 Bon, donc je vais essayer de finir les indications de preuves que je donnais sur Axelin de Mann. Et après je passerai à des choses plus arithmétiques, plus théories des nombres. Donc je vous rappelle que ce qu'on veut voir, la situation, c'est qu'on a une sous-varieté dans S, une uniformisation par un domaine symétrique amiciens. Et puis on a un algébric maximal dans l'image inverse de V. Et le but, c'est de montrer que P2A est faiblement spécial. Et ce qu'on avait vu la dernière fois, c'est que ce qui était crucial, c'est de construire un gros stabilisateur de A qui provenait d'un groupe sur Q. Alors, c'est ce qu'on va essayer de faire, donc je mets le principe de la preuve de la proposition 5.2. Alors c'était donc que le stabilisateur sur Q en un sens de A était de dimension positive. Alors, on définit un ensemble theta de A de la manière suivante, A c'est l'algébric maximal ici, c'est l'ensemble des G, donc c'est un sous-ensemble du groupe G, tel que la dimension de G.A interpimoisin. A, tout sa place, c'est le composant connex de G de A à plat. G de, merci. Interf, donc ça on veut que ça soit la dimension de A. Donc ça mesure des translatés de A qui restent d'amplimoisin de V et qui rencontrent F. Donc où F est un ensemble fondamental tel que pirestrain F est définissable, donc toujours dans R-anex. Il y a un point important d'abord, c'est que theta de A est définissable dans R-anex, essentiellement parce que G.A, pirestrain de V, interf, c'est définissable dans R-anex et que la dimension, c'est une notion qui existe dans toute théorie au minimal et qui est une notion définissable. Il y a déjà un argument quand même derrière, donc on a une formule pour theta de A et on a des propriétés qui sont très utiles. Comment on intersecte avec des ouvertes ? Non, c'est pas des ouvertes, c'est des variétaires, je pense. Ça c'est fermé, ça c'est ouvert pour moi, effectivement. Est-ce que ça veut dire que tout le composant c'est partout de la même dimension ou c'est seulement la dimension ? Il y a une vraie dimension pour A, c'est désiréductible, il y a quelque chose. Mais la notion de... Un point important, c'est que si G est dans theta de A, alors G.A, interf, à la même dimension que A et donc ça veut dire que dans un voisinage, sur F, G.A, interf est contenu dans Pi-1 de V et ça, ça se maintient partout. Donc si G est dans theta de A, par prolongement à un adinithique, G.A est inclus dans Pi-1 de V. Donc ça c'est quelque chose qui, voilà, c'est une propriété locale qui s'étend. Ensuite, le point clé pour moi, c'est que, enfin, quand on regarde theta de A inter-gamma, ça se simplifie beaucoup. C'est juste l'ensemble des gammas appartenant à gamma telles que A intersecte, alors gamma, bon, c'est gamma-1 de F, non trivialement. Bon, et puis j'ai une troisième propriété qui est peut-être moins importante, mais que je mets, que quelle que soit gamma dans gamma, par moment gamma inter theta de A, gamma.A est un agévrique irréductible maximale. Alors, un mot sur le point 2, c'est bête, mais si je regarde theta, enfin, ça utilise simplement, donc c'est l'ensemble des gammas dans gamma telles que la dimension de gamma A inter-P-1 de V inter-F, c'est la dimension de A, mais je vais utiliser que P-1 de V est gamma invariant. Donc ça, c'est l'ensemble des gammas appartenant à gamma telles que dimension de A inter-gamma-F inter-P-1 de V. Egal la dimension de A et ça, ça veut dire que A inter-gamma-F est non vide. C'est la même chose, en fait, parce que F est ouvert. Donc en fait, c'est juste tester qu'un gamma est dans cet ensemble, c'est juste dire que l'algébrique rencontre le translaté, ou enfin, il y a un problème de signe qui n'est pas important, rencontre le translaté de l'ensemble fondamental par un gamma. Ce que je vais essayer de faire, c'est de construire un algébrique dans theta2A, en utilisant pila-wilty, qui contiendra beaucoup d'éléments de gamma et je vais voir que cet algébrique va donner lieu à quelqu'un dans le stabilisateur. Alors pour ça, j'ai besoin d'une hauteur sur, disons, en fait, sur ZQ ou ZQ bar. Donc, par exemple, je plonge n'importe comment ZQ bar dans un GLN et je vois ça comme... Bon, puis j'ai une hauteur ici et par restriction, j'aurai une hauteur ici. Donc, je note H, la hauteur induite sur GQ bar, et je vais en fait l'utiliser sur G de Q, même sur GZ, d'une certaine manière. Et donc, je m'intéresse au terrain de comptage de pila-wilty, donc je définis... Je vais essayer de l'utiliser, donc je définis NA2T comme... Alors, l'ensemble des gammas appartenant à theta2A intergamma, donc c'est juste ce tel que A rencontre gamma-1 pour F, tel que la hauteur de gamma est inférieure à grand T. Donc, c'est l'ensemble des gammas telles que A intergamma-1F n'est pas vide et hauteur de gamma, le petit côté. Alors, c'est des points rationnels, même entiers, de hauteur borné. Si j'en trouve beaucoup, ça ne peut être expliqué que par la présence d'un algévrique de dimension positive. Et donc, le terrain-clé va être que 5.5, il existe A strictement positif, tel que pour tout T assez grand, le cardinal de cet ensemble, c'est au moins tes puissances. J'ai oublié que c'est la hauteur, c'est le soupe de valeur absolue ou le log? C'est soupe du valeur absolue, il n'y a pas de log. C'est la hauteur avant, enfin pas logarithmique. Donc, si j'ai un algévrique dans ses puissances saines, à l'intérieur, j'ai un domaine symétrique hermitcien, j'ai les translatés d'un domaine fondamental ou d'un ensemble fondamental. L'algévrique doit rencontrer beaucoup de domaines fondamentaux, en ce sens-là. C'est ça l'énoncé, il n'y a rien à voir. Enfin, c'est un énoncé de pure géométrie hyperbolique, je vais y revenir. On suppose en