 Merci, merci beaucoup, merci aux organisateurs pour la possibilité de parler aujourd'hui. Donc effectivement je vais parler en français, mais les slides sont en anglais. Donc je vais vous parler de récurrence spatiale, de modèles associés et de formes limites. C'est un travail que j'ai commencé sous la direction de Cédric Boutier et Béatrice de Thiliaire qui sont mes directeurs de tests. Donc voilà le plan, on va parler de plusieurs récurrences, donc je vous expliquerai ce que je veux dire par récurrence spatiale. On va parler de récurrence dite de Loctahedr, de récurrence dite du cube et de la récurrence de Cache F. Et on va voir pour chacune de ces récurrences des modèles cachés derrière, des modèles combinatoires cachés derrière et ensuite des résultats de formes limites sur ces modèles. Donc on commence tout de suite avec la récurrence de Loctahedr, donc je vous fais un petit historique en fait sur cette récurrence. À la base en fait ça vient de la formule suivante qui est l'identité de Dessnano-Jacobi. Si vous prenez une matrice et puis que vous vous autorisez à enlever la première et la dernière ligne et puis la première et la dernière colonne et vous regardez tous les mineurs que vous pouvez construire comme ça, il y a une relation qui les relie, cette relation-là. Et donc à partir de cette formule on va construire ce qu'on appelle une récurrence spatiale. Et puis je vais placer mes variables, là j'ai 6 variables, je vais les placer sur les sommets d'un Loctahedr et je vais considérer que la formule que j'avais écrite en fait je vais l'interpréter comme une récurrence spatiale, c'est-à-dire comme une formule qui va me définir ici le sommet noir en fonction des 5 autres sommets. Donc c'est ça que j'appelle une récurrence spatiale. Alors pourquoi c'est une récurrence spatiale ? Parce que si je prends des conditions initiales, par exemple je vais prendre des conditions initiales avec un plan de 1 et puis au-dessus de ça je vais mettre un plan avec des variables X, Y et donc je vais maintenant utiliser mon octahedre pour construire les valeurs de X au-dessus de ces plans. Par exemple si je construis un petit octahedre ici, je vais pouvoir définir le sommet noir avec cette formule. Et je continue, je construis des petits octahedres et comme ça je vais pouvoir définir sur ce plateau-là et puis je vais pouvoir continuer en construisant des octahedres jusqu'à arriver en haut de cette espèce de pyramide. Et donc la question c'est maintenant si je regarde la valeur que je trouve ici en fonction des conditions initiales, qu'est-ce que c'est ? Et alors ici donc pour ces conditions initiales-là, il se trouve que ce qu'on trouve c'est précisément le déterminant de la matrice des X, Y. Donc ça c'est un résultat qui est dû à Dodson qui est mieux connu sous son nom de plume de Lewis Carroll. Et donc c'est un petit peu le début de cette histoire de récurrence spatiale parce qu'on peut maintenant se demander qu'est-ce que ça donne si je mets d'autres conditions initiales. Et il se trouve que si on fait un petit peu d'expérience, on se rend compte que les solutions sont toujours des polynomes de Laurent en les conditions initiales. Donc un polynome de Laurent c'est comme un polynome mais avec des exposants éventuellement négatifs. Donc c'est un petit peu surprenant parce que quand on voit la formule, c'est clair que ça va être une fraction rationnelle mais les polynomes de Laurent c'est un sous-anneau des fractions rationnelles, c'est quelque chose de fraction rationnelle très particulier. Donc c'est un résultat assez surprenant. Et ce que je vais faire maintenant c'est essayer de vous montrer comment on peut expliquer ce résultat de manière combinatoire. Et donc l'explication elle est dû à Spire. Et donc vous avez, on vient d'entendre parler un petit peu de modèle de dimerre. Donc je vous fais petit rappel rapide. Si je prends un graphe, donc moi je prends un graphe plein air avec, il y en a un qui manque un mot ici, avec des poids positifs, mu-e sur les arrêtes. Une configuration de dimerre c'est un sous-ensemble d'arrêtes comme le sous-ensemble d'arrêtes rouges ici, c'est à dire qu'il touche une et une seule fois à chaque sommet. Et puis à chaque sous-ensemble d'arrêtes comme