 En este vídeo, que es un vídeo optativo, vamos a redefinir, en un sentido, vamos a redefinir los números complejos, lo que nos permitirá de interpretar las varias propiedades de los números complejos. Primero, consideramos R2, el plano real, y definimos dos operaciones de suma y multiplicación. La suma es la suma vectorial habitual, que hemos visto en el vídeo, en el módulo anterior, pero la multiplicación, no es la multiplicación escalar en el contexto de los espacios vectoriales, sino es una función que toma dos vectores y que da un nuevo vector. Ejemplos, sumamos dos vectores, obtenemos la suma aquí, y vemos que la multiplicación toma dos vectores y que da un nuevo vector. A continuación, definimos una función de los números complejos a R2, tal que la imagen de alpha más y beta por f es igual al par alpha beta. Vemos que para cada elemento de R2, existe un número complejo, tal que su imagen por f es igual a este elemento. En particular, si consideramos el par alpha beta, ya sabemos que es una imagen por f del número alpha más y beta. Por otro lado, si dos números complejos admiten la misma imagen por f, podemos concluir que estos números deben ser iguales. Es decir que si f de z1 es igual a f de z2, entonces z1 es igual a z2. Por fin, notamos que la función f preserva las operaciones de suma y multiplicación. En otras palabras, la imagen de la suma de dos números complejos es igual a la suma de las imágenes de estos números. Al mismo modo, la imagen de la multiplicación de dos números complejos es igual al producto de las imágenes de estos números. ¿Y por qué nos importa esta función? Es porque de hecho la función f transforma los complejos en pares reales y al mismo tiempo preserva la estructura de cuerpo. En otras palabras, gracias a la función f deducimos que es lo mismo trabajar con los números complejos y sus dos operaciones que trabajar con r2 y las dos operaciones que hemos definido al principio. En particular, concluimos deducimos que el tres tupla r2 con las operaciones de suma y multiplicación tiene estructura de cuerpo. Y la demostración consiste en mostrar que todas las propiedades de cuerpo se satisfacen, lo que es garantizado por la función f. Y así, utilizando la función f, podemos mostrar que todas las propiedades de cuerpo se satisfacen. El interés de todo eso es que, ya que sabemos que r2 admite una interpretación geométrica, esto nos permite de dar una interpretación geométrica a los números complejos. Entonces, si consideramos la parte real y la parte imaginaria, vemos que simplemente corresponden a la primera y la segunda coordenada del par en el plano real. Y en particular se encuentran en la interpretación geométrica del plano así. Además, sabiendo que la conjugación transforma la parte imaginaria de un número complejo en su opuesto, deducimos que en el contexto del plano real, esto corresponde a una simetría axial de eje y igual a cero. En resumen, vemos que nociones de los números complejos se transmiten en el plano real. Por otro lado, y mirando la cosa al revés, sabemos que en el plano tenemos las nociones de longitud y ángulo. Y en el próximo vídeo veremos que estas nociones se transponen en los números complejos como módulo y argumento respectivamente.