 Bon, donc je vais commencer. J'en suis peut-être mon chapitre 4, ma section 4, et on va essayer de donner le principe de la preuve d'André Hort pour ager. Alors, j'ai presque tous les éléments mis en place. Il en manque un qui est central et crucial, qui fera l'objet du dernier cours, qui est les bornes inférieures pour la taille des orbites sous galois, des points séables. Donc, je lui donne un nom. Pour le moment, oui. Oui. Donc, il y aura le terrain d'Axine de Man que j'essaie de prouver après. Enfin, bon, il y a ça en deux choses. Mais pour l'instant, j'utilise ce que j'ai mis en place pour l'instant pour vous expliquer comment on fait la preuve. Et après, je passerai essentiellement à la preuve d'Axine de Man et des indications sur cette énoncée. Bon, donc, voilà le résultat. Donc, il existe deux constantes positives, beta et c, telles que, pour tout point spécial, x de ag, le corps de définition du point, qui est la même chose, si vous voulez, que le cardinal de l'orbite de ce point ait au moins cdx puissance beta ou dx, c'est ce que j'ai appelé le paramètre fondamental pour ma discussion. Donc, je rappelle, dx, c'est la valeur absolue du discriminant, du centre, des endomorphismes, de la variété abélienne ax paramétré par x. Donc, ça fera l'objet du dernier cours. Enfin, je donnerai des indications. Peut-être je dis qu'il y a un argument important de Zimmermann qui utilise le thérème de Masser Wusterlitz et qui est un argument qui implique la conjecture de Colmez en moyenne qui est démontré par deux groupes, Jürgen Zang d'un côté et Andréata Goren, Howard et Madapouzipera, qui obtiennent des résultats sur la conjecture de Colmez en moyenne que j'essaierai d'expliquer et Zimmermann explique comment ces résultats entraînent, c'est dénoncé. Alors, maintenant, j'essaye de voir comment on démontre André Hort pour ager. Et l'étape 1, donc je vais appeler ça thérème 4.2, j'ai déjà mentionné durant l'introduction, donc voilà, elle est noncée. Donc soit V inclut d'en ager, une sous variété algébrique. Donc je dis qu'il existe une constante, disons le grand C qui dépend de V, tel que quel que soit X, point spécial de V, avec un discriminant assez grand, il existe une sous variété spéciale ZX de dimension positive, disons-t-elle que X est dans ZX et ZX est dans V. Donc si je vous rappelle le dessin qu'on a en tête, on a une variété de Chimura, à l'intérieur on a une sous variété et finalement on essaie de démontrer qu'il n'y a qu'un non fini de sous variété spécial maximale parmi les sous variétés spéciales à l'intérieur de V. Et là, on est en train de dire ça pour les variétés spéciales de dimension zéro. Donc finalement, qu'un non fini de points qui arrivent comme ça et qui ne sont pas dans une variété plus grosse. Donc c'est une étape cruciale, bien sûr. Et il est clair que si on borne de X, il n'y a qu'un nombre fini de points ? Rien n'est clair, mais c'est vrai. Non, oui, c'est vrai, bien sûr. Parce que borner les discriminants, ça borne d'abord les corps et ensuite les ordres à l'intérieur des corps. Il y a un peu de travail, mais c'est de la théorie des nombres de base. Quand on borne le discriminant, on borne l'ordre. Si on veut tout écrire, il faut réfléchir un peu, mais ça borne le nom. C'est aussi pour donner la possibilité pour les relations principales. Oui, mais c'est quelque chose en plus, ça. C'est pas quelque chose en moins. Les discriminants, c'est toujours d'un ordre ? C'est discriminant d'un ordre, oui, oui. Ok, c'est sur Cuba, oui, c'est les ordres de morphiles géométriques. En fait, bon, ok. Alors je vais donner la preuve du TRM4-2 qui va utiliser essentiellement ce que j'ai fait avant. Alors, je vous rappel un peu, j'avais une application qui uniformise ma variété de Shimura par un certain X+, qui se réalise à l'intérieur d'un espace vectoriel. Bon, c'est pas terrible. Et j'ai choisi, si vous voulez, un domaine fondamental, F, qui a des bonnes propriétés, qui sont que la restriction de Pi à ce domaine fondamental est définissable dans R-anex. Donc je reviens là-dessus. Je vais revenir sur ce dessin après. Donc, je vais faire quelques réductions d'abord. Bon, on peut supposer que V est défini sur Cuba. Alors en fait, on fait ça, si vous voulez, on prend l'ensemble des points spéciaux qui sont à l'intérieur de V. On prend la clôture de Zariski. Ça, c'est défini sur Cuba et on travaille avec ça. Donc, et une fois qu'on en est là, si on accepte de perdre de l'irréductibilité géométrique, bon, c'est pas un point essentiel. On suppose même, on peut même supposer que V est défini sur Q. Donc, en fait, j'ai remplacé V par une union finie de translater par Galois de V. Et j'ai ça. Alors, maintenant, je... Non, mais c'est pour démontrer le théorème pour l'autre. Pour les réunions de... Oui. Ah, il faut travailler encore pour voir que les dénoncés sur les réunions de translater impliquent. Bah, c'est un dénoncé de finitude. Donc, si... Donc, soit X... Alors, soit F, un ensemble fondamental, donc semi-agébrique, tel que la restriction de P à F est définissable dans une certaine structure au minimal, R-anexp. Donc ça, ça existe par le théorème 3.7. Et je vais m'intéresser à l'ensemble, donc V tilde F, qui est l'image inverse de V intersecté avec