quelque sorte que la situation est très viole, par exemple, le groupe très viole, ce ne sera tant qu'une force. On suppose quelles sont les protestes, quelque chose de dimension positive? A, c'est de dimension positive. Le groupe, enfin, il y a une variété de chimeras de dimension positive. Il n'y a pas de... Ok, alors, je vais quand même dire comment j'en déduis que le stabilisateur de A est gros, en fait, contient un groupe algévrique sur Q. Alors, je vais dire que preuve de 5.5 implique 5.2. Donc, j'essaye de montrer qu'il y a un gros stabilisateur. Et par pile à Wilkie, donc le terrain de comptage, donc assure... Là, j'utilise vraiment la version bloc, mais je veux dire que ça dit qu'il existe... Alors, j'ai mis B2 pour... Je ne sais plus quelle raison. Il existe un B2 strictement positif, tel que pour tout est assez grand. Il existe un bloc, donc semi-agévrique W, dans t'état de A, tel que le cardinal de l'ensemble des gammas dans W inter-gamma, tel que H de gamma soit plus petit que T, et déjà plus grand que T puissance B2. Donc, il y a des blocs algévriques où il y a beaucoup de ces points. Voilà. Alors, je fixe... On fixe un certain gamma 0 comme ça, dans gamma inter-w. Et on constate que si j'appelle W1 gamma 0-1.w, c'est un bloc dans t'état de A qui contient d'abord l'identité et tel qu'il y a autant d'éléments de gamma dans W1 que dans W. Donc l'ensemble des gammas appartenant à W1 inter-gamma. Oui, non, je dis juste c'est supérieur au égal à T puissance B2. Alors pourquoi j'ai avancé parce que dans cette situation, W1.a c est un algévrique contenant A et contenu d'emplis moins 1 de V. Alors, le fait qu'il soit contenu d'emplis moins 1 de V, c'est la propriété 1 que les éléments G dans t'état de A font que G.a reste d'emplis moins 1 de V. Et le fait qu'il contient A, c'est qu'il y a l'identité ici au moins. Et donc ça, ça vous dit que W1.a est égal à A, ou si vous voulez que W1.a est contenu dans le stabilisateur dans G2R de A. Alors, on a avancé parce qu'on montre comme ça, donc que dans le stabilisateur contient une infinité d'éléments de gamma. J'en ai construit au moins T puissance B2, qui fait variété. Et donc je prends si vous voulez stabilisateur dans G2R inter-gamma et je prends la clôture de Zariski, peut-être le groupe engendré par cette clôture de Zariski qui est un groupe et c'est ça, c'est inclus dans le stabilisateur et c'est le groupe qui provient de dimension positive. Je peux dire que c'est de dimension positive et c'est contenu dans le stabilisateur. Donc, encore une fois, c'est le terrain de Pilla-Wilky qui permet de passer du terrain 5.5 à cet énoncé. Et je voulais dire quelques mots sur le terrain 5.5 qui est purement de la géométrie hyperbolique. Il n'y a plus... Quand vous y réfléchissez 2 minutes, la première chose que vous pouvez faire, c'est dire que vous pouvez supposer... Donc qu'est-ce que vous voulez faire ? Vous voulez montrer que vous avez un espace symétrique dans ses puissances saines et puis une courbe. Vous voulez démontrer et un algébrique. Vous voulez démontrer qu'il rencontre beaucoup de domaines fondamentaux. Pour ça, il suffit de le faire pour les courbes. Parce que si vous savez le faire pour une courbe à l'intérieur de votre algébrique, si il rencontre déjà beaucoup de domaines fondamentaux, l'algébrique rencontrera éventuellement encore plus. Donc, on peut supposer qu'il y ait une courbe algébrique. Et puis, un petit peu plus, on peut voir que l'énoncé lui-même d'Axin Deman ne concerne que les courbes. Si vous l'écrivez sous la forme, vous prenez un algébrique, vous prenez son image, la clôture de Zareski est faiblement spéciale. Si vous savez le faire pour les courbes, en fait, vous saurez le faire pour tous les algébriques. Parce que vous êtes capable de trouver une courbe à l'intérieur de votre algébrique, tel que Pi de la courbe à la même clôture de Zareski que Pi de l'algébrique. Donc, ce n'est pas très étonnant qu'on se ramène un problème sur les courbes au bout d'un moment. Et voilà. Donc, sur X, j'aurai besoin de quelques notions de géométrie hyperbolique. Donc, j'ai une métrique, la métrique sur X plus, X plus. J'ai d'Ax la distance associée. J'ai X et la métrique sur X plus. Merci. J'ai une distance. Et j'aurai besoin de quelque chose aussi. Je vais plonger, comme avant, un peu habituellement. Mais, en fait, j'essaie de construire une norme sur X plus qui a une certaine invariance. Et je fixe un compact maximal de GLN de R, tel que qu'un fini inter G de R est un compact maximal de G de R. Alors, ça correspond à un point X0 de l'espace symétrique. Je peux choisir mon domaine fondamental préféré, de sorte que X0 soit dans F. Voilà. Et quand je fais ça, je peux construire, on fixe, une norme qu'un fini invariant sur Mn de R. Et elle induit donc une fonction sur X, qui est KX0 invariante. Il y a un compact maximal de G associé à X0, KX0, et cette fonction est invariante à droite par KX0. Alors, c'est une manière d'une certaine manière, la complexité d'un point X dans l'espace X. Et on a besoin d'un certain nombre de choses qui sont purement de la géométrie hyperbolique. Oui, alors j'ai fait des choix un peu compatibles, que je ne dis pas tous les choix un peu compatibles, le type de choses qu'on a quand on prend les bonnes normalisations. Donc c'est que si on regarde un point telle que la norme de G ou ça revient au même G.X0 et grande, alors la distance de X0 à G.X0 est obligée de grandir aussi dans cette proportion-là. Et là, si on a bien normalisé, on n'a pas besoin de constante, mais on pourrait en mettre. Il existe une constante positive tel que pour tout gamma dans gamma et tout dans la transclatée de F par gamma, la hauteur de gamma, c'est au