 اسلام علیکم ایک بار پھر کالکلس کے لیکچر نمبر 15 کے ساتھ حاضر اب شروع کرتے ہیں لیکچر تھوڑی دیر میں آج کا موسم کا حال یہ ہے کہ جناب آج بہت گرمی پڑی لہور میں میں ابھی اسلام آباست سے آئیوں تو اسلام آباست میں تو بہار شروع ہو گئی اور ٹھیک ٹھاک موسم ہے کچھ لوگوں کو پولن کی وجہ سے ڈرڈیز اور ازمہ ہو رہے لیکن موسم پھر بھی ٹھیک تھا یہاں پہاں آ کے میرا بڑا عجی وہ غریب حال ہوا کیونکہ ایک دم سے گرمی کا حال ہوا اور اس کا مطلب ہے کہ گرمی شروع ہو گئی تو چلا خیر دیکھتے ہیں اور کیسا ہوتا ہے آپ لیکچر میں پرولمز ہوں گی ٹھوڑی سی لیکن ہیل سٹکتے ہیں اور مجھے ہوتا ہے تو اب یہ آپ کی ہو گئی اس طرف اس وقت کی جنرل رپورٹ ویدر رپورٹ کیلی جے اور اب ہم شروع کرتے ہیں ماثمیٹکس تو ابھی تک ہم پشتے لیکچر میں ہم نے بات کی تھی بیسکل idea تھا slope of a tangent line کا اور باقصر دیتا کہ ہم عاستہ عاستہ ڈریویٹف کا idea develop کر رہے تھے تو اب اس کا جو ڈریویٹف کیا چیز ہوتی ہے جسے ہم ڈریویٹف بھی کہتے ہیں کبھی کبھی چوائی ساپ کیا کیا کہلیں اور اس کو پھر مزید develop کرتے ہوئے ہم آگی differentiation شروع کریں گے اگلے لیکچر میں functions would differentiate کیا جاتا ہے تو بیسکلی یہ جو سارے لیکچر اگر آنے کے مصر دیتے ہیں اب نہائے کوئی 3 4 5 یہ بیسک idea سہنگے calculus کے اب ہم پرانی جو بیسکی مات تھی وہ سب کر چکے ہیں hopefully we are all very well worst in it اور اس کو استمال کرتے ہوئے we will develop calculus basically تو آئی شروع کرتے ہی let's talk about the ڈریویٹف تو سکین پر کچھ پہلے تو تھوڑے سے point silk دتے ہیں کہ اچھکی بات چیت میں کیا ہم دیکھیں گے تو آئی سکین کی طرف تو یہ اسکرین پر آپ کے سامنے آچ کا طوپک لکھا ہوا ہے سب سے پہلے تو طوپک ہے The Derivative یا The Derivative کہلیں جو طوپک ساتھ جو ہم جن کے بارے میں بات چیت کریں گے وہ بھی لکھے ہیں سب سے پہلے تو جناب آپ کی Definition of the Derivative ہوگی or Definition of the Derivative میں آچ اس وقت کے بعد سے اس point کے بعد سے Derivative سمال کروں گا کیونکہ میری اصل میں عادت پڑی بھی ہے میں رکھا میں چونکہ Derivative بولتے تھے تو لیکن لیکن feel free to use Derivative if you feel like it as far as we know that we are talking about the same thing تو سب سے پہلے تو آپ کی Definition ہوگی Derivative کی اس کے علاوہ پھر ہم بات کریں گے Notational stuff about the Derivative کچھ نوٹیشن کی باتیں ہوں گی اس کی پھر اس کے بعد ہم بات کریں گے Existence of the Derivative یعنی کس situation میں کن condition میں Derivative جہب exist کرتا ہے گو کیا ابھی تک ہم نے define نہیں کیا ہے Derivative لیکن we will see once we define that there are certain conditions under which the Derivative exists اس کے علاوہ جناب ہم بات کریں گے relationship between differentiability and continuity یہاں پر ایک نیاوردہ differentiability یہاں پر یہیں بتا ہیتا ہوں چھوٹا سیک انٹردکشن کی differentiability it basically comes from the word derivative یعنی when you find the derivative of a function which we will see what that means in a minute it's the same thing as saying differentiating the function تو یہ دونوں بیسکلی ایکی چیزیں ہم اس کی مزید دیٹیل سا بھی دیکھیں گے اس کے علاوہ جناب a continuity کی بات کی تھی کہ what is the relationship between the derivative and the continuity in terms of functions اور اس کے بعد ہم دیکھیں گے derivatives at the end points of the interval یعنی شروع میں ہم دیکھیں گے کہ derivative کیسے in general exist کرتا ہے at any point پھر end point phenomena بھی دیکھیں گے کہ وہ کیا کہتا ہے تو یہ آچ کے topics ہوگئے تو اب ہم شروع کرتے ہیں بیسکلی let's just get into it directly اس والے لیکچر میں اب آپ دیکھیں گے بلکہ اس کے بعد جتنے بھی لیکچر آئیں گے that we'll see that we see a lot of notation lot of examples کیونکہ مات سیکنے کا سب سے اچھا طریقہ ہی ہوتا ہے کہ you do a lot of practice you see a lot of examples اور اس کے لیوڑی تو of course we do see it eventually any theory تو یہ ہے کہ ٹھیک ہے تو ہم پرلیں گے ریڈن کر لیں گے یہ بات کی دسکشن کریں گے کبھی تو we can talk about it چھوڑا سام دیکھیں گے حصہ یہاں پر and we'll do a lot of examples basically تو let's go to the screen and let me write down something for you تو یہاں پر دیکھئے کہ اسکرین پر let me write down a formula یہ ایک فارملہ یہاں پر لکھتا ہوں میں this formula is m subscript 10 یہاں پہلے دیکھ چکیں equals limit as x1 goes to x0 x0 of f of x1 minus f of x0 f of x0 تو یہاں پہلے دیکھ چکیں یہاں پر آگیاں ابھی ہم نے فارملہ very important formula of course یہ آپ کو یادے پچھلے لیکچر میں ہم نے جب بات کی تھی slopes of tangent lines کی وہاں پہ ہم نے یہ دیکھا تھا this basically m10 جو لکھا تھا میں نے m subscript tangent یا t a n 10 اس کی short form لکھی دی یہ آپ رکال کیجی this was defined as the slope of the tangent line تو یہ جو فارملہ اس کے بعد follow کیا equality کے بعد which defines what m tangent is is basically the slope of the tangent line اس کو ہم استعمال کرتے وے derivative کو define کریں گے eventually this is the basic concept here so we'll work with this اب یہاں پہاں ایسا کرتے ہیں کہ یہ فارملہ تو ہم نے لکھ دی اسکرین پے آپ نے دیکھ بھی لیا اب اس کے ساتھ جب اب ہم یہاں پتا ہے کہ یہ کیا تھا سارا اس میں یہ تھا کہ جو x1 was approaching x0 in the limit right تو concept اگر آپ کو یادو کہ وہ جو ایک آپ کے پاس ایک کرف تھا ایسے کر کے اور پھر ایک اس کے بعد لائن بنائی تھی آپ نے seek and line یعنی ایک ایسی لائن جو اس کرف کو دو جگہ پے انٹرسیکٹ کر رہی تھی پھر ہم نے کیا تھا کہ ایک point کو ہم نے ایسے موف کرنا شروع کیا تھا یعنی وہ اس کا outer point جو تھا وہ x1 تھا right x coordinate جو تھا اس کو ہم نے موف کیا تھا تو اسی correspondence جو movement ہی تھی اس کی y axis کی وہ کیا ہی تھی یہ ہی تھی نا کہ y point جو تھا اور اس کو پھر ہم نے کہا تھا کہ اس کا slope کیسے معلوم کریں گے اور that was the formula we just saw on the screen اب ہائے لگو کہ وہ ہم نے seek and line کا formula لیا تھا slope کا اور اس کا limit لے لیا تھا ہم نے as