ceci, donc à chaque configuration de dimerre, j'associe une probabilité qui est proportionnelle au produit des poids des arrêtes rouges. Et donc évidemment il y a une constante de renormalisation ici et c'est la fonction de partition du modèle de dimerre. Donc moi je vais considérer les fonctions de partition vraiment comme des objets combinatoires. C'est-à-dire c'est la somme sur les configurations de dimerre du produit des arrêtes qui la composent. C'est ça la fonction de partition. Et alors pourquoi je vous parle de modèle de dimerre ? Parce qu'en fait le résultat est le suivant, donc là je vous mets un petit rappel sur le modèle de dimerre. Et donc si je prends maintenant une condition initiale un petit peu générale ici que je représente par cette espèce de surface, qui me permettent de définir en utilisant la récurrence de l'octaïdre, qui me permettent d'aller définir F2z ici tout en haut. Donc en utilisant l'espèce de pyramide de tout à l'heure. À ce moment là le résultat de Spire, c'est que juste en regardant mon z et ma condition initiale, je peux construire un grave-g de telle sorte que F2z, ça soit la fonction de partition du modèle de dimerre sur ce grave-g. Alors je ne vous dis pas exactement comment la construction est faite, je vous dis simplement que en fait la condition initiale i, mes sommets i, ça va devenir les faces du grave-g. Et ensuite donc j'ai mes variables Fi sur ma condition initiale qui vont devenir des Fi sur les faces ici. Et les poids que je donne à une arrête, c'est simplement l'inverse de F1, F2, où on est dans cette configuration. Donc j'ai mis un peu près égal ici, parce que ce n'est pas exactement ça, il y a une petite constante en plus mais c'est vraiment pas important. Donc tout ce qu'il faut en retenir c'est qu'on peut identifier la solution ici en z, en fonction des conditions initiales, comme la fonction de partition d'un modèle de dimerre. Donc je vous donne un petit exemple, si maintenant je prends tout à l'heure j'avais des 1 et puis des x, maintenant je prends des x et puis des y, et je regarde ce que ça donne, et bien là le grave que vous allez construire, que le grave que vous allez obtenir c'est ce grave-là, qui est le grave du diamant Aztec. Et donc ce que dit le théorème, c'est que en fait F2z, c'est essentiellement la fonction de partition du modèle de dimerre sur le diamant Aztec, avec ces poils-là. Donc ça a un certain nombre de conséquences algébriques, donc ça nous donne le fait que c'est un polinome de Laurent dans les conditions initiales, parce que c'est clair que la fonction de partition du modèle de dimerre c'est un polinome de Laurent. Donc ça c'était un fait qui avait été prouvé par des méthodes purement algébriques, des méthodes d'algebra amassées par Fomin et Zelevinsky en 2001. Mais là on a un petit peu plus, on a en plus les coefficients devant chaque monome, et puis on a les exposants, on va dire quelle va être la forme des exposants, en fait on a une identification de chaque monome comme une configuration de dimerre. La fonction de partition c'est ça, c'est une somme sur les configurations de dimerre d'un certain point. Et ce que je prétends, c'est que ce résultat-là, il va impliquer des résultats de formes limites. Qu'est-ce que c'est que les formes limites ? Là j'ai représenté en fait, c'est une autre manière de représenter les configurations de dimerre sur le diamant Aztec, c'est d'utiliser un pavage comme ça, je ne vous dis pas exactement comment c'est fait, on a une représentation équivalente, et si je prends des graffes de plus en plus grands, on remarque qu'il y a une espèce de forme qui se détache ici. Et alors là je vais passer très vite là-dessus, mais essentiellement, simplement en sachant que votre fonction de partition vérifie la relation de l'octahèdre ici, et si vous avez fait un petit peu de mes casse-tades, vous savez peut-être qu'on peut trouver des observables en dérivant la fonction de partition par rapport à certaines variables. Et donc en dérivant astucieusement ce genre de choses, on peut obtenir des relations sur des observables, et ces observables, et on peut ensuite en déduire un petit peu le comportement de ces observables-là. Et donc on en déduit qu'il y a un changement de comportement