F. Donc, en fait, je prends ce V, je le remonte. C'est un truc un peu compliqué, mais je prends l'intersection avec F. Et ça, c'est simplement P restreint à F moins 1 de V. Et comme P restreint à F est définissable dans R-anexp, V, c'est algébrique. Donc ça, c'est définissable dans R-anexp. Voilà. Alors, maintenant, je prends un point spécial de V. Alors, qu'est-ce que je... Bon, vu mon hypothèse, je sais que quel que soit sigma dans galois de k bar sur Q, X sigma, c'est aussi un point spécial dans V. Et bon, juste pour pas dire le chose trop fausse, si j'appelle E, la clôture galoisienne, disons de Z en AX, la théorie de la multiplication complexe va vous dire que quel que soit sigma dans galois de Q bar sur E, X sigma et X auront même discriminant. Bon, c'est peut-être même vrai plus largement que ça. Mais ici, je ne perds quasiment rien parce que j'ai une extension de degré uniformément borné qui ne va pas compter dans les estimations. Bien. Maintenant, donc ce que je vais prendre, c'est que je vais m'intéresser à l'ensemble des Y qui sont dans pi moins 1 de cet orbite sous galois et je me restreins à F. Et donc ça, c'est quelque chose qui est finalement à l'intérieur de cet ensemble définissable Vétil F. Alors, je sais pas mal de choses là-dessus. Donc, mon but est d'appliquer le terrain de pilawilky. Donc, qu'est-ce que je sais ? La première chose, c'est que quel que soit Y appartenant à cet ensemble, peut-être je lui donne un nom. Bon, je sais pas. Si j'ai un Y là-dedans, j'ai le degré du corps de définition d'un tel Y est uniformément borné par une constante D, donne D2G. Donc, quand on relève les points CM dans l'espace dosigle par exemple, on a cette propriété. Là, G, c'est le genre. C'est un truc fixé une fois pour toutes qui bougera pas. Voilà. Ensuite, on a vu que la hauteur d'un tel Y est bornée par une constante d'X puissance alpha. Donc, ça, c'était le théorème 3.8. Et on vient de voir que le cardinal de cet ensemble, je vais lui donner un nom vraiment. Donc, comme c'est un ensemble fondamental, j'ai au moins autant de points en haut qu'en bas. Et en bas, j'ai vu que j'en avais une puissance positive du discriminant. Alors, je suis... Donc, ça, c'est le théorème 4.1. Donc, je suis tout à fait dans la situation du terrain de Pila Wilkie. Donc, d'après le théorème de Pila Wilkie. Donc, j'ai beaucoup de points d'un ensemble définissable qui sont de hauteur pas trop grande. Ça ne peut être... Ça ne peut être expliqué que par la présence d'un semis algébrique à l'intérieur de mon ensemble. Donc, si l'AX est assez grand, il existe un semis algébrique. Bon, je l'ai appelé Y pour l'instant. Deux dimensions positives qui contiennent un Y puis moins un dans cet ensemble VF. Et donc, ce que je vais faire, c'est je vais prendre Z, un algébrique. Alors Y, il est dans VF-Tile pour l'instant. Donc, un semis algébrique connecte... Irréductible, oui. Donc, là, je le prends... Donc, soit Z, un algébrique irréductible maximale maintenant de P-1 de V contenant Y. Donc, j'ai construit sur un petit bout quelque chose algébrique et sur juste cet ensemble P-1 de V restera un F. Puis après, je prends un algébrique maximal dans P-1 de V. Je sais qu'il va être de dimension positive parce qu'il contient quelque chose de dimension positive localement. Et voilà. Alors, à ce moment-là, j'utilise le terrain d'Axline de Mann. Donc, par le terrain d'Axline de Mann hyperbolique, Pi de Z, qui est inclus dans V. Alors, je vais dire faiblement spéciale, mais je vais enlever le faiblement tout de suite parce qu'on a vu que quelque chose qui est faiblement spécial mais qui contient un point spécial, c'est spécial. Donc, Pi de Z, c'est une sous-varité spéciale de V. Voilà. Bon, maintenant, ça contient pas tout à fait le point de départ, mais si Y appartient à Pi-1 d'un certain X, on peut voir que X appartient peut-être à Z, Sigma-1, qui est inclus dans V, et une spéciale. Donc, j'ai réussi à mettre mon X, donc celui-là, je l'ai appelé ZX, à mettre mon X dans une sous-varité spéciale de dimension positive qui est contenue dans V. Voilà. Donc, j'ai mis ensemble toutes les choses. Donc, on voit la place à la fois de Pilla-Wilky et d'Axline-de-Man. Ah, pour l'instant, oui. Ce sera l'objet du dernier cours. Et j'ai aussi admis Axline-de-Man. J'espère avoir le temps de donner des indications. J'avance. Alors, l'étape 2 dans la stratégie, j'ai appelé ça TRM43. Je l'écris de manière générale. C'est-à-dire que je ne suis plus trop dangereux spécialement, mais ce n'est pas très important. Soit GX, une donnée de Chimura. Donc, j'ai associé un SHK GX, puis un S comme dans tout le cours. Soit V, une sous-varieté de S. Donc, une sous-varieté Hodge générique. Donc, ça veut dire que la plus petite sous-varieté spéciale qui contient V, c'est S. Alors, je vais faire une hypothèse qui est de façon obligatoire pour la conclusion de mon TRM qui n'est pas, enfin, ne va pas être impréhensible dans la stratégie. Alors, si S égale S1 croise 2 est un produit de variété de Chimura de dimension positive, on suppose que V n'est pas de la forme V. Bon, une permutation ça. V égale S1 croit V' avec V' dans S2. Alors, voilà. Conclusion. Alors, l'ensemble des sous-varietés faiblement spéciales de V n'est pas à risque d'ense. Si vous êtes sous cette forme... Alors, excusez-moi, j'ai envie de dire l'ensemble des sous-varietés faiblement spéciales de dimension positive. Si vous êtes sous cette forme, S1 croit n'importe quel point de V' est faiblement spéciale et donc V est recouvert par les S1 croit des points de V' et l'ensemble des sous-varietés faiblement spéciales est dense. Vous ne pouvez pas éviter de rencontrer ça. Vous voyez que si vous êtes dans une situation comme ça, ce n'est pas très grave parce que la conjecture pour V, ou essentiellement pour V' est la même. Donc, on ne perd pas beaucoup ici. Alors, en deux mots, je vais essayer de dire pourquoi ces deux énoncés suffisent et après, j'essaie d'expliquer un peu en détail comment on montre le termes 4-3. Alors, comment on combine les deux choses ? Preuve de A0 en admettant 4-2 et 4-3, enfin, tout ce qu'on a fait avant, soit V dans AG, S, la plus petite sous-varieté spéciale contenant V, si S égale S1 croit S2 et V égale S1 croit V' alors A0 pour V est équivalent A0. Alors, je vais dire pour P croit V' quel que soit le point P spécial dans S. Donc, en faisant ça éventuellement un certain nombre de fois, vous pouvez supposer qu'on se ramène au cas où V, les hypothèses 2, 4, 3 sont vérifiés. Bon, et puis donc, les sous-varietés faiblement spéciales, donc même en particulier les sous-varietés spéciales deux dimensions maximales ne sont pas à risque d'ense et puis il n'y a qu'un nombre fini de points qui ne sont pas dans des sous-varietés. Donc, ça implique que les points spéciaux de V ne sont pas à risque d'ense dans V. Bon, ce qui est essentiellement ce qu'on veut prouver, même si on peut le réécrire autrement. Donc, maintenant, il faut expliquer cet énoncé. Je vais donner assez de détails, mais une idée assez cruciale derrière tout ça c'est que les variétés de Shimura, c'est des objets rigides. C'est-à-dire que vous ne pouvez pas faire de familles de variétés de Shimura qui sont non-constantes. C'est-à-dire, mais malheureusement, ce qu'on peut toujours faire, c'est qu'on a une situation de produit, on peut faire S1 croit un point et faire varier le point. Alors, évidemment, le S1, c'est toujours les mêmes variétés de Shimura, l'isomorphisme prêt, mais on fabrique des familles. Pourquoi vous avez dit qu'il n'y a pas de paix ? Parce que j'ai pris n'est pas vraiment une sous-varieté de ager, c'est ça qui m'embête. Mais il faut aussi avoir paix, un point spécial dans S1. Oui, dans S1, d'accord, merci. Non, mais ça n'a pas beaucoup d'importance ici. Donc je dis qu'il peut y avoir, malgré tout, on peut fabriquer des familles, mais elles sont constantes dans le sens que c'est à l'intérieur d'un produit comme ça et on bouge un paramètre dans le deuxième. Alors, ce qui semble prévu par la conjecture, c'est que si on prend des sous-varietés spéciales de dimension maximale, il est impossible de bouger. Donc la stratégie qu'on va essayer de mettre en place, c'est de voir qu'effectivement, on ne peut pas du tout bouger si on prend des variétés spéciales de dimension maximale à l'intérieur de V. Alors, j'ai besoin d'un lème qui n'est pas très profond mais qui dit comment on décrit les variétés faiblement spéciales. Alors, voilà l'énoncé dont je vais avoir besoin. Donc 1, soit Z, une variété faiblement spéciale de ma variété de Shimura. Alors, je dis qu'il existe un Q sous groupe algébrique semisimple de GQ et un Z dans l'ensemble fondamental que je me suis fixé depuis un certain temps qui a des bonnes propriétés telles que Z, c'est simplement l'image de l'ambit sous les points réels de F, plus Z. Alors, ce qui est important ici, c'est que pour fabriquer une sous-varieté faiblement spéciale, vous êtes obligé de partir d'un groupe sur Q. Et ça, il n'y en a qu'un nombre dénombrable. Donc ça va être au cœur de l'argument. Et puis, vous avez une condition que je vais prendre à l'envers, donc réciproquement, donc soit FR, un groupe semisimple de GR et soit Z appartenant à cet ensemble fondamental, et on suppose grand Z égale pi de F faiblement spéciale. Donc, qu'est-ce qu'on a dans cette situation ? En fait, ça dit essentiellement deux choses. Ça dit une condition, donc alors, donc ça dit une condition sur la position de Z par rapport à F, qui est essentiellement qu'un point de l'ensemble X plus, c'est l'ensemble des sous-groupes compacts maximaux de G2R. Donc, la condition, c'est que quand j'intersecte le compact maximal associé à Z avec F, je trouve un compact maximal de F. Et donc, en fait, cet ensemble F2R plus.Z est un espace rimanien et même un espace symétrique ermicien. Donc en fait, si j'appelle KZ le compact maximal associé à Z, je l'intersecte avec F2R plus. C'est un sous-groupe compact maximal de F2R plus. Et si je prends le quotient, c'est-à-dire F2R plus quotienté par KZ inter F2R plus, il faut que ça soit de type ermicien. Donc dire que c'est un sous-groupe compact maximal, c'est-à-dire que c'est un espace symétrique, c'est un espace symétrique de F, et dire que c'est ermicien, parce qu'on a une structure ermicienne dessus. Deuxième ligne. Alors topologique et zéro au sens algebraique. Pour l'instant, on est sous l'hypothèse de 4.3, mais ça, c'est général. Je sens l'hypothèse spéciale. Non, oui, là je dis juste que c'est qu'une