x1 went to x0 تو یہ تو آپ کا preview ہو گیا recall ہو گئی اب ہم اس میں سے derivative کو کیسے ڈریکٹ کریں گے تو آئی اس کو بھی تھوڑا سا مزید develop کرتے ہیں we have to go back to the screen let's go there یہاں پھر دیک ہے کہ یہاں پھر دیکھیں کہ let me just do some algebraic manipulations basically idea یہاں ہے کہ میرے پاس ایک quantity ہے x1-x0 تو اس کو اگر میں h کے طور پہلے بل کر دیتا ہوں h equals x1-x0 اور یہاں سے یعنی بیسکل I have made it up this way اور یہاں سے اگر میں تھوڑے سے algebra کروں تو میں derive کر سکتا ہوں equation کہ x1 equals x0 plus h اور یہاں پھر نوٹ کیجئے کہ ان دو equations کو استعمال کرتے ہوئے آپ نوٹ کریں کہ as h goes to 0 x1 goes to x0 یعنی یہ ظاہر سی بات ہے کہ h اگر 0 کے قریب قریب جا رہے تو x1 کی جو value ہے وہ x0 کی بڑا بر ہو جائے گی تو لہذا اس کا مقصد کیا ہوا کہنے کا مقصد سارہ کیا ہے مقصد یہ ہے کہ جو ہمارے پاس tangent line کی definition تھی اس کے slope کی tangent line کے اس کو ہم ضرہ سر differently لکھنا چاہتے ہیں اور وہ کیوں لکھنا چاہتے ہیں لیکن مقصد یہ ہے کہ now we can write m tangent as m10 equals limit as h goes to 0 of f of x0 plus h minus f of x0 divided by h یہاں پر بیسکل وہ substitution میں نے کیا ہے کہ h was equal to x1 minus x0 اور ساتھ ہی میں یہاں پر ایک فگر بھی ہے اس کو بھی دیکھ لی جی which basically shows you what I did algebraically in terms of geometry تو یہ تو آپ کی ہو گئی تھوڑیسی algebraic manipulations جو میں نے کیا کیوں کی وہ ابھی ظاہر ہے ابھی ہمیں پتائے کہ ہم derivative کی بات کرنا چاہتے ہیں that's why we did this these manipulations ان کا کافی فائدہ ہوگا آگے جلکے تو بیسکلی مقصد یہ کہ یہاں پر کہ یہ جو بھی manipulation کی اس کو پھر میں نے استمال کرتے ہوئے جو tangent line کی slope کی جو وہ تھی equation m10 اس کو میں نے درہ ضرہ differently لکھ لیا یعنی x1 اور x0 کی بجائے میں نے ایک نیا ویریبل انٹریوز کیا h اور h کو استمال کرتے ہوئے میں نے ای فرملہ لکھا ہے تو اس کا کیا مقصد ہے ابھی بازے ہو جائے گا ظاہر ہے as we move along لیکن یہاں پر یہ کرتے ہیں کہ یہ جو ابھی میں نے لکھا ہے formula last screen پہ جو آپ نے دیکھا تھا جس میں h went to 0 اور میں نے x1 x0 ہٹا دیے تھے denominator سے اس کو میں دیفائن کرنا چاہوں گا as the derivative of a function تو اس کو ہم اسید دیفائن کریں گے یہ سکرین پہ دیکھ لیتے ہیں کہ what does that mean basically I'll write down the definition for you اچھا یہ تو سکرین پہ آپ کے سامنے دیفانیشن آگئی دیفانیشن کیا ہے بیسکل یہ ہے کہ جی یہ جو فرملہ بھی لکھا تھا تھوڑی در پہلے کیا تھا وہ فرملہ فرملہ یہ تھا کہ جی m subscript 10 جو ہے was equal to the limit as h goes to 0 instead of saying x1 goes to x0 we'll define this as h goes to 0 of the quantity یہ لیمٹ میں ہم نے لیے as h goes to 0 of the quantity f of x0 plus h minus f of x0 divided by h بیسکل یہاں پہ x1 اور x0 چونکہ ہم دیفائن کر چکے h کے طور پہ تو we just have that تو یہ آپ کی دیفانیشن ہے اس کو ہم دیفائن کر رہے ہیں as the derivative اچھا جی تو یہ آپ کی دیفانیشن ہو گئی اس میں کچھ چیزیں ہیں کچھ دیفانیشن تو آگئے اس میں ایک point سب سے بڑا تو یہ ہے موقع ہے لیمٹ آپ کے پاس ہے لیمٹ ہے تو سب سے بہت یہ کہ ہمیں پوچھنا چاہی ہے کہ لیمٹ اکسست کرتا ہے کی نہیں یہاں پہاں تھا سوا point є کہ یہ دیکھتے ہیں آپ وہ کتنا عیادہ جب لیمٹ کیا لقت کو ہم نے دیسکس کیا تھا تو اس میں ہم اللیمٹ جو تہنے بیسکل when you talk about a limit of a function and you say that it exists آپ بیسکل یہ کہاں at some point and you give a point دی中国ان چہی ہے تو اس میں ہوتا ہے کہ آپ اپروچ کرتے ہیں اس پوینٹ کو as a limiting process لیکن وہ اس کے دو طریقے ہوتے ہیں اپروچ کرنے کے آپ کو یاد ہوگا you can approach that point انہیں گر یہ point ہے آپ کا C and you want to take the limit as x is x values on the horizontal line xx is our approaching C well there are two ways of approaching C C یہاں پر بیچ میں ہے you can approach C from the right یہ نہیں ہے جو میرے point if you say right ہوگا or similarly you can approach C from the left تو یہ دونوں سائدوں سے جب آپ اپروچ کرتے ہیں اس کے لیے ہم نے a notation when I see plus ڈال دیا تھا C پہ which meant you're approaching C from the right-hand side basically کہنے کا مقصدی تھا کہ x is getting closer and closer to the C value C from the right-hand side اور جو C کے اوپر minus sign ڈالتے ہیں تو اس کا مطلب یہ ہوتا ہے کہ you're approaching it from the left side تو یہ مقصد ہوتا ہے کہ اور مقصد یہ تھا کہ جب یہ دونوں values exist کرتی ہیں اور match کرتی ہیں only then you can say that the limit as x approaches C without any plus or minus then you say that the limit exists یہاں پہ ہم نے definition جو لکیس میں implicitly ہم نے ایک طرح سے اسم کر رہے تھے کہ ہم نے اس میں plus or minus کہنے ہی دالتے ہیں C کے اوپر تو مقصد یہ تھا کہ implicitly اسمشن ہی ہونے چاہیے کہ the person who's evaluating the limit or finding the derivative for that matter in this case needs to check if that happens if the limit exists from the left and the right and matches up and all that تو اس میں details ہے بہت ساری جو ہم نے یہاں پہ avoid کر دییں کیوں کہ we've already seen it before تو یہ ہمیشہ اسمشن رہے گی کہ جب ہم limits کی بات کرتے ہیں as you approach a certain number then you're approaching it from the left and the right and the student has to make sure that they actually evaluate it from the left and the right and conclude if the limit exists or not تو سب سے بڑی بات تو یہ کہ definition میں سب سے بڑا جو کاویات ہے وہ یہ ہے کہ we need to make sure that the limit exists first of all اچھاں exist کرتا ہے that's good so let me actually write it down on the screen ہمیسکین پر تھوڑا سا فرمی لکھ لیتے ہیں کہ what exactly do we mean when we say the limit exists یہاں پہ اس لکھا ہوا ہے میں نے کہ جی we make this definition provided that the limit in the definition exists یعنی کہانے کا مطلب یہ کہ جو ہم نے تھوڑیر پہلے دیسکشن کی کہ اگر exist کتا ہے from the left and the right only then can this definition work اور یہاں پہ یہ بھی دیکھئے کہ the tangent line at the point px0 y0 is just called the tangent line at the point x0 اور ہم یہ کیوں کہتے ہیں یہ تھوڑی سی میں چیزے بتا رہا ہوں جو آگے چل کے میں استعمال کروں گا کہ جب میں کہتا ہوں tangent line a point پر exist کرتا ہے تو point کے دو coordinates ہوتے x0 اور y0 لیکن میں صرف یہ کہوں گا کہ that tangent line جب میں معلوم کر رہا ہوں اس کا slope یا کوئی چیز تو I'll only consider the x coordinate this is just for brevity ہے نہیں تھوڑا سا shortcut لگانے کے لیے اس کے y کی وجہ ہم x0 پر focus کریں گے اور ایک بات اور یہ کہ also a point that we need to make here is that the equation of the tangent line at the point x0 is given by the formula y minus y0 یہاں پہاں y0 صحرہ استعمال کر رہیں گے یہاں آپ کو یہ بھی تھوڑا سا یاد ہونا چاہیے from previous lectures and that equals to the slope of the tangent line which is just m tangent times x minus x0 تو یہ تھوڑی سی چیزے ہوگئے جو ہمیں مدے نظرک نہیں ہوں گی as we talk about the derivatives we keep developing the idea formally تو تنجن لائن کا ریکول کر لی جیے کہ formula ہوتا کہ کوئی بھی سٹریٹ لائن اگر ہو including a tangent line اس کام کیسے معلوم کرتے ہیں اس کا formula اس کی equation کی line line کی equation کیسے معلوم کرتے ہیں وہ formula بھی تھوڑے دے پہلے دیکھا tangent line میں ہوتا ہے کہ slope جو ہے لیمٹ کی format defined ہوتا ہے تو first you have to find that limit and so forth تو یہ کچھ چیزے تھیں اب آئیے آگے دیکھتے تو ایک اجامل کر لیتے ہیں ابھی تک ہم نے جو بات چیت کی اس میں ہم نے ابھی تک جو ہم نے ایک طرح سے formula defined کیا ہے derivative کو نا basically as a limit of a certain quantity basically turns out to be the slope of the tangent line تو آئیے اس کو استعمال کرتے وہ ایک اجامل کرتے ہیں let's go to the screen example ہے جناب find the slope and an equation for of the tangent line to the graph of the function f of x equals x square at the point we'll call that point p which has coordinates 3 and 9 یعنی x coordinate جہاں وہ 3 ہے y coordinate جہاں وہ 9 ہے and اُس کا تھوڑا سک پکٹوریل ایک پکچھے بنا لیتے ہیں یہ آپ کے سامنے پکچھے بنا گئی ہے this picture tells you what we're trying to find out basically یعنی آپ کے سامنے ایک function x square جو ہے it's a parabola اس کے بارے میں بھی ہم نے کافی بات کی تھی پچھلے کے لیکچوز میں اس کا جو گراف ہے اس کے اوپر ایک point ہے 3 9 یہاں پہاں ہمیں ایک بنا لیے نہیں ہے اور اس کا ہم نے slope معلوم کرنا ہے اور اس کی equation معلوم کرنی ہے تو آئی اس کو معلوم کرتے ہیں how do we find the equation and the slope well first of all جب ہم equation کی بات کر رہے ہیں equation معلوم کرنے سے پہلے slope تو زیرہ پتا ہونا چاہی ہے right کیونکہ slope کی جو یہ equation جو تھوڑے دیر پہلے میں لکھی تھی straight line کی including a tangent line which also is a straight line اس کا مقصد یہی تھا کہ آپ ریکول کر لیں کہ to find the equation of a straight line you need to have two points on the line and you need to know the slope of that line تو I'm sorry not two points one point on the straight line and the slope of the line تو جب slope معلوم کرتے ہیں ہم عام طور پہ general lines کا تو اس میں ہمیں یاد ہوگا آپ کو کہ دو point ہمیں معلوم ہونے چاہی ہے ایک line کی اوپر اگر معلوم نہیں ہوں گے تو پھر مسئلہ ہوتے right زیرہ slope کی اگر آپ کو definition یاد ہو اس میں difference in the y values divided by the difference in the x values that's the formula for finding the slope پھر ہم نے یہ دیکھا تھا کہ اگر آپ کے پاس ایک ایسی line ہے جس بھی صرف ایک point دیے تو اس کو کیسے آپ اس کا slope کیسے معلوم کریں گے اور وہی سارہ مقصد تھا میں نے کہا بھی تھا کہ that was the idea of finding the slope of the tangent line which is why we introduced limits and this is exactly what's happening یہاں نے یہاں پر ایک culmination ہوری in سارے ideas کی جو ہم نے فا بھی تک جن کی بات چید کی تھی previous lectures میں اور وہ ہم سب یہاں پر استعمال کر رہے ہیں یہاں پر سیٹویشن یہاں کہ we have a tangent line اس کے اپر ایک point دیا ہے تو آپ کو اس کا slope معلوم کرنا ہے point 1 ہے لہذا we'll use the definition of involving the limits and all that اور اس کے ساتھ پر اس کی ہمیں equation بھی معلوم کرنے ہیں equation معلوم کرنے سے پر slope معلوم کرتے ہیں let's go to the screen and look at the calculations یہاں پر دیکھئے کہ یہی جو formula بھی تھوڑی دے پہلے ہم نے definition میں دیکھا تھا جو ابھی definition آئی تھی اس کو ہم استعمال کریں گے یہاں پر اور ہم استعمال ایسے کریں گے کہ x not جو ہوگا وہ ہم 3 کی ویلی لیں گے اس میں ظاہر ہے جو point آپ کو دی ہے وہ وہی x not y not جو تھا وہ ایسا point سے جناریک جس جو آپ کو معلوم ہونا چاہیے تو x not کی value 3 ہوگی یہاں پر یہ ہمیں معلوم ہے اور ساتھ میں y not جو ہے وہ ہے 9 so first we have to find the slope that is exactly what we'll do we'll find the slope of the tangent line at the point x not equals 3 تو اس میں یہ تو تھوڑی سی بات چیز ہوگی تھوڑی سی ہم نے میں نے preview دے دیا کہ ہم کرنا کیا چاہر ہیں اب calculations شروع کرتے ہیں and again we'll go back to the screen and let's get the calculations اچھا جی تو screen پہ یہ کچھ calculations ہے آپ کے سامنے مخصد calculations کے یہ کہ slope معلوم کرنا ہے tangent line کا تو یہ دیکھلی جی کہ sis کا formula ہمارے پاس ہے we know the formula ابھی تھوڑی دے پہلے ہم نے کچھ manipulations کی تھی یاد ہے آپ کو x1-x0 تھا لیمٹ میں اب ہم نے اس کی جگہ h لکھ دیے ہم اسی کو استعمال کریں گے یہاں پر کیونکہ ہم اپس فنکشن بھی دیا ہوئے تو اب یہ دیکھیں کہ یہاں پہ اس کا slope بنے گا limit as h goes to 0 of f of 3 plus h minus f of 3 divided by h which will equal to اب f of 3 plus h کا مطلب کیا ہے اس کا مطلب یہ کہ جو فنکشن دیا تھا آپ کو جو ہمیں دیا