selon que je suis à l'intérieur ou à l'extérieur de ce cercle ici. C'est ça qu'on appelle le théorème du cercle arctique. Donc c'est une manière de démontrer le théorème du cercle arctique. C'est pas la première, celle-là elle est due à Di Francesco et Soto Garrido. Donc si je résume, j'avais une récurrence spatiale sympathique, j'ai trouvé un modèle où quand je dis que le modèle résout la relation de récurrence, ça veut dire que je peux identifier les solutions comme des fonctions de partition de ce modèle. Et ensuite, de manière quasiment gratuite, il y a quand même une machinerie technique importante derrière, mais elle est bien connue maintenant et donc on peut trouver comme ça des résultats de forme limite. Donc la question naturelle, c'est qu'est-ce que c'est qu'une récurrence sympathique. Donc je vais vous en présenter une deuxième. C'est la récurrence dite du cube. Alors en fait c'est propre qu'il a suggéré en 2001, en regardant un peu la récurrence de l'Octahedra, finalement on peut se dire qu'est-ce que ça serait l'équivalent sur un cube. Donc c'est ceci, c'est-à-dire que le produit du sommet rouge et du sommet noir, c'est égal à produit des sommets bleus qui sont diagonalement opposés ici, plus les verres, plus les oranges. C'est assez naturel quand on a vu la récurrence de l'Octahedra de définir ça. Et en fait, il se trouve que elle est reliée, si vous avez fait un peu d'électronique. Si je regarde les réseaux de résistance on peut faire ce qu'on appelle une transformation triangle-étoile dessus et en fait c'est une manière d'écrire la relation triangle-étoile des réseaux de résistance. Et donc de la même façon, je vais pouvoir la considérer comme une récurrence spatiale. Donc là, en l'occurrence, j'ai une condition initiale qui va plutôt ressembler à ça. Donc un empilement de cubes avec des cubes enlevés ici. Et donc je peux faire avancer et définir sur le sommet qui est le plus proche de nous. Et on se rend compte qu'il y a encore une fois une propriété de Laurent. Donc, une question naturelle. Donc c'était la question originale lorsque cette récurrence a été définie. Est-ce qu'il y a un modèle caché ? Et donc ce modèle-là, il a été trouvé par Karol et Speyer, ce qu'ils appellent les cubes-groves, en français bosqué. Donc si je prends le théorème qui démontrait le suivant, si je prends un empilement de cubes sympathiques comme celui-là, qu'est-ce que c'est un bosqué ? Eh bien c'est un choix des arrêtes, un choix des diagonales des phases des petits cubes qui soit choisi de telle sorte qu'on construise une forêt couverante avec en plus des conditions au bord, des conditions de connectivité que je vous explique pas. Vous pouvez essayer de les deviner en regardant l'image. Et donc quel est le poids qu'on va donner à un bosqué ? C'est simplement ce produit-là, produit sur tous les sommets bleus du degré qu'il a dans la forêt, moins d'eux. Et donc la fonction de partition, c'est ça. C'est la somme sur tous les bosquets de ce poids. Et donc le théorème et le suivant, si je prends des conditions initiales sur i, si je prends un sommet z tel que je puisse aller définir f2z avec ma récurrence du cube, à ce moment-là, le théorème c'est que le f que je définis comme ça, c'est la fonction de partition des bosquets sur l'empilement initial. Donc là c'est encore plus simple que tout à l'heure parce que je n'ai pas à vous dire comment y construit le graphe. En fait le graphe, c'est pile le graphe qu'on avait au début sur lequel il y avait ma condition initiale. C'est sur ce graphe-là que vont être définis les bosquets. Bon, et bien de la même façon, on peut trouver des formes limites. Et donc là encore une fois, donc ça c'est pour le cas des bosquets pris uniformément, là encore on trouve un cercle. Donc là il faut imaginer que j'avais un très grand empilement de cubes comme ça. Et puis j'ai enlevé tous les cubes dans un hyper-plan ici i plus j plus k égale moins grande n, avec n grand. Et ensuite j'ai pris un bosquet uniformément. Et donc il va avoir cette tête-là, on voit qu'il y a encore une forme limite. Donc maintenant je vais vous parler d'une dernière récurrence qui est dû à kxf. C'est la suivante. Alors ok, donc vous voyez qu'en fait c'est encore une fois, c'est