variété faiblement spéciale. Là, c'est des faits généraux. Je n'ai pas d'hypothèse sous le produit. Bon, il faut faire un peu attention, mais pour l'instant, je veux dire c'est le produit. Non mais il faut faire attention, je suis d'accord. Mais vous verrez ce qui apparaît dans la preuve. Alors, oui, alors j'ai le... Non, je ne vais pas effacer ici, je devrais effacer au centre. Je vais passer au milieu plutôt. Alors, le deuxième point dont j'aurai besoin qu'il faut avoir en tête, c'est que, bon, soit FR non compact, le produit presque direct des facteurs non compacts de FR, donc FR, vous pouvez le décomposer essentiellement en termes de produits, de facteurs simples, et certains de ces facteurs sont compacts, les autres sont non compacts. Il ne regarde que les non compacts parce que c'est pas un produit direct. Il y a un petit noyau quand on fait le produit, fini. Alors, il n'y a pas de différence, il suffit de prendre cela essentiellement que la partie compacte de F va être, justement, dans le compact maximal, définie par Z. Donc ça n'a... En fait, il faut garder que les facteurs non compact. Et puis, ensuite, si vous avez... Alors, soit F'Q, donc j'aime bien dire le même fortate de FRNC, le plus petit Q sous groupe de GQ, tels que F'Q, donc F'Q-tenseur R, contient FRNC, et bien, alors F'Q est semi-simple, F'Q-tenseur R-NC coincide avec FRNC, et Z, donc c'est... Je reconstruis juste, à partir de la partie non compacte, le sous groupe sur Q, tels qu'il décrit ma variété, faiblement spéciale. Voilà, OK. Alors, donc je vais faire une analyse de comment on pourrait éventuellement imaginer qu'il y a des variations, enfin, il y a des familles de variété spéciale qui bougent dans S. Alors, je vais... Voilà la stratégie. Soit HR, un sous groupe semi-simple de GR, et je défini un ensemble. Alors, ça va être un ensemble de couples, TZ, où T varie dans GR, et Z varie dans mon ensemble fondamental préféré, et avec la propriété que si je conjugue mon groupe HR et que j'applique ça à Z, je reste, et je prends l'image par Pi, je reste à l'intérieur de V. Donc, disons, je me permets des conjugations sur H et je permets de bouger Z dans un domaine fondamental, mais je retiens la condition que ça doit rester à l'intérieur de V. D'accord ? Alors, en fait, dis comme ça, ça n'a pas l'air définissable, mais c'est la même chose que l'ensemble des... Alors, c'est la même chose parce que si vous avez le petit bout de l'ensemble THDR plus T moins un Z intersecté avec F, qui est la propriété que son image est dans V, par analyticité, l'image de tout cet ensemble restera toujours dans V. On a un ensemble qu'on restera à F, qui est contenu dans Pi moins un de V, et bien, comme il est analytique dans un truc analytique plus gros. Donc, une fois qu'on l'a écrit comme ça, donc par analyticité, et la déduction, c'est que... alors BH est... Pourquoi vous écrivez Pi restera F comme ça, que ça se donne V ? Oui. Pourquoi je l'écris comme ça ? Les ensembles sont les mêmes, c'est ça qui n'est pas... Parce que je sais que Pi restera F et définissable, alors que Pi n'est pas définissable. Non, mais THDR plus T plus Z. C'est certain. Pourquoi c'était F ? C'est certain. On l'a éclaté. C'est certain. Non, mais si le Z est dans F, donc ça, ça contient... ça rencontre F. Ça intersecte F, qui est un ouvert, et en dimension positive. Oui. Il y a une intersection parce que le Z est dans F. Donc il faut intersecter ça avec F. Sinon, oui. Donc, BH est définissable dans R and X. Encore une fois, c'est le Terrain 3.7 qu'on réutilise. Et bon, donc soit sigma R de V, l'ensemble des sous-validés spéciales, alors faiblement, excusez-moi, faiblement spéciales de dimension réelle, alors R contenu dans V. Et donc, bon, j'appelle l'ensemble de ces sous-validés, donc la réunion pour des positifs des sigma D de V. Et ce qui va m'intéresser, en fait, je vais travailler avec les variétés et faiblement spéciales de dimension maximale. Et c'est celle-là pour laquelle j'ai un espoir qu'elles ne peuvent pas bouger. On ne peut pas les déformer. Et c'est ça que je vais essayer de démontrer. Donc... R de V, R de dimension, tu l'appelles aussi D. C'est l'un des jours. Alors je préférerais mettre D là, parce que D, enfin, je vais utiliser D, justement comme le maximal. Oui. Jusqu'ici, ça irait, mais je vais appeler tout de suite... Non. Mais ça va venir tout de suite, donc soit D, le maximum des dimensions réelles, des sous-validés spéciales, des sous-validés faiblement spéciales. Ouais, c'est deux fois la dimension complexe. On est d'accord. Oui, mais quand H est semisimple, j'ai aucune raison de penser que H.z a une structure complexe, donc ça a une dimension réelle. Ça a toujours une dimension réelle, mais pour les sous-validés qui m'intéressent, ça a une dimension complexe. Donc c'est pour ça que je reste avec la dimension réelle. Donc soit D, le maximum des dimensions réelles, des sous-validés faiblement spéciales, dans V. Donc si vous voulez, c'est le plus grand R, tel que sigma R de V non vide. Voilà. Bon, alors j'applique, donc je dis pour l'instant que d'après le M4-1, il y a un groupe semisimple, et je peux supposer qu'il n'a que des facteurs non compacts et il y a aussi un Z0 dans F, tel que P de F2R+, point Z0, c'est