ہے وہ ہے f of x equals x square یہاں پہاں x کی جگہ اب ہم نے 3 plus h ڈال دینے جہاں پہاں x ملے گا ہم ڈال دیں گے ہم 3 plus h ڈال دیں گے لہذا چونکہ f of x اور اس کی right-hand side corresponding جہاں وہ equal ہیں تو right-hand side پہ جتنے بھی x is ہوں گے وہاں پہاں بھی ہم 3 plus h ڈال دیں گے تو یہ آپ دیکھ لیجے کہ آپ کے پاس results ڈالتا ہے limit as h goes to 0 of 3 plus h quantity squared minus 9 divided by h is equal to the limit as h goes to 0 of یہ ڈالتے ہیں تو آپ کے پاس آتے ہیں یہ ڈالتے ہیں 9 plus 6 h plus h square minus 9 divided by h اس کو آپ سیمپلیفائ کر لیجے تھوڑا سا اگر ڈالتے ہیں یہ ڈالتے ہیں اور کچھ ڈالتے ہیں 9 or minus 9 ڈالتے ہیں تو آپ کے پاس results ڈالتا ہے limit as h goes to 0 of 6 h plus h square divided by h جہاں ڈالتے ہیں جو ڈالتے ہیں میں سے h common ڈالتے ہیں تو آپ کے پاس آتا ہے limit as h goes to 0 of h times 6 plus h divided by h اب یہ ڈالتے ہیں h کی h کے ساتھ تو ہم ڈالتے ہیں تو ہم ڈالتے ہیں results ڈالتے ہیں limit as h goes to 0 of 6 plus h اگر ڈالتے ہیں یہ 6 plus h کو اگر آپ تھوڑی ڈالتے ہیں as a function of h یہ ایک طرح کا function ہے جیسے اگر مثال کے طور پر h کی ڈالتے ہیں x ہوتا تو یہ 6 plus x ہو جاتا which is the same thing as x plus 6 اور ایک polynomial ہے یہ this basically is a polynomial in h تو polynomial کی خاص بات یہ ہے کہ ہم ان کو evaluate کر سکتے ہیں directly limit میں جب ہم h کی value 0 approaching کر رہی ہے تو ہم اس کو ڈال سکتے ہیں h کی جگہ اور result ڈالتا ہے 6 خالی تو یہ ڈالتے ہیں ڈالتے ہیں ڈالتے ہیں ڈالتے ہیں ڈالتے ہیں turns out to be 6 ڈالتے ہیں اب ہم اس کی equation معلوم کر سکتے ہیں یعنی ہم نے تھوڑی ڈالتے ہیں ڈالتے ہیں ڈالتے ہیں ڈالتے ہیں اب یہ ہے کہ اس میں نوٹ کیجے کہ جو فرمولا ہم نے ابھی نیا لکھا تھا ایک طرح سے slope of a tangent line جس میں ہم نے x1 اور x0 کو ہٹا جاتا ہے x0 تو نہیں ہٹایا تھا پوری طرح سر ڈالتے ہیں لیکن x1 approaches x0 کی جگہ ہم نے h ڈال دیا تھا اس میں نوٹ کیجے کہ یہ جو ڈالتے ہیں اس میں کیا دیکھا ہم نے نوٹ کریں اس میں مجھے کی بات ہے کہ یہ ڈالتے ہیں ہم نے لکھی تھی ہم نے لکھی تھی ڈالتے ہیں equals limit as h goes to 0 of f of x0 plus h minus f of x0 divided by h تو نوٹ کریں کہ اس میں h وہ 0 کو اپروچ کر رہا ہے تو eventually this will turn into a 0 basically وہ ہم نے بلکہ ڈالتے ہیں اس میں h جذہا ڈالتے ہیں آگے چلکے تو اس میں یہ ہے کہ ڈالتے ہیں کہ جو بھی بچے گا وہ ڈالتے ہیں کہنے کا مخصد یہ کہ جو ابھی نئی ڈالتے ہیں ہم نے ڈالتے ہیں ایک طرح سے ڈالتے ہیں ڈالتے ہیں جس کو ڈالتے ہیں ڈالتے ہیں جو بلکہ ہم کیا بھی چکیں اس کو this is a function of x0 یعنی it depends on the point at which you are finding the slope of the tangent ڈالتے ہیں وہ ڈالتے تھا remember تو یہ ہے کہ اس کو ہم تھوہا سا اگر ڈالتے ہیں یہ ہم تو ایک نمبر as the answer when you take the limit ڈالتے ہیں تو اب مزیگی بات یہ ہے کہ ہم اس کو تھوہا سا ڈالتے ہیں ہم کہہ سکتے ہیں ڈالتے ہیں کہ ڈالتے ہیں اپنی کو any value ڈالتے ہیں تو کیوں ہم اس کو ڈالتے ہیں ڈالتے ہیں یعنی ہم اس کو ڈالتے ہیں ڈالتے ہیں اس سے بات یہ ہمارا ڈالتے ہیں ہم نے دیفائن کیا تھا ان terms of x not an h اس کو ہم دیفائن کر سکتے ہیں ان terms of arbitrary variable x تو اس کا مخصص سے result یہ نکلے گا کہ آپ کا یہ function بن جائے گا this idea of a derivative will turn into a derivative function which is what we want to do تو یہ اس کو تھوڑا فارملائس کر لیتے ہیں let's write this down on the screen یہ دیکھئے کہ اب ہم ایک طرح سے ایک طرح سے ایک function دیفائن کریں گے m10 کے نام سے پہلے جو ہم m tendent ہم کہہ رہے تھے وہ ایک طرح کا values کیا دیتی نمر value آخر میں جاکے اب ہم یہاں پہ x not کو value دین گے x کی which is any arbitrary number it's a variable basically can be given any value then we can rewrite the formula for m tendent as m10 equals limit as h goes to 0 of f of x plus h minus f of x divided by h so this is a function now of x ظاہرہ function کی ہم نے جب بات کیتی اس میں independent variable x تھا that's exactly what this is h ہمیشہ 0 جاتا آگے جاکے so basically it's a very important function it's called the derivative function with respect to x of the function y equals f of x تو یہ اس کو تھوڑا سا definition ایک formula لکھ لیتے ہیں here's the definition تو یہ دیفنیشن آپ نے دیکھ لیتی اس میں دیفنیشن کیا ہے وہ میں تھوڑے دے پہلے بولی چکا تھا اس کو بس فرمالی ہم نے دیفنیشن کے طور پہلے لکھ رہے اور یہاں پہ سارہ مخصر یہ ہے کہ یہ وہی دیفنیشن جائے دیفنیشن ہے جو ہم نے لیکچر کے شروع میں ایک دیکی تھی فرق اتنا ہے کہ x not کی جگہ اب ہم نے x استعمال کرنا ہے اس سے یہ ہوتا ہے کہ آپ کے پرٹکلر جو نمبرز ہیں x not بھی ایک پرٹکلر point تھا کوکہ یہ ایک ویڈی بلی ہم جانتا ہے ایک ویڈی بلی اس کو اب ہم ہٹا کے ایک x کا ویڈی بلی دال داتے ہیں اور x ہمیں پتا ہے کہ یہ نصوص کی ویڈی بلی بلی جو بہت ہم دیتے ہیں تو اب ہم آپ پاس یہ دریفٹیو جو ایک دیفنیشن آئی تھی پہلے انفارمال سی بیسکل جو سلپ of the Tengent line تھی ہے رہا ہے ایک پرٹکلر point x not اب یہ کھائی بان چکا ہے جیسے یہ سب سے کریشل ہے کالکلوس کا جانتا ہے یہاں آپ یہاں سمجھ لیں تو آپ کو بہت سب ہواب ملے گا بیسیقلی آپ کے تیچر آپ کو بہت سارے پوینٹ دیں گے ذاہر ہے جب آپ اقزم میں اپنا کام کریں گے تو آپ یہاں سے جانتا ہے یہ ہوتا ہے کہ کالکلوس میں شروع شروع میں ڈیف نشن سمجھ نہیں ہوتی ہے لیکن اگر ٹھوری بھی سمجھا جائے، it helps a lot. یعنی ٹھوری اس کی بہت خوبصورت ہے، اگر آپ کو ابھی تک you're having a good time with this, then you can appreciate it very nicely. تو یہ آپ کی یہاں پر ہم نے دیفنیشن بنا دی ہے ایک derivative function کی، اب اس کو مزید elaborate کرتے ہیں، دیکھتے ہیں آگے ہم کیا کر سکتے ہیں اس کے ساتھ اچھا جی، تو اب یہ یہاں پر ایسا کرتے ہیں تھوڑاس a geometric interpretation بھی دال دیتے ہیں، let's یہ جو ابھی definition ہم نے بنا یہ derivative function کی کی، let's give it a geometric interpretation، ابھی تک ہم نے جتنا بھی calculus کیا اس میں ایک