 En 1891, Géant Cantor défréit la chronique en annonçant monde entier que tous les infinis ne se valent pas. Certains infinis seraient en effet plus grands que d'autres. 30 ans plus tard, David Hilbert propose lors d'une conférence sa métaphore de l'hôtel qui permet de comprendre pourquoi l'idée de Cantor, même si elle peut sembler paradoxale au premier abord, n'a absolument rien de stupide. Ça tombe bien, j'enviens en deux minutes pour en parler. Sur la merveilleuse planète des mathématiques, il existe quelque part un hôtel très particulier, le Grand Hôtel de Hilbert. Cet hôtel possède un nombre infinie de chambres, numéro T0, 1, 2, 3, etc. Ce soir-là, il est 19h et chaque chambre est occupée. Malheureusement, un nouveau client se présente à l'accueil et désire à tout près une chambre pour la nuit. Puisque l'hôtel est complet, la situation semble impossible et pourtant. Après deux minutes de réflexion, le gérant répond « pas de problème » et annonce via les haut-parleurs de l'hôtel que chacun des clients doit changer de chambre. Le client de la chambre numéro 0 doit se déplacer dans la chambre numéro 1, celui de la chambre numéro 1 ira dans la chambre numéro 2, celui de la chambre 2 ira dans la 3, etc. Le client de la chambre n doit ainsi se rendre dans la chambre n plus 1. La chambre numéro 0 est donc maintenant libre et le nouveau client pourra donc iloger. On peut donc finalement dire que infinie plus 1 égale infinie. Malheureusement, à 21h, ce n'est pas 1 nouveau client qui se présente à l'accueil mais un bus entier comportant une infinité de touristes. Dans ce bus, chaque siège est numéroté 0, 1, 2, etc. et chacun de ces touristes désire une chambre différente. Pour le gérant de l'hôtel, ce n'est encore une fois pas un problème. Après deux minutes de réflexion, il se saisit une nouvelle fois de son micro et annonce aux clients de l'hôtel les nouvelles directives à suivre. Le client de la chambre n°1 doit se déplacer dans la chambre n°2. Celui de la chambre n°2 ira dans la chambre n°4, celui de la chambre n°3 ira dans la chambre n°6, etc. Le client de la chambre n°n ira ainsi dans la chambre n°2. Suite à ces déplacements, les chambres numérotés par des nombres paires sont occupées tandis que les chambres numérotées par des nombres impaires sont maintenant libres. Le touriste de la place 0 pourra donc loger dans la chambre n°1. du siège numéro 1 ira dans la chambre numéro 3. Celui du siège numéro 2 se rendra dans la chambre numéro 5 et ainsi de suite. Le touriste du siège numéro Y ira dans la chambre numéro 2Y plus 1. Finalement, on vient de démontrer que infinite plus infinie égal infinie. Le lendemain, alors que l'hôtel s'est vidé, c'est une infinité de bus contenant un nombre infinie de clients qui se présente. Les bus sont numérotés 0, 1, 2, 3, etc. Et dans chaque bus, les places sont numérotés 0, 1, 2, 3, etc. Encore une fois, cela ne va poser aucun problème au gérant de l'hôtel, mais les clients devront respecter certaines conseils. Dans un premier temps, le premier client du premier bus, c'est-à-dire le client du bus numéro 0 et du siège numéro 0, ira dans la chambre numéro 0. Dans un second temps, le premier client restant dans chacun des deux premiers bus, c'est-à-dire le client du bus numéro 0 siège numéro 1 et le client du bus numéro 1 siège numéro 0, iront dans les deux chambres suivantes, chambre numéro 1 et numéro 2. Dans un troisième temps, on logera dans les trois chambres suivantes le premier client restant dans chacun des trois premiers bus. En suivant cette procédure, chaque client se verra assigné une chambre pour la nuit. On peut même être plus précis et prouver que le client du bus X et de la place Y sera logi dans la place numéro X plus 1 demi 2 Y plus X au carré plus Y plus X. Chaque client a sa chambre et chaque chambre a son client. On vient donc de prouver que un fini fout un fini et gagne un fini. Le lendemain, l'hôtel, c'est une nouvelle fois vidé. Mais c'est un bus d'un tout autre type qui se présente à l'accueil. Dans ce bus, les clients sont infiniment serrés puisque les sièges sont numérotés, non pas par les nombres entiers comme précédemment, mais par tous les nombres réels de l'intervalle 0-1. On pourra donc parler de la place 0-5, de la place intière, de la place pi-3 ou de la place racine 2 sur 2. Cette fois-ci, il y a vraiment un problème. On pourrait trouver un moyen de loger tous les clients dont le numéro de siège est un nombre décimal. On pourrait même loger ceux dont le siège est d'une fraction rationnelle. Mais cette foule-ci est trop dense. Cet infini des nombres réels est strictement plus grand que celui des nombres entiers. Il est impossible de loger cette infinité là de clients, malgré le nombre infini de chambres. Et c'est à cantor que l'on doit s'être découverte. Essayons quand même de voir ce qu'il se passerait si on trouvait un moyen de loger chacun de ses clients. Prenons l'exemple suivant. La chambre 0 accueillera le client de la place intière. La chambre 1 accueille celui de la place pi-3. La chambre 2 accueille celui de la place racine 2 sur 2. La chambre 3 accueille celui de la place 0-5. Et ainsi de suite, où chaque chambre accueillera un client différent de façon à ce que chaque client soit pris en compte. Et pourtant, même en voulant loger tout le monde, on se heurtera forcément à un impossible. Certains clients ne trouvons pas de chambres quelle que soit la façon dont on s'y prendra. Pour le comprendre, on va fabriquer un exemple de nombre qui ne peut pas se trouver dans la liste. Prenons la première décimale du premier client, la deuxième décimale du deuxième, la troisième du troisième et ainsi de suite. Dans notre exemple, on obtient le nombre 0,3,4,7,0 etc. Maintenant, transformons chaque chiffre du nombre ainsi obtenu. On transforme les zéro en 1, les 1 en 2, les 2 en 3 etc. jusqu'à transformer les 9 en 0. Dans l'exemple, on obtient le nombre 0,4,5,8,1 etc. On peut alors affirmer que le client dans le siège porte ce numéro ne trouvera pas de place dans l'hôtel, puisque si sa chambre est la chambre n, alors la nème décimale posera forcément problème. Et ce client n'est qu'un exemple parmi l'infinité de clients qui ne trouveront pas de chambres. Bref, l'infini des nombres réels est strictement plus grand que l'infini des nombres entiers. Une question qui a longtemps perturbé les mathématiciens, en particulier Cantor, est de savoir s'il existe un infini intermédiaire qui serait strictement plus grand que l'infini des nombres entiers, noté à l'f0, est strictement plus petit que celui de l'infini des nombres réels, noté de puissance à l'f0. Cette question, appelée hypothèse du contenu, a trouvé sa réponse en 1963. Lorsque Paul Cohen annonce qu'en fait, chacun peut choisir si oui ou non il veut de cet infini intermédiaire et que ça ne changera en fait rien du tout au reste des mathématiques. Mais ça, c'est une autre histoire.