inclus dans V, et F faiblement spéciale, deux dimensions D. Donc je sais qu'il y a un tel, ce groupe semisimple, je vais travailler avec lui, et donc je vais m'intéresser à des propriétés de l'ensemble BF que j'ai décrit d'au-haut. Alors le LEM-clé, c'est que si vous avez, pour ce F particulier, qui correspond à des sous-validés spéciales, faiblement spéciales de dimension maximale, si vous avez un couple comme ça, alors vous prenez l'image de la variété T, F2R+, T-1, point Z. Donc dans la définition, c'est inclus dans V, mais c'est faiblement spécial. Alors pour bien commenter, vous voyez que pour que quelque chose soit faiblement spéciale, il faut que ça provienne de quelque chose sur Q. Là où vous êtes en train de dire, je me permets des conjugaisons dans G2R, mais néanmoins, bon, donc ça veut dire que ces conjugaisons ne vont pas faire grand-chose. C'est de ça qu'on va profiter après. Voilà, donc c'est ici qu'il se passe un petit quelque chose. Alors d'où ça vient, ça implique. Le M4-1, c'était celui qui expliquait comment... Voilà, c'est celui-là. Enfin en plus, je ne sais pas comment, pourquoi il s'appelle le 4-1, parce qu'il y avait un terme 4-1. C'est celui-là. Voilà. Ok, donc... C'est quoi le B ? Alors, j'ai un BH là, pour tout H semisimple, et je l'applique pour ce F qui me permet de construire quelque chose de faiblement spécial de dimension maximale. Et c'est pour cela que je contrôle qu'on ne peut pas bouger... Voilà, voilà. Voilà. Alors, donc est-ce que je sais bon, T, F2R+, T-1, point Z ? Donc ça, c'est l'orbite d'un groupe algébrique par cette action semisalgébrique. Et ça, c'est un ensemble, donc c'est un ensemble semisalgébrique et par hypothèse tel que Pi de T, F2R+, T-1, point Z, est contenu d'enfer. Donc il est d'empi moins un de V. Voilà. C'est mi-algébrique parce que tu te terrestres à la composante connex, c'est ça ? Parce que je vis dans un ensemble... l'espace ambiant et semisalgébrique. C'est juste l'espace de zigeul ou des choses comme ça. C'est juste... Voilà. Alors, la première remarque, c'est que la dimension T, F2R+, T-1, point Z, c'est au moins la dimension de F2R+, point Z, 0. Et je dis, avec égalité, si et seulement si, KZ intersecté avec T, F2R, F2R+, T-1 est un compact maximal de... Si vous voulez, si. Donc, de toute façon, cet ensemble, c'est T, F2R+, T-1, divisé par ce compact maximal intersecté avec ça. Et si vous tombez pas sur un compact maximal, vous avez grandissé en dimension. Alors, maintenant, je vais prendre soit Y, un sous-ensemble agébrique maximal, disons, irréductible, de Pi-1 de V, contenant T, F2R+, T-1, point Z, point Z, voilà. Alors, vous utilisez Axlindman par Axlindman hyperbolique. Vous savez que Pi de Y est faiblement spécial. Donc, quelle est quelle est la situation ? Bon, la dimension de Y pour quelque chose qui est faiblement spécial, c'est la dimension de Pi de Y. Et ça, on sait que c'est plus petit que la dimension de F2R+, point Z, 0, parce que cette dimension, c'est le D et c'est la plus grande dimension qu'on a acceptée pour des variétés faiblement spéciales. D'accord ? Alors, on a vu que ça, c'était plus petit que la dimension de T, F2R+, T-1, point Z. Est-ce que Y c'est un agébrique complexe ? En fait, Y est un agébrique complexe et on montre qu'en fait Y qui sera semi-agébrique et aussi analytique complexe. C'est dans les choses qu'on a déjà, les maximaux sont comme ça. On montre qu'un semi-agébrique réel se plonge dans un agébrique comme ça, c'est-à-dire qui est... Alors, cette dimension c'est plus petit que la dimension de Y parce que T, F2R+, T-1, point Z est contenu dans Y. Donc vous avez égalité partout et ça vous dit que ici vous avez égalité de dimension et donc Pi de Y ça va être votre Pi de T F2R+, T-1, point Z et ça c'est faiblement spécial. Donc là c'est le... OK Alors, qu'est-ce qu'on déduit de ça ? Alors il y a un LEM important après. Alors, l'M43 donc je vais regarder un ensemble qui dépend de V et toujours de ce groupe F qu'on a défini et c'est juste l'ensemble des T F2R+, T-1 pour T appartenant à G2R et tel qu'il existe un Z dans cet ensemble fondamental avec donc finalement tel que le couple TZ soit dans l'ensemble BF mais j'écris Pi de T F2R+, T-1 point Z inclut dans V. Donc finalement je ne retiens que les sous-groupes qui peuvent intervenir ici et plus le Z, je ne vais pas varier le Z dans le domaine fondamental et donc j'ai fait une phrase donc l'ensemble CV1 est fini. Donc preuve donc vous prenez la projection de cet ensemble de BF V G2R+, dans le normalisateur dans G2R+, V2R+, qui a un couple TZ associé des fois ce normalisateur. Alors je dis que alors Pi de BF est en bijection avec CV donc vraiment ici, il faut que je le remonte et il apparaît comme l'image, il n'y a que comme ça que je les obtiens essentiellement il faut réfléchir un petit peu alors une fois que je l'ai écrit comme ça qu'est-ce que j'ai gagné donc on a vu que BF était définissable dans Ranexp et donc par ailleurs BF est définissable dans Ranexp et Psi est algébrique et ça ça implique que Psi de BF est définissable dans Ranexp. Ok alors pourquoi ça limite beaucoup les choses bon par le LEM par le LEM clé je sais que si j'ai un élément comme ça Pi de T F2R+, T-1 pour un certain Z est faiblement