interplay تھا between algebra and geometry analytic geometry ظاہر ہے، topic بھی یہ calculus and analytic geometry، تو let's make it related to geometry اور اس کو یہاں پر آپ کے ساتھ میں لکھتا ہوں آپ کے سامنے، basically یہ ہے مقصد کہاں ہے کہ we can interpret the derivative in two ways basically ایک تو geometric interpretation ہوسکتی ہے، we'll call it the geometric interpretation of the derivative and we say that f prime، یہاں پر میں f prime سے مقصد میرا کہاں ہے the derivative function f prime جو میں نے ابھی define کیا تھا in terms of وہ جو definition لکھی دی that's what I mean by f prime اس میں بھی دا f prime سمال کیا تھا میں نے f prime is the function whose value or the value of which at x is the slope of the tangent line to the graph of the function f at x ایک رلیشنشپ ہین دو نو فنشت کے درمیان دو فنشت ہے f prime اور f f prime جہاں اس کی رلیشنشپ یہ ہے f کے ساتھ کہ at any given point x f prime denote the slope of the tangent line to the graph of the function f of x تو یہ آپ کی geometric interpretation ہو گئی derivative function کی f prime کی ساتھ میں کہا جو بہتی creating the object because it'll be helpful if you read the section again جو لکھتا ہے actually and we can talk about it also an email through email اور بیسیکل وہ بھی جگر ہوں ایک اور interpretation ہے اس کو بھی سکرین پر دیکھ لئے یا بھو جو ہاں مید نتے تھی تھی تھوے کچھر سے پہلے previous lectures میں ایک دریویٹیو میں ریٹ of change انٹرپٹیشنہ of the derivative وہ ریٹ of change انٹرپٹیشنہ یہ ہے کہ اگر y is equal to f of x is some function then f prime is the function whose value at x is the instantaneous rate of change of y with respect to x at the point x یا نہیں کہانے کا مصد یہ کہ آپیں انٹرپٹیشنہ جب بلوصٹی کی بات کی تھی ہم نےیک لیکچر میں انٹرپٹیشنہ جو دریویٹیو ہے اس کی ریٹ of change انٹرپٹیشنہ یہ ہے کہ دو فنکشنہ آپ کو دیئے ہوں اگر f or f prime f prime جہاں وہ دیفائن ہم نے دیکھا کیسے ہوتا ہے تو اس میں f prime جو ہوگا اس کی دیفنیشن ریٹ of change ریٹ of change کے حوالے سے یہ ہوگی کہ at any given point x f prime جو ہے gives you the instantaneous rate of change of the function f at any given point x تو ایک انٹرپٹیشنہ اس کی یہ ہے تو آئیے کچھ ڈیمپلز کرتے ہیں اسر انڈیفنیشنز کو استعمال کرتے ہیں تو یہ ڈیمپل ہے آپ کے سامنے فنکشن لیتے ہیں f of x equals x square plus one ہمیں معلوم کرنا ہے f prime of x یعنی بیسکل find the derivative function یعنی یہاں پر مصد یہ ہے کہانے کا تو یہاں پر یہ کرتے ہیں کہ slope معلوم کرتے ہیں پہلے تو slope of the tangent line to the function y equals f of x equals x square plus one یہ کالکلیشن اس کے سامنے اس کی جو ہے آپ کے سامنے سکرین پہ ہے یہ تھوڑی سی involved ہے میں تھوڑی درکلی اس کو سکرین پر رکھتے ہیں یہاں پر میں تھوڑی سی کوہش کرتا ہوں بتانے کی ڈیفنیشن جو ہے derivative کی وہ تو آپ کے سامنے ہے limit as h goes to zero of f of x plus h minus f of x divided by h یہ ابھی ہم نے تھوڑا آخری ڈیفنیشن دیکیتی جو last وہ ہے اس میں اب آپ جو فنکشن ہے آپ کا f of x is x square plus one ہے تو اس کے لہذا جتنے بھی x is ہیں وہاں پہ اب آپ x plus h ڈال دیجئے تو آپ کے پاس results آتا ہے limit as h goes to zero of x plus h quantity squared plus one minus the function itself which is x square plus one اور divide by h اب اس کو simplify کیجئے quantity expand کرنے جو square ہے اور اس کے لیوہاں a bracket stop کرنے تو آپ کے پاس results آتا ہے limit as h goes to zero of x square plus 2x times h plus h square plus one minus x square minus one یہ minus کو distribute کریں گے آپ in the previous step تو یہ آپ کے پاس results آتا ہے گا all of that divide by h مزید cancelation کیجئے اور you get basically the limit as h goes to zero of 2x h plus h square divide by h numerator میں h common ہے اس کو common کال دیجئے bottom ڈالے سے cancel ہو جائے گا and you basically end up with the limit as h goes to zero of 2x plus h again this looks like a polynomial it certainly is اور پیسے بھی جس طرح کی ہم نے limits کی بات کیئے we all should have an idea کہ اب یہاں پہاں ہم h کو substitute کرت سکتے ہیں as zero اور result آتا ہے 2x basically تو یہ آپ کے ساملہ یہاں پہاں ہم نے f prime معلوم کیا تو اب دیکھئے کہ x square plus one ایک function تا اس کے اس سے جو related function ہے derivative function turns out to be 2x یہ ہم نے اس کی definition استعمال کی turns out to be 2x اس میں آگے چلکے ہم اس کی کچھ patterns دیکھیں گے ابھی تو ہمیں arbitrary سے لگ رہا ہے کہ بھئی ایک function ہے x square plus one ہم نے definition استعمال کی اور آپ کے پاس ایک function آگے 2x so what آنا تھا آگیا definition تو استعمال کی تھی کونسی بڑی بات ہے ہاں باقی کوئے بڑی بات نہیں ہے بھی لیکن eventually اس میں کچھ patterns ڈا سائیں گے جس میں I think you'll see much better کی ہو کیا رہے اچھا یہ جو example ہم نے کی اس میں f prime اور function ہم نے f prime معلوم کیا f of x کو استعمال کرتے ہیں اس میں آپ دیکھ لی جی کہ f prime وہ واقی slope بھی باتایا گا آپ کو f of x کا at any given point اور ساتھ میں rate of change باتایا گا pick some points and make some pictures and I think you can convince yourself of what's happening ہم آگے چلتے ہیں اب آپ دیکھیں کیا ہوتا ہے یہ تو ابھی ہم نے معلوم کر لی ہے اس میں کچھ values ڈال کے دیکھتے ہیں ابھی جو میں نے آپ سے کہا کہ کچھ values ڈالیں تو slope معلوم ہوگا let's do it on the screen یہاں پر دیکھئے کہ function f prime function جی تھا وہ ہے f prime of x equals 2x یہاں پر اگر x کی value 2 ڈالیں گے آپ تو result آیا گا f prime of 2 equals 2 times 2 equals 4 اگر x کی جگہ 0 ڈالیں گے تو slope آ جائے گا یہ میں slope کے interpretation سے بات کر رہا ہوں یہاں پر f prime of 0 will be 2 times 0 which is 0 اور x equals minus 2 ہوگا تو slope آ جائے گا minus 4 یہ ایک example ہوگی اب اس میں ہم نے تھوڑے سے points بھی ڈال کے دیکھ لیے ایک