une relation qui va lier les valeurs de f sur les sommets d'un cube et qui va s'écrire comme ceci. Alors pourquoi cette récurrence là ? Donc kxf l'avait introduite pour, c'est une manière d'écrire la relation triangle étoile, mais pas maintenant pour les réseaux de résistance, mais pour le modèle d'easing dont on vient entendre parler. Sur le modèle d'easing, il y a aussi une relation triangle étoile et c'est une manière polynomial de l'écrire. Et en fait Kenyon et Pimental se sont rendus compte que c'était aussi la relation que j'obtiens si je prends une matrice symétrique et que je m'autorise à enlever les lignes et les colonnes parmi l'ensemble 1, 2, 3 ici. Donc j'enlève les mêmes lignes et les mêmes colonnes pour garder des matrices symétriques. Et donc j'obtiens comme ça à 8 mineurs et quelle est la relation qui lit ces mineurs ? C'est la relation de kxf. Et donc encore une fois on va considérer que cette relation va nous permettre de définir f de v le sommet ici en fonction des autres. Alors là on voit qu'on a une relation quadratique donc il va falloir faire un choix de racine et en fait le bon foie à faire c'est de prendre toujours la racine plus, la plus grande racine. Et encore une fois on trouve un résultat de propriété de l'orant. Donc est-ce qu'il y a un modèle caché ? Donc je vous donne la réponse, le modèle caché il existe, c'est celui-là. C'est en fait un modèle qui existait dans la littérature physique pour des raisons complètement différentes qui avaient été définies par le 1923, il l'avait appelé le C12 Loop Model. Donc qu'est-ce que c'est que ce modèle ? Vous voyez que c'est un modèle où j'ai des espèces de boucles ici qui se baladent sur le graphe dual du graphe qui est dessiné qui sont de deux couleurs soit bleu soit rouge qui sont couvrantes c'est-à-dire que si je regarde n'importe quel arrêt dual ici elle peut pas être vide, elle est forcément couverte soit par une boucle bleue soit par une boucle rouge est-elle que bleu et bleu ne se croient jamais et rouge et rouge ne se croient jamais par contre bleu et rouge peuvent se croiser donc c'est ça le modèle et puis il y a en plus des conditions en bord que je vous explique pas non plus donc on peut lister les configurations sur n'importe quelle face ici une petite face des cubes et donc on voit qu'il y a 10 configurations donc maintenant faut que je vous dise donc je vous ai dit quel était le modèle il faut quand même que je vous dise les poids que j'associe à ce modèle cette configuration je vais associer un petit poids local ici qui va dépendre de ma fonction g sur les sommets et à ce moment-là le poids d'une configuration c'est le produit de tous ces poids locaux multiplié par 2 puissances n ou n c'est le nombre de boucles finies donc vous voyez là j'ai une petite boucle finie rouge une rouge, une bleu, une bleu ici une rouge donc c'est ça les poids qu'il faut mettre sur ce modèle c'est d'abord le théorème ici c'est-à-dire que la solution de la récurrence de kxf c'est la fonction de partition de ce modèle c'est la somme sur les configurations de boucles de leur poids avec un petit facteur de renormalisation donc ça a un certain nombre de conséquences déjà on a la propriété de Laurent donc pas exactement en les variables initiales parce qu'il y a aussi, si vous regardez les poids il apparaît aussi la racine carré de gx, gy plus gug qui sont des espèces de variables de face ici donc on a la propriété de Laurent mais pas exactement en les gv on a aussi ces variables là qui vont apparaître on a les coefficient, on a les exposants et on a des formes limites donc les formes limites je vous les montre alors de la même façon que tout à l'heure j'ai pris un grand empilement de cubes et puis j'ai coupé selon un hyperplan y plus y plus k et puis il faut quand même donner des poids précis pour pouvoir avoir des formes limites donc en fait je prends des poids périodiques, c'est-à-dire que si vous regardez à l'intérieur de ma région coupée ici je vais avoir en fait ce motif là qui va se répéter, si vous imaginez que je reproduis ce motif là périodiquement, vous allez obtenir la région coupée au milieu et donc les poids que je mets c'est les poids sur les sommets et donc je mets des poids ici a, b, c donc c'est