spécial donc si j'ai un groupe T, F2R+, T-1 qui intervient il y a un Z tel que ça c'est faiblement spécial donc le point c'est que ce groupe provient de quelque chose sur Q donc toujours le LEM 4-1 implique il existe un groupe sur Q tel que bon F'Q T-R peut-être les facteurs non compact coïncide alors avec ça j'ai supposé qu'il n'y ait pas de facteur compact donc c'était de type non compact et donc le nombre de groupes comme ça est dénombrable donc donc si de BF si vous voulez est dénombrable mais c'est un point dans les théories au minimal de R c'est que les ensembles finis sont dénombrables dans les ensembles définissables donc il est définissable et dénombrable donc il est fini voilà donc c'est la conclusion de ça donc est dénombrable plus définissable alors c'est le les nombres de composants de connex c'est toujours fini là c'est un ensemble fini enfin c'est dépoint non non, dénombrable pour être reconnaît et non, je sais pas que pour le dégénéral c'est un ensemble bon en tout cas pour des ensembles définissables ça s'implique fini il n'y a pas grand chose là je n'utilise pas grand chose ok donc voilà on a pas mal avancé et ce qu'on veut quand même en déduire donc l'M4-4 sous les hypothèses du théorème 4-2 donc en fait l'ensemble alors je vais l'écrire du théorème 4.3 je pense plutôt excusez-moi l'ensemble SIMAD-2V n'est pas un risque dense donc le premier point c'est que il n'existe à G2R conjugaison près alors qu'un an finit de groupes de sous-groupes semisimples de GR bon, il y a un argument qui n'est pas très compliqué sur C ce serait juste DRM de Dinkin et de la conjugaison en GR il faut faire un peu plus mais c'est disons classique et ce qu'on vient de voir c'est que si je fixe un groupe semisimple disons de type non compact qui va intervenir dans la définition des sous-varietés faiblement spéciales qui sont dans V dans sa classe de G2R conjugaison il n'y a qu'un an finit d'éléments donc la conclusion c'est disons le M43 implique qu'il n'y a qu'un nombre fini de choix pour un groupe semisimple disons sans facteur compact tel que tel que il n'existe un Z0 de REF avec PI alors ça c'est le M43 maintenant si donc je vais fixer d'abord un tel sous-groupe réel et si FR est fixé il existe donc on l'a vu, F'Q dans GQ tel que si j'étends à R et je prends la partie non compact je trouve FR et donc il n'y a qu'un nombre fini de choix pour ce F'Q alors on fixe un tel choix soit F'Q un tel choix alors il y a 2 il y a 2 cas différents alors le premier cas c'est si F'Q est un facteur de GQ donc si F'Q est un sous-groupe normal de GQ alors on va avoir une décomposition GQ un produit presque direct et pareil ça va être aussi un produit presque bon on va voir ce que je dis donc les sous-vailletés faiblement spéciales de la forme P de F de R plus point Z avec Z dans F en fait sont de la forme en fait S S1 S2 et vous avez GX qui est F'1 X F'1 F'2 en fait c'est simplement ceux qui sont de la forme l'image de X F' par un élément de X F'2 donc en fait sont de la forme S1 X2 avec X2 dans S2 alors je regarde soit V' l'adérence de Zarski des X2 qui interviennent comme ça tel que S1 X2 est inclus dans V et bien par hypothèse cette ensemble n'est pas un esquidance alors donc donc l'adérence des sous-vailletés faiblement spéciales ainsi construite S1 XV prime de V par notre hypothèse donc comme V n'est pas de cette forme là l'ensemble des variétés faiblement spéciales de ce type ne peut pas être dense le cas numéro 2 c'est si F'Q donc il faut avoir le presse il faut prendre les images des X1 plus crois quelque chose dans la variété on remonte en haut et on prend les images en bas ce qui apparaît dans le terrain de Mounan mais ça se passe essentiellement comme un produit sinon il y a une liberté donc il y a un hypothèse de S2 de S2 avec un oui bon ça c'est vrai mais disons ce qu'il vaut mieux faire c'est toujours définir les objets comme des images des par l'uniformisation des espaces hermétiens X1 plus, crois un point non mais si on renonce la condition quand on passe à S2 il y a plusieurs façons de rémonter dans l'entreprise adoptive donc il faut la condition de la parlemente on a des diables de fidélité donc plus lourd pour voir je reconnais qu'il faut mieux faire un peu attention il y a assez aussi comme ça ici voilà donc K2 si F prime Q n'est pas un facteur de VQ alors je sais pas si c'est pas une proposition c'est aussi un l'M si vous voulez je dis que l'ensemble des sous-varietés faiblement spéciale maintenant de S disons de la forme P2F2R plus avec Z appartenant à F et contenu union fini union de I égal à R de Zd avec Zd sous variété spéciale les Zd et différentes OS donc en fait d'une certaine manière on peut presque oublier le V oui dans le deuxième cas si c'est pas un facteur en fait les sous-varietés qu'on fabrique ne sont même pas à risque d'ense dans S et comme pourquoi ça suffit comme V est autre générique donc la conclusion conclusion comme V est autre générique V intersecté avec cette union finie n'est pas à risque d'ense dans V parce que V n'est contenu dans aucun Zd donc il n'est pas contenu dans la réunion qui finit voilà alors maintenant d'où ça vient cette proposition en fait c'est relativement c'est assez simple mais donc de la proposition donc ce que vous