اور example کرتے ہیں let's make it a bit more general let's go to the screen دیکھئے کہ یہاں پر ایک بات اس example میں کلیر ہو جائے گی آپ کے لیے وہ یہ کہ at each point on a straight line y equals mx plus b the tangent line coincides with the line itself یعنی کہنے کا مصد یہ کہ اگر آپ کے پاس ایک straight line ہے and you treat that as a function and if you want to find the f prime function a derivative function for that straight line the derivative function will coincide with the line itself کیونکہ اگر آپ سوچیں آپ نے derivative function جہاں ڈیفائنی tangent lines کے لیے کوستمال کرتے ہوئے کیا ہے تو اب جو آپ ایک already ایک line آپ کے پاس ہے اس کا derivative کیا ہوگا اس کا slope ہوئی ہوگا جو line کا slope ہے ظاہر ہے تو یہ اس کو تھوڑا سا یہاں یہ intuitively تو میرا ہاں سے کلیر ہے کہ ایک line اگر دیوی ہے اور اس کا آپ اگر slope اس کا derivative معلوم کرنا چاہر ہیں it'll be the same thing as the slope of the line itself ٹھیکی جی let's do some calculations and make it more concrete I think it's a fun calculation let's look at that یہاں پر دیکھئے کہ کیا ہے بیسیکلی line کی ہمائے پاس equation تھی y equals mx plus b f prime معلوم کرنا تو یہاں پر لیمٹ لیلی جی اس میں کوئی numbers لیے ہوں گے that's why this is such a nice example اس میں سارے variables ہوں گے limit as h goes to 0 of that definition which is a definition of the derivative is going to equal to the limit as h goes to 0 of the function یعنی function کیا تھا وہ تو mx plus b تھا that's what our function is اس میں آپ x اس کی جگہ آپ x plus h ڈالدیں تو you get m times x جہاں پر تھا وہاں پر آپ کے پاس آجائے گا m times x plus h plus b minus mx plus b divided by h یہ میں نے بس ایک ڈیفنیشن ڈیپلائی کیے اس کو درہ سیمپلیفائی کریں گے تو result آئے گا limit as h goes to 0 of mx plus mh plus b minus mx minus b cancellation سیمپلیفکیشن کریں b or minus b cancelled جائیں گے mx or minus mx cancelled جائیں گے and you basically end up taking the limit as h goes to 0 of m times h and divide by h h is be cancelled جائیں گے and you will get the result limit as h goes to 0 of m زیرہ اس کے اندر کوئی h involved نہیں ہے so m is like a constant when you take the limit where there is no variable the variable which you are taking the limit of then the result is just that constant m یہ آپ نے کیا پروف کیا ہے آپے you have proved that the limit the derivative of a straight line is the slope of the straight line یہ ہم نے ایک سمپل دیکھلی now it must have been quite comfortable کہ ہر دو ہی جانتے ہیں؟ what is a derivative so far اب تھوڑی سی نوٹیشن کی بات کرتے ہیں آگی چل کے بہت کام میں آئیں گے اس میں کئی نوٹیشن سمال ہوتی ہیں جب ہم نوٹیشن کی بات کرتے ہیں کئی طریقوں سے لکھا جا سکتا ہے یہ f prime ایک ہم نے دیکھی ہے ابھی تک f prime of x that represents the idea of a derivative function کچھ اور نوٹیشن بھی ہیں اور ان کے کئی historical backgrounds بھی ہیں اور historical disasters ہوری ہے کہ ان کی انٹرپیٹیشن جو ہے depending on the notation کبھی کبھی concept کو کلیر کر دیتی ہے کہ in which context are we talking about the derivative تو آئی اس کو تھوڑا سا دیکھیں let's go to the screen سب سے پہلے تو یہ ہے آپ کی کچھ تھوڑی سی بات بات ہے یہ ہے کہنے کی کہ جی the process of finding the derivative is called differentiation یہ تھوڑی در پہلے شروع میں جب ہم نے میں بولر point ساپ کو بتا رہا تھا تو اس میں ایک میں نے differentiability سمال کیا تھا love یہاں پہاں آپ دیکھ لی جی کہ it comes from the word differentiation یہ differentiation کیا مطلب ہوتا ہے differentiation کیا مطلب ہوتا ہے کہ it's the process of finding the derivative function it is also useful to think of differentiation as an operation operation سے مطلب یہ کہ جیسے ہم دو نمبروں کو plus کرتے ہیں تو plus is an operation یعنی دو نمبروں کے اپلائے ہوتا ہے یہاں پہ جو differentiation ہے the finding the derivative جی ہے وہ ایک operation کے طور پہ بھی لیے جا سکتے ہیں where it's applied to a given function i.e. to get a new function جیسے ہم دو نمبروں پلس کرتے تھے two plus two add کریں تو ایک نیا نمبر آتا ہے four اسی طرح یہاں آپ کے پاس ایک operation ہے differentiation کا جو آپ function پہ پلائے کریں گے تو ایک نیا function آئے گا یہ جو independent variable x جو ہوتا ہے اس کی کافی یہاں پہ ایک importance ہے جس کو تھوڑا سکتا ہے in case where the independent variable is x the differentiation operation is written as d over dx of the function f of x اس کو ہم کیسے ریٹ کرتے ہیں we read this as the derivative of f with respect to x تو یہ ہم نے تھوڑی سی notation کی بات تو نہیں کی لیکن we have seen some other basic ideas differentiation کیا مطلب ہوتا ہے or stuff like that ایک نای notation جو ابھی دیتا ہے کیسے ہم نے اندروس کیا ہے یہ ہم اس کو ابھی اور بات کریں گے d over dx of the function f of x ہم نے کہا ہے کہ we will read that as finding the derivative of f of x یا نہیں اگر اس کو ہم استعمال کرتے ہیں بات چیت کریں ابھی تک جو ہم نے derivatives کی بات کیے so we can write basically let's go to the screen we will write that d over dx of f of x is equal to f prime of x یعنی جو f prime جو ہے وہ تو ہمیں پتا ہے اس کی definition یاد ہے آپ کو کلن بی سی اس میں limit involved ہوتا ہے وہ ہمیں پتا ہے کیسے معلوم کرتے ہیں اب ایک نوٹیشن ہم نے Alexi ڈیوز کی ہے d over dx of the function f of x is equal to f prime of x ایکی چیز ہے just notation نوٹیشن کا بھی پا چاہتا ہے کیوں استعمال کرتے ہیں اسی کو استعمال کرتے ہیں اس نوٹیشن کو let's go back to the screen یہاں بھی دیکھی ہے کہ function ہے square root of x اور اب ہم اس کو اس کا derivative معلوم کرنا چاہ رہے ہیں so we will write this as d over dx of square root of x اور یہاں پہ میں آپ کو بتا دیتا ہوں I won't do the work I'll let you do it جو d over dx of square root of x کیا