 Seguimos con los números complejos y ahora que hemos definido el módulo y el argumento vamos a introducir la representación polar. Os recordamos las definiciones de módulo y argumento. El módulo corresponde a la longitud, el argumento al ángulo y satisfacen las igualdades siguientes. Proposición sean r y theta dos números reales con r positivo. La proposición dice que el par r theta define de manera única un número complejo theta tal que el módulo de theta es igual a r y su argumento es igual a theta. En primer lugar vemos que el número complejo r, r cos theta más y sin theta tiene módulo r y argumento theta. Por otro lado si tenemos dos números complejos tales que sus módulos y argumentos son iguales entonces deducimos que ya que ambos son iguales a r cos theta más y sin theta debe ser que theta 1 es igual a theta 1 prima. En resumen definir un número complejo de la manera de la forma habitual a más y b es lo mismo que de dar su módulo y argumento. Lo que nos lleva al teorema siguiente. Para cual quiera theta real cos theta más y sin theta es igual a e a la potencia y theta donde e es el número e el número de Euler y es la unidad imaginaria. Este teorema no lo demostramos ya que nos faltan unos conceptos de análisis pero lo planteamos ya que lo utilizaremos a continuación. En particular si theta es cualquier número complejo con módulo r y argumento theta deducimos que theta es igual a r e y theta. Ejemplos 1 es igual a 1 e y 0 y es igual a 1 e y pi sobre 2 1 más y es igual a raíz de 2 e y pi sobre 4. Si z es igual a r e y theta se dice que r e y theta es la representación polar de theta. Lo bueno de la representación polar es que facilita la multiplicación de números complejos es decir que si queremos multiplicar dos números complejos pasando a la forma polar vemos que la multiplicación de los complejos se reduce a la multiplicación y la suma de números reales. En particular se multiplican los módulos y se suman los argumentos. Por otro lado si queremos calcular una potencia de un número complejo lo que corresponde a multiplicaciones repetidas usando la representación polar el cálculo de potencia es ser educe a calcular la potencia de un número real y multiplicar el argumento por la potencia en cuestión. Resumimos lo que hemos dicho con las identidades siguientes y planteamos unos ejemplos más. Pregunta pues pedimos de calcular una potencia utilizando la representación polar. Esperamos un momento. Bien espero que hayáis visto que la buena respuesta es la tercera. Y acabamos el vídeo con el ejercicio siguiente. Tenéis que mostrar que utilizando la representación polar para cualquier n natural el número complejo siguiente es igual a 1. Podemos que para todo theta real las iguales siguientes son ciertas ya que estamos considerando argumentos.