plus plus infinie. Donc si vous avez un U qui est dans un transclaté par gamma de F, sa norme ne peut pas être trop petite si la hauteur du gamma est un peu grande. C'est purement de la géométrie hyperbolique. Ça, ce n'est pas beaucoup de travail. Il y a un outil qui est un théorème de Wang et Tau qui dit la chose suivante soit B de X0R et la boule hyperbolique pour la distance hyperbolique en deux centres X0 et de rayons R. C'est ce que j'ai appelé DX. Il existe des constantes il existe c'est strictement positive tel que pour tout R assez grand le volume de C intersecté avec cette boule c'est plus grand que exponentiel C4R pour R assez grand. Donc une courbe dans un espace hyperbolique rencontre le volume dans la courbe et R assez grand. Excusez-moi, ma courbe c'est grand A ma courbe c'est A ici et là c'est bon. La chose qui est facile à énoncer mais qui est vraiment le truc qui nous a bloqué longtemps et qui fait de la différence c'est qu'il existe une constante il existe A égale en A0 qui dépend que de c'est pas terrible comme notation ma courbe j'aurais dû l'appeler C un moment mais bon c'est pas grave d'accord on peut supposer que A est une courbe algébrique C ça m'aurait aidé un moment d'accord une courbe algébrique c'est bien quand ça s'appelle C donc cette constante ne dépend que de la courbe algébrique tel que je dois démontrer un peu plus fort mais ce que je vais vraiment utiliser c'est que pour tout gama appartenant à un gama le volume de l'intersection de la courbe avec un translaté c'est uniformément borné par une constante on dit comme ça c'est le même où il se passe quelque chose un peu délicat ici les autres sont pas difficiles alors ce que je veux dire c'est comment ces quatre ingrédients vous démontre ce que je veux alors donc maintenant preuve de 5,5 alors je vais définir finalement j'essaye de voir comment la courbe c'est un nombre de domaines fondamentaux et je fais varier un paramètre je fais varier la norme infinie de z quand z varie dans la courbe et donc je coupe comme ça et bon évidemment c'est la réunion pour gama dans gama tel que l'intersection avec la courbe est non vide des z dans gama f intercée et toujours avec cette condition de norme et par le l'm donc par le 2 il n'y a plus de numéros donc je dis que c de t est inclus donc dans l'union pour gama appartenant à gama gama f intercée et puis j'ai une condition sur la hauteur que la hauteur de gama est plus petite que bxt toujours de l'ensemble des z appartenant à gama f intercée et ok et je prends les volumes simplement pour l'instant et je dis que le volume de c de t c'est inférieur ou égal à la somme pour gama dans gama avec cette condition que gama f intercée est non vide et que la hauteur de gama soit plus petit que bt fois le volume de chacun des choses donc gama f intercée et chacun de ces volumes c'est uniformément borné par une constante à cette constante à zéro qui dépend que de la courbe alors en fait le nombre de gama tel que gama f intercée et non vide est la hauteur de gama inférieur à bt pardon oui c'est une somme finie gama de hauteur borné j'avoue que là j'ai fait un changement de signe nc c'était l'ensemble des gama et là j'ai pris plutôt l'ensemble des gama et de hauteur mais ça change pas c'est la même chose à démontrer ok donc j'ai ça et de l'autre côté par le 1 du l'aime là bas que j'aurais dû donner un nom je vais appeler ça 5, 7 ça m'aurait dé et ça 5, 8 donc par le 1 de 5, 7 c interla bout le centre x0 et de rayons l'opt et contenu dans c2t et donc pour minorer le volume je peux appliquer wangto donc le volume de c2t c c'est au moins t puissance c ou c c'est vraiment la constante donc ça c'est 5, 8 et inférieur ou égal à 0 alors ça vous donne ce qu'il faut même si vous liez à nc2t mais vous avez cette translation donc vous en déduisez qu'il y a beaucoup de points enfin beaucoup de gamma tel que gamma f interc et non vide et de hauteur de gamma plus petit que b.t il y en a au moins t puissance et c'est ça qui suffit je ne détaille pas plus la partie le l'aime clé là c'est là que en fait on utilise la structure un peu fine de la compactification des variétés de shimura donc on utilise pas mal des compactifications toroidales et puis après une comparaison de métric entre point carrés et faultings et ça c'était quelque chose que t'es dû à même fort et qui a été utilisé donc on utilise un centre de choses ici pour s'énoncer voilà qui alors tu peux trouver par volume t'as attaqué ou les indimensions? oui et là une dimension complexe alors c'est par rapport à quoi tu active le volume? j'ai une métrique et en plus je suis en géométrie complexe ça se passe vraiment bien, j'ai une uniforme différenciel je reste à cette uniforme différenciel mais je calcule avec ça, c'est l'air mais ce truc là marche pour une variété de dimension b quelqu'un qu'il faut mettre ça se passe mieux que ça oui c'est l'air donc donc maintenant dans le temps qui me reste mon but c'est de vous expliquer les bandes inférieures pour les orbites sous galois qui sont le dernier le dernier ingrédient en majeur et c'est ça que je voudrais faire donc voilà on passe un truc qui est maintenant totalement de la théorie des nombres et je vais essayer d'expliquer un peu le contexte pourquoi il y a quelque chose qui bloque et comment ça s'est un peu miraculeusement arrangé alors bandes inférieures pour la taille des orbites pour les orbites sous galois de points spéciaux donc la première chose qu'il faut que j'explique c'est l'histoire de groupes de classe pour des torres et en fait de morphisme entre groupes de classe entre torres donc je vais expliquer d'abord la situation donc je vais parler de torres algébriques donc si je pars d'un torre algébrique sur