مطلب ہے it's basically the same thing as finding f prime of x یعنی f of x جو function ہے وہ یہاں پہاں square root of x ہے اس کا ہمیں derivative معلوم کرنا ہے it's the same thing as finding f prime of x I'll let you do the definition use the definition to find it and I will just write down the answer which is 1 over 2 square root of x تو یہاں پھنے یہاں نوٹیشن ہے d over dx it's the same thing but it's helpful so let's do some more examples with this if you write the function if you write basically y equals f of x then we can also say d over dx of y equals f prime x یعنی ظاہر ہے کہ f of x کوگرم ایک ساہر کی value دیدیے یہ لیبل دیدیے تو جہاں پر d over dx of f of x لکھا تھا وہاں پر مہاں y لکھ سکتا ہوں اور result کیاتے ہیں it's the same thing basically d over dx of y equals f prime x اس کو ایک طرح سے اور بھی لوگ لکھتے ہیں short form میں short form اس کی ہی ہو سکتی ہے کہ وہ جو brackets ڈالے میں y کے اسباس آپ نے ان کو ہٹا دیجے and you get dy divided by dx یہ اس کو عام طور پر than پرتے ہیں divided by نہیں میرے مستیک ہو گئی یہاں پہ not right now. آگے چلکی ہم دیکھیں گے کہ اس کو division میں اس کو interpret کر سکتنے کے نہیں کہانے کا مقصدہ دیوی over dx equals f prime of x. تو یہاں پہ یہ ایک نئی notation ہو گئی d y over dx یہ ہم اس کو استعمال کرتے ہوئے اگر پچھلی جو ہم نے لکھی تھی notation اس میں example اس میں اس notation میں لکھیں گے دیوی over dx equals one over two square root of x. تو یہ جو دیوی over dx look like a ratio right لیکن آگے چلکی ہم دیکھیں گے may be interpreted actually as a ratio there is a way to think of it as a ratio میں ابھی بھی تھوڑے دیر پہلے آپ کو رکھا تھا کہ d y divided by dx نہیں کرنا چاہے یہ کیونکہ that basically means a ratio لکھتی تو یہ ratio a notation and we will see that we can actually use it as a ratio later on for now we are using it as a symbol basically ڈیوی over dx جو ہے represents the derivative of a function f of x let's go to the screen and look at some more stuff یہاں پر دیکھیں کہ ابھی تک ہم نے independent variable جو استعمال کیا وہ x ہے عام طور پہ یہ ہوتا ہے ابھی تک ہم جو functions کی بات بھی کی تھی تو x was the independent variable لیکن کبھی کبھی کچھ ہور بھی ہو سکتا ہے مثال کے طور پہ اگر ہم کہیں کہ independent variable is you when we would say d y over du would equal f prime of you یہاں پہ x کی جگہ a independent variable you ہے لہذا I have a du at the bottom اور اس کو سنہ بھی لکھ سکتے ہیں کہ d over du of the function f of you is equal to f prime of you سو کوئی بہت بڑی بات نہیں ہو گئی it's basically different notation لیکن یہ ہے کہ اس کو آگے چلکی ہم دیکھیں گے جو ہم calculations کرتے ہیں تو notation matters a lot ڈینی اصل مقصد یہ ہوتا ہے mathematics میں کہ چیزوں کو کلاسی فائے کر دیے جائے اور آسانی سے ان کو استعمال کیا جا سکے it's a basically a way of formalizing things ڈینی دیفنیشنز جو ہیں اور جو نوٹیشنز ہوتی ہیں خاص طور پہ نوٹیشنز it's a way of formalizing things so so far I think everything is okay کچھ اور نوٹیشن بھی دیکھ لیتے ہیں a much much more important notation actually let's go to the screen ایک نوٹیشن یہ بھی ہے کہ اگر مثال کے طور پہ ہمیں معلوم کرنا ہو ہم derivative function دو معلوم کر لیتے ہیں ٹیک جی معلوم کر لیا اب ہمیں کہنا ہے کہ ہمیں اس function کو evaluate کرنا ہے derivative function کو at a certain point x equals x not تو اس کو ہم لکھیں گے نوٹیشن اس کی یہ ہوتی ہے d over dx of the function f of x اور اس کے بعد ایک bar ڈال دیتے ہیں straight line اور اس کے کارنامے لور کارنامے لکھ دیتے ہیں x equals x not یعنی کیانکہ مصدی ہے کہ first you differentiate the function f of x find the derivative of the derivative of the function f of x and then you evaluate the result at x not یعنی this basically will equal to f prime of x not یعنی مثال کے طور پہ وہ function جو بھی ہم نے دیکھا تھا a square root of x کا اس کو اگر ہم استعمال کریں یہاں پہ تو ہم کہا سکتے ہیں کہ we want to find the derivative of square root of x and then we want to evaluate it at the point x equals x not تو یہ نوٹیشن ہو گئی اس کی result ہمیں پتہ ہے اس کا derivative جو ہوتے 1 over 2 square root of x ہوتا ہے اس کو evaluate کرنا ہے at x equals x not well that's just going to equal to 1 over 2 square root of x not تک اجی نوٹیشن ہو گئی اب ان کو بیسکل یاد کر لیجی نوٹیشن is very important it'll help you in a lot of ways later on اب ہم آگے بات کرتے ہیں existence of derivatives کی تو let me just write down some things on the screen for you existence of derivatives کی بات ہو رہیے تو یہ نوٹ کیجے جو دیفنیشن ہے derivative کی اس سے کلیر ہے it's clear from the definition that the derivative exists only at the points where the limit exists یہ تھوڑے پہلے میں نے کہا تھا کہ derivative ظاہر ہے is defined in terms of limits تو جب لیمٹ exist کرے گا جب ہی تو derivative exist کرے گا right تو یہ چیز ہے اس کو یہاں صرف ہم لائس کر لیتے کہ if x not is such a point then we say such a point سے مطلب یہاں کہ it's a point where the limit exists the limit that's given in the definition of the derivative then we will say that f is differentiable at x not یا ہم کہہ سکتے ہیں f has a derivative at x not so basically this basically defines the domain of f prime in a sense کیوں کہ آپ لیمٹ جہاں جہاں exist کرتے ہیں وہاں وہاں پہے derivative بھی exist کرتے ہیں or derivative جو ہے ہم نے دیکھا ہے کہ it's a function basically تو ایک طرح سے آپ کی ایک domain automatically آپ کو پتہ چل رہیے of the function f prime which is those points where the limit exists the limit which is given in the definition of the derivative ایک اور چیز یہاں پہاں ہے کہ f is differentiable on an open interval a comma b if it is differentiable at each point in the interval a comma b انٹرولز کی بات ہوریے