montrez c'est que si vous avez soit F'Q comme précédemment et Z dans F tel que PI de F'R+, Z effaiblement spécial et qu'on peut être ou il est effaiblement spécial alors ce que vous dites ce que vous montrez c'est que le Z c'est un morphisme de S dans GR et ce qu'on vérifie c'est qu'il y a une factorisation par un sous-groupe fixe qui est F'Q fois le centralisateur dans G bon et puis puisqu'on m'a fait la réflexion ça passe aussi par la partie sur Q qui ne devient pas compact sur R donc je passe cette subtilité là et on se rend compte que si on fait si on appelle X teta Q la teta Q de R classe de conjugaison de Z donc alors teta Q X teta Q X teta allez et une sous-donnée de Shimura alors vraiment strict de GX et j'utilise un moment que F n'est pas normal donc ce centralisateur c'est pas tout donc c'est vraiment une inclusion strict ici et donc en fait les sous-vins étaient faiblement spéciales que vous allez fabriquer elles sont toutes contenues dans les sous-vins étaient spéciales maintenant associés à ça alors il y a une dernière subtilité c'est que vous pouvez faire varier Z alors le groupe teta Q est fixe mais l'espace symétrique pourrait lui prendre différentes valeurs quand un groupe fixé le choix pour les X sont en fait en nombre fini il y a un petit dénoncé encore quand on a un sous-groupe de GX on fixe un sous-groupe le choix pour les classes de conjugaison tel que teta Q X teta Q est une sous-donnée de Shimura et aussi en nombre fini donc il y a quelques étapes alors j'ai donné pas mal de détails là-dessus je dis en deux mots comment on finit la preuve du terrain 4-3 c'est essentiellement un argument de récurrence donc là on a prouvé que en dimension maximale il n'y a qu'un nombre fini de sous-vins étaient faiblement spéciales maximales donc fin de la preuve par récurrence sur D donc c'est essentiellement par récurrence sur D soit D1 FRAD le maximum des dimensions des sous-vins étaient spéciales qui sont comment il faut dire qui ne sont pas contenus dans Sigma D2V donc des sous-vins étaient spéciales pas faiblement spéciales donc j'enlève le lieu où il y a des sous-vins étaient éventuellement de dimension D à l'intérieur il peut y avoir plein de sous-vins étaient et ça peut bouger beaucoup mais si je regarde le lieu maintenant de la dimension 1 de moins et en dehors les mêmes arguments exactement la même manière et on montre que cet ensemble-là lui-même n'est pas à risque de danser et puis on passe pour mettre là ça ne me gênerait pas ce n'est pas tout bon donc après vous passez à la dimension immédiatement inférieure mais en dehors du lieu de dimension maximale et vous descendez dimension par dimension voilà voilà donc en fait la situation c'est que il y a deux énoncés à démontrer c'est Axline de Mann il n'y aurait même un peu plus Axline de Mann et les born inférieures pour Gadois donc mon intention était de donner des indications déjà sur Axline de Mann un petit peu peut-être on ne fait pas de pause aujourd'hui ça vous va on continue parce que là si on s'arrête ça va être un peu voilà bon donc je passe donc le principe de la preuve donc Axline de Mann hyperbolique alors je vais donner deux énoncés mais je vais travailler avec celui-là donc j'ai un X plus ici j'ai un V je regarde son image inverse et à l'intérieur j'ai un A qui est algebraique irréductible maximal je ne sais pas c'est pas très important ici parce que là c'est un modèle donc le théorème qu'on veut démontrer je l'ai déjà dit c'est que P2A est faiblement spécial donc c'est ça Axline de Mann voilà alors il y a une étape clé qui est de montrer la proposition suivante je vais être algebraique au départ je remonte c'est a priori pas du tout algebraique mais je prends quelque chose d'algibrique maximal de dedans alors le disons un but qu'on essaye vraiment de se fixer c'est de montrer qu'il existe un Q sous groupe algebraique connex disons alors que j'appelle HA sous groupe de GQ de dimension strictement positive tel que si je regarde les points réels je suis contenu dans le stabilisateur de cet ensemble A vous voyez les variétés faiblement spéciales quand vous les remontez en haut ils ont un gros stabilisateur qui provient d'un groupe sur Q il y a un moment il faut réaliser quelque chose comme ça et un point qui arrive assez vite c'est que c'est essentiellement suffisant dans le sens que euh bon disons cette proposition donc je vais montrer que ça implique Axine de Mann et pour avoir un ordre de grandeur là je vais essentiellement utiliser un énoncé de monodromie donc c'est du même nature que la caractérisation des sous variétés spéciales c'est du même niveau pour cette implication alors bon donc comment on fait ça euh soit bon je vais prendre soit HA peut-être le plus grand Q sous groupe algébrique connex tel que HA de R+, est inclus dans ce stabilisateur alors disons je vais retenir que HA est de dimension positive par ma proposition 5.2 que je retiens pour l'instant et euh je fais quelques réductions alors avant de commencer je fais quelques réductions qui vont simplifier la vie alors 1 euh en remplaçant V par la clôture de Zariski de Pi de A on peut supposer que Pi de A et Zariski dansent dans V ensuite ah non mais sinon je ne prendrai pas sa clôture de Zariski d'ailleurs je m'en