Q il y a quelque chose qui est à l'intérieur des adels finis c'est un compact maximal alors dans les torres il n'y en a qu'un seul c'est pratique et on définit un groupe de classe comme ça T2af donc c'est un groupe de classe que je vais appeler absolu et si K est un sous groupe compact ouvert dans KTM j'ai un groupe de classe relatif à K que je définis comme je vais l'appeler KT ça va m'arranger T2af sur T2Q alors si F est un corps de nombre et je prends le torre RF que des fois je note F étoile la restriction de GM alors H RF c'est le groupe de classe au cas mais de OF et le groupe de Picard en général on va trouver des groupes de classe d'ordre à l'intérieur donc les torres algébriques sont une manière de généraliser les anneaux d'entier et la théorie des nombres et le premier point qui est important dans le tableau c'est que il existe une constante mu2d donc il dépend que d'une dimension positive et c'est égal c2d aussi tel que pour tout or algébrique T2d ce qu'on sait faire c'est qu'on ne sait jamais minorer un groupe de classe ce qu'on sait minorer c'est un groupe de classe x régulateur donc je dis le type de minoration qu'on obtient alors qu'est-ce que c'est que L le corps de décomposition le plus petit corps qu'il est rendu déployé et RT c'est le régulateur donc essentiellement c'est le covolume du réseau des unités donc ce réseau des unités c'est TQ inter KTM et que vous plongez alors je vais écrire R puissance, R infini moins oui je vais l'appeler RQ comme ça c'est bien et R infini c'est le rang sur R le rang déployé sur R et RQ c'est le rang déployé sur Q alors c'est un fait général de la théorie des nombres que jamais on peut obtenir une minoration d'un nombre de classes où il n'y a pas le régulateur dedans et c'est un phénomène de fusion nucléaire les deux vont toujours ensemble oui en tout cas on peut pas les séparer mais il y a quelque chose qui se passe dans la multiplication complexe c'est que pour un tord de multiplication complexe RT est toujours égale à 1 donc en fait ces deux rang coïncident donc typiquement si le groupe si vous avez un sous tord d'un groupe G adjoint qui correspond à la multiplication complexe ce tord et les points réels sont compacts donc on a RQ égal à 0 et l'infini aussi donc c'est ça la situation standard donc on a une chance on a une minoration comme ça qui est en fait de l'ordre de grandeur de ce qu'on veut pour acheter lui-même dans lequel la multiplication complexe alors évidemment c'est DL ou je ne l'ai pas dit mais je l'ai souvent utilisé c'est la valeur absolue du discriminant de OL voilà L le corps de la composition alors je ne vais pas donner le temps de multiplication complexe c'est à l'oado de la norme alors c'est si tu veux c'est un tord il n'y a pas un paramètre de Vodge qui passe par lui à l'infini je vais venir peut-être plus donc voilà alors je dis vite les ingrédients qu'il y a là-dedans en fait il y a une formule de Shear qui généralise à tout tort la formule des classes donc il dit que donc c'est il y a un nombre d'invariants omega t c'est un nombre de racines de l'unité tau indisté c'est un nombre de tamagawa roue indisté c'est je vais l'écrire un quasi résidu et puis il y a quelque chose qu'on appelle un quasi discriminant qui intervient il y a un petit travail pour comprendre ce que c'est que ce quasi discriminant donc c'est omega t roue t et en fait vous avez le conducteur d'artine à la puissance un demi et puis de puissance A bon je ne dis pas parce que ce sont des nombres uniformément bornés et produits pour tous les nombres premiers alors j'ai essayé de dire en deux mots ce que sont les choses donc omega t c'est le plus simple c'est vraiment les racines de l'unité dans le tort et c'est quelque chose de cardinale finie uniformément borné pour une minoration c'est un entier donc celui-là pose jamais aucun problème tout indisté c'est le nombre de tamagawa du tort donc ça c'est un invariant comologique qui disparaît il apparaît pas quand vous faites la formule des classes pour un tort comme ça parce que ces tort sont comologiquement triviaux mais bon on peut les définir en termes de comologie et les évaluer il n'y pose pas vraiment de problème pour ce genre de choses alors roté disons le point clé c'est que vous avez une représentation de galois de L sur Q je prends les caractères donc le groupe de galois opère sur les caractères et ça c'est une représentation d'artine donc d'un groupe de galois dans un assez espace vectoriel de dimension finie oui c'est équivalent disons la représentation dans X étoile de T c'est équivalent au tort alors quelque chose comme ça ça a une fonction c'est un caractère et ce caractère a une fonction L et il y a un développement en 1 avec une certaine puissance qui sort et un certain pôle qui est le nombre de fois que l'identité intervient dans ce caractère c'est la limite vous isolez la puissance qu'il faut en facteur et vous prenez la limite quand elle reste en verrain des termes qui restent alors ça c'est c'est une fonction L d'artine et donc le le point clé c'est de la théorie analytique du nom de Brewer's Eagle va vous dire qu'essentiellement le roté et supérieur inférieur enfin DL puissance epsilon qu'est ce que je veux dire ? oui bon DL donc le roté n'est pas ni trop petit ni trop grand voilà donc là on a une formule close en fait ici et le AT c'est le conducteur d'artine de ma représentation roue et ce qui intervient dans cette formule c'est le groupe de composantes du modèle de Néron connex du tort en chaque place finie donc c'est une formule close qui vaut ce qu'elle vaut qui était d'expliciter le discriminant et donc le contenu de la proposition c'est essentiellement de minorer le conducteur d'artine dans