ہمیں پہلے بھی کافی ان کے بارے میں بات چیز کر چکیں تو یہاں پہ سمپل سی دیفنیشن ہے کہ اگر انٹرول آپ کے پاس ہے آپ کہانا چاہے ہیں کہ کسی طرح سے ڈیفائن کریں differentiability of a function on that interval اس کی دیفنیشن یہ ہے کہ اگر آپ کی اس انٹرول کے ہر point پہاں آپ کا function differentiable ہے then the function is differentiable on the whole interval let's go to the screen and look at some more stuff یہ بھی ہے یہاں پہ کہہ سکتے ہیں کہ f is differentiable f is a differentiable function if it's differentiable on the interval minus infinity to positive infinity یعنی کیا نگا مقصد یہ ہے کہ it's just differentiable اگر یہ پوری real number line پے exist کرتا ہے derivative minus infinity سے positive infinity تک the points at which f is not differentiable we will call them well we will say that the derivative of f does not exist at those points اچھا جی last چیز جو ہم نے بات کی the points where the derivative does not exist اس کے بارے میں تھوڑی سی مزید develop کرتے ہیں idea کی let's go to the screen and let me write some stuff for you non-differentiability کی بات ہو رہی ہے تو اس میں سب سے پہلے نوٹ کریں کچھ چیزیں بتا دیتا ہوں آپ کو کہ non-differentiability usually occurs when the graph of f of x has either of these three situations آئیتا the graph has corners or it has vertical tangents or it has points of discontinuity یہ تین پکچیز یہاں پر ہی بنا دیتے اور یہ these basically are going to tell you what we mean by these corners vertical tangents and points of discontinuity ان میں سے ان تینوں کو ایک ایک بار دیکھتے ہیں and let's see if you can understand what's happening اچھا جی تو آج کا جو اخری topic ہے اس کی بھی بات کر لیتے ہیں اب یہ اب ہم نے شروع دو کی ہے انٹروالس کے اوپر دیفنشی بلیٹی وغالہ کی بات اب ہم نے دیکھے کہ یہ تین چیزیں ہوتی ہیں ان کو اندیواجلی case by case دیکھتے ہیں دیکھتے ہیں دیکھتے ہیں let's go to the screen and let's talk about them also at the same time corners کی پہلے بات ہوئی تھی اس کی ہم نے تصویر دیکھی تھی corners پہ کیا ہوتا ہے کیوں نہیں exist کرتا ہے derivative یا function differentiable کیوں نہیں ہوتا اس لی نہیں ہوتا کہ اگر آپ نوٹ کریں کہ two sided limits don't match up when we take the limit of the secant lines to get the slope of the tangent lines یہ اس کے اس میں ہوتا ہے جب آپ کے corners ہوتے ہیں یہ آپ اس کو نوٹ کر لیجے تصویر میں بلکہ آپ دیکھ سکتے ہیں ایسا ہی ہو رہا ہے اس کے بارے میں غور کیا جا سکتے ہیں vertical tangents کب جب اکر کرتے ہیں تو اس میں کیا problem ہوتی اس میں problem یہ ہوتی ہے کہ function derivative exist نہیں کرتا differentiable نہیں ہوتا کیوں کہ slope of the tangent line approaches plus or minus infinity as we take the limit of the secant lines اس میں بھی آپ دیکھ لیجے پکٹر بنیو ہی ہے کہ that is exactly what's happening جو third point ہے وہ تھا کہ جی derivative exist نہیں کرتا یہ function differentiable نہیں ہوتا at the points of discontinuity what happens at the points of discontinuity we have the two sided limits not agreeing again basically اور ظاہر جب limits اگرینی کرتے تو limit exist نہیں کرتا therefore the function is not differentiable اچھا جی different non-differential ability of functions کی بھی بات ہو چکی ہے آخری topic وہ نہیں تھا آخری topic اب آرہا ہے یہ relationship ہے between continuity and differentiability اس کو screen پہ دیکھ لیتے ہیں and I'll let you think about it also یہاں بھی دیکھیں کہ basically a theorem ہے آپ کے پاس here's the theorem اس کا proof جو ہے وہ کیا بھی جا سکتا ہے اس میں یہ کریں کہ یہاں پہ سب سے پہلہ تو proof کے لیے دیکھیں کہ limit جو definition of continuity کی وہ ہم استعمال کریں گے کہ limit as h goes to 0 of f of h plus x0 equals f of x0 یہاں پہ دیکھیں کہ x0 is any point so basically we need to show that limit as h goes to 0 of f of x0 plus h is equal to f of x0 یا it's the same thing as saying limit as h goes to 0 of f of x0 plus h minus f of x0 should equal to 0 I hope you can convince yourself of that یہ بیسکل میں f of x0 کو right-hand side سے موف کر کے left-hand side پہلے آیاں or limit کی ایک property استعمال کیے کون سی ہے I'll leave it up to you to figure that out proof continue کرتے ہیں میجے یہ شو کرنا ہے کہ یہ quantity 0 کی برابر ہے تو نوٹ کیجے first of all that this quantity is also equal to limit as h goes to 0 of f of x plus h0 minus f of x0 divided by h times h یعنی بیسکل میں نے h سے multiply or divide کر دی ہے in essence I have basically multiplied the original quantity by 1 لیکن 1 کو لکھنے کا طریقہ ہے h divide by h or appropriately distribute کر کے میں نے اس کو اس طرح سے لکھ لی ہے فائدہ کیا ہوا فائدہ یہ کہ یہ پروڈکٹ ہے اس میں limit distribute ہو جاتا ہے limit as h goes to 0 of the quantity f of x0 plus h minus f of x0 divided by h ایک چیز ہو گئی آپ کی product with the limit as h goes to 0 of h پہلی جو آپ کے پاس لیمٹ ہے اس کی value آتی ہے f prime of x0 ظاہر ہے that's the definition of the derivative at the point x0 لیکن جو لیکن next والا لیمٹ ہے اس کی value 0 آتی ہے so no matter what happens the next value is 0 and 0 times anything particularly as prime is also equal to 0 so basically you have proved the theorem and this theorem says that a function cannot be differentiable at a point of discontinuity basically کیونکہ for a function to be differentiable it needs to be continuous اچھا جی تو یہ آپ کا آخر طوپک ہو گیا اچھ کا we're done اس کی کچھ ڈیمپل نے تھیورم کی they're in the book you can look at them ہمورک بھی ہے ساتھ میں do the homework practice makes perfect of course کئی بار کیا چکو i'm sure you're fed up with it but it's a fact and we have to deal with it تو اورکہ problems اوہ کوئی سوالات ہوں تو please do e-mail me and we'll see you next time thank you