dispenserais non c'est a priori Pi de A est totalement dégueulasse donc à la fin on montre que tous les sensiles montraient que c'est infirmé pour l'instant ok alors on peut aussi supposer que V et Hodge génériques donc ça veut dire que la plus petite souveraineté spéciale qui contient V c'est S donc finalement on travaille dans S au lieu de travailler enfin on travaille dans sa plus petite souveraineté spéciale et les énoncer ne n'en dépendent pas disons on remarque et on va l'utiliser que Pi de A je vais dire encore Hodge génériques dans le même sens même si je n'aime pas trop l'employé à cet endroit-là dans le sens que si donc ça veut juste dire que si Pi de A est inclus dans S prime et alors avec S prime spécial alors donc ce qu'on remarque c'est que Pi de A est inclus dans S prime intervée mais comme V est Hodge générique ça c'est strictement plus petit que V et contre dit notre hypothèse 1 donc Pi de A est aussi Hodge générique dans cette situation voilà ok alors maintenant l'M53 soit vétilde une composante de Pi moins de V contenant A alors HA je pense peut-être ça HA de Q peut-être plus stabilise vétilde alors pourquoi donc je prends un H rationnel de HA bon comme HA fix A eh bien A est inclus dans vétilde intersecté avec HA vétilde puisque HA est dans H point vétilde mais HA c'est A donc il est dans cette intersection soit W une composante de vétilde intersecté avec HA vétilde alors le la remarque en fait c'est qu'on vérifie que Pi de W est une composante de de V intersecté avec l'opérateur de VQ TH appliqué à V et donc ça ça contient Pi de A c'est inclus dans V et notre hypothèse c'est que Pi de A c'est V donc en fait on peut pas avoir une égalité straight ici donc bon essentiellement c'est que il y a une composante de V intersecté qui est V elle même donc V est une composante de THV c'est l'opérateur de VQ c'est correspondance ce que j'ai dit opérateur correspondance c'est mieux ici donc V est une composante de THV en fait ça veut dire que Vtilde c'est H enfin je voulais voir que H stabilise Vtilde voilà alors donc ce qu'on a vu déjà une fois dans ce cours quand j'ai montré la caractérisation bialgébrique des faiblements spécials c'est que si je part d'un V qui est hôte générique que je fais cette opération de choisir une composante le stabilisateur de cette composante par certains côtés est gros ça veut dire que son adhérence de Zariski est un sous-groupe normal d'Angé d'air donc je reprend la même preuve mais je dis que par le thérème du monodromie de deux lignes andré si j'appelle gamma Vtilde le stabilisateur dans gamma de ma composante alors gamma Vtilde Zariski est un sous-groupe normal de Gdair et bon on a vu aussi que HA2Z que je défini comme étant HA2Q intère gamma ça stabilise la composante ok alors il y a un LEM 5.4 alors c'est que gamma Vtilde normalise HA HA c'est bon et après ça sera un résultat fort parce que la clôture de Zariski gamma Vtilde va aussi normaliser HA parce que HA est algebraique alors preuve donc je me donne un élément dans gamma Vtilde et je regarde gamma HA gamma-1 fois Vtilde alors on a vu gamma ça fixe Vtilde et gamma aussi donc ça fixe Vtilde et ça ça va vous assurer que si si si vous définissez aprime comme étant gamma gamma gamma HA gamma-1 2R+, point A alors je prends l'ambit de cet élément enfin je prends ça et je l'applique à A comme A est contenu dans Vtilde et que ce groupe fixe la composante ça c'est inclus dans Vtilde d'accord alors je dis que aprime c'est semiajébrique réel et contient A alors aprime et semiajébrique réel contient A qui est maximal donc par l'hypothèse de départ et donc ça ça vous donne que A c'est en fait gamma HAR+, gamma-1 point A ou autrement dit que gamma HA gamma-1 est inclus dans le stabilisateur mais le plus grand sous-groupe dans le stabilisateur qui est défini sur Q c'était HA donc ça ça veut dire que c'est inclus dans HA et donc en fait c'est égal donc le gamma normalise gamma Vtilde normalise HA voilà alors donc là ça dit beaucoup de choses parce que on a vu ce normalisateur HA est un groupe algébrique donc s'il est normalisé par quelque chose il est normalisé par son adhérence de Zarizki conséquence voilà donc conséquence HA est normalisé par gamma Vtilde Zar qui est un sous-groupe distingué, qui est un facteur de GDR alors je dis que typiquement par exemple si GQ est plus simple ça vous dit automatiquement que HA c'est Vtilde c'est S qui est essentiellement ce qu'on espère HA étant O Vtilde étant O et donc P2A c'est S ce qui est essentiellement vu les réductions que je fais c'est essentiellement ce que je souhaite prouver à la fin je vais montrer quelque chose de faiblement spécial je remplace par le plus petit faiblement spécial qu'il contient et sinon donc on a GQ à une décomposition G1, 3, G2 j'ai déjà fait ça de tout à l'heure mais donc on passe à la joint et ça va impliquer que P2A ça va être l'image de P2 avec donc GQX c'est G1, 3, G2 G1, X1 G2, X2 et puis P sera un point dans X2+, quelque chose comme ça donc essentiellement si donc essentiellement si vous connaissez la proposition 5-2 vous obtenez Axelindemann donc la prochaine fois je démontrerai la proposition 5-2 et j'expliquerai d'où vient les banques d'affaires ailleurs pour les orbites sous Galois 2 points spéciaux