une situation générale pour un tort générale voilà donc pardon ? oui oui parce que c'est un modèle de Néron c'est lisse enfin c'est de sa bonne réduction en dehors d'un ensemble fini de place donc c'est cool sur les places de mauvaise réduction du tort donc il faut aussi majorer ce nombre de places et le cardinal enfin il y a un certain nombre de travail pour minorer toutes en gros il faut s'arranger pour minorer tous les ingrédients qui sont ici pour avoir le bord nord de grandeur pour le acheter quand on travaille en multiplication complexe alors le problème c'est que c'est pas exactement ça qu'on veut faire alors qu'est-ce qu'on fait ? donc ce que je vais essayer d'expliquer c'est que c'est pas tellement un problème de groupe de classe c'est un problème de morphisme entre groupe de classe et de comprendre la taille de l'image d'un morphisme d'un morphisme de groupe de classe et c'est ça qui rend la chose vraiment difficile et donc voilà donc je repars avec ma situation usuelle donc une variété de chimoura définie par une donnée de chimoura et puis peut-être ma composante préférée et je vous rappelle qu'on avait dit si j'ai un point qui est l'image de x croix 1 dans s qui est un point spécial on a une factorisation donc il existe un cutor bon que je pourrais prendre bon il existe un cutor t et une factorisation donc de mon x par la partie réelle de t, enfin l'extension arrière de t et on peut choisir t on peut prendre pour t une factorisation donc c'est essentiellement le plus petit sous groupe algébrique de gq tel qu'on est une factorisation comme ça et dans cette situation c'est un tort alors qu'un c'est inclus dans g2f c'est un sous groupe compact ouvert non pas forcément le plus grand donc ouvert alors si je fais varié k j'ai une tour de variété donc je le dis à un moment tous les résultats sont indépendants de où je me place dans la tour alors dans cette situation en fait tqx c'est une sous donnée de gx c'est une sous donnée de chimura et si vous définissez kt égal inter le compact dont je suis parti dans g2f vous avez la variété de chimura shkt alors qu'est ce que c'est vous prenez la même définition donc l'espace comme ensemble c'est juste t2f sur tq sur kt ça s'envoie dans shk du gx qui est x3g2f alors le point c'est que cet ensemble shkt est fini et de cardinal par définition c'est de cardinal le groupe de classe que j'ai introduit tout à l'heure relativement à kt acheté kt et la théorie dit que de plus cet ensemble finit je préfère que ça soit un groupe et après je mets des donc je... oui c'était vrai un disomorphisme presque ok donc shkt de trx est défini sur le corps réflexe alors de la donnée de chimura e de tx donc qui dépend pas en tout cas de kt qui dépend que de tx donc il y a quelque chose qui contient le corps réflexe de gx et on dispose et on a ça dépend que de tx et c'est un morphisme de tord donc si j'appelle e ce corps de nom qui est le corps réflexe je reviendrai donc on a un morphisme on a un morphisme de tord que j'appelle r et à l'aide de morphisme on peut définir une action de galois du groupe de galois galois de cubar sur e dans ce groupe de classe ou dans shkt de gx donc pour l'instant je n'ai pas expliqué comment r était défini mais dans un premier temps il faut juste comprendre qu'on a un morphisme de tord après je vous dirais peut-être plus donc vous avez ce morphisme de tord et ça disons vous pouvez qu'est-ce que vous pouvez faire disons si vous appelez re reste de e à q de gme vous avez un morphisme induit de re de a sur re de q alors qu'est-ce que c'est que ça c'est a e étoile sur e étoile et vous avez un morphisme induit vers t de a sur t de q alors e c'est mon e de tx il est ici alors ici ce que vous pouvez faire c'est projeter sur la partie finie et puis ici vous pouvez prendre le groupe des composants de connex le groupe des composants de cet ensemble et ça parle la théorie du corps de classe ça s'identifie a galois de q bar sur e ab et qui, si vous voulez, est un caution de galois de q bar sur e et en fait comme ça vous avez une flèche vous regardez celle-là et la manière dont galois agit sur s h k t de tx c'est de la manière suivante si vous avez sigma dans galois de q bar sur e vous voulez voir comment sigma agit sur la classe disons de x alpha alors la règle du jeu c'est que c'est agit par multiplication ici alors qu'est-ce que j'ai fait j'ai pris un sigma ici j'ai regardé son image dans la partie abélienne je l'ai identifié un élément de a e étoile sur e étoile ici et j'ai regardé son image dans t de f sur k t sur t de q et j'appelle ça r de sigma voilà ça me définit une action de galois de q bar sur e abélien dans cet ensemble donc infiné s h k t x c'est un ensemble fini avec une action de galois de q bar sur e c'est ça qui définit ça comme un ensemble algébrique finie sur le corps réflexe d'accord alors bon j'ai une petite hésitation à vous dire bon je peux est-ce que ça vaut la peine que j'explique r ou oui non mais je ne vous ai pas dit comment on le construisait ouais ouais enfin bon il y a des choses à faire mais quoi ? ouais c'est ça je viens de faire une restriction j'ai besoin d'un co-caractère principal d'une restriction donc je ne sais pas si c'est vraiment utile mais donc je préférais insister sur la chose suivante qui est que si vous si vous oui voilà donc je vais juste dire ça pour l'instant si je regarde Galois de Kubar sur e fois un élément et je vais dire que c'est plus grand donc je vais donner une première minoration alors il y a une constante à la puissance i2t je vais dire ce que c'est donc je vais écrire alors je vais écrire donc voilà une minoration alors je vais dire tous les termes i2t c'est le cardinal des noms premiers tels que en p ktm et