par la version semi-classique avec la mesure de usine donc ça ce sera égal à n l'intégrale de l'énergie de artri de u dm gamma de u plus un grand taux de d'accord vous aurez la norme de h qui intervient évidemment dimension infinie c'est très dangereux la norme de w le cas sera soit un soit deux d'accord donc ça c'est d'ordre n donc ça c'est petit quand on va tout diviser par n peut-être que c'est plus joli si je l'écris comme ça et ensuite oui ce sera un terme d'erreur petit ça vous permet de comparer le problème quantique et d'avoir une bonne inférieure sur le problème faisant intervenir le problème classique donc la prochaine fois on va parler de vraiment de théories semi-classiques en dimension infinie donc parler de finitie quantique principalement et ensuite je vous expliquerai comment on fait pour faire ces preuves dans le cas de la dimension infinie là il faudra vraiment utiliser les propriétés plus fines de l'entropie relative ici on n'a utilisé que l'entropie vous voyez l'entropie relative n'est pas du tout apparu il faudrait utiliser vraiment l'entropie relative on sera obligé simplement parce que tout diverge trop vite donc on va regarder des différences et du coup c'est l'entropie relative qui va apparaître et puis je serai vous expliquer aussi un petit peu comment on fait quand on a les mesures qui sortent de l'espace de l'hille-berte et qui se mettent à vivre sur les saubolèves négatifs comme on a fait pour faire la preuve et là on a des informations bien plus partielles donc merci beaucoup à la semaine prochaine les non c'est c'est qu'on prend une suite donc les non c'est qu'on prend une suite donc les non c'est écrit en fonction des marginales quand là je n'ai pas vraiment parlé de marginale directement mais ça il faut l'écrire trace de A faut la km marginale de gamma donc la km marginale c'est quand on prend la trace partie par rapport à toutes les autres variables donc le definite i quantique en dimension à quel compte dit que si on a une suite de gamma k qui sont tels que ils sont tous positifs tous de trace 1 et qui sont tels que quand je prends la trace partielle d'un gamma k par rapport à la dernière variable je trouve gamma k moins 1 alors il existe une mesure mu tels que les gamma k sont tous une moyenne de u tensor k des mu de u d'accord donc ce que dit le théorème vraiment c'est un théorème directement on a fait la limite n qui t'envers l'infini on comprend une suite gamma n qui avec un n qui t'envers l'infini mais pour on regarde k fixé on passe à la limite pour chaque k et quand on fait ça et qu'il n'y a pas de problème de capacité on trouve une suite infini de gamma k qui sont tous reliés par ces conditions de compatibilité le théorème dit alors il n'y a plus rien d'autre que des gens factorisés et il y a un théorème similaire en probabilité les gens l'appellent oui ça va et je joue des fois juste définitive donc c'est la version quantique de ce théorème donc ici c'est une version quantitatif parce que tant que k est fixe on peut estimer exactement la différence avec une erreur d'ordre k sur n sauf que pour les probabilités il y a un théorème similaire mais où évidemment il n'y a pas de déce qu'il n'y a pas de dimension il y a un cas au carré à la place et c'est aussi une question verte de savoir s'il y a un théorème de ce type mais je pense que les gens pensent que c'est faux en dimension infini