ça le choix qu'on prend et puis on le périodise pour reproduire ce motif là et je trouve que la forme limite va dépendre en fait que de la quantité r égale ac donc là la simulation et le calcul de forme limite théorique ici c'est pour r égale 3 et pour r différent de 3 on a un comportement un peu différent, on a eu cette espèce de triangle arrondi avec au milieu une facette et vous voyez qu'en fait il apparaît une phase qui est complètement différente, tout à l'heure on avait vraiment deux phases, une phase gelée une phase qu'on va dire liquide ici une phase gelée, une phase liquide et une phase qu'on va dire gazseuse au milieu qui correspond à trois comportements différents pour la bonne observable donc si je résume un petit peu ce qui est connu en tout cas à ma connaissance ce qu'on connaît comme récurrence, qu'on sait résoudre on a la récurrence de l'octahèdre avec les dimers on a la récurrence du cube avec les bosquets la récurrence de l'exahèdre dont je vous ai pas parlé qui a été introduit pour étudier la récurrence de khaf qui a pour solution les doubles dimers c'est un résultat de canyon epimental et ensuite on a la récurrence de khaf avec ses boucles bicolores et il y a probablement d'autres choses à écrire dans cette liste et donc si vous avez des idées bien sûr on peut en discuter c'est sûr qu'il y a d'autres choses est-ce qu'il y a des questions ? quand tu as dis que quand R est différent de 3 tu avais 3 phases que tu as dit gelée, liquide gaseuse est-ce que c'est une interprétation physique dans le modèle original dont tu as parlé ? alors en fait ok le modèle qu'ils ont introduit c'était un modèle qui apparaissait d'une manière assez théorique en étudiant les équations de yang-backster qui sont un peu une écriture de ces transformations très anglais-toiles et ils ont trouvé en fait une solution de ces équations de yang-backster mais tu vois c'est un modèle qui vient du calcul si je veux schématiser donc c'est pas vraiment un modèle qui vient d'une modélisation physique de quelque chose en tout cas pas ma connaissance ensuite les différentes phases ben ça je sais pas c'est pas vraiment une question que je me suis posé mais c'est vrai que ces phases correspondent à des ordres de corrélation pour répondre à quelle vitesse les corrélations vont décroître et ça serait intéressant de regarder ce modèle-là de le définir sur un graphe un peu général et de se demander quelles phases vont apparaître puisque là manifestement on a 3 comportements qui peuvent apparaître mais en tout cas physiquement je pense pas que ce modèle est beaucoup de signification Est-ce qu'il y a d'autres questions ? Oui Dima ok oui, il y a un c'est-à-dire ce que j'ai trouvé c'est que plus ou moins il y a un lien entre deux diamères et des loups et ce n'est pas un des travaux mais ces loups sont plus ou moins deux diamères dans ces guises donc vous pouvez probablement utiliser la fonction de diamères et définir une sur les loups je n'ai pas fait ça mais c'est probablement possible Bonjour La relation de récurrence nous a adressé à calculer la fonction de la partition Qu'est-ce que tu veux dire à trouver le bon modèle ? Je ne sais pas trouver un modèle associé ou trouver la relation de récurrence laquelle est plus difficile Alors trouver le modèle associé c'est un petit peu le problème c'est un petit peu là où il faut les hypothèses et voir si ça marche ou pas mais après ce qui est intéressant pour les physiciens c'est que cette relation de récurrence elle te donne un algorithme polynomial pour calculer la fonction de partition d'un modèle tu vas pouvoir calculer la fonction de partition avec un algorithme polynomial et le fait qu'il y a un algorithme polynomial apparemment c'est un signe d'intégrabilité pour les physiciens en discutant avec quelqu'un apparemment c'est quelque chose de l'intégrabilité c'est-à-dire que tu peux calculer ta fonction de partition d'une manière assez simple par rapport au calcul de base que tu aurais envie de faire qui serait polynomial exponentiel tu as un petit peu un algorithme polynomial pour le faire ça montre que d'une certaine façon les fonctions de partition sont simples calculables Je propose qu'on passe au prochain exposé on remercie déjà Paul c'est exposé