kt et la partie en p de kt ne sont pas les mêmes différents donc ça c'est un ensemble fini voilà l'endroit où les deux torres sont pas les mêmes voilà leur réduction diffère d'une certaine manière donc ktm sur kt voilà ça mesure à quel point les compacts maximaux sont pas les mêmes au niveau et u c'est simplement vous prenez l'image de A, E, F étoiles sur E étoiles en fait vous pouvez voir que ça se factorise par kE étoiles n alors pourquoi je me oui c'est ça kE ouais moi je sais pas oui E étoiles je vais écrire comme ça c'est l'image à l'intérieur de ce que j'ai vraiment appelé ht c'est à dire T2F sur TQ sur ktm autrement dit c'est à dire je je sais pas où est ma flèche ici je peux aller F donc infini je vais construire quelque chose dans ce groupe de classe et en fait les orbites sous galois ici sont plus grosses que ici et elles sont plus grosses par ce facteur B puissance de T, ktm sur kt ou B c'est une constante universelle qui dépend du groupe disons non c'est pas le même que il y a trop de constantes je suis vraiment dans un autre chapitre il n'y a pas c'est une constante qui dépend peut-être de la dimension de l'espace sans bien voilà et donc le donc le point de ça c'est que finalement on est vraiment ramené à la situation suivante on a un morphisme du groupe de classe du tort étoile si vous voulez voilà on wage re vers ht et la vraie question difficile et sérieuse c'est de comprendre comprendre l'image de la reciprocité donc on a un morphisme qui provient d'un truc algébrique mais qui induit au niveau des groupes de classe quelque chose je lui donne toujours le même nom et il faut comprendre ça envoyer c'est un truc c'est vraiment un truc homologique difficile parce que vous regardez si vous voulez d'en tête cuper l'émorphisme péadique pour tout pé et à l'infini et en général le morphisme au niveau des tort est surjectif mais vous avez de la comologie galoisienne pour comprendre l'image en chaque place et c'est un truc adhélic il faut comprendre précisément ce tort image parce que la proposition que j'avais avant de faire parvenir finalement que le discriminant du corps il déploie oui parce que je vais après me ramener enfin ce genre de choses c'est-à-dire qu'on concentre la difficulté sur le cas ou l'anneau c'est une manière de se ramener à concentrer la difficulté sur cette chose-là c'est tout ce que je dis bébé est-ce que sur une lignoration qui était assez universelle qui demande pas oui mais tu vois oui ce qui est mais dans cette minoration là j'ai minoré le HT c'est-à-dire pour le compact maximal je n'ai pas fait intervenir ici d'aminer enfin la difficulté c'est de comprendre la difficulté entre KTM et KT pour l'image du alors si tu veux ce que je dis c'est que ça comprendre ce truc-là c'est assez facile le passage la vraie difficulté c'est de comprendre la taille de U à l'intérieur de HT cette partie-là une fois qu'on l'a écrit comme ça c'est facile de voir que si tu veux ici en gros à chaque fois qu'il y a un nom premier qui intervient au moins P ce nom premier qui intervient ici là il intervient que par quelque chose qui est fixé qui est P qui est B donc si tu veux j'ai un produit sur la mauvaise réduction de B qui est peut-être petit mais foie P qui lui grandit donc ce truc-là grandit comme on veut et ça c'était des choses qu'on savait depuis des premiers travaux sur Andrea la vraie difficulté c'est vraiment à ce niveau-là alors ça a l'air de bon voilà quand on commence ce genre de choses on peut se dire que c'est pas si difficile mais je voudrais quand même vous donner un exemple donc si vous avez un corps de nom par exemple E corps de nom et puis vous pouvez regarder la multiplication par 5 du groupe de classe de E ce que j'ai appelé HRE vers lui-même donc si vous voulez à une classe vous associez Z puissance 5 et bien on ne sait pas que l'image de 5 est plus grand que DE puissance epsilon et epsilon positif ou en disant DE puissance alpha pour alpha strictement positif même si on part de corps quadratique si on fait varier E parmi l'extension quadratique de Q on n'a aucune idée de l'image de l'élevation à puissance 5 donc autrement dit on sait la taille du groupe de classe mais on ne sait pas dire par exemple que ce groupe de classe n'est pas essentiellement Z puissance 5 Z à une grande puissance donc ça serait très très surprenant donc ces problèmes donc ces choses-là ont été étudiées pendant les dizaines d'années en théorie des nombres et ça n'a pas bougé depuis 30-40 ans donc voilà tu dis ça et que c'est juste pour prendre un ordre premier alors c'est que avec 2 et 3 avec 2 on y arrive c'est assez facile avec 3 il y a des méthodes subtiles pour dire des choses pour les cas particuliers et à partir de 5 on ne dit rien du tout voilà c'est juste pour dire quelque chose donc ça vous dit d'une certaine manière que si vous savez rien sur R ou peut-être vous avez pas beaucoup de chance enfin c'est parce que vous posez vraiment visiblement un problème plus compliqué que pour des corps choratiques imaginaires voilà alors passons à ce qui se passe dans AG donc multiplication complexe dans AG bon alors je vous rappelle que le le thorem qu'on a en vue qui est dû au moins à Timerman mais en pas aussi à Hu Yanzang Ward Andréata Gorenoward Madame Poussipera bon c'est que il existe une constante dépendant de AG tel que quel que soit S point spécial de AG le corps de définition donc qui est le taille de l'orbite et au moins DX puissance BG ou DX c'est la valeur absolue du discriminant du centre du endomorphisme de X alors les premières choses qui sont pas qui sont pas triviales mais qui existaient depuis finalement un certain temps c'est on se ramène au cas où S un partenariat AG moi je vais l'appeler X pardon bon c'est pas grave où X appartient à AG SCM avec un Andre AX c'est vraiment l'anneau des entiers d'un corps qui est donc j'ai vraiment multiplication complexe par un corps et je suis dans la situation maximale alors c'est une vraie simplification parce que un point CM ça peut être plus compliqué que ça oui mais c'est enfin non je ne travaille pas ils ont été prêts là-dedans mais je on se ramène vraiment à cette situation par des arguments de ce type et d'autres d'ailleurs et bon vous voyez que si vous avez un produit de variété ABL vous pouvez bien imaginer que si vous savez la taille des orbits de chaque facteur il va se passer des choses il y a des arguments je ne dis pas et donc pour se remémorer un peu dans ce cas on écrit des choses assez explicites on fait de la théorie de la multiplication complexe plus explicitement donc soit euh si il n'a besoin de changer c'est-à-dire qu'on peut avoir un poids qui provient d'une vraie théorie à une dimension antérieure oui oui donc il y a un petit raisonnement par réclerance, surgé, des choses comme ça donc on doit d'abord prouver que si on sait faire ce type de minoration pour tout g'prime plus petit que g etc il y a du travail je ne dis pas que c'est simple totalement mais c'est pas là qu'est concentré la plus grande difficulté donc soit fi inclut d'enfiger le enfin le type cm de AX donc vous regardez l'action des endomorphismes sur disons les points complexes sur l'espace tangent de AX ça opère par g et caractère de E et on a fi union fi bar c'est exactement Aum de E dans C on a pris la moitié des places et toutes les places la conjugaison prêts il y a un petit peu peur que SX soit la même chose non c'est pas maintenant je suis passé je vais le dire dès le début parce que comme ça j'aurais qu'une seule notation voilà alors donc on a cet ensemble S de E fi C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C Il y a plusieurs choses donc cet ensemble c'est pareil que le groupe de classe de E enfin de OE parce que j'ai appelé PIC bon alors je je donne pas une preuve si vous voulez mais c'est typiquement ce que vous faites c'est que si vous avez un idéal A dans OE vous allez associer une variété complexe que j'ai envie d'écrire comme ça Fi 1 de A Fi G de A dans l'idéal et donc en travaillant un peu vous voyez que c'est comme ça qu'on fabrique toutes variétés de type Fi est obtenu par une construction comme ça vous changez votre idéal par une idéal principale qu'est ce qui s'est passé ? il y a je vais venir un peu parce que en fait tout est polarisable et ça c'est mais S de Fi intervient dans mais c'est un tout une petite nuance avec ce qu'on faisait avant et bon il y a 2 choses le corps de définition de A appartenant à S de Fi enfin le corps de définition est le même encore d'une finition de A appartenant à S de Fi est le même je sais pas pourquoi enfin donc le corps de définition c'est constant et un autre point qui est dû à l'alcoolmèse c'est que quel que soit A B dans S de Fi la hauteur de Falkings de A c'est la hauteur de Falkings de B alors je reviendrai un peu plus sur hauteur de Falkings plus tard et peut-être 3ème point c'est que quel que soit A B dans S de Fi eh bien il existe une isogénie définie sur cubar bon je dis pas qu'elle est définie sur le même corps mais elle est définie sur cubar donc ça c'est bon je reviendrai si j'ai un peu de temps plus sur la multiplication complexe alors en termes de variété de Shimura qu'est ce que vous faites donc on a un X0 de S dans le groupe symplectique GSP de GR je n'aurais pas d'écrire comme ça donc qu'est ce que c'est donc vous associer juste la matrice X fois l'identité moins Y, Y, X et voilà donc votre un point à multiplication complexe comme ça ça s'obtient de la manière suivante on a un S qui se factorise par un tort maximal défini sur Q et ce tort sur Q la propriété que T de Q c'est la même chose que les éléments dans E étoiles tel que Z Z bar appartient à Q étoiles et c'est un tort maximal de GSP de GQ et disons typiquement pour obtenir ça vous écrivez que votre E c'est bon c'est un corps de degré 2G sur Q donc c'est un Q espace vectoriel de dimension 2G et puis vous essayez de fabriquer une forme simplectique et le type de forme simplectique que vous faites c'est des traces de E à Q de Y avec il faut que vous ayez il y a des conditions mais en particulier pardon des conditions comme ça et vous réalisez un isomorphisme simplectique avec V une forme simplectique je ne sais pas comment la noter H donc Q E V de dimension 2G et H une forme simplectique il n'y a pas de demi-pente zigol ici ça c'est le tort de deux lignes donc c'est ces étoiles comme groupages ébriques ou restes de E à Q restes de C à R de GMC donc on fabrique un tort comme ça qui est un tort maximal et le S de Phi c'est ces étoiles comme groupes sur R en fait c'est un peu compliqué le S de Phi c'est SH pour ce tort de X T pour ce tort là et un point peut-être qu'il faut quand même constater c'est que il y a soit opprime le corps réflexe alors oui enfin je n'ai pas tellement utilisé ça soit opprime le corps réflexe d'habitude je l'ai mis dans l'autre sens de TX donc vous avez un morphisme de réciprocité R donc dans ce tort T alors l'action de Galois dans S de Phi est donnée par ce morphisme de réciprocité mais un point quand même important c'est que T n'est pas en général le même fort T du point du point considéré donc ça veut dire que là j'ai fabriqué un tort maximal et mon morphisme de réciprocité se factorise par quelque chose de en principe beaucoup plus petit enfin donc on peut avoir des ordres de grandeur donc en général enfin si je prends un point CM général c'est vrai que il y a des multiplications complexes par un tort maximal mais il y a des tort de multiplications complexes qui sont de la taille l'ogé donc ça l'image ici pourrait être tout petite donc néanmoins la preuve et l'astuce utilisée par Simerman que je vais écrire va uniquement utiliser ce tort donc on verra essentiellement pas ce morphisme de réciprocité donc alors l'idée principale de Simerman c'est d'utiliser le théorème de ma serve de Storz qui était un théorème donc ça dit la chose suivante donc il existe deux constantes je vais l'appeler C3 je sais pas pourquoi j'utilise beaucoup de termes tel que pour toute variété abélienne quelle que soit A et B des variétés abéliennes de dimension G définie sur un corps de nombre oui disons K petit K on va dire tel qu'il existe une cubare isogénie psy donc j'étend à cubare je suppose que mes deux variétés sont isogènes alors je vais l'appeler ça en psy alors il existe une cubare isogénie psy0 et vous contrôlez le degré de ce psy0 et la meilleure vous le contrôlez c'est C3 fois le max de la hauteur de filetings de A et du degré du corps de définition des variétés abéliennes A et B à une certaine puissance alors c'est donc c'est un théorème très profond et qui a des implications en théorie diophantienne très très importante mais donc l'intérêt de cette énoncé c'est que on voit apparaître si vous savez que la hauteur de filetings de quelque chose est petite le max c'est le degré du corps de définition vous obtenez une minoration du degré du corps de définition par quelque chose voilà alors le donc ce qui a débloqué toutes les choses donc c'est un travail sur la conjecture de Colmez j'aurais aimé en dire plus que ça mais qui est que donc là il y a deux groupes donc il y a Andréata Corinne Auward Mada Poussi Pira et par ailleurs Luan Zang on montrait enfin la chose suivante quel que soit epsilon positif quel que soit A une variété abélienne de type E phi la hauteur de filetings de A et plus petit que C epsilon D A puissance epsilon ou D A c'est le discriminant enfin D E puissance epsilon si j'ai le droit voilà alors donc ça repose à une preuve d'une conjecture de Colmez donnant une formule HF2A dans S2 phi et même plus tôt une moyenne de ces formules quand phi décrit les deux puissants G type C impossible alors c'est un travail un peu théoréanétique des noms ou après voilà donc j'espère que l'an prochain on aura un cours de Zang mais ça prend bien un cours c'est pas voilà alors donc l'argument remarquable de Timerman et suivant proposition donc ça c'est c'est pas tellement cette proposition c'est ce que finement ça va être la clé parce que ça c'est vraiment tout simple donc il existe l'engager strictement positif tel que pour toute A dans S2 phi il existe un B dans S2 phi tel que l'isogénie de degrés minimales entre A et B V et phi que le degré de psi c'est plus grand que ce discriminant la puissance de G moins voilà donc d'où ça vient alors le cardinal de S2 phi alors en fait dans cet exemple particulier on peut même donner quelque chose d'assez précis on peut montrer que c'est des puissances 1 quart moins epsilon mais disons avec ce que j'ai dit tout à l'heure vous pouvez aussi utiliser d'o puissance alpha pour alpha strictement positif donc encore une fois c'est pas totalement évident c'est un groupe de classe d'un core cm mais on voit que le groupe de classe du core cm ça va se ramener au groupe de classe du torc que j'ai écrit ici et on peut l'évaluer un peu bien mais disons l'argument marche pareil que juste une puissance positive mais comme on sait plus je le dis ici et la remarque c'est que on fixe soit A une variété on regarde l'ensemble des isogénie de A vers quelqu'un avec degré de theta plus petit que quelque chose et l'observation c'est que c'est polynomial pour un entier qui dépend que du genre ça c'est et la conséquence vous avez vous avez un ensemble gros il y a d'e puis 105 quarts élément et tous ces éléments sont isogènes au A donc vous êtes partis et le nombre d'isogénie de degré plus petit que n c'est polynomial en n donc si vous regardez le nombre d'isogénie de degré au plus discriminant de e puissance disons vous prenez d e vous prenez 1 quart moins epsilon sur r2g donc vous prenez le nombre d'isogénie de degré au plus d e puissance 1 quart moins epsilon sur r2g il y en a au plus d e puissance 1 quart moins epsilon et donc ça vous dit qu'il vous reste une b au moins là-dedans qui n'est pas atteinte par une isogénie comme ça donc voilà et comment comment on peut conclure à partir de là donc soit a et b dans s de vfi tel que mon epsi de a³ vers b³ l'isogénie de degré minimal une isogénie de degré minimal voilà alors d'après d'après ce qu'on a écrit ça c'est au moins d e puissance langagée et puis ma serveuse tols vous a dit que c'est plus petit alors j'avais appelé ça c3 max de la hauteur de faltings de a et du corps de définition puissance quelque chose beta et le torem de concernant la conjecture de colmes vous assure que c'est inférieur à c3 max mon tête de il y a une constante cpsilone de puissance épilone et puis k2.q puissance beta si le discriminant est grand ça c'est c3 max c3 k2.q puissance beta si le discriminant est grand parce qu'il est pas possible d'avoir que lui soit le max et qu'il soit plus grand qu'une puissance fixe de de bon k c'est le corps de définition de votre variété abélienne donc vous avez k2.a 2.q qui est au moins des constants prêts de puissance engagée sur beta donc ça c'était c'est comme ça que conclut Timerman voilà donc j'avais prévu beaucoup de choses que vous expliquez qu'elle est dénoncée de la conjecture de colmes des choses comme ça mais je pense que c'est ça prendrait encore une bonne demi heure je crois que c'est bien dommage mais il vaut peut-être mieux s'arrêter là bon voilà